`ב 2 פיסיקה בוחן ב

‫‪-1-‬‬
‫מדור בחינות ומערכת שעות‬
‫היחידה לפיסיקה‬
‫המרצה‪ :‬ד"ר בראונשטיין דורון‬
‫‪14/04/10‬‬
‫בוחן בפיסיקה ‪ 2‬ב'‬
‫תשס"ע סמסטר ב'‬
‫חומר עזר –‬
‫)דף נוסחאות‪-‬מצורף‪ ,‬מחשבון(‬
‫הוראות מיוחדות –‬
‫‪ .1‬משך הבוחן ‪ 90‬דקות‪.‬‬
‫‪ .2‬יש לענות על ‪ 2‬מתוך השאלות ‪.1-3‬‬
‫‪ .3‬שאלה ‪ 4‬היא שאלת בונוס השווה ‪ 15‬נקודות‪.‬‬
‫כתבו בכתב יד ברור ומסודר‪.‬‬
‫יש לפרט כל שלב בחישובים‪.‬‬
‫בהצלחה !‬
‫השאלון מכיל ‪ 8‬דפים )כולל דף זה(‪.‬‬
‫========================================‬
‫‪- 2-‬‬
‫שאלה ‪ 50) :1‬נקודות(‬
‫שני כדורים מוליכים‪ ,‬זהים בגדלם‪ ,‬הטעונים במטענים מנוגדי סימן מושכים זה את זה בכוח של‬
‫‪ 0.108N‬כאשר הם מרוחקים מרחק של ‪ 50cm‬זה מזה‪ .‬במצב זה מחברים ביניהם תיל מוליך‪,‬‬
‫מחכים להתייצבות המערכת ואז מסירים את התיל‪ .‬ידוע כי כעת הכדורים דוחים זה את זה בכוח של‬
‫‪ . 0.036 N‬אם ידוע כי לאחר חיבור התיל מטעני הכדורים שווים מצאו מה היו המטענים המקוריים‬
‫על הכדורים‪.‬‬
‫שאלה ‪ 50) :2‬נקודות(‬
‫‪y‬‬
‫מוט באורך ‪ L‬מונח על ציר ‪ x‬כך שקצהו השמאלי‬
‫נמצא ב‪ . x  0 -‬צפיפות המטען משתנה ליניארית‬
‫‪A  0, y ‬‬
‫כתלות במיקום ‪ , x‬באופן‪,  ( x)  0 x :‬כאשר ‪0‬‬
‫הוא קבוע מספרי חיובי‪ .‬ידוע כי המוט נושא מטען‬
‫‪d‬‬
‫חשמלי ‪Q‬‬
‫נתונים‪k , Q, L, d :‬‬
‫א‪ .‬הביעו את הקבוע ‪ 0‬באמצעות ‪ Q‬ו‪10) ? L -‬‬
‫‪+ + + + + + + + + + +‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B  L  d ,0 ‬‬
‫נקודות(‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשבו את רכיב ה ‪ y -‬של השדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה ‪) A  0, y ‬כתלות ב ‪20) ? ( y‬‬
‫נקודות(‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשבו את עצמת השדה החשמלי בנקודה ‪ , B  L  d ,0 ‬הנמצאת במרחק ‪ d‬מקצהו הימני של‬
‫המוט )‪ 20‬נקודות(‪.‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx  ln  a  x  ‬‬
‫הדרכה‪ C :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪a  x‬‬
‫‪a  x‬‬
‫‪dx   ‬‬
‫‪axa‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a  x‬‬
‫‪dx   ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a  x‬‬
‫‪- 3-‬‬
‫שאלה ‪ 50) :3‬נקודות(‬
‫במרכזה של קליפה כדורית מוליכה ועבה שרדיוסיה הפנימי והחיצוני‬
‫‪2R‬‬
‫הם ‪ 2 R‬ו‪ 3R -‬בהתאמה נמצא כדור לא מוליך שרדיוסו ‪ . R‬הכדור‬
‫נושא מטען חשמלי חיובי בצפיפות נפחית לא אחידה המשתנה עם‬
‫‪3R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫המרחק ממרכז הכדור לפי הקשר ‪ .  ( r )   0  ‬הקליפה המוליכה‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪  r   0‬‬
‫אינה טעונה כלל‪ .‬נתונים‪. R,  0 , 0 :‬‬
‫א‪ .‬הראו כי מטענו הכללי של הכדור נתון על ידי‪20) Q    0 R 3 :‬נקודות(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו המטען החשמלי על הדופן הפנימית של הקליפה העבה ? נמקו תשובותיכם! )‪ 5‬נקודות(‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו המטען החשמלי על הדופן החיצונית של הקליפה העבה ? נמקו תשובותיכם )‪ 5‬נקודות(‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשבו את השדה החשמלי בכל אזורי המרחב )‪ 20‬נקודות(‪.‬‬
‫שאלה ‪) :4‬בונוס ‪ 15‬נקודות(‬
‫שני חרוזים טעונים מושחלים על גבי טבעת פלסטיק מעגלית מבודדת‪ .‬חרוז ‪ 2‬אשר אינו מתואר באיור‬
‫קבוע למקומו על גבי הטבעת שרדיוסה ‪ . R  60cm‬חרוז ‪ 1‬נמצא‬
‫‪y‬‬
‫בתחילה על ציר ה ‪ x -‬בזווית ‪   0‬ומוזז לאורך חצייה העליון‬
‫חרוז‬
‫של הטבעת עד לזווית של ‪ ,   180‬כמוראה באיור שמשמאל‪.‬‬
‫הגרפים שמתחת מתארים את רכיבי השדה החשמלי השקול )כולל‬
‫כיוון( שיוצרים שני החרוזים במרכז הטבעת‪ .‬שנתות הגרפים הם‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫כאלה שעבורם ‪ Exs  5 104 N / c‬ו‪. E ys  9  104 N / c -‬‬
‫א‪ .‬באיזו זווית ‪ ‬מוצב חרוז ‪? 2‬‬
‫ב‪ .‬מהם מטעני החרוזים ‪ Q1‬ו ‪) Q2‬גודל וסימן( ?‬
‫‪0‬‬
‫‪xs‬‬
‫‪E‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪E (10 N/c‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪180‬‬
‫‪150‬‬
‫‪120‬‬
‫‪90‬‬
‫)‪deg‬‬
‫‪60‬‬
‫‪30‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ys‬‬
‫‪4‬‬
‫‪180‬‬
‫‪150‬‬
‫‪120‬‬
‫‪90‬‬
‫‪60‬‬
‫‪30‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪E (10 N/c‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-E‬‬
‫‪xs‬‬
‫‪-E‬‬
‫)‪deg‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪  180‬‬
-4‫דף נוסחאות‬
i  dq dt
‫זרם חשמלי רגעי‬
V  IR
‫חוק אוהם‬

A
R   Ri
‫התנגדות התיל‬
R
K=1/4πε 0 =9 109 N  m/C2
‫קבוע חשמלי‬
 0  8.85 1012 C 2 / N  m 2
‫חדירות הריק‬

qq
F21  K 1 2 2 rˆ21
r21


F  qE
‫חוק קולון‬

q2
E  K 2 rˆ
r

S E  nˆ dA  Qencl  0

 e   E  nˆ dA
A


E   Ei ,     i
‫חיבור נגדים בטור‬
i
1 / R   1 / Ri
‫חיבור נגדים במקביל‬
R (T )  R(T0 )(1   (T  T0 ))

i   j  nˆ dA , j  di / dA
‫תלות התנגדות המוליך‬
‫בטמפרטורה‬
‫צפיפות הזרם‬
i
A
i
 

j  E  E / 
‫חוק אוהם דיפרנציאלי‬
W  VIt
‫עבודת הזרם החשמלי‬
‫כוח הפועל על מטען‬
‫נקודתי‬
i
dq
dq
dq
, 
, 
dl
dA
dV
B
 
 q( B   A )  q  E  dl

W A B
‫שדה של מטען נקודתי‬
‫חוק גאוס‬
‫שטף שדה חשמלי‬
‫עיקרון סופרפוזיציה‬
‫לשדה ולפוטנציאל‬
‫צפיפות המטען‬
‫עבודה של שדה חשמלי‬
A
P  VI  I R  V
2
2
R  dW dt
‫הספק הזרם החשמלי‬
 
V   B   A    E  dl
B
A
 i  0 ,  ε   iR
‫חוקי קירכהוף‬
V AB   iR   
‫המתח בין שתי נקודות‬A-‫ ו‬B
dq q
 ,
dt C
q  C (1  e  t / RC )
‫טעינת הקבל‬
R
‫הפרש פוטנציאלים‬
V
W
UB U A
  A B
q
q
V  Ed
  Kq / r
‫הפרש פוטנציאלים בקבל‬
‫לוחות‬
‫פוטנציאל של מטען‬
‫נקודתי‬
dx
x
xdx

C ,
 a2  x2  C
2 3/ 2
2
2
2
2
2
(a  x )
a a x
a x
x
dx
1
 a 2  x 2  a arctg a  C ,
xdx
1
1
dx
, 2

 C ,  e ax dx  e ax  C , 
 ln x  C
2 3/ 2
2
2
a
x
(a  x )
a x
,
2

dx
a2  x2
 ln x  a 2  x 2  C ,  x n dx 
x n 1
 C ; (n  1)
n 1
-5-
dV ‫אלמנט נפח‬
r
‫נפח‬V
V  4R 3 / 3
‫נפח הכדור‬
dA ‫אלמנט שטח‬
V  r 2 
‫נפח הגליל‬
dA  2πr d
‫שטח‬A
A  4R 2
‫כדור‬
dr
dV  4r 2 dr
r

dr
r
‫גליל‬

r

r
2r

d
:‫בכיוון רדיאלי‬
dV  2r dr
:‫בכיוון הציר‬
dV  r 2 d
d
  2r
‫היקף המעגל‬
:‫שפה חיצונית‬
A  2R
A  R 2 :‫בסיס‬
‫מעגל‬
dA  2πr dr
A  R
r
r
dr
2
‫‪-6‬‬‫פתרון הבוחן‬
‫שאלה‪1‬‬
‫נתון‪F1  0.108 N , r  0.5m, F '  0.036 :‬‬
‫מחוק קולון נקבל‪:‬‬
‫‪Q1Q2‬‬
‫‪Fr 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3 1012‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(1.1‬‬
‫‪,F k‬‬
‫כאשר לקחנו את המכפלה כשלילית מאחר וידוע כי המטענים שוני סימן‪ .‬לאחר השוואת המטענים‬
‫נקבל באותו האופן‪:‬‬
‫‪F 'r2‬‬
‫‪ 106‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(2.1‬‬
‫‪‬‬
‫‪dE A y‬‬
‫‪. Q' ‬‬
‫‪A  0, y ‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות לקבלת‪:‬‬
‫‪Q1  1C ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q2  3C ‬‬
‫‪Q12  106 Q1  3  1012  0 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r  x2  y 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪dEB‬‬
‫‪d‬‬
‫‪+ + + + + + + + + + +‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪Ld x‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬נחשב את המטען כאינטגרל על צפיפותו‪:‬‬
‫‪2Q‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪0 L2‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪Q     x  dx ‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬נביט במקטע מוט דיפרנציאלי הנמצא במרחק ‪ x‬מהראשית ועוביו ‪ . dx‬גודל השדה החשמלי‬
‫שהנ"ל יוצר בנקודה ‪ A‬הוא‪:‬‬
‫‪k 0 x‬‬
‫)‪(1.2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  y 2‬‬
‫‪dQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪k  dx‬‬
‫‪x2  y 2‬‬
‫‪k dQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪dE A ‬‬
‫אנו מעוניינים ברכיב ה ‪ y -‬ולכן‪:‬‬
‫‪k 0 x y‬‬
‫)‪(2.2‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‪ y2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dE A, y  dE cos  ‬‬
‫נבצע את האינטגרציה על המוט לקבלת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  k 0 y  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪x2  y 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx  k 0 y  ‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  y 2‬‬
‫‪0 x  y ‬‬
‫‪‬‬
‫עבור נקודה ‪ A‬מעל המוט נקבל לאחר הצבת ‪: 0‬‬
‫‪k 0 x y‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪E A, y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-7-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2kQ ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪L ‬‬
‫‪x  y2‬‬
‫‪E A, y ‬‬
‫ג‪ .‬כעת המרחק בין אלמנט המטען לנקודת השדה הוא ‪) r  L  d  x‬ראו איור( והשדה לאורך‬
‫ציר ה‪ . x -‬באופן דומה לסעיף קודם נקבל‪:‬‬
‫‪2kQ  L‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪ ln‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪L d‬‬
‫‪L  d ‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪k 0 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ L  d  x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ , EB  ‬כשאר השתמשנו בעובדה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx  ln  a  x  ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪a  x‬‬
‫‪a  x‬‬
‫‪dx   ‬‬
‫‪axa‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a  x‬‬
‫‪dx   ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a  x‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫נחשב את המטען על ידי האינטגרל הנפחי על הצפיפות)‬
‫הסימטריה כדורית במקרה זה(‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Q     r  dV   0  4 r 2 dr    0 R 3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫מחוק גאוס ומהעובדה כי במוליך אלקטרוסטטי השדה‬
‫החשמלי הוא אפס‪ ,‬נקבל כי על הדופן הפנימית של הקליפה‬
‫‪r‬‬
‫המוליכה יופיע מטען מושרה ‪. Q‬‬
‫‪  r   0‬‬
‫‪R‬‬
‫על הדופן החיצונית יופיע מטען מושרה ‪. Q‬‬
‫על מנת לחשב את השדה בכל אזורי המרחב נשתמש בחוק גאוס ובתוצאותיו‪ .‬נבחר משטח‬
‫גאוסי כדורי בעל רדיוס ‪ r‬שמרכזו מתלכד עם מרכז המערכת‪.‬‬
‫עבור ‪ 0  r  R‬נקבל‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪ r2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  E (4 r )      (4 r dr )  E  0‬‬
‫‪  E  dA  q‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪enc‬‬
‫‪4 R‬‬
‫‪0 R‬‬
‫‪0‬‬
‫עבור ‪ R  r  2 R‬השדה הוא כשדהו של מטען נקודתי ‪ Q‬ולכן‪:‬‬
‫‪kQ  0 R 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪r 2 4 0 r 2‬‬
‫עבור ‪ 2 R  r  3R‬השדה אפס כי אנו בתוך פנימו של מוליך‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫עבור ‪ r  3R‬השדה הוא שוב כשדהו של מטען נקודתי ולכן‪:‬‬
‫‪kQ  0 R 3‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4 0 r 2‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪-8‬‬‫נסכם את התשובות שקיבלנו‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪  r2‬‬
‫ˆ‪ 0 r‬‬
‫‪0rR‬‬
‫‪ 4 R‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 0 R‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪R  r  2R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E (r )   4 r 2‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪2 R  r  3R‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪  R3‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪r  3R‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 4 r 2‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪p ‬‬
‫נחשב את הפוטנציאל מתוך השדה באמצעות הנוסחא‪ . V    E  ds :‬עבור האזור ‪r  3R‬‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪ R3‬‬
‫‪ R3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dr  0‬‬
‫‪4 r‬‬
‫‪0‬‬
‫עבור ‪ 2 R  r  3R‬נקבל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0 R 2‬‬
‫‪. V (2 R  r  3R )  V (3R)   0  dr ‬‬
‫‪ const‬‬
‫‪12 0‬‬
‫‪3R‬‬
‫עבור ‪ R  r  2 R‬נקבל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ R3  1 1 ‬‬
‫‪. V ( R  r  2 R )  V (2 R)   0 2 dr  0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 0 r‬‬
‫‪4 0  r 6 R ‬‬
‫‪2R‬‬
‫עבור ‪ 0  r  R‬נקבל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪7 R2  r 3‬‬
‫‪. V  0  r  R   V ( R )   0 dr  0  0‬‬
‫‪4 0 R‬‬
‫‪24 0 12 0 R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪. V ( r  3R )   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4 r‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪ .1‬ידוע כי חרוז ‪ 1‬נע על חצי המעגל העליון ומכאן שחרוז ‪ 2‬לא יכול להימצא בנקודה על חצי‬
‫המעגל העליון‪ .‬משמע‪ ,‬הוא נמצא בחצי המעגל התחתון‪.‬‬
‫‪ .2‬נביט בגרף עבור ‪ : Ex‬בזווית ‪   90‬רכיב ה‪ x -‬של השדה הוא אפס‪ .‬מכאן נובע כי חרוז ‪2‬‬
‫חייב להיות על ציר ה‪ y -‬השלילי כי אם הוא היה בכל נקודה אחרת הוא היה יוצר שדה‬
‫חשמלי שיש לו רכיב ‪ . x‬חרוז ‪) 2‬זה שזז( נמצא על ציר ה‪ y -‬עבור ‪   90‬וממילא לא יוצר‬
‫שדה בכיוון ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪-9‬‬‫‪ .3‬ניתן גם להביט בזוויות ‪   0‬ו‪ :   180 -‬לרכיב ה ‪ x -‬יש אותו גודל אולם סימן הפוך‪.‬‬
‫מכאן שוב נובע כי חרוז ‪ 2‬חייב להימצא על ציר ה‪ y -‬השלילי‪ ,‬כלומר בזווית ‪.   270‬‬
‫‪ .4‬נביט בגרף המתאר את רכיב ה‪ y -‬של השדה‪ :‬השדה כל הזמן שלילי‪ .‬משמע‪ Q2 ,‬הוא שלילי‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫נביט בגרף עבור ‪ Ex‬בזווית ‪ :   0‬השדה שלילי‪ ,‬כלומר פונה שמאלה ומכאן שהמטען ‪Q1‬‬
‫חיובי‪.‬‬
‫‪ .6‬ניגש לחישוב המטענים‪ .‬בזווית ‪   0‬רכיב ה‪ x -‬של השדה נובע רק מ‪ . Q1 -‬ערכו שם‬
‫‪kQ1‬‬
‫‪E1R 2 5 104 0.62‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . E  5 104 N / C‬מכאן נקבל‪ 2C :‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9 109‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪. E1 ‬‬
‫‪ .7‬בזווית ‪   0‬רכיב ה‪ y -‬של השדה נובע רק מ‪ . Q2 -‬ערכו שם ‪ . E  4 104 N / C‬מכאן‬
‫‪kQ1‬‬
‫‪E2 R 2 4  104 0.62‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל‪ 1.6 C :‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9 109‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪. E2 ‬‬