הצטמקות וזחילה - בטון מזוין – עקרונות

‫פרק ‪ - 21‬הצטמקות וזחילה*‬
‫‪ 21.1‬כללי‬
‫ההתנהגות לזמ ארו של אלמנטי מבטו מזוי הינה נושא מורכב אשר נחקר‬
‫רבות וחישובי לבדיקת מצב של הרכיבי כעבור מס' מועט או גדול של שני ה‬
‫חישובי מיגעי וארוכי‪ ,‬אשר בחלק נית למחשב‪ ,‬אול בשי לב לפרמטרי‬
‫הרבי המשתתפי ובעיקר לתנאי המשתני לאור חיי המבנה כמעט ולא נית‬
‫לארו חישוב‪ ,‬מושקע ככל שיהיה‪ ,‬ללא הנחה מקורבת שכ החישובי המורכבי‬
‫ביותר אינ בנויי ליותר מכ‪ .‬בתקני רבי‪ ,‬כמו התק האירופי ]‪EC2 [40‬‬
‫והאמריקאי ]‪ ACI 318 [43‬החישובי לזמ ארו לא נערכי כשיגרה אלא כאופציה‪.‬‬
‫אופציה זו מתחייבת כאשר מדובר בתכנו מבנה בלתי שגרתי או מונומנטלי‪ ,‬ואז חלק‬
‫לפחות מ החישוב נער ברמה מחקרית או קרובה לה‪.‬‬
‫חלק מ התקני מספקי מידע להתחשבות בצורה מקורבת בהשפעות לזמ‬
‫ארו‪ .‬קשה כא לעשות הכללות‪ .‬יש הנחה כי במקדמי הבטחו החלקיי כלולות‬
‫בצורה חלקית השפעות לזמ ארו‪ .‬אי לסמו על זה וכאשר מתוכנ מבנה חריג לעומת‬
‫המכנה המשות& הנמו של הוראות התכ של התקני לבטו מזוי יש לערו חישובי‬
‫לזמ ארו כפי שנית לראות בהמש פרק זה‪.‬‬
‫הרכיבי היחידי בה חובה להתייחס להשפעות לזמ ארו ה רכיבי‬
‫מבטו דרו‪ ,‬בה הפסדי הדריכה יכולי להגיע ל ‪ 15%‬עד ‪ 20%‬מכוח הדריכה‬
‫הראשוני והפסדי אלה נובעי באופ כמעט בלעדי מהשפעות לזמ ארו‪.‬‬
‫המרכיבי בעיקריי של השפעות לזמ ארו ה הצטמקות וזחילה ובשני‬
‫אלה יעסוק פרק זה בהמש‪ .‬לזחילה והצטמקות יש משקל גדול בחישובי של‬
‫אלמנטי לחוצי‪ ,‬בעיקר כאשר מדובר באקסצנטריות גדולה‪ .‬מרכיב נוס& הוא‬
‫רלקסציה )הרפיה( במאמצי בפלדה‪ .‬בפלדה לדריכה ידוע עליה יותר א כי עדיי‬
‫בצורה מקורבת‪ .‬בפלדה לבטו מזוי רגיל ידוע עליה פחות ממעט ומאחר והיא‬
‫בסיכומו של דבר מתבטאת באחוזי בודדי בלבד‪ ,‬ומאחר ומקד השונות בחישובי‬
‫בזחילה והצטמקות הינו בסביבות ה ‪ ,20%‬במילא העיסוק בה‪ ,‬מעניי ככל שיהיה נהפ‬
‫ללא רלבנטי‪.‬‬
‫הצטמקות וזחילה נדוני כא כפי שה נתוני ב ]‪ EC2 [40‬שהינו בסיס לתק‬
‫הישראלי‪ ,‬אי לכ כל מה שנתו בהמש תוא את התק הישראלי על גליונות התיקו‬
‫האחרוני בו ]‪ ,[45][44‬ג א פורמט הכתיבה בו נתו אחרת‪.‬‬
‫‪ 21.2‬הצטמקות‬
‫ההצטמקות הינה תופעת אובד נפח הבטו כתוצאה מהתייבשות ‪ /‬אובד‬
‫נוזלי בו )מי( וכתוצאה מהתהלי הכימי המתרחש בו תו כדי ההתקשות‪ .‬כ‬
‫לפחות מוגדרת ההצטמקות לפי ]‪ [40‬וכא לא נחרוג מתפיסה זו‪.‬‬
‫*פרק זה מעודכ לאוגוסט ‪2010‬‬
‫‪1‬‬
‫החלק השני פחות מורכב מפני שהוא כפו& לתהליכי כימיי המתרחשי‬
‫פחות או יותר בצורה אחידה על פני החת ולאור הרכיב‪ .‬החלק הראשו מאד מורכב‬
‫מפני שהוא תלוי באובד )התאיידות או ככל שנקרא לזה( לחות ‪ ,‬אבל‪ ,‬זה בודאי אינו‬
‫מתרחש בצורה אחידה‪ ,‬לא על פני החת ולא לאור הרכיב‪ .‬ניקח לדוגמא קיר בטו‬
‫מזוי‪ ,‬גלוי‪ ,‬חשו& לשמש ולאויר מצידו האחד וצידו השני מופנה אל מרת& סגור ולכ‬
‫הטמפרטורה והלחות בו די יציבות‪ .‬מוב שבי הצד החיצוני לפנימי יתפתח מתח‬
‫מאמצי גבוה מאד כתוצאה מהצטמקות מואצת בצד החיצוני לעומת הפנימי‪ .‬דוגמה‬
‫אחרת – גג מבטו מזוי אשר מסיבה זו או אחרת לא נעשה עליו בידוד החל מיו‬
‫יציקתו )אי ש באביב( ועד ראשית החור&‪ .‬ברור כי גג זה יסבול מהשפעת הצטמקות‬
‫קשה‪.‬‬
‫סה"כ ההצטמקות הינה סכו ההצטמקות משני המקורות הנ"ל‪.‬‬
‫)‪(21.1‬‬
‫) ‪εsh = εcd (t ) + εca (t‬‬
‫יש כל מיני חומרי המומלצי על ידי יועצי חומרי שוני‪ ,‬אשר אמורי‬
‫לצמצ את תופעת ההצטמקות עד למינימו‪ .‬חלק מחומרי אלה יעילי וחלק אולי‬
‫לא‪ ,‬ויעידו על כ סדקי התכווצות רבי מאד בכל מיני מקומות במבני‪ ,‬דבר האומר‬
‫כי הבעיה קיימת‪ .‬אסור לשכוח כי כל החומרי האלה ה בקטגורית המוספי‪ .‬בו‬
‫בזמ שבאר‪ /‬השימוש במוספי לא מוסדר )יש תק המונה את סוגי המוספי אבל לא‬
‫מפרט ומזהיר בפני השימוש בה( בארצות אחרות‪ ,‬בארצות הברית למשל‪ ,‬יש תקני‬
‫אשר מפרטי מה ה "תופעות הלוואי" )בדיוק כמו בתרופות( הכרוכות בשימוש‬
‫במוספי כגו אלה‪ ,‬וה בעיקר השפעה‪ ,‬לרוב לא לטובה‪ ,‬על התכונות המכניות של‬
‫הבטו‪ :‬חוזק לחיצה ומתיחה )לעתי הפחתה זמנית ולעתי הפחתה לאור זמ(‬
‫מודול האלסטיות וכו'‪ .‬זה נושא אשר יש עדיי לפתח באר‪ /‬וג להסדיר בתקינה‪.‬‬
‫‪ 21.2.1‬הצטמקות עקב התקשות‬
‫לפי המינוח של ]‪ [40‬הצטמקות זו מכונה ג ‪autogenous shrinkage strain‬‬
‫ומסומנת בתור ‪ .εca‬היא מתרחשת בעיקר בראשית התפתחותו של חוזק הבטו ודועכת‬
‫מהר ע הזמ‪ .‬בדוגמה המספרית המצורפת ב ‪ 21.4‬זה יובלט באופ ברור‪.‬‬
‫ההצטמקות עקב התקשות נתונה לפי נוסחה )‪: (21.2‬‬
‫)‪(21.2‬‬
‫בה‪:‬‬
‫) ‪εca (t ) = εca (∞ ) βas (t‬‬
‫)‪(21.3‬‬
‫‪εca (∞ ) = 2.5 (0.7fck − 10) 10−6‬‬
‫‪0.5‬‬
‫) ‪βas (t ) = 1 − e( −0.2t‬‬
‫)‪(21.4‬‬
‫כאשר‪ εca (∞ ) :‬הינו ההצטמקות הסופית עקב התקשות לטווח ארו‬
‫‪ fck‬חוזק הבטו האופייני כמוגדר לעיל‪.‬‬
‫) ‪ β as (t‬גור תיקו המביא בחשבו את הזמ ‪ t‬בימי מיו יציקת‬
‫הבטו ועד למועד בו נער החישוב‪.‬‬
‫נית לראות כי הצטמקות זו תלויה רק בסוג הבטו והיא דועכת מהר מאד ע‬
‫הזמ כפי שיוכח בדוגמה המפורטת בסי& ‪.21.4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 21.2.2‬הצטמקות עקב התייבשות‬
‫הצטמקות עקב התייבשות )‪ (drying shrinkage‬מתפתחת ע הזמ ומושפעת‬
‫מהרבה גורמי‪ .‬היא נתונה על ידי הנוסחה )‪ .(21.5‬בנוסחה זו מופיעי כל הגורמי‬
‫המשפיעי על הצטמקות זו‪.‬‬
‫)‪(21.5‬‬
‫) ‪εcd (t ) = εcd,0 k h βds (t , t s‬‬
‫בה‪:‬‬
‫‪εcd,o‬‬
‫הינה ההצטמקות הבסיסית עקב התייבשות והיא נתונה בנוסחה‬
‫)‪ (21.6‬עבור בטוני עשויי ע צמנטי מסוג ‪ CEM‬בלבד)רק‬
‫הצמנטי את יש נסיו באר‪ /‬ורשומי בת"י ‪ 118‬בגרסתו מספטמבר‬
‫‪) 2008‬סעי& ‪ (5.1.2‬ובחוקת הבטו(‪:‬‬
‫‪0.7fcm ‬‬
‫‪‬‬
‫‪( − αds 2‬‬
‫)‬
‫‪10  10− 6 β‬‬
‫‪εcd,0 = 0.85  (220 + 110 αds1 ) e‬‬
‫)‪(21.6‬‬
‫‪RH‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר‪ αds1 :‬הינו מקד התלוי בסוג הצמנט‪ 3 = :‬עבור צמנט מסוג ‪) S‬איטי(‬
‫‪ 4‬עבור צמנט מסוג ‪) N‬רגיל(‬
‫‪ 6‬עבור צמנט מסוג ‪) R‬מהיר(‬
‫‪ αds 2‬הינו מקד התלוי בסוג הצמנט = ‪ 0.13‬עבור צמנט מסוג ‪) S‬איטי(‬
‫‪ 0.12‬עבור צמנט מסוג ‪) N‬רגיל(‬
‫‪ 0.11‬עבור צמנט מסוג ‪) R‬מהיר(‬
‫‪ fcm‬הינו חוזק הבטו הממוצע בלחיצה בגיל ‪ 28‬ימי )‪ fck‬כמוגדר בת"י‬
‫‪ 118‬ובחוקת הבטו ‪.(1‬‬
‫לצור החישובי כא ‪. fcm = fck + 11 MPa‬‬
‫הלחות היחסית נתונה באמצעות נוסחה )‪.(21.7‬‬
‫)‪(21.7‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪β RH = 1.55 1 − (RH RH 0 )3‬‬
‫כאשר‪ 4 RH :‬הינה הלחות היחסית בעליל באחוזי‬
‫‪ 4 RH 0‬לחות יחסית בשיעור ‪100%‬‬
‫) ‪ β ds (t , t s‬מביע את התלות בהפרש הזמ בי היו בו נער החישוב ‪ t‬לבי‬
‫המועד בו החלה ההצטמקות עקב התייבשות ‪) t s‬בדר כלל מועד‬
‫תו האשפרה(‪.‬‬
‫) ‪(t − t s‬‬
‫)‪(21.8‬‬
‫= ) ‪βds (t , t s‬‬
‫‪(t − t s ) + 0.04 h0 3 2‬‬
‫‪A‬‬
‫כאשר‪ h0 = 2 c :‬ו‪ 4 Ac :‬הינו שטח חת הרכיב‬
‫‪u‬‬
‫‪ 4 u‬הינו היק& החת החשו& להתייבשות‬
‫‪ 4 k h‬הינו מקד התלוי ‪ h0‬וערכו נתו לפי הטבלה ‪) 21.1‬נית לעשות‬
‫אינטרפולציה עבור ערכי ביניי(‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫טבלה ‪ 4 21.1‬ערכי ‪ k h‬בתלות ב ‪h0‬‬
‫‪h0‬‬
‫‪kh‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪200‬‬
‫‪0.85‬‬
‫‪300‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.70‬‬
‫‪≥ 500‬‬
‫‪ h 0‬הינו באופ עקי& מדד של דרגת החשיפה שכ ערכו ‪ h 0 = 2 A c / u‬ובו ‪ A c‬הינו‬
‫שטח החת אבל ‪ u‬הינו ההיק& החשו& להתייבשות )הבא במגע ע האויר החופשי(‪.‬‬
‫נית לראות מתו הנוסחאות לעיל כי‪ :‬לבד מהתלות בסוג הבטו ובסוג‬
‫הצמנט‪ ,‬שה כמוב לא משתני לאור חיי המבנה‪ ,‬יש תלות בזמ ובדרגת החשיפה‬
‫‪ h 0‬וכ בלחות היחסית‪ .‬החישוב כפי שהוא מוצג אינו מאפשר לפצל את אור‬
‫התקופה ) ‪ (t − t s‬לשתי תקופות או יותר‪ .‬במלי אחרות בחישוב הצטמקות זו לא‬
‫נוכל להביא בחשבו כי מידת החשיפה ‪ h 0‬היתה בתקופה הראשונה ער מסוי‬
‫ובתקופה אחרת השתנתה לער אחר‪ .‬אותו הדבר ביחס ללחות היחסית‪ .‬יש לגבי‬
‫הטמפרטורה כלי להתחשב במידת השתנותה אבל לא בהצטמקות אלא בזחילה – ראה‬
‫להל )ראה דוגמה ב ‪.(21.4‬‬
‫‪ 21.3‬זחילה‬
‫הזחילה היא עיבור נוס& לעיבור האלסטי בבטו המצוי תחת מאמצי לחיצה‬
‫והיא נוצרת כתוצאה מאובד נפח כאשר הבטו כאמור תחת מאמצי לחיצה‪ .‬יש‬
‫לתופעה יותר מהסבר פיסיקלי אחד‪ .‬המטרה כא היא לא להעמיק בצד המדעי של‬
‫הסבר הזחילה כתופעה אלא להראות אי מתמודדי ע חישוב הזחילה‪.‬‬
‫כאשר המאמ‪ /‬בבטו לא עולה על ] ) ‪ 0.45 fck (t 0‬לפי הגליל האירופי[‬
‫) ‪ 0.315 fck (t 0‬בקוביה ישראלית בזמ ‪ t 0 ) t 0‬הזמ בו הועמס הבטו במאמצי‬
‫הלחיצה( עיבור הזחילה ‪ ε cc‬גדל ליניארית לעומת העיבור האלסטי ולכ הוא כפולה‬
‫שלו‪ .‬עיבור הזחילה הכולל‪ ,‬בי מועד ההעמסה ‪ t 0‬לבי מועד הבדיקה ‪ t‬נתו על ידי‬
‫הנוסחה )‪:(21.9‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪εcc (t , t 0 ) = ϕ(t , t 0 ) c‬‬
‫)‪(21.9‬‬
‫‪Ec‬‬
‫בה‪:‬‬
‫‪ σ c‬הינו מאמ‪ /‬הלחיצה בבטו אשר גור לעיבור האלסטי‬
‫‪ E c‬הינו מודול האלסטיות של הבטו הנתו בפרק ‪ 3‬בחוקת הבטו‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫כאשר המאמ‪ /‬בבטו ‪ σ c‬עולה על ) ‪ 0.315 fck (t 0‬יש להציב בנוסחה‬
‫)‪ (21.9‬במקו ) ‪ ϕ(t , t 0‬את השפעת אי הליניאריות כנתו בנוסחה )‪ (21.10‬להל‪:‬‬
‫))‪ϕnl = ϕ(t , t 0 ) e(1.5(k σ − 0.45‬‬
‫)‪(21.10‬‬
‫‪ 4 k σ‬הינו היחס ‪ σc 0.7fck‬בזמ ‪. t 0‬‬
‫מקד הזחילה ) ‪ ϕ(t , t 0‬בי מועד הפעלת ההעמסה ‪ t 0‬לבי זמ ‪) t‬שניה‬
‫בימי( נתו על ידי‪:‬‬
‫) ‪ϕ( t , t 0 ) = ϕ 0 β c ( t , t 0‬‬
‫)‪(21.11‬‬
‫מקד הזחילה הבסיסי ‪ ϕ 0‬נית לאומד באמצעות נוסחה )‪ (21.12‬בה‬
‫מרכיבי של הלחות היחסית‪ ,‬סוג הבטו‪ ,‬הפרש הזמ ומידת החשיפה‪:‬‬
‫) ‪ϕ 0 = ϕ RH β(f cm ) β(t 0‬‬
‫)‪(21.12‬‬
‫בה‪:‬‬
‫‪1 − RH / 100‬‬
‫)‪21.13‬א(‬
‫)‪21.13‬ב(‬
‫)‪(21.14‬‬
‫)‪(21.15‬‬
‫‪0.1 h01 3‬‬
‫עבור ‪0.7 fcm ≤ 35 MPa‬‬
‫‪ϕ RH = 1 +‬‬
‫‪ 1 − RH / 100 ‬‬
‫‪ϕ RH = 1 +‬‬
‫‪α1  α 2‬‬
‫‪0.1 h01 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪0.7 fcm > 35 MPa‬‬
‫‪ α 1‬ו ‪ α 2‬מוגדרי בהמש‬
‫‪16.8‬‬
‫= ) ‪β(fcm‬‬
‫‪(0.7fcm )1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪β( t 0‬‬
‫) ‪( 0 .1 + t 0 0 . 2‬‬
‫‪ A c , h 0‬ו ‪ 4 u‬כמוגדרי בהצטמקות‬
‫) ‪ β c ( t , t 0‬מתא את התפתחות הזחילה ע הזמ )‪: (21.16‬‬
‫‪0 .3‬‬
‫‪ (t − t 0 ) ‬‬
‫‪βc (t , t 0 ) = ‬‬
‫)‪(21.16‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (β H + t − t 0 ) ‬‬
‫) ‪ (t −t 0‬הינו מש הזמ הבלתי מתוא לאורכו מופעל המאמ‪ σ c /‬ולכ‬
‫לאורכו ג מתרחשת הזחילה בעליל כאשר שני המועדי נקבעי בימי‪.‬‬
‫‪ β H‬הינו מקד התלוי בלחות היחסית ועל כ תלוי ג במידת החשיפה ‪h0‬‬
‫)כמוגדרת בהצטמקות(‪.‬‬
‫)‪(21.17‬‬
‫[‬
‫]‬
‫‪β H = 1.5 1 + (0.012 RH )18 h 0 + 250 ≤ 1500‬‬
‫עבור ‪0.7 fcm ≤ 35 MPa‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪β H = 1.5 1 + (0.012 RH )18 h 0 + 250 α 3 ≤ 1500 α 3‬‬
‫)‪(21.18‬‬
‫עבור ‪0.7 fcm > 35 MPa‬‬
‫מקדמי ‪ α‬תלויי בחוזק ‪ /‬סוג הבטו ומוגדרי כ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0.7‬‬
‫)‪21.19‬א(‬
‫‪0 .2‬‬
‫‪ 35 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪α1 = ‬‬
‫‪ 0.7fcm ‬‬
‫)‪21.19‬ב(‬
‫‪0 .5‬‬
‫)‪21.19‬ג(‬
‫‪ 35 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪α 2 = ‬‬
‫‪ 0.7fcm ‬‬
‫‪ 35 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪α 3 = ‬‬
‫‪ 0.7fcm ‬‬
‫התאמות להשפעת הזמ על הזחילה‪:‬‬
‫שני גורמי משפיעי על המועד ‪ t 0‬בנוסחה )‪ (21.15‬הוא המועד ממנו מתחילה‬
‫ההתחשבות בהשפעת הזחילה‪:‬‬
‫א‪ .‬הטמפרטורה בה הבטו מתקשה וצובר חוזק‪ .‬הניסוח של המשואות )‪ (21.9‬עד‬
‫)‪ (21.19‬מתאי לתנאי של טמפרטורה ‪ 20°C‬אול כאשר הטמפרטורה שונה‬
‫תהלי צמיחת החוזק ישתנה בתלות בטמפרטורה השונה מהנ"ל‪.‬‬
‫הבטוי )‪ (21.20‬נות את סכו קטעי הזמ ‪ ∆Ti‬בה הטמפרטורה שונה מ ‪. 20°C‬‬
‫טמפרטורה גבוהה תגרו לתוספת זמ ‪) t T‬הבטו יהיה "בוגר" יותר( ואילו‬
‫טמפרטורה נמוכה ממנה תגרו לגריעת זמ‪ .‬בדר כלל מדובר בטמפרטורה גבוהה‬
‫יותר בזמ האשפרה‪ ,‬אול לא תמיד‪.‬‬
‫)‪(21.20‬‬
‫‪4000‬‬
‫)‪− 13.65‬‬
‫) ‪273+ T( ∆t i‬‬
‫(‪−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪t T = Σ ∆Ti e‬‬
‫‪i =1‬‬
‫) ‪ T( ∆Ti‬הינה הטמפרטורה במעלות ‪ C‬בפרק הזמ ‪ ∆Ti‬בימי‪.‬‬
‫‪ t T‬המחושב לפי נוסחה )‪ (21.20‬מחלי& את ‪ t 0 ,T‬המקורי בנוסחה )‪.(21.21‬‬
‫ב‪ .‬סוג הצמנט ‪ 4‬הניסוח של המשואות )‪ (21.9‬עד )‪ (21.19‬מתאי לצמנט רגיל מסוג ‪. N‬‬
‫התאמת הזמ בגי סוג הצמנט נעשית באמצעות )‪:(21.21‬‬
‫‪α‬‬
‫)‪(21.21‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪t 0 = t 0,T ‬‬
‫‪+ 1  ≥ 0 .5‬‬
‫‪ 2 + t 1 .2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0, T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ t 0,T‬הינו מועד המתוק של היציקה או מועד תו האשפרה עקב‬
‫טמפרטורה לפי משואה )‪.(21.20‬‬
‫‪ − 1 = α‬עבור צמנט מסוג ‪) S‬איטי(‬
‫‪0=α‬‬
‫"‬
‫"‬
‫"‬
‫‪ N‬רגיל‬
‫‪1= α‬‬
‫"‬
‫"‬
‫"‬
‫‪) R‬מהיר(‬
‫‪ t 0‬המחושב לפי נוסחה )‪ (21.21‬יוצב בנוסחה )‪ (21.15‬אול לא ב )‪ (21.16‬בה הזמ‬
‫ההתחלתי אינו מתוא‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 21.4‬דוגמה‬
‫הדוגמה הבאה נועדה להפעיל את כל ההליכי המתוארי בפרק זה בנוגע‬
‫להצטמקות וזחילה‪ .‬יש בה שלבי רבי וא הבעיה של הקורא מצומצמת – הוא‬
‫ימצא את מבוקשו אי ש בחלקי מ הדוגמה‪.‬‬
‫עמוד במידות חת ‪ 400/400‬ממ' עשוי מבטו ב‪ 40‬ובו ‪ 8Φ25‬אשר שטח‬
‫‪ 3920‬ממ"ר‪ .‬גובה העמוד ‪ 4‬מ' מעל פני היסוד‪ .‬העמוד נוצק מבטו ע צמנט ‪CEM1‬‬
‫אול איטי‪ ,‬כלומר ‪. Es = 200000 MPa Ec = 28200 MPa .S‬‬
‫העמוד קבל אשפרה מלאה )‪ (RH = 100%‬במש ‪ 20‬הימי הראשוני ובימי‬
‫אלה הטמפרטורה היתה ‪. 250C‬‬
‫לאחר תו האשפרה‪ ,‬מסיבות כל שה‪ ,‬העמוד עמד גלוי בטמפרטורה ‪300C‬‬
‫ולחות יחסית ‪ RH=30%‬במש ‪ 3‬חודשי )‪ 90‬ימי(‪.‬‬
‫בתו התקופה הנ"ל )היו ה ‪ (110‬התחדשה הבניה ועל העמוד הועמס עומס‬
‫של ‪ .1000 kN‬הלחות היחסית היתה ‪ RH = 25%‬והטמפרטורה ‪.250C‬‬
‫כעבור שנה‪ ,‬ביו ה ‪ ,475‬הועמסו על העמוד ‪ 2000 kN‬נוספי‪ .‬הטמפרטורה‬
‫והלחות היחסית נותרו כמו בתקופה הקודמת‪ .‬תקופה זו נמשכה עד היו ה ‪) 2300‬כ‬
‫‪ 6.3‬שני(‪.‬‬
‫הבדיקה האחרונה נעשתה ביו ה ‪ 11425‬ובמש כל התקופה הזאת )‪ 2300‬עד‬
‫‪ (11425‬תנאי הטמפרטורה והלחות היחסית לא השתנו‪.‬‬
‫יש לחשב את העיבורי בחת כולל לזמ ארו‪ ,‬בתו כל אחד מחמשת‬
‫המועדי אשר נמנו לעיל‪ ,‬כולל את המאמצי בבטו ובפלדה בשי לב להידבקות בי‬
‫הבטו והפלדה‪.‬‬
‫פתרו‪:‬‬
‫לפי נתוני הבעיה נחלק לחמש תקופות‪:‬‬
‫אשפרה‬
‫ו‬
‫‪ .1‬מ ‪ 0‬ימי עד ‪ 20‬יו ‪4‬‬
‫‪RH = 100% t = 250 C‬‬
‫אי עומס‬
‫ו‬
‫‪ .2‬מ ‪ 20‬יו ועד ‪ 110‬ימי ‪4‬‬
‫‪RH = 30% t = 300 C‬‬
‫‪ .3‬מ ‪ 110‬ימי ועד ‪ 475‬ימי ‪ t 250 C 4‬ו ‪ RH = 25%‬נוס& עומס ‪ 1000‬ק"נ‬
‫=‬
‫‪ .4‬מ ‪ 475‬ימי ועד ‪ 2300‬ימי ‪ t 250 C 4‬ו ‪ RH = 25%‬נוס& עוד עומס ‪ 2000‬ק"נ‬
‫=‬
‫ו‬
‫‪ .5‬מ ‪ 2300‬ימי ועד ‪ 11425‬ימי ‪4‬‬
‫‪RH = 25% t = 250 C‬‬
‫אבל‪ ,‬במציאות‪ ,‬מאחר ולא נית לעבוד ע תקופות מצטברות אלא כל חישוב חייב‬
‫להיער מהתחלה )מראשית חיי האלמנט( חמשת התקופות תיראנה אחרת‪:‬‬
‫‪ .1‬מ ‪ 0‬ימי ועד ‪ 20‬יו‪.‬‬
‫‪ .2‬מ ‪ 0‬ימי ועד ‪ 110‬ימי‪.‬‬
‫‪ .3‬מ ‪ 0‬ימי ועד ‪ 475‬יו‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .4‬מ ‪ 0‬ימי ועד ‪ 2300‬יו‪.‬‬
‫‪ .5‬מ ‪ 0‬ימי ועד ‪ 11425‬יו‪.‬‬
‫‪ .1‬התקופה הראשונה מ ‪ 0‬ימי ועד ‪ 20‬יו‬
‫זחילה אי מאחר ואי עומס‪.‬‬
‫הצטמקות עקב התייבשות אי מאחר ו‬
‫‪RH = 100%‬‬
‫הצטמקות עקב התקשות יש ואת זו נחשב‪:‬‬
‫לפי )‪(21.3‬‬
‫‪εca (∞ ) = 2.5(0.7 40 − 10) 10−6 = 45 10−6‬‬
‫לפי )‪(21.4‬‬
‫ולכ‬
‫‪0.5‬‬
‫‪β as ( 20) = 1 − e− ( 0.2 20 ) = 0.591‬‬
‫‪εsh = εca ( 20) = − 0.591 45 10−6 = − 2.66 10−5‬‬
‫‪ .2‬התקופה השנייה מ ‪ 0‬ימי ועד ‪ 110‬יו‬
‫זחילה אי מאחר ואי עומס‪.‬‬
‫א‪ .‬הצטמקות עקב התקשות יש ואת זו נחשב‪:‬‬
‫‪0.5‬‬
‫לפי )‪(21.4‬‬
‫‪β as (110) = 1 − e− ( 0.2 110 ) = 0.877‬‬
‫מאחר והוא תלוי בסוג הבטו בלבד‪.‬‬
‫מי שלא לא משתנה לכל האור זה‬
‫) ∞( ‪εca‬‬
‫ולכ‬
‫‪εca (110) = − 0.877 45 10−6 = − 39.5 10−6‬‬
‫ב‪ .‬ההצטמקות עקב התייבשות –‬
‫החל ב ‪ 20‬יו‪.‬‬
‫הצטמקות עקב התייבשות יש מאחר ו‬
‫‪RH = 30%‬‬
‫זו התרחשה רק בתקופה בי ‪ 20‬ל ‪ 110‬ימי‪:‬‬
‫לפי )‪(21.7‬‬
‫‪β RH = 1.55 [ 1 − ( 30 / 100)3 ] = 1.508‬‬
‫ובהמש‪ ,‬לפי )‪ (21.6‬מאחר והצמנט הוא מסוג ‪: S‬‬
‫‪0.7 48‬‬
‫)‬
‫‪10 ] 10− 6‬‬
‫‪− ( α ds 2‬‬
‫‪εcd,0 = − 0.85 [ ( 220 + 110 αds1 ) e‬‬
‫‪1.508 = 45.5 10− 5‬‬
‫מתו טבלה ‪k h = 0.85 21.1‬‬
‫‪h 0 = 2 400.400 4.400 = 200mm‬‬
‫)‪(110 − 20‬‬
‫לפי נוסחה )‪(21.8‬‬
‫= )‪β ds (110,20‬‬
‫‪= 0.443‬‬
‫‪32‬‬
‫‪(110 − 20) + 0.04 200‬‬
‫ולבסו& ההצטמקות עקב התייבשות תהיה‪:‬‬
‫לפי )‪(21.5‬‬
‫‪εcd (110) = − 45.5 10 −5 0.85 0.443 = − 17.13 10−5‬‬
‫סה"כ ההצטמקות בתו ‪ 110‬ימי תהיה לפי )‪:(21.1‬‬
‫‪εsh (110) = − (17.13 + 3.95) 10−5 = − 21.08 10−5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .3‬התקופה השלישית מ ‪ 0‬ימי ועד ‪ 475‬ימי‬
‫עבור תקופה זו יש לחשב‪:‬‬
‫א‪.‬הצטמקות עקב התקשות בי ‪ 0‬ל ‪ 475‬ימי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הצטמקות עקב התייבשות בי ‪ 20‬ל ‪ 475‬ימי‪.‬‬
‫ג‪ .‬עיבור אלסטי וזחילה בי ‪ 110‬ל ‪ 475‬ימי בהשפעת ‪ 1000‬ק"נ‪.‬‬
‫א‪ .‬הצטמקות עקב התקשות‬
‫לפי החישוב באחת משתי התקופות הקודמות‪ ,‬ע שנוי הזמ בלבד‪:‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪εca (475) = − 45 10− 6 (1 − e − ( 0.2 475 ) ) = − 45 10 − 6 0.987 = − 4.44 10 − 5‬‬
‫נית לראות שהצטמקות זו כעבור כשנה ורבע הגיעה לסיומה כמעט‪.‬‬
‫ב‪ .‬הצטמקות עקב התייבשות‬
‫כא מתעוררת בעיה בגלל הלחות היחסית השונה בשני פרקי זמ שוני‪ :‬בי ‪ 20‬ל ‪110‬‬
‫ימי הלחות היחסית ‪ 30%‬ואילו בי ‪ 110‬ל ‪ 475‬ימי הלחות היחסית ‪ .25%‬לא קיימת‬
‫האפשרות לבצע חישוב מצטבר – לכל תקופה בנפרד ולחבר את התוצאות‪ .‬יש לבחור‬
‫באחד משני הנתוני‪.‬‬
‫מקבלי‬
‫ובחישוב‬
‫‪30%‬‬
‫היחסית‬
‫הלחות‬
‫הראשוני‬
‫עבור ‪ 90‬הימי‬
‫‪β RH = 1.508‬‬
‫‪.‬‬
‫אול ב ‪ 365‬הימי הבאי הלחות היחסית ‪ 25%‬והחישוב נות‬
‫‪β RH = 1.525‬‬
‫ההבדל ביניה רק ‪1.1%‬‬
‫עבור‬
‫והתקופה השנייה מהווה ‪ 80%‬מכלל התקופה‪ ,‬אי לכ נבחר את‬
‫‪β RH = 1.525‬‬
‫ההמש‪ ,‬מה ג שכל החישוב אינו ברמה כה גבוהה של דיוק‪.‬‬
‫‪0.7 48‬‬
‫)‬
‫‪10 ] 10− 6‬‬
‫‪− ( 0.13‬‬
‫‪εcd,0 = − 0.85 [ ( 220 + 110 αds1 ) e‬‬
‫‪1.525 = − 46.06 10− 5‬‬
‫)‪(475 − 20‬‬
‫= )‪β ds (475,20‬‬
‫עבור הצטמקות זו‪= 0.801 :‬‬
‫‪32‬‬
‫‪(475 − 20) + 0.04 200‬‬
‫וההצטמקות עקב התייבשות תהיה‪:‬‬
‫‪εcd (475) = − 46.06 10−5 0.85 0.801 = − 31.35 10−5‬‬
‫סה"כ ההצטמקות בתו ‪ 475‬ימי תהיה לפי )‪:(21.1‬‬
‫‪εsh (475) = − ( 31.35 + 4.44) 10−5 = − 35.79 10−5‬‬
‫ג‪.‬זחילה‬
‫העומס הופעל בגיל ‪ 110‬ימי וגר לעיבור אלסטי ‪ .‬השטח שווה הער של החת הינו‬
‫‪200000‬‬
‫(‪Aeq = 4002 + 3920‬‬
‫‪− 1) = 183880mm 2‬‬
‫‪28200‬‬
‫‪1000000‬‬
‫)בהנחת הידבקות מלאה(‪:‬‬
‫לכ המאמ‪ /‬בבטו הינו‪:‬‬
‫= ‪σc‬‬
‫‪= − 5.44MPa‬‬
‫‪183880‬‬
‫‪9‬‬
‫‪200000‬‬
‫המאמ‪ /‬בפלדה הינו‪:‬‬
‫‪= −38.58MPa‬‬
‫‪28200‬‬
‫העיבור האלסטי המשות& לפלדה ולבטו )כתנאי פתיחה(‪:‬‬
‫‪5.44‬‬
‫אנחנו נניח כי יכולה להתפתח זחילה ליניארית‪.‬‬
‫‪εc = εs = −‬‬
‫‪= −19.3 10− 5‬‬
‫‪28200‬‬
‫מקד הזחילה הבסיסי הינו לפי נוסחה )‪: (21.12‬‬
‫‪σs = −5.44‬‬
‫) ‪ ϕ0 = ϕ RH β(fcm ) β(t 0‬ועבורו נזדקק ל‪β(fcm ) = 16.8 /(0.7 48)0.5 = 2.90 :‬‬
‫‪1 − 25 / 100‬‬
‫יהיה‪:‬‬
‫‪ϕ RH = [1 +‬‬
‫‪] = 2.285‬‬
‫המקד ‪ϕ RH‬‬
‫‪13‬‬
‫‪0 .1 h 0‬‬
‫אמנ ‪ β‬מוגדר לפי נוסחה )‪ (21.15‬אבל נצטר לעשות התאמות לזמ ‪ t‬באופ‬
‫‪0‬‬
‫‪t0‬‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫הטמפרטורה לאור הזמ לא היתה ‪ 20 C‬ומידת הטמפרטורה השפיעה על זמ‬
‫ההתחלה אשר לא יהיה ‪ 0‬ימי‪ .‬העומס הופעל ב גיל ‪ 110‬ימי אול גיל הבטו במועד‬
‫זה לא יהיה ‪ 110‬ימי אלא בוגר יותר מאחר ו"צמח" בטמפרטורה גבוהה מ ‪ . 200C‬לפי‬
‫נוסחה )‪ (21.20‬נערי את התקדמות הזמ והוא יתפרס כ‪:‬‬
‫‪4000‬‬
‫‪4000‬‬
‫)‪−13.65‬‬
‫(‪−‬‬
‫)‪−13.65‬‬
‫‪273+ 25‬‬
‫‪273‬‬
‫‪+ 30‬‬
‫‪+ 90 e‬‬
‫‪= 20 1.255 + 90 1.566 = 166‬‬
‫(‪−‬‬
‫‪t T = 20 e‬‬
‫משמעות הדבר היא כי עקב הטמפרטורה הגבוהה מ ‪ 200‬נית להניח זמ התחלה‬
‫מבחינת גיל הבטו כ ‪ 166‬ימי‪.‬‬
‫אבל הצמנט מסוג ‪ S‬גור לעיכוב בהתפתחות הגיל של הבטו ואת זה נקבל מתו‬
‫)‪:(21.21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫[ ‪ t = 166‬ואז‪:‬‬
‫= )‪β(475‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪348‬‬
‫‪+ 1]−1 = 163‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 .2‬‬
‫‪1 .2‬‬
‫) ‪(0.1 + 163‬‬
‫‪2 + 166‬‬
‫הצמנט האיטי גור להאטה הבאה לבטוי ב ‪ 3‬ימי‪ .‬עד פה תיאו הזמ ‪. t‬‬
‫‪0‬‬
‫כעת אפשר לחשב את ‪: ϕ0‬‬
‫‪ϕ0 = 2.285 2.90 0.348 = 2.31‬‬
‫להשלמת החישוב דרוש ‪ β‬ולפני זה ‪: β‬‬
‫‪H‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ β = 1.5 [1 + (0.012 25)18 ] 200 + 250 = 550‬בחישוב ‪ β‬אי תיאו זמני‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪H‬‬
‫)‪(475 − 110‬‬
‫[ = )‪β c (475,110‬‬
‫‪]0.3 = 0.759‬‬
‫‪(475 − 110) + 550‬‬
‫‪ϕ(475,110) = 2.31 0.759 = 1.753‬‬
‫ועכשו עיבור הזחילה יהיה‪:‬‬
‫‪εcc (475,110) = −1.753 19.31 10−5 = −33.83 10−5‬‬
‫‪10‬‬
‫סכו העיבורי – אלסטי וזחילה יהיה‪:‬‬
‫‪εc + ε cc = − (1 + 1.753) 19.31 10−5 = −53.16 10 −5‬‬
‫הערה‪ :‬בזה לא ניגמר החישוב בשלב זה ובשלבי הקודמי לו‪ .‬נצטר להביא בחשבו‬
‫כי הבטו אינו מופרד מהפלדה ויש אינטראקציה ביניה באמצעות ההידבקות‪.‬‬
‫‪ .4‬התקופה בי ‪ 0‬ימי לבי ‪ 2300‬ימי‬
‫עבור תקופה זו יש לחשב‪:‬‬
‫א‪.‬הצטמקות עקב התקשות בי ‪ 0‬ל ‪ 2300‬ימי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הצטמקות עקב התייבשות בי ‪ 20‬ל ‪ 2300‬ימי‪.‬‬
‫ג‪ .‬עיבור אלסטי וזחילה בי ‪ 110‬ל ‪ 2300‬ימי בהשפעת ‪ 1000‬ק"נ‪.‬‬
‫ד‪ .‬עיבור אלסטי וזחילה בי ‪ 475‬ל ‪ 2300‬ימי שכ ב‪ 475‬יו התוס& עומס ‪ 2000‬ק"נ‪.‬‬
‫כא אי אפשר לאחד את חישוב הזחילה עבור שני הכוחות ‪ 1000‬ו ‪ 2000‬קנ'‪ ,‬לעומת זאת‬
‫אפשר להפריד אותו מאחר וכל עיבור זחילה‪ ,‬ידוע מה מקורו והוא כופל את המרכיב‬
‫האלסטי הנוצר רק בגי העומס שגר להיווצרותו‪.‬‬
‫א‪ .‬הצטמקות עקב התקשות‬
‫החישוב הקוד יחזור במלואו ע שנוי במועד האחרו במקו ‪:475‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪εca ( 2300) = − 45 10− 6 (1 − e− ( 0.2 2300 ) ) = − 45 10 − 6 0.99999 = − 4.5 10− 5‬‬
‫בשי לב לאי דיוק המובנה בחישובי מסוג זה נית לראות כי מרכיב זה של‬
‫ההצטמקות סיי את התפתחותו מזמ‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההצטמקות עקב התייבשות‬
‫בנושא של הלחות היחסית השונה בשני פרקי זמ שוני‪ :‬בי ‪ 20‬ל ‪ 110‬ימי הלחות‬
‫היחסית ‪ 30%‬ואילו בי ‪ 110‬ל ‪ 2300‬ימי הלחות היחסית ‪ ,25%‬דנו בשלב הקוד ולכ‬
‫נמשי לערו את החישוב ע לחות יחסית של ‪ 25%‬לפי המנומק ש‪.‬‬
‫כמו בתקופה השלישית‬
‫‪εcd,0 = − 46.06 10−5‬‬
‫אול כא‪= 0.953 :‬‬
‫)‪( 2300 − 20‬‬
‫‪32‬‬
‫‪( 2300 − 20) + 0.04 200‬‬
‫וההצטמקות עקב התייבשות תהיה‪:‬‬
‫= )‪β ds ( 2300,20‬‬
‫‪εcd ( 2300) = − 46.06 10−5 0.85 0.953 = − 37.31 10−5‬‬
‫סה"כ ההצטמקות בתו ‪ 2300‬ימי תהיה לפי )‪:(21.1‬‬
‫‪εsh (110) = − ( 37.31 + 4.5) 10−5 = − 41.81 10−5‬‬
‫ג‪ .‬עיבור אלסטי וזחילה בי ‪ 110‬ל ‪ 2300‬ימי בהשפעת ‪ 1000‬ק"נ‪.‬‬
‫חישוב זה יהיה זהה לחישוב אשר בתקופה השלישית ורק במקו ‪ 475‬ימי יירש‬
‫‪ 2300‬ימי‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫ולעיבור‬
‫העומס כזכור הופעל בגיל ‪ 110‬ימי וגר מאמ‪ /‬בבטו‬
‫‪σc = − 5.44MPa‬‬
‫‪ .‬נמשי להניח התפתחות זחילה‬
‫אלסטי בבטו ובפלדה‬
‫‪εc = εs = −19.3 10−5‬‬
‫ליניארית‪ .‬אי לכ‪:‬‬
‫ימי ‪ t T = 166‬ימי ‪β H = 550 ϕ 0 = 2.31 β(110) = 0.348 t 0 = 163‬‬
‫)‪( 2300 − 110‬‬
‫אבל‬
‫[ = )‪β c ( 2300,110‬‬
‫‪]0.3 = 0.935‬‬
‫‪( 2300 − 110) + 550‬‬
‫ואז‬
‫‪ϕ( 2300,110) = 2.31 0.935 = 2.16‬‬
‫העיבור עקב זחילה יהיה ‪:‬‬
‫‪εcc ( 2300,110) = −2.16 19.31 10 −5 = −41.71 10 −5‬‬
‫סכו העיבורי – אלסטי וזחילה )בגי ‪ 1000‬קנ'( יהיה‪:‬‬
‫‪ε c + ε cc = − (1 + 2.16) 19.31 10−5 = −61.02 10−5‬‬
‫ד‪ .‬עיבור אלסטי וזחילה בי ‪ 475‬ל ‪ 2300‬ימי‬
‫ב‪ 475‬יו התווס& עומס ‪ 2000‬ק"נ‪.‬‬
‫עומס זה‪ ,‬בניגוד לעומס של ‪ 1000‬ק"נ מופעל מגיל ‪ 475‬ימי ויש לערו עבורו חישוב‬
‫ניפרד‪ ,‬המבטא בחשבו את היו בו הוא מופעל ושיערו מחודש של יו ההפעלה בשי‬
‫לב לשנויי הטמפרטורה עד לאותה התקופה וכ לסוג הצמנט‪.‬‬
‫העומס גר למאמ‪ /‬בבטו‬
‫ולעיבור אלסטי בבטו ובפלדה‬
‫‪σ c = − 10.88MPa‬‬
‫)בהנחת הידבקות מלאה(‪.‬‬
‫‪ε c = ε s = −38.62 10−5‬‬
‫שוב שני מרכיבי במקד הזחילה הבסיסי‬
‫) ‪ ϕ0 = ϕ RH β(fcm ) β(t 0‬נשארי אבל‬
‫יש לעשות הערכה מחודשת‪.‬‬
‫עבור ‪β t 0‬‬
‫‪= 20 1.255 + 90 1.566 + 365 1.255 = 624‬‬
‫)‪−13.65‬‬
‫‪4000‬‬
‫(‪−‬‬
‫‪+ 365 e 273 + 25‬‬
‫)‪−13.65‬‬
‫‪4000‬‬
‫(‪−‬‬
‫‪+ 90 e 273 + 30‬‬
‫) ‪−13.65‬‬
‫‪4000‬‬
‫(‪−‬‬
‫‪t T = 20 e 273 + 25‬‬
‫כלומר‪ :‬הטמפרטורה העודפת "קידמה" את גיל הבטו )ובאופ כזה תשפיע על הקטנת‬
‫מש זמ הזחילה(‪.‬‬
‫העיכוב עקב סוג הצמנט )מסוג ‪ ( S‬יהיה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫= )‪β( 2300‬‬
‫[ ‪ t 0 = 624‬ואז‪= 0.269 :‬‬
‫‪+ 1]−1 = 621.5‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪1.2‬‬
‫) ‪(0.1 + 622‬‬
‫‪2 + 624‬‬
‫קט הפע‬
‫‪ .‬נית לראות כי‬
‫כעת נחשב שוב את‬
‫‪ϕ0‬‬
‫‪ϕ 0 = 2.285 2.90 0.269 = 1.783‬‬
‫לעומת ערכו המקביל כאשר הועמס העומס של ‪ 1000‬ק"נ וזה מפני שהבטו בוגר יותר ‪,‬‬
‫מאחר וזמ ההעמסה לעומת העמסת ה ‪ 1000‬ק"נ התרחק מיו יציקת הבטו הזה ועל‬
‫כ יש הקלה בזחילה‪.‬‬
‫)‪( 2300 − 475‬‬
‫[ = )‪β c ( 2300,475‬‬
‫‪]0.3 = 0.924‬‬
‫‪( 2300 − 110) + 550‬‬
‫ועכשו עיבור הזחילה יהיה‪:‬‬
‫‪ϕ( 2300,475) = 1.783 0.924 = 1.648‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ε cc ( 2300,475) = −1.648 38.62 10−5 = − 63.65 10−5‬‬
‫העיבור הכולל – אלסטי ‪ +‬זחילה הינו )רק עקב ה ‪ 2000‬ק"נ(‪:‬‬
‫‪ε c + ε cc = − (1 + 1.648) 38.62 10−5 = −102.27 10−5‬‬
‫הערה‪ :‬שוב‪ ,‬בזה לא ניגמר החישוב בשלב זה ובשלבי הקודמי לו‪ .‬נצטר להביא‬
‫בחשבו כי הבטו אינו מופרד מהפלדה ויש אינטראקציה ביניה באמצעות‬
‫ההידבקות‪.‬‬
‫‪ .5‬התקופה בי ‪ 0‬ימי לבי ‪ 11425‬ימי‬
‫עבור תקופה זו יש לחשב‪:‬‬
‫א‪.‬הצטמקות עקב התקשות בי ‪ 0‬ל ‪ 11425‬ימי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הצטמקות עקב התייבשות בי ‪ 20‬ל ‪ 11425‬ימי‪.‬‬
‫ג‪ .‬עיבור אלסטי וזחילה בי ‪ 110‬ל ‪ 11425‬ימי בהשפעת ‪ 1000‬ק"נ שנוס& בגיל ‪110‬‬
‫ימי‬
‫ד‪ .‬עיבור אלסטי וזחילה בי ‪ 475‬ל ‪ 11425‬ימי בגי העומס ‪ 2000‬ק"נ שנוס& בגיל ‪475‬‬
‫ימי‬
‫כמו קוד בתקופה ‪ 4‬נפריד את חישוב הזחילה עבור שני הכוחות ‪ 1000‬ו ‪ 2000‬קנ'‪.‬‬
‫א‪.‬הצטמקות עקב התקשות בי ‪ 0‬ל ‪ 11425‬ימי‪.‬‬
‫ראינו כי זו התייצבה כבר בתקופה ‪ 4‬לכ לא נחשב מחדש‪:‬‬
‫‪ε ca (11425) = − 4.5 10−5‬‬
‫ב‪ .‬הצטמקות עקב התייבשות בי ‪ 20‬ל ‪ 11425‬ימי‪.‬‬
‫כמו בתקופה הרביעית נמשי לערו את החישוב ע לחות יחסית של ‪ 25%‬לפי‬
‫המנומק ש‪.‬‬
‫כמו בתקופה השלישית והרביעית‪:‬‬
‫‪εcd,0 = − 46.06 10−5‬‬
‫נחשב א כי ברור שההבדל בי תקופה זו לתקופה ‪ 4‬יהיה קט ‪:‬‬
‫)‪(11425 − 20‬‬
‫= )‪β ds (11425,20‬‬
‫‪= 0.990‬‬
‫‪(11425 − 20) + 0.04 2003 2‬‬
‫וההצטמקות עקב התייבשות תהיה‪:‬‬
‫‪εcd (11425) = − 46.06 10−5 0.85 0.990 = − 38.77 10−5‬‬
‫סה"כ ההצטמקות בתו ‪ 11425‬ימי תהיה לפי )‪:(21.1‬‬
‫‪ε sh (11425) = − ( 38.77 + 4.5) 10 −5 = − 43.27 10 −5‬‬
‫ג‪ .‬עיבור אלסטי וזחילה בי ‪ 110‬ל ‪ 11425‬ימי בהשפעת ‪ 1000‬ק"נ‬
‫ג כא החישוב זה יהיה זהה לחישוב אשר בתקופה השלישית ורק במקו ‪ 475‬ימי‬
‫יירש ‪ 11425‬ימי‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫ולעיבור‬
‫העומס כזכור הופעל בגיל ‪ 110‬ימי וגר מאמ‪ /‬בבטו‬
‫‪σc = − 5.44MPa‬‬
‫‪ .‬נמשי להניח התפתחות זחילה‬
‫אלסטי בבטו ובפלדה‬
‫‪εc = εs = −19.3 10−5‬‬
‫ליניארית‪.‬‬
‫שוב לפי החישוב המקביל מהתקופה השלישית בהבדל – התקופה כעת מתמשכת עד‬
‫‪ 11425‬ימי אי לכ‪:‬‬
‫ימי ‪ t T = 166‬ימי ‪β H = 550 ϕ 0 = 2.31 β(110) = 0.348 t 0 = 163‬‬
‫)‪(11425 − 110‬‬
‫אול‬
‫[ = )‪β c (11425,110‬‬
‫‪]0.3 = 0.986‬‬
‫‪(11425 − 110) + 550‬‬
‫ואז‬
‫‪ϕ(11425,110) = 2.31 0.986 = 2.28‬‬
‫העיבור עקב זחילה יהיה ‪ε cc (11425,110) = −2.28 19.31 10−5 = −43.98 10−5 :‬‬
‫סכו העיבורי – אלסטי וזחילה יהיה‪:‬‬
‫‪ε c + ε cc = − (1 + 2.28) 19.31 10−5 = −63.34 10−5‬‬
‫ד‪ .‬עיבור אלסטי וזחילה בי ‪ 475‬ל ‪ 11425‬ימי בגי העומס ‪ 2000‬ק"נ‬
‫עומס זה נוס& בגיל ‪ 475‬ימי‪.‬‬
‫בהמש ולפי התקופה הרביעית ‪:‬‬
‫כל הערכי הבסיסיי כבר חושבו ויש רק להביא בחשבו את המועד האחרו – ‪11425‬‬
‫ימי‪.‬‬
‫ולעיבור אלסטי בבטו ובפלדה‬
‫העומס גר מאמ‪) /‬נוס&( בבטו‬
‫‪σ c = − 10.88MPa‬‬
‫)בהנחת הידבקות מלאה(‪.‬‬
‫‪ε c = ε s = −38.62 10−5‬‬
‫מועד ההתחלה כבר מתוא ולכ‪:‬‬
‫‪ϕ 0 = ϕ RH β(fcm ) β(t 0 ) = 1.783‬‬
‫)‪(11425 − 475‬‬
‫[ = )‪β c (11425,475‬‬
‫‪]0.3 = 0.985‬‬
‫‪(11425 − 475) + 550‬‬
‫ועכשו עיבור הזחילה יהיה‪:‬‬
‫‪ϕ(11425,475) = 1.783 0.985 = 1.756‬‬
‫‪ε cc (11425,475) = −1.756 38.62 10−5 = − 67.82 10−5‬‬
‫העיבור הכולל – אלסטי ‪ +‬זחילה הינו‪:‬‬
‫‪ε c + ε cc = − (1 + 1.756) 38.62 10−5 = −106.44 10−5‬‬
‫חישוב המאמצי במוטות הזיו ובבטו בשלבי השוני‬
‫לאור החישוב הנחנו שכל המאמצי והעיבורי המתפתחי בבטו ה בלתי תלויי‬
‫בפלדה והנחה זו יש לתק כעת‪ .‬מצד שני ‪ ,‬לצור קביעת המאמצי‪/‬עיבורי אלסטיי‬
‫בבטו ובפלדה‪ ,‬הנחנו הידבקות מושלמת‪ .‬שתי הנחות אלו לא יכולות לדור ביחד שכ‬
‫אי קומפטיביליות בחת‪ .‬בתיקוני אלה יעסוק סעי& זה מתו פתרו הבעיה‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ .1‬התקופה ‪ 20 – 0‬ימי‬
‫העיבורי בתקופה זה זניחי מאחר והיתה לחות יחסית ‪ 100%‬ולא היה עומס‪ .‬עבור‬
‫תקופה זו לא נחשב מאמצי א כי מה שקורה בה לא יוזנח אלא יבוא לבטוי בתקופות‬
‫הבאות‪.‬‬
‫‪ .2‬התקופה ‪ 110 – 0‬ימי‬
‫לא יה עומס חיצוני‪ .‬לא היתה זחילה‪ .‬סה"כ העיבורי בבטו היו כתוצאה מהצטמקות‬
‫וה היו ‪ . εsh = -21.08 10-5‬כמודל חישובי אפשר להניח הפרדה בי הבטו לפלדה‪.‬‬
‫בפלדה לא היו שו כוחות ולכ שו מאמצי ולא עיבורי‪ .‬הבטו התקצר לעומת‬
‫הפלדה ב ‪ ∆c = -21.08 10-5 L‬כאשר ‪ L‬אור המוט‪ .‬מיד נראה כי מאחר ומדובר‬
‫בכוחות פנימיי לאור המוט ‪ L‬אי השפעה על החישוב‪.‬‬
‫נניח כעת קיו כוח פנימי ‪ P‬אשר גור למתיחה בבטו ויוצר בו התארכות ‪ ∆lc‬ואותו‬
‫הכוח מפעיל לחיצה על מוטות הפלדה וגור להתקצרות ‪ . ∆ls 4‬מטרת הפעלת הכוח‬
‫הפנימי לגרו לכ שתיווצר קומפטיביליות בחת וביטול ההפרדה המלאכותית אשר‬
‫הנחנו לצור קיו המודל )ראה ציור ‪.(21.1‬‬
‫ציור ‪21.1‬‬
‫‪PL‬‬
‫‪PL‬‬
‫= ‪∆lc‬‬
‫‪As Es‬‬
‫‪Ac Ec‬‬
‫פתרו המשואה הזאת נות‪σc=+0.98MPa P = 153639 N :‬‬
‫= ‪∆ls‬‬
‫‪∆lc + ∆ls = ∆c‬‬
‫‪σs = -39.19MPa‬‬
‫‪ .3‬התקופה ‪ 475 – 0‬ימי‬
‫בתקופה זו יש הצטמקות ויש זחילה‪.‬‬
‫עבור חישוב הזחילה חישבנו את המאמצי ואת העיבורי האלסטיי‪ .‬לצור אלה‬
‫הנחנו חת שווה ער‪ ,‬אי לכ אלה לא יובאו בחישוב הבא אלא יצורפו לתוצאות‬
‫החישוב‪.‬‬
‫נניח שוב מודל של הפרדה מוחלטת בי הבטו והפלדה‪ ,‬כאשר העיבורי עקב הזחילה‬
‫והעיבורי עקב ההצטמקות גורמי להתקצרות הבטו לעומת הפלדה‪.‬‬
‫תוצאות החישוב בסו& תקופה זו היו‪:‬‬
‫‪εcc = − 33.83 10−5 εsh = − 35.79 10−5‬‬
‫וביחד‪:‬‬
‫‪εcc + εsh = − 33.83 10−5 − 35.79 10 −5 = −69.62 10−5‬‬
‫התקצרות הבטו לעומת הפלדה היתה ‪. ∆c = -69.62 10-5 L‬‬
‫‪15‬‬
‫נניח שקיי כוח פנימי ‪ P‬אשר גור למתיחה בבטו ולחיצה בפלדה עד להשגת‬
‫קומפטיביליות בחת אשר משמעה כי התארכות ‪ ∆lc‬של הבטו והתקצרות מוטות‬
‫הפלדה ‪ ∆ls 4‬תהיה שווה ל ‪ – ∆c‬התקצרות הבטו עקב זחילה והצטמקות )ציור ‪.(21.1‬‬
‫‪PL‬‬
‫שוב ‪P L :‬‬
‫= ‪∆lc‬‬
‫= ‪∆lc + ∆ls = ∆c = 69.62 10−5 ∆ls‬‬
‫‪As Es‬‬
‫‪Ac Ec‬‬
‫הפע‪P=463.3 kN :‬‬
‫המאמצי עקב הכוח הפנימי‪:‬‬
‫‪σc= +2.97 MPa‬‬
‫‪σs = -118.19 MPa‬‬
‫המאמצי עקב ‪ 1000‬קנ'‪:‬‬
‫‪σc = - 5.44 MPa‬‬
‫‪σs = - 38.58 MPa‬‬
‫סה"כ המאמצי‪:‬‬
‫‪σc= -2.47 MPa‬‬
‫‪σs = -156.77 MPa‬‬
‫‪ .4‬התקופה מ ‪ 2300 – 0‬ימי‬
‫בתקופה זו יש הצטמקות ויש זחילה‪.‬‬
‫עבור חישוב הזחילה חישבנו את המאמצי ואת העיבורי האלסטיי‪ .‬לצור אלה‬
‫כמו קוד‪ ,‬הנחנו חת שווה ער‪ ,‬אי לכ אלה לא יובאו בחישוב הבא אלא יצורפו‬
‫לתוצאות החישוב‪.‬‬
‫כמו בתקופה השלישית נניח שוב מודל של הפרדה מוחלטת בי הבטו והפלדה‪ ,‬כאשר‬
‫העיבורי עקב הזחילה והעיבורי עקב ההצטמקות גורמי להתקצרות הבטו לעומת‬
‫הפלדה‪.‬‬
‫תוצאות החישוב בסו& תקופה זו היו‪:‬‬
‫‪εsh = − 41.81 10 −5‬‬
‫זחילה עקב ‪ 1000‬קנ'‬
‫‪εcc = − 41.71 10−5‬‬
‫זחילה עקב ‪ 2000‬קנ'‬
‫‪εcc = − 63.65 10−5‬‬
‫סה"כ עיבורי לאיזו‬
‫‪Σε = − 147.17 10−5‬‬
‫העיבורי הנ"ל‪ ,‬כמו בחישוב בתקופה השלישית ‪ ,‬ה העיבורי הלא מאוזני‪.‬‬
‫נניח כי הבטו מתקצר לעומת הפלדה ב ‪.∆c = -147.17 10-5 L‬‬
‫נניח כוח פנימי ‪) P‬ראה תקופה ‪ (3‬הגור למתיחה בבטו והתארכות ‪ ∆lc‬של הבטו‬
‫נקבל ‪:‬‬
‫ובמקביל גור להתקצרות בפלדה ‪ .∆ls 4‬מאחר ו‬
‫‪∆lc + ∆ls = ∆c‬‬
‫‪PL‬‬
‫‪ P L‬ובעקבות כ ‪. P = 979.38 kN‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= 147.17 10− 5 L‬‬
‫‪Ac Ec As Es‬‬
‫המאמצי הפנימיי המתעוררי‬
‫‪σs = -247.84 MPa σc= +6.27 MPa‬‬
‫עקב הכוחות הפנימיי ה‪:‬‬
‫המאמצי בחת עקב העומס ‪ 1000‬קנ' ‪σs = - 38.58 MPa σc= -5.44 MPa‬‬
‫המאמצי בחת עקב העומס ‪ 2000‬קנ'‬
‫‪σc= -10.88 MPa‬‬
‫‪σs = - 77.16 MPa‬‬
‫סה"כ המאמצי בתו התקופה ‪4‬‬
‫‪ .5‬התקופה מ ‪ 11425 – 0‬ימי‬
‫‪σc= -10.05 MPa‬‬
‫‪σs = - 363.58 MPa‬‬
‫‪16‬‬
‫בתקופה זו יש הצטמקות ויש זחילה‪.‬‬
‫עבור חישוב הזחילה חישבנו את המאמצי ואת העיבורי האלסטיי‪ .‬לצור אלה‬
‫כמו קוד‪ ,‬הנחנו חת שווה ער‪ ,‬אי לכ אלה לא יובאו בחישוב הבא אלא יצורפו‬
‫לתוצאות החישוב‪.‬‬
‫תוצאות החישוב בסו& תקופה זו היו‪:‬‬
‫‪εsh = − 43.27 10−5‬‬
‫זחילה עקב ‪ 1000‬קנ'‬
‫‪εcc = − 43.98 10−5‬‬
‫זחילה עקב ‪ 2000‬קנ'‬
‫‪εcc = − 67.82 10−5‬‬
‫סה"כ עיבורי לאיזו‬
‫‪Σε = − 155.07 10−5‬‬
‫העיבורי הנ"ל‪ ,‬כמו בחישוב בתקופה השלישית ‪ ,‬ה העיבורי הלא מאוזני‪.‬‬
‫נניח כי הבטו מתקצר לעומת הפלדה ב ‪.∆c = -155.07 10-5 L‬‬
‫נניח כוח פנימי ‪) P‬ראה תקופה ‪ (3‬הגור למתיחה בבטו והתארכות ‪ ∆lc‬של הבטו‬
‫ובמקביל גור להתקצרות בפלדה ‪ .∆ls 4‬מאחר ו ‪ ∆lc + ∆ls = ∆c‬נקבל ‪:‬‬
‫‪PL‬‬
‫‪ P L‬ובעקבות כ ‪. P = 1031.95 kN‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= 155.07 10− 5 L‬‬
‫‪Ac Ec As Es‬‬
‫המאמצי הפנימיי המתעוררי‬
‫‪σs = -263.25 MPa σc= +6.61 MPa‬‬
‫עקב הכוחות הפנימיי ה‪:‬‬
‫המאמצי בחת עקב העומס ‪ 1000‬קנ' ‪σs = - 38.58 MPa σc= -5.44 MPa‬‬
‫המאמצי בחת עקב העומס ‪ 2000‬קנ'‬
‫‪σc= -10.88 MPa‬‬
‫‪σs = - 77.16 MPa‬‬
‫סה"כ המאמצי בתו התקופה ‪: 5‬‬
‫‪σc= -9.71 MPa‬‬
‫‪σs = - 378.99 MPa‬‬
‫סיכו‬
‫נית לראות בתרגיל ארו זה את כל שלבי החישוב לזמ ארו –זחילה והצטמקות‪.‬‬
‫אפשר להיווכח כי ההצטמקות והזחילה גורמי למאמצי פנימיי גבוהי ביותר‬
‫בחת‪ .‬נית לראות כי התהלי המנוסח ב ‪ EC2‬עובד מצוי ובכל שלב מוכח ההגיו‬
‫והרציו מאחורי כוונותיו‪.‬‬
‫בחישוב זה לא הובאה בחשבו רלקסציה במאמצי בפלדה‪ .‬היא לא הובאה בחשבו‬
‫מתו חוסר מידע מספיק אול ג מתו הכרה ברורה שא בפלדה לבטו דרו היא‬
‫קטנה הרי שבפלדה לבטו מזוי רגיל היא תהיה עוד יותר קטנה )אחוזי בודדי א‬
‫בכלל(‪.‬‬
‫יש מרכיב אחד שנותר עלו והוא הא יש רלקסציה או הפסדי מאמצי בהידבקות‪,‬‬
‫דבר אשר יגרו לשנויי במער המאמצי שהוצגו כא‪.‬‬
‫‪17‬‬