‫תחרות בין מעטים‬
‫ברטראנד‪ ,‬קורנו )שוב ‪(...‬‬
‫תחרות מונופוליסטית‬
‫עקומת ביקוש שבורה‬
‫תחרות מיקום‪-‬מחיר‬
‫הוטלינג )קו ישר(‬
‫סאלופ )מעגל(‬
‫‪1‬‬
Joseph Louis Francois Bertrand,
1822-1900
2
‫מודל ברטראנד‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫תיאור הסביבה )ההנחות(‬
‫מושג הפתרון‬
‫חישוב הפתרון‬
‫השוואה לתחרות‪ ,‬למונופול ולקורנו‬
‫סטאטיקה השוואתית‬
‫‪3‬‬
‫מודל ברטראנד ‪ -‬הנחות‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מודל חד תקופתי‬
‫מוצר הומוגני‬
‫הפירמות מתחרות על ידי בחירת מחירים‬
‫בחירת המחירים נעשית באופן סימולטאני‬
‫הפירמות תצענה כל כמות שתבוקש מהן‪ ,‬במקרה של מחיר שווה‪ ,‬הכמות‬
‫המבוקשת מתחלקת שווה בשווה בין הפירמות הקובעות מחיר זה‪.‬‬
‫לפירמות ולצרכנים אינפורמציה מלאה על הביקוש‪ ,‬מבנה ההוצאות של כל‬
‫הפירמות האחרות והמחירים הנקבעים‪.‬‬
‫אין כניסה או יציאה מהענף‪.‬‬
‫כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה למחירים אותן בוחרות הפירמות‬
‫האחרות כקבועים‪.‬‬
‫לעיתים אומרים כי כל פירמה ממקסמת את רווחיה תחת הנחה כי המחיר בו‬
‫תבחר אינה משפיעה על המחירים אותם יבחרו הפירמות האחרות ) ‪Zero‬‬
‫‪.(Conjectural Variation‬‬
‫‪4‬‬
‫מודל ברטראנד – שתי פירמות עם‬
‫עלות שולית קבועה וזהה‬
‫הנתונים‬
‫• פונקציית הביקוש – )‪Q=D(P‬‬
‫• פונקציית ההוצאות של כל פירמה‪:‬‬
‫‪ C1(q1)=cq1‬ו – ‪C2(q2)=cq2‬‬
‫‪5‬‬
‫תאור הביקוש במודל ברטראנד‬
‫• מהו הכמות המבוקשת מכל פירמה?‬
‫• תלוי ‪...‬‬
‫– אם המחיר שלה נמוך ממחיר המתחרה‪ ,‬הכמות המבוקשת‬
‫זה‪..‬‬
‫הינה הכמות הכוללת המבוקשת במחיר זה‬
‫– אם המחיר שלה שווה למחיר המתחרה‪ ,‬הכמות המבוקשת הינה‬
‫מחצית מהכמות הכוללת המבוקשת במחיר זה‪.‬‬
‫– אם המחיר שלה גבוה ממחיר המתחרה הכמות המבוקשת הינה‬
‫אפס‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫תאור אלגברי של הביקוש והרווח‬
‫‪p1 < p2‬‬
‫‪p1 = p2‬‬
‫‪p1 > p2‬‬
‫) ‪ D( p1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪D1 ( p1 , p2 ) =  D( p1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P1 < P2‬‬
‫) ‪( p1 − c) D( p1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪Π1 ( p1 , p2 ) =  ( p1 − c) D ( p1 ) p1 = p2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p1 > p2‬‬
‫‪0‬‬
‫באופן דומה מתארים את הביקוש והרווח אותם רואה‬
‫הפירמה השנייה‪.‬‬
‫כל פירמה מתייחסת למחיר אותו בוחרת הפירמה‬
‫האחרת כקבוע וממקסמת את רווחיה‪.‬‬
‫שימו לב כי הביקוש‪ ,‬ולכן גם הרווח‪ ,‬אינם רציפים‬
‫במחירים‪.‬‬
‫כדי לפתור לא נוכל "לגזור ולהשוות לאפס"‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫מודל ברטראנד ‪ -‬שתי פירמות‬
‫פתרון )שיווי משקל(‬
‫• יש למצוא‬
‫– זוג מחירים ‪ p*1‬ו‪ p*2 -‬כך ש‪-‬‬
‫• ‪ p*1‬ממקסם את רווחי פירמה ‪ 1‬בהינתן שפירמה ‪ 2‬בחרה‬
‫מחיר ‪ p*2‬ו‪-‬‬
‫• ‪ p*2‬ממקסם את רווחי פירמה ‪ 1‬בהינתן שפירמה ‪ 2‬בחרה‬
‫מחיר ‪p*1‬‬
‫‪8‬‬
‫בצורה פורמאלית‪...‬‬
‫• פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי זוג מחירים‪ p*1 ,‬ו‪p*2 -‬‬
‫המקיים‪:‬‬
‫‪π 1 ( p , p ) ≥ π 1 ( p1 , p ) ∀p1‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫‪π 2 ( p , p ) ≥ π 2 ( p , p2 ) ∀p 2‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫פתרון )שיווי משקל( במודל ברטראנד‬
‫• במודל זה קיים שיווי משקל יחיד‪.‬‬
‫• בשיווי משקל זה כל פירמה קובעת מחיר השווה לעלות השולית‪.‬‬
‫• לאור זאת‪ ,‬כל פירמה תרוויח אפס ותייצר מחצית מהכמות‬
‫המבוקשת‪.‬‬
‫• תוצאה זו זהה לתוצאה המתקבלת בתחרות משוכללת‪.‬‬
‫• שתי פירמות מספיקות לשכפול התוצאה התחרותית )ידוע כפרדוקס‬
‫ברטראנד(‪.‬‬
‫• כמובן שזה מתקבל תחת הנחות די חזקות ונחזור לכך בהמשך‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫הוכחה‬
‫אנו רוצים להראות שישנו שיווי משקל יחיד בו כל פירמה קובעת מחיר‬
‫השווה לעלות השולית שלה‪.‬‬
‫ראשית נראה כי צרוף המחירים ‪ P1=P2=c‬מהווה שיווי משקל‪.‬‬
‫כלומר צריך להראות כי‪:‬‬
‫‪π 1 (c, c) ≥ π 1 ( p1 , c) ∀ p1‬‬
‫‪π 2 (c, c) ≥ π 2 (c, p2 ) ∀p 2‬‬
‫‪11‬‬
‫הוכחה‬
‫נסתכל על פירמה ‪ .1‬בהנחה שפירמה ‪ 2‬קובעת מחיר השווה ל – ‪,c‬‬
‫אזי הרווח של פירמה ‪ ,1‬אם תקבע מחיר ‪ c‬הינו אפס‪.‬‬
‫אם פירמה ‪ 1‬תקבע מחיר גבוה מ – ‪ ,c‬היא עדיין תרוויח אפס‪ ,‬מאחר‬
‫ותראה ביקוש של אפס‪.‬‬
‫אם פירמה ‪ 1‬תקבע מחיר נמוך מ – ‪ ,c‬היא תפסיד מאחר ותמכור‬
‫במחיר הנמוך מההוצאה הממוצעת שלה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬בהינתן שפירמה ‪ 2‬בחרה מחיר ‪ ,c‬בחירה של מחיר ‪ c‬על ידי‬
‫פירמה ‪ 1‬ממקסמת את רווחיה של פירמה ‪.1‬‬
‫באותו אופן‪ ,‬בהינתן שפירמה ‪ 1‬בחרה מחיר ‪ ,c‬בחירה של מחיר ‪ c‬על‬
‫ידי פירמה ‪ 2‬ממקסמת את רווחיה של פירמה ‪.2‬‬
‫כלומר‪ ,‬צרוף המחירים ‪ p1=p2=c‬מהווה שיווי משקל‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫הוכחה‬
‫כעת נראה שעבור כל זוג מחירים )‪ ,(p1,p2‬כאשר לפחות‬
‫אחד מהם שונה מ – ‪ ,c‬ישנה לפחות פירמה אחת שיכולה‬
‫להגדיל את רווחיה על ידי שינוי המחיר אותו היא קובעת‪.‬‬
‫יש לבדוק מספר מקרים‪:‬‬
‫– ‪ pi¥pj>c‬פירמה ‪ i‬יכולה לתמחר מתחת ל – ‪ pj‬ולהרוויח יותר‪.‬‬
‫– ‪ pi>pj=c‬פירמה ‪ j‬יכולה להעלות מחיר ולהרוויח יותר‪.‬‬
‫– ‪ pi§pj<c‬פירמה ‪ i‬יכולה לקבוע מחיר שווה ל – ‪ c‬ולהרוויח יותר‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫השוואה לקורנו ולמונופול‬
‫• ראינו ששיווי המשקל במודל זה מתלכד עם‬
‫התוצאה של תחרות משוכללת‪.‬‬
‫• במידה והפירמות היו מתחרות בכמויות )קורנו(‬
‫היינו מקבלים מחיר גבוה יותר וכמויות קטנות‬
‫יותר‪.‬‬
‫• במידה והפירמות היו מתאחדות )הפתרון‬
‫השיתופי( המחיר היה עולה מעבר למחיר קורנו‬
‫והכמות הייתה יורדת מתחת לכמות קורנו‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫פרדוקס ברטראנד‬
‫• שתי פירמות מספיקות לשכפול התוצאה של‬
‫תחרות חופשית‬
‫• לא להיסחף‬
‫– מגבלות כמות‬
‫– עלות שולית משתנה‬
‫– מוצרים דומים‬
‫‪15‬‬
‫מודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מודל חד תקופתי‬
‫מוצרים מובדלים‬
‫הפירמות מתחרות על ידי בחירת מחירים‬
‫בחירת המחירים נעשית באופן סימולטאני‬
‫הפירמות תצענה כל כמות שתבוקש מהן בהינתן המחירים שנבחרו‪.‬‬
‫לפירמות ולצרכנים אינפורמציה מלאה על הביקוש‪ ,‬מבנה ההוצאות‬
‫של כל הפירמות האחרות והמחירים הנקבעים‪.‬‬
‫אין כניסה או יציאה מהענף‪.‬‬
‫כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה למחירים אותן בוחרות‬
‫הפירמות האחרות כקבועים‪.‬‬
‫לעיתים אומרים כי כל פירמה ממקסמת את רווחיה תחת הנחה כי‬
‫המחיר בו תבחר אינה משפיעה על המחירים אותם יבחרו הפירמות‬
‫האחרות )‪.(Zero Conjectural Variation‬‬
‫‪16‬‬
‫מודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים – ‪ n‬פירמות‬
‫הנתונים‬
‫•‬
‫פונקציית הביקוש אותה רואה הפירמה המייצרת את מוצר ‪qi=Di(p1,…,pn) – i‬‬
‫•‬
‫פונקציית ההוצאות של פירמה ‪Ci(qi) - i‬‬
‫•‬
‫פונקציית הרווח של פירמה ‪ i‬הינה‪:‬‬
‫))‪πi(p1,p2,…,pi,…,pn)=piDi(p1,…,pn)-Ci(Di(p1,…,pn‬‬
‫•‬
‫פירמה ‪ i‬מתייחסת למחירים אותם קובעים הפירמות האחרות כקבועים וממקסמת‬
‫את רווחיה‪.‬‬
‫•‬
‫במילים אחרות‪ ,‬פירמה ‪ i‬מניחה ש ‪ dpj /dpi=0 -‬עבור ‪ j‬שונה מ – ‪) .i‬כלומר‬
‫מניחה שינוי משוער אפס ובאנגלית ‪.(zero conjectural variation‬‬
‫‪17‬‬
‫מודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים – ‪ n‬פירמות‬
‫פתרון )שיווי משקל(‬
‫• יש למצוא‬
‫– ‪ n‬מחירים‪ (p*1,p*2,…,p*n) ,‬כך ש‪-‬‬
‫• ‪ p*i‬ממקסם את רווחי פירמה ‪ i‬בהינתן שכל הפירמות‬
‫האחרות בוחרות את וקטור המחירים‪:‬‬
‫)‪p*-i=(p*1,p*2,…,p*i-1,p*i+1,…p*n‬‬
‫‪18‬‬
‫בצורה פורמאלית‪...‬‬
‫• פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי ‪ n‬מחירים‪,‬‬
‫)‪ (p*1,p*2,…,p*n‬המקיימים‪:‬‬
‫‪π i ( p1* , p2* ,..., pn* ) ≥ π i ( pi , p−*i ) i = 1,..., n‬‬
‫‪where‬‬
‫) ‪( pi , p ) = ( p , p ,..., p , pi , p ,..., p‬‬
‫*‬
‫‪i +1‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫‪19‬‬
‫*‬
‫‪i −1‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫*‬
‫‪−i‬‬
‫חישוב הפתרון )שיווי משקל(‬
‫– אם ‪ p*i‬ממקסם את רווחי פירמה ‪ i‬בהינתן שהפירמות האחרות‬
‫בוחרות ‪ p*-i‬אזי‪:‬‬
‫* * ‪∂π i‬‬
‫*‬
‫‪( p1 , p2 ,..., pn ) = 0.‬‬
‫‪∂pi‬‬
‫‪20‬‬
‫חישוב הפתרון )שיווי משקל(‬
‫• לכן‪ ,‬על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את‬
‫מערכת של ‪ n‬משוואות עם ‪ n‬נעלמים‪:‬‬
‫* * ‪∂π i‬‬
‫‪( p1 , p2 ,..., pn* ) = 0 i = 1,..., n‬‬
‫‪∂pi‬‬
‫• כמויות שיווי משקל תהיינה‪:‬‬
‫) ‪q = Di ( p , p ,..., p‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫*‬
‫‪i‬‬
‫‪21‬‬
‫מודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים – ‪ n‬פירמות‬
‫פונקציות תגובה‬
‫* * ‪∂π i‬‬
‫*‬
‫מהמשוואה המתארת את‬
‫‪( p1 , p2 ,..., pn ) = 0.‬‬
‫תנאי הסדר הראשון‬
‫‪∂pi‬‬
‫למיקסום הרווחים של‬
‫פירמה ‪ ,i‬מתקבלת‬
‫פונקצית התגובה של‬
‫פירמה ‪.i‬‬
‫פונקציה זו ניתנת לכתיבה כ ‪ (Ri(p-i)) -‬ומתארת‬
‫מהו המחיר בו תבחר פירמה ‪ i‬לכל בחירת‬
‫מחירים על ידי הפירמות האחרות‪.‬‬
‫כך מתקבלת מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪Pi(dQi/dPi)+Qi=MCi(Qi)(dQi/dPi) i=1,…,n‬‬
‫או במונחי פונקציות תגובה ‪Pi=R(P-i) i=1,…,n‬‬
‫הקצאת שיווי משקל ברטראנד ניתנת על ידי המחירים‬
‫פותרים משוואות אלו והכמויות המתקבלות מהצבתם‬
‫לפונקציות הביקוש בכל שוק‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫פונקציות תגובה ‪ -‬שתי פירמות‬
‫‪23‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫הנתונים‪:‬‬
‫פונקציות הביקוש אותן רואות שתי הפירמות הינן‪:‬‬
‫‪q1=175-3p1+p2‬‬
‫‪q2=150-3p2+p1‬‬
‫פונקצית ההוצאות של פירמה ‪ 1‬הינה ‪C1(q1)=3q1‬‬
‫פונקצית ההוצאות של פירמה ‪ 2‬הינה ‪C2(q2)=4q2‬‬
‫‪24‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫• בהינתן שרווחי פירמה ‪ 1‬הם‬
‫)) ‪π 1 ( p1 , p2 ) = p1 D1 ( p1 , p2 ) − c1 ( D1 ( p1 , p2‬‬
‫) ‪= p1 (175 − 3 p1 + p2 ) − 3(175 − 3 p1 + p2‬‬
‫• נקבל ש‪-‬‬
‫‪∂π 1‬‬
‫‪= 184 − 6 p1 + p2‬‬
‫‪∂p1‬‬
‫‪25‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫• באופן דומה‪ ,‬בהינתן שרווחי פירמה ‪ 2‬הם‬
‫)) ‪π 2 ( p1 , p2 ) = p2 D2 ( p1 , p2 ) − c2 ( D2 ( p1 , p2‬‬
‫) ‪= p2 (150 − 3 p2 + p1 ) − 4(150 − 3 p2 + p1‬‬
‫• נקבל ש‪-‬‬
‫‪∂π 2‬‬
‫‪= 162 − 6 p2 + p1‬‬
‫‪∂p2‬‬
‫‪26‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫ מקיימים‬p*2 -‫ ו‬p*1 ‫• מכאן שמחירי שיווי המשקל‬
184 − 6 p1 + p2 = 0

162 − 6 p2 + p1 = 0
184 + p2

=
reaction
function
of
firm
1
p
1

6

 p2 = 162 + p1 reaction function of firm 2
27
6
‫שיווי המשקל‬
‫• מחירי שיווי משקל הם‪:‬‬
‫‪p1*=36.17 , p2*=33.028‬‬
‫• כמויות שיווי משקל הן‪:‬‬
‫‪Q1*=99.518 , q2*=87.086‬‬
‫• רווחי הפירמות בשיווי משקל הם‪:‬‬
‫‪P1=3301.01 , P2=2527.93‬‬
‫השוו פתרון זה לפתרון השיתופי )כאשר שתי הפירמות‬
‫משתפות פעולה על מנת למקסם את סכום הרווחים(‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫אינדקס לרנר במודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים‬
‫תנאי הסדר הראשון של פירמה ‪ i‬הינו‪:‬‬
‫)‪pi(dqi/dpi)+qi=MCi(qi)(dqi/dpi‬‬
‫מתנאי זה מתקבל‪:‬‬
‫‪(pi –MCi)/pi=-(qi/pi )(dpi/dqi)=-1/ηi‬‬
‫‪29‬‬
‫סטאקלברג במחירים‬
‫בדומה לסטאקלברג בכמויות נניח כי פירמה ‪ 1‬היא המובילה‪ .‬בנתוני‬
‫הדוגמה המספרית שלנו נקבל כי היא ממקסמת )נציב לתוך פונקצית‬
‫הרווח שלה את תגובת הפירמה השנייה( את‪:‬‬
‫)‪p1(175-3*p1+(162+p1)/6)-3(175-3*p1+(162+p1)/6‬‬
‫ונקבל )לאחר גזירה לפי ‪ p1‬והשוואה לאפס‪ ,‬חישוב המחיר‬
‫של הפירמה השנייה הנובע מכך‪ ,‬והכמויות המיוצרות(‬
‫‪p1=37.15 p2=33.19 q1=96.75 q2=87.57‬‬
‫‪π1=3303.72‬‬
‫‪π2=2556.374‬‬
‫לאור ההשוואה עם ברטראנד אנו רואים כמובן שהמובילה מרוויחה‪ ,‬אך‬
‫הלא מובילה מרוויחה אף יותר‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫מודל קורנו עם מוצרים מובדלים‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מודל חד תקופתי‬
‫מוצרים מובדלים‬
‫הפירמות מתחרות על ידי בחירת כמויות‬
‫בחירת הכמויות נעשית באופן סימולטני‬
‫מחירי המוצרים נקבעים כך שהשווקים מתנקים‬
‫לפירמות אינפורמציה מלאה על הביקוש ומבנה ההוצאות של כל‬
‫הפירמות האחרות‬
‫אין כניסה או יציאה מהענף‬
‫כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה לכמויות אותן בוחרות‬
‫הפירמות האחרות כקבועות‪.‬‬
‫לעיתים אומרים כל פירמה ממקסמת את רווחיה תחת הנחה כי‬
‫הכמות בה תבחר אינה משפיעה על הכמויות אותן תבחרנה‬
‫הפירמות האחרות )‪.(Zero Conjectural Variation‬‬
‫‪31‬‬
‫מודל קורנו עם מוצרים מובדלים‬
‫הנתונים‬
‫•‬
‫פונקציית הביקוש אותה רואה הפירמה המייצרת את מוצר ‪pi=Fi(q1,…,qn) – i‬‬
‫•‬
‫פונקציית ההוצאות של פירמה ‪Ci(qi) - i‬‬
‫•‬
‫פונקציית הרווח של פירמה ‪ i‬הינה‪:‬‬
‫)‪πi(q1,q2,…,qi,…,qn)=qiFi(q1,…,qn)-Ci(qi‬‬
‫•‬
‫פירמה ‪ i‬מתייחסת לכמויות אותן קובעות הפירמות האחרות כקבועות וממקסמת‬
‫את רווחיה‪.‬‬
‫•‬
‫במילים אחרות‪ ,‬פירמה ‪ i‬מניחה ש ‪ dqj /dqi=0 -‬עבור ‪ j‬שונה מ – ‪) .i‬כלומר‬
‫מניחה שינוי משוער אפס ובאנגלית ‪.(zero conjectural variation‬‬
‫‪32‬‬
‫מודל קורנו עם מוצרים מובדלים‬
‫פתרון )שיווי משקל(‬
‫• יש למצוא‬
‫– ‪ n‬כמויות‪ (q*1,q*2,…,q*n) ,‬כך ש‪-‬‬
‫• ‪ q*i‬ממקסם את רווחי פירמה ‪ i‬בהינתן שכל הפירמות‬
‫האחרות מייצרות את וקטור הכמויות‪:‬‬
‫)‪q*-i=(q*1,q*2,…,q*i-1,q*i+1,…q*n‬‬
‫‪33‬‬
‫בצורה פורמאלית‪...‬‬
‫• פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי ‪ n‬כמויות‪,‬‬
‫)‪ (q*1,q*2,…,q*n‬המקיימות‪:‬‬
‫‪π i (q1* , q2* ,..., qn* ) ≥ π i (qi , q−*i ) i = 1,..., n‬‬
‫‪where‬‬
‫) *‪(qi , q−*i ) = (q1* , q2* ,..., qi*−1 , qi , qi*+1 ,..., qn‬‬
‫‪34‬‬
‫חישוב הפתרון )שיווי משקל(‬
‫– אם ‪ q*i‬ממקסם את רווחי פירמה ‪ i‬בהינתן שהפירמות האחרות‬
‫מייצרות ‪ q*-i‬אזי‪:‬‬
‫* * ‪∂π i‬‬
‫*‬
‫‪(q1 , q2 ,..., qn ) = 0.‬‬
‫‪∂qi‬‬
‫‪35‬‬
‫חישוב הפתרון )שיווי משקל(‬
‫• לכן‪ ,‬על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את‬
‫מערכת של ‪ n‬משוואות עם ‪ n‬נעלמים‪:‬‬
‫* * ‪∂π i‬‬
‫‪(q1 , q2 ,..., qn* ) = 0 i = 1,..., n‬‬
‫‪∂qi‬‬
‫• מחירי שיווי המשקל יהיו‬
‫) ‪p = Fi (q , q , ,..., q‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫*‬
‫‪i‬‬
‫‪36‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫הנתונים‪:‬‬
‫פונקציות הביקוש אותן רואות שתי הפירמות הינן‪:‬‬
‫‪p1=200-3q1-q2‬‬
‫‪p2=250-4q2-q1‬‬
‫פונקצית ההוצאות של פירמה ‪ 1‬הינה ‪C1(q1)=2q1‬‬
‫פונקצית ההוצאות של פירמה ‪ 2‬הינה ‪C2(q2)=3q2‬‬
‫‪37‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫• בהינתן שרווחי פירמה ‪ 1‬הם‬
‫‪π 1 (q1 , q2 ) = q1[200 − 3q1 − q2 ) − 2q1‬‬
‫• נקבל ש‪-‬‬
‫‪∂π 1‬‬
‫‪= 200 − 6 q1 − q 2 − 2‬‬
‫‪∂ q1‬‬
‫‪38‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫• באופן דומה‪ ,‬בהינתן שרווחי פירמה ‪ 2‬הם‬
‫) ‪π 2 (q1 , q2 ) = P(q1 , q2 )q2 − c2 (q2‬‬
‫‪= q2 [250 − 4q2 − q1 ] − 3q2‬‬
‫• נקבל ש‪-‬‬
‫‪∂π 2‬‬
‫‪= 250 − 8q2 − q1 − 3‬‬
‫‪∂q2‬‬
‫‪39‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫ מקיימות‬q*2 -‫ ו‬q*1 ‫• מכאן שכמויות שיווי המשקל‬
198 − 6q1 − q2 = 0

247 − 8q2 − q1 = 0
q = 198 − q2 reaction function of firm 1
 1
6

q2 = 247 − q1 reaction function of firm 2

8
40
‫שיווי המשקל‬
‫כמויות שיווי המשקל הן‪q1*= 28.447 , q2*=27.319 :‬‬
‫מחירי שיווי המשקל הם‪p1*=87.340 , p2*=112.277 :‬‬
‫אם נתאר מודל זה כתחרות במחירים נקבל בדרך כלל‬
‫תוצאות שונות‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫קורנו מול ברטראנד‬
‫• התחרות יכולה להיות בכמויות )קורנו( או במחירים‬
‫)ברטראנד(‬
‫• כמויות ומחירי שיווי המשקל שונים בשני התרחישים‬
‫• מהו התרחיש הסביר‬
‫– בשוק הדגים‪ ,‬הפרחים ‪ -‬קורנו‬
‫– בשוק ה – "מצלמות הדיגיטליות" חנויות הרשתות – ברטראנד‬
‫• מהו אופי התחרות המועדף בעיני פירמות ובעיני צרכנים?‬
‫תלוי ‪. ...‬‬
‫• מהן השלכות הרווחה של שתי צורות ההתנהגות‬
‫– בשתיהן יהיו עיוותים‬
‫– מה עדיף? תלוי ‪...‬‬
‫‪42‬‬
‫תחרות מונופוליסטית‬
‫• לפירמות המתחרות יש כוח שוק )הן מייצרות מוצרים מובדלים(‪ .‬כל‬
‫פירמה רואה עקומת ביקוש היורדת משמאל לימין )התלויה למעשה‬
‫במחירים ו‪/‬או כמויות שקבעו הפירמות האחרות(‬
‫• בשיווי משקל של הטווח הקצר נקבעים מחירים‪ ,‬כמויות ורווחים‬
‫בהתאם למודלים שלמדנו מקודם )קורנו אם התחרות בכמויות‪,‬‬
‫ברטראנד אם התחרות במחירים(‪.‬‬
‫• בטווח הארוך יש כניסה חופשית‪.‬‬
‫• פירמות נכנסות ויוצאות מהענף עד שמתקבלת רמת רווח כלכלי‬
‫אפס‪.‬‬
‫‪43‬‬
Joan Robinson
1903-1983
44
Edward C. Chamberlin
1866-1967
45
‫תחרות מונופוליסטית בטווח הקצר‬
‫הצגה גראפית‬
‫‪ – dd‬עקומת ביקוש סוביקטיבית‬
‫‪ – D‬עקומת ביקוש אוביקטיבית‬
‫‪D‬‬
‫‪MC‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪mr‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪D‬‬
‫‪q‬‬
‫‪46‬‬
‫תחרות מונופוליסטית בטווח הארוך‬
‫הצגה גראפית‬
‫החיתוך של ה ‪ MC‬ו ה ‪ MR‬קורה בכמות שעקומת‬
‫הביקוש משיקה לעקומת ההוצאות הממוצעות‬
‫‪D‬‬
‫‪MC‬‬
‫‪LRATC‬‬
‫‪P‬‬
‫‪d‬‬
‫‪p‬‬
‫‪d‬‬
‫‪mr‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪47‬‬
‫תחרות מונופוליסטית – דוגמה מספרית‬
‫נניח כי כעת יש ‪ 3‬פירמות בענף הרואות את‬
‫הביקושים הבאים‪:‬‬
‫‪p1=130-2q1-q2-q3‬‬
‫‪p2=130-2q2-q1-q3‬‬
‫‪p3=130-2q3-q1-q2‬‬
‫‪MC=10 constant F=100‬‬
‫ניתן לחשב שיווי משקל הנובע מתחרות בכמויות‪:‬‬
‫הפתרון הינו‪q1=q2=q3=20 :‬‬
‫הרווח הינו‪50*20-10*20-100=700 :‬‬
‫כניסה חופשית תגרור שעוד פירמות תיכנסנה לענף‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫תחרות מונופוליסטית – דוגמה מספרית‬
‫הביקוש הסובייקטיבי שהפירמה רואה הינו‪:‬‬
‫‪P=130-2Q-40=90-2Q‬‬
‫זהו ה – ‪dd‬‬
‫הביקוש האובייקטיבי הינו‪:‬‬
‫‪P=130-4Q‬‬
‫זהו ה ‪DD -‬‬
‫ה ‪ MR -‬חותך את ה ‪ MC -‬שנגזר מה ‪ dd -‬בכמות‬
‫ש – ‪ DD‬חותך את ‪.dd‬‬
‫‪49‬‬
‫תחרות מונופוליסטית – דוגמה מספרית‬
‫אם יכנסו עוד פירמות הביקושים אותם רואה כל פירמה יזוזו למטה‪.‬‬
‫‪ qi=15 N=5‬הרווח לפירמה ‪.350‬‬
‫עבור ‪ n=13‬הרווח עדיין חיובי‪ ,‬ועבור ‪ n=14‬הרווח שלילי‪.‬‬
‫לכן בטווח הארוך יהיו ‪ 13‬פירמות‪.‬‬
‫בחישובים שימו לב ש – )‪ ,qi=120/(N+3‬מבטאים את הרווח‬
‫כפונקצייה של ‪ ,N‬ומחפשים ‪ N‬שעבורו הרווח אפס‪.‬‬
‫‪50‬‬
Paul Marlor Sweezy
1910-2004
51
‫עקומת ביקוש שבורה ‪Kinked Demand Curve‬‬
‫• פירמה מצפה לתגובה שונה כאשר היא מגדילה כמות‬
‫מיוצרת )מורידה את מחיר המוצר( וכאשר היא מקטינה‬
‫כמות מיוצרת )מעלה את מחיר המוצר(‪.‬‬
‫• במקרה הראשון נתח השוק שלה נוטה לגדול והיא מניחה‬
‫כי המתחרים יגיבו בצורה דומה‪ ,‬בעוד שבמקרה השני‬
‫נתח השוק שלה נוטה לקטון ולכן היא מצפה שהמתחרים‬
‫לא יטו להגיב‪.‬‬
‫• שיקול זה מביא לעקומת ביקוש שבורה בנקודת ה‬
‫מחיר‪/‬כמות העכשווית‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫הצגה גראפית של עקומת ביקוש שבורה‬
‫‪P‬‬
‫גמיש‬
‫*‪p‬‬
‫קשיח‬
‫‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫*‪Q‬‬
‫‪53‬‬
‫השרטוט המקורי מהמאמר של )‪Sweezy (1939‬‬
‫‪54‬‬
‫עקומת ביקוש שבורה – דוגמה מספרית‬
‫הניחו כי במצב המוצא‪:‬‬
‫‪p1=70 q1=10 p2=55 q2=10‬‬
‫מצב כזה הינו שיווי משקל קורנו כאשר‪:‬‬
‫‪p1=100-2q1-q2 p2=95-q1-3q2‬‬
‫‪) C1(q1)=2.5q12 C2(q2)=25q2‬שימו לב זו תחרות קורנו עם מוצרים מובדלים(‬
‫כעת פירמה ‪ 1‬מניחה שאם היא מעלה מחיר )מורידה כמות( פירמה ‪ 2‬לא תגיב‬
‫כלןמר תשמור על מחיר ‪ P2=55‬היא רואה לכן את הביקוש‪:‬‬
‫‪p1=100-2q1-(40-q1)/3‬‬
‫לאור זאת ה – ‪ MR‬שלה עבור העלאת מחיר הינו ‪53.33‬‬
‫כמו כן היא מניחה שאם היא תוריד מחיר אזי פירמה ‪ 2‬תמשיך למכור אותה כמות‬
‫כמוה כדי לשמור על נתח שוק‪.‬‬
‫היא רואה לכן את הביקוש‪p1=100-2q1-q1 :‬‬
‫לאור זאת ה – ‪ MR‬שלה עבור הורדת מחיר הינו ‪.40‬‬
‫ה – ‪ MC‬של פירמה ‪ 1‬בנקודת הייצור הינו ‪ .50‬לאור זאת לא כדאי לה לשנות את‬
‫הכמות המיוצרת‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫מוצרים מובדלים – תחרות מחירים ומיקום‬
‫• מוצרים מובדלים )‪(Differentiated Products‬‬
‫– המוצרים ממוקמים בנקודות שונות במרחב המוצרים )מיקום‬
‫פיזי‪ ,‬תכונות ‪(...‬‬
‫– מהו מרחב המוצרים?‬
‫• קו ישר )‪(Hotelling 1929‬‬
‫• מעגל )‪(Salop 1979‬‬
‫• דרך העבודה‬
‫– הצגת המודל‬
‫– פתרון כמותי )מחירים‪ ,‬כמויות‪ ,‬מיקום‪ ,‬רווחה(‬
‫– סטאטיקה השוואתית‬
‫‪56‬‬
Harold Hotelling
1895-1973
57
‫מודל המיקום של ‪Hotelling‬‬
‫הנתונים‬
‫רחוב באורך ‪1‬‬
‫הצרכנים מתפלגים על הרחוב באופן אחיד‬
‫כל צרכן צורך יחידה אחת בלבד מהמוצר‪ ,‬והנאתו מהמוצר ניתנת על‬
‫ידי ‪.v‬‬
‫שתי פירמות‪ ,‬פירמה שמאלית ממוקמת במרחק ‪ a‬מהקצה השמאלי‬
‫של הקטע ופירמה ימנית ממוקמת במרחק ‪ b‬מהקצה הימני‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫מודל המיקום של ‪Hotelling‬‬
‫לצרכנים יש "הוצאות נסיעה" )הוצאות התאמה( ליניאריות בשיעור ‪,s‬‬
‫כלומר צרכן הממוקם בנקודה ‪ m>a‬וקונה מהפירמה הממוקמת ב – ‪a‬‬
‫נושא בהוצאות נסיעה של )‪.s(m-a‬‬
‫רווחתו של הצרכן ניתנת על ידי‪:‬‬
‫)מחיר(‪)-‬הוצאות נסיעה(‪)-‬הנאה מהמוצר(‬
‫רווחיה של הפירמה ניתנים על ידי‪:‬‬
‫)הוצאות ייצור(‪)-‬נפח מכירות(‪)x‬מחיר(‬
‫)נניח לשם פשטות כי אין הוצאות לייצור המוצר(‬
‫‪59‬‬
‫מודל המיקום של ‪Hotelling‬‬
‫מהם הביקושים אותם רואה כל פירמה בהינתן צירוף מחירים )‪?(pL,pR‬‬
‫כל צרכן יקנה מהפירמה ה"זולה" יותר‪.‬‬
‫צרכן הממוקם במרחק ‪ x‬מימין לפירמה השמאלית ומרחק ‪ y‬משמאל‬
‫לפירמה הימנית ישווה בין‪:‬‬
‫‪ pL+sx‬ו – ‪pR+sy‬‬
‫וירכוש את המוצר אצל הפירמה שמחירה ה"אפקטיבי" נמוך יותר‪.‬‬
‫כדי לקבוע את כמות הצרכנים שתגיע לכל פירמה יש לחשב את הצרכן‬
‫האדיש‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫היכן ממוקם הצרכן האדיש?‬
‫מיקומו של הצרכן‬
‫האדיש מתקבל‬
‫מפתרון מערכת‬
‫המשוואות הבאה‪:‬‬
‫שפתרונה ניתן על ידי‪:‬‬
‫‪pL + sx = pR + sy‬‬
‫‪a + x + y +b =1‬‬
‫)‪pR − pL + s (1 − a − b‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪2s‬‬
‫)‪pL − pR + s (1 − a − b‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪2s‬‬
‫‪61‬‬
‫מהן הכמויות המבוקשות מהפירמות?‬
‫כל הצרכנים מימין לצרכן האדיש יקנו מהפירמה הימנית‪ ,‬וכל‬
‫הצרכנים משמאל לצרכן האדיש יקנו מהפירמה השמאלית‪.‬‬
‫לכן הביקושים אותם רואים הפירמה השמאלית‬
‫)‪ (DL‬והפירמה הימנית הם )‪ (DR‬הינם‪:‬‬
‫)‪pR − pL + s (1 − a − b‬‬
‫‪DL ( pL , pR ) = a +‬‬
‫‪2s‬‬
‫)‪pL − pR + s (1 − a − b‬‬
‫‪DR ( pL , pR ) = b +‬‬
‫‪2s‬‬
‫‪62‬‬
‫מהן פונקציות הרווח של הפירמות?‬
‫הרווח של הפירמה ניתן על ידי פדיון פחות הוצאות‪ .‬הנחנו לשם‬
‫פשטות שההוצאה הינה אפס‪ ,‬ולכן מתקבלות פונקציות הרווח‬
‫הבאות‪:‬‬
‫)‪pR − pL + s (1 + a − b‬‬
‫‪Π L ( pL , pR ) = pL‬‬
‫‪2s‬‬
‫)‪pL − pR + s (1 − a + b‬‬
‫‪Π R ( pL , pR ) = pR‬‬
‫‪2s‬‬
‫‪63‬‬
‫שרטוט העיר של הוטלינג‬
‫‪64‬‬
‫מודל הוטלינג פתרון )שיווי משקל(‬
‫פתרון )שיווי משקל(‬
‫• יש למצוא‬
‫– זוג מחירים ‪ p*R‬ו‪ p*L -‬כך ש‪-‬‬
‫• ‪ p*R‬ממקסם את רווחי הפירמה הימנית בהינתן שהפירמה‬
‫השמאלית בחרה ‪ p*L‬ו‪-‬‬
‫• ‪ p*L‬ממקסם את רווחי הפירמה השמאלית בהינתן שהפירמה‬
‫הימנית בחרה ‪p*R‬‬
‫‪65‬‬
‫בצורה פורמאלית‪...‬‬
‫• פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי זוג מחירים‪ p*R ,‬ו‪p*L -‬‬
‫המקיים‪:‬‬
‫‪∀p‬‬
‫) ‪π L ( p , p ) ≥ π L ( p, p‬‬
‫‪∀p‬‬
‫)‪π R ( p , p ) ≥ π R ( p , p‬‬
‫*‬
‫‪R‬‬
‫*‬
‫‪R‬‬
‫*‬
‫‪L‬‬
‫‪66‬‬
‫*‬
‫‪R‬‬
‫*‬
‫‪L‬‬
‫*‬
‫‪L‬‬
‫חישוב הפתרון )שיווי משקל(‬
‫אם ‪ p*L‬ממקסם את רווחי הפירמה השמאלית בהינתן שהפירמה‬
‫הימנית בוחרת ‪ p*R‬אזי‪:‬‬
‫* * ‪∂π L‬‬
‫‪( pL , pR ) = 0‬‬
‫‪∂pL‬‬
‫אם ‪ p*R‬ממקסם את רווחי הפירמה הימנית בהינתן שהפירמה‬
‫השמאלית בוחרת ‪ p*L‬אזי‪:‬‬
‫* * ‪∂π R‬‬
‫‪( pL , pR ) = 0‬‬
‫‪∂pR‬‬
‫‪67‬‬
‫• לכן‪ ,‬על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את‬
‫מערכת שתי המשוואות עם שני הנעלמים הבאה‪:‬‬
‫* * ‪ ∂π L‬‬
‫(‬
‫‪p‬‬
‫‪,‬‬
‫‪p‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ ∂p‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ∂π R ( pL* , pR* ) = 0‬‬
‫‪ ∂pR‬‬
‫• הכמויות אותן תמכור כל פירמה‪ ,‬תקבענה על פי‬
‫המחירים בהתאם לנוסחאות הקודמות‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫פתרון )שיווי משקל(‬
‫מחירי שיווי המשקל יפתרו את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪pR − 2 pL + s (1 + a − b) = 0‬‬
‫‪pL − 2 pR + s (1 − a + b) = 0‬‬
‫ויינתנו על ידי‪:‬‬
‫)‪s ( a − b‬‬
‫‪pL = s +‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪s(b − a‬‬
‫‪pR = s +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪69‬‬
‫פתרון )שיווי משקל(‬
‫) ‪s (3 − b + a‬‬
‫= ‪ΠL‬‬
‫‪18‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪s (3 − a + b‬‬
‫= ‪ΠR‬‬
‫‪18‬‬
‫‪2‬‬
‫רווחי שיווי משקל יינתנו על ידי‪:‬‬
‫חלקי השוק של כל פירמה בשיווי משקל יהיו‪:‬‬
‫‪3+ a −b‬‬
‫=‬
‫‪6‬‬
‫‪3+b−a‬‬
‫=‬
‫‪6‬‬
‫‪ms L‬‬
‫‪ms R‬‬
‫‪70‬‬
‫האם מצאנו את שיווי המשקל?‬
‫אך האם הגדלים שמצאנו באמת מהווים שיווי משקל?‬
‫לא בהכרח‪ ,‬הם רק מועמדים לשיווי משקל‪.‬‬
‫הבעיה כאן נובעת מכך שבכל הניתוח התעלמנו‬
‫מהאפשרות שאחת הפירמות "תזרוק" את הפירמה האחרת‬
‫מהשוק‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫הסבר לגבי השתלטות על השוק‬
‫והתנאי אותו צריך שיווי המשקל לקיים‬
‫בכל הדיון התעלמנו מהאפשרות ל"זרוק" פירמה מהשוק‪.‬‬
‫כלומר מהאפשרות של הפירמה הימנית )השמאלית( לקחת‬
‫מחיר כה נמוך‪ ,‬שאפילו הפרטים משמאל )מימין( לפירמה‬
‫השמאלית )הימנית( יעדיפו לרכוש את המוצר אצל הפירמה‬
‫הימנית )השמאלית(‪.‬‬
‫כלומר תוצאת החישוב מהווה שיווי משקל‪ ,‬רק אם הרווח‬
‫במחירים שהתקבלו עולה על הרווח מקביעת מחיר שתזרוק את‬
‫הפירמה השנייה מהשוק‪.‬‬
‫למשל כאשר ‪ a=b=0.5‬שיווי המשקל לא יינתן על ידי‬
‫הנוסחאות שחישבנו בשקפים הקודמים‪.‬‬
‫תוודאו שהוא יינתן על ידי מחיר אפס )מחיר שווה להוצאה‬
‫שולית(‪.‬‬
‫‪72‬‬
‫ובאופן יותר פורמאלי ‪...‬‬
‫אם הפירמה השמאלית תקבע מחיר‬
‫)‪p*=p*R-s(1-b-a)=s((4/3)b+(2/3)a‬‬
‫היא תמכור לכל השוק ותרוויח‪:‬‬
‫)‪s((4/3)b+(2/3)a‬‬
‫אם הפירמה הימנית תקבע מחיר‬
‫)‪p*=p*L-s(1-b-a)=s((4/3)a+(2/3)b‬‬
‫היא תמכור לכל השוק ותרוויח‪:‬‬
‫)‪s((4/3)a+(2/3)b‬‬
‫‪73‬‬
‫ובאופן יותר פורמאלי ‪...‬‬
‫לכן בכדי שהפתרון יהווה שיווי משקל צריך‬
‫להתקיים‪:‬‬
‫‪s((4/3)b+(2/3)a)≤(s(3-b+a)2)/18‬‬
‫‪s((4/3)a+(2/3)b)≤(s(3-a+b)2)/18‬‬
‫למשל‪ ,‬כאשר ‪ a<0.25 b<0.25‬ו – ‪ a=b‬שיווי‬
‫המשקל יינתן על ידי הנוסחאות שמצאנו‪.‬‬
‫מדוע?‬
‫ניתן לצמצם את ‪ ,s‬וכאשר ‪ a=b‬האי שוויונות‬
‫גוררים ש – ‪ a‬ו – ‪ b‬קטנים מ – ‪.0.25‬‬
‫‪74‬‬
‫מודל המיקום של הוטלינג ‪ -‬הערות‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫שיווי המשקל חושב עבור מיקום נתון‪.‬‬
‫אם הפירמות רחוקות )שונות( מספיק‪ ,‬התוצאה אינה תחרותית‬
‫ומערבת מחיר מעל להוצאה שולית‪.‬‬
‫המחיר שיקבע עולה ב – ‪) s‬הבידול בין המוצרים(‪.‬‬
‫במקרה הלא תחרותי יש לכל פירמה תמריץ לנוע לכוון הפירמה‬
‫השנייה‪.‬‬
‫אם מרחב הפעולות של הפירמות כולל מחיר ומיקום אין שיווי משקל‬
‫)באסטרטגיות טהורות(‪.‬‬
‫מבחינת פארטו יעילות על שתי הפירמות להתמקם ב – ‪1/4‬‬
‫ו – ‪ .3/4‬מיקום זה יביא למינימום את הוצאות התחבורה‪.‬‬
‫‪75‬‬
‫מודל המיקום של הוטלינג – הערות‬
‫• אוכלוסיית הצרכנים תופשת את המוצר כבעל מיקום או תכונה‬
‫מסוימת במרחב המוצרים‪.‬‬
‫• הוצאות תחבורה )הבידול( לא חייבות להיות ליניאריות‪ .‬הוצאות‬
‫תחבורה ריבועיות עשויות להביא לקיום שיווי משקל בתחרות‬
‫מיקום‪/‬מחיר‪.‬‬
‫• כמובן שניתן לדבר על יותר ממימד אחד ועל צרכנים הקונים יותר‬
‫מיחידה אחת של המוצר‪.‬‬
‫• ניתן לדבר על מבנה הוצאות שונה‪ ,‬למשל הוצאה שולית קבועה ‪,c‬‬
‫או על רחוב בעל אורך משתנה )‪.(L‬‬
‫• יישום אפשרי‪ ,‬אוכלוסיית עובדים ומספר מעסיקים המציעים עבודות‬
‫דומות‪.‬‬
‫‪76‬‬
Steven C. Salop
77
‫מודל המעגל של ‪Salop‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מעגל בהיקף ‪1‬‬
‫אוכלוסיית הצרכנים )‪ (N‬מתפלגת על שפת המעגל באופן אחיד‪.‬‬
‫כל צרכן קונה יחידה אחת בלבד מהמוצר‪ ,‬והנאתו מהמוצר ניתנת‬
‫על ידי ‪.v‬‬
‫‪ n‬פירמות זהות ממוקמות על שפת המעגל‪.‬‬
‫לפירמות יש עלות כניסה של ‪ F‬והוצאה שולית קבועה של ‪.c‬‬
‫לצרכנים יש "הוצאות נסיעה" ליניאריות בשיעור ‪ s‬כלומר צרכן‬
‫הממוקם במרחק ‪ d‬מהפירמה ממנה הוא קונה‪ ,‬נושא בהוצאות‬
‫נסיעה של ‪.sd‬‬
‫רווחתו של הצרכן ניתנת על ידי‪:‬‬
‫)מחיר(‪)-‬הוצאות נסיעה(‪)-‬הנאה מהמוצר(‬
‫רווחיה של הפירמה ניתנים על ידי‪:‬‬
‫)הוצאות ייצור(‪)-‬נפח מכירות(‪)x‬מחיר(‬
‫‪78‬‬
‫פתרון המודל של ‪Salop‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫למעשה חושבים כאן על משחק דו שלבי‪ .‬בשלב הראשון הפירמות מתמקמות‬
‫ולאחר מכן הן מתחרות במחירים על המעגל‪ .‬כמובן שבהחלטת המיקום הן‬
‫לוקחות בחשבון כיצד תיראה תחרות המחירים‪.‬‬
‫אנו לא פותרים את שלב המיקום באופן מפורש ומניחים כי הפירמות תתפזרנה‬
‫במרחקים שווים על שפת המעגל‪.‬‬
‫כל צרכן יקנה מהפירמה ה"זולה" יותר‪.‬‬
‫מהם הביקושים אותם רואה כל פירמה בהינתן צירוף המחירים שבחרו בו? )אנו‬
‫מניחים שכל הפירמות מוכרות כמויות חיוביות(‬
‫הביקוש לכל פירמה נקבע לפי מיקומם של שני צרכנים "אדישים" משני הצדדים‪.‬‬
‫כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהניחה כי השינוי המשוער במחירים אותם‬
‫קובעות הפירמות האחרות הינו אפס‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬כל פירמה תגזור את רווחיה לפי מחירה ותשווה לאפס‪.‬‬
‫צירוף המחירים הפותר בעת ובעונה אחת את כל תנאי הסדר הראשון‪ ,‬ביחד עם‬
‫הכמויות )חלוקת השוק( המשתמעות ממנו מהווה את הפתרון לתחרות המחירים‪.‬‬
‫פירמות תיכנסנה עד שהרווח יתאפס )בטווח הארוך(‪.‬‬
‫‪79‬‬
‫פתרון "כמותי" של מודל ‪Salop‬‬
‫חישוב שיווי משקל סימטרי )‪ n‬פירמות(‬
‫בשיווי משקל מעין זה כל הפירמות תקבענה אותו מחיר‪.‬‬
‫בכדי לחסוך בחישובים וסימונים‪ ,‬נבנה את בעיית‬
‫האופטימיזציה שפותרת פירמה בנקודה ‪ 0‬המניחה ששתי‬
‫שכנותיה קובעות אותו מחיר ‪?P0‬‬
‫ראשית נחשב את הביקוש העומד מולה בקובעה מחיר ‪.P‬‬
‫הצרכן האדיש מצד ימין ניתן על ידי פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫⇒ ‪− Xˆ ) s‬‬
‫‪n‬‬
‫( ‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‪P + s X‬‬
‫‪= P‬‬
‫‪− P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2 s‬‬
‫‪2 n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P‬‬
‫=‬
‫ˆ‪X‬‬
‫חישוב הצרכן האדיש מצד שמאל מתבצע באותו אופן‬
‫ונקבל כי הביקוש העומד לפניה הינו לכן )שימו לב ש ‪n‬‬
‫מייצג את מספר הפירמות ו – ‪ N‬את מספר הצרכנים(‪:‬‬
‫‪− P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫)‬
‫‪s‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P‬‬
‫( ‪= N‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪80‬‬
‫פתרון "כמותי" של מודל ‪Salop‬‬
‫רווחיה ניתנים אם כן על ידי‪:‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− P‬‬
‫‪s‬‬
‫‪= ( P − c )Q‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪( P − c ) N ‬‬
‫‪‬‬
‫נגזור לפי ‪ P‬ונשווה לאפס‪:‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪) = 0‬‬
‫‪ + ( P − c )( −‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪+‬‬
‫‪P0 − P‬‬
‫‪N ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫‪∂ π‬‬
‫‪∂ P‬‬
‫אנו מחפשים מחירים ה"תומכים" בשיווי משקל סימטרי‪,‬‬
‫בשיווי משקל כזה המחירים יהיו זהים ולכן "ננחש" ש ‪-‬‬
‫‪.P=P0‬‬
‫לאור זאת המחיר המועמד לשיווי משקל )אותו מחיר‬
‫שיקיים את תנאי הסדר הראשון בתרחיש בו כל הפירמות‬
‫בוחרות בו( הינו‪:‬‬
‫‪s‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= c +‬‬
‫‪.P‬‬
‫בדומה למודלים קודמים אנו מניחים ששיווי המשקל‬
‫פנימי‪ .‬שימו לב שבשיווי משקל הכמות שכל פירמה‬
‫מוכרת הינה ‪.N/n‬‬
‫רווחי הפירמה בשיווי משקל ניתנים על ידי‪:‬‬
‫‪sN‬‬
‫‪n 2‬‬
‫=‬
‫‪s‬‬
‫‪N‬‬
‫) ‪) − c‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= (( c +‬‬
‫‪π‬‬
‫‪81‬‬
‫פתרון "כמותי" של מודל ‪Salop‬‬
‫מספר הפירמות שיכנסו למעגל בטווח הארוך ניתן על‬
‫ידי ‪ nC‬המקיים‪ (Ns)/nC2≥F :‬ו – ‪(Ns)/(nC +1) 2<F‬‬
‫כלומר תחרות תגרור שבטווח הארוך יהיו )בהתעלם‬
‫ממגבלת שלמים( ‪ nC=(Ns/F)0.5‬פירמות במעגל‪.‬‬
‫מהו המספר הפארטו יעיל של פירמות?‬
‫מספר הפירמות שיביא למינימום את העלות הכוללת‬
‫של הוצאות תובלה והקמה‪.‬‬
‫‪82‬‬
‫פארטו יעילות במודל ‪Salop‬‬
‫לחישוב מספר הפירמות היעיל מבחינה חברתית נחשב את סך הוצאות התובלה בהינתן שיש‬
‫‪ n‬פירמות‪.‬‬
‫העלות לצרכנים בקשת ‪ 0‬עד )‪ 1/(2n‬היא‬
‫‪s‬‬
‫‪8n 2‬‬
‫) ‪1 /( 2 n‬‬
‫‪N ∫ stdt = N‬‬
‫‪0‬‬
‫לכן סך העלות בהקמת ‪ n‬מפעלים הינה‪:‬‬
‫‪s‬‬
‫‪Ns‬‬
‫)‬
‫‪+‬‬
‫‪nF‬‬
‫=‬
‫‪+ nF‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4n‬‬
‫‪8n‬‬
‫( ‪2nN‬‬
‫גזירה לפי ‪ n‬והשוואה לאפס גוררת‪:‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1 Ns‬‬
‫‪n =  ‬‬
‫‪2 F ‬‬
‫בתחרות נכנס מספר כפול של פירמות‪ ,‬כלומר תחרות במודל זה יצרה מגוון גדול מדי של‬
‫מוצרים‪.‬‬
‫‪83‬‬