תחרות בין מעטים (... ) , שוב קורנו ברטראנד תחרות מונופוליסטית עקומת ביקוש
תחרות בין מעטים ברטראנד ,קורנו )שוב (... תחרות מונופוליסטית עקומת ביקוש שבורה תחרות מיקום-מחיר הוטלינג )קו ישר( סאלופ )מעגל( 1 Joseph Louis Francois Bertrand, 1822-1900 2 מודל ברטראנד • • • • • תיאור הסביבה )ההנחות( מושג הפתרון חישוב הפתרון השוואה לתחרות ,למונופול ולקורנו סטאטיקה השוואתית 3 מודל ברטראנד -הנחות • • • • • • • • • מודל חד תקופתי מוצר הומוגני הפירמות מתחרות על ידי בחירת מחירים בחירת המחירים נעשית באופן סימולטאני הפירמות תצענה כל כמות שתבוקש מהן ,במקרה של מחיר שווה ,הכמות המבוקשת מתחלקת שווה בשווה בין הפירמות הקובעות מחיר זה. לפירמות ולצרכנים אינפורמציה מלאה על הביקוש ,מבנה ההוצאות של כל הפירמות האחרות והמחירים הנקבעים. אין כניסה או יציאה מהענף. כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה למחירים אותן בוחרות הפירמות האחרות כקבועים. לעיתים אומרים כי כל פירמה ממקסמת את רווחיה תחת הנחה כי המחיר בו תבחר אינה משפיעה על המחירים אותם יבחרו הפירמות האחרות ) Zero .(Conjectural Variation 4 מודל ברטראנד – שתי פירמות עם עלות שולית קבועה וזהה הנתונים • פונקציית הביקוש – )Q=D(P • פונקציית ההוצאות של כל פירמה: C1(q1)=cq1ו – C2(q2)=cq2 5 תאור הביקוש במודל ברטראנד • מהו הכמות המבוקשת מכל פירמה? • תלוי ... – אם המחיר שלה נמוך ממחיר המתחרה ,הכמות המבוקשת זה.. הינה הכמות הכוללת המבוקשת במחיר זה – אם המחיר שלה שווה למחיר המתחרה ,הכמות המבוקשת הינה מחצית מהכמות הכוללת המבוקשת במחיר זה. – אם המחיר שלה גבוה ממחיר המתחרה הכמות המבוקשת הינה אפס. 6 תאור אלגברי של הביקוש והרווח p1 < p2 p1 = p2 p1 > p2 ) D( p1 1 ) D1 ( p1 , p2 ) = D( p1 2 0 P1 < P2 ) ( p1 − c) D( p1 1 Π1 ( p1 , p2 ) = ( p1 − c) D ( p1 ) p1 = p2 2 p1 > p2 0 באופן דומה מתארים את הביקוש והרווח אותם רואה הפירמה השנייה. כל פירמה מתייחסת למחיר אותו בוחרת הפירמה האחרת כקבוע וממקסמת את רווחיה. שימו לב כי הביקוש ,ולכן גם הרווח ,אינם רציפים במחירים. כדי לפתור לא נוכל "לגזור ולהשוות לאפס". 7 מודל ברטראנד -שתי פירמות פתרון )שיווי משקל( • יש למצוא – זוג מחירים p*1ו p*2 -כך ש- • p*1ממקסם את רווחי פירמה 1בהינתן שפירמה 2בחרה מחיר p*2ו- • p*2ממקסם את רווחי פירמה 1בהינתן שפירמה 2בחרה מחיר p*1 8 בצורה פורמאלית... • פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי זוג מחירים p*1 ,וp*2 - המקיים: π 1 ( p , p ) ≥ π 1 ( p1 , p ) ∀p1 * 2 * 2 * 1 π 2 ( p , p ) ≥ π 2 ( p , p2 ) ∀p 2 * 1 9 * 2 * 1 פתרון )שיווי משקל( במודל ברטראנד • במודל זה קיים שיווי משקל יחיד. • בשיווי משקל זה כל פירמה קובעת מחיר השווה לעלות השולית. • לאור זאת ,כל פירמה תרוויח אפס ותייצר מחצית מהכמות המבוקשת. • תוצאה זו זהה לתוצאה המתקבלת בתחרות משוכללת. • שתי פירמות מספיקות לשכפול התוצאה התחרותית )ידוע כפרדוקס ברטראנד(. • כמובן שזה מתקבל תחת הנחות די חזקות ונחזור לכך בהמשך. 10 הוכחה אנו רוצים להראות שישנו שיווי משקל יחיד בו כל פירמה קובעת מחיר השווה לעלות השולית שלה. ראשית נראה כי צרוף המחירים P1=P2=cמהווה שיווי משקל. כלומר צריך להראות כי: π 1 (c, c) ≥ π 1 ( p1 , c) ∀ p1 π 2 (c, c) ≥ π 2 (c, p2 ) ∀p 2 11 הוכחה נסתכל על פירמה .1בהנחה שפירמה 2קובעת מחיר השווה ל – ,c אזי הרווח של פירמה ,1אם תקבע מחיר cהינו אפס. אם פירמה 1תקבע מחיר גבוה מ – ,cהיא עדיין תרוויח אפס ,מאחר ותראה ביקוש של אפס. אם פירמה 1תקבע מחיר נמוך מ – ,cהיא תפסיד מאחר ותמכור במחיר הנמוך מההוצאה הממוצעת שלה. כלומר ,בהינתן שפירמה 2בחרה מחיר ,cבחירה של מחיר cעל ידי פירמה 1ממקסמת את רווחיה של פירמה .1 באותו אופן ,בהינתן שפירמה 1בחרה מחיר ,cבחירה של מחיר cעל ידי פירמה 2ממקסמת את רווחיה של פירמה .2 כלומר ,צרוף המחירים p1=p2=cמהווה שיווי משקל. 12 הוכחה כעת נראה שעבור כל זוג מחירים ) ,(p1,p2כאשר לפחות אחד מהם שונה מ – ,cישנה לפחות פירמה אחת שיכולה להגדיל את רווחיה על ידי שינוי המחיר אותו היא קובעת. יש לבדוק מספר מקרים: – pi¥pj>cפירמה iיכולה לתמחר מתחת ל – pjולהרוויח יותר. – pi>pj=cפירמה jיכולה להעלות מחיר ולהרוויח יותר. – pi§pj<cפירמה iיכולה לקבוע מחיר שווה ל – cולהרוויח יותר. 13 השוואה לקורנו ולמונופול • ראינו ששיווי המשקל במודל זה מתלכד עם התוצאה של תחרות משוכללת. • במידה והפירמות היו מתחרות בכמויות )קורנו( היינו מקבלים מחיר גבוה יותר וכמויות קטנות יותר. • במידה והפירמות היו מתאחדות )הפתרון השיתופי( המחיר היה עולה מעבר למחיר קורנו והכמות הייתה יורדת מתחת לכמות קורנו. 14 פרדוקס ברטראנד • שתי פירמות מספיקות לשכפול התוצאה של תחרות חופשית • לא להיסחף – מגבלות כמות – עלות שולית משתנה – מוצרים דומים 15 מודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים • • • • • • • • • מודל חד תקופתי מוצרים מובדלים הפירמות מתחרות על ידי בחירת מחירים בחירת המחירים נעשית באופן סימולטאני הפירמות תצענה כל כמות שתבוקש מהן בהינתן המחירים שנבחרו. לפירמות ולצרכנים אינפורמציה מלאה על הביקוש ,מבנה ההוצאות של כל הפירמות האחרות והמחירים הנקבעים. אין כניסה או יציאה מהענף. כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה למחירים אותן בוחרות הפירמות האחרות כקבועים. לעיתים אומרים כי כל פירמה ממקסמת את רווחיה תחת הנחה כי המחיר בו תבחר אינה משפיעה על המחירים אותם יבחרו הפירמות האחרות ).(Zero Conjectural Variation 16 מודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים – nפירמות הנתונים • פונקציית הביקוש אותה רואה הפירמה המייצרת את מוצר qi=Di(p1,…,pn) – i • פונקציית ההוצאות של פירמה Ci(qi) - i • פונקציית הרווח של פירמה iהינה: ))πi(p1,p2,…,pi,…,pn)=piDi(p1,…,pn)-Ci(Di(p1,…,pn • פירמה iמתייחסת למחירים אותם קובעים הפירמות האחרות כקבועים וממקסמת את רווחיה. • במילים אחרות ,פירמה iמניחה ש dpj /dpi=0 -עבור jשונה מ – ) .iכלומר מניחה שינוי משוער אפס ובאנגלית .(zero conjectural variation 17 מודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים – nפירמות פתרון )שיווי משקל( • יש למצוא – nמחירים (p*1,p*2,…,p*n) ,כך ש- • p*iממקסם את רווחי פירמה iבהינתן שכל הפירמות האחרות בוחרות את וקטור המחירים: )p*-i=(p*1,p*2,…,p*i-1,p*i+1,…p*n 18 בצורה פורמאלית... • פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי nמחירים, ) (p*1,p*2,…,p*nהמקיימים: π i ( p1* , p2* ,..., pn* ) ≥ π i ( pi , p−*i ) i = 1,..., n where ) ( pi , p ) = ( p , p ,..., p , pi , p ,..., p * i +1 * n 19 * i −1 * 2 * 1 * −i חישוב הפתרון )שיווי משקל( – אם p*iממקסם את רווחי פירמה iבהינתן שהפירמות האחרות בוחרות p*-iאזי: * * ∂π i * ( p1 , p2 ,..., pn ) = 0. ∂pi 20 חישוב הפתרון )שיווי משקל( • לכן ,על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את מערכת של nמשוואות עם nנעלמים: * * ∂π i ( p1 , p2 ,..., pn* ) = 0 i = 1,..., n ∂pi • כמויות שיווי משקל תהיינה: ) q = Di ( p , p ,..., p * n * 2 * 1 * i 21 מודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים – nפירמות פונקציות תגובה * * ∂π i * מהמשוואה המתארת את ( p1 , p2 ,..., pn ) = 0. תנאי הסדר הראשון ∂pi למיקסום הרווחים של פירמה ,iמתקבלת פונקצית התגובה של פירמה .i פונקציה זו ניתנת לכתיבה כ (Ri(p-i)) -ומתארת מהו המחיר בו תבחר פירמה iלכל בחירת מחירים על ידי הפירמות האחרות. כך מתקבלת מערכת המשוואות הבאה: Pi(dQi/dPi)+Qi=MCi(Qi)(dQi/dPi) i=1,…,n או במונחי פונקציות תגובה Pi=R(P-i) i=1,…,n הקצאת שיווי משקל ברטראנד ניתנת על ידי המחירים פותרים משוואות אלו והכמויות המתקבלות מהצבתם לפונקציות הביקוש בכל שוק. 22 פונקציות תגובה -שתי פירמות 23 דוגמה מספרית הנתונים: פונקציות הביקוש אותן רואות שתי הפירמות הינן: q1=175-3p1+p2 q2=150-3p2+p1 פונקצית ההוצאות של פירמה 1הינה C1(q1)=3q1 פונקצית ההוצאות של פירמה 2הינה C2(q2)=4q2 24 דוגמה מספרית • בהינתן שרווחי פירמה 1הם )) π 1 ( p1 , p2 ) = p1 D1 ( p1 , p2 ) − c1 ( D1 ( p1 , p2 ) = p1 (175 − 3 p1 + p2 ) − 3(175 − 3 p1 + p2 • נקבל ש- ∂π 1 = 184 − 6 p1 + p2 ∂p1 25 דוגמה מספרית • באופן דומה ,בהינתן שרווחי פירמה 2הם )) π 2 ( p1 , p2 ) = p2 D2 ( p1 , p2 ) − c2 ( D2 ( p1 , p2 ) = p2 (150 − 3 p2 + p1 ) − 4(150 − 3 p2 + p1 • נקבל ש- ∂π 2 = 162 − 6 p2 + p1 ∂p2 26 דוגמה מספרית מקיימיםp*2 - וp*1 • מכאן שמחירי שיווי המשקל 184 − 6 p1 + p2 = 0 162 − 6 p2 + p1 = 0 184 + p2 = reaction function of firm 1 p 1 6 p2 = 162 + p1 reaction function of firm 2 27 6 שיווי המשקל • מחירי שיווי משקל הם: p1*=36.17 , p2*=33.028 • כמויות שיווי משקל הן: Q1*=99.518 , q2*=87.086 • רווחי הפירמות בשיווי משקל הם: P1=3301.01 , P2=2527.93 השוו פתרון זה לפתרון השיתופי )כאשר שתי הפירמות משתפות פעולה על מנת למקסם את סכום הרווחים(. 28 אינדקס לרנר במודל ברטראנד עם מוצרים מובדלים תנאי הסדר הראשון של פירמה iהינו: )pi(dqi/dpi)+qi=MCi(qi)(dqi/dpi מתנאי זה מתקבל: (pi –MCi)/pi=-(qi/pi )(dpi/dqi)=-1/ηi 29 סטאקלברג במחירים בדומה לסטאקלברג בכמויות נניח כי פירמה 1היא המובילה .בנתוני הדוגמה המספרית שלנו נקבל כי היא ממקסמת )נציב לתוך פונקצית הרווח שלה את תגובת הפירמה השנייה( את: )p1(175-3*p1+(162+p1)/6)-3(175-3*p1+(162+p1)/6 ונקבל )לאחר גזירה לפי p1והשוואה לאפס ,חישוב המחיר של הפירמה השנייה הנובע מכך ,והכמויות המיוצרות( p1=37.15 p2=33.19 q1=96.75 q2=87.57 π1=3303.72 π2=2556.374 לאור ההשוואה עם ברטראנד אנו רואים כמובן שהמובילה מרוויחה ,אך הלא מובילה מרוויחה אף יותר. 30 מודל קורנו עם מוצרים מובדלים • • • • • • • • • מודל חד תקופתי מוצרים מובדלים הפירמות מתחרות על ידי בחירת כמויות בחירת הכמויות נעשית באופן סימולטני מחירי המוצרים נקבעים כך שהשווקים מתנקים לפירמות אינפורמציה מלאה על הביקוש ומבנה ההוצאות של כל הפירמות האחרות אין כניסה או יציאה מהענף כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה לכמויות אותן בוחרות הפירמות האחרות כקבועות. לעיתים אומרים כל פירמה ממקסמת את רווחיה תחת הנחה כי הכמות בה תבחר אינה משפיעה על הכמויות אותן תבחרנה הפירמות האחרות ).(Zero Conjectural Variation 31 מודל קורנו עם מוצרים מובדלים הנתונים • פונקציית הביקוש אותה רואה הפירמה המייצרת את מוצר pi=Fi(q1,…,qn) – i • פונקציית ההוצאות של פירמה Ci(qi) - i • פונקציית הרווח של פירמה iהינה: )πi(q1,q2,…,qi,…,qn)=qiFi(q1,…,qn)-Ci(qi • פירמה iמתייחסת לכמויות אותן קובעות הפירמות האחרות כקבועות וממקסמת את רווחיה. • במילים אחרות ,פירמה iמניחה ש dqj /dqi=0 -עבור jשונה מ – ) .iכלומר מניחה שינוי משוער אפס ובאנגלית .(zero conjectural variation 32 מודל קורנו עם מוצרים מובדלים פתרון )שיווי משקל( • יש למצוא – nכמויות (q*1,q*2,…,q*n) ,כך ש- • q*iממקסם את רווחי פירמה iבהינתן שכל הפירמות האחרות מייצרות את וקטור הכמויות: )q*-i=(q*1,q*2,…,q*i-1,q*i+1,…q*n 33 בצורה פורמאלית... • פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי nכמויות, ) (q*1,q*2,…,q*nהמקיימות: π i (q1* , q2* ,..., qn* ) ≥ π i (qi , q−*i ) i = 1,..., n where ) *(qi , q−*i ) = (q1* , q2* ,..., qi*−1 , qi , qi*+1 ,..., qn 34 חישוב הפתרון )שיווי משקל( – אם q*iממקסם את רווחי פירמה iבהינתן שהפירמות האחרות מייצרות q*-iאזי: * * ∂π i * (q1 , q2 ,..., qn ) = 0. ∂qi 35 חישוב הפתרון )שיווי משקל( • לכן ,על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את מערכת של nמשוואות עם nנעלמים: * * ∂π i (q1 , q2 ,..., qn* ) = 0 i = 1,..., n ∂qi • מחירי שיווי המשקל יהיו ) p = Fi (q , q , ,..., q * n * 2 * 1 * i 36 דוגמה מספרית הנתונים: פונקציות הביקוש אותן רואות שתי הפירמות הינן: p1=200-3q1-q2 p2=250-4q2-q1 פונקצית ההוצאות של פירמה 1הינה C1(q1)=2q1 פונקצית ההוצאות של פירמה 2הינה C2(q2)=3q2 37 דוגמה מספרית • בהינתן שרווחי פירמה 1הם π 1 (q1 , q2 ) = q1[200 − 3q1 − q2 ) − 2q1 • נקבל ש- ∂π 1 = 200 − 6 q1 − q 2 − 2 ∂ q1 38 דוגמה מספרית • באופן דומה ,בהינתן שרווחי פירמה 2הם ) π 2 (q1 , q2 ) = P(q1 , q2 )q2 − c2 (q2 = q2 [250 − 4q2 − q1 ] − 3q2 • נקבל ש- ∂π 2 = 250 − 8q2 − q1 − 3 ∂q2 39 דוגמה מספרית מקיימותq*2 - וq*1 • מכאן שכמויות שיווי המשקל 198 − 6q1 − q2 = 0 247 − 8q2 − q1 = 0 q = 198 − q2 reaction function of firm 1 1 6 q2 = 247 − q1 reaction function of firm 2 8 40 שיווי המשקל כמויות שיווי המשקל הןq1*= 28.447 , q2*=27.319 : מחירי שיווי המשקל הםp1*=87.340 , p2*=112.277 : אם נתאר מודל זה כתחרות במחירים נקבל בדרך כלל תוצאות שונות. 41 קורנו מול ברטראנד • התחרות יכולה להיות בכמויות )קורנו( או במחירים )ברטראנד( • כמויות ומחירי שיווי המשקל שונים בשני התרחישים • מהו התרחיש הסביר – בשוק הדגים ,הפרחים -קורנו – בשוק ה – "מצלמות הדיגיטליות" חנויות הרשתות – ברטראנד • מהו אופי התחרות המועדף בעיני פירמות ובעיני צרכנים? תלוי . ... • מהן השלכות הרווחה של שתי צורות ההתנהגות – בשתיהן יהיו עיוותים – מה עדיף? תלוי ... 42 תחרות מונופוליסטית • לפירמות המתחרות יש כוח שוק )הן מייצרות מוצרים מובדלים( .כל פירמה רואה עקומת ביקוש היורדת משמאל לימין )התלויה למעשה במחירים ו/או כמויות שקבעו הפירמות האחרות( • בשיווי משקל של הטווח הקצר נקבעים מחירים ,כמויות ורווחים בהתאם למודלים שלמדנו מקודם )קורנו אם התחרות בכמויות, ברטראנד אם התחרות במחירים(. • בטווח הארוך יש כניסה חופשית. • פירמות נכנסות ויוצאות מהענף עד שמתקבלת רמת רווח כלכלי אפס. 43 Joan Robinson 1903-1983 44 Edward C. Chamberlin 1866-1967 45 תחרות מונופוליסטית בטווח הקצר הצגה גראפית – ddעקומת ביקוש סוביקטיבית – Dעקומת ביקוש אוביקטיבית D MC d d mr Q D q 46 תחרות מונופוליסטית בטווח הארוך הצגה גראפית החיתוך של ה MCו ה MRקורה בכמות שעקומת הביקוש משיקה לעקומת ההוצאות הממוצעות D MC LRATC P d p d mr D Q q 47 תחרות מונופוליסטית – דוגמה מספרית נניח כי כעת יש 3פירמות בענף הרואות את הביקושים הבאים: p1=130-2q1-q2-q3 p2=130-2q2-q1-q3 p3=130-2q3-q1-q2 MC=10 constant F=100 ניתן לחשב שיווי משקל הנובע מתחרות בכמויות: הפתרון הינוq1=q2=q3=20 : הרווח הינו50*20-10*20-100=700 : כניסה חופשית תגרור שעוד פירמות תיכנסנה לענף. 48 תחרות מונופוליסטית – דוגמה מספרית הביקוש הסובייקטיבי שהפירמה רואה הינו: P=130-2Q-40=90-2Q זהו ה – dd הביקוש האובייקטיבי הינו: P=130-4Q זהו ה DD - ה MR -חותך את ה MC -שנגזר מה dd -בכמות ש – DDחותך את .dd 49 תחרות מונופוליסטית – דוגמה מספרית אם יכנסו עוד פירמות הביקושים אותם רואה כל פירמה יזוזו למטה. qi=15 N=5הרווח לפירמה .350 עבור n=13הרווח עדיין חיובי ,ועבור n=14הרווח שלילי. לכן בטווח הארוך יהיו 13פירמות. בחישובים שימו לב ש – ) ,qi=120/(N+3מבטאים את הרווח כפונקצייה של ,Nומחפשים Nשעבורו הרווח אפס. 50 Paul Marlor Sweezy 1910-2004 51 עקומת ביקוש שבורה Kinked Demand Curve • פירמה מצפה לתגובה שונה כאשר היא מגדילה כמות מיוצרת )מורידה את מחיר המוצר( וכאשר היא מקטינה כמות מיוצרת )מעלה את מחיר המוצר(. • במקרה הראשון נתח השוק שלה נוטה לגדול והיא מניחה כי המתחרים יגיבו בצורה דומה ,בעוד שבמקרה השני נתח השוק שלה נוטה לקטון ולכן היא מצפה שהמתחרים לא יטו להגיב. • שיקול זה מביא לעקומת ביקוש שבורה בנקודת ה מחיר/כמות העכשווית. 52 הצגה גראפית של עקומת ביקוש שבורה P גמיש *p קשיח D Q *Q 53 השרטוט המקורי מהמאמר של )Sweezy (1939 54 עקומת ביקוש שבורה – דוגמה מספרית הניחו כי במצב המוצא: p1=70 q1=10 p2=55 q2=10 מצב כזה הינו שיווי משקל קורנו כאשר: p1=100-2q1-q2 p2=95-q1-3q2 ) C1(q1)=2.5q12 C2(q2)=25q2שימו לב זו תחרות קורנו עם מוצרים מובדלים( כעת פירמה 1מניחה שאם היא מעלה מחיר )מורידה כמות( פירמה 2לא תגיב כלןמר תשמור על מחיר P2=55היא רואה לכן את הביקוש: p1=100-2q1-(40-q1)/3 לאור זאת ה – MRשלה עבור העלאת מחיר הינו 53.33 כמו כן היא מניחה שאם היא תוריד מחיר אזי פירמה 2תמשיך למכור אותה כמות כמוה כדי לשמור על נתח שוק. היא רואה לכן את הביקושp1=100-2q1-q1 : לאור זאת ה – MRשלה עבור הורדת מחיר הינו .40 ה – MCשל פירמה 1בנקודת הייצור הינו .50לאור זאת לא כדאי לה לשנות את הכמות המיוצרת. 55 מוצרים מובדלים – תחרות מחירים ומיקום • מוצרים מובדלים )(Differentiated Products – המוצרים ממוקמים בנקודות שונות במרחב המוצרים )מיקום פיזי ,תכונות (... – מהו מרחב המוצרים? • קו ישר )(Hotelling 1929 • מעגל )(Salop 1979 • דרך העבודה – הצגת המודל – פתרון כמותי )מחירים ,כמויות ,מיקום ,רווחה( – סטאטיקה השוואתית 56 Harold Hotelling 1895-1973 57 מודל המיקום של Hotelling הנתונים רחוב באורך 1 הצרכנים מתפלגים על הרחוב באופן אחיד כל צרכן צורך יחידה אחת בלבד מהמוצר ,והנאתו מהמוצר ניתנת על ידי .v שתי פירמות ,פירמה שמאלית ממוקמת במרחק aמהקצה השמאלי של הקטע ופירמה ימנית ממוקמת במרחק bמהקצה הימני. 58 מודל המיקום של Hotelling לצרכנים יש "הוצאות נסיעה" )הוצאות התאמה( ליניאריות בשיעור ,s כלומר צרכן הממוקם בנקודה m>aוקונה מהפירמה הממוקמת ב – a נושא בהוצאות נסיעה של ).s(m-a רווחתו של הצרכן ניתנת על ידי: )מחיר()-הוצאות נסיעה()-הנאה מהמוצר( רווחיה של הפירמה ניתנים על ידי: )הוצאות ייצור()-נפח מכירות()xמחיר( )נניח לשם פשטות כי אין הוצאות לייצור המוצר( 59 מודל המיקום של Hotelling מהם הביקושים אותם רואה כל פירמה בהינתן צירוף מחירים )?(pL,pR כל צרכן יקנה מהפירמה ה"זולה" יותר. צרכן הממוקם במרחק xמימין לפירמה השמאלית ומרחק yמשמאל לפירמה הימנית ישווה בין: pL+sxו – pR+sy וירכוש את המוצר אצל הפירמה שמחירה ה"אפקטיבי" נמוך יותר. כדי לקבוע את כמות הצרכנים שתגיע לכל פירמה יש לחשב את הצרכן האדיש. 60 היכן ממוקם הצרכן האדיש? מיקומו של הצרכן האדיש מתקבל מפתרון מערכת המשוואות הבאה: שפתרונה ניתן על ידי: pL + sx = pR + sy a + x + y +b =1 )pR − pL + s (1 − a − b =x 2s )pL − pR + s (1 − a − b =y 2s 61 מהן הכמויות המבוקשות מהפירמות? כל הצרכנים מימין לצרכן האדיש יקנו מהפירמה הימנית ,וכל הצרכנים משמאל לצרכן האדיש יקנו מהפירמה השמאלית. לכן הביקושים אותם רואים הפירמה השמאלית ) (DLוהפירמה הימנית הם ) (DRהינם: )pR − pL + s (1 − a − b DL ( pL , pR ) = a + 2s )pL − pR + s (1 − a − b DR ( pL , pR ) = b + 2s 62 מהן פונקציות הרווח של הפירמות? הרווח של הפירמה ניתן על ידי פדיון פחות הוצאות .הנחנו לשם פשטות שההוצאה הינה אפס ,ולכן מתקבלות פונקציות הרווח הבאות: )pR − pL + s (1 + a − b Π L ( pL , pR ) = pL 2s )pL − pR + s (1 − a + b Π R ( pL , pR ) = pR 2s 63 שרטוט העיר של הוטלינג 64 מודל הוטלינג פתרון )שיווי משקל( פתרון )שיווי משקל( • יש למצוא – זוג מחירים p*Rו p*L -כך ש- • p*Rממקסם את רווחי הפירמה הימנית בהינתן שהפירמה השמאלית בחרה p*Lו- • p*Lממקסם את רווחי הפירמה השמאלית בהינתן שהפירמה הימנית בחרה p*R 65 בצורה פורמאלית... • פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי זוג מחירים p*R ,וp*L - המקיים: ∀p ) π L ( p , p ) ≥ π L ( p, p ∀p )π R ( p , p ) ≥ π R ( p , p * R * R * L 66 * R * L * L חישוב הפתרון )שיווי משקל( אם p*Lממקסם את רווחי הפירמה השמאלית בהינתן שהפירמה הימנית בוחרת p*Rאזי: * * ∂π L ( pL , pR ) = 0 ∂pL אם p*Rממקסם את רווחי הפירמה הימנית בהינתן שהפירמה השמאלית בוחרת p*Lאזי: * * ∂π R ( pL , pR ) = 0 ∂pR 67 • לכן ,על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את מערכת שתי המשוואות עם שני הנעלמים הבאה: * * ∂π L ( p , p ) = 0 L R ∂p L ∂π R ( pL* , pR* ) = 0 ∂pR • הכמויות אותן תמכור כל פירמה ,תקבענה על פי המחירים בהתאם לנוסחאות הקודמות. 68 פתרון )שיווי משקל( מחירי שיווי המשקל יפתרו את המשוואות הבאות: pR − 2 pL + s (1 + a − b) = 0 pL − 2 pR + s (1 − a + b) = 0 ויינתנו על ידי: )s ( a − b pL = s + 3 ) s(b − a pR = s + 3 69 פתרון )שיווי משקל( ) s (3 − b + a = ΠL 18 2 )s (3 − a + b = ΠR 18 2 רווחי שיווי משקל יינתנו על ידי: חלקי השוק של כל פירמה בשיווי משקל יהיו: 3+ a −b = 6 3+b−a = 6 ms L ms R 70 האם מצאנו את שיווי המשקל? אך האם הגדלים שמצאנו באמת מהווים שיווי משקל? לא בהכרח ,הם רק מועמדים לשיווי משקל. הבעיה כאן נובעת מכך שבכל הניתוח התעלמנו מהאפשרות שאחת הפירמות "תזרוק" את הפירמה האחרת מהשוק. 71 הסבר לגבי השתלטות על השוק והתנאי אותו צריך שיווי המשקל לקיים בכל הדיון התעלמנו מהאפשרות ל"זרוק" פירמה מהשוק. כלומר מהאפשרות של הפירמה הימנית )השמאלית( לקחת מחיר כה נמוך ,שאפילו הפרטים משמאל )מימין( לפירמה השמאלית )הימנית( יעדיפו לרכוש את המוצר אצל הפירמה הימנית )השמאלית(. כלומר תוצאת החישוב מהווה שיווי משקל ,רק אם הרווח במחירים שהתקבלו עולה על הרווח מקביעת מחיר שתזרוק את הפירמה השנייה מהשוק. למשל כאשר a=b=0.5שיווי המשקל לא יינתן על ידי הנוסחאות שחישבנו בשקפים הקודמים. תוודאו שהוא יינתן על ידי מחיר אפס )מחיר שווה להוצאה שולית(. 72 ובאופן יותר פורמאלי ... אם הפירמה השמאלית תקבע מחיר )p*=p*R-s(1-b-a)=s((4/3)b+(2/3)a היא תמכור לכל השוק ותרוויח: )s((4/3)b+(2/3)a אם הפירמה הימנית תקבע מחיר )p*=p*L-s(1-b-a)=s((4/3)a+(2/3)b היא תמכור לכל השוק ותרוויח: )s((4/3)a+(2/3)b 73 ובאופן יותר פורמאלי ... לכן בכדי שהפתרון יהווה שיווי משקל צריך להתקיים: s((4/3)b+(2/3)a)≤(s(3-b+a)2)/18 s((4/3)a+(2/3)b)≤(s(3-a+b)2)/18 למשל ,כאשר a<0.25 b<0.25ו – a=bשיווי המשקל יינתן על ידי הנוסחאות שמצאנו. מדוע? ניתן לצמצם את ,sוכאשר a=bהאי שוויונות גוררים ש – aו – bקטנים מ – .0.25 74 מודל המיקום של הוטלינג -הערות • • • • • • שיווי המשקל חושב עבור מיקום נתון. אם הפירמות רחוקות )שונות( מספיק ,התוצאה אינה תחרותית ומערבת מחיר מעל להוצאה שולית. המחיר שיקבע עולה ב – ) sהבידול בין המוצרים(. במקרה הלא תחרותי יש לכל פירמה תמריץ לנוע לכוון הפירמה השנייה. אם מרחב הפעולות של הפירמות כולל מחיר ומיקום אין שיווי משקל )באסטרטגיות טהורות(. מבחינת פארטו יעילות על שתי הפירמות להתמקם ב – 1/4 ו – .3/4מיקום זה יביא למינימום את הוצאות התחבורה. 75 מודל המיקום של הוטלינג – הערות • אוכלוסיית הצרכנים תופשת את המוצר כבעל מיקום או תכונה מסוימת במרחב המוצרים. • הוצאות תחבורה )הבידול( לא חייבות להיות ליניאריות .הוצאות תחבורה ריבועיות עשויות להביא לקיום שיווי משקל בתחרות מיקום/מחיר. • כמובן שניתן לדבר על יותר ממימד אחד ועל צרכנים הקונים יותר מיחידה אחת של המוצר. • ניתן לדבר על מבנה הוצאות שונה ,למשל הוצאה שולית קבועה ,c או על רחוב בעל אורך משתנה ).(L • יישום אפשרי ,אוכלוסיית עובדים ומספר מעסיקים המציעים עבודות דומות. 76 Steven C. Salop 77 מודל המעגל של Salop • • • • • • • • מעגל בהיקף 1 אוכלוסיית הצרכנים ) (Nמתפלגת על שפת המעגל באופן אחיד. כל צרכן קונה יחידה אחת בלבד מהמוצר ,והנאתו מהמוצר ניתנת על ידי .v nפירמות זהות ממוקמות על שפת המעגל. לפירמות יש עלות כניסה של Fוהוצאה שולית קבועה של .c לצרכנים יש "הוצאות נסיעה" ליניאריות בשיעור sכלומר צרכן הממוקם במרחק dמהפירמה ממנה הוא קונה ,נושא בהוצאות נסיעה של .sd רווחתו של הצרכן ניתנת על ידי: )מחיר()-הוצאות נסיעה()-הנאה מהמוצר( רווחיה של הפירמה ניתנים על ידי: )הוצאות ייצור()-נפח מכירות()xמחיר( 78 פתרון המודל של Salop • • • • • • • • • למעשה חושבים כאן על משחק דו שלבי .בשלב הראשון הפירמות מתמקמות ולאחר מכן הן מתחרות במחירים על המעגל .כמובן שבהחלטת המיקום הן לוקחות בחשבון כיצד תיראה תחרות המחירים. אנו לא פותרים את שלב המיקום באופן מפורש ומניחים כי הפירמות תתפזרנה במרחקים שווים על שפת המעגל. כל צרכן יקנה מהפירמה ה"זולה" יותר. מהם הביקושים אותם רואה כל פירמה בהינתן צירוף המחירים שבחרו בו? )אנו מניחים שכל הפירמות מוכרות כמויות חיוביות( הביקוש לכל פירמה נקבע לפי מיקומם של שני צרכנים "אדישים" משני הצדדים. כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהניחה כי השינוי המשוער במחירים אותם קובעות הפירמות האחרות הינו אפס. כלומר ,כל פירמה תגזור את רווחיה לפי מחירה ותשווה לאפס. צירוף המחירים הפותר בעת ובעונה אחת את כל תנאי הסדר הראשון ,ביחד עם הכמויות )חלוקת השוק( המשתמעות ממנו מהווה את הפתרון לתחרות המחירים. פירמות תיכנסנה עד שהרווח יתאפס )בטווח הארוך(. 79 פתרון "כמותי" של מודל Salop חישוב שיווי משקל סימטרי ) nפירמות( בשיווי משקל מעין זה כל הפירמות תקבענה אותו מחיר. בכדי לחסוך בחישובים וסימונים ,נבנה את בעיית האופטימיזציה שפותרת פירמה בנקודה 0המניחה ששתי שכנותיה קובעות אותו מחיר ?P0 ראשית נחשב את הביקוש העומד מולה בקובעה מחיר .P הצרכן האדיש מצד ימין ניתן על ידי פתרון המשוואה: 1 ⇒ − Xˆ ) s n ( + 0 ˆP + s X = P − P 1 + 2 s 2 n 0 P = ˆX חישוב הצרכן האדיש מצד שמאל מתבצע באותו אופן ונקבל כי הביקוש העומד לפניה הינו לכן )שימו לב ש n מייצג את מספר הפירמות ו – Nאת מספר הצרכנים(: − P 1 + ) s n 0 P ( = N Q 80 פתרון "כמותי" של מודל Salop רווחיה ניתנים אם כן על ידי: = 1 n + − P s = ( P − c )Q 0 π P ( P − c ) N נגזור לפי Pונשווה לאפס: 1 N ) = 0 + ( P − c )( − n s + P0 − P N s = ∂ π ∂ P אנו מחפשים מחירים ה"תומכים" בשיווי משקל סימטרי, בשיווי משקל כזה המחירים יהיו זהים ולכן "ננחש" ש - .P=P0 לאור זאת המחיר המועמד לשיווי משקל )אותו מחיר שיקיים את תנאי הסדר הראשון בתרחיש בו כל הפירמות בוחרות בו( הינו: s n = c + .P בדומה למודלים קודמים אנו מניחים ששיווי המשקל פנימי .שימו לב שבשיווי משקל הכמות שכל פירמה מוכרת הינה .N/n רווחי הפירמה בשיווי משקל ניתנים על ידי: sN n 2 = s N ) ) − c n n = (( c + π 81 פתרון "כמותי" של מודל Salop מספר הפירמות שיכנסו למעגל בטווח הארוך ניתן על ידי nCהמקיים (Ns)/nC2≥F :ו – (Ns)/(nC +1) 2<F כלומר תחרות תגרור שבטווח הארוך יהיו )בהתעלם ממגבלת שלמים( nC=(Ns/F)0.5פירמות במעגל. מהו המספר הפארטו יעיל של פירמות? מספר הפירמות שיביא למינימום את העלות הכוללת של הוצאות תובלה והקמה. 82 פארטו יעילות במודל Salop לחישוב מספר הפירמות היעיל מבחינה חברתית נחשב את סך הוצאות התובלה בהינתן שיש nפירמות. העלות לצרכנים בקשת 0עד ) 1/(2nהיא s 8n 2 ) 1 /( 2 n N ∫ stdt = N 0 לכן סך העלות בהקמת nמפעלים הינה: s Ns ) + nF = + nF 2 4n 8n ( 2nN גזירה לפי nוהשוואה לאפס גוררת: 0.5 1 Ns n = 2 F בתחרות נכנס מספר כפול של פירמות ,כלומר תחרות במודל זה יצרה מגוון גדול מדי של מוצרים. 83
© Copyright 2024