null
תחרות בין מעטים קורנו סטאקלברג שוליים תחרותיים 1 Antoine Augustin Cournot 1801-1877 2 מודל קורנו • • • • • תיאור הסביבה )ההנחות( מושג הפתרון חישוב הפתרון השוואה לתחרות ולמונופול סטאטיקה השוואתית 3 מודל קורנו )הבסיסי( – הנחות • • • • • • • • • מודל חד תקופתי מוצר הומוגני הפירמות מתחרות על ידי בחירת כמויות בחירת הכמויות נעשית באופן סימולטני מחיר המוצר נקבע כך שהשוק מתנקה לפירמות אינפורמציה מלאה על הביקוש ומבנה ההוצאות של כל הפירמות האחרות אין כניסה או יציאה מהענף כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה לכמויות אותן בוחרות הפירמות האחרות כקבועות. לעיתים אומרים כל פירמה ממקסמת את רווחיה תחת הנחה כי הכמות בה תבחר אינה משפיעה על הכמויות אותן תבחרנה הפירמות האחרות ).(Zero Conjectural Variation 4 מודל קורנו – שתי פירמות הנתונים • פונקציית הביקוש – )P(Q • פונקציית ההוצאות של כל פירמה C1(q1) :ו – )C2(q2 • פונקציית הרווח של פירמה 1הינה: )π1(q1,q2)=P(q1+q2)q1-C1(q1 • פונקציית הרווח של פירמה 2הינה: )π2(q1,q2)=P(q1+q2)q2-C2(q2 • כל פירמה מתייחסת לכמות אותה מייצרת הפירמה האחרת כקבועה וממקסמת את רווחיה. במילים אחרות פירמה iמניחה ש dqj /dqi=0 -עבור jשונה מ – ) .iכלומר מניחה שינוי משוער אפס ובאנגלית .(zero conjectural variation • 5 מודל קורנו -שתי פירמות פתרון )שיווי משקל( • יש למצוא – זוג כמויות q*1ו q*2 -כך ש- • q*1ממקסמת את רווחי פירמה 1בהינתן שפירמה 2מייצרת q*2ו- • q*2ממקסמת את רווחי פירמה 2בהינתן שפירמה 1מייצרת q*1 6 בצורה פורמאלית... • פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי זוג כמויות q*1 ,וq*2 - המקיים: * * * ) π1 (q1 , q2 ) ≥ π1 (q1, q2 * * * ) π 2 (q1 , q2 ) ≥ π 2 (q1 , q2 7 חישוב הפתרון )שיווי משקל( – אם q*1מביאה למקסימום את רווחי פירמה 1בהינתן שפירמה 2מייצרת q*2אז * * ∂π 1 (q1 , q2 ) = 0. ∂q1 ∂q – אם q*2מביאה למקסימום את רווחי פירמה 2בהינתן שפירמה 1מייצרת q*1אז * * ∂π 2 (q1 , q2 ) = 0. ∂q2 8 • לכן ,על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את מערכת שתי המשוואות עם שני הנעלמים הבאה: * * ∂π 1 ( q , q ) = 0 1 2 ∂q 1 ∂π 2 (q * , q * ) = 0 1 2 ∂q2 • מחיר שיווי המשקל יהיה 9 ) P(q + q * 2 * 1 דוגמה מספרית • הביקוש המצרפי מתואר על-ידי הפונקציה P (Q) = 25 − 2Q P 25 )P(Q Q 10 דוגמה מספרית • יש שתי פירמות זהות בשוק :פירמה 1ופירמה .2 • פירמה (i=1,2) ,iמאופיינת על-ידי פונקצית העלות הבאה: 2 ci (qi ) = qi + 2qi • העלות השולית של כל פירמה היא ,אם כן: i = 1,2 11 MCi (qi ) = 1 + 4qi אם הפירמות היו תחרותיות... • פונקצית ההיצע של כל פירמה iהינה: p −1 = ) qi ( p 4 • ופונקצית ההיצע המצרפית הינה: p −1 = )q ( p 2 s 12 הפתרון התחרותי P הכמות והמחיר התחרותיים ניתנים על ידי נקודת החיתוך בין עקומת הביקוש ועקומת ההיצע. )S(p עקומת ההיצע מתקבלת מסכימה אופקית של עקומות ההיצע של הפירמות הבודדות. )MC(q 25 13 )P(q Q 6 13 אבל הן לא תחרותיות ,פתרון קורנו • לכן ,על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים: * * ∂π 1 ( q , q ) = 0 1 2 ∂q 1 ∂ π 2 (q* , q* ) = 0 1 2 ∂q2 14 דוגמה מספרית • בהינתן שרווחי פירמה 1הם ) π 1 (q1 , q2 ) = P(q1 , q2 )q1 − c1 (q1 ) = [25 − 2(q1 + q2 )]q1 − (q1 + 2q 2 1 • נקבל ש- ∂π 1 = 24 − 8q1 − 2q2 ∂q1 15 דוגמה מספרית • באופן דומה ,בהינתן שרווחי פירמה 2הם ) π 2 (q1 , q2 ) = P(q1 , q2 )q2 − c2 (q2 ) = [25 − 2(q1 + q2 )]q2 − (q2 − 2q22 • נקבל ש- ∂π 2 = 24 − 2q1 − 8q2 ∂q2 16 דוגמה מספרית מקיימותq*2 - וq*1 • מכאן שכמויות שיווי המשקל 24 − 8q1 − 2q2 = 0 24 − 2q1 − 8q2 = 0 12 − q2 = reaction function of firm 1 q 1 4 q = 12 − q1 reaction function of firm 2 2 4 17 q1 12 פונקצית התגובה של פירמה 2 שיווי המשקל פונקצית התגובה של פירמה 1 3 12/5 q2 12 12/5 3 18 שיווי המשקל • כמויות שיווי המשקל הן q1*= q2*=12/5. • התפוקה המצרפית היא q*= q1*+ q2*=24/5. • מחיר שיווי המשקל הוא P(q*)=25-2 q* =77/5=15.40 השוו פתרון זה לפתרון המונופוליסטי )כאשר יש רק פירמה אחת( ולפתרון השיתופי )כאשר שתי הפירמות משתפות פעולה על מנת למקסם את סכום הרווחים(. 19 השוואה בין הפתרון התחרותי ופתרון קורנו P )MC(q 25 )S(p 15.4 13 )P(q Q 6 4.8 20 דוגמה מספרית נוספת ) MCקבוע( הביקוש ניתן על ידיP=25-Q : פונקציית ההוצאות של כל פירמה ) 1ו – (2ניתנת על ידיCi=5qi : i=1,2 פונקציית הרווח של פירמה 1ניתנת על ידי: Π1=q1(25-q1-q2)-5q1 מגזירה לפי q1והשוואה לאפס מתקבל: 25-2q1-q2-5=0 כלומר פונקציית התגובה של פירמה 1הינה: )q1=0.5(20-q2 21 דוגמה מספרית נוספת ) MCקבוע( • באופן דומה מתקבל כי פונקציית התגובה של פירמה 2הינהq2=0.5(20-q1) : • הכמויות של שיווי משקל קורנו ניתנות על ידי חיתוך שתי פונקציות התגובה ומתקבלות מפיתרון סימולטני של מערכת המשוואות הבאה: )q1=0.5(20-q2 )q2=0.5(20-q1 פתרונן ניתן על ידי: q1=q2=20/3 כתוצאה מכמויות אלו המחיר שמנקה את השוק ניתן על ידי: )P=35/3 (25-20/3-20/3 רווחיה של כל פירמה ניתנים על ידי .400/9 השוו זאת לפתרון התחרותי ,לפתרון המונופוליסטי ,ולפתרון השיתופי )הפתרון הממקסם את סך רווחי הפירמות(. 22 פתרון כללי במקרה של ביקוש ליניארי, הוצאה שולית קבועה ושתי פירמות פונקציית הביקוש הינהP=A-bQ : פונקציית ההוצאות של כל פירמה היא cqi פירמה 1תגזור אתq1(A-b(q1+q2))-cq1 : ונקבל את פונקציית התגובה: )R1(q2)=(A-c-bq2)/(2b ובאופן דומהR2(q1)=(A-c-bq1)/(2b) : פתרון שתי המשוואות: )q1=R(q2) ; q2=R(q1 יגרור q1=q2=(A-c)/(3b) :ולכן P=(A+2C)/3 ו π=(A-c)2/(9b) - 23 סטאטיקה השוואתית נניח כי עקומת הביקוש ליניארית והעלויות השוליות קבועות ושוות לשתי הפירמות. ירידה בעלות השולית של פירמה 1תגרור שיווי משקל קורנו חדש בו: Q1יגדל Q2 ,ירד ,תפוקה כוללת תגדל ,רווחי פירמה 1יעלו ורווחי פירמה 2ירדו. מראים זאת על ידי חישוב גדלי שיווי המשקל החדש. 24 מודל קורנו – nפירמות הנתונים • פונקציית הביקוש – )P(Q • פונקציית ההוצאות של כל פירמהCi(qi) : • פונקציית הרווח של פירמה iהינה: )πi(q1,q2,…,qi,…,qn)=qiP(q1+…+qn)-Ci(qi • פירמה iמתייחסת לכמויות אותן מייצרות הפירמות האחרות כקבועות וממקסמת את רווחיה. • במילים אחרות ,פירמה iמניחה ש dqj /dqi=0 -עבור jשונה מ – ) .iכלומר מניחה שינוי משוער אפס ובאנגלית .(zero conjectural variation 25 מודל קורנו n -פירמות פתרון )שיווי משקל( • יש למצוא – nכמויות (q*1,q*2,…,q*n) ,כך ש- • q*iממקסם את רווחי פירמה iבהינתן שכל הפירמות האחרות מייצרות את וקטור הכמויות: )q*-i=(q*1,q*2,…,q*i-1,q*i+1,…q*n 26 בצורה פורמאלית... • פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי nכמויות, ) (q*1,q*2,…,q*nהמקיימות: π i (q , q ,..., q ) ≥ π i (qi , q ) i = 1,..., n * −i * 2 * n * 1 where ) (qi , q ) = (q , q ,..., q , qi , q ,..., q * i +1 * n 27 * i −1 * 2 * 1 * −i חישוב הפתרון )שיווי משקל( – אם q*iממקסם את רווחי פירמה iבהינתן שהפירמות האחרות מייצרות q*-iאזי: * * ∂π i * (q1 , q2 ,..., qn ) = 0. ∂qi 28 חישוב הפתרון )שיווי משקל( • לכן ,על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את מערכת של nמשוואות עם nנעלמים: * * ∂π i * (q1 , q2 ,..., qn ) = 0 i = 1,..., n ∂qi • מחיר שיווי המשקל יהיה ) P(q + q + ... + q * n * 2 * 1 29 דוגמה מספרית – nפירמות פונקצית העלות של פירמה iהיא ci (qi ) = qi + 2q 2 i העלות השולית היא i = 1,2,..., n 30 MCi (qi ) = 1 + 4qi נתחיל בחישוב של שיווי משקל תחרותי • פונקצית ההיצע של כל פירמה iהייתה p −1 = ) qi ( p 4 • ופונקצית ההיצע המצרפית הינה np − n = )q ( p 4 s 31 הפתרון התחרותי • ההיצע ניתן על ידי: nP − n 4 • הביקוש ניתן על ידי: P = 25 − 2Q d or Q d ( P) = 12.5 − 0.5P = )Q s ( P • שיווי המשקל התחרותי מתקבל מפתרון המשוואות וניתן על ידי: 50 + n 12n =P =; Q 2+n 2+n 32 אבל הן לא תחרותיות. • הפירמות מכירות את פונקצית הביקוש ומבינות כי הן משפיעות על המחיר )שנקבע לפי התפוקה המצרפית( דרך רמת התפוקה בה יבחרו. • כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה לכמויות אותן בוחרות הפירמות האחרות כקבועות. • כך מתקבלת מערכת המשוואות הבאה שפתרונה ייתן את הפתרון של קורנו )תחרות בכמויות(. 33 חישוב פתרון )שיווי משקל( של קורנו • על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור מערכת של nמשוואות עם nנעלמים • בהינתן ש- ) π i (qi , q−i ) = P(q1 ,..., qn )qi − ci (qi מתקבל ) = [25 − 2(q1 + ... + qn )]qi − (qi + 2qi2 ∂π i = 24 − 8qi − 2 ∑ q j ∂qi j ≠i 34 • לכן ,כמויות שיווי המשקל )* (q1*,…, qnמקיימות i = 1,..., n. 24 − 8q − 2 ∑ q = 0 * j * i j ≠i ולכן i = 1,..., n. 35 12 − ∑ q *j j ≠i 4 = q * i שיווי המשקל • כמויות שיווי המשקל הן 12 = q = q = ... = q 3+ n * 2 * n * 1 • התפוקה המצרפית היא 12n = q = q + q + ... + q 3+ n * 2 * n * 1 * • מחיר שיווי המשקל הוא 75 + n = ) P = P(q 3+ n * * N 36 פתרון קורנו מתכנס לפתרון התחרותי 12 12 * lim q (cournot ) = lim = lim qi (ce) = lim =0 N →∞ N →∞ n + 3 N →∞ N →∞ n + 2 12n 12n * lim Q(cournot ) = lim = lim qi (ce) = lim = 12 N →∞ N →∞ n + 3 N →∞ N →∞ n + 2 n + 75 50 + n =1 lim P (cournot ) = lim = lim P (ce) = lim N →∞ N →∞ n + 3 N →∞ N →∞ n + 2 * i 37 תוצאת שיווי המשקל מתקרבת לתוצאה,ככל שמספר הפירמות גדל .התחרותית הדוגמה הליניארית – nפירמות נניח כי עקומת הביקוש ליניארית ) (P=A-bQוכל הפירמות זהות עם עלות שולית קבועה ) .(cניתן לחשב את שיווי המשקל ולקבל כי: )Qi=(A-c)/((n+1)b) Q=n(A-c)/((n+1)b )P=(A+nc)/(n+1) π=(A-c)2/((n+1)2b גידול במספר הפירמות מוריד את הכמות אותה מייצרת כל פירמה ,מגדיל את הכמות המצרפית ומוריד את המחיר .כש – nשואף לאינסוף המחיר שואף ל – .cכלומר ,גם כאן יש התכנסות לתוצאה התחרותית. 38 מודל קורנו -מסקנות • • ליצרנים בתחרות קורנו יש כוח שוק והמחיר בדרך כלל נקבע מעל לעלות השולית. הקשר בין MCומחיר נובע מתנאי הסדר הראשון שניתן על ידי: dπ i d = = )) ( P (q1 + ... + qn ) ⋅ qi − c(qi dqi dqi dP qi + P − mci = 0 dQ or dP P − mci = − qi dQ • • • הפער בין מחיר ל – MCנמוך מהפער הקיים במונופול )שם מופיע סך התפוקה(. במקרה של יצרנים סימטריים ,כוח השוק קטן כשמספרם גדל. ניתן לחשב אינדקס לרנר אישי. 39 אינדקס לרנר במודל קורנו 40 P − MCi (Qi ) dP 1 Li = =− Qi = P dQ P dP Q Qi 1 =− = − si = dQ P Q η 1 (in the symmetric case) − nη מודל קורנו – הערות • שיתוף פעולה בין הפירמות יגדיל רווחים – כיצד לחלק את הגידול ברווחים – התוצאה אינה יציבה ,פירמה בודדת יכולה לייצר יותר מאשר ההסכם השיתופי מכתיב לה ,ולהגדיל את רווחיה. – במודל רב תקופתי ניתן להכניס "עונשים" כדי לתמוך ב שת"פ. • כניסה חופשית של פירמות – צריך לציין מהי ההוצאה הקבועה – פירמות תיכנסנה עד הנקודה שהרווח מפעילות הייצור שווה להוצאה הקבועה )נתעלם מבעיית השלמים( • יש להיזהר אם פונקציות המטרה אינן מתנהגות יפה ותנאי הסדר השני אינם מתקיימים. 41 מודל סטאקלברג • עד כה הנחנו שהשינוי המשוער הינו אפס וכי בחירת הכמויות הינה סימולטאנית. • השינוי במודל סטאקלברג הינו שיש פירמה מובילה ופירמה מסתגלת .הפירמה המובילה קובעת כמות בהכירה את פונקצית התגובה של הפירמה השנייה. לחילופין ,ניתן לומר כי הפירמה המובילה נעה ראשונה, ויודעת כי הפירמה השנייה תבחר בכמות הממקסמת את רווחי הפירמה השנייה ,בהתחשב בכמות שבחרה הפירמה הראשונה. • לאור כל זאת הפירמה הראשונה תבחר את הנקודה הטובה ביותר עבורה על פונקציית התגובה של הפירמה השנייה. 42 מודל סטאקלברג – דוגמה מספרית נמשיך בדוגמה שהתחלנו במודל קורנו. הביקוש ניתן על ידיP=25-Q : פונקציית ההוצאות של כל פירמה ) 1ו – (2ניתנת על ידיCi=5Qi : i=1,2 פירמה 1מובילה ומכירה את פונקציית התגובה של פירמה ) 2חישבנו אותה מקודם( שניתנת על ידי Q2=0.5(20-Q1) : פירמה 1ממקסמת על כן את הרווח שלה שניתן על ידי: Q1(25-Q1-(0.5(20-Q1))-5Q1 נגזור לפי Q1נשווה לאפס ונקבל 25-2Q1-10+Q1-5=0 :לכן: Q1=10 Q2=0.5(20-10)=5 P=25-10-5=10 π1=50 π2=25 43 הערות • • • • הפירמה המובילה לעולם לא תרוויח פחות ובדרך כלל תרוויח יותר מאשר בתחרות קורנו. במקרה הליניארי )פונקצית ביקוש ליניארית והוצאה שולית קבועה( עם פירמות זהות ,ניתן לוודא כי הפירמה המובילה תייצר יותר ,הפירמה העוקבת תייצר פחות ,סך התפוקה יגדל. בתרחיש זה פתרון סטאקלברג יעיל יותר. כאשר הפירמות אינן זהות יתכן והוא פחות יעיל אם הפירמה היעילה יותר הינה הפירמה העוקבת. 44 המקרה הליניארי עם MCקבוע וזהה-הצגה גראפית 45 פירמה מובילה מול שוליים תחרותיים • • • • • נניח כי יש פירמה מובילה ו – nפירמות עוקבות, המתנהגות באופן תחרותי. הפירמה המובילה מכירה את הביקוש הענפי ואת פונקציות ההוצאות של הפירמות העוקבות. היא קובעת מחיר ומניחה כי כל העוקבות לוקחות מחיר זה כנתון ומייצרות לפי .P=MC הכמות אותה היא תמכור ניתנת על ידי הכמות המבוקשת במחיר זה פחות הכמות המצרפית אותה מציעות העוקבות ,כמות זו הינה ה .RESIDUAL DEMAND - הפירמה המובילה תקבע מחיר הממקסם את רווחיה. 46 פירמה מובילה מול שוליים תחרותיים דוגמה מספרית • • • • • • • • הניחו כי פונקציית ההוצאות של הפירמה המובילה ניתנת על ידי: C1(q1)=2q1 הביקוש המצרפי ניתן על ידיQ=1000-P : ישנן שתי פירמות עוקבות )"תחרותיות"( עם פונקציית הוצאות: C(qi)=150qi+qi2 בהינתן מחיר ,Pההיצע המצרפי של הפירמות העוקבות ניתן על ידיP-150 : הכמות המבוקשת אותה רואה הפירמה המובילה עבור מחיר P הינה1000-P-(P-150)=1150-2P : הפירמה המובילה תמקסם אתP(1150-2P)-2(1150-2P) : נקבל כי 1150-4P+4=0 :כלומר P=288.5 ומכאן: q1=573 q2=q3=69.25 π1=164164.5 π3=π2=4795.56 47
© Copyright 2024