Izdelava virtualnega modela neke skulpture
Franc Savnik
Opišemo matematični pristop k oblikovanju skulpture, ki vključuje koncepta Möbiusovega traku in vozla.
September 2013
Za začetek vzemimo ravninsko krivuljo
r = f (t) = (sin 3t cos t, sin 3t sin t, 0);
t ∈ [ π2 , 3π
].
2
(1)
ki jo kaže slika 1. Če naj jo preoblikujemo v stržen skulpture, moramo njene loke zviti v
prostor. Ker je krivulja simetrična glede na os y, bomo storili to najprej z lokoma AB in
AC. Enačbo loka AB dobimo tako, da v (1) vzamemo t ∈ [ π2 , 5π
].
6
Zavrtimo vsako točko T (f (t)) loka AB okoli osi y za kot t − π2 v točko T1 . Označimo
s(t) = (f (t) · j)j in s S(s(t)) pravokotno projekcijo točke T na os y (slika 2). Točki T
in T1 ležita na krožnici s središčem S, polmerom ρ(t) = f (t) − s(t) in enačbo
r(t) = s(t) + cos(t − π2 )ρ(t) + sin(t − π2 )ρ(t) × j.
Ko t preteče vse dovoljene vrednosti, dobimo lok AB1 z enačbo
f 1 (t) = s(t) + sin tρ(t) − cos tρ(t) × j;
].
t ∈ [ π2 , 5π
6
(2)
z
z
y
1
y
C
1
x
S
x
T
B
O
B
O
T1
A
A
B1
Slika 1. Triperesna deteljica (trifolium) z
enačbo (1) in umetniškim imenom trolistna roža (rosa trifolia).
Slika 2. Lok AB zvijemo okrog√osi y in s
tem dobimo lok AB1 . Točka B(− 23 , 12 , 0) se
preslika v B1 (−
√
3 1
3
4 , 2 , − 4 ).
Podobno lahko zvijemo okoli osi y — v nasprotno smer kot AB — še lok AC. Isti učinek
dosežemo, če prezrcalimo lok AB1 čez os y v lok AC1 z enačbo
³
´
f 2 (t) = −f 1 (t) · i, f 1 (t) · j, −f 1 (t) · k ;
t ∈ [ π2 , 5π
].
6
(3)
Lok AB1 nato prezrcalimo še čez premico OB1 v lok C1 B1 z enačbo
t ∈ [ π2 , 5π
].
6
f 3 (t) = 2(f 1 (t) · e)e − f 1 (t);
−−→
pri čemer je e enotski vektor osi OB1 .
(4)
Zlepek usmerjenih lokov AB1 , AC1 in C1 B1 je sklenjena krivulja, ki jo kaže slika 3. V
točkah A in B1 je gladka, v točki C1 pa ne. Prva je skupni začetek dveh lokov in njuni
tangenti sta v stičišču A nasprotno usmerjeni; podobno se v B1 stikata konca lokov. Točka
C1 pa je začetek enega in konec drugega loka.
Za stržen skulpture želimo pripraviti gladko krivuljo, zato v enačbi (2) v obeh kotnih
funkcijah t nadomestimo z at. Poskus ni uspešen: v točki A ostane sicer krivulja gladka
za vsak a, vendar za nobeno vrednost a ni gladka v obeh preostalih stikih zlepka.
Z nekaj sreče najdemo faktor sin2 t, s katerim razbijemo monotonost izraza at: v obeh
kotnih funkcijah enačbe (2) nadomestimo t s funkcijo ϕ(t) = at sin2 t, kjer je a primerno
izbrana konstanta. Dobimo lok AB2 z enačbo
g 1 (t) = s(t) + sin ϕ(t)ρ(t) − cos ϕ(t)ρ(t) × j;
t ∈ [ π2 , 5π
].
6
(5)
Prezrcalimo ga čez os y v lok AC2 z enačbo (6) in čez premico OB2 v lok C2 B2 z
enačbo (7):
³
´
g 2 (t) = −g 1 (t) · i, g 1 (t) · j, −g 1 (t) · k ; t ∈ [ π2 , 5π
].
(6)
6
t ∈ [ π2 , 5π
].
6
g 3 (t) = 2(g 1 (t) · e)e − g 1 (t);
(7)
−−→
pri čemer je e enotski vektor osi OB2 .
z
z
y
C1
B2
y
1
R
1
x
C2
x
P
O
O
Q
A
A
B1
Slika 3. Lok AB1 prezrcalimo čez os y
v lok AC1 in čez premico OB1 v B1 C1 .
Zlepek v točki C1 ni gladek. Lok AB1 je
na odseku AP negativno, na odseku P B1
pa pozitivno zvit.
Slika 4. Če vzamemo a = 1.24345655 in
zanemarimo usmerjenost lokov AB2 , AC2 in
C2 B2 , kot med lokoma v nobenem stičišču ne
presega 10−6 kotne stopinje. Normale na lok
AB2 opisujejo njegovo zvijanje.
2
Znano je, da je predznak zvitosti krivulje r = f (t) določen s predznakom produkta
f (t) · (f 00 (t) × f 000 (t)). Enačba f10 (t) · (f100 (t) × f1000 (t)) = 0 ima na intervalu [ π2 , 5π
] le en
6
koren, ki mu na sliki 4c ustreza točka P . V njej preide leva stran enačbe iz negativnih
v pozitivne vrednosti. Enačba g10 (t) · (g100 (t) × g1000 (t)) = 0 pa ima na intervalu [ π2 , 5π
]
6
natanko dva korena, ki jima na sliki 4d ustrezata točki Q in R. Med njima je leva stran
enačbe pozitivna, sicer pa ne.
Poskrbeti moramo še, da se loki stržena ne bodo sekali. Označimo z a, b, c zapored
−→ −−→ −−→
enotske vektorje smeri OA, OB2 , OC2 . Naj bo ∆t izbrani prirastek parametra, n1 (t) in
n2 (t) pa naj bosta zapored smerna vektorja glavne normale na krivulji (5) in (6). Sedaj
vsako točko T (g1 (t)) loka AB2 premaknemo za
0
∆g1 (t) = | g10 (t)|∆t(αc + βn1 (t)) cos2 3t.
S konstantama α in β uravnavamo izbočenost loka. Ker je π2 ≤ t ≤ 5π
, s faktorjem
6
cos 3t preprečimo izbočenje v krajiščih loka in ga povečamo na njegovi sredini.
Podobno izbočimo lok AC2 za ∆g2 (t) = | g20 (t)|∆t(αb + βn2 (t)) cos2 3t, lok B2 C2
−→
pa samo vzdolž OA za ∆g3 (t) = | g30 (t)|∆t γa cos2 3t, kjer je γ izbrana konstanta.
Zlepek dobljenih lokov je prikazan na sliki 5.
2
z
y
B2
A
B2
C2
y
O
O
1
x
0.5
x
C2
−−→
Slika 5. Lok AB2 izbočimo v smeri OC2
in v smeri aktualne glavne normale. Podobno izbočimo lok AC2 , lok B2 C2 pa iz−→
bočimo samo vzdolž OA.
Slika 6. Pravokotne projekcije lokov r =
h3 (t), r = h4 ( 4π
3 − t) in r = χ(t) na
ravnino z = 0. Projekcija loka r = χ(t)
je narisana krepko.
Lok B2 C2 krivulje na sliki 5 ima enačbo
t ∈ [ π2 , 5π
].
6
h3 (t) = g3 (t) + ∆g3 (t);
in ni simetričen glede na os y. To hibo odpravimo, če ga najprej prezrcalimo čez os y v
lok z enačbo
³
´
h4 (t) = −h3 (t) · i, h3 (t) · j, −h3 (t) · k ; t ∈ [ π2 , 5π
].
6
Krivulja
χ(t) =
1
2
³
´
h3 (t) + h4 ( 4π
− t) ;
3
je simetrična glede na os y.
3
t ∈ [ π2 , 5π
].
6
Zlepek lokov
h1 (t) = g1 (t) + ∆g1 (t), h2 (t) = g2 (t) + ∆g2 (t) in χ(t),
t ∈ [ π2 , 5π
].
6
(8)
je že zelo podoben strženu skulpture. Glede na njegovo konstrukcijo je simetričen glede
na os y, koti med tangentami v stičiščih pa ne presegajo
1.5 kotne sekunde. Točke A, B2
√
in C2 tvorijo enakostranični trikotnik s stranico 3.
Pri izdelovanju skulpture je ugodno, če ležijo vrhovi trolistnega vozla v ravnini xy.
Zlepek (8) zato zasučemo okoli osi y tako, da vsa tri stičišča lokov ležijo v ravnini z = 0.
V nadaljevanju nadomestimo zlepek lokov s sklenjeno lomljenko. Njena krajišča doπ
bimo tako, da v enačbi vsakega loka vzamemo za t vrednosti t = π2 +k 3n
, k = 0, 1, 2, . . . , n;
π 5π
potem je res t ∈ [ 2 , 6 ]. Za n = 120 dobimo lomljenko P1 P2 , . . . , P360 , ki jo še primerno
raztegnemo v smeri koordinatnih osi. Nadaljnje oblikovanje je opisano ob sliki 8.
P121 P241
P121
P241
P1
P360
P1
Slika 7. Levo stržen, kot ga ‘vidi’ Mathematica
iz točke (0, 0, 105 ). Točke P1 , P121 in P241 ustrezajo stičiščem lokov (8) in ležijo v ravnini z = 0.
Desno pogled iz točke (105 , 0, 0). Točke P1 , P121
in P241 , ležijo v ravnini x = 0, zadnji dve se na
sliki prekrivata.
Slika 8. Na stržen nanizamo 360 skladnih pravokotnikov, vsakega na eno stranico lomljenke. Vsak pravokotnik je glede na prejšnjega zasukan okoli osi skozi
3π
, zadnji glede na
svoje težišče za kot 360
prvega za 3π.
J. Robinson je zapisal, da je model skulpture Immortality izdelal iz stotih vžigaličnih
škatlic in iz bakrene cevi, ki jo je ‘malo zvil na pravih mestih’. Drugi spet uporabljajo za
oblikovanje takih teles specializirano programsko opremo in z njo povezane 3D-tiskalnike,
o čemer poroča npr. članek [4]. Zgodbo o izdelavi lesenega trolistnega vozla, podprto s
programom v okolju Mathematica, najdemo v [5]. V njej je stržen konstruiran ‘po točkah’
z metodo poskusov in zmot, telo pa je zlepljeno iz 80 plasti. Pristop, ki ga opisujem v
prispevku, se mi je zdel bolj športen in skulptura se da izdelati iz enega samega kosa. A
to sodi v drugo vrsto obrti.
4
a)
b)
c)
Slika 8. a) Preseki skulpture z ravninami z = kd, k = 1, . . . 19; d je izbrana konstanta,
b) preseki z ravninami x = kd, k = 1, . . . 22,
c) grobo obdelana skulptura.
Ker površje objekta ni podano z enačbo, naredimo nivojnice tako, da iz njegovega računalniškega modela
najprej izrišemo slike zelo tankih plasti, ki so med seboj oddaljene približno za d. Sliko vsake plasti
spremenimo s kakim risarskim programom v krivuljo in ji nato odstranimo dele, ki iz točke (0, 0, 105 )
oziroma iz (105 , 0, 0) niso vidni. Izdelamo šablone, ki imajo obliko vidnih delov nivojnic. Po šablonah v
grobem obdelamo les z nadmiznim rezkarjem. Višinska razdalja d med nivojnicama je na obdelovancu
višina stopnice med dvema nivojema. Simetričnost skulpture glede na os y nam prihrani izdelovanje
polovice šablon. Precej lesa ostane pod previsi, zlasti zato, ker strojna obdelava v smeri osi y ni možna.
Odstraniti ga je treba ročno.
LITERATURA
[1]
[2]
[3]
[4]
http://www.johnrobinson.com
Mathematica, verzija 5.0, Wolfram Research, Champaign, 2003
Weisstein, Eric W., Rose, http://mathworld.wolfram.com/Rose.html
Carlo H. Séquin, Splitting Tori, Knots, and Moebius Bands,
http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/PAPERS/Banff05_SplitTori.pdf
[5] D. Goffinet, A Wooden Möbius Trefoil Knot,
http://www.mathematica-journal.com/issue/v5i4/article
/goffinet/70-73goffinet.mj.pdf
5