1. No category

GEOMETRIJA V RAVNINI
Navodila
V naslednjih urah boš samostojno ali v paru izpolnjeval(a) delovne liste. Pomagaš si lahko s poljubno
literaturo. Pri tem upoštevaj navodila učitelja.
Če naloga zahteva, da narišeš ali konstruiraš, moraš obvezno uporabljati geometrijsko orodje, to so
svinčnik, ravnilo in šestilo. Skice praviloma riši prostoročno in obvezno uporabljaj svinčnik. Če pri
računskih nalogah ni navedena zahteva o natančnosti rezultata, zaokroži na stotinko natančno.
Priporočam, da gradiš delčke svojega novega znanja tudi ob pomoči naslednjih virov:
• Kavka, D., idr. (2001). Linea: matematika za prvi letnik gimnazij. Ljubljana: Modrijan.
• Pavlič, G., idr. (2011). Linea nova: matematika za prvi letnik gimnazij. Ljubljana: Modrijan.
• Kavka, D., idr. (2001). Planum: matematika za drugi letnik gimnazij. Ljubljana: Modrijan;
• Legiša, P. (1994). Matematika: prvi letnik: geometrija v ravnini. Ljubljana: DZS;
• e-um: začneš lahko tukaj http://www.e-um.si/index.php;
• Pavliha, I., idr. (2000). Geometrija v ravnini: zbirka nalog za srednje šole: matematika.
Ljubljana: DZS;
• Pavlič, G. (1998). Slikovni pojmovnik: matematika. Ljubljana: TZS;
• Devide, V. (1984). Matematika skozi kulture in epohe. Ljubljana: DMFA.
Iz navedene literature so povzete tudi nekatere razlage ali slike.
Zahvale
Ideje za razlage in nekatere naloge so prispevali tudi člani aktiva matematike Gimnazije Šiška.
Za hitro odpravo jezikovnih napak je zaslužen Matjaž Apat.
Naslovnico je ilustrirala Liza Zavrl.
1
GEOMETRIJA V RAVNINI
Uvod
Beseda geometrija je nastala iz besed gea = zemlja in metros = merjenje, torej
»zemljemerstvo«.
pomeni
Začetki geometrije segajo v Egipt in Mezopotamijo, kjer so več tisoč let pred našim štetjem poplave
rek prisilile prebivalce, da so velikokrat ponovno risali meje zemljišč. Zato je bila koristna natančnost,
ki je spodbudila začetke geometrije.
Geometrija, kot jo poznamo danes, je svoje temelje dobila v stari Grčiji. Matematik Evklid je
približno 300 let pred našim štetjem zbral in sistematično uredil večino dotedanjega matematičnega
znanja v trinajstih knjigah. Geometrijo je zgradil na aksiomih, izrekih, dokazih, definicijah, in po njem
ima še danes tisti del geometrije, ki jo obravnavamo v srednji šoli, ime evklidska geometrija.
Kaj so aksiomi, izreki in definicije?
K besedi iz prvega stolpca pripiši črko pred pravilnim nadaljevanjem iz drugega stolpca.
Aksiom ____
Izrek ____
Definicija ____
A je opis novega pojma, ki enolično določi
poimenovanje novega pojma s pomočjo
osnovnih pojmov in prej definiranih pojmov.
B je trditev, ki je ne dokazujemo, ampak jo
običajno oblikujemo tako, da se ujema z
našimi izkušnjami.
C je trditev, ki jo dokažemo (izpeljemo) s
pravili sklepanja iz aksiomov in prej dokazanih
izrekov.
Nekaj aksiomov, izrekov in definicij bomo letos spoznali.
2
GEOMETRIJA V RAVNINI
Osnovni pojmi
Začeli bomo z osnovnimi pojmi, ki jih ne moremo strogo matematično definirati, temveč se pri tem
opremo na naše predstave.
Osnovni pojmi geometrije so točka, premica, ravnina in prostor. Letos bomo spoznavali samo
geometrijo v ravnini, prostor bomo obravnavali kasneje.
Razmisli in opiši, kaj zate pomenijo točka, premica in ravnina.
Točka je ___________________________________________________________________________
Premica je _________________________________________________________________________
Prostor je __________________________________________________________________________
Tukaj so Evklidovi opisi osnovnih pojmov:
• točka je tisto, kar nima delov;
• premica je dolžina brez širine;
• ravnina je tisto, kar ima samo dolžino in širino.
Označevanje:
• točke označimo z velikimi tiskanimi črkami A, B, C ...;
• premice označimo z malimi tiskanimi črkami p, q, r ...;
• ravnine označimo z velikimi grškimi črkami Π, Σ, Ψ .
Vse ostale geometrijske pojme bomo definirali s pomočjo teh osnovnih pojmov.
Medsebojna lega premice in točk v ravnini
Označi točke in premico na sliki, tako da bo veljalo:
točka C ne leži na premici p; točki A in B ležita na premici p.
Koliko točk in kakšnih potrebujemo za določitev premice?
Aksiom: __________ ________________________ ____________ določata natanko eno premico.
Kako imenujemo točke, ki ležijo na isti premici?
Definicija: Točke, ki ležijo na isti premici, so ________________________.
Medsebojna lega premic v ravnini
Koliko skupnih točk imata lahko dve premici? Zapiši in skiciraj vse tri možnosti.
a) ____________
Definicija:
b) ______________
c) ______________
Skupno točko dveh premic imenujemo ____________________________
premic.
3
GEOMETRIJA V RAVNINI
Kdaj rečemo, da sta dve premici v ravnini vzporedni?
Definicija: Premici, ki ležita v isti ravnini, sta vzporedni,
če nimata ________________________ skupne ___________________ ali
če imata _____________________ ___________________ skupne.
Katere lastnosti ima vzporednost?
K imenu lastnosti zapiši lastnost z matematičnim zapisom in jo ponazori s skico.
1. refleksivnost____________________________________
2. simetričnost____________________________________
3. tranzitivnost____________________________________
Dve od teh lastnosti smo že srečali pri deljivosti. Zapiši lastnosti deljivosti z matematičnim zapisom.
1. refleksivnost___________________________________________________
2. antisimetričnost____________________________________________________
3. tranzitivnost____________________________________________________
O vzporednosti govori tudi najslavnejši Evklidov aksiom. Pred približno 200 leti so z izpustitvijo tega
aksioma dobili neevklidsko geometrijo. Dopolni.
Evklidov aksiom o vzporednici:
K dani ___________________________ obstaja skozi dano _________________ natanko ena
vzporednica.
S skico ponazori aksiom o vzporednici.
Vaja 1: V ravnini imamo različne premice p, q in r. Premica p je vzporedna q in premica p seka
premico r. Kaj lahko poveš o medsebojni legi premic q in r? Napiši in skiciraj.
Omenili bomo še dva aksioma, ki omogočata definicije v naslednjem poglavju.
Aksiom: Če so tri različne točke kolinearne, ena vedno leži med drugima dvema.
Aksiom: Če sta A in B različni točki na premici p, potem na premici p ležita vsaj še dve različni točki;
ena leži med točkama A in B in druga leži tako, da ni med točkama A in B. Iz tega aksioma sledi, da je
med dvema točkama na premici neskončno mnogo točk.
4
GEOMETRIJA V RAVNINI
Definicije nekaterih pomembnejših geometrijskih objektov
Daljica, poltrak in polravnina
Označi točke A, B na premici p in točko O na premici r na naslednji sliki, tako da bo slika ilustrirala
definicije. Nato dopolni definicije.
Definicija:
Množico točk premice p, ki ležijo med točkama A in B,
imenujemo _____________________ s krajiščema A in B.
Definicija:
Množico točk premice r, ki ležijo na premici r na isti strani glede na
točko O, imenujemo __________________________ z izhodiščem
O.
Kaj je nosilka daljice ali poltraka? Izberi pravi zaključek definicije.
•
Definicija: Nosilka daljice ali poltraka je
•
•
točka, skozi katero poteka daljica ali
poltrak.
premica, na kateri leži daljica ali
poltrak.
ravnina, na kateri leži daljica ali
poltrak.
Definicija: Premica p deli ravnino na dve ___________________________ z robom p.
Če od polravnine odvzamemo premico p, dobimo breg premice p.
Vaja 1: Nariši točki A in B, ki ležita na istem bregu dane premice, in točko C, ki leži na drugem bregu
premice.
Konveksna množica
Kdaj je množica točk konveksna?
Definicija: Množica točk je konveksna, kadar s poljubnima __________________ iz dane množice
leži v množici tudi ________________________, ki povezuje ti dve _________________.
Ponazori definicijo na primeru konveksne in na primeru nekonveksne množice Skiciraj.
Presek konveksnih množic je konveksna množica. Ponazori na skici.
5
GEOMETRIJA V RAVNINI
Kot
Nariši dva različna poltraka s skupnim izhodiščem v točki B. Na enem poltraku izberi točko A in na
drugem poltraku točko C, ki naj bosta obe različni od točke B.
Poltraka z izhodiščem v B imenujemo dva __________________ kota, točka B pa je ___________
kota. S tem je ravnina razpadla na dva kota. Če poltraka ne ležita na isti premici, je eden od kotov
konveksen in drugi nekonveksen. V mislih zavrti krak, ki poteka skozi A, okoli vrha kota v smeri proti
drugemu kraku kota po najkrajši poti. Del ravnine, ki si ga pri tem pokril, je kot ABC. Pri označevanju
kota s točkami vedno zapišemo vrh v sredini, točki na krakih pa v poljubnem vrstnem redu in s tem
mislimo na konveksen kot, ki ga dobimo. V primeru nekonveksnega kota to posebej povemo.
Vaja 2: Poimenuj kot na sliki, tako da uporabiš točke s slike.
E
V
F
Kotu lahko določimo tudi orientacijo kota: če si kraka sledita v nasprotni smeri urinega kazalca,
pravimo, da je orientacija pozitivna, če si sledita v smeri urinega kazalca, je orientacija negativna.
Ponazori na skici.
Kaj pomenijo izrazi polni, ničelni, iztegnjeni, sosednji, pravi, sovršni kot in sokot? Skiciraj in dopolni
definicije.
polni kot
ničelni kot
iztegnjeni kot
Definicija: Ničelni kot je kot, ki ga določata poltraka, ki se _________________. Drugi kot, ki ga
določata ista poltraka, je polni kot. Enega od krakov zavrtimo okoli vrha in pri tem opiše polni kot.
Definicija: Kraka, ki se dopolnjujeta v _______________, določata dva enaka konveksna kota, ki ju
imenujemo iztegnjena kota.
6
GEOMETRIJA V RAVNINI
sosednja kota
sokota
sovršna kota
Za vsako od treh definicij izberi pravilni zaključek. Za eno od definicij sta možna dva pravilna
zaključka.
Definicija:
•
•
Sosednja kota sta
•
Sokota sta
•
•
•
•
Sovršna kota sta
•
•
•
kota s skupnim vrhom in praznim
presekom notranjosti.
kota, ki skupaj tvorita iztegnjeni kot
kota z dvema skupnima krakoma.
kota z enim skupnim krakom in
praznim presekom notranjosti.
kota, ki skupaj tvorita pravi kot.
kota s skupnim vrhom, njuna kraka pa
se paroma dopolnjujeta v premico.
kota z enim skupnim krakom in dvema
drugima krakoma, ki se dopolnjujeta v
premico.
Definicija: Pravi kot je kot, ki je enak svojemu _____________________.
Ponazori definicijo.
7
GEOMETRIJA V RAVNINI
Merjenje
Merjenje dolžin
Osnovna enota za dolžino je ________________. Potem ga delimo naprej na ______, _______ …
Ali veš, kje in kako so si izmislili meter?
Ko si izberemo daljico, ki bo naša enota merjenja in jo imenujemo enotska daljica, lahko izmerimo
dolžino poljubne daljice, tako da nanjo polagamo enotsko daljico dokler moremo, nato desetino
enotske daljice ... Tako poljubni daljici priredimo število. Enotska daljica meri 1 enoto, kakšna druga
daljica pa npr. 3 enote ali 4,2 enoti ali 0,5 enote.
Ko smo izmerili daljico, smo izmerili tudi razdaljo med njenima krajiščema. To zapišemo
AB = d ( A, B ) . In preberemo: dolžina daljice AB je enaka razdalji od točke A do točke B.
Lastnosti razdalje:
• za poljuben par točk A in B velja d(A,B) ≥ 0;
• enakost d(A,B) = 0 velja natanko tedaj, ko A = B;
• simetričnost: za poljuben par točk A in B velja d(A,B) = d(B,A);
• za poljubne tri točke A, B, C velja trikotniška neenakost: d(A,B) ≤ d(A,C) + d(B,C).
Vaja 1: Od točke A do točke B je 5 cm, od točke A do točke C je 8 cm. Utemelji in skiciraj, ali je
lahko razdalja med B in C enaka (namig: razmisli o različnih možnih legah točk A, B in C):
• 14 cm.
• 13 cm.
• 7 cm.
• 3 cm.
• 2 cm.
Iz zadnje vaje lahko vidimo še eno lastnost razdalje. Če sta A in B različni točki v ravnini in za točko
C velja d(A,C) = d(A,B) + d(B,C), potem točka ___ leži na daljici skozi A in ______.
Vaja 2: Daljica je razdeljena na dva dela, tako da je razmerje njunih dolžin 5 : 3. Daljši del je za 4 cm
daljši od krajšega dela. Izračunaj, koliko merita oba dela. (Skiciraj, na skici označi neznanke in zapiši
sistem dveh enačb z dvema neznankama.)
Merjenje kotov
Osnovna enota za merjenje kotov je kotna _______________________. Za večjo natančnost jo
razdelimo na __________ delov in dobimo kotno __________________; če še enkrat razdelimo,
dobimo kotno ________________.
Velikosti kotov označujemo z malimi grškimi črkami α , β , γ , δ , ϕ .
8
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 3: Dopolni preglednico. Pomagaj si z računalom.
stopinje
stopinje in minute
stopinje, minute in sekunde
43,58031˚
34˚45′
43˚20 ′35″
32,17523˚
27˚22′12″
Zapiši vsaj dva računa za primer.
Definicija: Ostri kot je kot, ki meri manj kot _____________.
Definicija: Topi kot je kot, ki meri več kot _________ in manj kot _______________.
Definicija: Kota sta suplementarna, če skupaj merita _________.
Definicija: Kota sta komplementarna, če skupaj merita _________.
Ponazori:
• kota s paroma vzporednimi kraki sta skladna ali suplementarna.
•
kota s paroma pravokotnimi kraki sta skladna ali suplementarna.
Vaja 4: Razlika dveh sokotov je 32 stopinj in 15 minut. Izračunaj, koliko merita kota?
Vaja 5: Od dveh suplementarnih kotov je eden za četrtino iztegnjenega kota večji od drugega. Koliko
merita kota? Zapiši v stopinjah in minutah.
9
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 6: Sovršna kota merita skupaj 42°38′. Kolikšen je njun komplementarni kot (izrazi v stopinjah
na tri mesta natančno)?
Vaja 7: Na sliki velja CD || AB || EF. Oba kota sta podana v stopinjah. Izračunaj kot x.
Razdalja od točke do premice
Poglejmo še, kako izmerimo razdaljo od točke do premice. Za to moramo najprej poznati pravokotno
projekcijo. S skico na desni ponazori obe spodaj zapisani definiciji.
Definicija: Pravokotna projekcija T1 točke T na premico p
je presečišče pravokotnice na premico p skozi točko T s premico p.
Definicija: Razdalja d točke T od premice p je razdalja točke T
od njene pravokotne projekcije T1 na premici p.
Definicija:Pravokotna projekcija daljice na premico p je množica projekcij vseh točk daljice na
premico p. V praksi to pomeni, da projiciramo le krajišči daljice. Pravokotna projekcija daljice je
daljica, ki povezuje pravokotni projekciji krajišč prvotne daljice. Skiciraj pravokotno projekcijo
daljice AB na premico p.
Vaja 8: Skiciraj množico točk, ki so:
a) za 2 cm oddaljene od točke A.
A
10
GEOMETRIJA V RAVNINI
b) za 1 cm oddaljene od premice p.
p
c) enako oddaljene od točk A in B.
A
B
Kako imenujemo to množico točk? ____________________ daljice AB.
d) enako oddaljene od krakov danega kota.
Kako imenujemo to množico točk? _____________________ kota
e) v danem kotu od obeh krakov kota oddaljene za 1 cm.
Taka točka je le ena in leži na vzporednici h _________________ kota, ki je od kraka oddaljena 1
cm in hkrati na _________________________ kota.
11
GEOMETRIJA V RAVNINI
Toge preslikave in skladnost
Definicija: Toga preslikava je preslikava ravnine vase, ki ohranja razdalje.
A → A1 , B → B1 , d ( A, B) = d ( A1 , B1 )
Vrste togih preslikav ponazori (skiciraj) s preslikavo točke A v točko A1:
•
vzporedni premik za dano usmerjeno daljico (vektor).
A
•
vrtenje za dani konveksni kot okoli dane točke S (v pozitivni smeri).
A
S
A
•
zrcaljenje čez dano premico.
A
•
zrcaljenje čez dano točko S.
S
Definicija: Množici točk v ravnini L1 in L2 sta skladni, če obstaja toga preslikava, ki množico L1
preslika v množico L2.
Zapiši z matematičnimi znaki, da je množica L1 skladna z množico L2: __________________
Zdaj vzemi obvezno v roke šestilo in ravnilo, začeli bomo s konstrukcijami.
Tako prenašamo razdalje: Nariši (s šestilom) k daljici AB skladno daljico A1B1, ki leži na premici:
A
B
A1
12
GEOMETRIJA V RAVNINI
Tako prenašamo kote:
Nariši k danemu kotu skladen kot, ki ima en krak na danem poltraku in vrh v točki S:
S
Vaja 1: Konstruiraj kote: 600, 900, 450, 300, 750 . Ne pozabi: uporabiš lahko le šestilo, ravnilo in
svinčnik. En krak vseh kotov naj bo skupen, pri drugem kraku pa zapiši število stopinj, ki si jih narisal.
Konstruiraj še kota 22,50 in 1050.
Vaja 2: K dani premici p nariši točko A, ki ne leži na premici. Konstruiraj pravokotnico na premico p
skozi točko A in vzporednico k premici p skozi točko A. Uporabiš lahko le šestilo in eno ravnilo.
Namig: vzporednica je pravokotnica na pravokotnico. V prihodnje velja, da lahko vzporednice rišeš
kar z uporabo dveh trikotnikov ali ravnila in trikotnika.
13
GEOMETRIJA V RAVNINI
Krožnica, krog in lok
Definicija:
Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke
(središče). Razdalja med središčem in poljubno točko na krožnici je polmer r.
Definicija:
Krog je množica točk v ravnini, ki so od izbrane točke (središče) oddaljene za največ
r (polmer).
Nariši sliko, na kateri boš ponazoril pojme: krožnica, polmer r in premer d.
Nariši sliko, na kateri boš ponazoril pojme: sekanta, tangenta, mimobežnica, polmer.
Kakšen je kot med polmerom in tangento v dotikališču? ____________________
Nariši sliko, na kateri boš ponazoril pojme: tetiva t, lok l, središčni kot α .
Vaja1: Nariši krožnico in označi središče S ter izbrano točko A na krožnici. Konstruiraj tangento na
krožnico skozi izbrano točko (namig: uporabi konstrukcijo pravega kota na polmer).
14
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 2: Nariši točki S in T v ravnini, oddaljeni 4 cm. Nato nariši množico točk, ki so od S oddaljene za
največ (kvečjemu) 2 cm in hkrati od T oddaljene vsaj za 3 cm.
Vaja 3: Nariši krožnico k s polmerom 2 cm in točko A na krožnici k. Nato nariši dve krožnici s
polmerom 1 cm, tako da se prva dane krožnice k dotika v točki A od zunaj, druga pa od znotraj.
Medsebojna lega dveh krožnic v ravnini
Kakšna je lahko medsebojna lega dveh krožnic v ravnini? Opisali bomo vse možnosti, ki se bistveno
razlikujejo med seboj, tako da bomo upoštevali število presečišč in lego v notranjosti oziroma v
zunanjosti. Dopolni preglednico, na skicah označi polmera obeh krožnic (večji R, manjši r) in razdaljo
(d) med njunima središčema.
število
skupnih
točk
0
skica
zveza med R, r in d
d<R-r
R–r=d<R+r
opis
ena krožnica je v
notranjosti druge
ena krožnica se druge
dotika od znotraj
15
GEOMETRIJA V RAVNINI
R–r<d<R+r
krožnici se sekata
d=R+r
d>R+r
d=0
∞
R = r, d = 0
krožnici sta
koncentrični
(istosrediščni)
krožnici sovpadata
Vaja 4: Trikotnik ima stranice 3, 4 in 6. Skiciraj trikotnik in krožnice s središči v ogliščih trikotnika,
tako da se krožnice paroma dotikajo z zunanje strani. Izračunaj polmere teh krožnic. Zapiši sistem
enačb.
16
GEOMETRIJA V RAVNINI
Radian
Definicija: Središčni kot nad lokom AB je kot, ki ima vrh v ________________________, njegova
kraka pa sekata ___________________ v točkah A in B. Skiciraj.
Definicija: Središčni kot meri 1 radian, če je kotu pripadajoči lok enak polmeru.
Dva radiana sta torej kot, pri katerem je lok enak dvojni dolžini polmera; splošno velja, da je število
l
radianov tem večje, čim večji je lok v primerjavi s polmerom, in sicer velja: α =
r
Izračunajmo, koliko radianov meri polni kot, torej kot 360 stopinj. Če za lok vstavimo obseg kroga,
l 2πr
bomo dobili polni kot, torej: α = =
= 2π
.
r
r
Torej polni kot, kot 360 stopinj, meri 2π radianov. S pomočjo tega lahko s sklepanjem dopolnimo
preglednico.
stopinje
360
180
90
45
60
30
radiani
2π
π
Iz preglednice poskušaj sklepati, koliko stopinj je približno en radian. ______________________
Če želimo kateri koli kot iz radianov preračunati v stopinje, ga delimo s ____________ in množimo
s ______________. Za preračun iz stopinj v radiane moramo deliti s ____________ in množiti s
______________.
Zapiši še z obrazcem:
Vaja 5: Dopolni preglednico (na 3 mesta natančno), zraven zapiši vsaj en račun.
stopinje
radiani
1,2
4
100
Vaja 6: Loku 3 cm pripada središčni kot 120 stopinj. Natančno izračunaj polmer kroga.
17
GEOMETRIJA V RAVNINI
Obodni in središčni kot
Ponovimo definicijo središčnega kota iz prejšnjega poglavja.
Definicija: Središčni kot nad lokom AB je kot, ki ima vrh v ________________________, njegova
kraka pa sekata ___________________ v točkah A in B.
Definicija: Obodni kot nad lokom AB je kot, ki ima vrh na ________________________, njegova
kraka pa sekata ______________________ v točkah A in B.
Oba kota, središčni in obodni, odrežeta na krožnici lok. Nariši obodni in središčni kot, ki ležita nad
istim lokom l.
Kakšna zveza velja med njima? __________________________________________________
Primerjaj med seboj velikosti obodnih kotov nad istim lokom. _______________________________
Talesov izrek o kotu v polkrogu pove, da je vsak kot, ki ima _________ na krožnici in katerega kraka
potekata skozi krajišči _________________ te krožnice, ________________ kot. Nariši in utemelji z
računom.
Vaja 1: Središčni kot je za 35o večji od obodnega. Koliko merita kota?
Vaja 2: Izračunaj obodni kot v krožnici s polmerom 2 cm, ki pripada loku 5 cm. Izrazi ga v stopinjah
in radianih.
18
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 3: Izračunaj obodni kot nad lokom, ki je 11/27 obsega krožnice. Izrazi ga v stopinjah in radianih.
Vaja 4: Loku 3 cm pripada obodni kot 120 stopinj. Izračunaj polmer kroga.
Vaja 5: Pri prvi skici poznamo konveksni kot CDA, ki meri 35 stopinj, pri drugi skici pa poznamo
konveksni kot ASC, ki meri 50 stopinj. S označuje središče krožnice. Pri vsaki od spodnjih skic
izračunaj kot ABC. Zapiši svoj razmislek.
C
B
C
B
BB
A
SB
A
D
Vaja 6: Tetiva deli krožnico v razmerju 4 : 7. Koliko merita obodna kota, ki pripadata tema lokoma?
Rezultat naj bo podan v radianih na tri mesta natančno, nato pa še v stopinjah, minutah in sekundah.
19
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 7: Nariši krožnico s polmerom 2 cm in točko A, ki je od središča krožnice oddaljena 7 cm. Nato
konstruiraj tako tangento na krožnico, ki poteka skozi točko A.
Koliko je možnih tangent? ____________
Opiši potek konstrukcije.
Vaja 8: Na sliki velja: ∠EFG = 160°, EF AB , FG AC , S je središče kroga.
Izračunaj: ∠BAC, ∠BSC . Zapiši in utemelji račune. (Označi nekatere kote na skici s črkami, da boš
laže zapisal račune.)
G
E
F
S
C
A
20
B
GEOMETRIJA V RAVNINI
Trikotnik
Definicija: Tri nekolinearne točke A, B, C določajo daljice AB, BC in AC. Množica točk v ravnini, ki
je omejena s temi tremi daljicami, je trikotnik ABC. Točke A, B, C imenujemo __________________
trikotnika ABC, daljice AB, BC in AC pa imenujemo _____________________ trikotnika ABC.
Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, če si oglišča A, B in C sledijo v tem vrstnem redu v
_________________ smeri urinega kazalca.
Nariši trikotnik ABC, tako da bo njegova orientacija pozitivna. Označi oglišča, stranice in kote.
Vaja 1: Ali obstaja trikotnik s stranicami dolžin 3, 5 in 6 centimetrov?__________
Kaj pa s stranicami 3, 5, 8? _______________
Vaja 2: Trikotnik ima stranici z dolžinama 3 in 5 centimetrov. Koliko je lahko največ in koliko
najmanj dolžina tretje stranice?
Kakšni morajo biti odnosi med tremi števili, da obstaja trikotnik, pri katerem so ta tri števila dolžine
stranic? ___________________________________________________________________________
Kaj lahko poveš o kotih, ki ležijo tem stranicam nasproti?
Nasproti večje stranice leži _________________ ______________.
Vsota notranjih kotov trikotnika je _________.
Utemelji na skici.
Koliko topih notranjih kotov ima lahko trikotnik? Zakaj?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Zato imenujemo topokotni trikotnik tisti trikotnik, ki ima en topi notranji kot.
21
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 3: Izračunaj velikosti notranjih kotov trikotnika, če so v razmerju α : β : γ = 1 : 2 : 3 .
Definicija: Zunanji kot trikotnika je sokot k notranjemu kotu.
Vsota zunanjih kotov trikotnika je _____________. Če znaš, utemelji z računom, pri katerem
upoštevaš vsoto notranjih kotov trikotnika.
Definicija: Višina trikotnika je razdalja ______________ od nosilke nasprotne stranice.
Nariši dve skici. Skiciraj za ostrokoti trikotnik (označi vse tri višine) in za topokoti trikotnik, kjer
označi le višino na najkrajšo stranico.
Včasih pa rečemo tudi, da je višina daljica, ki poteka od oglišča trikotnika pravokotno do nosilke
nasprotne stranice.
Definicija: Višinska točka je presečišče nosilk vseh treh višin.
Definicija: Težiščnica je daljica, ki povezuje ______________ z razpoloviščem ____________
stranice.
Vse tri težiščnice se sekajo v isti točki, ki ji rečemo ________________________.
Presečišče simetral trikotnikovih stranic je središče trikotniku _________________ krožnice.
Presečišče simetral trikotnikovih notranjih kotov je središče trikotniku _________________
krožnice.
22
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 4: Nariši trikotnik ABC s stranicami a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm in njegovo težišče. Nariši skico
in zapiši kratek potek konstrukcije.
Vaja 5: Nariši trikotnik ABC s podatki c = 5cm, b = 7 cm, α = 45° in mu včrtaj krog.
Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.
23
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 6: Nariši trikotnik ABC s podatki c = 4 cm, α = 30°, β = 105° in mu očrtaj krog. Nariši skico in
zapiši kratek potek konstrukcije.
Za katere trikotnike je središče očrtanega kroga izven trikotnika?
Vaja 7: V trikotniku ABC poznamo α = 45°, β = 30° in polmer očrtanega kroga R = 5 cm. Izračunaj
dolžine lokov, ki jih na krožnici določajo oglišča.
24
GEOMETRIJA V RAVNINI
Skladnost trikotnikov
Definicija:
Trikotnika sta skladna, če obstaja togi premik, ki en trikotnik preslika na drugega.
Označimo: ABC ≅ A/B/C/.
Če sta trikotnika skladna, se ujemata v vsem: stranicah, kotih ...
Izreki o skladnosti trikotnikov (kriteriji za skladnost) povedo, kateri so zadostni pogoji, da sta
trikotnika skladna:
Izrek 1: (sss)
Trikotnika sta skladna, če se ujemata v vseh treh ________________________.
Izrek 2: (ksk)
Trikotnika sta skladna, če se ujemata v eni stranici in njej __________________ ___________.
Izrek 3: (sks)
Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in ___________________ kotu.
Izrek 4: (ssk)
Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti ___________.
Vaja 1: V prejšnjem poglavju Trikotnik si v vajah 5, 6, in 7 konstruiral trikotnike. Pri vsaki od teh treh
vaj si dobil eno samo rešitev. Navedi izreke o skladnosti trikotnikov, ki zagotavljajo enoličnost rešitev.
Pri vaji 5 enolično rešitev zagotavlja izrek številka ______.
Pri vaji 6 enolično rešitev zagotavlja izrek številka ______.
Pri vaji 7 enolično rešitev zagotavlja izrek številka ______.
Vaja 2: Nariši trikotnik ABC. Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.
•
a = 4 cm, b = 5 cm, β = 45°
25
GEOMETRIJA V RAVNINI
•
a = 5 cm, b = 4 cm, β = 45°
•
Pri eni od zgornjih konstrukcij sta možni dve rešitvi. Preveri, ali si narisal obe. Zakaj sta pri
enem kompletu podatkov dve rešitvi, pri drugem kompletu pa ne? Namig: poveži svoj
odgovor z enim od izrekov o skladnih trikotnikih.
Vaja 3: Nariši naslednje trikotnike. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek
konstrukcije. Morda je možnih več rešitev.
b = 4, vb = 3, γ = 30° (Prezrcali trikotnik čez simetralo enega od notranjih kotov.)
•
26
GEOMETRIJA V RAVNINI
•
a = 5, vc = 3, α = 60° (Zavrti trikotnik za minus 30 stopinj okoli oglišča B.)
•
a = 5, t a = 4, γ = 45°
27
GEOMETRIJA V RAVNINI
28
•
c = 3, t a = 3,5, β = 45°
•
c = 3,5, t a = 3, β = 45°
GEOMETRIJA V RAVNINI
•
c = 4, vc = 2, t c = 3
•
c = 6, v a = 4, v c = 4
29
GEOMETRIJA V RAVNINI
*Vaja 4: Nariši trikotnik ABC s podatki: a = 3, sγ = 4, β = 120° . Pri tem pomeni sγ odsek simetrale
kota od oglišča C do stranice c. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek
konstrukcije.
Vaja 5: Nariši naslednji trikotnik. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek
konstrukcije. Namig: uporabi izrek o kotu v polkrogu.
c = 6, vc = 2, γ = 90°
•
30
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vrste trikotnikov
Enakokraki trikotnik je trikotnik z dvema _________________
_______________________.
Skladni stranici imenujemo kraka, preostalo stranico pa osnovnica, skupno točko obeh krakov
imenujemo vrh trikotnika.
Lastnosti enakokrakega trikotnika
Kota ob osnovnici sta __________________.
Višina na osnovnico razpolavlja kot ob __________________ in ____________________.
Nariši skico in ponazori zapisane lastnosti.
*Vaja 1: Uporabi lastnosti enakokrakega trikotnika, za dokaz izreka o središčnem in obodnem kotu,
ki ležita nad istim lokom.
Enakostranični trikotnik je trikotnik s tremi ____________________ ______________________.
Iz tega sledi, da so skladni tudi vsi trije notranji ____________, zato vsak notranji kot meri ________.
V enakostraničnem trikotniku ležijo težiščnice na simetralah kotov in hkrati na simetralah stranic. Zato
se
pokrijejo
štiri
karakteristične
točke
trikotnika:
središče
__________________
_________________, središče _________________ ________________ , ____________________
in višinska točka.
Nariši skico in ponazori zapisane lastnosti.
31
GEOMETRIJA V RAVNINI
Pravokotni trikotnik je trikotnik, v katerem je en kot _______________. Stranica nasproti pravega
kota je najdaljša in jo imenujemo _______________________. Preostali stranici imenujemo
____________________.
Zakaj je stranica nasproti pravega kota najdaljša? Ker leži nasproti __________________ ________.
V pravokotnem trikotniku leži središče očrtanega kroga na _________________________, zato je
hipotenuza enaka premeru očrtane krožnice. To velja zaradi izreka o kotu v _____________________.
Nariši skico pravokotnega trikotnika z očrtanim polkrogom. Zapiši enakost treh dolžin v trikotniku, ki
je vidna s te skice.
Kako je z višinami v pravokotnem trikotniku? Zakaj višino na hipotenuzo c označujemo kar v in ne
v c ? ______________________________________________________________________________
Vaja 2: Na skici velja BC≅CD. Oba kota sta podana v stopinjah. Izračunaj kot x. Zapiši račune.
Vaja 3: Zunanji kot ob vrhu enakokrakega trikotnika meri
Izračunaj notranje kote trikotnika (natančno v radianih).
32
π
3.
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 4: V enakokrakem trikotniku ABC notranji kot trikotnika ob vrhu C meri 28 stopinj. Izračunaj
preostala notranja kota in kot, pod katerim seka simetrala notranjega kota pri A krak BC. Nariši skico,
označi kote in zapiši račune.
Vaja 5: Kaj lahko poveš o trikotniku, če je eden od njegovih kotov
•
enak vsoti drugih dveh?
•
večji od vsote drugih dveh?
Vaja 6: V enakokrakem trikotniku je simetrala kota pri osnovnici pravokotna na nasprotno stranico.
Kakšen trikotnik je to? Skiciraj in utemelji odgovor z računom.
33
GEOMETRIJA V RAVNINI
*Vaja 7: Nariši naslednje trikotnike. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek potek
konstrukcije. Namig: uporabi izrek o središčnem in obodnem kotu.
c = 5, vc = 3, γ = 30°
•
•
34
c = 5, t c = 6, γ = 30°
GEOMETRIJA V RAVNINI
Podobnost trikotnikov
Trikotnika sta podobna, če obstaja podobnostna preslikava ravnine, ki preslika enega v drugega. Pri
podobnostnih preslikavah se ohranjajo koti in razmerja dolžin. Primer take podobnostne preslikave je
središčni razteg.
Definicija: Središčni razteg s središčem S in faktorjem k (k je realno število) je preslikava ravnine
nase, ki poljubno točko A v ravnini preslika v točko A1 , tako da velja enakost: SA1 = k ⋅ SA in da
velja tudi: če je k pozitiven, leži A1 na poltraku iz S skozi A , če je k negativen, leži A1 na
dopolnilnem poltraku k poltraku iz S skozi A .
Ponazori središčni razteg z dvema skicama, za pozitiven in za negativen faktor. Zapiši faktor raztega.
Vaja 1: Nariši poljuben trikotnik, v njegovi notranjosti izberi točko S in trikotnik preslikaj s
središčnim raztegom s središčem v S in faktorjem 1,5.
Za trikotnike poenostavimo definicijo takole.
Definicija: Trikotnika sta podobna, če imata paroma skladne kote. Označimo: ABC ∼ A/B/C/.
(Dovolj je že, da imata paroma skladna dva kota, ker se potem zagotovo ujemata tudi v tretjem kotu.
Razmisli, zakaj!) Nariši podobna trikotnika ABC in A/B/C/ in označi stranice in skladne kote.
Za trikotnike lahko naštejemo tudi kriterije za podobnost trikotnikov:
trikotnika sta podobna,
1. če se ujemata v razmerju treh enakoležnih stranic ali
2. če se ujemata v razmerju dveh enakoležnih stranic in imata skladen kot med njima ali
3. če se ujemata v razmerju dveh enakoležnih stranic in imata skladen kot nasproti daljše stranice.
35
GEOMETRIJA V RAVNINI
Če sta trikotnika ABC in A/B/C/ podobna, za njune stranice velja:
a/ b/ c/
=
=
= k (k je koeficient podobnosti) oziroma a/ = ka, b/ = kb, c/ = kc.
a
b
c
Za obseg zato velja o/ = ko, za ploščino pa S/ = k2S.
Vaja 2: Razdeli dano daljico v razmerju 2 : 3 : 4.
Vaja 3: Na skici velja: CD AB, AC = 9, CE = 3, CD = 5, BD = 4 . Izračunaj AB = x, DE = y .
E
C
A
D
B
Vaja 4: Trikotnik ima stranice dolge 8, 12 in 16 cm, obseg podobnega trikotnika pa meri 45 cm.
Izračunaj stranice podobnega trikotnika.
Vaja 5: Konstruiraj trikotnik ABC ( a = 3, b = 4, c = 5 ) in njemu podobni trikotnik, če je a/= 4. Nariši
skico in zapiši kratek potek konstrukcije.
36
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 6: Navijač spremlja tek na 100 m s sedeža, ki je v liniji ciljne črte. Ko je najboljši domači
tekmovalec na 7. progi 10 m pred ciljem, ima tuji sprinter na 8. progi že nekaj prednosti, in sicer ravno
toliko, da gledalcu zakrije pogled na domačega šampiona. Tekmovalca tečeta po sosednjih progah, ki
sta medsebojno oddaljeni 1 m, tujčeva proga je od gledalca oddaljena 20 m. Izračunaj, koliko manjka
do cilja tujcu. Nariši skico.
Vaja 7: Krožnici s polmeroma r1 = 2 cm in r2 = 3 cm ter središčema S1 in S2 se dotikata zunaj in imata
skupno tangento, ki se dotika večje krožnice v točki B in manjše krožnice v točki C (točki B in C sta
različni točki). Premica skozi središči krožnic seka skupno tangento v točki A. Nariši skico. Izračunaj
dolžino daljice AS1.
Vaja 8: V trikotniku ABC leži točka D na stranici AC, tako da je notranji kot trikotnika ABC pri
oglišču B skladen s kotom BDC. Izračunaj dolžino stranice b, če meri stranica a 5 cm in razdalja od D
do C 4 cm. Nariši skico, označi skladne kote in zapiši podobne trikotnike.
37
GEOMETRIJA V RAVNINI
Izreki v pravokotnem trikotniku
V pravokotnem trikotniku ABC nariši višino v na hipotenuzo c, označi stranice in kote. Z a1, b1 označi
pravokotni projekciji katet na hipotenuzo, z D označi pravokotno projekcijo oglišča C na hipotenuzo
(točki D rečemo tudi nožišče višine). Označi skladne kote in zapiši podobne trikotnike.
Trikotnika ACD in ABC sta podobna, zato velja (dopolni):
iz tega pa dobimo Evklidova izreka:
b1
=
b
in
b 2 = b1c
a1
=
a
a 2 = a1c
Če oba Evklidova izreka seštejemo, dobimo Pitagorov izrek. Izpelji.
Tudi trikotnika ACD in CBD sta podobna.
Iz enačbe za podobnost teh dveh trikotnikov dobimo (dopolni):
In v naslednjem koraku višinski izrek v
2
v
b1
=
= a1b1
Vaja 9: Kateta pravokotnega trikotnika meri 4 dm, njena projekcija na hipotenuzo pa 2 dm. Natančno
izračunaj preostali stranici in višino na hipotenuzo pravokotnega trikotnika.
38
GEOMETRIJA V RAVNINI
*Vaja 10: Ena kateta v pravokotnem trikotniku je za 4 cm daljša od svoje projekcije na hipotenuzo,
projekcija druge katete na hipotenuzo pa meri 9 cm. Koliko merijo stranice trikotnika?
Vaja 11: Hipotenuza pravokotnega trikotnika meri 20 cm, razmerje projekcij katet na hipotenuzo pa je
9 : 16. Koliko merita kateti in koliko višina tega trikotnika?
39
GEOMETRIJA V RAVNINI
*
Poglejmo še, kako s pomočjo Evklidovega ali višinskega izreka konstruiramo nekatera iracionalna
števila, če seveda prej določimo dolžino enote. Verjetno se spomniš, da smo že risali korene s
pomočjo Pitagorovega izreka in da je bilo to za nekatere korene precej zamudno.
Narišimo 15 cm z uporabo višinskega izreka. Za pravokotni trikotnik ABC naj merita pravokotni
projekciji katet na hipotenuzo: ena 3 cm in druga 5 cm. Izračunaj višino po višinskem izreku.
Torej moraš le še konstruirati pravokotni trikotnik, ki ima projekciji katet na hipotenuzo dolgi 3 cm in
5 cm, pa bo njegova višina daljica, ki bo dolga točno 15 cm. Namig: najprej nariši obe projekciji, ki
se združita v hipotenuzo AB trikotnika ABC, potem razpolovi hipotenuzo, da dobiš središče trikotniku
očrtanega kroga (zaradi izreka o kotu v polkrogu) in nariši očrtan polkrog skozi A in B. Potem nariši
nosilko višine trikotnika. Kjer nosilka višine seka krožnico, je oglišče C. Razdalja od C do hipotenuze
je ravno 15 cm.
Prepričaj se tudi tako, da izmeriš višino in to primerjaš s približkom, ki ga s kalkulatorjem dobiš za
15 .
*Vaja 12: Uporabi višinski izrek za konstrukcijo korena po svoji izbiri. Zapiši tudi predpostavke in
račun.
40
GEOMETRIJA V RAVNINI
*Vaja 13: Uporabi Evklidov izrek za konstrukcijo korena po svoji izbiri. Zapiši tudi predpostavke in
račun.
Vaja 14:
• Dokaži, da za kvadrat s stranico a izračunamo diagonalo po formuli d = a 2 .
•
Dokaži, da za enakostranični trikotnik s stranico a izračunamo višino po formuli v =
a 3
2 .
41
GEOMETRIJA V RAVNINI
Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku
Nariši pravokotni trikotnik s kotom α = 60o. Dolžine stranic si poljubno izberi.
Označi oglišča in kote ter izračunaj preostali kot.
_______________________________________________
a
Označi in izmeri stranice. Izračunaj
=
c
Primerjaj rezultat s sošolcem. Kaj ugotoviš? ___________________________________________
Zakaj je razmerje kotu nasproti ležne katete in hipotenuze v pravokotnem trikotniku neodvisno od
tega, kako velik pravokotni trikotnik narišemo, če le uporabimo isti kot? Ker so vsi taki pravokotni
trikotniki med seboj ___________________________.
a
a
Vrednost bi se spremenila le, če bi spremenili kot α, zato pravimo, da je razmerje funkcija kota
c
c
in jo imenujemo sinus α.
Definicija: Sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje kotu ______________________
katete in __________________. Zapišemo na primer: sin α =
a
.
c
Definicija: Kosinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje kotu _______________
katete in ________________.
Zapišemo: __________________________________
Nariši skico in na njej poudari kot in stranici, ki si jih uporabil.
Definicija: Tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje kotu ___________________
in kotu __________________ katete .
Zapišemo: _______________________________________
Nariši skico in na njej poudari kot in stranici, ki si jih uporabil.
Definicija: Kotangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje kotu __________________
in kotu __________________ katete .
Zapišemo: ______________________________________
42
GEOMETRIJA V RAVNINI
Nekaj vrednosti kotnih funkcij
Izračunajmo vrednost sinusa za kot α =60o.
Nariši enakostranični trikotnik s stranico a. Nariši tudi eno izmed višin in označi velikosti kotov na
sliki. Izrazi dolžino višine v tem trikotniku s stranico a. Uporabi rezultat iz vaje 14 (stran 42).
Zapiši sinus kota α =60o in vstavi podatke za stranico in višino ter natančno izračunaj vrednost
sinusa.
Preveri svoj rezultat v preglednici vrednosti kotnih funkcij (na naslednji strani).
Iz zgornje skice izračunaj še kosinus kota β =30o.
Primerjaj sinus 60o in kosinus 30o. Kaj ugotoviš? _________________________
Poišči na naslednji strani zvezo med kotnimi funkcijami, ki potrjuje tvojo ugotovitev (namig: kolikšna
je vsota kotov, za katera si računal sinus in kosinus?). _______________________
Na podoben način kot prej izračunaj še vrednosti sinusa za kot 30o in kot 45o .
43
GEOMETRIJA V RAVNINI
Zveze med kotnimi funkcijami
a) Izpelji vsaj dve zvezi izmed naslednjih zvez med kotnimi funkcijami komplementarnih kotov:
sin (90o - α) = cos α
tg (90o - α) = ctg α
cos (90o - α) = sin α
ctg (90o - α) = tg α
b) Izpelji vsaj dve zvezi izmed naslednjih zvez med kotnimi funkcijami istega kota:
sin α
cos α
, ctgα =
, tg α ⋅ ctg α = 1 ,
cos α
sin α
1
1
2
1 + tg 2α =
, 1 + ctg α =
2
cos α
sin 2 α
sin 2 α + cos 2 α = 1 ,
tgα =
Preglednica vrednosti kotnih funkcij
Dopolni preglednico natančnih vrednosti kotnih funkcij. Pri tem si pomagaj z zgornjimi zvezami.
Račune zapiši na naslednji strani.
sin α
30o = π/6
45o = π/4
60o = π/3
1
2
2
2
3
2
cos α
tg α
ctg α
44
Zgled: cos 30o = sin (90o - 30o) = sin 60o =
3
3
3
3
2
GEOMETRIJA V RAVNINI
Tukaj zapiši svoje račune, s pomočjo katerih si izpolnil prejšnjo preglednico.
Vaja 1: Z računalom izračunaj vse štiri kotne funkcije danega kota.
α
10o
89o
31o21/
83o12/17//
π
4
1,4
sinα
cosα
tgα
ctgα
Kako dobiš kotangens? Pomisli na zveze med kotnimi funkcijami.
Vaja 2: Z računalom izračunaj kot, če imaš podano kotno funkcijo. Kot zapiši na tri načine: prvič v
stopinjah na stotinko stopinje natančno, drugič v stopinjah, minutah, sekundah, in tretjič v radianih na
dve mesti natančno.
vrednost kotne
funkcije
sinα = 0,5
cosα = 0,217
kot α
v stopinjah na stotinko
stopinje natančno
kot α
v stopinjah,
minutah, sekundah
kot α
v radianih
tgα = 1+ 2
ctgα = 2,5
Poskusi z računalom izračunati kot, če za sinus uporabiš sinα = 2,5. Kaj si ugotovil? _____________
Kakšne vrednosti lahko zavzameta funkciji sinus in kosinus?________________________________
_________________________________________________________________________________
Zapiši, zakaj. ______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
Kaj pa tangens in kotangens?__________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
45
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 3: V pravokotnem trikotniku ABC s pravim kotom pri C in danimi podatki izračunaj iskano
količino.
• a = 10, β = 40°15 ' 30 '' , b = ?
•
a = 4, c = 10,5, α = ?, β = ?
•
a = 10, b = 40, α = ?, β = ?
Vaja 4: V enakokrakem trikotniku meri krak 10 m, osnovnica pa 10 3 m. Natančno izračunaj notranje
kote trikotnika. Skiciraj.
46
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 5: Enakokrakemu trikotniku ABC z osnovnico c = 6 cm je očrtan krog s središčem v točki S. Kot
ASB meri 100°. Skiciraj. Izračunaj polmer trikotniku očrtanega kroga in krak trikotnika.
Vaja 6: V enakokrakem trikotniku ABC z osnovnico c = 3,5 cm in krakom a = 7,2 cm narišemo višino
na osnovnico z nožiščem D. Skiciraj. Izračunaj razdaljo od točke D do kraka trikotnika.
47
GEOMETRIJA V RAVNINI
Štirikotniki
V ravnini izberemo štiri točke A, B, C, D, od katerih nobene tri niso kolinearne. Te štiri točke
povežemo zaporedoma z daljicami AB, BC, CD, DA, ki so stranice štirikotnika. Štirikotnik je del
ravnine, omejen s stranicami.
Nariši konveksen štirikotnik ABCD in nekonveksen štirikotnik EFGH. V štirikotniku ABCD označi
razen oglišč še stranice, kote in diagonali. Obravnavali bomo samo konveksne štirikotnike.
Kolikšna je vsota notranjih kotov štirikotnika?________________ Zakaj? Pokaži s skico in računom.
(Namig: za kateri lik že poznaš vsoto notranjih kotov? Uporabi.)
Paralelogram
Definicija: Paralelogram je štirikotnik, ki ima _________ para ______________________
___________________. Nariši paralelogram in označi oglišča, stranice, kote in diagonali.
Višina paralelograma je razdalja med nosilkama vzporednih stranic. Paralelogram ima dve višini.
Označi ju na naslednji skici.
48
GEOMETRIJA V RAVNINI
Lastnosti paralelograma
1. Nasprotna kota sta ___________________ .
Zapiši z enakostjo, uporabi oznake na prejšnjih skicah. _________________________
2. Kota ob isti stranici sta _____________________.
Zapiši z enakostjo, uporabi oznake na prejšnjih skicah. _________________________
3. ____________________(kateri) stranici sta skladni.
*Skiciraj paralelogram in zapiši skladna trikotnika, s katerima to dokažeš:
4. Diagonali druga drugo _________________________.
*Skiciraj paralelogram in zapiši skladna trikotnika, s katerima to dokažeš:
*Zapiši še tri karakteristične lastnosti paralelograma. Dve govorita o stranicah, tretja o diagonalah.
Štirikotnik, ki ima skladni __________________ stranici, je paralelogram.
Štirikotnik z dvema paroma skladnih nasprotnih ___________________, je paralelogram.
Štirikotnik, v katerem se diagonali _____________________, je paralelogram.
Vaja 1: Nariši naslednje paralelograme. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši kratek
potek konstrukcije.
• a = 7, b = 3, f = 8
•
a = 5, b = 4, v b = 3
49
GEOMETRIJA V RAVNINI
•
a = 3, b = 4, ∠CAB = 30°
Vaja 2: Točka P leži na stranici BC paralelograma ABCD in je od točke C oddaljena 3 enote. Premica
skozi D in P seka nosilko stranice AB v točki T. Nariši skico. Izračunaj razdaljo od B do T, če poznaš
stranici paralelograma AB = a = 7, AD = b = 4 .
Vaja 3: Natančno izračunaj obe višini paralelograma ABCD s podatki: a = 5, b = 4, α = 60° .
50
GEOMETRIJA V RAVNINI
*Vaja 4: Nariši trikotnik ABC ( a = 4, t b = 4.5, β = 75 ° ) s pomočjo paralelograma ABCD. Nariši skico
in zapiši kratek potek konstrukcije.
Posebne vrste paralelogramov
Definicija: Romb je paralelogram s _______________________ _________________stranicama.
Skiciraj romb.
Lastnosti romba
Diagonali se sekata _____________________________.
Diagonali razpolavljata ___________________.
(*Zapiši skladna trikotnika, s katerima to dokažeš: ________________________________)
Romb ima samo eno višino.
Definicija: Pravokotnik je paralelogram, ki ima pravi notranji kot.
Zakaj je dovolj, da to zahtevamo za en kot? Pojasni razmišljanje.
Definiraj kvadrat. Pazi, da boš v definiciji zahteval le nujno potrebno. Ne naštej vseh lastnosti
kvadrata.
Definicija: Kvadrat je_______________________________________________________________.
Bi ga znal definirati tudi drugače? Poskusi.
51
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 5: Nariši romb ABCD z danimi podatki. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši
kratek potek konstrukcije.
• e = 4, α = 105°
•
e = 3, f = 4
Vaja 6: V rombu s stranico a = 6 in kotom α = 60 ° natančno izračunaj diagonali.
Trapez
Definicija: Trapez je štirikotnik, ki ima _____ par ________________ ___________________.
Vzporedni stranici imenujemo __________________, preostali dve pa ________________. Skiciraj
trapez.
Lastnost trapeza
Kota ob istem kraku sta ________________________.
52
GEOMETRIJA V RAVNINI
Definicija: Srednjica trapeza je daljica, ki povezuje razpolovišči _________________________.
Srednjica je vzporedna osnovnicama in meri __________________.
*Poskusi to dokazati, tako da uporabiš premik enega kraka trapeza in podobnost trikotnikov.
Višina trapeza je razdalja med _________________________.
Definicija: Enakokraki trapez je trapez, z enakima ________________________.
Skiciraj enakokraki trapez.
Enakokraki trapez ima tudi skladni ________________ in skladna para __________ ob isti osnovnici .
Ali se diagonali razpolavljata? __________
Vaja 7: Nariši trapez ABCD z danimi podatki. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši
kratek potek konstrukcije.
•
a = 6, e = 4,5, f = 7, β = 45°
•
a = 9, b = 4, c = 5, d = 5
53
GEOMETRIJA V RAVNINI
54
•
a = 9, c = 5, e = 9, f = 7
•
* a = 6, v = 4, c = 3, ∠BCA = 45° (Namig: obodni in središčni kot.)
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 8: Nariši enakokraki trapez ABCD z osnovnico a = 5 cm, kotom α = 60 ° in višino v = 2 cm.
Nariši skico in zapiši kratek potek konstrukcije.
Vaja 9: V trapezu ABCD merita osnovnici a = 6 cm, c = 4 cm in krak b = 3 cm. Nosilki krakov se
sekata v točki S. Izračunaj razdaljo od C do S. Namig: podobni trikotniki.
55
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 10: V trapezu ABCD sta kota ∠ BCD in ∠ BDA skladna. Izračunaj dolžino diagonale BD, če
stranica a meri 63 cm, stranica c pa 28 cm. Namig: zapiši podobne trikotnike.
Vaja 11: V enakokrakem trapezu je a = 10 cm, c = 6 cm, v = 3 cm. Izračunaj krak, notranje kote in
diagonalo trapeza.
Vaja 12: V trapezu ABCD (a = 10 cm, c = 6 cm, d = 4 cm, v = 3 cm) izračunaj b in notranje kote.
56
GEOMETRIJA V RAVNINI
Deltoid
Definicija: Deltoid je štirikotnik z dvema paroma ________________ ________________ stranic.
Skiciraj deltoid ABCD s simetralo BD in potem še deltoid s simetralo AC.
Če ni drugače zahtevano, bomo uporabljali deltoid s simetralo BD.
Lastnosti deltoida
Diagonali se sekata pod __________________ ___________.
Ena od diagonal razpolavlja drugo ______________________ in oba notranja _________. Preostala
kota sta med seboj _________________.
Ali druga diagonala tudi razpolavlja kote? ____________
Vaja 13: Nariši deltoid ABCD z danimi podatki. Vse dolžine so podane v cm. Nariši skico in zapiši
kratek potek konstrukcije.
•
d = 3, f = 8, δ = 75°
57
GEOMETRIJA V RAVNINI
58
•
e = 2, f = 6, δ = 45°
•
*
f = 7, e = 5, α = 90° (kot v polkrogu)
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 14: V deltoidu ABCD poznamo a = 3, f = 8, β = 30° . Izračunaj preostale stranice, kote in
diagonalo.
*Tetivni in tangentni štirikotnik
Definicija: Tetivni štirikotnik je štirikotnik, katerega stranice so ________________ nekega kroga.
Skiciraj tetivni štirikotnik ABCD v krogu in označi notranje kote. Središče kroga označi S.
Lastnost tetivnega štirikotnika: nasprotna kota sta suplementarna. Zapiši s simboli:_______________
Utemeljitev: Na skici nariši daljici BS in SD. Koliko merita središčna kota, ki si ju dobil na skici?
Namig: uporabi povezavo središčnega in obodnega kota.
Vsota obeh središčnih kotov pa je polni kot. To zapišemo: 2α + 2γ = 360° Ko to enačbo delimo z dve,
dobimo _____________________________. Torej sta α in γ suplementarna. Enako bi lahko dobili
tudi za drugi par nasprotnih kotov.
Velja tudi obrat te lastnosti: če sta v štirikotniku nasprotna kota suplementarna, mu lahko očrtamo
krog.
59
GEOMETRIJA V RAVNINI
*
Vaja 15: Izračunaj konveksni kot DAB na skici, če meri kot BCD 80 stopinj.
C
B
D
A
Vaja 16: Utemelji, zakaj je enakokraki trapez tetivni štirikotnik (lahko mu očrtamo krožnico). Skiciraj.
Definicija: Tangentni štirikotnik je štirikotnik, katerega stranice so odseki na ________________
nekega kroga.
Skiciraj tangentni štirikotnik ABCD in krog. Označi le oglišča in stranice štirikotnika.
Lastnost tangentnega štirikotnika: vsota nasprotnih dveh stranic je za dani štirikotnik konstantna.
Zapiši s simboli.
Utemeljitev: Na skici označi skladne tangentne odseke z enakimi črkami, x, y, z, u (tangentni odsek je
tisti del tangente, ki ima eno krajišče na krožnici, drugo pa v oglišču štirikotnika).
Zdaj izrazi vsoto stranic a in c s tangentnimi odseki, ki sestavljajo ti dve stranici.
Enako še za stranici b in d.
Primerjaj rezultata.
Vaja 17: V tangentnem štirikotniku ABCD poznamo stranice a = 5, b = 6, c = 3. Izračunaj d.
60
GEOMETRIJA V RAVNINI
N-kotnik
Definicija: Točke A1, A2, … An v ravnini, od katerih nobene tri zaporedne ne ležijo na isti premici in
za katere velja, da se daljici AnAn+1 in An+1An+2 sekata le v An+1, razen An=A1, določajo n-kotnik.
Točke A1, A2, … An so oglišča, daljice, ki povezujejo sosednji oglišči, so stranice, daljice, ki
povezujejo nesosednji oglišči pa so diagonale n-kotnika. Del ravnine, ki ga omejujejo stranice,
imenujemo n-kotnik.
Obravnavali bomo samo konveksne n-kotnike.
Koliko diagonal ima n-kotnik? ___________________
Utemeljitev:
Vsota notranjih kotov n- kotnika: 180° ⋅ (n − 2)
Utemeljitev:
Vaja 1: Izračunaj število diagonal petkotnika. Rezultat preveri tako, da skiciraš petkotnik in prešteješ
diagonale.
Vaja 2: Izračunaj, kateri večkotnik ima 44 diagonal. Kolikšna je vsota njegovih notranjih kotov?
61
GEOMETRIJA V RAVNINI
Vaja 3: Izračunaj, kateri večkotnik ima štirikrat toliko diagonal kot stranic?
Vaja 4: Če v n-kotniku podvojimo število stranic, se število njegovih diagonal pomnoži s pet.
Izračunaj, kateri n-kotnik je to.
Pravilni n-kotnik
Definicija: Pravilni n-kotnik je n-kotnik z vsemi skladnimi _______________ in vsemi skladnimi
notranjimi _____________________.
Lastnosti: Pravilnemu n-kotniku lahko včrtamo in očrtamo krog. Oba kroga imata isto središče, zato
rečemo, da sta __________________________.
Skiciraj pravilni n-kotnik (npr. 7-kotnik) z včrtanim in očrtanim krogom. Označi oba polmera: R in r.
Nato razdeli n-kotnik na enakokrake trikotnike, ki imajo vrhove v središču obeh krogov.
Izračunaj velikost kota ob vrhu narisanega enakokrakega trikotnika:
62
GEOMETRIJA V RAVNINI
Enakokraki trikotnik na desni skici naj bo le povečava enega od trikotnikov iz n-kotnika. Označi na
njem polmer očrtanega kroga R, včrtanega r, kot ob vrhu naj bo ϕ , stranica pa a. Polmer včrtanega
kroga je hkrati višina enakokrakega trikotnika. Na kolikšna dela razdeli r stranico a?____________
Notranji kot n-kotnika bomo označevali z α .
Zapiši vsaj tri povezave med količinami R, r, α , ϕ in a, tako da uporabiš kotne funkcije.
Vaja 5: V pravilnem n-kotniku poznamo dva podatka, ostale pa je potrebno izračunati. Nariši skico.
•
R = 3, n = 10, ϕ , a, r , α = ?
63
GEOMETRIJA V RAVNINI
•
a = 6, r =
3 2
, ϕ , R, n, α = ?
2
Vaja 6: Krogu s polmerom 22 m včrtamo pravilni 9-kotnik. Izračunaj dolžino stranice.
64
GEOMETRIJA V RAVNINI
65