ˇna geometrija v ravnini
1. Metric
1.1. Ploˇ
sˇ
cina in obseg pravokotnika in paralelograma. Ploˇsˇcina pravokotnika
je produkt dolˇzin obeh stranic.
Pravokotnik
Kvadrat
Na desni stani je primer posebnega pravokotnika, ki ima vse stranice enako dolge,
imenujemo ga kvadrat.
Obseg pravokotnika je seˇstevek vseh stranic, dobimo o = 2(a + b).
Obseg kvadrata je o = 4a.
Paralelogram je ˇstirikotnik, ki ima po dve stranici vzporedni.
Poseben primer paralelograma, ki ima vse stranice enako dolge, imenujemo romb.
Paralelogram
Romb
Ploˇsˇcina paralelograma je S = av, kjer je v viˇsina paralelograma.
sin α = vb ; v = b sin α
S = ab sin α
Za laˇzje razumevanje si poglejmo sliko.
Ploˇsˇcina lika se ne spremeni, ˇce levi pravokotni trikotnik odreˇzemo in ga prestavimo
na desno stran. Na ta naˇcin dobimo pravokotnik s stranicama a in v, ploˇsˇcina pa je
1
ˇ viˇsino izrazimo s sinusom kota α, dobimo S = ab sin α.
S = av. Ce
Ploˇsˇcina romba je S = av = a2 sin α
S = ef2 ; e, f sta diagonali
Za laˇzje razumevanje si poglejmo sliko.
Obseg paralelograma o = 2(a + b).
Obseg romba o = 4a.
1.2. Ploˇ
sˇ
cina in obseg trikotnika. Trikotnik ABC prezrcalimo ˇcez razpoloviˇsˇce
ene od stranic(npr. a). Dobimo paralelogram ABA0 C, sestavljen iz skladnih trikotnikov ABC in A0 CB. Ploˇsˇcina trikotnika je torej enaka poloviˇcni ploˇsˇcini paralelograma z enako osnovnico in viˇsino.
S = cv2
va = c sin β
vb = a sin γ
vc = b sin α
S = 12 ab sin γ = 21 ac sin β = 12 bc sin α
Obseg trikotnika je S = a + b + c.
Iz formule S = cv2 vidimo, da so trikotniki z isto osnovnico in isto viˇsino ploˇsˇcinsko
enaki. Poglejmo si sliko.
Pravokotni trikotnik
S = ab
2
Enakostraniˇ
cni trikotnik
√
2
S = 12√a2 sin 60 = a 4 3
v = a23
2
1.3. Ploˇ
sˇ
cina in obseg pravilnega n–kotnika. Pravilni n–kotnik je sestavljen iz
ˇ znamo izraˇcunati ploˇsˇcino tega trikotnika,
n skladnih enakokrakih trikotnikov. Ce
poznamo tudi ploˇsˇcino pravilnega n–kotnika.
R...polmer pravilnemu n–kotniku oˇcrtanega kroga
sn ...stranica pravilnega n–kotnika
o
S∆ = 12 R2 sin 360
n
Sn = n · S∆
o
Sn = 21 n · R2 sin 360
n
1.4. Krog. Ploˇsˇcina in obseg kroga.
S = πr2
o = 4πr
Kroˇ
zni izsek je del kroga, ki ga doloˇca izbrani srediˇsˇcni kot α. Ploˇsˇcina je sorazmerni del ploˇsˇcine kroga, izraˇcunamo jo lahko s sklepnim raˇcunom. Polnemu kotu
3
360o ustreza ploˇsˇcina πr2 , zato srediˇsˇcnemu kotu α ustreza ploˇsˇcina:
Si =
πr2 αo
.
360o
Ker je srediˇsˇcni kot enoliˇcno povezan z dolˇzino loka, lahko formulo za ploˇsˇcino
zapiˇsemo tudi kot:
Si =
πrαo · r
l·r
=
,
o
180 · 2
2
pri ˇcemer upoˇstevamo, da je kroˇzni lok l = r · α.
Kroˇ
zni odsek je del kroga, ki ga doloˇcata lok in tetiva. Njegova ploˇsˇcina je razlika
ploˇsˇcin kroˇznega izseka in enakokrakega trikotnika(krak je radij kroga).
So = Si − S∆ =
πr2 αo 1 2
− r sin α
360o
2
1
παo
So = r2 (
− sin α)
2 180o
Kroˇ
zni kolobar je lik, ki ga dobimo, ˇce iz veˇcjega kroga izreˇzemo manjˇsi krog.
ˇ imata kroga srediˇsˇce v isti toˇcki (oz. ˇce sta koncentriˇcna), je kroˇzni kolobar
Ce
srediˇsˇcno simetriˇcen lik s ploˇsˇcino Sk = π(R2 − r2 ).
Izsek
Odsek
Kolobar
1.5. Naloga 1. Trikotnik ABC je ploˇsˇcinsko enak kvadratu z obsegom o = 48m.
Kolikˇsna je osnovnica trikotnika, ˇce je njegova viˇsina 16m?
Reˇsitev:
Najprej izraˇcunamo stranico kvadrata, dobimo iz znanega obsega. o = 4a = 48m,
a = 12m. Ploˇsˇcina kvadrata je S = a2 = 144m2 . Ploˇsˇcino trikotnika izraˇcunamo po
formuli: S = cv2 .
144m2 = c·16m
,
2
144m2
c = 8m = 18m
Osnovnica trikotnika je torej 18m.
4
1.6. Naloga 2. Enakostraniˇcnemu trikotniku vˇcrtamo krog. Izrazi ploˇsˇcini in obsega obeh likov v odvisnosti od stranice enakostraniˇcnega trikotnika, ki je a.
Reˇsitev:
Trikotnik:
√
2
S = a 4 3 , o = 3a, v =
√
a 3
2
Krog:
ˇ enakostraniˇcnemu trikotniku vˇcrtamo krog, je njegov radij ravno
Ce
√
√
r = 13 v = 31 a 2 3 = a 6 3 ,
2
2
S = πr2√= π 3a
= πa
,
36√
12
a 3
2 3a
o = 4π 6 = 3 π.
5
1
3
viˇsine. Torej