1. No category

-ALGEBRA
. Družino podmnožic množice imenujemo -algebra na , če velja:
1.
2. za
} elementov iz je tudi unija ⋃
3. za vsako števno družino {
.
Elemente družine imenujemo merljive množice. Množico , opremljeno z
družino pa merljiv prostor. Oznaka
.
Če namesto 3 zahtevamo:
3'. unija vsake končne poddružine v je v , pravimo, da je algebra na .
Trditev: Vsaka -algebra je zaprta za števne preseke; če je {
}
poljubno zaporedje množic iz , je ⋂
.
Zgled:
poljubna množica.
1. {
} je -algebra, vsebovana v vsaki -algebri na .
2. Potenčna množica
je -algebra, ki vsebuje vsako -algebro na .
BORELOVE MNOŽICE
poljubna družina podmnožic dane
. Presek vseh algeber na , ki
vsebujejo družino , imenujemo -algebra, generirana z . To je najmanjša
-algebra, ki vsebuje .
Če je topološki prostor in družina vseh odprtih podmnožic v , imenujemo
-algebro generirano z Borelova -algebra, njene elemente pa Borelove
množice. Oznaka:
.
Primer: Presek števne družine odprtih množic v topološkem prostoru je
Borelova množica.
MERLJIVE PRESLIKAVE
merljiva prostora. Preslikava
je merljiva, če je
za vsako
.
Preslikava je merljiva natanko takrat, ko je praslika vsake merljive množice
merljiva.
Zgled: Konstantna preslikava, ki vse točke
preslika v isto točko
, je
merljiva.
Trditev: Naj bo Borelova -algebra na topološkem prostoru ,
pa
poljuben merljiv prostor. Preslikava
je merljiva
ko je
za vsako odprto
.
Posledica: Vsaka zvezna preslikava
med topološkima prostoroma je
merljiva glede na Borelovi -algebri na in . Pravimo, da je Borelova
preslikava.
Trditev: Naj bo
poljuben merljiv prostor. Funkcija
je merljiva
])
ko je
za vsak
ko je
za vsak
(
)
(
.
̅
[
]
{
}.
̅ merljiva funkcija, je za vsak
Posledica: Če je
merljiva tudi
funkcija
Zgled: Za vsako podmnožico
označimo s
njeno karakteristično
funkcijo, ki je definirana:
{
.
Za vsak
([
je:
)
{
Zaporedje funkcij
konvergira enakomerno proti funkciji , če je
|
|
.
Funkcijo
, katere zaloga vrednosti je končna množica, imenujemo
stopničasta funkcija.
Naj bo {
} zaloga vrednosti stopničaste funkcije
. Za vsak
naj bo
{
}. Potem lahko izrazimo kot linearno kombinacijo
∑
karakterističnih funkcij množic :
.
Prostor vseh kompleksnih omejenih Borelovih funkcij na merljivem prostoru
bomo označili z
.
Izrek: Prostor
vseh merljivih stopničastih funkcij na je gost v
, kar
pomeni da je vsaka omejena Borelova funkcija na enakomerna limita kakega
zaporedja merljivih stopničastih funkcij.
Izrek: Za vsako merljivo funkcijo
[
] obstaja naraščajoče (ne nujno
strogo) zaporedje merljivih stopničastih funkcij
[
, ki konvergira proti
po točkah. (ker je zaporedje naraščajoče in konvergira proti mora biti
za vsak )
POZITIVNA MERA
Zgledi: dolžina podmnožic v , ploščina ravninskih likov, prostornina teles v
prostoru.
Pozitivna mera na merljivem prostoru
je funkcija
[
], ki
zadošča:
1.
∑
2. ⋃
za vsako zaporedje disjunktnih množic
.
(števna aditivnost)
Trojko
bomo imenovali prostor z mero.
Če namesto 2. zahtevamo:
∑
2’. ⋃
za vsako končno družino disjunktnih podmnožic
(končna aditivnost).
Števno aditivno pozitivno mero imenujemo kar mera.
Pozitivno mero na merljivem prostoru
imenujemo končna mera, če je
. Če se da izraziti kot unija kake števne družine množic iz , ki
imajo končno mero, pravimo, da je
-končna mera.
Trditev: Končno aditivna pozitivna mera je monotona (za vsaki množici
iz je
).
Trditev: Za vsako pozitivno mero na merljivem prostoru
in poljubno
zaporedje { }
je (⋃ ) ∑
.
Trditev: Končno aditivna funkcija
[
] na merljivem prostoru
je
mera
ko za vsako naraščajoče zaporedje
množic iz
velja: ⋃
.
Posledica: Naj bo
prostor z mero in { } padajoče zaporedje množic
v . Če je
, potem je ⋂
.
Zgledi:
1. Diracova mera:
, njena potenčna množica,
pa poljuben
element.
{
.
2. Mera, ki šteje točke:
, njena potenčna množica. Za vsak
bo
število elementov množice (ki je , če je neskončna).
naj
NAPOLNITEV PROSTORA Z MERO
.
je merljiva
ko je merljiva množica
.
Naj bosta
merljiva prostora,
. Podmnožico v
oblike
, kjer je
imenujemo merljiv pravokotnik. Produktna -algebra
je -algebra na , generirana z vsemi merljivimi pravokotniki, torej
najmanjša -algebra na , ki vsebuje vse merljive pravokotnike.
Trditev: Naj bosta
merljiva prostora, v kartezičnem produktu
pa vzemimo produktno -algebro
. Potem velja:
1. Koordinatni projekciji
sta merljivi preslikavi.
2.
merljiv prostor,
poljubna preslikava,
pa njeni
komponenti. je merljiva
ko sta merljivi obe preslikavi .
Posledica: Naj imata topološka prostora
števni bazi topologije in
naj bo
poljubna preslikava, kjer je
poljuben merljiv
prostor. Preslikava je Borelova (se pravi merljiva, ko vzamemo na Borelovo
-algebro generirano s produktno topologijo)
ko sta njeni komponenti
Borelovi preslikavi.
Posledica: Vsota in produkt dveh merljivih preslikav
, kjer je
poljuben merljiv prostor, pa bodisi
ali [
], sta merljivi preslikavi.
Posledica: Linearna kombinacija merljivih preslikav z vrednostmi v (ali ) je
merljiva.
ZAPOREDJA MERLJIVIH FUNKCIJ
Za vsako zaporedje { }
[
], lahko sestavimo novo zaporedje
{
}. To zaporedje je padajoče (ne nujno strogo), zato ima
posplošeno limito v [
], ki jo imenujemo zgornja limita ali limes superior.
. Podobno definiramo spodnjo
limito ali limes inferior kot
.
Zaporedje funkcij
[
] konvergira po točkah k funkciji , če je
za vsak
.
Za splošno zaporedje funkcij
[
] lahko definiramo
kot
funkcijo, ki ima v točki
vrednost
, torej: (
)
za
. Podobno: (
za
.
)
̅ sta tudi funkciji
Lema: Za vsako zaporedje merljivih funkcij
in
merljivi.
̅ sta funkciji
Posledica: Za vsako zaporedje merljivih funkcij
in
merljivi. Limita po točkah konvergentnega zaporedja
merljivih funkcij je torej merljiva.
APROKSIMACIJA S STOPNIČASTIMI FUNKCIJAMI
Prostor z mero
imenujemo poln, če je vsaka podmnožica katerekoli
množice
z
merljiva, tj.
.
Vsak merljiv prostor je mogoče dopolniti do polnega prostora s
povečanjem -algebre:
Trditev: Naj bo
prostor z mero. Naj bo družina vseh tistih
, ki
se dajo izraziti kot
, kjer je
pa poljubna podmnožica kake
množice
z
. Za vsako tako množico
naj bo ̃
.
Potem je
-algebra na , ki vsebuje , ̃ pa mera na , ki se ujema z mero
na množicah iz . Prostor
̃ je poln prostor z mero.
ZUNANJA MERA
Zunanja mera na množici je preslikava
[
], ki zadošča:
1.
2.
, če
∑
3. ⋃
za vsako zaporedje množic
.
Trditev: Naj bo poljubna družina podmnožic neprazne množice in
.
Naj bo
[
] poljubna funkcija, da je
. Potem je funkcija
∑
[
],
, kjer inf teče po vseh števnih
poddružinah { }
, da je
⋃ , zunanja mera.
Naj bo zunanja mera na .
je -merljiva, če je
za vsako
. Družino vseh -merljivih podmnožic v označimo z
.
Pogoj je ekvivalenten
za vsako
. Smemo
vzeti
, sicer izpolnjeno.
Izrek (Caratheodorij): Za vsako zunanjo mero na je družina
-algebra
na , zožitev | je mera na njej in
|
je poln prostor z mero.
RAZŠIRITEV MERE IZ ALGEBRE NA SIGMA ALGEBRO
Mera na algebri je taka funkcija
[
], da je
in ⋃
∑
za vsako zaporedje disjunktnih množic
, katerih unija je v .
Vsako mero na algebri lahko razširimo do zunanje mere.
Izrek: Naj bo mera na algebri podmnožic kake množice . Za vsako
∑
naj bo
, kjer teče inf po vseh zaporedjih { }
, da je
. Tedaj je zunanja mera na in
za
.
⋃
Izrek: Naj bo algebra na ,
mera na ,
zunanja mera, ki jo
porodi
po pr. izreku in
|
(
-algebra, ki jo
porodi po Cara. izreku).
Potem je
in za vsako
je
. Torej je edina
razširitev
na -algebro
, če je
-končna ( unija kake števne družine
množic iz s končno mero).
POLALGEBRE IN POLMERE
Polalgebra na
je družina
, ki vsebuje , je zaprta za končne
preseke in za
se da
izraziti kot unija končno mnogo disjunktnih
množic iz .
Polmera na polalgebri je funkcija
[
] z lastnostmi:
1.
2. če so
paroma disjunktne in njihova unija
, potem je
∑
3. če je { } tako zaporedje paroma disjunktnih
, da je tudi njihova unija
∑
v , je
.
⋃
Zgled: Lebesguevo mero na konstruiramo iz dolžine intervalov. Družina
vseh intervalov na ni -algebra, niti algebra. Naj bo
družina, ki
vsebuje , vse intervale oblike [
in [
. Ta družina ni
algebra, je pa polalgebra.
S predpisom ([
je
)
(
)
([
)
na
definirana polmera.
Trditev: Za vsako polalgebro na je družina vseh končnih unij paroma
disjunktnih elementov iz algebra na , ki vsebuje .
Trditev: Naj bo polalgebra na , polmera na njej, pa algebra generirana
z (ki po pr.trd. sestoji iz vseh končnih unij paroma disjunktnih elementov iz ).
Potem je s predpisom ̃(⋃ ) ∑
(
paroma disjunktne)
definirana mera na .
LEBESGUE-STILTJESOVE MERE
Naj bo
(ne nujno strogo) naraščajoča z leve zvezna funkcija. Ker je
monotona, obstajata v ̅ limiti:
in
.
Na polalgebri
definiramo funkcijo
s predpisom
([
)
(
)
([
)
.
Trditev: Funkcija
je polmera na
.
kot: ∫
prostor s pozitivno mero. Merljiva stopničasta funkcija
je zapisana kanonično, če so
[
paroma različne konstante,
pa paroma disjunktne z unijo . Integral funkcije po definiramo
∑
. Dogovor:
.
Za karakteristično funkcijo
merljive množice je torej ∫
.
Lema: Če sta
merljivi stopničasti na
je ∫
.
∫
Lema: Za vsako merljivo stopničasto
[
na
je s predpisom
definirana pozitivna mera na .
∫
Lema: Naj bosta
[
merljivi stopničasti funkciji in
1. ∫
∫
∫
2. ∫
.
∫
NENEGATIVNE MERLJIVE FUNKCIJE
prostor z mero. Za vsako merljivo funkcijo
množica vseh takih merljivih stopničastih funkcij
[
[
[
]. Velja:
] naj bo
], da je
.
Za vsako merljivo funkcijo
[
] naj bo ∫
.
∫
∫
Če je stopničasta merljiva nenegativna funkcija, je ∫
za
∫
vsako
zaradi monotonosti integrala stopničastih funkcij.
Lema: Za vsaki merljivi funkciji
z vrednostmi v [
] je ∫
.
∫
Izrek (LMK): Naj bo
naraščajoče zaporedje merljivih
funkcij na z vrednostmi v [
] in
njihova limita po točkah. Potem
je ∫
.
∫
Izrek: Za vsako zaporedje merljivih funkcij
[
] je ∫ ∑
∑ ∫
.
Lema: Za vsako merljivo
[
] je s predpisom
∫
definirana mera na . Za vsako merljivo
[
] je ∫
∫
.
∫
Lema: Za
in merljivo
[
] je ∫
.
∫
Lema (Fatou): Za vsako zaporedje merljivih funkcij
[
] je
.
∫
∫
Trditev: { } padajoče zaporedje nenegativnih merljivih funkcij z limito .
, če je ∫
.
∫
∫
KOMPLEKSNE MERLJIVE FUNKCIJE
prostor s pozitivno mero. ̅
{ }.
̅ merljiva funkcija, je merljiva tudi | |.
̅ je integrabilna, če je ‖ ‖
.
∫| |
Množico vseh integrabilnih funkcij na
označimo z
.
Za funkcije v
, kjer je Lebesgueova mera na (ali
ali njena
zožitev na kako merljivo podmnožico) bomo rekli, da so Lebesgueovo
integrabilne.
‖ ‖ je polnorma na
, kar pomeni, da velja:
‖
‖ ‖
‖ ‖ za
1. ‖
| |‖ ‖ za
2. ‖ ‖
.
̅ (ali
̅ ) je skoraj povsod enaka glede na
Merljiva funkcija
mero , če ima množica točk, kjer je različna od , mero , torej če velja
{
}
.
Funkciji
sta skoraj povsod enaki, če je
skoraj povsod enaka
glede na .
Neka lastnost velja skoraj povsod na , če ima množica tistih točk
, za
katere ne velja, mero .
Če je
̅:
| |
in
| |
.
̅ naj bo ∫
Za vsako merljivo funkcijo
, če je
∫
∫
vsaj eden od integralov na desni končen. Za vsako merljivo
definirajmo ∫
.
∫
∫
Trditev: Velja:
1. Integral je linearen funkcional na
:∫
∫
∫
za
.
2. Za vsaki merljivi
iz
sledi ∫
.
∫
| ∫| | .
3. Za vsako
velja |∫
Izrek (LDK): { } zaporedje merljivih kompleksnih funkcij na
, ki
|
konvergira s.p. po točkah k . Če obstaja
, da je |
za
|
skoraj vsak , potem je
, torej tudi
.
∫|
∫
∫
Lema: { } tako zaporedje iz
, da je ∑ ‖ ‖
, potem ∑
∑ ∫
konvergira s.p. proti neki
in ∫
.
Izrek:
je poln.
Trditev: Za vsako konvergentno zaporedje { } v
obstaja podzaporedje
{ }, ki konvergira proti s.p.
POVEZAVA MED LEBESGUEOVIM IN RIEMANNOVIM
INTEGRALOM NA
]
Definicija Riemannovega integrala omejene funkcije [
. Za vsako particijo
naj bo
in
. Spodnja in zgornja Riemannova
∑
∑
vsota:
in
, kjer je
.
Če je supremum po vseh particijah spodnjih vsot enak infimumu zgornjih vsot,
to vrednost imenujemo Riemannov integral in označimo z ∫
.
]
Trditev: Omejena funkcija [
, ki je Riemannovo, je tudi Lebesgueovo
integrabilna in ∫
STOPNIČASTE FUNKCIJE
Naj bo
∑
Trditev: ∫| |
Pozitivni in negativni del funkcije
∫[
Lebesgueove mere na [ ].
Trditev: Omejena funkcija [
skoraj povsod zvezna.
, kjer
]
]
pomeni
,
zožitev
je Riemannovo integrabilna
ko je
KONVERGENCE SKORAJ POVSOD, SKORAJ ENAKOMERNO
IN PO MERI
Zaporedje merljivih kompleksnih funkcij na
konvergira proti funkciji
skoraj enakomerno, če za
obstaja
, da je
in
zaporedje funkcij | konvergira proti | enakomerno.
Zaporedje funkcij je skoraj enakomerno Cauchyjevo, če za
obstaja
, da je
in je zaporedje funkcij | enakomerno Cauchyjevo (tj.
|
|
).
Trditev: Zaporedje merljivih funkcij { } je skoraj enakomerno konvergentno
ko je skoraj enakomerno Cauchyjevo. Tedaj konvergira proti limitni funkciji
s.p.
Izrek (Jegorov): Naj bo
merljiv prostor s končno mero . Če zaporedje
merljivih funkcij
konvergira proti skoraj povsod, potem konvergira
proti skoraj enakomerno.
Zaporedje kompleksnih merljivih funkcij na merljivem prostoru
{
|
|
konvergira po meri proti , če za
velja:
}
.
{
Zaporedje je Cauchyjevo po meri, če za
velja:
}
|
|
.
Trditev: Če zaporedje merljivih funkcij { } konvergira proti skoraj
enakomerno, potem konvergira tudi po meri.
Posledica:
prostor s končno mero. Če zaporedje merljivih funkcij
konvergira s.p., potem konvergira tudi po meri.
Zgled: Zaporedje Borelovih funkcij
na konvergira proti
povsod, vendar ne skoraj enakomerno, niti po meri.
Trditev: Zaporedje merljivih funkcij je konvergentno po meri
ko je
Cauchyjevo po meri. Limita takega zaporedja je skoraj povsod enolično
določena.
Trditev: Za vsako po meri konvergentno zaporedje merljivih funkcij obstaja
podzaporedje, ki konvergira s.p.
Trditev: Če zaporedje
konvergira proti po normi prostora, potem
konvergira tudi po meri.
Trditev: Če zaporedji merljivih funkcij
konvegirata po meri proti in ,
potem zaporedje
konvergira po meri proti
. Če je mera končna,
konvergira proti .
Trditev: Če zaporedje nenegativnih merljivih funkcij konvergira proti po
meri, je ∫
.
∫
PRODUKTNA MERA
produktna -algebra, generirana z merljivimi
pravokotniki
, kjer
.
Trditev: Množica
{
} vseh merljivih pravokotnikov je
polalgebra in s predpisom
je definirana polmera na njej.
Polmero iz trditve lahko enolično razširimo do mere na -algebri
, če
sta meri in končni, saj je tedaj tudi polmera
-končna. Tako definirano
mero na
bomo imenovali produkt mer in označili z
.
Za vsako podmnožico
in vsaka
definiramo -prerez in
-prerez kot
{
} in
{
}.
̅ (ali ̅ ) definiramo njena prereza kot
Za vsako funkcijo
in
. Prereza sta funkciji na in .
Velja:
in
.
Trditev: Za vsako množico
je
in
za vsaka
. Prav tako sta za vsako merljivo (glede na -algebro
) funkcijo na
funkciji in
merljivi (zaporedoma glede na -algebro in ).
Monoton razred na množici je družina
podmnožic v , ki ima lastnosti:
1. za vsako naraščajoče zaporedje
množic
je tudi
,
⋃
2. za vsako padajoče zaporedje
množic iz
je tudi ⋂
.
Lema: Če je algebra na , potem je monotoni razred
generiran z tudi
algebra, torej -algebra. Zato je enak -algebri, generirani z .
Izrek:
prostora s -končnima merama. Za vsako množico
sta funkciji
in
merljivi in velja
.
∫
∫
Izrek:
merljiva prostora s -končnima merama:
1. Tonelli: Za vsako merljivo funkcijo
[
] (merljivo glede na algebro
) sta funkciji
(zaporedoma glede na -algebri
∫
in
∫
merljivi
in ) in ∫
)
)
(*).
∫ (∫
∫ (∫
2. Fubini: Za vsako funkcijo
je
za -skoraj vsak ,
za -skoraj vsak , akoraj povsod definirani funkciji
in
sta zaporedoma v
in
in velja
∫
∫
enakost (*). Enak zaključek velja tudi, če predpostavko
nadomestimo s predpostavko, da je merljiva in vsaj eden od dvakratnih
|
|
integralov ∫ (∫ |
)
, ∫ (∫ |
)
končen.
Varianta Fubini-Tonelli-jevega izreka:
polna prostora s končnima merama. Naj bo
napolnitev prostora
. Če je nenegativna merljiva (glede na -algebro ), potem sta funkciji in
skoraj povsod merljivi (zaporedoma glede na -algebri in ), funkciji
in
sta merljivi in dvojni integral ∫
∫
∫
je enak obema ustreznima dvakratnima integraloma (kot v prejšnjem izreku).
Enaki zaključki veljajo tudi v primeru, ko predpostavko, da je nenegativna
merljiva, nadomestimo s predpostavko, da je
; v tem primeru sta
funkciji in
tudi skoraj povsod integrabilni, in pa integrabilni.
ABSOLUTNA ZVEZNOST IN VZAJEMNA SINGULARNOST
MER
Naj bo pozitivna, pa kompleksna ali pozitivna mera na -algebri .
Pravimo, da je absolutno zvezna glede na , če je
za vsako
, za katero je
. To bomo zapisali kot
.
Lema:
| |
.
Izrek: Naj bo kompleksna, pa pozitivna mera na -algebri . Potem je
ko velja: za vsak
obstaja
, da za vsak
iz
|
sledi |
.
Mera na -algebri je skoncentrirana na množici
, če je
za vsako
. Meri in na sta vzajemno singularni, če sta
skoncentrirani na disjunktnih podmnožicah. Vzajemno singularnost mer in
bomo označili kot
.
Velja: Kompleksni meri in sta vzajemno singularni
ko obstajata taki
| |
množici
, da je
in | |
.
POZITIVNI IN NEGATIVNI DEL REALNE MERE
Naj bo realna mera na
. Množica
je -pozitivna, če je
za vsako merljivo podmnožico
. Podobno definiramo -negativne
množice. Podmnožica
je -ničelna, če je
za vsako merljivo
podmnožico
.
Velja:
je -ničelna
ko je hkrati -pozitivna in -negativna.
Lema: Merljiva podmnožica -pozitivne množice je -pozitivna. Števna unija pozitivnih množic je -pozitivna. Podobno velja za -negativne in -ničelne
množice.
Izrek (Hahnov razcep realne mere): Za vsako realno mero na merljivem
prostoru
obstaja taka -pozitivna množica in -negativna množica ,
da je
in
. Ti dve množici sta -skoraj enolični: če je ̃ in
̃ kak drug tak par, sta ̃
in ̃
-ničelni množici.
Izrek (Jordanov razcep realne mere): Za vsako realno mero na merljivem
prostoru
obstajata enolično določeni taki (končni) pozitivni meri
in
na , da je =
in
.
| | za vsako realno mero . Iz
Velja:
sledi | | | |
| |. Za vsako pozitivno mero je | |
. Velja tudi | | | | | |.
| |
| |
in
.
Velja: Za realno mero in pozitivno mero je
ko je
in
.
LEBESGUE-RADON-NIKODYMOV IZREK
Za funkcijo
je kompleksna mera
absolutno zvezna
∫
glede na . Velja tudi obratno in vsako kompleksno mero lahko zapišemo kot
vsoto dveh kompleksnih mer od katerih je ena absolutno zvezna, druga pa
vzajemno singularna z .
Izrek (lebesgue-Radon-Nikody): Naj bo kompleksna, pa pozitivna končna mera na merljivem prostoru
. Obstajata enolično določeni
kompleksni meri
in , da je
in
. Za vsako glede na
absolutno zvezno kompleksno mero
obstaja natanko en
, da je
.
∫
Zapisu
pravimo Lebesgueov razcep mere, funkcijo pa
imenujemo Radon-Nikodymov odvod mere glede na in označimo z .
Velja:
VARIACIJA KOMPLEKSNE MERE
V analizi velikokrat nastopajo mere, katerih vrednosti niso samo nenegativna
realna števila, temveč kompleksna ali vektorji v kakem normiranem prostoru.
Kompleksna mera na merljivem prostoru
je števno aditivna preslikava
∑
. Števna aditivnost pomeni ⋃
za vsako
zaporedje paroma disjunktnih množic v .
Vrsta ∑
je absolutno konvergentna (vsota neodvisna od vrstnega
reda členov).
merljiv prostor s pozitivno mero . Za vsako funkcijo
je s
predpisom
definirana kompleksna mera na .
∫
Trditev: Končno aditivna funkcija
je kompleksna mera
ko ima vsaj
eno od lastnosti:
1. za vsako naraščajoče zaporedje
množic
je (⋃
)
,
2. za vsako padajoče zaporedje
množic
je (⋂
)
.
Vsak zapis
merljive množice kot unije zaporedja paroma
⋃
disjunktnih merljivih podmnožic bomo imenovali števen razcep množice .
Naj bo kompleksna mera na -algebri . Funkcijo | |
[
], definirano
∑ |
|, kjer supremum teče po vseh števnih
s predpisom | |
razcepih množice , imenujemo variacija mere .
Velja: |
| | |
za vsak
.
Naj bosta
merljivi množici. Če je
števen razcep množice , potem
∑ | |
je {
}
števen razcep množice , zato je ∑
| |
|
| | | .
Lema: | |
| |
za vsaki merljivi množici
.
Izrek: Za vsako kompleksno mero na -algebri je | | pozitivna mera na .
Za vsako kompleksno mero sta s predpisoma
in
definirani realni meri na (to je meri z vrednostmi v ).
Imenujemo jih realni in imaginarni del mere .
| |
Velja: | | |
|.
Izrek: Variacija vsake kompleksne mere na vsakem merljivem prostoru
je končna mera | |
.
in
-končni pozitivni,
. Potem je ∫
pa kompleksna mera na
.
∫
. Predpostavimo