1. PDF dokument
UNIVERZA V MARIBORU Fakulteta za strojništvo Uroš Župerl, Edvard Detiček REGULACIJSKA TEHNIKA za program VS Maribor 2011 Naslov: REGULACIJSKA TEHNIKA Vrsta publikacije: Skripta (e-gradivo) Avtor: doc. dr. Uroš Župerl, doc. dr. Edvard Detiček Recenzent: izr. prof. dr. Karl Gotlih Grafična obdelava: Dejan Kiker, dipl. org. manag. Risanje slik: Dejan Kiker, dipl. org. manag. Izdala: Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo Leto izdaje: 2011 CIP – Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 681.5(075.8) 62-52(075.8) ŽUPERL Uroš, DETIČEK Edvard Regulacijska tehnika: za program VS (1. stopnja) Fakulteta za strojništvo, 2011-1-11 COBISS – ID VSEBINA UČNA SNOV 1. TEDNA: OSNOVNA NAČELA ZAPRTOZANČNEGA VODENJA SISTEMOV 6 1. UVOD 7 1.1 Uvodna razmišljanja o pojmu avtomatizacija 7 1.2 Zaprto-zančni sistem vodenja 8 1.2.1 Objekt vodenja – proces 8 1.2.2 Načelo zaprto-zančnega sistema vodenja ali načelo regulacije 9 1.2.3 Značilni potek izhodne veličine 12 UČNA SNOV 2. TEDNA: 1.2.4 VRSTE REGULACIJ IN DINAMIKA LINEARNIH SISTEMOV 16 Razvrstitev regulacijskih sistemov 17 1.2.4.1 Tehniška izvedba 17 1.2.4.2 Oblika informacijskega signala 17 1.2.4.3 Matematični opis regulacijskih členov 18 1.2.4.4 Oblika želene ali referenčne veličine 19 1.2.4.5 Oblika blokovne strukture regulacijskega sistema 20 1.2.4.6 Adaptivni regulacijski sistemi 22 2. DINAMIKA LINEARNIH SISTEMOV 23 2.1 Primerjava metod analize in sinteze dinamike sistemov 23 2.2 Linearni in linearizirani sistemi 26 UČNA SNOV 3. TEDNA: DINAMIČNI MODELI REGULACIJSKIH KOMPONENT 32 2.3 Modeli linearnih sistemov 33 2.3.1 Prenosna funkcija linearnega sistema 33 2.3.2 Prehodna funkcija linearnega sistema 36 2.3.3 Frekvenčna karakteristika linearnega sistema 37 2.3.4 Računalniški simulacijski modeli linearnih sistemov 41 2.3.4.1 Modeliranje na analognem računalniku 42 2.3.4.2 Modeliranje na digitalnem računalniku 44 UČNA SNOV 4. TEDNA: OSNOVNI LINEARNI ČLENI – ČLENI Z IZRAVNAVO 47 2.4 Osnovni linearni členi 48 2.4.1 Klasifikacije linearnih členov 48 2.4.2 Proporcionalni (P) člen 49 2.4.3 Člen prve stopnje 51 2.4.4 Člen druge stopnje 53 UČNA SNOV 5. TEDNA (Tematski sklop 5): OSNOVNI LINEARNI ČLENI – PREOSTALI ČLENI 63 2.4.5 Integralni (I) člen 64 2.4.6 Diferencialni (D) člen 66 2.4.7 Diferencialni člen prve in druge stopnje 69 UČNA SNOV 6. TEDNA: LASTNOSTI PRENOSNIH FUNKCIJ IN FREKVENČNIH KARAKTERISTIK 77 2.5 Lastnosti prenosnih funkcij in frekvenčnih karakteristik 78 2.5.1 Zaporedna vezava členov 78 2.5.2 Vzporedna vezava členov 81 2.5.3 Metode hitre analize frekvenčnih karakteristik, prenosnih funkcij in prehodnih funkcij 82 2.5.3.1 Analiza krivulj frekvenčnih karakteristik 82 2.5.3.2 Analiza specifičnih potekov prehodne funkcije 85 2.5.3.3 Prehodno in stacionarno stanje sistema 86 UČNA SNOV 7. TEDNA: OSNOVE TEORIJE LINEARNIH REGULACIJ - PRENOSNE FUNKCIJE REGULACIJSKIH SISTEMOV 91 3. OSNOVE TEORIJE LINEARNE REGULACIJE 92 3.1 Prenosne funkcije regulacijskih sistemov 92 3.1.1 Regulacijski krog z direktno povratno zvezo 92 3.1.2 Regulacijski krog s posredno povratno zvezo 94 3.2 Poenostavljanje blokovnih shem regulacijskih sistemov 96 UČNA SNOV 8. TEDNA: OSNOVE LINEARNIH REGULACIJ – STABILNOST REGULACIJSKEGA SISTEMA IN OSNOVNE METODE LEGE KORENOV 108 3.3 Stabilnost regulacijskega sistema 109 3.3.1 Definicija stabilnosti 109 3.3.2 Osnovni stabilnostni pogoj 110 3.3.3 Absolutno in relativno dušenje regulacijskega sistema 113 UČNA SNOV 9. TEDNA: OSNOVE LINEARNIH REGULACIJ – STABILNOSTNI KRITERIJ 3.3.4 119 Frekvenčna karakteristika odprtega regulacijskega sistema in njen vpliv na obnašanje zaključenega sistema 120 3.3.5 Stabilnostni kriteriji 123 3.3.5.1 Hurwitzov stabilnostni kriterij 124 3.3.5.2 Routhov stabilnostni kriterij 126 3.3.5.3 Stabilnostni kriterij leve roke 127 UČNA SNOV 10. TEDNA: OSNOVE LINEARNIH REGULACIJ – STATIČNI POGREŠEK 132 3.4 Statični pogrešek regulacije 133 3.4.1 Statični pogrešek vodene regulacije 133 3.4.2 Statični pogrešek regulacije s konstantno želeno vrednostjo 134 3.4.3 Vpliv konfiguracije regulacijskega sistema na statični pogrešek 134 3.5 Problematika točnosti in stabilnosti regulacijskega sistema 137 3.6 Korekcija regulacijskih sistemov 140 UČNA SNOV 11. TEDNA: REGULACIJSKE NAPRAVE -1. DEL 146 4. REGULACIJSKE NAPRAVE 147 4.1 Zgradba regulacijskih sistemov 147 4.2 Merilni členi 148 4.3 Dajalniki želene veličine ali referenčni členi 156 4.4 Primerjalni členi 157 UČNA SNOV 12. TEDNA: REGULACIJSKE NAPRAVE - 2. DEL 162 4.5 Regulatorji 163 4.5.1 Tranzistorski regulator 164 4.5.2 Pnevmatski regulator 167 4.6 Močnostni ojačevalnik 169 4.6.1 Krmiljeni usmernik 169 4.6.2 Frekvenčni pretvornik 170 4.6.3 Elektrohidravlični servoventil 171 UČNA SNOV 13. TEDNA: 4.7 REGULACIJSKE NAPRAVE - 3. DEL 174 Izvršilni organi – nastavitveni členi, aktuatorji 175 4.7.1 Enosmerni električni motor 175 4.7.2 Asinhronski motor 177 4.7.3 Hidravlični rotacijski motor z nagibno ploščo 179 4.7.4 Pnevmatski in hidravlični delovni valj 181 4.7.5 Regulacijski ventil 181 UČNA SNOV 14. TEDNA: OPTIMIRANJE REGULACIJSKIH SISTEMOV 185 5. OPTIMIRANJE REGULACIJSKIH SITEMOV 186 5.1 Naloge sinteze 186 5.2 Optimalna regulacija 187 5.2.1 Integralni kriterij 188 5.2.1.1 Kriterij linearnega optimuma 188 5.2.1.2 Kriterij kvadratičnega optimuma 189 5.2.1.3 ITAE kriterij 190 5.2.2 Kriterij na osnovi poteka frekvenčne karakteristike 191 LITERATURA 195 6. REGULACIJSKA TEHNIKA VS (1. stopnja) Fakulteta za strojništvo Univerza v Mariboru E-gradivo Dobrodošli in obilo uspeha pri pridobivanju znanja iz predmeta Regulacijska tehnika. Temu je namenjeno pričujoče e-gradivo. Cilj predmeta Regulacijska tehnika: • Cilj tega predmeta je dati osnovna znanja iz regulacijskih postopkov vodenja tehničnih sistemov v proizvodnem strojništvu. • Naučiti optimirati podajalne in glavne pogone z ozirom na tehnološke zahteve v proizvodnem strojništvu. Po zaključku tega predmeta bo študent sposoben: • izkazati znanje in razumevanje iz postopkov regulacij tehničnih sistemov, • uporabiti metode, računalniška orodja za analizo obnašanja reg. sistemov vodenja, • prepoznati osnovne tehnične izvedbe regulacijskih komponent in jih praktično uporabiti, • izbrati, uporabiti in nastaviti regulator za regulacijske proge tehniških sistemov v proizvodnih tehnologijah. Zasnova študijskega gradiva Gradivo je razdeljeno na 14 tematskih sklopov. Predvideno je, da se en tematski sklop lahko predela v enem tednu študijskega semestra. Posamezni tematski sklopi obravnavajo zaključeno strokovno problematiko. Tematike posameznih sklopov se z zaporedjem podajanja nadgrajujejo. Uvodoma je pri vsakem tematskem sklopu v strnjeni obliki podana vsebina obravnavane problematike. Sledi vsebina z opisi, pojasnjevanjem fizikalnih zakonitosti, formulami, slikami in drugimi opisi ter animacijskimi fotografijami in filmi. Ob zaključku obravnavane tematike sledi povzetek obravnavane tematike. V nadaljevanju pri vsaki tematiki sledijo teksti in sheme avditornih in laboratorijskih vaj z navodili za samostojno reševanje oziroma predpriprave za laboratorijsko izvedbo vaj. Za samostojno domače delo in sprotno preverjanje osvojenega znanja so po zaključku tematskega sklopa podana vprašanja in krajše računske naloge iz obravnavane snovi. 1 Razdelitev vsebine predmeta po učnih tednih: Učna snov 1. tedna: OSNOVNA NAČELA ZAPRTOZANČNEGA VODENJA SISTEMOV Povzetek vsebine: V tem sklopu gradiva so predstavljena uvodna razmišljanja o avtomatizaciji, predstavljeno je načelo zaprto-zančnega vodenja sistemov ali regulacija in značilni potek vodene ali regulirane veličine s karakterističnimi parametri na prehodnem pojavu. Učna snov 2. tedna: VRSTE REGULACIJ IN DINAMIKA LINEARNIH SISTEMOV Povzetek vsebine: Izvedbe regulacijskih sistemov razvrščamo po različnih kriterijih. V tem delu gradiva so podane značilne vrste regulacij razvrščene po teh kriterijih z ilustrativnimi zgledi za posamezno vrsto. Za postopke analize in sinteze regulacijskih sistemov je potrebno poznavanje dinamičnih lastnosti regulacijskih komponent. Podana so osnovna razmišljanja o dinamiki linearnih sistemov. Učna snov 3. tedna: DINAMIČNI MODELI REGULACIJSKIH KOMPONENT Povzetek vsebine: Pri postopku »papirnate« analize in sinteze regulacijske tehnike se za opisovanje dinamičnih lastnosti regulacijskih komponent poslužujemo dinamičnih modelov: grafični model blokovne sheme, analitični model prenosne funkcije, model prehodne funkcije, model frekvenčne karakteristike in računalniški simulacijski model. Učna snov 4. tedna: OSNOVNI LINEARNI ČLENI – ČLENI Z IZRAVNAVO Povzetek vsebine: Dinamični opis poljubnega tehničnega sistema se da teoretično vedno predstaviti kot kombinacijo osnovnih linearnih členov. Opisani so trije osnovni linearni členi s pripadajočimi dinamičnimi modeli, ki jih prištevamo v skupino členov z izravnavo zaradi značilnega poteka prehodne funkcije. Učna snov 5. tedna: OSNOVNI LINEARNI ČLENI - PREOSTALI ČLENI Povzetek vsebine: 2 Vsebina tega tedna obravnava preostale linearne člene in njihove dinamične opise s pripadajočimi dinamičnimi modeli. Ob zaključku poglavja je vključen še značilni nelinearni člen, ki ga pogosto srečujemo v regulacijskih sistemih in ga, v poenostavljeni obliki obravnavamo, kot linearni člen. Učna snov 6. tedna: LASTNOSTI PRENOSNIH FUNKCIJ IN FREKVENČNIH KARAKTERISTIK Povzetek vsebine: V 6. sklopu gradiva so opisani principi povezovanja osnovnih členov in določene metode za načrtovanje, analizo in sintezo dinamičnih modelov prenosne funkcije, prehodne funkcije in frekvenčne karakteristike. Učna snov 7. tedna: OSNOVE TEORIJE LINEARNIH REGULACIJSKIH SISTEMOV REGULACIJ PRENOSNE FUNKCIJE Povzetek vsebine: V 7. sklopu gradiva so predstavljeni osnovni algoritmi za postopke analize in sinteze regulacijskih sistemov. Podani so postopki, metode in navodila poenostavljanja regulacijskih blokovnih shem. Učna snov 8. tedna: OSNOVE LINERARNIH REGULACIJ STABILNOST SISTEMA IN OSNOVNE METODE LEGE KORENOV REGULACIJSKEGA Povzetek vsebine: Potencialna nestabilnost regulacijskega sistema vodenja je ena izmed ključnih slabosti tega načina vodenja. V tem tednu je predstavljena analitična metoda določanja stabilnosti iz katere izhaja osnovni stabilnostni pogoj regulacije. Predstavljene so tudi analitične in grafične metode za določanje, ne samo osnovne stabilnosti, temveč tudi kvalitete stabilnosti regulacijskega sistema. Učna snov 9. tedna: OSNOVE LINEARNIH REGULACIJ IN STABILNOSTNI KRITERIJI Povzetek vsebine: V prvem delu tematskega sklopa je razložen vpliv frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega kroga na lastnosti zaključenega regulacijskega kroga. V drugem delu so predstavljeni značilni stabilnostni kriteriji za ugotavljanje stabilnosti zaključenega regulacijskega sistema. 3 Učna snov 10. tedna: OSNOVE LINEARNIH REGULACIJ - STATIČNI POGREŠEK Povzetek vsebine: Problematika statičnega pogreška regulacije je tesno povezana s točnostjo regulirane veličine. Predstavljen je preprost matematičen postopek za izračun statičnega pogreška. V drugem delu vsebine 10. tedna se seznanimo s problematiko točnost-stabilnost regulacije, kjer soočimo vse tri značilne parametre regulirane veličine. Učna snov 11. tedna: REGULACIJSKE NAPRAVE - 1. DEL Povzetek vsebine: Fizična izvedba regulacijskega sistema vodenja je povezana s primerno izbiro regulacijskih naprav, ki opravljajo značilne naloge. V tem delu gradiva so opisani kriteriji izbire in značilne izvedbe merilnih in primerjalnih členov. Učna snov 12. tedna: REGULACIJSKE NAPRAVE - 2. DEL Povzetek vsebine: V tem sklopu gradiva so predstavljeni regulatorji in močnostni ter energetski pretvorniki. Predstavljene so značilne izvedbe teh naprav z dinamičnimi opisi za servo-regulacijske sisteme. Učna snov 13. tedna: REGULACIJSKE NAPRAVE - 3. DEL Povzetek vsebine: V tem delu gradiva so opisani izvršilni organi ali aktuatorji. V funkciji aktuatorjev, v servo-regulacijski tehniki, se najpogosteje srečujemo z električnimi motorji, hidravličnimi motorji in hidravličnimi cilindri. Za omenjene vrste aktuatorjev je podan kratek opis delovanja s pripadajočimi dinamičnimi karakteristikami pomembnimi za obravnavo v regulacijski teoriji. Učna snov 14. tedna: OPTIMIRANJE REGULACIJSKIH SISTEMOV Povzetek vsebine: Optimalno vodenje regulacijskega sistema je povezano z ustrezno izbiro vrste regulatorja in njegovih številčnih vrednosti, z ozirom na objekt vodenja. V tem delu gradiva so 4 predstavljene analitične in grafične metode za izbiro primernega regulatorja. Predstavljena je tudi določitev parametrov regulatorja za dosego optimalnega časovnega poteka regulirane veličine. To opravilo imenujemo postopek ožje sinteze regulacijskega načela vodenja. 5 UČNA SNOV 1. TEDNA: OSNOVNA NAČELA ZAPRTOZANČNEGA VODENJA SISTEMOV V poglavju so predstavljena uvodna razmišljanja o avtomatizaciji, predstavljeno je načelo zaprto-zančnega vodenja sistemov ali regulacija in je predstavljen značilni potek vodene ali regulirane veličine z karakterističnimi parametri na prehodnem pojavu. Nazaj na kazalo 6 1. UVOD 1.1 Uvodna razmišljanja o pojmu avtomatizacija Odkar je človek čutil potrebo po vsesplošnem koriščenju naravnih pojavov, potrebo po organiziranem družbenem življenju in proizvodnem delu, je čutil tudi potrebo, da ga tudi vodi. Sama ideja vodenja je inspirirana z vodenjem v naravi, kot je to vodenje živih organizmov smislu zdravega in pravilnega razvoja, življenja in razmnoževanja. S časom je človek težil k temu, da svoje življenjske in delovne pogoje kar se da izboljšal in razširi čim večjo produktivnost, varnost, rentabilnost, točnost in kvaliteto proizvodnega dela. Tako je prišlo do višje stopnje izrabe človeških sposobnosti – preko njegovega rutinskega umskega in fizičnega dela. Da bi se osvobodil tudi tega rutinskega dela in da bi sočasno povečal produktivnost, rentabilnost, zanesljivost, točnost in kvaliteto proizvodnega dela, si je ustvaril tehnična sredstva, ki so ga uspešno nadomestila tako v fizičnem kot tudi rutinskem umskem delu. Ta tehnična sredstva imenujemo avtomatske naprave oz. avtomatski sistemi, aktivnosti v smislu uvajanja teh tehničnih sistemov pa »avtomatizacija«. Avtomatizacija lahko tako razumemo kot optimalno vodenje tehničnih sistemov v smislu doseganja že prej naštetih ciljev kot so: povečana produktivnost, rentabilnost, zanesljivost, varnost, točnost in kvaliteta proizvodnega dela. Pri izvajanju avtomatizacije oziroma vodenju tehničnih sistemov sta se uveljavili dve značilni načeli optimalnega vodenja: načelo odprto-zančnega vodenja ali načelo krmiljenja in načelo zaprtozančnega vodenja ali načelo regulacije. Obe načeli lahko v širšem smislu besede obravnavamo kot načeli tehniške kibernetike. Nazaj na kazalo 7 1.2 Zaprto-zančni sistem vodenja 1.2.1 Objekt vodenja – proces Pri uvajanju optimalnega vodenja po načelu regulacije se bomo najprej srečali z objektom vodenja ali tehnološko – tehniškim procesom, ki mu je načelo vodenja namenjeno. Kako bi ga definirali oziroma opredelili? To je organizirani fizični sistem sestavljen iz enot (posameznih fizičnih elementov, delov, naprav, organov, podsistemov), ki so funkcionalno povezane v celoto z namenom ustvarjanja pogojev nekega ciljnega koriščenja, za pretvarjanje in izmenjavo energije, materije in ali informacij. Zagotovitev urejenega delovanja procesa je običajno zahtevna naloga in jo je treba izvesti postopoma in premišljeno. Prvi korak pri načrtovanju vodenja procesa je opredelitev oziroma ugotovitev, kaj določen proces sploh predstavlja. Pri tem je treba upoštevati oziroma ugotoviti fizikalne povezave procesa z okolico oziroma drugimi procesi kot je to predstavljeno na sliki 1. O K O L IC A PRO CES Slika 1 Pri teoretičnih postopkih analize in sinteze vodenja procesa le tega predstavimo v ustrezni modelni upodobitvi. Model procesa je lahko bolj ali manj popoln, kar je odvisno od njegove kompleksnosti. Merilo popolnosti modela je praviloma stopnja ujemanja izhodov iz procesa in modela na enake vhode. Blokovno shemo modela procesa z več vhodi in izhodi z pripadajočimi matematičnimi zapisi prikazuje slika 2. y (t) x (t) y (t) x (t) 1 1 2 2 y (t) x (t) m n Slika 2 Nazaj na kazalo 8 x1 F1 y1 , y2 ,... ym b x 2 F2 y1 , y 2 ,... y m b x n Fn y1 , y 2 ,... y m g 1.1 g Fj; j = 1 … n so funkcijske odvisnosti, ki določajo vplive vhodov y(t); i = 1 … m na izhode x(t); i =1 … n in jih je potrebno v postopku modeliranja opredeliti. Vhode v proces razdelimo v dve skupini. Na prvo skupino vhodnih veličin lahko vplivamo in posredno preko njih na izhodne veličine. Ti vhodi so zanimivi iz stališča vodenja procesa. Drugo skupino vhodov vsiljuje okolica procesa in na njih nimamo neposrednega vpliva. To skupino vhodov imenujemo motnje. Motnje lahko imajo svoj izvor izven ali znotraj obravnavanega procesa. Procesi z več vhodi in več izhodi so multivariabilni procesi in jih označujemo z izrazom MIMO (Multi Input Multi Output). Bolj preprosti so procesi z enim vhodom in enim izhodom, slika 3. y x Slika 3 x = F(y) 1.2 To vrsto procesov označujemo s okrajšavo SISO (Singl Input Singl Output). Za delno ali popolno eliminacijo vpliva motilnih veličin na izhodno veličino procesa uvajamo postopek zaprto-zančnega vodenja procesa ali postopek regulacije. 1.2.2 Načelo zaprto-zančnega sistema vodenja ali načelo regulacije Preden pristopimo k izvedbi postopka vodenja procesa ali avtomatizacije moramo proces »dobro poznati«. To pomeni, da poznamo medsebojne funkcijske povezave med vhodi in izhodi procesa, ki temeljijo na fizikalnih zakonitostih obravnavanega tehniškega ali tehnološkega procesa. Te funkcijske povezave opisujejo obravnavani proces tako v stacionarnem kot tudi v dinamičnem ali tranzientnem stanju. Pri teoretični obravnavi problema vodenja procesa, ki je običajno vizuelno 9 Nazaj na kazalo predstavljen v obliki poenostavljene tehnološke sheme le tega predstavimo v modelni obliki blokovne sheme. Če se omejimo na opis procesa z enim vhodom in enim izhodom, praviloma izberemo kot vhodno veličino v proces tisto vhodno veličino, ki je tehnično najbolj obvladljiva in dominantno vpliva na delovanje procesa oziroma na njegovo izhodno veličino. To veličino tudi vključujemo v postopek vodenja procesa. Kot primer si oglejmo ogrevanje prostora z uporabljenim načelom regulacije. Cilj, ki ga z uporabljenim načelom vodenja želimo doseči je vzdrževanje konstantne temperature v prostoru. Poenostavljeno tehnološko shemo postopka regulacije temperature prikazuje slika 4. s z x MČ y RN x xž S - objekt vodenja, regulacijska proga RN - regulacijska naprava MČ - m erilni člen x - izhodna veličina regulacije xž - želena (referenčna) veličina regulacije y - nastavitvena veličina regulacije z - m otilne veličine = x ž-x - pogrešek regulacije Qv Slika 4 Na temperaturo v prostoru, kot izhodno veličino vodenja x vpliva vrsta fizikalnih veličin, kot so: temperatura okolice 0 , temperatura vode ogrevalnega medija v , tlak medija v ogrevalnem sistemu pv, pretok ogrevalnega medija preko grelnih teles qv, stopnja toplotne prevodnosti sten, oken, vrat, izvedba grelnih teles itd. Kot vhodna veličina objekta vodenja – procesa y je izbran pretok ogrevalnega medija qv, ki ga uravnavamo s tokovnim ventilom. Vse ostale prej naštete veličine, ki tudi vplivajo na temperaturo v prostoru opredelimo kot motilne veličine z. Z merilnim členom merimo temperaturo v prostoru x = , informacijo o njeni vrednosti posredujemo skupaj z informacijo o želeni temperaturi xž = ž na vhod regulacijske naprave. Ti dve informaciji se medsebojno primerjata (v matematičnem smislu se odštevata) in se rezultat primerjave, imenovan pogrešek = xž – x v regulacijski napravi obdeluje po v naprej določenem algoritmu. Rezultat obdelave informacije o pogrešku deluje na tokovni ventil v smislu njegovega odpiranja ali zapiranja odvisna pač od tega ali je temperatura v prostoru višja ali nižja od želene temperature ž. 10 Nazaj na kazalo Za vodenje po načelu regulacije so značilni naslednji osnovni postopki: MERJENJE: izhodne veličine vodenja x z namenom dobiti informacijo o vrednosti te veličine PRIMERJANJE izhodne veličine vodenja x z želeno veličino vodenja xž – z namenom ugotoviti pogrešek = xž – x OBDELAVA informacije o pogrešku z namenom doseči optimalni potek izhodne veličine vodenja x IZVAJANJE obdelane informacije o pogrešku z namenom doseči optimalni potek izhodne veličine vodenja x. Kot je bilo že povedano, pri teoretični obravnavi regulacijske problematike celotni sistem predstavimo v obliki regulacijske blokovne sheme, kot je to prikazano na sliki 5. Tok informacijskega signala poteka po zaključeni zanki, zato tudi načelo regulacije imenujemo sistem zaključenega vodenja procesa. Bolj pogosto kot zgornjo obliko blokovne sheme na sliki 5 srečujemo blokovno predstavitev na spodnjem delu slike. Zaključen sistem vodenja je razdeljen na direktno vejo v kateri se nahajata proces (objekt vodenja, regulacijska proga) in del regulacijske naprave imenovan regulator s primerjalnim členom in negativno povratno zvezo, v kateri imamo nameščen merilni člen za pridobivanje informacije o vrednosti izhodne veličine vodenja. Regulacija je načelo optimalnega vodenja tehničnega sistema, kjer s postopkom merjenja, primerjanja, obdelave in izvajanja vzdržujemo izhodno veličino vodenja na predpisani ali želeni vrednosti, kljub delovanju spremenljivih motilnih veličin na izhodno veličino vodenja in na ta način dosegamo optimalne učinke pri postopku vodenja. Za ta postopek vodenja je značilna negativno povratna zveza. Nazaj na kazalo 11 Motilne veli čine Regulacijska proga z S Masni ali energijski tok x - R egulirana veli čina tok inform. signala Nastavitvena veli čina x - R egulirana veli čina RN xž - Želena veličina Regulacijska naprava xž PR z Direktna veja R y S x M Negativna povratna zveza Slika 5 1.2.3 Značilni potek izhodne veličine vodenja Povedano je bilo, da z regulacijskim načelom vzdržujemo identičnost med vrednostjo želene veličine in izhodne veličine vodenja. Popolno enakost obeh veličin bi lahko pričakovali ob predpostavitvi, da se obdelava informacij v regulacijskem krogu izvrši neskončno hitro. Pri realnih fizikalnih sistemih je treba upoštevati dejstvo, da ima vsak sistem določeno vztrajnost, zaradi česar ne more delovati neskončno hitro. Posledica tega dejstva je, da ne moremo pričakovati popolne enakosti med obema veličinama in to tako v prehodnem ali tranzientnem kot tudi v stacionarnem stanju sistema vodenja. Analizirajmo razmere delovanja za regulacijski sistem s poenostavljeno blokovno shemo na sliki 6. Kot je vidno iz slike, je iz negativne povratne zveze eliminirana blokovna shema merilnega člena. Pripomniti je treba, da je takšna poenostavitev dopustna, vsaj dokler smo na nivoju teoretične obravnave in je v skladu z določenimi matematičnimi pravili, ki bodo pojasnjeni v kasnejših poglavjih. Nazaj na kazalo 12 z xž S R - x Slika 6 Želena veličina xž in posledično preko nje izhodna veličina vodenja x lahko ima dva značilna poteka – xž je lahko konstantnega iznosa, v tem primeru govorimo o regulaciji s konstantno želeno vrednostjo; xž se lahko spreminja v odvisnosti od časa ali kakšne druge fizikalne veličine, tem vrstam regulacij pravimo vodene ali sledilne regulacije. Za obe vrsti regulacij je prikazan značilni potek izhodne veličine vodenja x kot posledica delovanja spremenljive želene veličine xž oziroma spremenljivih motilnih veličin z. Zgolj zaradi enostavnosti obravnave so upoštevane časovne oblike poteka želene xž oziroma motilne veličine z v obliki skočne ali enotine funkcije, kot prikazujeta diagrama na sliki 7. Vodena regulacija Regulacija s konst. xž z = konst. xž = konst. z = konst. x ž = konst. xž x z t t d x s tr s d t tr t Slika 7 Pri vodeni regulaciji, bi v primeru idealnih regulacijskih razmer lahko pričakovali odziv sistema na skočno spremembo želene veličine xž v obliki tudi skočnega poteka, kot ga kaže črtkana linija. Dejanski potek, regulirane veličine x je v obliki periodičnega dušenega nihanja. Za podani potek izhodne veličine vodenja so značilni trije parametri. Maksimalno odstopanje med dejanskim in 13 Nazaj na kazalo idealnim potekom izhodne veličine vodenja v prehodnem pojavu imenujemo dinamični pogrešek d . Po preteku prehodnega pojava, ko se sistem umiri ostane razlika med želeno vrednostjo in dejansko vrednostjo izhodne veličine vodenja. To razliko imenujemo statični pogrešek s in je neposredno vezan na točnost regulacijskega sistema. Tretji značilni parameter je čas trajanja prehodnega pojava ali regulacijski čas tr. Pri regulaciji s konstantno želeno vrednostjo sprememba motilne veličine ali motilnih veličin z povrzoči prehodni pojav poteka izhodne veličine vodenja. V idealnih razmerah do tega prehodnega pojava ne bi prišlo saj bi regulacijsko delovanje hipoma odpravilo vpliv spremenljivih motilnih veličin na izhodno veličino vodenje. Pri stabilnem delovanju regulacijskega sistema je ta prehodni pojav prav tako v obliki periodičnega dušenega nihanja in zanj lahko definiramo enake tri parametre kot v primeru vodene regulacije, to je dinamični pogrešek d , statični pogrešek s in regulacijski čas tr. Zaradi končne hitrosti delovanja fizikalnih sistemov, ki tvorijo regulacijski krog prihaja do odstopanj med želenim in dejanskim potekom izhodne veličine vodenja. Od dobre regulacije zaradi tega lahko pričakujemo vsaj to, da so ta odstopanja čim manjša torej s čim manjšim dinamičnim pogreškom d , statičnim pogreškom s in čim krajšim regulacijskim časom tr. Glede zmanjšanja oziroma odprave dinamičnega pogreška d in statičnega pogreška s so možnosti relativno ugodne. S primerno zasnovo in izbiro parametra regulacijskega kroga lahko ta dva parametra poljubno zmanjšamo ali celo povsem odpravimo, poudariti pa je potrebno, da ne sočasno obeh. Prizadevanje po zmanjšanju oziroma odpravi enega izmed obeh parametrov vodi istočasno k povečanju drugega parametra. Regulacijski čas tr se ne da povsem odpraviti, lahko pa prav tako z primerno izbiro regulacijske zasnove dosežemo njegovo minimalno vrednost. Kateri izmed omenjenih treh parametrov je najbolj neugoden oziroma problematičen, je odvisno od tega, čemu je regulacijski sistem namenjen oziroma tehnološkim zahtevam, ki so izhodišče za gradnjo regulacijskega sistema. Iz tega sledi, da ne moremo postavljati enotnih kriterijev za kvaliteto regulacijskega sistema, temveč so rešitve od primera do primera različne. Nazaj na kazalo 14 POVZETEK: Obdelano je načelo zaprto-zančnega sistema vodenja v okviru katerega se izvajajo naslednja osnovna opravila: merjenje, primerjanje, obdelava in izvajanje informacij. Na časovni potek regulirane ali vodene veličine lahko vplivajo spremembe želene veličine (vodene regulacije) ali spremembe veličin, ki jih opredelimo kot motilne veličine (regulacije s konstantno vrednostjo želene veličine). Na prehodnem pojavu regulirane veličine so značilni trije parametri: dinamični pogrešek, statični pogrešek in regulacijski čas, ki jih želimo z regulacijskim načelom minimizirati ali pa povsem eleminirati, tako, da se regulirana veličina, kar se da približa poteku želene veličine. Samostojno delo: 1. Kateri osnovni postopki so značilni za postopek regulacije? 2. Kaj je blokovna shema? 3. Kaj je motilna veličina? 4. Kako je definiran statični in dinamični pogrešek? 5. Kaj je regulacijski čas? 6. Ali je mogoče regulacijski čas popolnoma odpraviti? 7. Definicija prehodnega pojava? 8. Zakaj prihaja do odstopanj med želenim in dejanskim potekom izhodne veličine? 9. Kaj je informacijski signal? 10. Kaj je referenčna vrednost? Nazaj na kazalo 15 UČNA SNOV 2. TEDNA: VRSTE REGULACIJ IN DINAMIKA LINEARNIH SISTEMOV Izvedbe regulacijskih sistemov razvrščamo po različnih kriterijih. V tem delu gradiva so podane značilne vrste regulacij razvrščene po teh kriterijih z ilustrativnimi zgledi za posamezno vrsto. Za postopke analize in sinteze regulacijskih sistemov je potrebno poznavanje dinamičnih lastnosti regulacijskih komponent. Podana so osnovna razmišljanja o dinamiki linearnih sistemov. 16 Nazaj na kazalo 1.2.4 Razvrstitev regulacijskih sistemov Razvrstitev regulacijskih sistemov lahko izvedemo po različnih kriterijih. Predstavljenih bo le nekaj značilnih načinov razvrstitve, zanimivih iz stališča potencialnih koristnikov predstavljenih znanj regulacijske tehnike. 1.2.4.1 Tehnična izvedba Glede na tehnično izvedbo regulacijskih naprav razlikujemo mehanske, električne, pnevmatske, hidravlične najpogosteje pa hibridne izvedbe elektromehanskih, elektro-hidravličnih in elektropnevmatskih regulacijskih sistemov. Za regulacijske sisteme pri katerih na izvršilnih organih ali aktuatorjih – motorji ali cilindri – pretvarjamo električno, pnevmatsko ali hidravlično energijo v mehansko energijo, pogosto uporabljamo tehnični termin servo-regulacijski sistemi ali krajše servosistemi. Regulacijske sisteme pri katerih je kot izhodna veličina vodenja temperatura, tlak, pretok, nivo, pH vrednost in podobne veličine imenuje tudi procesne regulacije. 1.2.4.2 Oblika informacijskega signala Glede na obliko informacijskega signala v regulacijski napravi, ki vsebuje merilni člen, primerjalni člen in regulator, regulacijske sisteme delimo v skupino analognih in skupino digitalnih regulacij. Pri analognih regulacijah merilni člen posreduje informacijo o vrednosti regulirane veličine v obliki analognega signala. V analogni obliki se informacije tudi primerjajo in obdelujejo na regulatorju. Pri digitalnih regulacijah so ti členi regulacijske naprave, oblike informacijskih signalov in njihova obdelava digitalni. O digitalnih regulacijah govorimo tudi takrat kadar je samo merilni člen in ustrezen merilni informacijski signal digitalne vrste. Med analogni in digitalni del regulacijskega kroga je v tem primeru potrebno vključiti analogno digitalne A/D in digitalno analogne D/A pretvornike. Informacijski signal je pri regulacijski sistemih ne glede na njegovo obliko najpogosteje električni napetostni ali tokovni signal, pogosto tudi pnevmatski tlačni signal. V servo-regulacijskih sistemih je pogosto izhodna veličina vodenja vrtilna hitrost pogonskega sklopa n. Primer merjenja vrtilne hitrosti z analognim in digitalnim merilnim členom prikazuje slika 8. Enosmerni tahometrični generator je značilni analogni merilni člen vrtilne hitrosti. Enosmerna napetost na sponkah rotorja je proporcionalna vrtilni hitrosti pogonskega sklopa. Elektro-optični merilni člen s perforirano ploščo na pogonski gredi je eden izmed načinov merjenja vrtilne hitrosti po digitalnem principu. Število svetlobnih impulzov v časovnem intervalu Tm , ki jih registrira 17 Nazaj na kazalo fotoelektronski indikator je merilo vrtilne hitrosti. Časovni interval registracije impulzov Tm je uravnavan s posebnim elektronskim stikalom. Prednost digitalnih regulacijskih sistemov pred analognimi je v večji točnosti vodenja izhodne veličine, saj je le to vezano neposredno na točnost merjenja, ki je pri digitalnih sistemih merjenja neprimerno večja kot pri analognih. Ž Y n M M Un D n TG u (V) u (V) Tm n (vrt/s) t (s) Slika 8 1.2.4.3 Matematični opis regulacijskih členov Glede na matematični opis statičnega in dinamičnega obnašanja členov, ki tvorijo regulacijski sistem, delimo regulacije na linearne in nelinearne. Matematični opis temelji na fizikalnih zakonitostih obravnavanega sistema. Pri linearnih regulacijah opisujemo posamezne člene z linearnimi dinamičnimi (diferencialnimi) enačbami, katerih koeficienti so konstante ali časovno spremenljive vrednosti. Značilno za linearni člen je, da je pripadajoča statična karakteristika, ki je grafična upodobitev statične enačbe člena, premica, slika 9 a. 18 Nazaj na kazalo X X X a Y Y Y c b Slika 9 Vsi členi, ki jih ne moremo opisati z dinamičnimi enačbami te vrste, so nelinearni. Regulacije izvedene s temi členi so nelinearne. Že en člen nelinearne vrste da celotni regulaciji značaj nelinearne regulacije. V dinamični enačbi nelinearnega člena so koeficienti spremenljivke vhodne ali izhodne veličine. Statične karakteristike nelinearnih členov so zvezne krivulje (zvezni nelinearni členi), slika 9 b ali nezvezne funkcije (nezvezni nelinearni členi) slika 9 c, zato pogosto govorimo o zveznih in nezveznih regulacijah. Zvezne regulacije so lahko linearne ali nelinearne, medtem ko so nezvezne regulacije vedno nelinearne. Digitalne regulacije so značilna vrsta nezveznih regulacij. 1.2.4.4 Oblika želene ali referenčne veličine Oblika želene ali referenčne veličine lahko ima dva značilna poteka. Želena veličina je časovno konstantna veličina. V tem primeru govorimo o regulaciji s konstantno želeno vrednostjo. Želena veličina se lahko spreminja v odvisnosti od časa ali v odvisnosti od kakšne druge veličine. To vrsto regulacij imenujemo vodene regulacije. Dva značilna primera vodenih regulacij prikazuje slika 10. Slika 10 a prikazuje shematski prikaz vodene regulacije kopirnega rezkalnega stroja. Rezkalno orodje vodimo po obdelovancu s pomočjo reguliranega pogona. Referenčno obliko poteka orodja napram obdelovancu posreduje tipalo, ki otipava referenčno šablono in posreduje želeno pozicijo xž potenciometričnemu dajalniku ta pa najprej preko regulatorja pogonskemu motorju za pomik orodja. Motor M1 za pogon zobate letve podajanja orodja se vrti tako dolgo v eno ali drugo smer, dokler ne pride drsnik referenčnega potenciometra v središčno lego. To je vedno takrat, ko je x = xž. Slika 10 b prikazuje vodeno procesno regulacijo temperature s časovnim programom. Urni mehanizem vrti ustrezno oblikovano šablono, ki preko tipala generira časovno spremenljivi potek želenega signala za regulacijo dotoka pare v ogrevalni sistem rezervoarja. 19 Nazaj na kazalo Šablona Miza xž x Šablona Ž X M2 R R -X Y k Para < M1 a b Slika 10 1.2.4.5 Oblika blokovne strukture regulacijskega sistema Zgradba regulacijskega sistema in pripadajoča blokovna shema lahko ima eno povratno zvezo ali več povratnih zvez. Govorimo o enozančnem in večzančnem regulacijskem sistemu. Poleg negativne povratne zveze, ki daje sistemu lastnost zaključenega sistema vodenja, srečujemo še sekundarne povratne zveze. Sekundarne povratne zveze so lahko posledica fizikalnih lastnosti členov, ki tvorijo regulacijski sistem. Lahko pa te povratne zveze namenoma dodajamo zaradi izboljšanja lastnosti regulacijskega sistema. Slika 11 prikazuje primer izvedbe dvozančne mehansko-hidravlične regulacije vrtilne hitrosti parnega stroja in ustrezno regulacijsko blokovno shemo. Gre za tehnično praizvedbo regulacijskega načela vodenja, ki je bila zametek moderne regulacijske teorije in prakse. Regulacija vrtilne hitrosti pogonskega parnega stroja je izvedena z mehanskim centrifugalnim regulatorjem R in s pomožno hidravlično energijo. Centrifugalni regulator deluje preko kinematičnih povezav na krmilni cilinder KV preko katerega napajamo delovni cilinder DV za vodenje tokovnega ventila parovoda. Nazaj na kazalo 20 A B C olje pod tlakom D R para E KV PS Y R nž R KV+DV n Y PS n Slika 11 Delovni in krmilni cilinder sta poleg glavne hidravlične povezave medsebojno povezana še s sekundarno mehansko povezavo preko vzvoda ABC, s katero izboljšamo dinamične lastnosti celotnega regulacijskega sistema. Posebna zvrst večzančnih regulacij so večkratne regulacije. Posamezni regulacijski krogi, ki imajo svojo želeno veličino in izhodno veličino vodenja, tudi medsebojno vplivajo drug na drugega. To vrsto regulacij pogosto srečujemo v procesni tehniki in energetiki. Blokovna shema primera večkratne regulacije prikazuje slika 12. 1 x ž1 x1 x ž2 2 x2 - Slika 12 Nazaj na kazalo 21 1.2.4.6 Adaptivni regulacijski sistemi Pri do sedaj opisanih regulacijskih sistemih smo predpostavljali, da spremembe izhodne veličine vodenja povzročijo zunanje motnje ali spremenljiva želena vrednost. Na spremembe izhodne veličine vodenja pa lahko vpliva tudi spremenljivi značaj reguliranca, v kolikor njegovi parametri niso časovno konstantni. Regulacijska naprava, ki je prilagojena oziroma optimirana na določene vrednosti konstant reguliranca, ne more več optimalno voditi procesa, če se konstante ali celo struktura reguliranca spremenijo. Pogosto takšne primere srečujemo v letalski in raketni tehniki vodenja. Pri letih skozi različne gostote zračnih plasti in z različnimi hitrostmi fizikalnih pogojev leta plovila ne moremo opisati z istimi enačbami in tako enkrat nastavljeni parametri regulatorja ne morejo optimalno voditi leta. Za optimalno vodenje procesa mora imeti regulacijski sistem možnost prilagajanja spremembam v regulirancu, govorimo o adaptivnih regulacijah. Slika 13 prikazuje blokovni shemi dveh načelnih rešitev opisanega problema. IO Xž - R Y S Xž X - R M RA Y S X TS PZ a Slika 13 b Pri strukturni metodi na sliki 13 a s posebnimi vezji v povratni zvezi PZ kompenziramo vpliv sprememb parametrov reguliranca S, medtem ko parametrov regulatorja R ne spreminjamo. V drugem primeru na sliki 13 b s testnimi signali TS ugotavljamo spremembe parametrov reguliranca in preko posebne povratne zveze vplivamo na nastavitev parametrov regulatorja tako, da je le ta vedno optimalno prilagojen regulirancu. Na osnovi merjenja M se v računalniškem algoritmu RA, vrši identifikacija in optimiranje IO regulatorja. Nazaj na kazalo 22 2. DINAMIKA LINEARNIH SISTEMOV 2.1 Primerjava metod analize in sinteze dinamike sistemov Pogoj za uspešne postopke analize in sinteze regulacijskih sistemov, je dobro poznavanje dinamičnih lastnosti komponent, ki sestavljajo regulacijski sistem. To pomeni, poznavanje ustreznih dinamičnih enačb, ki temeljijo na fizikalnih zakonitostih povezave vhodnih in izhodnih veličin obravnavanega sistema. Klasični način reševanja diferencialnih enačb je bila prvotna metoda, ki se je uporabljala v teoriji regulacijske tehnike. Ta metoda je bila vezana na relativno preproste regulacijske sisteme in vzbujevalne funkcije, ki povzročijo tranzientne pojave v regulacijskem sistemu. Problem klasičnega načina reševanja diferencialnih enačb je tudi v tem, da se pri nastavitvi sistema diferencialnih enačb in njegovem reševanju za celotni regulacijski sistem izgubi identiteta posameznega člena regulacijskega sistema in je pri projektiranju regulacijskega sistema težko izbirati parametre posameznih členov sistema, ki bi zagotovili optimalno obnašanje celotnega sistema. Zaradi omenjenih razlogov sodobne teorije analize in sinteze regulacijskih sistemov uporabljajo druge metode, ki bodo predstavljene v nadaljevanju. Na dinamične lastnosti regulacijskega sistema lahko sklepamo, če poznamo časovni odziv sistema na določeno obliko vzhodne vzbujevalne funkcije. V primeru, da je ta vzbujevalna funkcija enotine ali skočne oblike, odziv imenujemo prehodna funkcija. Metode, ki koristijo ta odziv, kot izhodišče postopkov analize in sinteze regulacijskih sistemov so metode prehodne funkcije. To so praviloma grafične metode za katere izhodiščne podatke dobimo po eksperimentalni poti. S temi metodami sicer ne dobimo točnih podatkov o obravnavanem sistemu, vendar se jih poslužujemo pogosto takrat, kadar z analitičnim opisom ni možno priti do ustreznega matematičnega modela procesa. Te metode pogosto uporabljamo pri postopkih analize in sinteze procesnih regulacij, kjer je praviloma objekt vodenja težko analitično opisati. Metode frekvenčnega odziva ali frekvenčne karakteristike temeljijo na poznanem časovnem odzivu izhodne veličine v stacionarnem stanju, če na vhodu sistema deluje vhodna veličina v obliki sinusnega poteka. Te metode so v regulacijsko teorijo prenesene iz teorij izmeničnih sinusnih elektriških tokokrogov. Tudi te metode so grafične metode. Podatke za poteke frekvenčnih karakteristik lahko dobimo po eksperimentalni poti, do podatkov pa lahko pridemo tudi po analitični poti na osnovi poznanih dinamičnih enačb obravnavanega sistema. Z metodami frekvenčnega odziva lahko identificiramo vsak posamezni člen regulacijskega kroga in njegov vpliv na obnašanje celotnega sistema. S tega stališča so te metode primerne pri projektiranju regulacijskega sistema in jih pogosto uporabljamo pri optimiranju sistema. 23 Nazaj na kazalo Metode, ki kot izhodišče obravnave uporabljajo prenosne funkcije, so analitične metode in povezujejo metode frekvenčne karakteristike in prehodne funkcije. Analitični model prenosne funkcije temelji na uporabi pravil Laplaceove transformacije pri dinamičnem opisu fizikalnih sistemov. Z uporabo prenosnih funkcij lahko opisujemo dinamično obnašanje celotnega sistema pri čemer pa ostane prepoznaven vsak posamezni člen sistema. Povezanost metod prenosne funkcije, frekvenčne karakteristike in prehodne funkcije daje široke možnosti uporabe in jih najpogosteje uporabljamo v postopkih analize in sinteze regulacijskih sistemov. Zanimiva metoda iz te skupine je metoda lege korenov. Predvsem jo uporabljamo pri postopkih sinteze servosistemov. S pomočjo te metode proučujemo položaj oziroma lego korenov karakteristične enačbe v kompleksni ravnini in na ta način pridemo do optimalnih parametrov, ki so potrebni pri projektiranju regulacijskega sistema. Pomanjkljivost opisanih metod je v tem, da je njihova uporaba omejena na fizikalne sisteme z enim vhodom in enim izhodom (SISO) in so tako te metode uporabne le za postopke analize in sinteze preprostih regulacijskih sistemov. V današnjem času postaja problematika regulacijskih sistemov vse kompleksnejša in bi bilo reševanje sistemov z več vhodi in več izhodi po opisanih metodah dokaj zapleteno. Uspešna metoda, ki je bila razvita za analizo in sintezo multivariabilnih sistemov je metoda prostora stanj. Po tej metodi ne analiziramo izhodiščne dinamične enačbe sistema, temveč le to prevedemo v sistem diferencialnih enačb prve stopnje, kjer izhodna spremenljivka in njeni odvodi določajo trajektorijo člena v prostoru stanj. Metoda prostora stanj je primarna usmeritev moderne regulacijske teorije saj lahko z računalniškimi orodji rešujemo zapletene tudi nelinearne regulacijske sisteme. Shematski prikaz dinamičnih modelov fizikalnih sistemov, medsebojnih povezav in metod analize in sinteze regulacijskih sistemov prikazuje slika 14. Nazaj na kazalo 24 SISTEM FIZIKALNE ZAKONITOSTI MERITEV VHOD x = 1(t) MERITEV VHOD x = sint DIFERENCIALNA ENAČBA PRENOSNA FUNKCIJA FREKVENČNA FUNKCIJA PREHODNA FUNKCIJA v SPREMENLJIVKE STANJ BLOKOVNA SHEMA v LEGA KORENOV GRAFIČNI POTEK FR. KARAKT. MODEL Slika 14 25 Nazaj na kazalo 2.2 Linearni in linearizirani sistemi Pri opisu dinamičnega obnašanja fizikalnih sistemov se bomo zaradi enostavnejše obravnave omejili na opis sistemov z enim vhodom in enim izhodom. Blokovna shema takšnega sistema je predstavljena na sliki 15. Y S X Slika 15 Pri zvezno delujočem fizikalnem sistemu lahko časovni potek izhodne veličine X, na osnovi katerega prepoznamo dinamične lastnosti sistema, izračunamo iz diferencialne enačbe v splošnem zapisu: n ai i0 bg diX f t dt i 2.1 V enačbi 2.1 je X izhodna veličina sistema, ai so koeficienti in f(t) je vhodna vzbujevalna funkcija sistema: bg k f t bj j 0 d jY dt j 2.2 Za rešitev enačbe 2.1 moramo razen funkcije f(t) poznati še začetne pogoje: bg X b i g 0 ; i 0, 1, 2, ..... n 1 2.3 Koeficienti ai v diferencialni enačbi v splošnem niso konstantni, temveč imajo lahko časovno spremenljive vrednosti ali so celo odvisni od vhodne ali izhodne veličine. Linearni sistemi so tisti, ki jih lahko opišemo z linearno diferencialno enačbo, katere koeficienti ai so konstante ali časovno spremenljive vrednosti. Za linearne sisteme veljata dve pomembni načeli: 1. Načelo linearne zveze med vhodno in izhodno veličino 26 Nazaj na kazalo 2. Načelo superpozicije, kar pomeni, da je pri hkratnem vplivu več vhodnih veličin izhodna veličina enaka, kot če bi pri izhodu sešteli ločene vplive, ki jih dajejo posamič iste vhodne veličine. Da imamo opravka z linearnim sistemom lahko ugotovimo iz njegove statične karakteristike, ki je v tem primeru premica. To pomeni, da obstaja med vhodno in izhodno veličino v stacionarnem stanju linearna zveza. Pri realnih fizikalnih sistemih žal takšne linearne zveze skoraj da ne zasledimo, če obravnavamo sistem v širokem območju povezovanja vhodne in izhodne veličine. Utemeljeno lahko trdimo, da so v naravi skoraj vsi sistemi nelinearni, saj so statične karakteristike praviloma krivulje ali celo nezvezne funkcije. To pomeni, da so koeficienti ai v dinamični enačbi spremenljivke. Iz teh ugotovitev izhajajo določene dileme in zadrege pri teoretični obravnavi regulacijske problematike. Relativno preproste in dobro razvite so metode analize in sinteze linearnih regulacijskih sistemov, takšnih pa takorekoč ni, če smo dovolj eksaktni pri opisovanju dinamičnega obnašanja regulacijskih komponent. Metode obravnave nelinearnih sistemov so zahtevnejše, ni enotnih pristopov, izdelane so le več ali manj eksaktne metode za reševanje specifičnih nelinearnih regulacijskih sistemov. Regulacijski sistemi so pa praviloma nelinearni. Kljub temu lahko metode, ki jih pozna teorija linearnih sistemov, pogojno uporabimo tudi za reševanje realnih, to je nelinearnih sistemov če: 1. se omejimo le na linearno območje sicer nelinearne statične karakteristike. 2. v delovni točki obravnave statično karakteristiko lineariziramo 3. je značaj nelinearnega člena v regulcijskem sistemu takšen, da bistveno ne vpliva na linearnost celotnega sistema. Ti pogoji so praviloma v regulacijski praksi izpolnjeni. Grafični postopek linearizacije nelinearne statične karakteristike sistema prikazuje slika 16. Nazaj na kazalo 27 x X0 X X* A Y Y* Y0 y Y0, X0 - delovna točka Y, X - spremembe Y*, X* - osnovne vrednosti y Y X , x Y* X* - relativne spremembe Slika 16 Regulacijsko načelo praviloma izvajamo v relativno ozkem območju v okolici delovne točke Y0, X0. Pri dovolj malih spremembah v okolici delovne točke Y, X je smiselno kot statično karakteristiko upoštevati tangento na krivuljo v delovni točki. Sistem tako obravnavamo kot linearizirani nelinearni sistem. Oceniti se da območje veljavnosti linearizacije in velikost računskih napak, ki jih pri tem napravimo. Za inžinersko prakso daje opisana pot obravnave praviloma povsem zadovoljive rezultate. Dinamične enačbe za realni fizikalni sistem imajo poleg številčne še dimenzijalno relacijo. Za praktično računanje so bolj primerne normirane enačbe, do katerih pridemo z uvajanjem osnovnih vrednosti Y*, X* v osnovni analitični zapis. Osnovne vrednosti Y*, X* določimo v polju linearizirane statične karakteristike. 28 Nazaj na kazalo POVZETEK: Izvedbe regulacijskih sistemov razvrščamo po kriterijih: tehnične izvedbe, obliki informacijskega signala, matematičnem opisu regulacijskih komponent, obliki želene informacije, obliki blokovne sheme. Za področje proizvodnega strojništva so zanimive izvedbe servoregulacij pri pogonu, posluževanju in transportu na proizvodnih sistemih. Postopki analize in sinteze regulacijske teorije in prakse pogojujejo dobro poznavanje dinamičnih lastnosti komponent iz katerih gradimo regulacijski sistem. Razvite so različne metode in recepture te teorije katerim podlaga so poenostavljeni linearni dinamični modeli, ki še dovolj verodostojno opisujejo dinamiko realnih komponent. Vaja 0: Nariši statično karakteristiko nelinearnega sistema (krmiljeni usmernik v funkciji močnostnega ojačevalnika) na osnovi eksperimentalnih podatkov, ki so podani v tabeli. Nato izvedi postopek linearizacije v delovni točki Uk=9V (krmilna napetost). Določi še faktor ojačenja K. Uk [V] U= [V] 2 33 3 39 4 49 5 57 6 66 7 74 8 82 9 89 10 99 11 106 12 113 13 122 14 133 15 137 16 142 17 148 18 154 19 161 20 168 Rešitev: (Rešitve vaj.pdf) 29 Nazaj na kazalo Samostojno delo: 1. Značilne tehniške izvedbe regulacij. 2. Značilne oblike informacijskega signala pri regulacijskih postopkih vodenja. 3. Značilni potek statičnih karakteristik linearnih in nelinearnih členov. 4. Vrste regulacij z ozirom na število povratnih zvez. 5. Kdaj govorimo o adaptivni regulaciji? 6. Pomembni matematični načeli linearnih sistemov. 7. Pod kakšnimi pogoji lahko obravnavamo sicer nelinearni sistem z linearno regulacijsko teorijo. 8. Zakaj uvajamo pri postopkih linearizacije osnovne vrednosti Y*, X*. 9. Zakaj je klasično reševanje diferencialnih enačb regulacijskih sistemov za inženirsko prakso neprimerno? 10. Kako prepoznati linearni sistem. 11. Kakšne so statične karakteristike nelinearnih členov? 12. Kateri pomembni načeli veljata za linearne sisteme? 13. Kakšni so skoraj vsi realni sistemi? 14. Kakšen je namen linearizacije statične karakteristike? 15. Kaj je delovna točka? 16. Kaj je osnovna vrednost? 17. Kaj je normirana enačba? Nazaj na kazalo 30 Dodatna vaja: Nariši statično karakteristiko nelinearnega sistema (frezalni obdelovalni center; rezalna hitrostrezalna sila) na osnovi eksperimentalnih podatkov, ki so podani v tabeli. Nato izvedi postopek linearizacije v delovni točki v=90m/min (rezalna hitrost). Določi še faktor ojačenja K. Tabela podaja razmerje med rezalno hitrostjo (v) in izmerjeno rezalno silo (F) na vretenu stroja. Rezalno hitrost smo spreminjali v območju med 60 in 96 m/min. Silo smo merili s Piezo-električnim merilnikom Kistler. v[m/min] 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 F [N] 591.6 602.2 611.3 633.3 650.4 661.1 667.8 668.0 671.1 688.9 699.3 710.3 711.0 708.1 717.1 719.6 721.0 720.5 722.1 31 Nazaj na kazalo UČNA SNOV 3. TEDNA: DINAMIČNI MODELI REGULACIJSKIH KOMPONENT Pri postopku »papirnate« analize in sinteze regulacijske tehnike se za opisovanje dinamičnih lastnosti regulacijskih komponent poslužujemo dinamičnih modelov: grafični model blokovne sheme, analitični model prenosne funkcije, model prehodne funkcije, model frekvenčne karakteristike in računalniški simulacijski model. Nazaj na kazalo 32 2.3 Modeli linearnih sistemov Pri opisovanju dinamičnih lastnosti v okviru metod analize in sinteze regulacijskih sistemov se poslužujemo različnih modelnih upodobitev povezovanja vhodnih in izhodnih veličin obravnavanega fizikalnega sistema. Ti modeli so prilagojeni posameznim metodam in bolj ali manj popolno ponazarjajo realno dinamično obnašanje sistema. 2.3.1 Prenosna funkcija linearnega sistema Analitični opis, ki opisuje povezavo med vhodno in izhodno veličino fizikalnega sistema, tako v tranzientnem, kot tudi v stacionarnem stanju, temelji na poznanih fizikalnih zakonitostih obravnavanega sistema. V abstraktni blokovni upodobitvi je ponazorjen na sliki 17. Opis je splošno podan v obliki diferencialne enačbe: k dix d jy ai i b j j dt dt i0 j 0 n Y 2.4 S X Slika 17 Pri obravnavi stacionarnih razmer sistema preide enačba 2.4 v obliko: a 0 x b0 y 2.5 Grafična upodobitev enačbe 2.5 je statična karakteristika sistema. Ugotavljanje splošne rešitve linearne diferencialne enačbe z direktnim integriranjem je povezano z dolgotrajnim in zahtevnim matematičnim postopkom, kar je s stališča inženirske prakse nepraktičen in neekonomičen. Računske težave bi bile še toliko večje, če bi bil sistem analitično opisan z več med seboj povezanimi diferencialnimi enačbami. Z uvedbo Laplaceove transformacije, kar v zelo poenostavljeni obliki pomeni, da operator diferenciranja d/dt nadomesti nova neodvisna 33 Nazaj na kazalo spremenljivka - Laplaceov operator s, preslikamo diferencialno enačbo iz domene časovnega prostora v Laplaceov slikovni prostor. Ob predpostavki, da je začetno stanje sistema stacionarno stanje, so vsi začetni pogoji: x(i) = 0 i = 1…… n – 1 y(j) = 0 j = 1……. k – 1 2.6 in diferencialna enačba 2.4 se preoblikuje v podano algebraično obliko: n bg bg k a i si x s b js jy s i0 j 0 2.7 Izrazimo razmerje med izhodno in vhodno veličino sistema: k b s b g xybbssgg a s j j Fs j 0 n 2.8 i i i0 Enačbo 2.8 v obliki ulomljene racionalne funkcije imenujemo prenosna funkcija sistema. Z izpostavljanjem koeficientov a0, b0 se enačba prenosne funkcije nadalje preoblikuje: k b0 bj b g xybbssgg ba a s Fs j 0 n 0 i 0 i0 a0 k sj i c s j j K j 0 n 2.9 d s i i i0 Razmerje koeficientov b0 in a0 imenujemo faktor statičnega ojačenja sistema in definira strmino statične karakteristike. Prenosna funkcija fizikalnega sistema podaja razmerje med relativno spremembo izhodne veličine in vhodne veličine v Laplaceovem slikovnem prostoru. Osnovni namen uporabe prenosnih funkcij pri dinamičnem opisu fizikalnih sistemov je v manj zahtevnih analitičnih postopkih te obravnave. Pri medsebojno učinkujočih fizikalnih sistemih, to srečujemo pri regulacijskih sistemih, bi analitično obvladovanje sistema pomenilo reševanje sistema 34 Nazaj na kazalo medsebojno povezanih dinamičnih enačb. Ti matematični postopki so izjemno zahtevni in za inženirsko prakso neprimerni. Z uvedbo prenosnih funkcij v dinamični opis takšnih sistemov se analitični postopki obravnave poenostavijo v postopke množenja, deljenja, seštevanja in odštevanja prenosnih funkcij. Nazaj na kazalo 35 2.3.2 Prehodna funkcija linearnega sistema Vhodna vzbujevalna veličina sistema lahko ima poljuben časovni potek, vendar pri analitični obravnavi sistemov najpogosteje operiramo z nekaj standardnimi vzbujevalnimi funkcijami, kot so skočna funkcija, nagibna ali rampa funkcija, parabolična funkcija, impulzna funkcija in sinusna funkcija. Njihov časovni potek prikazuje slika 18. f(t) f(t) u(t) u(t-a) a o 45 t t a skočna funkcija b nagibna funkcija y f t 0 za t 0, y f t 0 za t 0, 1 za t 0 t za t 0 bg bg f(t) f(t) (t-a) (t) a t c parabolična funkcija t d impulzna funkcija bg y f t 0 za t 0 bg y f t 0 za t 0, za t 0 0 za t 0 t 2 za t 0 Slika 18 bg Pri konkretnem fizikalnem sistemu je funkcijska povezava x f y povsem določena, zato bomo na izhodu iz sistema za vsako izmed vhodnih vzbujevalnih funkcij dobili povsem določeni odziv, to je določeni potek x(t). Vsi sistemi, ki bodo dajali na enako obliko vhodne vzbujevalne veličine y(t), enako obliko poteka izhodne veličine x(t), imajo očitno enake dinamične lastnosti in jih zato smemo uvrščati v isto osnovno skupino sistemov, ne glede na njihovo fizično izvedbo. V primeru, da na vhod pripeljemo vhodno veličino v obliki skočne funkcije, dobimo na izhodu časovni potek izhodne 36 Nazaj na kazalo veličine, ki ga imenujemo prehodna funkcija. Iz poteka prehodne funkcije sklepamo na dinamične lastnosti obravnavanega sistema. Načelni potek ugotavljanja prehodne funkcije prikazuje slika 19. Y X S X Y t t Slika 19 Do analitične rešitve prehodne funkcije pridemo z reševanjem diferencialne enačbe v kateri kot vhodno vzbujevalno funkcijo upoštevamo skočno funkcijo. Ta način ugotavljanja prehodne funkcije je v regulacijski praksi manj pogost. Običajno prehodno funkcijo ugotavljamo po eksperimentalni poti in to pri sistemih, ki jih analitično teže opisujemo npr. procesni sistemi. To je tudi bistvena prednost uporabe prehodne funkcije kot dinamičnega modela v postopkih in metodah regulacijske teorije in prakse. Prehodna funkcija podaja časovni potek izhodne veličine kot posledico skočno (enotine) spremembe vhodne veličine. 2.3.3 Frekvenčna karakteristika linearnega sistema Za proučevanje dinamičnih lastnosti linearnih sistemov kot vhodno vzbujevalno veličino poleg skočne funkcije najpogosteje uporabljamo sinusno funkcijo. Pripeljimo na vhod veličino v obliki sinusne funkcije y A sin t . Na izhodu linearnega sistema dobimo v stacionarnem stanju sinusni potek izhodne veličine iste frekvence, vendar drugačne amplitude in fazno premaknjen z ozirom na b g vhodni potek x B sin t . Raziskovanje spremembe amplitudne in fazne odvisnosti izhodnega 37 Nazaj na kazalo sinusnega nihanja pri različnih frekvencah je vsebina metod frekvenčnega odziva. Frekvenco teoretično spreminjamo od vrednosti nič do neskončno, dejansko pa je frekvenčno območje omejeno. Načelni način ugotavljanja frekvenčne karakteristike prikazuje slika 20. y = A sin t x = B sin ( t) S y A x B t t B = B( ) A = konst. = ) 1 B = A 1 i i i n n n (s -1 ) B = A = ( ) (o) 1 Slika 20 Metode analize dinamičnega obnašanja sistemov, ki temeljijo na znanem harmoničnem odzivu sistema ali frekvenčni karakteristiki, so se v regulacijsko teorijo prenesle iz teorije izmeničnih električnih tokokrogov. Njihova uporabna vrednost je predvsem takrat, kadar je frekvenčna karakteristika grafično predstavljena v enem izmed treh značilnih diagramov: Nyquistovem, Bodejevem in Nicholsovem. Oblika teh diagramov in značilne poteke frekvenčne karakteristike sistema prikazuje slika 21. Nazaj na kazalo 38 + [rd] Im n + = 0 1 i i [s-1] Re i dB dB [rd] i [s-1] Nyquistov diagram Bodejev diagram Nicholsov diagram Slika 21 Uporabnost posameznih diagramov je vezana na specifičnost posameznih metod regulacijske teorije. Do frekvenčne karakteristike sistema lahko pridemo po eksperimentalni poti z meritvijo ali po analitični poti preko diferencialne enačbe oziroma prenosne funkcije. Pri eksperimentalnem postopku, skladno z že povedanim v začetku poglavja, na vhod pripeljemo vhodno veličino v obliki sinusne funkcije: y A sin t 2.10 pri čemer amplitudo A vzdržujemo konstantno, krožno frekvenco pa spreminjamo vsaj teoretično od 0 do , dejansko v nekem za sistem zanimivem območju. Na izhodu sistema dobimo v stacionarnem stanju veličino sinusnega poteka: b x B sin t g 2.11 Amplituda B oziroma razmerje B / A in fazni zamik sta v splošnem funkciji frekvence . To eksperimentalno ugotovljeno funkcijsko odvisnost, v grafični interpretaciji, koristimo v postopkih dinamične analize sistemov. Matematična pot ugotavljanja frekvenčne karakteristike izhaja iz znane diferencialne enačbe ali prenosne funkcije sistema. Iz elementarne matematike je znano, da lahko vhodno veličino v obliki 39 Nazaj na kazalo sinusnega funkcijskega poteka sin ( t ) predstavimo v kazalčni obliki v eksponentnem zapisu e jt . Shematski prikaz postopka prikazuje blokovna shema na sliki 22. A sin ( t) Ae jt S j(t ) B sin (t ) t t yA Be B A t B t Slika 22 Na osnovi predstavitve v blokovni shemi slike 22 frekvenčna karakteristika predstavlja razmerje med kazalcem izhodnega sinusnega nihanja in vhodnega sinusnega nihanja, ki ga lahko zapišemo: Be j t B j F j e e j j t Ae A 2.12 Do enakega analitičnega zapisa enačbe frekvenčne karakteristike lahko pridemo tako, da v enačbi prenosne funkcije nadomestimo neodvisno spremenljivko Laplaceov operator »s« s krožno frekvenco (j ), ki je v tem primeru kompleksna spremenljivka: b g xybbssgg Fs b g xybb jjgg e s j F j j 2.13 To lahko tudi dokažemo, če vstavimo v splošno obliko diferencialne enačbe sistema 2.4 nastavka po enačbi 2.10 in 2.11 in upoštevamo, da je sin ( t ) enak imaginarnemu delu e jt : Be b j t g a b j g n i i0 i Ae jt b b j g k l 2.14 l l0 od koder je: Nazaj na kazalo 40 b b j g k b g F j Be b j Ae j g e j l l l0 n a b j g 2.15 i i i0 Desna stran enačbe 2.15 je identična z desno stranjo enačbe 2.8 le da je »s« zamenjan z (j ). Frekvenčna karakteristika podaja razmerje med izhodnim sinusnim nihanjem in vhodnim sinusnim nihanjem v stacionarnem stanju. To razmerje je dano z razmerjem absolutnih vrednosti kazalcev sinusnih nihanj in medsebojnim faznim premikom . 2.3.4 Računalniški simulacijski modeli linearnih sistemov Z razvojem računalniške aparaturne in programske opreme je tudi na področju regulacijske teorije omogočeno relativno zahtevne analitične postopke analize in sinteze regulacijskih sistemov izvesti na dokaj preprosti in učinkoviti način z računalniškimi simulacijskimi modeli dinamičnega obnašanja sistemov. Pristop k računalniškemu modeliranju dinamičnega obnašanja sistema si poglejmo za primer sistema, ki ga lahko opišemo s podano diferencialno enačbo: Bx Cx Dy Ax 2.16 kjer je x časovno odvisna spremenljivka, A, B, C so konstantni koeficienti. Preoblikujmo enačbo 2.16 tako, da eksplicitno izrazimo najvišji odvod: x B C D x x y A A A 2.17 Do rešitve diferencialne enačbe x(t) pridemo tako, da izraz x dvakrat integriramo. Pri tem predpostavljamo, da so nam znani začetni pogoji x(0) in x (0). Na osnovi preoblikovane diferencialne enačbe 2.17 je izdelana blokovna shema modela rešitve diferencialne enačbe, prikazana na sliki 23. Nazaj na kazalo 41 - B X A y - B A X D A - C x A - x = x(t) C A Slika 23 Sestavljena je iz blokov linearnih matematičnih operaterjev. Trije bloki vršijo operacijo množenja vhodnih veličin y, x in x s konstantami D/A, –C/A in –B/A. Druga dva bloka predstavljata operatorja integriranja. Izhod drugega integratorja daje izbrano rešitev diferencialne enačbe x(t). V kolikor razpolagamo z elementi, ki lahko izvajajo potrebne matematične operacije ali v fizični ali programski izvedbi in jih med seboj povežemo tako kot narekuje blokovna shema, dobimo ustrezni simulacijski model. Te možnosti nam dajejo računalniške tehnologije. 2.3.4.1 Modeliranje na analognem računalniku Pri uporabi analognega računalnika koristimo analogijo med dinamičnim obnašanjem obravnavanega procesa in dinamičnim obnašanjem električnih tokokrogov. Na osnovi diferencialne enačbe s katero je opisana dinamika procesa, se v analognem računalniku formira analogni model električnih tokokrogov. Pri tem se namesto dejanskih spremenljivk, kot so npr: sila, tlak, temperatura, vrtilna hitrost, moment itd. v analognem računalniškem modelu pojavlja analogna spremenljivka enosmerna električna napetost. Formiranje programa za simuliranje in reševanje danih diferencialnih enačb prevedemo na formiranje analognega električnega modela z ustreznim povezovanjem računskih elementov analognega računalnika. Iz stališča uporabe analognega računalnika predstavlja blokovna shema na sliki 23 idejno zasnovo za reševanje diferencialne enačbe 2.16. Namesto matematičnih simbolov uporabljenih pri načrtovanju blokovnih shem dinamike sistemov se pri uporabi analognega računalnika poslužujemo prirejene simbolike. Nekaj standardnih simbolov za izvajanje matematičnih operacij na analognem računalniku prikazuje tabela I. 42 Nazaj na kazalo Tabela I Matematična operacija Blokovni simbol y1 Seštevanje y3 Računalniški simbol x = y1 y2 y3 y2 Sprememba predznaka y Množenje s konstanto y x y x x = -y -1 x = y dt y Integriranje y1 y2 y3 y x = Ky K x = y1 y2 Množenje spremenljivk y1 y2 X Deljenje spremenljivk y1 y2 : Generator funkcije y f(y) x = y1 / y2 x = f(y) x y y1 y2 x M y1 y2 y x x f x Za izvajanje osnovnih računskih operacij imamo pri analognem računalniku naslednje elemente: integrator, seštevalnik, uporovni delilnik (potenciometer), množilnik, primerjalnik (komparator), generator funkcij. Fizično so ti elementi (razen uporovnega delilnika) izvedeni z operacijskimi ojačevalniki enosmernih napetosti, ki jih ustrezno namenu uporabe, povežemo s pasivnimi R, C komponentami ali diodnimi vezji pri generatorju funkcij. Pri uporabi analognega računalnika je treba paziti na nekatere posebnosti, ki odločujoče vplivajo na to ali bodo dobljeni rezultati pravilni oziroma, da rezultate sploh dobimo. Analogni računalnik računa v realnem času, kar pomeni, da se prehodni pojavi v računalniku odvijajo z enako hitrostjo kot pri realnem sistemu. Mnogokrat pa je prehodni pojav realnega sistema tako hiter, da mu računalnik ali registrirna naprava rezultatov ne moreta slediti, ali pa tako počasen, da bi računanje zahtevalo preveč časa. V tem primeru uvedemo novi računalniški čas: pravimo, da računalnik časovno normiramo ali skaliramo. Prav tako je potrebno fizikalne veličine realnega sistema v 43 Nazaj na kazalo analognem računalniškem modelu izraziti v analognih enosmernih napetostih npr. sili 100 N v realnem sistemu ustreza napetost 1 V v računalniku. Izhodne napetosti računskih elementov – operacijskih ojačevalnikov so omejene na velikostni razred 10 V in prav hitro se lahko zgodi, da pri izbranem »merilu« 100 N 1 V pri veliki izbiri vrednosti realne fizikalne veličine pride izhod posamezne analogne računske enote v zasičenje. Dobljeni računalniški rezultati so v tem primeru povsem neuporabni, zato je treba izbiri »merila« oziroma amplitudnemu normiranju ali skaliranju pri uporabi analognega računalnika posvetiti posebno pozornost. Omenjena problematika normiranja fizikalnih veličin in od tod izhajajoče težave v veliki meri omejujejo uporabnost modeliranja na analognem računalniku in v današnjem času izključno uporabljamo za reševanje obravnavane problematike digitalni računalnik. 2.3.4.2 Modeliranje na digitalnem računalniku Modeliranje dinamičnih procesov na digitalnem računalniku je načeloma precej podobno kot na analognem računalniku. V ta namen je bila razvita programska oprema s pomočjo katere lahko izvedemo računske operacije, omenjene v predhodnem poglavju oziroma programsko realiziramo elemente, kot so: seštevalnik, integrator, množilnik, primerjalnik, generator funkcije in druge elemente. Problem normiranja oziroma skaliranja fizikalnih veličin in časa in od tod izhajajoče težave pri uporabi digitalnega računalnika odpadejo, saj podajamo vrednosti le teh v obliki numeričnih podatkov. Povezovanje računskih blokov v dinamično modelno strukturo je na nivoju programskega povezovanja. V primeru analognega modela pa so bili računski bloki fizično povezani z ožičenjem. Z razvojem aparaturne računalniške opreme se je razvijala tudi ustrezna programska oprema. Na naši fakulteti smo se v preteklosti srečevali in uporabljali predvsem programsko opremo: CSMP, SARA in PADSIM. Danes pa je v uporabi predvsem SIMULINK v okviru programskega paketa MATLAB. Slednjega danes najpogosteje uporabljamo za modeliranje in simulacijo dinamičnega obnašanja regulacijskih sistemov. Knjižnico blokov za modeliranje linearnih sistemov prikazuje tabela II. Navodila za delo v programu Matlab: (Navodila Matlab.pdf) Nazaj na kazalo 44 Tabela II Opis Blok 1 Gain + + Izhod bloka Gain je multiplikacija vhoda s konstanto ojačenja. Deluje s skalarnimi in vektorskimi veličinami. Izhod bloka Sum je algebrajska vsota vhodov. Sum 1 s Izhod bloka Integrator je časovni integral vhodne veličine. Integratror 1 s+1 Blok Transfer Fcn uporabljamo za modeliranje prenosnih funkcij. Transfer Fcn . x = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space (s-1) s(s+1) Zero-Pole du/dt Z blokom State-Space modeliramo časovno invariantne multivariabilne sisteme. Modeliranje prenosnih funkcij z uporabo zapisovanja polov in ničel. Izhod bloka Derivation je časovni odvod vhodne veličine. Derivative Nazaj na kazalo 45 Povzetek: V blokovnih predstavitvah regulacijskih sistemov realni tehnični sistem predstavimo v obliki abstraktne blokovne sheme. Za opisovanje dinamičnih lastnosti posameznih komponent kot tudi celotnega regulacijskega kroga se poslužujemo dinamičnih modelov prenosnih funkcij, prehodnih funkcij, frekvenčnih karakteristik in računalniških simulacijskih modelov. Katerega izmed modelov in od tod izhajajočih metod in receptur regulacijske teorije se poslužujemo je odvisno od njihove dostopnosti. Prenosne funkcije in računalniški modeli so vezani na matematični in fizikalni opis komponent. Prehodnih funkcij in frekvenčnih karakteristik pa se običajno poslužujemo ko so v ospredju eksperimentalni postopki. Samostojno delo: 1. Definicija prehodne, prenosne funkcije? 2. V katerih diagramih lahko ponazorimo frekvenčno karakteristiko? 3. Kaj je fazni zamik? 4. Katere bloke uporabljamo pri modeliranju na digitalnem računalniku? 5. Definicija dinamičnega modela prenosne funkcije. 6. Definicija dinamičnega modela prehodne funkcije. 7. Definicija dinamičnega modela frekvenčne karakteristike. 8. Kako je potrebno preoblikovati dinamično enačbo A x B x Cx Dy , da je primerna .. . za računalniški simulacijski model. 9. Značilni diagrami za grafični prikaz frekvenčnih karakteristik. 10. Izdelaj adekvatni računalniški idejni model za sistem, ki je podan z diferencialno . enačbo: A x Bx Cy . 46 Nazaj na kazalo UČNA SNOV 4. TEDNA: OSNOVNI LINEARNI ČLENI ČLENI Z IZRAVNAVO Dinamični opis poljubnega tehničnega sistema se da teoretično vedno predstaviti kot kombinacijo osnovnih linearnih členov. Opisani so trije osnovni linearni členi s pripadajočimi dinamičnimi modeli, ki jih prištevamo v skupino členov z izravnavo zaradi značilnega poteka prehodne funkcije. Nazaj na kazalo 47 2.4 Osnovni linearni členi 2.4.1 Klasifikacija linearnih členov Enačbo prenosne funkcije 2.9 lahko zapišemo tudi v obliki: c s b g xybbssgg K 11dc ss dc ss .......... .......... d s 2 Fs 1 2 1 2 k k 2 2.18 n n Če poiščemo korene polinoma v števcu sj (ničlišča) in korene polinoma v imenovalcu si (poli), lahko po znanih matematičnih postopkih enačbo 2.18 pišemo tudi v obliki: b1 sT g c1 s2z T s T h D E 2 b g xybbssgg K l 1B Fs s A l 2 m m m m1 C b1 sT g c1 s2z T s T h 2 s s1 r r 2.19 2 r r 1 A, B, C, D, E so cela pozitivna števila in definirajo število polinomov enakega tipa. V zapisu prenosne funkcije po enačbi 2.19 se pojavlja le šest različnih vrst polinomov in pripadajočih koeficientov v njih. Iz tega sledi, da lahko kompliciran sistem matematično predstavimo v obliki produkta enostavnejših sistemov. Te sisteme imenujemo osnovni členi. V povezavi z enačbo prenosne funkcije 2.18 oziroma 2.19 je treba omeniti še to, de je pri realnih fizikalnih sistemih stopnja polinoma v imenovalcu višja ali kvečjemu enaka stopnji polinoma v števcu: nk A B 2C D 2 E 2.20 Razliko med obema stopnjama polinomov imenujemo stopnjo sistema: n – k – stopnja sistema bA b 2Cg bD 2Eg - stopnja sistema Koeficient K ima pomen statičnega ojačenja le tedaj, če je v enačbi 2.19 A = 0. 48 Nazaj na kazalo 2.4.2 Proporcionalni (P) člen Za proporcialne ali P-člene velja v vsakem trenutku proporcionalna zveza med vhodno in izhodno veličino. Ti členi so linearni in delujejo brez zakasnitve (vsaj teoretično delujejo neskončno hitro). Pripomniti velja, da sistemov s povsem takimi lastnostmi v realnosti ni, se jim pa bolj ali manj realni sistemi približajo. Dinamična enačba, ki popisuje proporcionalni člen se glasi: bg bg x t Ky t 2.21 Z uvedbo Laplaceove transformacije se enačba 2.21 preoblikuje v: bg bg x s Ky s 2.22 od koder je prenosna funkcija proporcionalnega člena: b g xybbssgg K Fs 2.23 V prenosni funkciji proporcionalnega člena je K faktor statičnega ojačenja in je brezdimenzijska veličina. Do enačbe frekvenčne karakteristike pridemo iz enačbe prenosne funkcije z uvedbo s j : b g xybb jjgg K e F j K j b g f j 2.24 0 Frekvenčna karakteristika proporcionalnega člena izjemoma ni funkcija frekvence. Potek karakteristike v Nyquistovem in Bodejevem diagramu (za vrednost K=1) prikazuje slika 24. Nazaj na kazalo 49 45 0 10 Im 2 o -45 o -90 o -135 o -180 o -225 o -270 o 10 1,5 j j o 1 =K F(j) 0,5 j 0 0,5 10 0 1,0 Re 10 10 -1 -2 10 -2 10 -1 10 0 1 10 10 2 Slika 24 Prehodna funkcija kot odziv na skočno spremembo vhodne veličine je pri proporcionalnem členu tudi skočne oblike, amplituda izhodne skočne funkcije je za faktor statičnega ojačenja različna od amplitude vhodne skočne spremembe. Potek prehodne funkcije prikazuje slika 25. y 1 t x 1 Ky t Slika 25 50 Nazaj na kazalo 2.4.3 Člen prve stopnje Dinamični opis člena prve stopnje temelji na diferencialni enačbi prve stopnje: dx T x Ky dt 2.25 V transformirani obliki se enačba glasi: bg bg bg sx s T x s Ky s 2.26 Od koder je prenosna funkcija člena prve stopnje: b g xybbssgg 1 KsT Fs 2.27 V prenosni funkciji sta: K – faktor statičnega ojačenja, brez-dimenzijska veličina T – časovna konstanta člena prve stopnje, ima dimenzijo časa Z zamenjavo operaterja »s« kot neodvisne spremenljivke s krožno frekvenco (j ) v enačbi 2.27 dobimo enačbo frekvenčne karakteristike: b g xybb jjgg 1 KjT e F j j 2.28 b g K arctg T 1 2 T2 2.29 Poteka frekvenčne karakteristike v Nyquistovem in Bodejevem diagramu prikazujeta diagrama na slikah 26 a, b, za vrednost konstant K = 1 in T = 1s. Značilna frekvenca v polju frekvenčne karakteristike je lomna frekvenca 0 . Definirana je kot recipročna vrednost časovne konstante člena prve stopnje 0 = 1/T. V Bodejevem diagramu rišemo bg ločeno amplitudno frekvenčno karakteristiko bg frekvenčno karakteristiko (dvojno logaritemsko merilo) in fazno (enojno logaritemsko merilo). Pri lomni frekvenci 0 se amplitudna frekvenčna karakteristika lomi in z naraščanjem frekvence pada z enojno strmino (pri 51 Nazaj na kazalo eni dekadi prirastka frekvence pade za eno dekado). Prehodna funkcija člena prve stopnje je eksponencialna funkcija s podano analitično rešitvijo diferencialne enačbe: bg c x t K 1 e t /T h 2.30 45 0 o o -45 o -90 o o -135 -180 -225 10 Im 2 o o -270 o 10 = K 0 1 0,5 Re 1 T 10 10 1 0 -1 -2 10 10 -2 10 -1 10 0 1 10 10 2 Slika 26 Grafični potek prehodne funkcije kaže slika 27. y 1 x 1 t T Ky t Slika 27 52 Nazaj na kazalo 2.4.4 Člen druge stopnje Izmed vseh osnovnih členov je člen druge stopnje najbolj raznolik po svojem dinamičnem obnašanju. Iz stališča regulacijske teorije je še posebej zanimiv, saj se regulacijski sistemi podobno obnašajo kot člen drugega reda in so določene metode analize regulacijskih sistemov prenesene iz postopkov analize dinamičnega obnašanja člena druge stopnje. Analitično je opisan z diferencialno enačbo druge stopnje: d 2 x 2 dx T 2 zT x Ky dt 2 dt 2.31 ki se v transformirani obliki glasi: bg bg bg bg s2 x s T2 sx s 2 zT x s Ky s 2.32 od koder je prenosna funkcija b g xybbssgg 1 s2zTK s T Fs 2 2.33 2 Prenosna funkcija člena druge stopnje ima tri konstante: K – faktor statičnega ojačenja, brez-dimenzijska veličina T – časovna konstanta člena druge stopnje, dimenzija časa z – faktor dušenja, brez-dimenzijska veličina Po znanem matematičnem postopku sledi iz enačbe prenosne funkcije enačba frekvenčne karakteristike: b g xybb jjgg 1 b jg2zTK b jg T F j 2 K c1 T h b2zTg 2 2 2 2 e j arctg 53 2.34 2 zT 1 2 T2 2.35 Nazaj na kazalo Na osnovi izračuna za tri značilne frekvence: 0 K 0 0 K 2z 0 1 T 90 180 lahko ugotovimo, da je frekvenčna karakteristika člena druge stopnje družina krivulj, vsaka s svojo vrednostjo faktorja dušenja z. Poteke karakteristik v Nyquistovem in Bodejevem diagramu za nekaj b g vrednosti dušenja z K 1, T 1s prikazuje slika 28. 45 0 z = 0,1 Im o = K 1 z = 1,5 = 0 2 Re o -90 z = 2,0 = o -45 z = 0,7 o 10 -135 o -180 o -225 o -270 o z = 1,0 10 1 max 0 z = 0,1 10 0 z = 0,7 z = 2,0 z = 0,3 10 -1 -2 10 10 -2 10 -1 0 10 1 10 10 2 Slika 28 V odvisnosti od faktorja dušenja z imajo krivulje frekvenčne karakteristike dva značilna različna poteka. Pri dušenju z 1 z naraščajočo frekvenco upada od vrednosti K do vrednosti 0. Pri faktorju dušenja z 1 sistem izkazuje resonančni pojav, kar pomeni, da pri določeni frekvenci r faktor zavzame maksimalno vrednost max , ki je večja od začetne vrednosti K in nato 54 Nazaj na kazalo upada proti vrednosti 0 z naraščajočo frekvenco. Pojav resonance je tem bolj izrazit čim manjši je faktor dušenja. V polju frekvenčne karakteristike definiramo dve značilni frekvenci: 0 1 lomna frekvenca ali lastna frekvenca nedušenega sistema T r - resonančna frekvenca Ti dve frekvenci sta med seboj povezani preko faktorja dušenja: r 0 1 2z2 2.36 Pri frekvenci 0 , ki jo imenujemo tudi lomna frekvenca se v Bodejevem diagramu amplitudna frekvenčna karakteristika lomi. Z naraščajočo frekvenco amplitudna karakteristika pada z dvojno strmino (pri eni dekadi prirastka frekvence, pade za dve dekadi). Amplitudno razmerje max je prav tako odvisno od faktorja dušenja: max K 2.37 2 z 1 z2 Na osnovi enačbe 2.37 definiramo resonančni faktor Qr: Qr max 1 K 2z 1 z2 2.38 Funkcijsko odvisnost Qr = f(z) prikazuje diagram na sliki 29. S pomočjo diagrama lahko iz podatkov resonančnega pojava ugotovimo parametra z in T v prenosni funkciji. Qr 5 4 3 2 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Z Slika 29 55 Nazaj na kazalo Analitična rešitev diferencialne enačbe člena druge stopnje daje v odvisnosti od faktorja dušenja tri značilne oblike prehodne funkcije: z1 b g LMN x t K 1 0 1 1 z2 1 T b e z 0 t sin l t arccos z gIJK 2.39 l 0 1 z2 2.40 z=1 bg b x t K 1 e 0t 1 0 t g 2.41 z1 bg c h b ab B x t K 1 Ae at Be bt A e b ez a ab j 1j a 0 z z2 1 0 z2 2.42 Za z 1 je prehodni pojav v obliki periodičnega nihanja z lastno krožno frekvenco l in upadajočo amplitudo. Za z 1 ima prehodna funkcija aperiodičen potek. Mejni potek med periodičnim in aperiodičnim je pri faktorju dušenja z = 1. Slika 30 prikazuje dva značilna poteka prehodne funkcije. y t z<1 x TL z>1 t Slika 30 56 Nazaj na kazalo Splošna ugotovitev je, da je lastna frekvenca nedušenega sistema 0 merilo za hitrost prehodnega pojava, faktor dušenja z ozirom na resonančni faktor Qr pa definira obliko prehodnega pojava. Pri prehodni funkciji za z 1 definiramo faktor prenihanja: A pr b x max x t x t b g g 2.43 ki je podobno kot resonančni faktor povezan s faktorjem dušenja z. Grafično funkcijsko povezavo Apr = f(z) prikazuje diagram na sliki 31. y A pr 1 0 t x 1 1,0 0,7 0,5 0,4 0,3 0,2 0,14 0,1 0,07 0,05 0,04 0,03 0,02 x max 0 t 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,7 0,01 z Slika 31: Podobno kot iz frekvenčne karakteristike lahko tudi iz prehodne funkcije ugotovimo vse tri parametre v enačbi prenosne funkcije: A pr z b g x t K l 2 1 Tl 1 z 2 T Tl 0 2 Nazaj na kazalo 57 Vse tri značilne frekvence člena drugega reda so med seboj povezane preko faktorja dušenja z: 0 1 - lastna krožna frekvenca nedušenega sistema T r 0 1 2 z 2 - resonančna frekvenca l 0 1 z 2 - lastna krožna frekvenca dušenega sistema in rezultirajo v isto vrednost pri faktorju dušenja z = 0 (teoretična možnost). POVZETEK: V blokovnih predstavitvah regulacijskih sistemov realni tehnični sistem predstavimo v obliki abstraktne blokovne sheme. Za opisovanje dinamičnih lastnosti posameznih komponent kot tudi celotnega regulacijskega kroga se poslužujemo dinamičnih modelov prenosnih funkcij, prehodnih funkcij, frekvenčnih karakteristik in računalniških simulacijskih modelov. Katerega izmed modelov in od tod izhajajočih metod in receptur regulacijske teorije se poslužujemo je odvisno od njihove dostopnosti. Prenosne funkcije in računalniški modeli so vezani na matematični in fizikalni opis komponent. Prehodnih funkcij in frekvenčnih karakteristik pa se običajno poslužujemo ko so v ospredju eksperimentalni postopki. Nazaj na kazalo 58 Vaja 1: Za podane fizikalne sisteme izpelji prenosne funkcije in izračunaj številčne vrednosti konstant v njih. a.) Vzvod b.) Uporovni delilec L1 0.3m R1 10 L 2 0.4m R 2 30 S 200N U1* 2 V S2* 150N U 2* 1.5V * 1 R1 U1 I R 2 U2 c.) Kovinska vzmet d.) Proporcionalni hidravlični ventil k 5 103 N k 102 m3 s 1 / m H* 102 m Q* 0.2 m3 / s m S* 1000N L* 0.1m Rešitev: (Rešitve vaj.pdf) 59 Nazaj na kazalo Vaja 2: Za podane fizikalne sisteme izpelji prenosne funkcije in izračunaj številčne vrednosti konstant v njih. Z računalniško simulacijo konstruiraj pripadajoče frekvenčne karakteristike in prehodne funkcije. a) Električni RC člen b) Mehansko vzmetenje R 20 C 10F k 104 Nm 1 d 104 Nm 1 S* 50N L* 102 m Vhod S Izhod L U1* 2V U 2* 2V Vhod U1 Izhod U 2 c) Pnevmatsko napajanje k 109 m3 Pa 1 r 108 Pasm 3 P1* 105 Pa P2* 105 Pa Vhod P1 Izhod P2 Rešitev: (Rešitve vaj.pdf) Nazaj na kazalo 60 Vaja 3: Za podane sisteme izpelji prenosne funkcije in izračunaj številčne vrednosti konstant prenosnih funkcij. Z računalniškim modeliranjem konstruiraj pripadajoče frekvenčne karakteristike in prehodne funkcije ter ugotovi značilne frekvence 0 , r , l . a) Električni RCL – člen –serijski resonančni krog. R = 140 C = 100 F L = 10 H U1*= U2*= 10V vhod = U1 izhod = U2 ------------------R L U1 U2 C b) Translatorni mehanski sistem: k = 5 Nm-1 d = 25 N/ms-1 m = 125 kg S*= 10 N L*= 0,1 m vhod = S izhod = L ----------------- d k m S1 S3 S2 S L 61 Nazaj na kazalo c) Pogonski rotacijski sistem motor – delovni stroj: J= 14,4 kgm2 k= 1,6 Nm d= 0,365 Nm M* = 10 Nm * = 2 rad ------------------------(s) F(s) ? m(s) Rešitev: (Rešitve vaj.pdf) Samostojno delo: 1. Kaj je stopnja sistema? 2. Ali je frekvenčna karakteristika P-člena funkcija frekvence? 3. Kakšna je prenosna funkcija člena 1. stopnje? 4. Kaj je faktor statičnega ojačanja K? 5. Kaj je lomna frekvenca? 6. Pri katerem faktorju dušenja izkazuje sistem resonančni pojav? 7. Kako sta povezani lomna in resonančna frekvenca? 8. Kaj definira resonančni faktor QT? 9. Kaj predstavlja faktor Apr? 10. Proporcionalni člen: prenosna funkcija, prehodna funkcija, frekvenčna karakteristika. 11. Člen prve stopnje: prenosna funkcija, prehodna funkcija, frekvenčna karakteristika. 12. Člen druge stopnje: prenosna funkcija, prehodna funkcija, frekvenčna karakteristika. 13. Značilni potek prehodnega pojava člena druge stopnje, če je z>1 ali če je z<1? 62 Nazaj na kazalo UČNA SNOV 5. TEDNA: OSNOVNI LINEARNI ČLENI PREOSTALI ČLENI Vsebina 5. tedna obravnava preostale linearne člene in njihove dinamične opise s pripadajočimi dinamičnimi modeli. Ob zaključku poglavja je vključen še značilni nelinearni člen, ki ga pogosto srečujemo v regulacijskih sistemih in ga, v poenostavljeni obliki obravnavamo, kot linearni člen. Nazaj na kazalo 63 2.4.5 Integralni (I) člen Dinamična enačba, ki opisuje člen je integralna enačba: bg xt z 1 ydt Ti 2.44 iz katere ob upoštevanju pravil Laplaceove transformacije izhaja prenosna funkcija: b g xybbssgg sT1 Fs 2.45 i V prenosni funkciji je konstanta Ti integracijska časovna konstanta člena z dimenzijo časa. Iz enačbe prenosne funkcije sledi enačba frekvenčne karakteristike: b g xybb jjgg j1T e F j j i 1 Ti 90 konst. 2.46 Potek frekvenčne karakteristike v obeh značilnih diagramih prikazuje slika 32 (za Ti = 1 s). Nazaj na kazalo 64 45 0 o o -45 o -90 o -135 o -180 o -225 2 10 o -270 o Im 10 1 10 0 Re 10 -1 = 0 -2 10 10 -2 10 -1 10 0 1 10 10 2 Slika 32 Amplitudna karakteristika v Bodejevem diagramu pada, ob naraščajoči frekvenci, z enojno strmino. Pri frekvenci 1 doseže vrednost 1. Integralni člen nima definiranega faktorja statičnega T ojačanja oziroma statične karakteristike. V stacionarnem stanju se nahaja samo takrat, kadar je vhodna veličina enaka nič. Prehodna funkcija integralnega člena je enakomerno naraščajoča funkcija (rampa), ki jo prikazuje diagram na sliki 33. y Y* t x X* Ti t Slika 33 Nazaj na kazalo 65 V poteku prehodne funkcije je definirana integracijska časovna konstanta Ti kot čas, v katerem se spremeni izhodna veličina za svojo osnovno vrednost X*, če se vhodna veličina spremeni skočno z amplitudo osnovne vrednosti Y*. 2.4.6 Diferencialni (D) člen Pri diferencialnem členu je izhodna veličina proporcionalna odvodu vhodne veličine: x Td dy dt 2.47 Pripadajoča prenosna funkcija člena je tako: b g xybbssgg sT Fs 2.48 d Td je diferencialna časovna konstanta člena. Iz enačbe prenosne funkcije sledi enačba frekvenčne karakteristike. b g xybb jjgg jT e F j Td j d 90 konst. 2.49 Izmed do sedaj opisanih členov je to prvi člen s pozitivnim faznim zasukom frekvenčne karakteristike. Potek karakteristike prikazujeta diagrama na sliki 34 (za Td = 1 s). Nazaj na kazalo 66 Slika 34 V Bodejevem diagramu narašča amplitudna karakteristika, ob naraščajoči frekvenci, z enojno strmino. Pri frekvenci, ki je recipročna vrednost časovne konstante 1 / Td je 1 . Prehodna funkcija diferencialnega člena, prikazuje jo slika 35, je iglasti impulz z neskončno veliko amplitudo in neskončno kratkim časom trajanja. Površina impulza je proporcionalna konstanti Td. y t x t 0 t Slika 35 Te matematično ekstremne vrednosti prehodne funkcije dajo slutiti, da v realnosti takšnega člena ne moremo realizirati oziroma analitično opisati z dinamično enačbo 2.47 in prenosno funkcijo 2.48. Zato tako opisani člen imenujemo idealni diferencialni člen. Že v prehodnih poglavjih pri opisu splošne oblike prenosne funkcije smo ugotovili, da je pri realnih fizikalnih sistemih stopnja polinoma imenovalca višja od stopnje polinoma števca, kar potrjuje opisane ugotovitve. Temu členu 67 Nazaj na kazalo se lahko v realnosti le bolj ali manj približamo s členom, ki ga lahko opišemo s podano obliko prenosne funkcije in enačbo frekvenčne karakteristike: b g xybbssgg 1 sTsT Fs d 2.50 ' d b g xybb jjgg 1 jjTT F j d ' d e j Td arctg 1 2 Td'2 1 Td' 2.51 Pogoj je, da je Td Td' . Idealnim razmeram se tem bolj približamo, čim večje je razmerje časovnih konstant Td / Td' . Potek frekvenčne karakteristike (za Td' 1s in Td / Td' 10 ) v obeh značilnih diagramih prikazuje slika 36, na sliki 37 je prikazan potek prehodne funkcije. 45 0 o o -45 -90 o o o -135 -180 10 2 o -225 o -270 o 10 1 Im F (j) 10 0 Td = 10 Td’ =0 Td /T’d Re 10 10 -1 -2 10 -2 10 -1 10 0 1 10 10 2 Slika 36 Nazaj na kazalo 68 x, y Td T’d x y 0 t T’d Slika 37 2.4.7 Diferencialni člen prve in druge stopnje Dva člena, ki nimata realnega fizikalnega ozadja, nastopata le kot samostojna »matematična« člena v sklopu enačbe prenosne funkcije 2.19 sta diferencialni člen prve stopnje in diferencialni člen druge stopnje. Njune prenosne funkcije so recipročne oblike prenosnih funkcij členov prve stopnje in druge stopnje: b g xybbssgg Kb1 sT g Fs 2.52 d b g xybbssgg Kc1 s2zT s T h Fs 2 d 2 d 2.53 Podobno bi veljalo za njihove enačbe frekvenčnih karakteristik in ustrezne grafične poteke. Dobili jih bi z zrcaljenjem karakteristik člena prve in druge stopnje na oseh 1 in 0 . Te člene redkeje srečujemo pri dinamičnem opisu sistema in še to v povezavi z realnimi osnovnimi členi, zato jih tudi podrobneje ne obravnavamo. Nazaj na kazalo 69 Člen z mrtvim časom Člen z mrtvim časom po svojem dinamičnem opisu ne sodi v skupino linearnih členov. Ker pa se v regulacijski praksi pogosto pojavljajo sistemi (transportni sistemi, procesni sistemi), ki izkazujejo lastnost člena z mrtvim časom, jih skušamo vsaj v grobi poenostavitvi predstaviti kot linearne člene, če seveda razmere to dovoljujejo. Člen z mrtvim časom je proporcionalni člen s časom zakasnelega delovanja Tm. Opišemo ga z dinamično enačbo: bg b x t ky t Tm g 2.54 iz katere sledi po transformacijskem postopku »prenosna funkcija«: b g xybbssgg Ke Fs sTm 2.55 in enačba frekvenčne karakteristike: b g xybb jjgg Ke F j K jTm e j 2.56 Tm Potek frekvenčne karakteristike v Nyquistovem diagramu (za K = 1) prikazuje slika 38. Potek je v obliki koncentričnega kroga z radijem . Im -1 - 0 Re F(j) Slika 38 70 Nazaj na kazalo Eksponentni zapis v enačbi 2.55 lahko razvijemo v Maclaurinovo vrsto: bsT g bsT g 2 e sTm 1 sTm m m 2! 3! 3 1 bsT g bsT g 2 1 sTm m m 2! 3! 2.57 3 Običajno so v regulacijskih sistemih vrednosti mrtvih časov Tm majhne. V analitičnem zapisu vrste zato dominirajo prvi členi, tako da lahko vrsto po enačbi 2.57 v poenostavljeni obliki zapišemo: e sTm 1 1 sTm 2.58 ali e sTm 1 2.59 1 1 sTm s2 Tm2 2 Člen z mrtvim časom lahko tako v poenostavljeni obliki obravnavamo kot člen prve ali kot člen druge stopnje. Identičnost potekov frekvenčnih karakteristik v tem primeru velja le za območje nizkih frekvenc, slika 39. Im -1 1 Re F(j) Slika 39: Nazaj na kazalo 71 Členi z mrtvim časom v regulacijskem sistemu, v splošnem slabšajo regulacijske lastnosti. Z konstrukcijskimi prijemi skušamo mrtvi čas Tm zmanjševati in tako izboljšati lastnosti celotnega sistema. Tabela III: Osnovni linearni členi Osnovni člen 1 P-člen Diferencialna enačba x=Ky Prenosna funkcija F(p) = x(s) / y(s) Prehodna funkcija x(t) / K Frekvenčna karakteristika v Nyquistovem diagramu Im 1 K K Re t 2 3 4 1. reda 2. reda I-člen D-člen 5 (idealni) dx T + x = Ky dy d2x T 2 + dx 2zT + x = Ky dy dt 2 1 x= Ti x = Td ydt dy dt Člen z mrtvim časom 1 x = K y (t - T m) w t z<1 K 2 1 + s2zT + s T 2 K 1 z>1 z>1 1 sT i t Ti z<1 w t w sTd t sT d 1 + sT’d D-člen 6 (realni) 7 K=1 K 1 + sT w Td / T’d Td / T’d t -sTm 1 Ke K Tm t w Nazaj na kazalo 72 POVZETEK: Osnovni členi, ki so opisani v tem poglavju so: integralni člen, diferencialni člen, diferencialni člen prve stopnje in diferencialni člen druge stopnje. Slednja dva člena sta samo fiktivna matematična člena, ki pri realnih tehničnih sistemih ne nastopata, kot samostojna člena. Ob zaključku opisa osnovnih členov je predstavljen tudi člen z mrtvim časom. Ta člen ne spada v skupino osnovnih linearnih členov. Ker se pri realnih regulacijskih sistemih pogosto srečujemo s takšnimi dinamičnimi lastnostmi, ga v teoriji linearnih regulacij, v poenostavljeni obliki,obravnavamo, kot člen prve ali druge stopnje. Nazaj na kazalo 73 Vaja 4: Izpelji prenosne funkcije prikazanih pogonskih sistemov – aktuatorjev. a) Predležje stroja z zobniki in zobato letvijo iR= 10 k1= 2 vrtl/minV k2= 0.1 mm/vrt U=* = 100 V X* = 0.5 m ------------------------- x predležje iR miza k2 k1 u R d M b) Cilinder k= 102 m2s-1 D= 10 cm Y* = 5 mm X* = 0.5 m ------------------------X Y k Q Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Nazaj na kazalo 74 Vaja 5: Izpelji prenosno funkcijo sistema vžiga bencinskega motorja. I2 I1 PL SV R 1, L 1 U2 U1 n R 2, L 2 VT PL - platine n - vrtilna hitrost motorske gredi VT - vžigalna tuljava U1 - napetost akomulatorja SV - svečka U 2 - napetost na svečki Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Vaja 6: Izpelji prenosno funkcijo in izračunaj konstante v njej za transporter sipkega materiala. k = 50 kg s-1m-1 v = 5 ms-1 l = 70 m Y*=0.2 m Q*=200 kg s-1 X*=Q* - konstrukcijska konstanta lopute - hitrost transportnega traku - dolžina transporterja y X (kg/s) v M n s Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Nazaj na kazalo 75 Samostojno delo: 1. Integralni člen: prenosna funkcija, prehodna funkcija, frekvenčna karakteristika? 2. Realni diferencialni člen: prenosna funkcija, prehodna funkcija, frekvenčna karakteristika? 3. Od česa je odvisna vrednost integracijske časovne konstante? 4. Kateri člen ima pozitivni zasuk frekvenčne karakteristike? 5. S kakšno strmino narašča amplitudna karakteristika pri I-členu? 6. S kakšno prenosno funkcijo lahko v poenostavljeni obliki opišemo člen z mrtvim časom. Nazaj na kazalo 76 UČNA SNOV 6. TEDNA: LASTNOSTI PRENOSNIH FUNKCIJ IN FREKVENČNIH KARAKTERISTIK V 6. sklopu gradiva so opisani principi povezovanja osnovnih členov in določene metode za načrtovanje, analizo in sintezo dinamičnih modelov prenosne funkcije, prehodne funkcije in frekvenčne karakteristike. 77 Nazaj na kazalo 2.5 Lastnosti prenosnih funkcij in frekvenčnih karakteristik 2.5.1 Zaporedna vezava členov Povežimo n-členov s prenosnimi funkcijami: b g xy bbssgg Fi s i 1, 2, ... n i 2.60 i zaporedoma, slika 40. Predpostavimo, da delujejo členi drug na drugega tako, kot kažejo puščice in da povratnega vpliva ni. To velja le do določene mere, če so členi med seboj impedančno prilagojeni. y1 x 1 = y2 F1 x2 F2 yn Fn xn y1 F0 xn Slika 40: Nadomestna prenosna funkcija F0 (s) je v tem primeru: bg b g n F bsg b g i 1 x s F0 s n y1 s 2.61 i Podobno velja za enačbo nadomestne frekvenčne karakteristike: b g n F b jg e b g i 1 x j F0 j n y1 j b g i 0 n n j 0 F b j g e i i 1 j i 2.62 i 1 Za grafično konstruiranje nadomestne frekvenčne karakteristike zaporedno vezanih členov je bg najbolj primeren Bodejev diagram. V tem diagramu nanašamo amplitudno karakteristiko f 78 Nazaj na kazalo v enojnem logaritemskem merilu. Operacija aritmetičnega množenja frekvenčnih karakteristik se prevede v operacijo grafičnega seštevanja: b g n b g 0 log F0 j log Fi j i 1 2.63 n 0 i i 1 Pri praktičnem delu postopamo tako, da za posamezne zaporedno vezane člene kanstruiramo njihove amplitudne in fazne karakteristike. Rezultirajočo amplitudno frekvenčno karakteristiko 0 dobimo s seštevanjem vrednosti posameznih amplitudnih karakteristik pri določeni frekvenci. Pri tem vrednosti 1 ¸upoštevamo s pozitivnim predznakom, vrednosti 1 upoštevamo z negativnim predzankom. Podobno postopamo pri konstruiranju rezultirajoče fazne karakteristike 0 , mejna linija je 0 . Pri postopku seštevanja upoštevamo fazne zasuke 0 s pozitivnim predznakom, fazne zasuke 0 z negativnim predznakom. Na sliki 41 je prikazan postopek konstruiranja rezultirajoče frekvenčne karakteristike za zaporedno vezavo členov, prikazano na blokovni shemi. K b g b g b g b g 1 sTi F0 j F1 j F2 j F3 j K 1 1 jTi 1 jTi K7 Ti 0,5 s Ti 2 s 1 1+sTi Npr. pri frekvenci 10 s1 je rezultirajoča vrednost fazne karakteristike W'': W'' = 0 – B – C in amplitudne karakteristike W' W' = a – b – c Nazaj na kazalo 79 3 10 o 0 1 2 C 3 2 o -90 0 0 101 7 o -135 W“ o -180 1 = F1 2 = F2 0 10 -45 B 10 o a o -270 3 = F3 c b -1 10 W’ 01= 0,5 02 = 2 -2 10 -2 10 -1 10 0 10 101 2 10 Slika 41 Postopek ponovimo za dovolj veliko frekvenc, tako da dobimo dovolj točk rezultirajoče frekvenčne karakteristike. Iz stališča regulacijske teorije je zaporedna vezava členov še posebej zanimiva, saj večina zaključenih sistemov vodenja lahko ponazorimo s takšno vezavo in so nadomestne prenosne bg b g funkcije F0 s in frekvenčne karakteristike F0 j ustrezni analitični oziroma grafični dinamični modeli pri postopkih analize in sinteze regulacijskih sistemov. Nazaj na kazalo 80 2.5.2 Vzporedna vezava členov Pri vzporedni vezavi členov deluje na vse člene ista vhodna veličina y, skupni izhod x je vsota izhodov iz posameznih členov: Blokovno shemo vzporedne vezave prikazuje slika 42. F1 x1 y F2 x2 x xn Fn Slika 42: bg Nadomestna prenosna funkcija vzporedne vezave členov F0 s , ki podaja zvezo med skupnim izhodom x in skupnim vhodom y je tako: b g xybbssgg F bsg F0 s n 2.64 i i 1 y yi n x xi i 1 Enako velja za enačbo nadomestne frekvenčne karakteristike: b g bb gg n x j F0 j Fi j 0e j 0 y j i 1 b g 2.65 V regulacijski tehniki se manj pogosto srečujemo z vzporedno vezavo členov. Značilni primer vzporedne vezave so kombinirane vrste regulatorjev. Praviloma se v regulacijski teoriji, v teh primerih, ne uporablja grafičnih postopkov konstruiranja rezultirajoče frekvenčne karakteristike b g F0 j in od tod izhajajočih metod analize in sinteze regulacijskih sistemov. 81 Nazaj na kazalo 2.5.3 Metode hitre analize frekvenčnih karakteristik, prenosnih funkcij in prehodnih funkcij Pri opisu osnovnih linearnih členov je bila poudarjena povezava in možnost prehoda iz enega v drugi dinamični model: prenosno funkcijo, prehodno funkcijo ali frekvenčno karakteristiko. Enako velja tudi za sisteme, ki se dajo predstaviti, kot kombinacija osnovnih členov. V kolikor nam ne gre za eksaktne opise, temveč le za orientacijsko kvalitativno analizo, obstajajo določene metode za hitro analizo. S temi metodami pridemo, iz znanega dinamičnega modela, do orientacijskih podatkov in strukture obravnavanega sistema. 2.5.3.1 Analiza krivulj frekvenčnih karakteristik Pri opisu splošne oblike prenosne funkcije po enačbi 2.18 je bilo rečeno, da je pri realnih sistemih stopnja sistema n k . Stopnjo sistema lahko ugotovimo tudi iz poteka frekvenčne karakteristike pri frekvencah, ki gredo : bg lim F s lim K s s j s c 1 1 c1s...... c k sk K k n k n dn s 1 d 1s...... d n s b g lim F j K 2.66 1 1 ck n k nk d n j Ti j b g b g n k e j 2.67 Iz podobnosti z enačbo frekvenčne karakteristike integralnega člena lahko ugotovimo: 0 b gFGH 2 IJK nk 2.68 Nazaj na kazalo 82 Slika 43 prikazuje nekaj značilnih potekov frekvenčnih karakteristik sistema 2., 4., 7. stopnje. Im Im Im = ali = Re = ali Re Re n-k = 4 n-k = 2 n-k = 7 Slika 43 Frekvenčne karakteristike se pri zaključujejo v koordinatnem izhodišču tangencialno na koordinatno os iz katere ugotovimo stopnjo sistema. Prisotnost integralno delujočih členov v strukturi sistema lahko ugotovimo iz poteka frekvenčne karakteristike sistema, pri nizkih frekvencah 0 : bg lim F s s 0 s j 1 c1s...... c k sk 1 m m m m n T s T s 1 d 1s...... d n s c h b g lim F j 0 1 T m b jg m e j 2.69 2.70 Tudi v tem primeru lahko iz podobnosti z enačbo frekvenčne karakteristike integralnega člena sklepamo: 0 FG IJ H 2K m 2.71 da gre pri nizkih frekvencah proti neskončnosti, fazni zasuk pa tolikokrat po -90 , kolikor je integralnih členov v strukturi sistema. Značilni potek frekvenčne karakteristike za sistem z enojnim in dvojnim integralno delujočim členom prikazuje slika 44. Nazaj na kazalo 83 Im Im 0 = = 0 = Re Im Re Re 0 Slika 44 Iz frekvenčne karakteristike člena druge stopnje lahko odčitamo resonančni faktor Qr in resonančno frekvenco r . Pojem resonančnega faktorja in resonančne frekvence lahko razširimo tudi na sisteme višje stopnje, ki imajo v poteku frekvenčne karakteristike izražen resonančni pojav. Taki sistemi nihajo ob prehodnem pojavu s frekvenco, ki je tem bliže resonančni frekvenci, čim bolj je izrazito resonančno mesto v poteku karakteristike, slika 45. Im = Re Qr r Slika 45 Nazaj na kazalo 84 2.5.3.2 Analiza specifičnih potekov prehodne funkcije Pri zaporedni vezavi dveh členov prve stopnje s podanima prenosnima funkcijama, slika 46. x 1 = y2 y1 bg F1 s x2 bg K1 1 sT1 F2 s K2 1 sT2 Slika 46 ima nadomestna prenosna funkcija obliko prenosne funkcije člena druge stopnje: bg F0 s bg bg x2 s K1 K 2 y1 s 1 s T1 T2 s2 T1 T2 b 2.72 g od koder je faktor dušenja z T1 T2 1 2 T1 T2 2.73 zato ima prehodna funkcija vedno aperiodičen potek. Enako bi ugotovili, če bi imeli zaporedno vezanih večje število členov prve stopnje. Značilne poteke prehodnih funkcij za večje število zaporedno vezanih členov prve stopnje prikazuje slika 47. x n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 t T1 Slika 47 85 Nazaj na kazalo Takšne poteke prehodnih funkcij pogosto srečujemo pri procesnih sistemih (energetski sistemi, toplotni sistem, kemijski procesi itd.). Takšen sistem lahko aproksimiramo z zaporedno vezavo člena z mrtvim časom in člena prve stopnje, saj lahko potek prehodne funkcije v grobi aproksimaciji nadomestimo s prehodno funkcijo člena z mrtvim časom in člena prve stopnje, kot je to prikazano na sliki 48. x T’ - Ky 100 % y y x x e Tm’ - p mT ’ K 1+pT’ t Slika 48 2.5.3.3 Prehodno in stacionarno stanje sistema Odziv sistema x(t) na vhodno veličino y(t) ob poznani prenosni funkciji sistema izračunamo iz enačbe: bg bg bg xs Fsys 2.74 s postopkom inverzne transformacije bg m b g b gr x t L1 F s y s 2.75 Nakazan pot ugotavljanja odziva sistema je praviloma matematično zahtevna in za inžinersko prakso manj primerna, še posebej, če gre za nestandardne rešitve enačbe 2.74. Dobimo pa z nakazano rešitvijo odgovor o obnašanju sistema tako v prehodnem kot tudi v stacionarnem stanju. Pogosto nas zanimajo le stacionarne razmere sistema. Hitreje in enostavneje izračunamo to stanje, če uporabimo stavek o končni vrednosti funkcije, znan iz teorije Laplaceove transformacije. Na ta način se izognemo zamudni in pogosto zahtevni inverzni transformaciji. Stavek o končni vrednosti funkcije se glasi: 86 Nazaj na kazalo b g bg bg x t lim s F s y s s 0 2.76 Z uporabo stavka o končni vrednosti funkcije bi ugotovili, da sistem, ki vsebuje integralno delujoče člene doseže stacionarno stanje le tedaj, ko je vhodna veličina nič. To pa je bilo povedano tudi pri opisu integralnega člena. Povzetek: Povezovanje osnovnih dinamičnih členov v strukturo za opis dinamičnih lastnosti poljubnega tehničnega sistema temelji na dveh osnovnih principih povezovanja: zaporedni vezavi členov in vzporedni vezavi členov. Za zaporedno vezavo velja matematični princip množenja prenosnih funkcij in frekvenčnih karakteristik, za vzporedno vezavo pa seštevanje le teh. Grafična metoda množenja frekvenčnih karakteristik za zaporedno vezavo členov preide v Bodejevem diagramu, ki je risan v logaritemskem merilu v metodo grafičnega seštevanja. Tega postopka se pogosto poslužujemo v regulacijski teoriji, kjer se predvsem srečujemo z zaporedno vezavo členov. Za hitro analizo dinamičnih lastnosti tehničnih sistemov in tudi regulacijskih sistemov se pogosto poslužujemo metod analize krivulj frekvenčnih karakteristik (servoregulacije) in prehodnih funkcij (procesne regulacije), kjer lahko na sorazmerno preprost način ugotovimo določene lastnosti obravnavanega sistema. Nazaj na kazalo 87 Vaja 7: Konstruiraj razultirajočo frekvenčno karakteristiko za sistem na podani blokovni shemi. F1 4 , F2 1 1 , F3 2 1 0.7s 0.25s 5s , F4 0.6 1 2s x4 y1 F1 F3 F2 F4 Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) 88 Nazaj na kazalo Vaja 8: Za fizikalne sisteme so bili eksperimentalno ugotovljeni poteki frekvenčnih karakteristik. Ugotovi stopnjo sistema in morebitno prisotnost integralno delujočih členov ter napiši načelno obliko prenosnih funkcij. Im Im F = (j) Re Re F = (j ) Im Im F = (j ) F = (j ) Re Re Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Vaja 9: Za sistem s podano prenosno funkcijo ugotovi stacionarno vrednost prehodne funkcije, če je amplituda enotine funkcije z vrednostjo 3. b g b1 2s4gcb11 33ssg 5s h Fs 2 Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Nazaj na kazalo 89 Samostojno delo: 1. Nadomestna prenosna funkcija zaporedno vezanih členov. 2. Nadomestna prenosna funkcija člena z mrtvim časom. 3. Zaporedna vezava členov- nadomestna prenosna funkcija ali enačba frekvenčne karakteristike. 4. Vzporedna vezava členov- nadomestna prenosna funkcija ali enačba frekvenčne karakteristike. 5. Uporabnost Bodejevega diagrama za prikaz frekvenčne karakteristike. Nazaj na kazalo 90 UČNA SNOV 7. TEDNA: OSNOVE TEORIJE LINEARNIH REGULACIJ PRENOSNE FUNKCIJE REGULACIJSKIH SISTEMOV V 7. sklopu gradiva so predstavljeni osnovni algoritmi za postopke analize in sinteze regulacijskih sistemov. Podani so postopki, metode in navodila poenostavljanja regulacijskih blokovnih shem. Nazaj na kazalo 91 3. OSNOVE TEORIJE LINEARNE REGULACIJE 3.1 Prenosne funkcije regulacijskih sistemov 3.1.1 Regulacijski krog z neposredno povratno zvezo Iz načelne blokovne sheme regulacijskega sistema na sliki 5 vidimo, da se v negativni povratni zvezi nahaja merilni člen, ki informacijo o dejanski vrednosti izhodne veličine vodenja x posreduje primerjalnemu členu. V mnogih izvedbah regulacijskih sistemov ima merilni člen dinamične lastnosti proporcionalnega člena. V teh primerih lahko blokovno shemo, prikazano na sliki 49 z xž FR (S) x FS (S) FM (S ) = KM Slika 49 preoblikujemo v blokovno shemo z neposredno povratno zvezo ter upoštevamo, kot želeno veličino xž', namesto xž. Preoblikovano blokovno shemo prikazuje slika 50. z xž 1 KM x’ž FR(S).KM FS(S) x Slika 50 Nazaj na kazalo 92 Takšno »matematično« preoblikovanje blokovne strukture regulacijskega kroga je pod navedenimi pogoji smiselno, ker so nanj vezane določene analitične in grafične metode analize in sinteze regulacijskih sistemov. V nadaljni obravnavi jo bomo predstavili v obliki prikazani na sliki 51. z xž F2(S) F1(S) x Slika 51 Prenosna funkcija odprtega regulacijskega sistema: Prekinimo regulacijski krog na kateremkoli mestu v zanki in poiščimo negativno razmerje med veličino in veličino na mestu prekinitve. Iz načela zaporednega povezovanja členov je prenosna funkcija odprtega regulacijskega kroga: bg F0 s b g b g bb gg xs F1 s F2 s xz s 3.77 Prenosna funkcija odprtega ragulacijskega kroga v tem primeru predstavlja tudi razmerje med izhodno x in želeno xž veličino vodenja. Prenosna funkcija odprtega regulacijskega kroga za motnjo: Prekinimo regulacijski krog, kot prikazuje slika 51 in poiščimo razmerje med izhodno veličino vodenja in motilno veličino, ki deluje na določenem mestu v regulacijskem sistemu: b g xzbbssgg F bsg FM s 3.78 2 To prenosno funkcijo imenujemo prenosno funkcijo odprtega regulacijskega kroga za motnjo. 93 Nazaj na kazalo Prenosna funkcija zaključenega regulacijskega kroga: Izhodiščna enačba, ki povezuje izhodno veličino vodenja x in želeno veličino xž pri sklenjeni negativni povratni zvezi ob upoštevanju načela zaporedne vezave členov se glasi: x(s) (s)F1 (s)F2 (s) (x z (s) x(s))F1 (s)F2 (s) 3.79 S preoblikovanjem enačbe 3.79 tako, da izrazimo razmerje med izhodno veličino x in želeno veličino vodenja xž, dobimo prenosno funkcijo zaključenega regulacijskega sistema: b g xxbbssgg 1 F FbsbgsFgFbsbgsg 1 F Fbsbgsg Hs 1 z 2 1 0 2 3.80 0 Prenosna funkcija zaključenega regulacijskega kroga za motnjo: Delovanje motilne veličine z na izhodno veličino vodenja x v zaključenem regulacijskem sistemu opisuje enačba: bg bg bg bg bg bg x s z s F2 s x s F1 s F2 s 3.81 iz katere je izpeljana prenosna funkcija zaključenega regulacijskega kroga za motnjo, ki podaja razmerje med izhodno veličino vodenja x in motilno veličino z pri sklenjeni povratni zvezi: b g xzbbssgg 1 FFbsbgsFg bsg 1 F Fbsbgsg HM s 2 1 3.1.2 M 2 3.82 0 Regulacijski krog s posredno povratno zvezo Kot je bilo že povedano, se v negativni povratni zvezi regulacijskega sistema nahaja merilni člen s svojimi dinamičnimi lastnostmi. V kolikor je opis dinamičnih lastnosti merilnega člena drugačen od proporcionalnega člena, ga sicer lahko po matematičnih pravilih s transformacijskimi postopki upoštevamo v direktni veji in tako dobimo blokovno shemo sistema z direktno povratno zvezo, vendar nastopijo v tem primeru določene težave pri izražanju želene veličine xž. Smiselno je v tem primeru blokovno strukturo regulacijskega sistema ohraniti v prvotni obliki, kot to prikazuje slika 52. 94 Nazaj na kazalo z xž F2 F1 x F3 Slika 52 Osnovni algoritmi povezovanja veličin xž, x in z se tako spremenijo v primerjavi z izrazi v enačbah 3.77 do 3.82. Prenosna funkcija odprtega regulacijskega kroga: Prekinimo zaključeni regulacijski krog na kateremkoli mestu in poiščemo negativno razmerje med veličino in veličino na mestu prekinitve. Iz pravila zaporedne vezave členov v regulacijskem krogu sledi: bg F0 s F1 s F2 s F3 s bg bg bg 3.83 Za regulacijski krog s posredno povratno zvezo prenosna funkcija odprtega regulacijskega kroga ne podaja več razmerja med regulirano veličino x in želeno veličino xž. Prenosna funkcija odprtega regulacijskega kroga za motnjo: Prenosna funkcija odprtega regulacijskega kroga za motnjo podaja razmerje med izhodno veličino vodenja x in motilno veličino z pri prekinjeni povratni zvezi. Za regulacijski krog na blokovni shemi slike 52 je tako: b g xzbbssgg F bsg FM s 3.84 2 Nazaj na kazalo 95 Prenosna funkcija zaključenega regulacijskega kroga: Na osnovi izhodiščne enačbe povezovanja veličin x in xž: b g b g b g b g c b g b g b gh b g b g x s s F1 s F2 s x z s x s F3 s F1 s F2 s 3.85 sledi prenosna funkcija zaključenega kroga: b g xxbbssgg 1 FFbbssggFFbbssggF bsg 1F Fbbssgg Hs 1 z DV 2 1 2 3 3.86 0 V števcu prenosne funkcije zaključenega regulacijskega kroga imamo, v tem, primeru nadomestno prenosno funkcijo direktne veje regulacijskega kroga. Prenosna funkcija zaključenega regulacijskega kroga za motnjo: Tudi do te prenosne funkcije pridemo na osnovi izhodiščne enačbe, ki povezuje veličini x in z: bg bg bg bg bg bg bg x s z s F2 s x s F3 s F1 s F2 s 3.87 iz katere sledi: b g xzbbssgg 1 F bsFgFbsbgsgF bsg 1 F Fbsbgsg HM s 2 3 M 1 2 3.88 0 Za izpeljane oblike prenosnih funkcij zaključenih regulacijskih sistemov je značilen izraz bg imenovalca 1 F0 s . Imenujemo ga karakterističen izraz, oziroma izražen v obliki enačbe karakteristična enačba. Na osnovi rešitve te enačbe lahko damo odgovor na enega izmed ključnih vprašanj dinamičnega obnašanja regulacijskega sistema, to je problema stabilnosti. Dobljene enačbe odprtih in zaključenih regulacijskih sistemov za sisteme z direktno in posredno povratno zvezo so osnovni analitični algoritmi na katerih temeljijo v nadaljevanju opisane metode analize in sinteze zaključenih regulacijskih sistemov. 3.2 Poenostavljanje blokovnih shem regulacijskih sistemov Kot je bilo že povedano, lahko vsak fizikalni sistem predstavimo kot kombinacijo osnovnih linearnih členov pri čemer pri analitičnem opisu dinamičnega obnašanja fizikalnega sistema s 96 Nazaj na kazalo pomočjo prenosnih funkcij upoštevamo matematična pravila povezovanja. Mnogokrat imamo opraviti s sistemi, ki zaradi fizikalnega principa delovanja vsebujejo eno ali več internih povratnih zvez, ki se lahko tudi med seboj prepletajo. Z uvedbo glavne povratne zveze, ki daje celotnemu sistemu lastnost regulacijskega sistema vodenja, se pri postopkih analize in sinteze ne moremo neposredno poslužiti enačb, ki so bile izpeljane v predhodnem poglavju, temveč je potrebno takšno večzančno blokovno shemo najprej preoblikovati v obliko s samo eno povratno zvezo. Poti poenostavljanja blokovnih shem je več, vse morajo upoštevati eksaktna matematična pravila, razlikujejo se samo po tem kako hitro in s koliko truda pri računanju pridemo do rešitve. Kot primer si poglejmo izračun karakterističnih prenosnih funkcij večzančnega ragulacijskega sistema prikazanega na blokovni shemi slike 53. 1 xž 2 F5 (S) F1 (S) 3 4 F2 (S) 5 F3 (S) x 6 F4 (S) Slika 53 Metoda 1: Regulacijski krog opišemo s sistemom linearnih transformacijskih enačb in s postopnim izločanjem vmesnih spremenljivk poiščemo zančne povezovalne enačbe sistema: 1 5 F5 5 4 F2 2 x z 1 6 xF4 3 2 F1 x 5 F3 F0 x F1F2 F3 x z 1 F2 F3 F4 F1F2 F5 4 3 6 Metoda 2: Blokovno shemo transformiramo tako, da dobimo ekvivalentno shemo, pri kateri posamezne regulacijske zanke med seboj niso več prepletene, temveč je vzpostavljena medsebojna hierarhija. Pri poenostavljanju posameznih regulacijskih zank upoštevamo enačbe izpeljane za zaključene regulacijske sisteme. Preoblikovano blokovno shemo prikazuje slika 54; vmesna poenostavljena oblika je prikazana na sliki 55. 97 Nazaj na kazalo 1 F3 F5 xž F2 F1 x F3 F4 Slika 54 F24 H ' ' FDV F2 F3 ' 1 F0 1 F2 F3 F4 xž F5 1 F3 F1 F24 x Slika 55 F2 F3 F F1F24 F1F2 F3 1 F2 F3 F4 F0 H ' ' '' 1 1 F0 1 F F 1 F 1 F F2 F3 F5 1 F2 F3 F4 F1F2 F5 1 24 5 1 1 F2 F3 F4 F3 F3 F1 '' DV Metoda 3: Pri poenostavljanju uporabljamo matematične recepte, ki temeljijo na izpeljanih enačbah za zaključene regulacijske sisteme. Uporaba receptov zahteva jasno interpretacijo regulacijske blokovne sheme. F FDV ( med I in V ) I V 1 F0' F0'' F0''' ...... 3.89 F0' , F0'' , F0''' .... prenosne funkcije notranjih odprtih regulacijskih krogov 98 Nazaj na kazalo Za blokovno shemo na sliki 53 dobimo ob upoštevanju enačbe 3.89 prenosno funkcijo odprtega regulacijskega kroga F0 . F0 x F1F2 F3 x z 1 F2 F3 F4 F1F2 F5 Nazaj na kazalo 99 V tabeli IV je prikazanih nekaj standardnih pravil za poenostavljanje blokovnih shem. Tabela IV: Transformacija blokovnih shem Pravilo Zaporedna vezava Osnovna blokovna Ekvivalentna shema blokovna shema y F1 y x F2 Enačba x F1 F2 x F1F2 y členov y Posredna pov. zveza y x F1 x F1 1 F1 F2 x F2 y Paralelna vezava + F1 y x x F1 F2 x ( F1 F2 ) y F2 Odstranitev člena iz y x F1 povratne vezave y 1F 2 y + F1 paralelne vezave y zveze pred člen x Prestavitev povratne y x y y x F1 sum. y + F1 y y mesta za člen x y Premaknitev pov. zveze sum. y x y x F1 1 F 1 x y z F1 z + x F1y 1 F 1 z sum. x + x F1 ( y z) + y pov. zveze za sum. mesto y y + x F1y z x F1 x + x z z x y z z mesto Premaknitev x F1y 1 x mesta pred člen x F1 y pred x ( F1 F2 ) y F1 x F1 y 1 F1F2 + x F1 F 2 F2 x F1 y zveze za člene Prestavitev x F2 Prestavitev povratne Prestavitev x F1 F2 F2 Odstranitev člena iz F1 y 1 F1F2 y x y z x + x y z z 100 Nazaj na kazalo Povzetek: V tem poglavju je predstavljenih osem algoritmov prenosnih funkcij za regulacijski sistem z direktno in posredno povratno zvezo in sicer: prenosna funkcija za odprt regulacijski sistem, prenosna funkcija zaključen regulacijski sistem, prenosna funkcija odprt regulacijski sistem za motnjo in prenosna funkcija zaključen regulacijski sistem za motnjo. S pomočjo teh algoritmov analitično obvladujemo medsebojne povezave med tremi ključnimi veličinami regulacijskega sistema: želeno veličino, regulirano veličino in motilno veličino. Ob zaključku poglavja so predstavljene metode preoblikovanja regulacijskih blokovnih shem s pomočjo navedenih algoritmov. Nazaj na kazalo 101 Vaja 10: Laboratorijska vaja Za električne člene obravnavane v vajah 1, 2 in 3: a) določite parametre v prenosnih funkcijah (na osnovi številčnih vrednosti upornosti, kapacitivnosti in induktivnosti, ki jih ugotovite na laboratorijskih modelih), b) narišite načelne poteke prehodnih pojavov, c) eksperimentalno posnamite prehodne pojave, d) izračunajte konstante prenosnih funkcij na osnovi eksperimentalno posnetih prehodnih pojavov, e) izdelajte računalniške modele za simulacijo prehodnih pojavov posameznih členov, f) primerjajte rezultate dobljene v točkah a), c), d), in e), ter jih komentirajte, g) izdelajte seznam uporabljene laboratorijske opreme. Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Nazaj na kazalo 102 Vaja 11: Laboratorijska vaja Za pnevmatski servosistem: a) Izračunaj prenosno funkcijo sistema a1 za togo povezavo ročica - zaslonka a2 za elastično povezavo ročica - zaslonka b) Ekspirimentalno posnami prehodno funkcijo b1 za togo povezavo ročica - zaslonka b2 za elastično povezavo ročica - zaslonka opomba: dodati vztrajnostne mase in spreminjati dušenje c) Eksperimentalno posnami frekvenčno karakteristiko za sistem s togo povezavo ročica zaslonka d) Komentiraj dobljene rezultate točk a, b, c i - izhod Q x Q0 y sredina x v - vhod Qi Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Nazaj na kazalo 103 Vaja 12: Laboratorijska vaja Eksperimentalna analiza krmiljenega usmernika v funkciji močnostnega ojačevalnika v regulacijskem sistemu. a) Ugotovi vrednost konstant v prenosni funkciji v delovni točki delovanja U 90 V b) Ugotovi vrednost močnostnega ojačenja v delovni točki delovanja U 90 V in moči na izhodnem bremenu P 3 kW . c) Izdelaj popis laboratorijske opreme U Uk IN T1 T2 U= D1 Uk U= D2 U Ik A Ub Uk V U= Rb Y Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Nazaj na kazalo 104 Vaja 13: Laboratorijska vaja Eksperimentalna analiza tranzistorskega P in PI regulatorja a) Izpelji splošne oblike prenosnih funkcij in izrazi konstante v njih za obe vrsti regulatorja ter nariši načelne poteke prehodnih funkcij. b) Za laboratorijski regulator pri določeni nastavitvi ugotovi vrednost upornosti in kapacitivnosti ter izračunaj številčne vrednosti konstant prenosnih funkcij. c) Eksperimentalno posnemi prehodne funkcije obeh tipov regulatorjev ter iz prehodnih funkcij ugotovi vrednosti konstant prenosnih funkcij. d) Komentiraj primerjalne rezultate točk b) in c) e) Izdelaj popis uporabljene laboratorijske opreme. P – regulator PI – regulator Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Nazaj na kazalo 105 Za podane regulcijske blokovne sheme izpelji prenosne funkcije F0 , Fm , H in H M . Vaja 14: a) z xž F2 F1 F4 F3 x b) F4 z xž F2 F1 x F3 c) z xž F1 F3 F2 F4 x Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Nazaj na kazalo 106 Vaja 15: Za podano regulacijsko blokovno shemo izračunaj prenosno funkcijo zaključenega regulacijskega kroga H. F5 = 2 xž x F1 = 3 2 F2 = 1+3s F3 = 1 4s F4 = 4 1+2s F6 = 7 Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Samostojno delo: 1. Osnovne prenosne funkcije za regulacijski krog s posredno povratno zvezo. 2. Osnovne prenosne funkcije za regulacijski krog z neposredno povratno zvezo. 3. Oznaka prenosne funkcije odprtega regulacijskega kroga, zaprtega regulacijskega kroga. 4. Kaj pomenijo oznake F0' , F0'' , F0''' .... ? 5. Pojasni pomen neposredne veje? 6. Pojasni pomen (s)? 7. Pojasni pomen Hm? Nazaj na kazalo 107 UČNA SNOV 8. TEDNA: OSNOVE LINEARNIH REGULACIJ - STABILNOST REGULACIJSKEGA SISTEMA IN OSNOVNE METODE LEGE KORENOV Potencialna nestabilnost regulacijskega sistema vodenja je ena izmed ključnih slabosti tega načina vodenja. V tem tednu je predstavljena analitična metoda določanja stabilnosti iz katere izhaja osnovni stabilnostni pogoj regulacije. Predstavljene so tudi analitične in grafične metode za določanje, ne samo osnovne stabilnosti, temveč tudi kvalitete stabilnosti regulacijskega sistema. Nazaj na kazalo 108 3.3 Stabilnost regulacijskega sistema 3.3.1 Definicija stabilnosti Uvodoma je bilo povedano, da sistem vodenja po zaprtozančnem načelu poleg dobrih lastnosti vsebuje tudi določene slabosti. Ključna slabost regulacijskega sistema je potencialno nestabilno delovanje. Do nestabilnega delovanja pride vedno takrat, ko se spremeni predznak povratne zveze iz negativnega v pozitiven. Vzrok spremembe predznaka povratne zveze so neugodne zakasnitve delovanja posameznih regulacijskih členov, ki so v dinamičnih opisih prenosnih funkcij predstavljene s časovnimi konstantami. Prehodno stanje izhodne veličine vodenja x, slika 56, je posledica delovanja spremenljivih motilnih veličin z, ali spremenljive želene veličine xž. Sistem bomo označili kot stabilen tedaj, ko bo vsaka omejena vhodna veličina (xž, z) povzročila omejeno izhodno veličino (x). (BIBO stabilnost: Bounded Input Bounded Output). Linearni sistem (z upoštevanjem začetnih pogojev) je BIBO stabilen takrat, ko bo za vsak M 0 obstojal N 0 , tako da bo veljalo: bg xz t M bg za t 0 bg xt N za t 0 3.90 zt M Značilni potek izhodne veličine vodenja x iz katerega ugotavljamo stabilno oziroma nestabilno delovanje ragulacijskega sistema prikazuej diagram na sliki 57. xž , Z 2 x 1 1 - stabilni regulacijski krog 2 - regulacijski krog na meji stabilnosti 3 - nestabilni regulacijski krog 3 t Slika 57 Regulacijski krog je torej stabilen takrat, ko regulirana veličina po končanem prehodnem pojavu vsled delovanje spremenljivke želene xž ali motilne veličine z zavzame neko konstantno vrednost. 109 Nazaj na kazalo V nasprotnem primeru je regulacijski sistem nestabilen. Vmesni primer je meja stabilnosti, ko sistem niha neskončno dolgo časa s konstantno amplitudo periodičnega nihanja. 3.3.2 Osnovni stabilnostni pogoj Za lažje razumevanje bo problematika stabilnosti obravnavana na regulacijskem sistemu vodene b g regulacije x z konst. prikazanem na blokovni shemi slike 58. xž x1 F1 = K 1 x2 F2 = K2 1+sT2 x K3 F3 = 1+s2zT + s2 T 2 3 3 Slika 58 Če bi ubrali »klasično« pot analize dinamičnega obnašanja regulacijskega sistema, bi kot izhodiščni dinamični opis uporabili sistem med seboj povezanih dinamičnih enačb: b x1 K1 K1 x z x g dx 2 T2 x 2 K 2 x1 dt 3.91 d 2 x 2 dx T3 2 zT3 x K 3 x 2 dt 2 dt Ob upoštevanju matematičnih pravil reševanja sistema dinamičnih enačb, bi dobili naslednjo načelno rešitev sistema: bg b x t C1 C 2 e at C 3e bt sin ct g 3.92 V enačbi 91 so: C1 , C2 , C3 , odvisni od začetnih pogojev a, b, c odvisni od K1 , K 2 , K 3 , T2 , T3 , z 110 Nazaj na kazalo Kot vidimo iz enačbe 3.91 je potek izhodne veličine vodenja x »sestavljen« iz konstantnega dela kateremu je suponiran eksponencialni del in periodično nihanje s eksponencialno spremenljivo amplitudo. Pri pozitivnih vrednostih koeficientov a in b prispevek eksponencialnega dela in amplituda periodičnega nihanja s časom naraščata kar je značilno za nestabilno regulacijo. Če sta oba koeficienta a in b enaka nič, je konstantnemu delu rešitve suponirano periodično nihanje s konstantno amplitudo. Takšen potek regulirane veličine srečamo pri mejni stabilnosti regulacijskega sistema. Negativna vrednost koeficientov a in b ima za posledico časovno usihanje eksponencialnega dela rešitve in upadanje amplitude periodičnega dušenega nihanja, kar pa je značilno za stabilni regulacijski sistem. Koeficient c definira frekvenco periodičnega nihanja regulirane veličine x. Kot je iz rešitve po enačbi 3.91 vidno so koeficienti a, b in c odvisni od parametrov v dinamičnih enačbah oz. prenosnih funkcijah, zatorej le ti neposredno vplivajo na stabilnost sistema. Nakazana pot ugotavljanja stabilnosti je matematično povsem korektna vendar za inžinersko rabo pogosto neprikladna, ker je matematični postopek prezahteven. Do vrednosti koeficientov a, b in c lahko pridemo tudi z reševanjem karakteristične enačbe, ki jo dobimo iz imenovalca prenosne funkcije zaključenega regulacijskega sistema: bg 1 F0 s 0 3.93 V obravnavanem primeru se karakteristična enačba glasi: bg bg bg 1 F1 s F2 s F3 s 0 1 K1 K3 K2 0 (1 sT2 ) (1 s 2 ztT3 s 2T32 ) 3.94 iz katere sledi karakteristični polinom: b1 sT gc1 s2zT s T h K K K 2 2 3 c 2 3 h b 1 2 3 0 3.95 g 3.96 s3T2 T33 s2 2 zT2 T3 T33 s T2 2 zT3 K1K 2 K 3 1 0 Rešitev polinoma tretje stopnje ima tri korene: Nazaj na kazalo 111 s1 a s2 , 3 b jc 3.97 Kot vidimo sta koeficienta a in b, ki usodno vplivata na stabilnost sistema realni del korenov karakterističnega polinoma, koeficient c, ki definira frekvenco periodičnega nihanja regulirane veličine je imaginarni del rešitve polinoma. Iz ugotovitve obdelane analize sledi osnovni stabilnostni pogoj regulacijskega sistema: Regulacijski sistem je stabilen, če so realni koreni karakteristične enačbe negativnega predznaka. Korene karakteristične enačbe grafično ponazarjamo v kompleksni ravnini. Za poljubni regulacijski sistem prikazuje položaj korenov diagram na sliki 59. Im s4 s7 s2 s 1,s 2, s 3 - stabilna regulacija s6 s1 s8 s3 s4 , s5 Re - meja stabilnosti s6 , s7 , s8 - nestabilna regulacija s5 Slika 59 Iz znanega položaja korenov karakteristične enačbe prav tako sklepamo na stabilnost regulacijskega sistema. Pri stabilni regulaciji morajo koreni ležati na levi strani kompleksne ravnine. Poleg osnovne stabilnosti pa lahko iz položaja korenov v kompleksni ravnini sklepamo tudi na kvaliteto stabilnosti pri postopkih poglobljene analize regulacijskih sistemov ali pa s spremembo položaja korenov vplivamo na strukturo in obnašanje regulacijskega kroga pri postopkih sinteze. Metodo, ki kot izhodišče analize ali sinteze regulacijskega sistema uporablja položaj korenov karakteristične enačbe v kompleksni ravnini imenujemo metodo lega korenov (Root Locus Method). 112 Nazaj na kazalo 3.3.3 Absolutno in relativno dušenje regulacijskega sistema »Matematični« pogoj stabilnosti, ki zahteva negativni predznak realnih korenov karakteristične enačbe, oziroma položaj korenov na levi strani kompleksne ravnine, pa v praksi povsem ne zadošča. Od regulacijskih sistemov ne zahtevamo samo, da so stabilni, temveč morajo biti »dobro« stabilni. To pomeni, da morajo biti prehodni pojavi regulirane veličine po obliki in času trajanja primerno dušeni, kar pomeni, da morajo imeti koreni karakteristične enačbe primeren položaj v kompleksni ravnini. Povezava med položajem korenov karakteristične enačbe in prehodnim pojavom regulirane veličine x bo predstavljena za obravnavani sistem na sliki 58. V primeru stabilnega delovanja je načelna rešitev poteka regulirane veličine: bg b x t C1 C 2 e at C 3e bt sin ct g 3.98 Načelni položaj korenov karakteristične enačbe prikazuje slika 60. Im +C -a Re -b -C Slika 60 Kot vidimo, določajo realni deli korenov karakteristične enačbe časovne konstante eksponencialnih faktorjev Ta 1 / a , Tb 1 / b . Regulacijski prehodni pojav bo končan tem prej, čim manjše bodo časovne konstante oziroma čim večje bodo absolutne vrednosti negativnih realnih korenov karakteristične enačbe. Če naj bo prehodni pojav dobro dušen, morajo ležati koreni čim dalje proč od imaginarne osi. Eksponencialni deli rešitve enačbe 3.94 zavzemajo vrednost nič približno v času 4T in na osnovi tega lahko izračunamo čas trajanja prehodnega pojava regulirane veličine imenovan regulacijski čas t r : 113 Nazaj na kazalo t r 4T 3.99 Pri izračunu T 1 / a oz. 1 / b upoštevamo večjo časovno konstanto oziroma manjšo vrednost izmed obeh realnih korenov a in b. Če ima karakteristična enačba več korenov, tedaj koreni, ki ležijo daleč proč od imaginarne osi, ne vplivajo veliko. Koreni, ki ležijo bliže imaginarni osi, odločilno vplivajo na čas trajanja in tudi obliko prehodnega pojava. Imenujemo jih prevladujoči koreni. Slika 61 kaže značilne poteke prehodnega pojava regulirane veličine x za različne položaje korenov karakteristične enačbe obravnavanega regulacijskega sistema. Iz poteka prehodnega pojava je viden vpliv prevladujočih korenov. Re Im Re Im Re Im Re Slika 61 Pri postopkih sinteze regulacijskega sistema v naprej predpišemo regulacijski čas t r , kot enega izmed značilnih parametrov prehodnega pojava regulirane veličine. S tem posredno predpišemo minimalno razdaljo d, slika 62, do katere se smejo približati koreni karakteristične enačbe imaginarni osi. Vsi koreni morajo ležati v črtkanem delu ravnine. Pravimo, da smo regulacijskemu sistemu predpisali absolutno dušenje d. 114 Nazaj na kazalo Im d Re Slika 62 Razen časa trajanja prehodnega pojava t r nas zanima tudi oblika prehodnega pojava, ki jo predpišemo z relativnim regulacijskim časom r . Relativni regulacijski čas r je število polperiod regulirane veličine v prehodnem pojavu: r tr t t 2 r r 2 Tpp c c 3.100 Tpp je čas polperiode dušenega sinusnega nihanja s krožno frekvenco c (imaginarni del kompleksnega korena). Ob upoštevanju dominantnega realnega korena b, je čas trajanja prehodnega pojava t r : t r 4Tb Tb b 3.101 od koder je relativni regulacijski čas : r t r / b c imaginarni del Tpp / c b realni del 3.102 Recipročno vrednost relativnega regulacijskega časa imenujemo relativno dušenje : 1 b r c 3.103 115 Nazaj na kazalo S predpisano obliko prehodnega pojava - to je relativnim regulacijskim časom r oziroma relativnim dušenjem smo zopet predpisali meje območja v katerem naj ležijo koreni karakteristične enačbe. Koreni, ki ležijo na mejni črti ustrezajo zahtevam po predpisanem r oziroma , slika 63. Im b = tg= c Re -b jc Slika 63 Ker lahko pri predpisanem absolutnem dušenju d nastanejo relativno slabo dušena nihanja z visokimi frekvencami, prav tako pa se lahko pri predpisanem relativnem dušenju pojavijo absolutno slabo dušena nihanja z nizkimi frekvencami. Običajno pri postopkih sinteze sočasno predpišemo obe dušenji. Vsi koreni karakteristične enačbe morajo tedaj ležati v črtkanem območju kompleksne ravnine, kot je to prikazano na sliki 64. Im Re d = tg Slika 64 Nazaj na kazalo 116 Za orientacijo povejmo, da pri mnogih izvedbah regulacijskih sistemov dosežemo optimalni potek regulirane veličine pri vrednosti r 2,4 oziroma 0,4 . Vrednosti si velja zapomniti pri kasneje opisanih postopkih optimiranja regulacijskih sistemov. Povzetek: Ključni problem vsakega regulacijskega načela vodenja je problem stabilnosti. Do prehodnega pojava, ki lahko preide v nestabilno delovanje prihaja vedno ob spremembi želene ali spremembi motilne veličine. Analitično lahko stabilnost regulacijskega sistema ugotovimo z analizo karakteristične enačbe, ki jo imamo zapisano v imenovalcu prenosne funkcije zaključenega regulacijskega kroga. Iz predznaka realnih korenov te enačbe, ki morajo biti negativnega predznaka je mogoče sklepati o stabilnosti sistema. Od regulacije pa ne zahtevamo samo, da je stabilna, temveč tudi dobro stabilno, kar pomeni, da je prehodni pojav regulirane veličine primerne oblike in ustrezno hitro zaključen. Na kvaliteto prehodnega pojava se da vplivati s primerno negativno vrednostjo realnih korenov karakteristične enačbe. Pojem absolutnega dušenja in pojem relativnega dušenja, ki sta povezana s temi koreni dajeta odgovor na obliko in čas trajanja prehodnega pojava regulirane veličine. Nazaj na kazalo 117 Samostojno delo: 1. Kdaj je sistem stabilen? 2. Zakaj pride do nestabilnega delovanja? 3. Kaj pomeni BIBO stabilen? 4. Kakšen je značilni potek izhodne veličine za regulacijski krog na meji stabilnosti? 5. Nariši prehodni pojav stabilne in nestabilne regulacije? 6. Kaj je karakteristični izraz in zakaj je zanimiv? 7. Osnovni stabilnostmi pogoj regulacije? 8. Razlika med stabilnostnimi kriteriji in stabilnostnim pogojem? 9. Definicija absulutnega in relativnega dušenja? Nazaj na kazalo 118 UČNA SNOV 9. TEDNA: OSNOVE LINEARNIH REGULACIJ IN STABILNOSTNI KRITERIJI V prvem delu tematskega sklopa je razložen vpliv frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega kroga na lastnosti zaključenega regulacijskega kroga. V drugem delu so predstavljeni značilni stabilnostni kriteriji za ugotavljanje stabilnosti zaključenega regulacijskega sistema. Nazaj na kazalo 119 3.3.4 Frekvenčna karakteristika odprtega regulacijskega sistema in njen vpliv na obnašanje zaključenega sistema V predhodnem poglavju je bil razložen vpliv položaja korenov karakteristične enačbe, v kompleksni ravnini, na potek regulirane veličine v prehodnem pojavu. Do podobnih zaključkov bi b g lahko prišli z analizo znanega poteka - frekvenčne karakteristike regulacijskega sistema H j . Pri tem se naslonimo na ugotovitve in metode analize člena druge stopnje, ki ima podoben potek prehodne funkcije, kot jo srečamo pri poteku regulirane veličine pri stabilnem regulacijskem b sistemu. Pri členu druge stopnje smo iz nekaterih podatkov frekvenčne karakteristike Q r , r d g i eksaktno ugotovili dinamične parametre prehodnega pojava A pr , l . Tudi pri sistemih višje stopnje in zaključenih regulacijskih sistemih lahko podobno iz podatkov resonančnega pojava iz poteka frekvenčne karakteristike sklepamo na časovni potek prehodnega pojava. Pripomniti je potrebno, da so v tem primeru relacije le kvalitativne in ne matematično eksaktne, vendar za inžinirsko prakso uporabne. Na osnovi znanega poteka frekvenčne karakteristike zaključenega regulacijskega sistema: b g xxbbjjgg 1 F Fb jbjg g e H j 0 z j 3.104 0 lahko sklepamo na resonančni faktor in resonančno frekvenco zaključenega sistema: Q rz , rz in posredno preko teh dveh podatkov na obliko prehodnega pojava oziroma stopnjo dušenja le tega. Kot je bilo povedano veljajo le kvalitativne relacije. Prehodni pojav je tem slabše dušen, čim večji je Q rz in poteka tem hitreje, čim večji je rz . Problem, ki se pri tej metodi analize dinamičnega obnašanja regulacijskega sistema pojavi, je težavno konstruiranje frekvenčne karakteristike b g zaključenega regulacijskega sistema H j . Rešimo ga tako, da konstruiramo frekvenčno b g karakteristiko odprtega regulacijskega sistema F0 j , za zaporedno vezavo regulacijskih členov je v ta namen posebej uporaben Bodejev diagram. Nadaljni postopek analize frekvenčne karakteristike b g F0 j vršimo v preslikanem koordinatnem sistemu pri čemer velja matematično pravilo preslikave: 120 Nazaj na kazalo b g H j b g b g F0 j 1 F0 j 3.105 b g b g F0 j e j H j e j Koordinatno mrežo , preslikamo v mrežo , . Preslikava je običajna za Nyquistov diagram, kot to prikazuje slika 65: Im + 2 4 3 + 1 2 1 Re 1 2 3 = 20 o Im = 0,8 = 1,2 o 30 = 1,3 o 45 = 0,7 = 0,6 = 1,4 = 0,5 = 1,6 = 0,4 = 0,3 = 2 = 5 Re -45 b g -30 o = -20 o Slika 65 Analiza frekvenčne karakteristike F0 j v preslikanem koordinatnem sistemu nam daje odgovor o dinamičnem obnašanju zaključenega regulacijskega sistema. V preslikanem koordinatnem sistemu, nas še posebej zanima preslikava kritične točke s parametrom 1, 180 . Le ta se preslika b g iz v in služi za analizo frekvenčno karakteristiko F0 j , slika 66. 121 Nazaj na kazalo Im Q rz = max Ko rz Re K o Qr Fo (j) r Slika 66 b g V dotikališču frekvenčne karakteristike F0 j z max odčitamo rz in Q rz od koder sklepamo na dinamično obnašanje zaključenega sistema. Če hočemo imeti primerno dušen prehodni pojav z b g ugodnim regulacijskim časom t r , mora potekati krivulja F0 j mimo kritične točke -1, s primerno oddaljenostjo. Orientacijska vrednost, ki daje v mnogih primerih optimalni potek prehodnega b g pojava regulirane vrednosti x je max 1,3. Zanimovost, ki izhaja iz analize F0 j v osnovnem in preslikanem koordinatnem sistemu je ugotovitev, da je rz r kar pomeni, da zaključeni regulacijski sistemi nihajo v prehodnem pojavu z višjo frekvenco in imajo hitrejši prehodni pojav, torej so bolj "živahni" od odprtih sistemov. Na obliko prehodnega pojava regulirane veličine x vpliva torej potek frekvenčne karakteristike v območju karakterističnih frekvenc v okolici kritične b g točke -1. Bližino poteka frekvenčne karakteristike F0 j kritični točki karakterizira max . Namesto max pogosto uporabljamo za opis tega poteka pojma amplitudna rezerva rez in fazna rezerva rez , b g ki predstavljata rezervo v poteku frekvenčne karakteristike F0 j do meje stabilnosti regulacijskega sistema. Amplitudna rezerva rez , ugotovimo jo pri frekvenci a , slika 67, kjer je fazni zasuk 180 , nam pove, za koliko bi se smelo povečati ojačenje regulacijskega sistema, da bi potekala frekvenčna karakteristika pri a skozi kritično točko -1. Nazaj na kazalo 122 Im rez A -1 Re rez B Fo (j ) Slika 67 Fazno rezervo rez ugotavljamo pri frekvenci B pri kateri je vrednost frekvenčne karakteristike 1. Pove nam, za koliko bi smeli frekvenčno karakteristiko sukati v smislu negativnih faznih zasukov, da bi potekala pri frekvenci B skozi kritično točko. Orientacijske vrednosti, ki dajo dober potek prehodnega pojava regulirane veličine x so rez 0,6 in rez 30 . Obe rezervi lahko določimo tudi v polju Bodejevega diagrama. 3.3.5 Stabilnostni kriteriji Stabilnost regulacijskega sistema ugotovimo računsko, če poiščemo korene polinoma v imenovalcu prenosne funkcije zaprtega regulacijskega kroga, to je korene karakteristične enačbe. Vendar je računanje korenov pri polinomih, ki so višje stopnje od tri, zamudno. Da bi lahko hitro ugotovili stabilnost regulacijskih sistemov, so različni avtorji izdelali različne metode za ugotavljanje stabilnosti. Pri tem so nekateri avtorji izhajali iz karakteristične enačbe zaprtega regulacijskega kroga (Hurwitz, Routh), drugi spet iz poteka frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega b g kroga F0 j (Bode, Nyquist), nekateri pa iz poteka prehodne funkcije odprtega regulacijskega kroga. Vse te kriterije lako razdelimo na dve skupini. Kriteriji prve skupine samo ugotavljajo 123 Nazaj na kazalo stabilnost, ne povedo pa nič o tem, koliko smo v posameznem primeru oddaljeni od stabilnostne meje ali kaj naj storimo, da bi dosegli stabilnost. Kriterije druge skupine pa gredo bolj v globino problema in omogočajo diskusijo ter dajejo napotke za izboljšanje delovanja regulacijskega sistema. Najbolj znana kriterija iz prve skupine, ki rabita le za hitro orientacijo, sta Hurwitzov in Routhov kriterij. V drugo skupino pa sodijo Bode - Nyquistov, Evansov in še drugi kriteriji. 3.3.5.1 Hurwitzov stabilnostni kriterij Hurwitz je postavil matematične pogoje, ki jih mora izpolnjevati linearna algebraična enačba: a n sn a n 1sn 1 ... a1s a 0 0 3.106 da bo imela same negativne realne korene in konjugirane kompleksne korene z negativnim realnim delom. Ti pogoji so: 1. Vsi koeficienti ao, a1, ... an morajo biti različni od nič in imeti isti predznak; 2. Determinante H: (Hurwitzove determinante) morajo biti večje od nič: H 1 a n 1 a n 3 H2 a n a n2 H 3 0 a n 1 Hi a n 5 a n4 a n3 0 3.107 Za i moramo zapovrstjo vstavljati i = 2, 3, ..... (n-1) in izračunati vrednost determinant Hi, ki morajo biti večje od nič. Nazaj na kazalo 124 Primer: vzemimo dve enačbi 3. in 4. stopnje Za enačbo 3. stopnje: a 3s3 a 2 s2 a 1s a 0 0 je H1 a 2 H2 a2 a3 a0 0 a1 oziroma ba a 1 2 g a 0a 3 0 Za enačbo 4. stopnje: a 4 s4 a 3s3 a 2 s2 a 1s a 0 0 so pogoji: H1 a 3 H2 a3 a4 a1 0 a2 ba a 2 3 g a 1a 4 0 a3 H3 a4 a1 a2 0 a 0 0 a 1 a 2 a 3 a 1a 4 a 0a 23 0 0 a3 a1 b g S Hurwitzovim kriterijem lahko iz karakteristične enačbe regulacijskega sistema razmeroma enostavno ugotovimo, ali bo sistem stabilen ali ne, ne da bi morali zato poiskati korene te enačbe, 125 Nazaj na kazalo ne izvemo pa nič o stabilnostni rezervi. Tudi, če npr. spreminjamo parametre sistema, ne moremo s tem kriterijem ugotoviti, če se približujemo ali oddaljujemo od stabilnostne meje. Zato uporabljamo ta stabilnostni kriterij le za kontrolo stabilnosti, ne pa pri sintezi regulacijskih krogov. Računanje Hurwitzovih determinant postene zamudno, če gre za sisteme višje stopnje od 3. Tedaj raje uporabimo kakšno drugo metodo. 3.3.5.2 Routhov stabilnostni kriterij Enako kot Hurwitz je tudi Routh postavil matematične pogoje, ki zagotavljajo enačbi korene s samimi negativnimi realnimi deli. Naj ima karakteristična enačba regulacijskega kroga obliko: a n sn a n 1sn 1 ... a 1s a 0 0 3.108 pri čemer so koeficienti ai realni ter koeficienti a n 0 in a 0 0 . Tedaj razporedimo koeficiente najprej v dve vrsti po shemi: sn : an a n2 a n 4 .......... sn 1: a n 1 a n3 a n 5 .......... 3.109 Elemente tretje vrste dobimo s križno multiplikacijo: sn 2 : a n 1 a n 2 a n a n 3 a n 1 a n 1 a n 4 a n a n 5 .......... a n 1 3.110 Elemente četrte vrste dobimo z analogno križno multiplikacijo elementov druge in tretje vrste itd., dokler ne dobimo vrste, katere elementi so vsi nič, razen prvega. Stabilnost regulacijskega kroga ugotovimo tako: 1. Če so vsi elemnti prve vertikalne kolone pozitivni, ima karakteristična enačba le korene z negativnim realnim delom in je regulacijski krog stabilen. 2. Če se predznak teh elementov n-krat spremeni, vsebuje karakteristična enačba n korenov s pozitivnim realnim delom in je sistem nestabilen. 126 Nazaj na kazalo 3. Če postanejo vsi elementi ene vrste nič, ima karakteristična enačba imaginarne korene (mejni stabilnostni primer). 3.3.5.3 Stabilnostni kriterij »leve roke« Oba stabilnostna kriterija, ki smo ju doslej spoznali, sta izhajala iz karakteristične enačbe regulacijskega sistema in sta tako predpostavljala, da je enačba poznana. V praksi se zelo pogosto zgodi, da uporabimo v regulacijskih krogih sestavne dele, ki jih dobavlja industrija in za katere ne poznamo prenosnih funkcij, temveč so nam poznane le njihove statične in dinamične lastnosti oziroma njihove frekvenčne karakteristike ali pa te karakteristike eksperimentalno določimo. V takih primerih si z doslej opisanimi kriteriji ne moremo pomagati. Poleg obravnavanih algebraičnih kriterijev so zelo pomembni tudi stabilnostni kriteriji, ki izhajajo iz frekvenčne karakteristike regulacijskega kroga. Zaradi ozke povezanosti med frekvenčnima karakteristikama odprtega in zaključenega regulacijskega kroga lahko raziskujemo kar frekvenčno karakteristiko odprtega regulacijskega kroga in sklepamo na lastnosti zaključenega regulacijskega kroga. Že v predhodnih poglavjih smo videli, da je dinamično obnašanje regulacijskega kroga odvisna od poteka frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega kroga z ozirom na kritično točko –1. Ta lastnost je osnova za tako imenovani stabilnostni kriterij »leve roke«, ki se glasi: Regulacijski krog je stabilen, če leži kritična točka, v Nyguistovem diagramu, levo od frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega kroga, če napredujemo v smeri naraščajoče frekvence , slika 68. +j Im -1 +1 +1 Re Fo (j ) Im +j -j Re -1 Fo (j ) -j b - nestabilno a - stabilno Slika 68 127 Nazaj na kazalo Kriterij leve roke izhaja iz bolj popolnega Nyguistovega stabilnostnega kriterija oziroma je le poseben primer tega kriterija. Ta kriterij ima tudi svojo fizikalno vsebino. Mislimo si, da smo regulacijskemu krogu na sliki 69 prekinili povratno zvezo in ima želena vrednost sinusni potek: x ž x ž0 e j t 3.111 Izhodna (regulirana) veličina niha tedaj tudi sinusno, le z neko drugo amplitudo in fazno lego: x ž x ž0 e j( t ) 3.112 Vrednost in podaja v odvisnosti od frekvence frekvenčna karakteristika odprtega regulacijskega kroga: x F0 j e j xž 3.113 Fo (S) xž FR(S) FS (S) x Slika 69 Pri neki določeni frekvenci a postane a 180 . Ojačenje je pri tej frekvenci lahko a 1, a 1, a 1. Vzemimo, da je pri frekvenci a a 180 in a 1. Tedaj ima izhodna veličina isto amplitudo, kot vhodna veličina, fazno pa je premaknjena za -180 . Če sklenemo prekinjeno povratno zvezo in odstranimo vhodno veličino xž, bo regulacijski krog nihal naprej sam od sebe z amplitudo xžo in s frekvenco a , saj smo pripeljali preko primerjalnega člena dodatno za 180 premaknjeni signal, ki se tako po velikosti in fazni legi nič ne razlikujejo od prvotnega zunanjega 128 Nazaj na kazalo signala xž. Imamo primer lastnega vzbujanja. Frekvenčna karakteristika odprtega regulacijskega kroga, ki omogoča takšen pojav, poteka tako, kot krivulja 1 na sliki 70. Im Fo (j) -1 a a a 2 Re 1 3 Slika 70 Poglejmo še, kaj se zgodi, če je pri frekvenci a a 1 ali a 1. V prvem primeru ima povratni signal preko sklenjene povratne zveze večjo amplitudo od prvotnega signala xž in dobimo na izhodu še večjo amplitudo, povratni signal se še poveča itd. Izhodna veličina bo nihala sinusno s frekvenco a , amplituda pa bo šla teoretično proti neskončno. Regulacijski krog je nestabilen. V drugem primeru je ravno nasprotno: povratni signal ima manjšo amplitudo od prvotnega vhodnega signala in regulacijski krog se prej ali slej umiri, če odstranimo vhodno sinusno nihanje xž in istočasno b g sklenemo povratno zvezo. Iz poteka krivulje F0 j na sliki 70 lahko sklepamo o stabilnosti zaključenega regulacijskega kroga. Ugotovitve se ujemajo s kriterijem »leve roke«. Kriterij »leve roke« lahko uporabimo za ugotavljanje stabilnosti skoraj vseh linearnih regulacijskih b g krogov. Le redkokdaj se zgodi, da ta kriterij odpove, če ima krivulja F0 j tako zapleten potek, da ne moremo ugotoviti, če leži kritična točka na levi ali na desni strani krivulje. Tedaj si pomagamo z Nyguistovim stabilnostnim kriterijem. 129 Nazaj na kazalo Povzetek: Na osnovi frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega kroga je mogoče sklepati o lastnostih -prehodnem pojavu regulirane veličine zaključenega regulacijskega sistema. Do te karakteristike običajno pridemo grafično, v Bodejevem diagramu. Metoda frekvenčne karakteristike je prenesena in prirejena iz postopkov dinamične analize člena druge stopnje. Za ugotavljanje stabilnosti regulacijskega sistema je potrebno izračunati korene karakteristične enačbe. Če je le ta polinom nižje stopnje, je mogoče relativno preprosto izračunati korene. Računanje korenov postane zahtevnejše, če je karakteristična enačba polinom višje stopnje. V izogib temu postopku so nekateri avtorji iznašli matematične in grafične metode, s pomočjo katerih je mogoče ugotoviti predznak realnih korenov karakteristične enačbe in od tod stabilnost ali nestabilnost regulacijskega sistema. Te metode imenujemo stabilnostni kriteriji. V gradivu so opisani le štirje: Hurwitzov kriterij, Routhov kriterij, kriterij »leve roke« in Evansov stabilnostni kriterij. Nazaj na kazalo 130 Za regulacijski krog na podani blokovni shemi ugotovi stabilnost z izračunom Vaja 16: korenov karakteristične enačbe ter izračunaj absolutno ter relativno dušenje regulacijskega sistema. xž x F2 = F1 = 3 1 1+2s F3 = 2 1+3s Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Za regulacijski krog na podani blokovni shemi ugotovi stabilnost po Hurwitzovem in Vaja 17: Rauthovem stabilnostnem kriteriju. xž x F1 = 3 F2= 0.5 1+3s 2 F3 = 1+4s+8s2 F4 = 0.6 Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Samostojno delo: 1. Kaj je amplitudna in fazna rezerva? 2. Hurwitzov stabilnostni kriterij? 3. Routhov stabilnostni kriterij? 4. Stabilnostni kriterij »leve roke«? Nazaj na kazalo 131 UČNA SNOV 10. TEDNA: OSNOVE LINEARNIH REGULACIJ - STATIČNI POGREŠEK Problematika statičnega pogreška regulacije je tesno povezana z točnostjo regulirane veličine. Predstavljen je preprost matematičen postopek za izračun statičnega pogreška. V drugem delu vsebine 10. tedna se seznanimo s problematiko točnost-stabilnost regulacije, kjer soočimo vse tri značilne parametre regulirane veličine. Nazaj na kazalo 132 3.4 Statični pogrešek regulacije Statični pogrešek regulacije, ki je neposredno vezan na zahtevo točnosti vodenja, je posledica delovanja spremenljivih motilnih veličin z in želene veličine xž v regulacijskem sistemu: b g b g b g b s x z t x t f1 H , x z f2 H m , z g 3.114 V nadaljevanju bo problem statičnega pogreška obdelan za regulacijski sistem z direktno povratno zvezo. 3.4.1 Statični pogrešek vodene regulacije Na statični pogrešek vodene regulacije vpliva delovanje spremenljive želene veličine xž preko prenosne funkcije zaključenega sistema: b g xxbbssgg 1 F Fbsbgsg Hs 0 z 3.115 0 od koder izračunamo potek izhodne veličine vodenja v slikovnem prostoru: bg xs bg bg bg F0 s xz s 1 F0 s 3.116 Tako je pogrešek, kot rezultat primerjave želene in vodene veličine na izhodu iz primerjalnega člena: bg bg bg bg s xz s x s xz s bg bg bg bg bg F0 s 1 xz s xz s 1 F0 s 1 F0 s 3.117 bg Do statičnega pogreška s t v domeni časovnega prostora pridemo ob upoštevanju stavka o končni vrednosti funkcije znanega iz teorije Laplaceove transformacije: bg b g b g bg s t x z t x t lim s s lim s s 0 s 0 133 bg bg 1 xz s 1 F0 s 3.118 Nazaj na kazalo 3.4.2 Statični pogrešek regulacije s konstantno želeno vrednostjo Pri regulacijah s konstantno želeno vrednostjo je statični pogrešek posledica delovanja spremenljivih motilnih veličin z. Matematični algoritem za izračun statičnega pogreška je v tem bg primeru prenosna funkcija zaključenega regulacijskega kroga za motnjo H m s . Ob upoštevanju stavka o končni vrednosti funkcije, izračunamo statični pogrešek s pomočjo enačbe: bg bg bgbg s t lim s s lim s H M s z s lim s 3.4.3 s 0 s 0 s 0 bg bg bg FM s zs 1 F0 s 3.119 Vpliv konfiguracije regulacijskega sistema na statični pogrešek s Kot je vidno iz enačb 3.117 in 3.118 vpliva na statični pogrešek tako konfiguracija regualcijskega sistema kot tudi oblika želene xž in motilne veličine z, kar ima za posledico množico variantnih izračunov. Če lahko do neke mere obvladujemo in omejimo izračune statičnega pogreška za vodene regulacije za standardne oblike želene veličine, pa je ta izračun precej raznolik za statični pogrešek povzročen zaradi spremenljivih motilnih veličin z. Motilne veličine praviloma delujejo na različnih mestih v regulacijskem krogu prav tako pa je oblika motilnega signala pogosto poljubne stohastične oblike, ki jo je matematično težko opisati. Kljub temu lahko za neke tipične oblike konfiguracij regulacijskih sistemov in veličin, ki povzročajo statični pogrešek izvršimo izračune iz katerih dobimo napotke za zmanjšanje oziroma eleminacijo statičnega pogreška, kot enega izmed parametrov, ki ga s postopkom regulacije želimo minimizirati. Izračun bo narejen za regulacijsko blokovno shemo prikazano na sliki 72, za skočno in enakomerno naraščajočo (rampa funkcija) želeno xž in motilno veličino z in različno konfiguracijo sistema. z (s) x ž(s) F1 (S) F2 (S) x (s) Slika 72 134 Nazaj na kazalo Iz matematičnih korespondenčnih tabel dobimo: a) xž(t) = A skočna funkcija b) xž(t) = B t rampa funkcija c) z(t) = C skočna funkcija d) z(t) = D t rampa funkcija A s xž(s) = xž(s) = z(s) = B s2 C s z(s) = D s2 Izračun 1: Sistem vsebuje samo člene z izravnavo bg F1 s K1 1 s... 1 s... bg F2 s K 2 1 s... 1 s... A A A 1 1 s... 1 s... s 1 K1K 2 1 K 0 K2 1 K1 1 s... 1 s... 3.120 a) s lim s b) s lim s c) 1 s... C K2C 1 s... s lim s s 0 1 s... 1 s... s 1 K1K 2 1 K1 K2 1 s... 1 s... 3.123 d) 1 s... D 1 s... s lim s s 0 1 s... 1 s... s2 1 K1 K2 1 s... 1 s... 3.124 s 0 s 0 3.121 1 B B lim 2 1 s ... 1 s ... s s 0 s 1 K1 K2 1 s ... 1 s ... K2 K2 3.122 Izračun 2: Sistem vsebuje en integralno delujoči člen bg F1 s K1 1 s... s 1 s... bg F2 s K 2 1 s... 1 s... 3.125 135 Nazaj na kazalo A 1 0 K1 1 s... 1 s... s K2 1 s 1 s... 1 s... a) s lim s b) s lim s c) 1 s... C 1 s... s lim s 0 s 0 K1 1 s... 1 s... s 1 K2 s 1 s... 1 s... 3.128 d) 1 s... D K2 D 1 s... s lim s s 0 K1 1 s... 1 s... s2 K1K 2 1 K2 s 1 s... 1 s... 3.129 s 0 s 0 B B B 1 2 K 1 s... 1 s... s K1 K 2 K 0 K2 1 1 s 1 s... 1 s... K2 K2 3.126 3.127 Izračun 3: Sistem vsebuje dva integralno delujoča člena bg F1 s K1 1 s... s 1 s... bg F2 s K 2 1 s... s 1 s... A 1 0 K1 1 s... K 2 1 s... s 1 s 1 s... s 1 s... 3.130 a) s lim s b) s lim s c) K 2 1 s... C s 1 s... s lim s 0 s 0 K1 1 s... K 2 1 s... s 1 s 1 s... s 1 s... 3.133 d) K 2 1 s... D K2 D s 1 s... s lim s s 0 K1 1 s... K 2 1 s... s2 K1K 2 1 s 1 s... s 1 s... 3.134 s 0 s 0 B 1 0 K1 1 s... K 2 1 s... s2 1 s 1 s... s 1 s... 3.131 3.132 Na osnovi rezultatov navedenih variantnih izračunov ugotavljamo naslednje: 1. Na zmanjšanje statičnega pogreška ugodno vpliva povečevanje krožnega ojačenja v regulacijskem krogu Ko. 136 Nazaj na kazalo 2. Z vključevanjem integralno delujočih členov se statični pogrešek delno ali pa v celoti eleminira. 3. Pri delovanju spremenljivih motilnih veličin je za zmanjšanje ali odpravo statičnega pogreška treba povečevati ojačenje oziroma vključevati integralno delujoče člene pred mestom nastopa motnje. 3.5 Problematika točnosti in stabilnosti regulacijskega sistema V uvodnem poglavju 1.2.3 je bila nakazana ključna problematika regulacijskega sistema vodenja, kjer so bili predstavljeni karakteristični parametri s , d in t r izhodne veličine vodenja x. Od dobro izvedene regulacije zahtevamo, da so vrednosti teh treh parametrov čim manjše. V regulacijski praksi se izkaže, da prizadevanje za zmanjšanje enega izmed treh parametrov vodijo k hkratnemu povečevanju preostalih dveh parametrov. Ta problematika bo obravnavana v pričujočem poglavju. Izhodišče raziskave obravnave problematike naj bo regulacijski sistem predstavljen na blokovni shemi slike 73, ki vsebuje poleg člena prve in druge stopnje še proporcionalni člen (P-regulator) s spremenljivim faktorjem ojačenja K1. Predpostavimo, da gre za vodeno regulacijo s spremembo želene veličine v obliki enotine funkcije z amplitudo A , x z ( t ) A . xž x F1 = K 1 F2 = K2 1+sT2 K3 F3 = 1+s2zT + s2 T 2 3 3 Slika 73 Kako vpliva konfiguracija sistema oziroma spremenljivi parametri v prenosnih funkcijah (konkretno ojačenje K1) na statični pogrešek analitično ugotovimo s pomočjo stavka o končni vrednosti funkcije: s lim s s 0 bg bg 1 x z s lim s s 0 1 F0 s 1 A 1 K1 K 2 K 3 s 1 sT2 1 s2 zT3 szT32 b gc h 3.135 A A 1 K1 K 2 K 3 1 K 0 137 Nazaj na kazalo Ugotovitev je, da bo statični pogrešek tem manjši, čim večje bo skupno krožno ojačenje K o . Dinamične razmere sistema bodo analizirane na osnovi poteka frekvenčne karakteristike odprtega b g regulacijskega kroga F0 j : b g xxbbjjgg K 1 KjT 1 j2zTK b jg T F0 j 1 z 2 3 2 2 3 2 3 0 e j 0 3.136 b g Grafično konstruiranje rezultirajoče frekvenčne karakteristike F0 j najprej izvedemo v Bodejevem diagramu in nato preslikamo v Nyquistov diagramu. Potek karakteristik za tri različne faktorje ojačenja, pri čemer je K 01 K 02 K 03 , prikazuje diagram na sliki 74. Povečanje faktorja ojačenja vpliva na potek frekvenčne karakteristike v smislu njenega “napihovanja”, kar pomeni, da se v karakterističnem frekvenčnem območju približuje kritrični točki –1. To pa ima za posledico povečanje max in Q rz s čimer se zmanjšuje dušenost prehodnega pojava oziroma povečuje d in tr. Im -1 K 01 K 02 K 03 Re F01 F02 F03 Slika 74 138 Nazaj na kazalo Načelne poteke prehodnega pojava regulirane veličine za tri različne vrednosti K o prikazuje slika 75. x xž s1 a xž x 0 K 01 b t x xž s2 xž x 0 c K 02 t d3 x xž s3 xž x 0 t K 03 Slika 75 Povečevanje K o res zmanjšuje statični pogrešek s , hkrati pa zaradi manjšega dušenja povečuje dinamični pogrešek d . Vidimo tudi, da tako veliko kot malo ojačenje K o vpliva sorazmerno na dušenje in posredno na velik regulacijski čas tr. Iz tega poučnega primera sledi ugotovitev, da je potrebno ustrezno obliko prehodnega pojava iskati v kompromisu med velikostjo d , s in tr, ki jo dosežemo pri neki optimalni vrednosti ojačenja K o . V predhodnem poglavju podana orientacijska vrednost max 1,3 vodi k takšnemu kompromisu. Opisani primer obravnave med statično in dinamično točnostjo ter hitrostjo delovanja regulacijskega sistema je klasični primer zaprtozančnega sistema vodenja. K temu sodi tudi problem stabilnosti regulacijskega sistema, saj prizadevanja po večji statični točnosti in večji hitrosti delovanja samodejno vodijo v smeri nestabilnega delovanja sistema. Zato lahko ta problem označimo tudi kot problem točnost-stabilnost regulacije. 3.6 Korekcija regulacijskih sistemov Proporcionalnemu regulatorju na sliki 73 lahko teoretično povečujemo faktor ojačenja K1 tako b g dolgo, dokler krivulja F0 j ne doseže kritične točke –1 na sliki 74, tedaj je regulacijski sistem na 139 Nazaj na kazalo stabilnostni meji. Preko te meje bi postal sistem nestabilen in bi tudi teoretično ne bil več uporaben (praktično že mnogo prej). Torej lahko v skladu z enačbo 3.119 dosežemo najmanjši pogrešek: s A 1 K 2 K 3 K1max 3.137 Za nadaljno zmanjševanje statičnega pogreška moramo uporabiti eno od naslednjih poti: 1. Namesto P-regulatorja izberemo regulator, ki ima integralno delovanje (I-, PI- ali PIDregulator). Ta regulator s svojim delovanjem v določenih primerih povsem odpravi statični pogrešek. 2. Če zadržimo omenjeni P-regulator, lahko zmanjšamo s brez poslabšanja dinamičnih lastnosti sistema tako, da frekvenčno karakteristiko korigiramo v območju okrog resonančne frekvence rz , kot kaže črtkana krivulja na sliki 76, kar dosežemo s posebnimi korekcijskimi členi, ki jih vključimo v regulacijski krog. Im = 1,3 max K 01 -1 K 02 Re Fs (j ) Fk (j ) K Rm 2 1 Fs (j ) K Rm 1,2 Fs (j ) Fk (j ) K’Rm 3 Slika 76 Te člene lahko vključimo v regulacijski krog zaporedno ali vzporedno k regulatorju, kot je to prikazano na blokovni shemi slike 77. Nazaj na kazalo 140 Fs (S) xž x FK (S) xž FR(S) K1 K2 2 1+sT1 1+s zT2 +s2T 22 Fs (S) a.) x F (S) xž Fs (S) x F (S) b.) Slika 77 Kompenziranemu sistemu smo lahko brez škode močno povečali krožno ojačenje in s tem zmanjšali pogrešek s , ne da bi poslabšali dinamične lastnosti, saj se kritični točki –1 nismo prav nič približali ( max je ostal isti). Opisano korekcijo krivulj v resonančnem območju omogočajo takšni korekcijski členi, ki imajo v resonančnem območju regulacijskega kroga pozitivni fazni zasuk (npr. diferencialni členi) in b g zato zavrtijo točke krivulje F0 j v smeri pozitivnih -jev. 141 Nazaj na kazalo Povzetek: V poglavju je obravnavana problematika in metoda izračuna statičnega pogreška regulacije, ki jo povezujemo s točnostjo regulacije. Statični pogrešek, ki je v domeni »časovnega prostora« lahko izračunamo s pomočjo stavka o končni vrednosti funkcije znanega iz teorije Laplaceove transformacije na osnovi algoritmov prenosnih funkcij, ki pa so v domeni slikovnega prostora. Ugotovitve, ki od tod izhajajo so, da na zmanjšanje ali odpravo statičnega pogreška kot posledice delovanja spremenljivk želenih ali motilnih veličin ugodno vplivajo povečanje ojačenja v regulacijskem krogu in vključevanje integralno delujočih členov. V nadaljevanju poglavja je predstavljena problematika točnost-stabilnost sistema. Soočeni so trije značilni parametri prehodnega pojava regulirane veličine: dinamični pogrešek, statični pogrešek in regulacijski čas. Ugotovitve, ki iz opisa v poglavju izhajajo so, da prizadevanja po zmanjšanju enega izmed teh parametrov s posegi v strukturo in izbiro vrednosti parametrov regulacijskega kroga vodijo v smeri povečanja preostalih dveh parametrov. Ni namreč načina s pomočjo katerega bi sočasno zmanjševali vse tri parametre. Zato nikoli ne govorimo o najboljši regulaciji, temveč vedno o optimalni regulaciji, ki je prilagojena tehnološkim zahtevam vodenega procesa. Nazaj na kazalo 142 Vaja 18: Za regulacijski krog na podani blokovni shemi izračunaj statični pogrešek za xž(t) = A in z(t) = Bt. z xž x F1 = 0,5 F2 = 1 1+3s F3 = 4 1+3s+5s 2 Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Vaja 19: Laboratorijska vaja Za elektromehanski servosistem pozicije eksperimentalno ugotovi vpliv parametrov P in PI regulatorja na statične in dinamične lastnosti regulacijskega sistema. RČ ž U1 U2 UD TR PO n U4 U3 MO EM RE RČ - referenčni člen pozicije ž TR - tranzistorski P ali PI regulator UD - uporovni napetostni delilec PO - tranzistorski predojačevalec MO - tranzistorska močnostna ojačevalna stopnja EM - enosmerni servo motor R - reduktor M - merilni člen pozicije 143 M Nazaj na kazalo b) Blokovna shema regulacije: Ue Už U1 U4 U3 U2 KR K2 K1 K4 1+ pTM K3 n 1 pTR K5 Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Vaja 20: Laboratorijska vaja Analiziraj vpliv parametrov P in PI regulatorja na statični pogrešek s elektrohidravličnega regulacijskega sistema vrtilne hitrosti, ki je posledica obremenitve hidravličnega motorja. -Mb nž TR EO SV HM n MČ Blokovna shema regulacije TR - tranzistorski regulator EO - elektronski ojačevalnik SV - elektrohidravlični servoventil HM - hidromotor MČ - merilni člen Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) 144 Nazaj na kazalo Samostojno delo: 1. Katere veličine v regulacijskem sistemu vplivajo na pojav statičnega pogreška? 2. Algoritem za izračun statičnega pogreška? 3. Kako se da statični pogrešek zmanjšati ali odpraviti? 4. Kako vpliva povečano ojačanje v regulacijskem krogu na dinamični pogrešek? Nazaj na kazalo 145 UČNA SNOV 11. TEDNA: REGULACIJSKE NAPRAVE - 1. DEL Fizična izvedba regulacijskega sistema vodenja je povezana s primerno izbiro regulacijskih naprav, ki opravljajo značilne naloge. V tem delu gradiva so opisani kriteriji izbire in značilne izvedbe merilnih in primerjalnih členov. Nazaj na kazalo 146 4. REGULACIJSKE NAPRAVE 4.1 Zgradba regulacijskih sistemov Doslej smo zgradbo regulacijskih sistemov prikazovali shematično z blokovnimi shemami, dinamično obnašanje posameznega člena v regulacijskem krogu pa z ustrezno diferencialno enačbo oziroma prenosno funkcijo. Na ta način smo dobili pregledne rezultate, številne raznovrstne naprave smo skrčili le na nekaj osnovnih členov. Takšna pot je prikladna za analizo obstoječih regulacijskih sistemov. Če se znajdemo pred zahtevo projektirati in zgraditi realni regulacijski sistem, se ne moremo več ukvarjati samo z abstraktnimi bloki, prenosnimi funkcijami in drugimi modelnimi opisi, temveč se moramo odločiti za naprave (aparature), ki bodo sestavljale regulacijski sistem. Govorimo o sintezi regulacijskega sistema. Sinteze se ne moremo lotiti, če ne vemo, s kakšnimi aparaturami razpolagamo, bodisi, da jih sami zgradimo ali jih kupimo. Če bi se sinteze lotili matematično, ne pa tudi tehnološko, bi lahko vse regulacijske probleme uspešno teoretično rešili. Če se lotimo praktične izdelave, žal mnogokrat spoznamo, da stvari niso tako enostavno rešljive, mnogokrat smo soočeni tudi s problemi, pri katerih nakazana teoretična pot reševanja sploh ni uporabna in je potrebno poiskati povsem drugačne tehnične rešitve. Prav je, da si na kratko ogledamo, kakšne naprave sestavljajo regulacijske sisteme in po kakšnih vidikih jih izbiramo. Zaradi raznovrstnosti lahko, v okviru tega dela, obravnavamo le nekatere. Pri tem se bomo omejili le na opis tistih električnih, mehanskih, pnevmatskih, hidravličnih in drugih naprav, ki jih pogosto srečujemo na tehničnem področju. Da bi lahko izvedli vse značilne naloge v regulacijskem sistemu, kot so merjenje, primerjanje, obdelava informacij, močnostno ojačenje, izvrševanje povelij itd., moramo imeti na razpolago ustrezne naprave, ki opravljajo te karakteristične naloge. Seveda lahko posamezni sestavni del ali fizična enota opravlja več funkcij hkrati. Zato vseh členov, ki po svoji »funkciji« sestavljajo regulacijski sistem na sliki 88, ne najdemo v vsakem regulacijskem sistemu. Nazaj na kazalo 147 xž RČ PČ R MO IO RO x MČ Slika 89 Označbe na sliki 89: RČ - referenčni člen ali dajalnik želene veličine PČ - primerjalni člen R - regulator MO - močnostni ojačevalnik IO - izvršilni organ RO - regulacijski objekt ali reguliranec MČ - merilni člen regulirane veličine 4.2 Merilni členi Naloga merilnih členov v regulacijskih napraveh je, dajati informacijo o regulirani veličini (analogno ali digitalno) v takšni obliki, da jo lahko posredujemo primerjalnemu členu. Za merjenje v regulacijski tehniki je zelo važno, da je mogoče merilni podatek spremeniti v fizikalno veličino, ki jo lahko prenašamo in obdelujemo. Najprimerneje lahko prenašamo informacijo v obliki električnih napetostnih ali tokovnih signalov ali pa v obliki pnevmatskih tlačnih signalov. To je tudi poglavitni razlog, da je velika večina merilnih členov izvedenih, v obliki električnih ali pnevmatskih sistemov tudi pri merjenju neelektričnih veličin. Zelo logično je, da potem to električno ali pnevmatkso informacijo »obdelamo« v električnih ali pnevmatskih regulatorjih, oziroma v hibridnih izvedbah z električnim ali pnevmatskim informacijskim delom. Merilni člen opravlja v regulacijskih sistemih več funkcij. Na merilnem mestu je merilno tipalo, ki vrši spreminjanje ene fizikalne veličine v drugo, npr. tlak v kot zasuka, temperaturo v enosmerno napetost, nivo v spremenljivo kapacitivnost itd. Pogosto je potrebno dobljeno informacijo še 148 Nazaj na kazalo prilagoditi in preoblikovati, preden se uporabi za nadaljno obdelavo. Mnogokrat se pojavlja tudi zahteva po pretvorbi analognega v digitalni signal in obratno. To nalogo opravljajo temu namenu prirejeni elementi, ki spadajo v sklop merilnega člena. Pri izbiri merilnega člena moramo upoštevati naslednje kriterije oziroma kvalitete tega člena: izbiro pravilnega merilnega območja; točnost merjenja; zavedati se moramo, da ne more biti regulacija nikoli bolj točna, kot je meritev sama. Praviloma mora biti zato merilna točnost vsaj tako velika, kot je zahtevana statična točnost regulacije; frekvenčno območje; merilni člen mora imeti v frekvenčnem območju, ki je karakteristično za cb g h celotni regulacijski krog, potek frekvenčne karakteristike kar se da linearen F j K ; nivo vhodne in izhodne moči; vprašanje vhodne moči v merilni člen navadno ni problematično, saj je merilni člen na izhodu regulacijskega sistema, kjer so praviloma na voljo dovolj veliki energijski nivoji. Bolj zanimivo je vprašanje izhodne moči. Ta naj bo prilagojena primerjalnemu členu oziroma regulatorju. Težimo vedno za tem, da odvzemamo merilnemu členu čim manj moči, ker so tedaj ti členi manjši, zato praviloma natančnejši, po delovanju hitrejši in tudi cenejši. Iz povedanega sledi, da merilnih členov ne moremo izbirati ločeno od ostalih elementov regulacijskega kroga, zato tudi ne moremo postaviti enotnih, splošno veljavnih določil za izbiro teh kakor tudi drugih komponent regulacijskega kroga. Veličine, ki jih v regulacijski tehniki najpogosteje reguliramo in seveda tudi merimo, lahko v grobem razdelimo v tri značilne skupine. Električne veličine: napetost, tok, moč, frekvenca, v to skupino prištevamo tudi magnetne, akustične, svetlobne in nuklearne veličine. Mehanske veličine: lega, pot, kot zasuka, sila, moment, vrtilna hitrost, vrtilni moment, pospešek itd. Procesne veličine: temperatura, tlak, pretok, nivo, vlažnost, pH vrednost itd. V nadaljevanju se bomo omejili le na opis osnovnih principov merjenja nekaterih mehanskih in procesnih veličin, s katerimi se v regulacijski tehniki v strojništvu pogosteje srečujemo. Opis bo 149 Nazaj na kazalo omejen na poenostavljen shematski prikaz principa merjenja in osnovne značilnosti merilnega člena. Zelo posplošeno lahko rečemo, da veliko večino merilnih členov obravnavamo kot proporcionalne člene. Na osnovi te ugotovitve je tudi regulacijsko blokovno shemo možno in smiselno preoblikovati v takšno z direktno povratno zvezo. SHEMATSKI PRIKAZ OSNOVNE ZNAČILNOSTI Merjenje poti, pozicije x Uporovni (potenciometrični) princip merjenja, uporabljen pri reguliranih pogonih v valjarnah, tekstilni in papirni industriji. Ux Slika 90 + + x Fotoelektronski princip merjenja brez odvzema primarne energije; uporabnost: regulirani pogoni v valjarnah, tekstilni in papirni industriji. Ux Slika 91 150 Nazaj na kazalo + + Kapacitativni mostični princip merjenja; reguliranec-trak je v tem primeru kovinska folija, uporabnost v kovinski industriji, industriji kondenzatorjev, itd. X Ux Slika 92 Ux X Uporovni (potenciometrični) princip merjenja;. uporabnost: regulirani elektropnevmatski in elektrohidravlični servosistem z delovnimi valji, podajalne in strežne enote, robotika, linearni U pogoni. Slika 93 X Induktivni mostični princip merjenja; uporabnost: regulirani elektromehanski in elektrohidravlični R Ux R servosistemi z delovnimi valji, podajalne in strežne naprave, robotika, linearni pogoni. Slika 94 151 Nazaj na kazalo Fotoelektronski sistem z optično stekleno letvijo, digitalni princip merjenja; uporabnost: regulirani elektromehanski in elektrohidravlični pogoni visokih zahtev točnosti na obdelovalnih strojih, robotiki. Slika 95 Merjenje sile, momenta, vrtilnega momenta, tlaka F Uporovna (uporovni lističi) mostična merilna metoda; uporabnost: regulirani pogoni in drugi regulirani sistemi, kjer je treba nadzorovati mehanske in tlačne obremenitve sistema. R1 Rx Ux U= R2 R3 Rx P Slika 96 152 Nazaj na kazalo Merjenje vrtilne hitrosti X Centrifugalni princip; prva znana tehnična izvedba uporabljena pri regulaciji vrtilne hitrosti parnega stroja. n Slika 97 Princip enosmernega električnega generatorja TG Un (tahometrični generator); uporabnost: regulirani pogoni z električnimi in hidravličnimi motorji. n Slika 98 Optoelektronski digitalni princip merjenja s DI Ž perforirano V n na pogonski gredi; uporabnost: regulirani električni in hidravlični fi D ploščo pogoni z zahtevami po veliki točnosti. Število T m f i impulzov v časovnem paketu Tm je proporcionalno vrtilni hitrosti. Tm Tm Slika 99 153 Nazaj na kazalo U n Induktivni digitalni princip merjenja; na pogonski gredi je nameščen feritni vložek, ki inducira napetostne impulze v tuljavi. Število impulzov v časovnem paketu je proporcionalno vrtilni hitrosti. n Slika 100 Merjenje temperature Termoelement, U delovanja temelji na razliki termopotencialov različnih kovin. Uporabnost: procesne regulacije srednjih in višjih temperatur. Slika 101 Bimetalni trak, delovanje temelji na različnih razteznostnih koeficientih kovin. Uporabnost: X preproste izvedbe temperaturnih regulacij npr. gospodinjski stroji, kjer bimetal deluje kot dvopoložajno električno stikalo-regulator. Slika 102 R3 Uporovna (NTC in PTC upori) mostična merilna U metoda. Uporabnost: procesne regulacije za srednja R R1 R2 in nizka temperaturna območja. U Slika 103 154 Nazaj na kazalo Merjenje pretoka in nivoja SHEMATSKI PRIKAZ OSNOVNE ZNAČILNOSTI Uq Turbinski princip kombiniran z induktivno merilno sondo (digitalni princip merjenja vrtilne hitrosti). q Slika 104 h x Princip s plovcem. Merilni sistem lahko dopolnimo z električnim principom merjenja pozicije. Uporabnost: procesne regulacije Slika 105 c h HF Kapacitivna mostična merilna metoda. Uporabnost: procesne regulacije. Slika 106 155 Nazaj na kazalo 4.3 Dajalniki želene veličine ali referenčni členi Dajalniki želene vrednosti posredujejo obliko in vrednost želene veličine, ki se na primerjalnem členu primerja z izmerjeno regulirano veličino. V odvisnosti od vrste regulacije dajejo referenčni členi časovno konstanto želeno vrednost, lahko pa se ta spreminja ali v odvisnosti od časa ali od katere druge veličine. Točnost regulacije je odvisna od točnosti meritve regulirane veličine in točnosti želenega signala, zato je razumljivo, da je pri izbiri in izdelavi dajalnika želene veličine na to treba paziti. Dinamične lastnosti dajalnikov želene veličine načeloma niso zanimive, ker ne »sodelujejo« v dinamičnem opisu regulacijskega kroga. V nadaljevanju je prikazanih nekaj značilnih načelnih izvedb dajalnikov želene veličine. SHEMATSKI PRIKAZ OSNOVNE ZNAČILNOSTI R Stabiliziran izvor enosmerne napetosti. Uporabnost: servo in procesne regulacije s + konstantno želeno vrednostjo z merilnimi členi, ki Uo Už na svojem izhodu daje enosmerni napetostni signal. Slika 107 Mehanski dajalnik z vijakom in vzmetjo. Uporabnost: manj zahtevne dvopoložajne regulacije (gospodinjski stroji), pnevmatski regulacijski sistemi. Slika 108 Pnevmatski elastični meh napajan s konstantnim tlakom. Uporabnost: pnevmatski regulacijski sistemi. Slika 109 156 Nazaj na kazalo Mehanski dajalnik spremenljive želene veličine. Uporabnost: regulirani pogoni kopirnih obdelovalnih strojev. Slika 110 Mehanski dajalnik časovno spremenljive želene veličine. Uporabnost: procesne regulacije (temperature) v tekstilni in kemijski industriji, termoenergetski sistemi. Slika 111 Digitalni računalniški referenčni dajalnik, mikroprocesorski računalniški sistem s perifernimi enotami. Uporabnost: sodobni regulirani pogoni (NC tehnologija, robotika), procesne regulacije. Slika 112 4.4 Primerjalni člen Naloga primerjalnega člena je primerjanje izmerjene vrednosti regulirane veličine in vrednosti želene veličine, ki jo daje referenčni člen. Običajno so ti členi že fizično izvedeni v sklopu regulatorja ali merilnega člena in jih redkeje srečujemo, kot samostojne elemente regulacijskega kroga. Poudariti je potrebno, da se lahko na primerjalnem členu primerjata želena in izmerjena veličina, ki morata biti ista fizikalna veličina, npr. napetost, pomik-pomik, tlak-tlak, tok-tok, silasila. Tudi pri teh členih je njihov dinamični matematični opis manj pomemben in se načeloma smatra, da delujejo, kot proporcionalni členi. Nekaj značilnih izvedb je shematsko prikazano z kratkim opisom v nadaljevanju. 157 Nazaj na kazalo SHEMATSKI PRIKAZ OSNOVNE ZNAČILNOSTI Operacijski enosmerni ojačevalnik regulatorja z direktnim (Už) v funkciji in invertiranim (Um) vhodom. Uporabnost: vse vrste reguliranih pogonov in Slika 113 procesnih regulacij z elektronskim delom za obdelavo podatkov. Princip Wheatstonovega mostiča opravlja hkrati funkcijo merilnega pretvornika, referenčnega člena in primerjalnega člena pri regulaciji različnih neelektriških veličin. Slika 114 Sistem sapnica – zaslonka s primerjavo sil na zaslonki. Uporabnost: pnevmatski regulacijski sistemi. Slika 115 Mehanski diferencial, rezultat primerjave kotov zasuka je zasuk ohišja vezanega na polžasto gonilo. Sistem je m ž c uporaben pri elektrohidravličnih servo pogonih vozil (vojaška tehnika, mobilni hidravlični sistemi). Slika 116 158 Nazaj na kazalo Povzetek: Pri fizični izvedbi regulacijskega sistema vodenja so poleg teoretične optimalne rešitve sistema pomembne tudi fizične komponente, ki znotraj regulacijskega sistema opravljajo specifične naloge. Te komponente po svoji delovni funkciji delimo v: merilne člene, referenčne člene, primerjalne člene, regulatorje, močnostne ojačevalnike in izvršilne organe ali aktuatorje. V poglavju je opisanih nekaj značilnih principov izvedb merilnih členov, referenčnih členov in primerjalnih členov. 159 Nazaj na kazalo Vaja 21: Laboratorijska vaja Optimiranje P regulatorja pozicije kaskadne regulacije glavnega pogona obdelovalnega stroja. a) Izračunaj kritično ojačanje regulatorja K s pomočjo Hurwitzovega stabilnostnega kriterija na osnovi katerega določi optimalno ojačanje regulatorja KRX b) Izberi ojačanje regulatorja s pomočjo računalniškega simulacijskega modela tako, da bo dinamični pogrešek manjši od 5%. Tehnološka shema podajalnega pogona Regulacijski krog pozicije Tvorba želene vrednosti Regulator pozicije Podajalni pogon Vreteno x-smer Naprava za merjenje pozicije Miza DNC Taho Kaseta V X, dej. Regulator Motor Močnostni ojačevalnik X žel. X pogr. Tipkovnica X dej. Interpolacija Vnos - dekodiranje Luknjasti trak Y dej. Vreteno y-smer V X, žel. V Y, žel. Vreteno x-smer Y žel. Ypogr. V Y, dej. Regulator Močnostni ojačevalnik Taho Motor Miza Vreteno y-smer Slika 117 F1 K RX F2 K Rn 0.5 F3 K R 0.05 F4 K u e sTm Ku 10 1 s Tm 1 s 0.005 F 5 KM 5 1 s Te 1 s 0.05 F 6 1 1 s Tme s 0.15 F 7 1 1 s Tv s 0.2 F 8 K 2 F 9 K n 0.5 F 10 K x 1 160 Nazaj na kazalo Blokovna shema regulacije glavnega pogona. DC-servomotor P-reg. vrtilne hitrosti P-reg. pozicije xž + - x nž F1=KRX +- n Iž P-reg. toka +- F2=KRn Moment bremena -MB Električni del Mehanski del motorja motorja Krmiljen usmernik I I + F3=KRI F4 F5 Vreteno (podajalna miza) n +- x F6 F7 Merilni člen toka Vzdrževanje konstantnega momenta motorja F8 Merilni člen vrtilne hitrosti F9 Merilni člen pozicije F10 Slika 118 Rešitev: (Rešitve vaj in dodatne vaje.pdf) Vaja 22: Laboratorijska vaja-SEMINAR Optimiranje regulatorja servo pogona s pomočjo računalniškega simulacijskega modela. Samostojno delo: 1. Naštej komponente po funkciji, ki jo opravljajo v regulacijskem krogu. 2. Kriteriji izbire merilnih členov v regulacijskem krogu. 3. Opiši enega izmed načinov merjenja pozicije (sile, momenta, vrtilne hitrosti). 4. Opiši enega izmed referenčnih členov? 161 Nazaj na kazalo UČNA SNOV 12. TEDNA : REGULACIJSKE NAPRAVE - 2. DEL V tem sklopu gradiva so predstavljeni regulatorji in močnostni ter energetski pretvorniki. Predstavljene so značilne izvedbe teh naprav z dinamičnimi opisi za servo-regulacijske sisteme.. Nazaj na kazalo 162 4.5 Regulatorji Bistveni sestavni del regulacijskega sistema, v katerem se obdelujejo informacije, dobljene iz primerjalnega člena, je regulator. Po matematičnem opisu oziroma po dinamičnem obnašanju ima regulator karakteristiko P - proporcionalnega člena I - integralnega člena D - diferencialnega člena ter kombinacij PI - člena PD - člena PID - člena. Posebej obravnavamo regulatorje, ki imajo lastnosti nezveznih členov, kot so npr. dvopoložajni, tripoložajni,digitalni regulator in drugi. Z ozirom na tehnično izvedbo srečujemo mehanske, električne, elektronske, pnevmatske, hidravlične in druge izvedbe. Nekatere oblike pnevmatskih regulatorjev najdemo, danes samo še v procesni industriji, med tem, ko na vseh ostalih industrijskih področjih uporabljamo največkrat elektronske regulatorje. Le ti, so vse pogosteje digitalni regulatorje, izvedeni z mikroračunalniškimi enotami. Za to sta dva poglavitna razloga, ki smo ju že omenili; prvič zato, ker merimo večino neelektričnih veličin z električnimi in pnevmatskimi merilnimi členi; drugič zato, ker električnim in pnevmatskim regulatorjem razmeroma lahko ustvarjamo dinamične in statične lastnosti, kakršne potrebujemo za optimalno regulacijo. V matematičnem opisu s prenosnimi funkcijami predstavljajo kombinirane vrste regulatorjev PI, PD in PID člena vzporedno povezavo osnovnih vrst P, D in I člena. Blokovno shemo kombiniranega regulatorja prikazuje slika 119. Nazaj na kazalo 163 Slika 119 4.5.1 Tranzistorski regulator Od električnih regulatorjev uporabljamo v analognih regulacijskih sistemih najpogosteje tranzistorske regulatorje, zato si bomo to vrsto regulatorja nekoliko pobliže ogledali. Regulator z ustreznimi dinamičnimi lastnostmi dobimo, če opremimo operacijski tranzistorski ojačevalnik (ojačevalnik enosmernih napetosti) z električnimi impendancami (R, C komponentami) na vhodu in v povratni zvezi med vhodom in izhodom ojačevalnika, slika 120. Ob upoštevanju električnih zakonitosti podanega elektronskega vezja je razmerje med Slika 120 napetostjo na izhodu ojačevalnika in napetostjo na vhodu ojačevalnika, ki ga predstavlja enačba frekvenčne karakteristike: b g F j b g b g b g b g U 2 j Z j 2 U 1 j Z1 j 4.138 Nazaj na kazalo 164 Ob upoštevanju j s dobimo enačbo prenosne funkcije regulatorja: bg Fs bg bg bg bg U2 s Z s 2 U1 s Z1 s 4.139 S primerno izbiro impedanc z1 in z 2 lahko dajemo regulatorju takšne dinamične lastnosti, kot jih v regulacijski zanki zahtevamo (optimiranje regulacijskega kroga). Tabela V prikazuje zgradbo osnovnih vrst tranzistorskih regulatorjev s pripadajočimi prenosnimi funkcijami. Podane so tudi konstante prenosnih funkcij in poteki prehodnih pojavov. Nazaj na kazalo 165 Tabela V: Zgradba osnovnih vrst tranzistorskih regulatorjev Nazaj na kazalo 166 4. 5. 2 Pnevmatski regulator Podobno, kot je bila pri tranzistorskem regulatorju osnova regulatorja operacijski ojačevalnik, je osnovni in bistveni element pnevmatskega regulatorja sistem sapnica-zaslonka, prikazan na sliki 92a. a b Slika 121 Na osnovi zakonitosti aerodinamike je izhodni tlak p i , kot izhodna veličina, v odvisnosti od položaja zaslonke nasproti sapnici, kot vhodne veličine, dan z enačbo: pi p0 1 Kh 2 4.140 V enačbi 4.140 sta p 0 konstantni napajalni tlak sistema in K konstrukcijska konstanta sistema. bg Načelni potek statične karakteristike sistema Pi f h prikazuje slika 121b. S prigrajevanjem pnevmatskih dušilk in volumnov k sistemu sapnica-zaslonka, podobno kot smo to naredili pri tranzistorskem ojačevalniku z dodajanjem ohmskih upornosti in kapacitivnosti, dosežemo ustrezno dinamično obnašanje pnevmatskega regulatorja. Medtem, ko lahko pri tranzistorskem regulatorju dejansko sami izbiramo ustrezne upornosti in kapacitivnosti za dosego želenega dinamičnega obnašanja regulatorja, pa so možnosti našega posega v pnevmatski regulator mnogo manjše. Proizvajalec opremi regulator z vsemi potrebnimi elementi, tako da nam ostane le možnost spreminjanja njihovih vrednosti in posredno vrednosti ojačanja in časovnih konstant regulatorja, v določenem območju. Načelno shemo pnevmatskega PID regulatorja prikazuje slika 122. Nazaj na kazalo 167 Slika 122 Na zaslonko v obliki ročice delujejo sile elastičnih mehov 1 in 2, napajanih z reguliranim tlakom p r in želenim tlakom pž. Ta del sistema predstavlja primerjalni člen. Na drugi strani ročice delujeta sili mehov 3 in 4, napajana z izhodnim tlakom pi preko pnevmatskih dušilk R 1 in R 2 . Volumni mehov 3 in 4 skupaj z dušilkami R1 in R 2 delujejo, kot povratne zveze na sistem, s pomočjo katerih dosežemo ustrezno dinamiko regulatorja. Ob upoštevanju fizikalnih zakonitosti sistema bi dobili prenosno funkcijo regulatorja: F s pi s p ž (s) p r s pi s 1 k 1 sTd p s sTi 4.141 V enačbi 4.141 je K -faktor statičnega ojačenja regulatorja, ki ga nastavljamo z razmerjem ročic l1 / l 2 ; Ti -integracijska časovno konstanta, ki jo spreminjamo s spremenljivo dušilko R1 ; Tddiferencialna časovna konstanta, ki jo nastavljamo s spremenljivo dušilko R 2 . Nazaj na kazalo 168 4.6 Močnostni ojačevalnik Močnostni ojačevalnik sledi regulatorju in močnostno ojačuje šibek signal, ki ga dobimo iz regulatorja. Pogosto močnostni ojačevalnik opravlja tudi funkcijo pretvornika ene vrste energije v drugo, npr. električne v pnevmatsko, električne v hidravlično, mehanske v hidravlično itd. Podobno kot regulatorji, so lahko tudi močnostni ojačevalniki raznovrstni glede na fizikalni princip delovanja in tehnične izvedbe. Pri opisu se bomo zaradi tega omejili le na opis nekaj značilnih izvedb teh členov. 4.6.1 Krmiljeni usmernik Krmiljena usmerniška vezja imajo, med vsemi električnimi močnostnimi ojačevalniki, najugodnejše razmerje med močnostnim ojačenjem in med hitrostjo delovanja. Uporabljamo standardna usmerniška vezja, ki so znana s področja energetske elektronike. Pri izbiri vezja so odločilni namen uporabe, napetostni in močnostni nivo izhodne energije, obseg krmiljenja, hitrost delovanja itd. Uporabljamo jih za napajanje enosmernih servomotorjev (DC-motorji) v funkciji aktuatorjev pri reguliranih pogonih. Slika 123a prikazuje preprosto izvedbo enofaznega polkrmiljenega usmerniškega vezja, sestavljena iz polprevodniških diod in krmiljenih polprevodniških diod ali tiristorjev, ki skupaj z elektronsko vžigno napravo za proženje, oziroma vžig tiristorjev, sestavljajo močnostni ojačevalnik. Vhodni električni signal napetostnega nivoja nekaj V in moči reda mW, preko impulzne naprave, spreminja vžigni kot tiristorjev in na ta način vpliva na trenutni potek usmerjene napetosti (slika 123b). Statično karakteristiko, ki povezuje srednjo vrednost usmerjene izhodne napetosti in vhodne krmilne napetosti, prikazuje slika 123c. Ob upoštevanju fizikalnih osnov delovanja krmiljenega usmernika skupaj z impulzno napravo, lahko prenosno funkcijo aproksimiramo z izrazom: bg Fs bg bg U s A u e sTm UK s 4.142 V enačbi 4.142 je Au faktor napetostnega ojačenja in ga lahko ugotovimo iz statične karakteristike. Običajno krmiljeni usmernik omogoča nekaj 10 –kratno ojačenje. Časovna konstanta Tm je odvisna od frekvence napajalne napetosti in od vrste usmerniškega vezja in jo lahko ugotovimo iz trenutnega poteka usmerjene napetosti. Velikostni razred je 10 ms. Glede na nivo vhodne moči reda mW in izhodne moči reda KW sledi relativno veliko močnostno ojačenje Ap (velikostnega reda 106). Nazaj na kazalo 169 a K M K K b c Slika 123 4.6.2 Frekvenčni pretvornik Danes najbolj uporabna metoda spreminjanja vrtljajev asinhronskega motorja je metoda s spreminjanjem frekvence napajalne napetosti. Statični frekvenčni pretvornik, ki napaja asinhronski motor z variabilno frekvenco, mora imeti na izhodu spreminjajočo napetost v odvisnosti od frekvence, da ohrani magnetne pogoje v železnem jedru motorja. Ko zmanjšamo frekvenco, moramo istočasno zmanjšati tudi napetost, ker v nasprotnem primeru pride do porasta izgub v železu in toku magnetizacije. Pri nizkih frekvencah pride tako do upada omahnega vrtilnega momenta, kar je še posebej problematično pri manjših motorjih. Slika 124 prikazuje energetski del frekvenčnega pretvornika, ki je sestavljen iz usmerniškega dela, razsmernika in kondenzatorja. Energijo zagotavlja omrežje, ki preko trifaznega diodnega usmerniškega vezja napaja kondenzatorsko baterijo. Kondenzator poskrbi, da ostane napetost konstantna tudi, ko se vhodna napetost med polvaloma zniža. Ob vklopu naprave, ko je kondenzator prazen, ta predstavlja praktično kratek stik. Velik polnilni tok, ki steče v tem trenutku, lahko poškoduje diode na vhodu. Za preprečevanje tega pojava se uporablja polnilno vezje, sestavljeno iz upora za polnjenje kondenzatorja, ki ga po določenem času premosti kontakt releja ali kontaktorja. Nazaj na kazalo 170 Slika 124 Na izhodni strani pretvornika je šest tranzistorjev, ki sestavljajo razsmernik. Z ustreznim krmiljenjem posameznih stikal lahko statorska navitja asinhronega motorja napajamo tako, da le ta ustvarijo vrtilno magnetno polje. Hitrost vrtenja polja se sedaj uravnava s časovnim zaporedjem vklapljanja posameznih stikal (tranzistorjev). Rezultat je vrteče se magnetno polje s spremenljivo hitrostjo vrtenja in s tem tudi spremenljivo hitrostjo vrtenja rotorja. Ob vsakem vklopu se na določeno fazo pritisne napetost vmesnega enosmernega kroga , ki skozi statorsko navitje poganja ustrezni tok. Dodatno mora krmilna elektronika zagotoviti tudi spremembo efektivne vrednosti pritisnjene napetosti, da ostaja magnetni pretok v mejah nazivnega. Frekvenčni pretvorniki nudijo tudi regulacijo saj imajo lahko vgrajen PI ali PID regulator. 4.6.3 Elektrohidravlični servoventil Elektrohidravlični servoventil je izvedba močnostnega ojačevalnika, ki združuje lastnosti močnostnega ojačevalnika in pretvornika električne energije v kinetično energijo hidravličnega olja. Vhodni signal je električni tokovni ali napetostni signal, izhodna veličina pa pretok hidravličnega olja (tokovni ventil) ali tlak olja (tlačni ventil). Slika 125 prikazuje shematski prerez ene izmed značilnih izvedb servoventila. Nazaj na kazalo 171 Slika 125 Elektrohidravlična ojačevalna predstopnja vsebuje elektrodinamični sistem 1. Kotva 2 tega sistema premika zaslonke dveh nasproti si ležečih sistemov sapnica-zaslonka 3. Diferencialni tlak iz obeh sistemov krmili bat razvodnika 4, ki predstavlja močnostno stopnjo servoventila. Razvodnik povezuje prek svojih priključkov hidravlični vir napajanja z izvršilnim organom (motorjem, cilindrom). Točen matematični opis dinamičnega obnašanja servoventila je zaradi prepletanja električnih, mehanskih in hidromehaničnih zakonitosti zahteven. V dokaj poenostavljeni obliki lahko ponazorimo servoventil, kot člen prvega reda s prenosno funkcijo: F s Q s K i s 1 sT 4.143 Nazaj na kazalo 172 Povzetek: Vitalni deli regulacijskega sistema so regulatorji, ki jim sledijo močnostni ojačevalniki in energijski pretvorniki. Po dinamičnih lastnostih ločimo P, I in D regulatorje ter njihove kombinacije. V procesnih regulacijah je bil včasih zanimiv pnevmatski regulator, ki ga danes vse redkeje srečamo. V praksi je najpogostejša tehnična izvedba analogni elektronski regulator. V sodobni računalniško vodeni industriji pa uporabljamo digitalne izvedbe regulatorjev. Za dvigovanje močnostnega nivoja obdelane informacije v regulatorju sledi, med regulatorjem in aktuatorjem, močnostni ojačevalnik, ki je prilagojen tehnični izvedbi aktuatorja in regulatorja. Močnostni ojačevalniki pogosto opravljajo tudi funkcijo energetskega pretvornika npr.: izmenične električne energije v enosmerno, izmenične električne energije ene frekvence v drugo, električne energije v hidravlično energijo itd. Samostojno delo: 1. Vrste regulatorjev po dinamičnem opisu? 2. Osnovni opis analognega elektronskega regulatorja? 3. Močnostni ojačevalnik v elektromehanskih reguliranih pogonih? 4. Močnostni ojačevalnik v elektrohidravličnih reguliranih pogonih? Nazaj na kazalo 173 UČNA SNOV 13. TEDNA : REGULACIJSKE NAPRAVE - 3. DEL V tem delu gradiva so opisani izvršilni organi ali aktuatorji. V funkciji aktuatorjev, v servoregulacijski tehniki, se najpogosteje srečujemo z električnimi motorji, hidravličnimi motorji in hidravličnimi cilindri. Za omenjene vrste aktuatorjev je podan kratek opis delovanja s pripadajočimi dinamičnimi karakteristikami pomembnimi za obravnavo v regulacijski teoriji. Nazaj na kazalo 174 4.7 Izvršilni organi – nastavitveni členi, aktuatorji Naloga izvršilnih organov – nastavitvenih členov – je pretvarjanje in usmerjanje toka energije ali toka materije v regulacijskem objektu. V pretežni večini regulacijskih sistemov so to električni, pnevmatski ali hidravlični elementi. Zato se bomo v nadaljevanju omejili na opis značilnih predstavnikov teh vrst izvršilnih organov. 4.7.1 Enosmerni električni motor Enosmerni električni motor, ali kot ga v regulacijski tehniki pogosto imenujemo DC-servomotor, ima zaradi ugodnih karakteristik (konstanten izkoristek pri različni vrtilni hitrosti) in enostavnega nastavljanja vrtilne hitrosti, široko področje uporabe v pogonski tehniki, kljub relativno zahtevni konstrukciji. Vrtilno hitrost motorja, kot izhodno regulirano veličino, nastavljamo s spreminjanjem rotorske napajalne napetosti (iz krmilnega usmernika) ali s spreminjanjem statorskega vzbujalnega toka. Shematski prikaz motorja je na sliki 126. I R L Mb , J U I vz = konst. n, M Slika 126 U I - enosmerna rotorska napajalna napetost enosmerni rotorski tok I VZ - enosmerni statorski vzbujalni tok R - rotorska upornost L - rotorska induktivnost M - pogonski moment motorja Mb - moment bremena J - vztrajnostni moment rotirajočih mas kn , km - konstrukcijske konstante motorja n vrtilna hitrost - Nazaj na kazalo 175 Ob predpostavki, da je statorsko vzbujanje konstantno, lahko dinamične razmere v motorju opišemo z diferencialnimi enačbami, ki opisujejo mehanske in električne razmere v motorju: dn Mb dt dI U IR L k u n dt kmI J 4.145 Ob upoštevanju izsledkov dinamike sistemov in teorije linearnih regulacijskih sistemov dobimo, za obravnavani motor, naslednje oblike prenosnih funkcij: bg F1 s bg ns 1 1 M J is bs s sTm km km bg bg bg bg 4.146 is 1 1 F2 s L u s k u n s 1 s 1 sT1 R bg Od tod je prenosna funkcija, ki povezuje veličine u in n: b g nubbssgg 1 sT 1 2 m s Tm T1 Fs 4.147 in prenosna funkcija, ki povezuje veličini n in mb (prenosna funkcija za motnje): F s n s mb s 1sT1 1 sTm s 2 Tm T1 4.148 Blokovno shemo enosmernega motorja prikazuje slika 127. Mb (s) Km U(s) - n(s) F1 (s) = K 1+sT1 F2 (s) = 1 sTm Slika 127 Nazaj na kazalo 176 4.7.2 Asinhronski motor Asinhronski motor velja danes za enega najpogosteje uporabljenih elektromotorjev. To razširjenost uporabe si je pridobil predvsem z enostavno konstrukcijo, in veliko obratovalno zanesljivostjo. Sestavljen je iz več navitij na statorju in rotorju. Statorska navitja so porazdeljena po obodu statorja v statorskih utorih, rotorska navitja pa po obodu rotorja v rotorskih utorih. Statorsko navitje je priključeno na omrežje, od koder črpa električno energijo. Namesto rotorskega navitja pa lahko imamo tudi kratkostično kletko. Obstaja tudi manj uporabljen asinhronski motor, ki ima v utorih rotorja trifazno navitje, ki ga preko drsnih obročev izpeljemo iz rotorja. Zgled konstrukcije asinhronskega motorja s kratkostično kletko je prikazan na sliki 128. Slika 128 Delovanje asinhronskega motorja temelji na osnovi vrtilnega magnetnega polja. Vrtilno magnetno polje tako ustvarjajo navitja na statorju in rotorju, ki morajo biti zato ustrezno krajevno premaknjena in tudi ustrezno napajana. Za samo delovanje takšnega motorja zadostujeta po dve navitji na statorju in dve navitji na rotorju. Zaradi tega pogoja poznamo tudi dvofazne asinhronske motorje, ki jih v praksi srečamo redkeje. Glavna razlika med dvofaznim in trifaznim asinhronskem motorjem je pri zagonu. Pri trifaznem motorju je smer vrtenja enolično določena z napetostjo, ki jo imamo na statorju, pri dvofaznem motorju pa v trenutku, ko na statorsko navitje priključimo napetost, motor nima določene smeri vrtenja. Zaradi tega je pri uporabi dvofaznega motorja dodan kondenzator, ki določi smer vrtenja. Ko se motor začne vrteti lahko kondenzator razklenemo in dvofazni motor deluje enako, kot trifazni. Število vrtljajev rotorja asinhronskega motorja spreminjamo s: spremembo števila polov motorja, spremembo slipa in s spremembo frekvence pritisnjene napetosti. Shematski prikaz motorja je na sliki 129. Nazaj na kazalo 177 Statorska napetost spremenljive frekvence Uc(s) Referenčno polje Slika 129 Dinamične razmere v motorju opišemo z diferencialnimi enačbami, ki jih dobimo iz Newtonovega zakona: vsota vseh momentov je enaka vsoti vseh reakcijskih momentov. Delujoči moment je moment motorja, ki je funkcija kotne hitrosti in krmilne napetosti Uc, reakcijska momenta pa sta vztrajnostni moment in dušilni moment. Dobimo linearno diferencialno enačbo druge stopnje, ki nam opisuje obnašanje motorja v izbrani delovni točki. m d d 2 d K m U c (t) J 2 b ; dt dt dt Km M m M m , m v c 4.149 Za določitev prenosne funkcije preslikamo enačbo 4.149 v slikovni prostor in določimo razmerje med vhodno in izhodno veličino, dobimo: F(s) Km Km (s) u c (s) J s(Tm s 1) s s 1 bm 4.150 Km Tm - konstanta elektro-motorja časovna konstanta motorja J b - vztrajnostni moment rotorja dušilni element (trenje) m - naklon linearizirane krivulje navor-vrtilna hitrost (ponavadi je negativen) - kotna hitrost - kot zasuka osi motorja Mm - moment motorja Nazaj na kazalo 178 Iz prenosne funkcije sledi, da ima blokovna shema tri člene, ki so serijsko povezani. Proporcionalni člen-Km, člen prve stopnje s časovno konstanto Tm in integralni člen s konstanto T=1. Blokovno shemo AC motorja prikazuje slika 130. vc(s) (s) (s) Km 1 1+Tms 1 Ss Slika 130 4.7.3 Hidravlični rotacijski motor z nagibno ploščo Med hidravličnim izvršilnimi členi se najpogosteje uporabljata hidravlični delovni valj in rotacijski hidravlični motor v izvedbi, kot aksialni batni motor z nagibno ploščo. Shematski prikaz motorja prikazuje slika 131. Slika 131 Nazaj na kazalo 179 Dinamično obnašanje motorja temelji na matematičnem opisu hidromehanskih razmer v motorju. Izhodiščni enačbi, s pomočjo katerih izpeljemo ustrezne prenosne funkcije, se v dokaj poenostavljeni obliki glasijo: q D m n Cp dn Dmp J Bm n m b dt 4.151 V enačbah 4.151 so: q - srednja vrednost pretoka olja skozi motor Dm - volumetrična konstanta motorja C - izgubni koeficient olja p=p1-p2 - delovni padec tlaka na motorju Bm - koeficient viskoznega dušenja olja J - vztrajnostni moment rotirajočih mas mb - moment bremena S preoblikovanjem in normiranjem podanih enačb dobimo ustrezne oblike prenosnih funkcij motorja: b g qnbbssgg cD D CB h 1CJ 1 KsT 1 s D CB nbsg K 1 1 F bsg CJ m bsg D s 1 sT B 1 F1 s 1 m 2 m m 2 m 1 m 4.152 2 2 2 m o m C D 2m CBm 2 Blokovno shemo motorja v tej poenostavljeni obliki opisa prikazuje slika 132: mb - q(s) n(s) 1 Bm+Js Dm C Dm Slika 132 Nazaj na kazalo 180 4.7.4 Pnevmatski in hidravlični delovni valj Pogosto uporabljeni izvršilni organ v pnevmatskih in hidravličnih servosistemih je delovni valj, slika 133. Dinamični opis delovnega valja je bil obravnavan v poglavju 2.4.5, od koder je vidno, da gre za integralno delujoči člen s prenosno funkcijo: b g xybbssgg S1 T1s s Fs k 4.153 i K - konstanta ventila S - površina bata Q - pretok medija X S Y k Q Slika 133 4.7.5 Regulacijski ventil V procesnih regulacijskih sistemih uporabljamo, kot izvršilne organe za krmiljenje toka energije (topla voda, para) ali tekočin in plinskih medijev zaslone, zasune, lopatice, najpogosteje pa regulacijske ventile. Z nastavitvijo odprtja ventila reguliramo pretok medija. Slika 134a prikazuje načelni izgled presekov dveh pogosto uporabljenih izvedb ventilov. Geometrijska oblika glave in sedeža ventila določata statično karakteristiko ventila, ki podaja pretok Q v odvisnosti od odprtja ventila X, slika 134b. Nazaj na kazalo 181 a b Slika 134 Te karakteristike so običajno podane v normiranih vrednostih z ozirom na imenske vrednosti in imajo linearni potek, logaritemski potek in logaritemski potek s premaknjeno izhodiščno vrednostjo. Ventile z linearnim potekom statične karakteristike običajno uporabljamo pri regulacijskih procesih tekočih medijev. Logaritemski potek imajo ventili za regulacijo pretokov plinov in par. Kot nastavitvene organe ventila uporabljamo običajno elektromagnete, pnevmatske membranske delovne valje in hidravlične delovne valje. Od nastavitvenega organa so v veliki meri odvisne tudi dinamične lastnosti ventila. Slika 135 prikazuje regulacijski ventil z membranskim pnevmatskim delovnim valjem, kot nastavitvenim organom, za katerega je podan ustrezni matematični opis: p A kv x d q v Slika 135 Ap k V x d dx dt 4.154 q Vx Nazaj na kazalo 182 V enačbah 4.154 so: A - aktivna površina membrane pnevmatskega delovnega valja kV - konstanta vzmeti d - faktor viskoznega dušenja pretočnega medija V - pretočna konstanta ventila S preoblikovanjem enačb 4.154 dobimo ustrezno prenosno funkcijo regulacijskega ventila: b g qpbbppgg Ak Fp V V 1 K d 1 p 1 pT kV 4.155 V tem poglavju je bilo opisanih le nekaj tipičnih vrst in izvedb naprav, ki sestavljajo regulacijski sistem. Pri merilnih in primerjalnih členih ter dajalnikih želenih vrednosti smo se omejili le na kratek opis delovanja brez vsake matematične analize, iz katere bi dobili ustrezne prenosne funkcije. Zakaj? Zelo posplošeno lahko rečemo, da se v zaključenih regulacijskih krogih elementi obnašajo, kot proporcionalni členi, saj lahko njihove dejanske časovne konstante zaradi relativno majhnih vrednosti, v primerjavi s časovnimi konstantami ostalega sistema, zanemarimo. Faktorje statičnih ojačanj teh členov običajno dobimo iz eksperimentalno posnetih statičnih karakteristik. V nasprotju s povedanim pa so dinamične lastnosti regulatorjev odločujoče pri obnašanju regulacijskega sistema, zaradi česar je bil pri opisu regulatorjev poudarek na tem, kako te lastnosti spreminjamo oziroma na kakšen način spreminjamo konstante v prenosnih funkcijah regulatorjev. Pri močnostnih ojačevalnikih je poleg dinamičnih lastnosti v ospredju predvsem faktor močnostnega ojačenja. Enako lahko rečemo za izvršilne organe. Poznati moramo njihove dinamične lastnosti. Pomembna lastnost pri izbiri teh členov je prilagodljivost z ozirom na regulacijski objekt in vrsto primarne pogonske energije. Npr. pri regulaciji vrtilne hitrosti določenega regulacijskega objekta (obdelovalnega stroja, transportne linije itd.) se bomo odločili za električni motor, če je na razpolago električna energija, kot primarna pogonska energija. Če so zahteve po regulaciji premočrtnih pomikov ali hitrosti, bomo problem tehnično ugodneje rešili s hidravličnimi delovnimi valji. Seveda pa moramo imeti na razpolago hidravlični izvor primarne energije. Regulacijski objekti – reguliranci so po strukturi, fizikalnem delovanju, zahtevah in drugih vidikih tako raznovrstni, da bi bilo težko v nekaj stavkih strniti njihove poglavitne skupne lastnosti, zato so v tem opisu izpuščeni. Nazaj na kazalo 183 UČNA SNOV 14. TEDNA: OPTIMIRANJE REGULACIJSKIH SISTEMOV Optimalno vodenje regulacijskega sistema je povezano z ustrezno izbiro vrste regulatorja in njegovih številčnih vrednosti, z ozirom na objekt vodenja. V tem delu gradiva so predstavljene analitične in grafične metode za izbiro primernega regulatorja. Predstavljena je tudi določitev parametrov regulatorja za dosego optimalnega časovnega poteka regulirane veličine. To opravilo imenujemo postopek ožje sinteze regulacijskega načela vodenja. Nazaj na kazalo 185 5. OPTIMIRANJE REGULACIJSKIH SISTEMOV 5.1 Naloge sinteze Razvoj, projektiranje in gradnja regulacijskih naprav je dokaj zahtevna naloga. Če vse stroje zajamemo z besedami »širša sinteza«, poteka delo te širše sinteze največkrat v naslednjih stopnjah: 1. Analiza (matematična ali eksperimentalna) reguliranca; ugotavljanje dinamičnih lastnosti, delovnih pogojev in zunanjih vplivov (motenj). 2. Definicija in utemeljitev zahtev, ki jih naj izpolnjuje regulacija. 3. Načelni osnutek zgradbe regulacijskega kroga; idejni projekt. 4. Izbira sestavnih delov regulacijskega kroga ob upoštevanju zmogljivosti, zanesljivosti, točnosti razpoložljivih energijskih izvorov, obratovalnih pogojev, cen itd. 5. Določitev strukture (blokovna shema) regulacijskega kroga, določitev in izračun sestavnih delov in parametrov regulacijskega kroga na osnovi zahtevanih statičnih in dinamičnih lastnosti. 6. Projektiranje, gradnje in montaža regulacijske naprave. 7. Dokončna (fina) nastavitev parametrov regulacije v realnih obratovalnih pogojih. 8. Poskusno obratovanje celotne regulacije. To delo je seveda zelo obsežno in zahteva, v splošnem sodelovanje med regulacijskim tehnikom, tehnologom in matematikom. Od regulacijskega tehnika zahtevamo zelo široko tehniško razgledanost, saj mora poznati in uporabljati vse najnovejše dosežke moderne tehnike. Problem, ki ga postavlja opisana širša sinteza, tudi nima vedno enosmiselne rešitve, saj lahko zahtevo enako dobro izpolnimo s sestavnimi deli, ki imajo različno strukturo (blokovno shemo). Regulacijskemu tehniku pripada naloga, da se odloči za tisto varianto, to ja za tisto tehnično rešitev, ki z najmanjšimi sredstvi (stroški) izpolnjuje postavljeno nalogo. Takšna rešitev zahteva mnogo izkušenj. Pri sintezi regulacijskih krogov prav tako ne smemo pričakovati večje natančnosti numeričnih rezultatov. Razlogov za to je več. Predvsem so sestavni deli regulacijskih krogov nelinearni in imajo večkrat tudi časovno spremenljive ali celo porazdeljene parametre. Moderne regulacijske strukture imajo lahko tudi zelo zapleteno blokovno shemo. Matematični aparat, ki ga uporabljamo pri izračunih regulacijskih krogov, se naslanja na navadne in parcialne diferencialne enačbe, za katere pa vemo, da so splošno rešljive le kot linearne, ne pa tudi kot nelinearne. V praksi si pomagamo tako, da prenosne funkcije in po potrebi tudi blokovne sheme »poenostavljamo« in Nazaj na kazalo 186 pridemo tako, z razmeroma enostavnimi računskimi operacijami, do približnih rezultatov, ki so v inženirski praksi še vedno uporabni. Zelo uporabno orodje pri analizi in sintezi regulacijskih sistemov je tehnika računalniškega modeliranja, ki precej olajša računanje in omogoča laboratorijske modelne preizkuse, s pomočjo katerih lahko relativno preprosto ugotovimo proste parametre sistema (običajno regulatorja), ki dajo optimalni potek regulirane veličine. V nadaljevanju se bomo omejili le na mnogo ožje področje sinteze. Ogledali si bomo nekaj metod za določanje prostih parametrov regulatorjev v že določenih blokovnih shemah regulacijskih sistemov, ki naj omogočajo predpisane statične in dinamične lastnosti regulacije. Odslej bomo pod sintezo regulacijskih sistemov (za razliko od »širše sinteze«) razumeli le izbiro vrste regulatorjev in morebitnih korekcijskih členov pri že določeni strukturi (blokovni shemi) celotne regulacije ter določevanje prostih parametrov regulatorjev. Zadnji del naloge imenujemo tudi »optimiranje regulacijskega sistema«. 5.2 Optimalna regulacija Splošno veljavnega kriterija za optimalni časovni potek regulirane veličine ne moremo postaviti iz preprostega razloga, ker so tehniške zahteve od primera, do primer zelo različne. Tako npr. zahteva določena naloga, da poteka regulacijski proces aperiodično, medtem ko lahko dopuščamo drugje močno nihanje. Potek regulirane veličine je prav tako odvisen od časovnega poteka motnje ali želene veličine. Ponavadi opazujemo in računamo prehodni pojav za vhodno funkcijo v obliki enotine funkcije ali v obliki enotinega impulza. Takšne oblike so namreč zelo primerne za računanje. Seveda pa so v praksi vhodne funkcije, zlasti motnje, tako po velikosti kakor tudi po obliki v splošnem povsem naključne in imajo čisto statistični značaj. Zato ne smemo računati le z eno obliko motnje in na to obliko optimirati regulacijski krog. Četudi se pojavljajo motnje z enakim časovnim potekom, vendar na različnih mestih, to različno vpliva na regulirano veličino. Pri vodenih regulacijah, kadar je časovni potek želene veličine vnaprej znan, lahko natančneje optimiramo regulator,v povezavi z obliko in mestom delovanja vhodne veličine. Regulacija mora biti sposobna odpravljati tudi vplive drugih vhodnih veličin (motenj), ki so lahko, bolj ali manj, statističnega značaja. Iz vsega tega vidimo, da je problem najboljše regulacije od primera do primera zelo različen. Da bi dobili matematično oprijemljive pogoje, ki bi v konkretnih primerih lahko določili najboljšo nastavitev in omogočili primerjavo zmogljivosti regulacijskih naprav, so različni avtorji uvedli različne kriterije »optimalne regulacije«. Nazaj na kazalo 187 5.2.1 Integralni kriteriji Integralni kriteriji optimiranja regulacijskih krogov izhajajo iz analize časovnega poteka regulirane bg veličine X(t) oziroma iz ugotavljanja pogreška t , to je razlike med želeno veličino Xž(t) in regulirano veličino X(t). 5.2.1.1 Kriteriji linearnega optimuma Po tem kriteriju opazujemo ploskev S, ki jo oklepa pogrešek s časovno osjo. Regulacija je tem boljša, čim manjšo vrednost ima integral: z bg S t dt min imum 5.156 0 V enačbo 5.156 vstavljamo za regulacijo s konstantno želeno vrednostjo, ki a) nima preostalega pogreška (slika 136) t X t X ž1 (t) b) ima preostali pogrešek (slika 137) t X t X t bg bg b 5.157 g 5.158 in za vodeno regulacijo, ki a) nima preostalega pogreška (slika 138) t X t Xž2 b) ima preostali pogrešek (slika 139) t X t X t Slika 136: bg bg b 5.159 g 5.160 Slika 137: Nazaj na kazalo 188 Slika 138 Slika 139: : : Seveda pa velikost ploskve S še ne more biti zadostno merilo za kvaliteto regulacije, saj bi npr. v primeru trajnega harmoničnega nihanja s konstantno amplitudo dobili S = 0, čeprav je regulacija na meji stabilnosti. Zato moramo vnesti še kakšen dodatni pogoj, npr. zahtevo po določenem bg relativnem dušenju. Lahko pa namesto pogreška t opazujemo absolutno vrednost in uvedemo kriterij: z bg S t dt min imum 5.161 0 Regulacijski krogi, ki jih optimiramo s pomočjo kriterija linearnega optimuma, so v splošnem močno dušeni. 5.2.1.2 Kriterij kvadratičnega optimuma bg bg Namesto pogreška t lahko opazujemo tudi njegovo kvadratno vrednost 2 t , slika 140, in uvedemo kriterij: z bg S 2 t dt min imum 5.162 0 2 2 t Slika 140 Nazaj na kazalo 189 S kvadriranjem pogreška dobimo same pozitivne vrednosti in zato ni potrebno postaviti dodatnih pogojev. Ker ta kriterij zaradi kvadriranja močno poudarja velike odstopke, dobimo kot rezultat optimiranja prehodne pojave z majhnimi prenihanji, vsekakor na račun slabega dušenja. 5.2.1.3 ITAE kriterij bg Da bi bolje zajeli počasi izginjajoče odstopke t in nekako s tem regulacijski čas je uveden kriterij: S t t dt minimum 5.163 0 znan pod imenom ITAE kriterij (Integral of Time multiplied Absolute value of Error), ki se je kot posebej uporaben pokazal pri vodenih regulacijah. Poleg omenjenih štirih kriterijev obstajajo še drugi integralni kriteriji, ki na različne načine upoštevajo časovni potek pogreška in čas trajanja prehodnega pojava, npr.: S t tdt , S t t dt , 2 0 0 S t t 2dt 5.164 0 Zakaj je delo pri optimiranju z integralnimi kriteriji praviloma težavno in dolgotrajno? Naloga optimiranja je poiskati vrednosti prostih parametrov v regulacijskem krogu. Ti prosti parametri (pri enostavni regulaciji npr. s PI – regulatorjem sta to K r in Ti ) se pojavljajo kot neznanke v izrazu za bg X(t) oziroma t , ki jih izračunamo po enem izmed navedenih kriterijev. Že pri enostavnih regulacijah naletimo pri analitičnem računanju teh integralov na velike težave, izrazi za S pa so komplicirani in nepregledni. Če hočemo sedaj izračunati optimalne proste parametre, moramo te komplicirane izraze še odvajati in iskati ekstreme, kar je združeno z novimi računskimi težavami. Integralni kriteriji postanejo zanimivi v kolikor regulacijski krog računalniško modeliramo. Tako lahko relativno hitro izvršimo veliko variantnih izračunov, z različnimi vrednostmi prostih parametrov in se na osnovi dobljenih rezultatov odločimo za njihove optimalne vrednosti. Načelna računalniška blokovna shema za optimiranje regulacijskega kroga po kriteriju ITAE prikazuje slika 141. Nazaj na kazalo 190 t s = .t t dt min Xž R X t M M Xž X + - 2 3 .t x s = t dt min 4 I 1 + Slika 141 5.2.2 Kriterij na osnovi poteka frekvenčne karakteristike Kot smo videli v poglavju o teoriji linearnih regulacijskih sistemov, obstaja zveza med časovnim potekom regulirane veličine in med potekom frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega kroga. S primerno izbiro prostih konstant lahko vplivamo na potek frekvenčne karakteristike in s tem posredno na potek regulirane veličine X(t). Na tem načelu slonijo nekateri matematični in matematično-grafični postopki za optimiranje regulacijskih krogov, ki imajo v primerjavi s postopki, opisanimi v poglavju 5.2.1, to poglavitno prednost, da so relativno enostavni in zato praktično uporabni. O poteku frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega kroga v okolici kritične točke in o njegovem vplivu na regulacijske lastnosti smo govorili že v predhodnih poglavjih. Ta spoznanja uporabljajo matematično-grafični postopki za sintezo ob uporabi Nyguistovega, Bodejevega in Nicholsovega diagrama. b g V kolikor imamo potek frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega kroga F0 j dan v Nyquistovem diagramu, vemo iz izkušenj, da bo regulacijski krog v mnogih primerih »ravno pravilno dušen«, če je resonančni faktor zaključenega regulacijskega kroga Q rz max 1,3 . To spoznanje lahko uporabimo za izbiro »optimalnih« konstant regulatorja. Do podobnih zaključkov lahko pridemo, če je podana frekvenčna karakteristika v Bodejevem diagramu. Prednost Bodejevega diagrama je v tem, da lahko relativno preprosto grafično konstruiramo razultirajočo Nazaj na kazalo 191 b g frekvenčno karakteristiko F0 j iz potekov frekvenčnih karakteristik posameznih členov regulacijskega kroga. Žal pa v tem diagramu v nasprotju s prej omenjenim nimamo krivulj za max konst. , ki so, kot smo videli, uporabne za določevanje prostih konstant v zaključenem regulacijskem krogu. Zaradi tega je Bodejev diagram za optimiranje manj primeren. Kljub temu pa lahko rečemo, da pri dobri regulaciji zahtevamo, da ima frekvenčna karakteristika odprtega regulacijskega kroga amplitudno rezervo rez 0,6 in fazno rezervo rez 30 , slika 142. Te orientacijske vrednosti ne jamčijo vedno optimalnega poteka regulirane veličine in so primerne le za grobo optimiranje regulacijskega kroga. o 90 o 0 o o -90 rez o -180 o 2 -270 10 1 10 o 0 10 rez -1 10 -2 10 -2 10 -1 10 1 0 a 10 b 10 2 (s-1) 10 Slika 142 »Optimalno« konstanto k r - P-regulatorja v prenosni funkciji odprtega regulacijskega kroga bg bg sistema F b j g . Zanimiv je predvsem potek amplitudne karakteristike b j g . Množenje b j g z F0 s K R Fs s določimo tako, da najprej konstruiramo rezultirajočo frekvenčno karakteristiko s s s optimalno vrednostjo K R pomeni njen vertikalni premik do položaja, kjer lahko opredelimo Nazaj na kazalo 192 b g »optimalno« amplitudno rezervo rez 0,6 . Iz potrebnega premika s j sklepamo na vrednost K R . S tem postopkom posredno določimo tudi fazno rez . Ta grafična metoda je primerna za klasičen način konstruiranja frekvenčne karakteristike, kakor tudi za sodobne računalniške metode konstruiranja frekvenčnih karakteristik. Ugotavljanje optimalnih parametrov sestavljenih regulatorjev PI, PD in PID poteka po podobnih postopkih, ki jih je potrebno večkrat ponoviti, da lahko ugotovimo spremenljive parametre K R , TiR in TDR . Nazaj na kazalo 193 Povzetek: V postopke sinteze regulacijskega sistema spadajo vsa opravila, ki jih je potrebno opraviti za dosego optimalnega delovanja regulacijskega sistema. Poleg definiranija tehnoloških zahtev, ki jih naj regulacijski sistem izpolnjuje, je ena izmed nalog tudi optimalna nastavitev regulacijskega sistema, ki jo imenujemo tudi ožja sinteza. Naloga ožje sinteze je, za obstoječi objekt vodenja s fiksnimi parametri v njegovem dinamičnem opisu, izbrati vrsto regulatorja in številčne vrednosti spremenljivk - parametrov tako, da dosežemo optimalni potek regulirane veličine. V zadnjem poglavju so opisane tri metode optimiranja regulatorja: integralni kriterij, kriteriji na osnovi poteka frekvenčne karakteristike odprtega regulacijskega kroga in izkustveni postopki optimiranja, ki so prirejeni za procesne regulacije. Vaja 22: Laboratorijska vaja-SEMINAR Optimiranje regulatorja servo pogona s pomočjo računalniškega simulacijskega modela. Samostojno delo: 1. Osnovni namen optimiranja regulacijskega kroga. 2. Opiši enega izmed kriterijev optimiranja. Nazaj na kazalo 194 6. LITERATURA [1] Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. Modern Control systems, tenth edition, Pearson Prentice Hall, Pearson education, inc. Upper Saddle River, NJ 07458, 2005. [2] O. Follinger: Regelungstechnik, 8. predelana izdaja, Huthig Buch Verlag Heidelberg, Huthig, 1994. [3] Z. Bubnicki: Modern Control Theory, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 2005. [4] E. Kiker: Krmilna tehnika, Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Maribor, 2003. [5] J. Elpers: Mechatronik, Kieser Verlag, Neusass, 1999. [6] B. H Dan Valentin: Essential Matlab for Engineers and Scientist, Linacre House, Jordan Hill, Oxford OX2 8DP, UK, 2010. Nazaj na kazalo 195
© Copyright 2024