1. No category

EGIPČANSKE PIRAMIDE
borut jurčič zlobec 1
23. avgust 2014
vsebina
1
2
3
4
5
6
7
Motiv
Egiptovske enote za merjenje dolžine
Kratka zgodovina števil φ in π
3.1 Število φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Število π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zlati rez v Keopsovi piramidi
Fizikalne in estetske omejitve oblike egipˇcanskih piramid.
Naklonski koti v egipˇcanskih piramidah
Zakljuˇcek
3
4
5
5
6
7
8
10
12
slike
Slika 1
Slika 2
Trikotnik v piramidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
11
Egipˇcanske dolžinske enote . . . . . . . . . . . . . . .
Dimenzije egipˇcanskih piramid izražene v metrih . .
Dimenzije egipˇcanskih piramid izražene v kraljevih
komolcih in sekedih . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
8
tabele
Tabela 1
Tabela 2
Tabela 3
1
Astronomsko dru¨stvo Javornik, Ljubljana Slovenia
1
9
Tabele
uvod
Za lažje razumevanje priporoˇcamo bralcu, da se seznani z vsebino sestavka
na temo zlatega reza:
http://mat03.fe.uni-lj.si/html/people/borut/doc/zlati_rez.pdf
pričujoč zapis obravnava dimenzije egipčanskih piramid.
Poskušali bomo razložiti, kako so graditelji doloˇcali dimenzije in zakaj so
te takšne kakršne so. Predvsem se bomo posvetili razmerju stranic v trikotniku, ki ga tvorijo polovica roba osnovne ploskve, višina in višina stranske
ploskve piramide. Poskušali bomo pokazati, da je mere piramid doloˇcala
predvsem pragmatiˇcnost, kompromis med fizikalnimi lastnostmi materiala,
preprostim zapisom mer in seveda omejenost sredstev za gradnjo.
Slika 1: Trikotnik, ki ga tvorijo polovica roba osnovne ploskve, b/2, višina, h in
višina stranske ploskve piramide s.
v večini primerov je razmerje stranic omenjenega trikotnika enako
3 : 4 : 5. Števila 3, 4 in 5 tvorijo pitagorejsko trojico. Trikotnik s takšnim
razmerjem stranic pravokoten, po Pitagorovem izreku je 3 2 + 4 3 = 5 2 .
Znano je, da so pri doloˇcanju pravih kotov pri gradnji piramid uporabljali
pitagorejske trojice, zato izbor tega razmerja ne preseneˇca.
razmerje stranic omenjenega trikotnika pa pri vseh piramidah ni
enako. Najdemo tudi druga razmerja. Najbolj vzbuja pozornost razmerje
stranic omenjenega trikotnika pri nekaterih piramidah, med njimi je tudi
Keopsova, ker se približa razmerju zlatega trikotnika, ki ga bomo definirali
v nadaljevanju. Že ime pove, da zlati trikotnik vsebuje razmerje zlatega
reza. Kot bomo videli pozneje, stopi tu v igro še število π, razmerje med
premerom in obsegom kroga. Tako je dosežena kritiˇcna mera skrivnostnih
povezav, ki buri domišlijo.
razmerje zlatega reza v starem egiptu ni nikjer omenjeno. Tudi
število π niso poznali tako natanˇcno, kot ga najdemo v dimenzijah Keopsove piramide, zato mnogi zatrjujejo, da dimenzije egipˇcanskih piramid v
sebi skrivajo dejstva, ki niso zgodovinsko izpriˇcana. Kot da bi graditelji
piramid poznali nekaj, kar takrat še ni bilo splošno znano. V zvezi s tem
se omenja, da je graditelje pri izbiri dimenzij vodila nevidna roka, kot je
2
motiv
skrivna civilizacija, Božja roka ali pa nek nezavedni obˇcutek za lepoto in
skladnost, ki smo ga podedovali v genih.
1
motiv
Veˇc let že sodelujem v komisiji za ocenjevanje raziskovalnih nalog iz matematike. Tema zlatega reza je tako privlaˇcna, da se vsako leto najdeta med
izbranimi nalogami vsaj dve na to temo. Veˇcinoma so to naloge, ki se manj
posveˇcajo zlatemu rezu v matematiki, ampak bolj zlatemu rezu v arhitekturi umetnosti glasbi in v naravi. Omenja se neko splošno harmonijo med
estetiko in zlatim rezom. Poskuša se dokazovati, da so mere cˇ loveka, kot
krone stvarstva, uglašene na to razmerje.
K pisanju tega sestavka sta me spodbudila odstavka, ki sem ju našel zapisana v neki osnovnošolski raziskovalni nalogi iz matematike o zlatem rezu.
Podobne trditve so se znova in znova pojavljale v razliˇcnih zapisih na to
temo.
zlati rez je bil znan že v egiptu, saj sta osnovnica in višina piramid v
Gizi v razmerju zlatega reza. Razmerje med višino in osnovnico je 11 : 7, kar je
približek zlatega reza.
v antični arhitekturi naletimo redkokdaj na racionalno razmerje.
Veˇcina razmerij je iracionalna. Tako je tudi razmerje zlatega reza.
V teh dveh odstavkih so, poleg tega, da vsebujeta napaˇcne trditve, zapisana
dejstva, ki si nasprotujejo. Resnici na ljubo moramo povedat, da razmerje
11 : 7 ni približek zlatega reza in tudi iracionalno ni. Kot bomo videli, se
da razmerje med višino in robom osnovne ploskve pri veˇcini egipˇcanskih
piramid, izraziti s kvocientom majhnih celih števil.
Profesor raˇcunalniških znanosti univerze v Maine, George Markowsky je
preveril nekatere najbolj znane zapisane trditve na temo zlatega reza v literaturi, šolskih uˇcbenikih, cˇ lankih, itd. Preseneˇcen je opazil, kako malo
resnice je v teh trditvah. Kot dober znanstvenik je želel temeljito preveriti trditve, kot je zgoraj omenjena, v zvezi s Keopsovo piramido, o zlatem rezu v
dimenzijah Parteona in druge, kot na primer mnogokrat ponovljeno trditev,
da je zlati rez oˇcem najbolj všeˇcno razmerje. Na to temo je napisal tudi cˇ lanek z naslovom, “Misconceptions about the Golden Ratio”, ki ga je januarja
leta 1992 izdal v lokalni matematiˇcni reviji. Njegov cˇ lanek se nahaja tudi na
internetu, najdete ga na naslovu:
http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf.
Ob tej priliki bi rad omenil slovitega arabskega znanstvenika, matematika,
fizika in filozofa, ki ga na zahodu poznamo pod latiniziranim imenom Alhacen (965-1039). Tako se je ta veliki mislec izrazil o dolžnostih pravega
znanstvenika in raziskovalca:
iskalec resnice ni tisti, ki prouˇcuje stare spise, sledi njihovim razlagam
in jim slepo verjame, ampak je to tisti, ki jim ne zaupa, postavlja svoja vprašanja,
izbira preverjena dejstva, oziroma jih sam preveri, ne sledi narekom cˇ loveškega bitja,
3
egiptovske enote za merjenje dolžine
cˇ igar narava je polna slabosti in pomanjkljivosti. Dolžnost cˇ loveka, ki raziskuje pisanje znanstvenikov je, da sledi iskanju resnice, zato mora nasprotovati vsemu, kar
je zapisano in uporabiti lastno pamet pri obravnavi vsebine in kritiˇcno analizirati
vsako stran posebej. Tudi vase mora dvomiti in kritiˇcno gledati na svojo lastno pot,
tako da bi se lahko izognil površnosti oziroma, da ne bi nasedel lastnim predsodkom.
Gornja Alhacenova misel je tudi danes, po tisoˇc letih, aktualna in bi jo morala prebrati vsak mladi raziskovalec in njegov mentor.
Poleg tega še zapišimo naˇcelo, ki nas je vodilo pri pisanju tega sestavka.
To naˇcelo je znano pod imenom Ockhamova britev. V Wikipediji najdemo
kratek opis, tukaj pa povzamemo bistvene elemente.
http://sl.wikipedia.org/wiki/Ockhamova_britev
ockhamova britev je raziskovalno naˇcelo, ki ga pripisujejo angleškemu
logiku in franˇciškanskemu redovniku iz 13. stoletja, Vilijemu iz Ockhama
(1287–1347). Pri oblikovanju hipotez in teorij, ki razlagajo nek pojav privzamemo cˇ im manj predpostavk.
To hevristiˇcno raziskovalno naˇcelo poudarja gospodarnost, varˇcnost in preprostost znanstvenih teorij. Teorijo “obrijemo” vseh odveˇcnih okraskov, ki
ne prispevajo dodane vrednosti.
Na kratko: cˇ e najdemo dve razlagi pojava, ki sta enako verodostojni, izberemo tisto, ki je preprostejša. V latinšˇcini se to naˇcelo imenuje lex parsimonie
(zakon jedrnatosti) in se glasi: Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem
(Ne zapletaj po nepotrebnem) ∗ .
2
egiptovske enote za merjenje dolžine
Razmerje dimenzij egipˇcanskih piramid bomo bolje razumeli, cˇ e si ogledamo njihov merski sistem. Osnova za merjenje dolžine je bil kraljevi komolec, ki je imel vlogo našega metra. Kraljevi komolec je meril 7 dlani, dlan pa
je merila 4 palce. Dolžina enega palca je bila 18.74 mm tako je bila dolžina
kraljevega komolca enaka 52.472 cm. Oˇcitno te mere niso bile tako natanˇcno
doloˇcene. V literaturi zasledimo vrednosti od 52.2 do 52.5.
Tabela 1: Egipˇcanske dolžinske enote
Palec
Dlan
Roka
Pest
Ped (kratka)
5
1/4 dlani
4 palci
18.75 mm
7.5 cm
d
5 palcev
6 palcev
9.38 cm
10.75 cm
R
12 palcev
14 palcev
16 palcev
20 palcev
22.5 cm
25 cm
30 cm
37.5 cm
R
t
n
24 palcev
45 cm
28 palcev
52.5 cm
Ped (dolga)
Laket
Remen
Komolec kratki
Kraljevi komolec
∗ Slovenski
prevod tega stavka v Wikipediji se glasi: Ne pomnožuj bitnosti brez potrebe. Z malim
kozmetiˇcnim popravkom z Ockhamovo britvijo smo dobili naš prevod: Ne zapletaj po nepotrebnem.
4
kratka zgodovina števil φ in π
Kote so merili v stopinjah minutah in sekundah, vendar pa so v gradbeništvu in zemljemerstvu kote izražali v sekedih.
merjenje kotov in seked
. Seked kota je dolžina kotu priležne
katete v pravokotnem trikotniku, merjene v palcih, cˇ e je dolžina nepriležne
katete en kraljevi komolec, ki meri 28 palcev (glej sliko 2f). Seked kota
60◦ je približno 16 palcev, seked kota 45◦ , pa je 28 palcev.
3
kratka zgodovina števil φ in π
3.1 Število φ
√
Razmerje zlatega reza φ = (1 + 5)/2 je bilo predmet mistifikacij, tako v
starem veku, pri grških filozofih, kot tudi v srednjem veku in seveda tudi v
današnjem cˇ asu. Poglejmo enega od sodobnih opisov zlatega reza.
razmerje φ pomeni vrata do razumevanja življenja.
To razmerje imenujemo Zlato, oziroma Božansko razmerje, ker predstavlja vrata za globlje razumevanje lepote, cˇ udežnosti in duhovnosti življenja. Je skoraj neverjetno, da ima eno
samo število tolikšen vpliv v naravi, cˇ loveški zgodovini, znanosti, umetnosti in v
vsemirju v celoti.
Zanimivo, da se Pitagorejci ne bi strinjali z gornjo trditvijo. Za njih so bila
celoštevilˇcna razmerja nekaj skladnega in popolnega. Zgodba trdi, da so
svojega cˇ lana Hippasusa (okoli 500 pr. n. št.) utopili v morju, ko je objavil
odkritje iracionalnih razmerij. Hippasus je bil obsojen na smrt, ker je ogrozil
skladno in cˇ udovito Pitagorejsko zgradbo celoštevilˇcnih, popolnih razmerij.
Lahko reˇcemo, da je bil obsojen na smrt, ker je dokazal obstoj takšnih razmerij, kot je na primer razmerje zlatega reza.
Zlati rez je prviˇc omenjen v zvezi z grškim kiparjem in matematikom Phidesom (500-432).
Omenja ga tudi Platon (428-348), ki pravi, da je to razmerje kljuˇc do razumevanja fizike in vesolja.
Tudi Aristotel (384-322), ki je bil Platonov uˇcenec, omenja lepoto tega razmerja. Njegov in Platonov pogled na svet odražata grško miselnost tistega
cˇ asa in njen odnos do lepote in resnice, ki ju je romantiˇcni pisec John Keats
(1795-1821) strnil v svoji pesnitvi Oda grški urni:
“Beauty is truth, truth beauty,” — that is all
Ye know on earth, and all ye need to know.
“Lepota je resnica, lepota resnice”, – to je vse,
kar vemo in vse, kar moramo vedeti.
Verjeli so v tesno zvezo med lepoto, resnico in matematiko. Slabo razumevanje in nekritiˇcno ponavljanje tega je botrovalo nesporazumom pri obravnavanju pomena zlatega reza, ki se kot rdeˇca nit vleˇce že v poltretje tisoˇcletje.
5
kratka zgodovina števil φ in π
Evklid (365-300) je prvi zapisal razmerje zlatega reza v matematiˇcni obliki.
Uporabil ga je pri konstrukciji pentagrama (peterokrake zvezde).
V knjigi Mysterium Cosmographicum (Skrivnosti Sveta) Johannes Kepler
(1571–1630) omenja zlati rez v stavku:
V geometriji najdemo dva velika zaklada: eden je Pitagorov izrek, drugi je razmerje
zlatega reza.
Keplerjev trikotnik, vˇcasih tudi zlati trikotnik, povezuje oboje. To je pravokotni trikotnik z razmerjem stranic
p
1 : φ : φ, ker je 1 + φ = φ 2 .
Naj omenimo, da so zlati trikotniki edini pravokotni trikotniki, katerih dolžine stranic tvorijo geometrijsko zaporedje, medtem ko so trikotniki z razmerjem stranic 3 : 4 : 5 edini pravokotni trikotniki, katerih dolžine stranic
tvorijo aritmetiˇcno zaporedje.
Leta 1900 je ameriški matematik Mark Barr oznaˇcil zlati rez z grško cˇ rko φ
v cˇ ast grškega kiparja Phidesa.
3.2 Število π
Sledi eden najbolj znanih odlomkov iz Biblije, ki se tiˇce matematike:
1. knjiga kraljev, pogl. 7:23
Naredil je ulito morje, deset komolcev od
roba do roba, okroglo okoli, pet komolcev visoko; in vrvica tridesetih komolcev ga je
okrog in okrog ovijala.
Hebrejci niso bili vešˇci v tehnologiji, zato je kralj Salomon (970-931 pr. n.
št.) zgradil tempelj s pomoˇcjo Feniˇcanov. Hebrejci verjetno niso poznali
natanˇcnejše vrednosti za π, približek 3 jim je zadošˇcal.
V starem Egiptu najdemo omembo števila π zapisano na Rhindovem matematiˇcnem papirusu iz leta 1600 pr. n. št. Takole piše:
površina kroga
Vprašanje:
Kolika je površina okroglega polja s premerom 9 khetov (1 khet je 100 kraljevih komolcev).
Odgovor:
Od vrednosti premera odštejemo 1/9 te vrednosti to je 1 ostane 8. Množimo 8 samo
s seboj in dobimo, da je plošˇcina 8 ∗ 8 = 64 setjatov (kvadratnih khetov).
Izraˇcunali so, da je plošˇcina kroga s premerom 9 enot enaka 64. Iz formule
za plošˇcino kroga A = πR 2 dobimo približno vrednost za π, ta je enaka
256/81 ≈ 3.1605.
Prvi, ki je zapisal algoritem za raˇcunanje števila π je bil grški matematik Arhimed (287-212). Raˇcunal je obseg krogu vˇcrtanega pravilnega enakostraniˇcnega mnogokotnika. Z veˇcanjem števila stranic se približujemo obsegu oˇcrtane krožnice. Njegov algoritem so uporabljali naslednjih tisoˇc let. Doloˇcil je
meji za π, (223/71 < π < 22/7), to je približno (3.1408 < π < 3.1429).
Vrednost 22/7 se od prave vrednosti razlikuje za manj kot 0.0013, in je
zato dolgo veljalo splošno prepriˇcanje, da je to toˇcna vrednost. Približek za
število π 22/7 je boljši od približka, ki ga najdemo v Rhindovem papirusu.
6
zlati rez v keopsovi piramidi
4
7
zlati rez v keopsovi piramidi
Zgodovinopiscu Herodotu (484-425) naj bi ob priliki neki egipˇcanski sveˇcenik zaupal skrivnost Keopsove piramide v Gizi.
svečenik:
Dimenzije Velike piramide so izbrane tako, da je površina kvadrata
s stranico enako višini piramide enaka površini stranske ploskve.
Oznaˇcimo višino piramide s h, stranice osnovne ploskve z b in višino stranske ploskve z s. Preprost raˇcun nam da
h2 =
bs
,
2
s2 = h2 +
b2
.
4
Delimo zadnjo enaˇcbo z b 2 /4 in dobimo
2h
b
4
=
2h
b
2
+ 1, oznaˇcimo
r=
2h
b
2
in dobimo
r2 − r − 1 = 0
√
Edina pozitivna rešitev gornje enaˇcbe je r = φ = (1 + 5)/2. Od tod sledi,
√
da je 2h/b = φ. Trikotnik (b/2, h, s) je zlati trikotnik dolžine njegovih
√
stranic so v razmerju 1 : φ : φ.
Ta zgodba je bila veˇckrat ponovljena v literaturi. Profesor George Markowsky je zapisal v svojem cˇ lanku, da je našel v Herodotovi knjigi en sam
odstavek, ki govori o veliki piramidi, ta pa se glasi:
herodot: Veliko piramido so gradili dvajset let. Stranica osnovnega kvadrata
meri osemsto cˇ evljev, njena višina meri ravno tako osemsto cˇ evljev, površina je bila
pokrita z gladkimi plošˇcami, ki so se natanko prilegale druga drugi. Kamniti bloki,
iz katerih je narejena meri vsak od njih veˇc kot trideset cˇ veljev v dolžino.
Herodot je napisal te vrstice dva tisoˇc let po izgradnji piramide. Mere, ki jih
je podal ne ustrezajo realnemu stanju.
Z nekaj domišlije lahko zaslutimo, kako s prevraˇcanjem besed iz gornjega
odstavka, pridemo do trditve o zvezi med kvadratom višine in plošˇcino
stranske ploskve. Tu imamo kljuˇcne besede kvadrat, višina in površina,
ostalo pa naredi domišlija in vroˇca želja, da bi našli razmerje zlatega reza.
pri keopsovi piramidi je razmerje med višino in polovico osnovnega
√
roba enako 14/11, kar je zelo blizu vrednosti φ. To naj bi napeljevalo, da
je v teh piramidah zakodirano razmerje zlatega reza. Po drugi strani, pa
√
je vrednost 4/ φ zelo blizu blizu vrednosti π, zato nekateri trdijo, da je v
egipˇcanskih piramidah zakodirano tudi število π, oziroma njegova približna
vrednost 22/7, ki pa je natanˇcnejša, kot so jo poznali v tistem cˇ asu. Kot smo
videli, je, v skoraj tisoˇc let mlajšem dokumentu, omenjena vrednost 256/81,
kot približek za π.
d
K
liopara
http://www.famnit.upr.si/files/zakljucna_dela_repo/91
http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_
egypt_geometry.html#oldpi
http://www.herkommer.org/pyramid/pyramid.htm
fizikalne in estetske omejitve oblike egipčanskih piramid.
Tabela 2: Dimenzije egipˇcanskih piramid izražene v metrih
Piramida
∗
5
št
faraon
mesto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Snefru
Snefru ∗
Mikerin
Keops
Kefren
Sahure
Niuserre
Neferirkare
Userkaf
Unas
Izezi
Teti
Pepi I
Merenre
Pepi II
Senwosret III
Amenemhat III
Amenemhat I
Senusret I
Amenemhat III
Senusret II
Khendjer
Maidum
Dahshur
Giza
Giza
Giza
Abusir
Abusir
Abusir
Sakkara
Sakkara
Sakkara
Sakkara
Sakkara
Sakkara
Sakkara
Dahshur
Dahshur
El-Lisht
El-Lisht
Hawara
El-Lahun
Sakkara
dimenzije
dinastija
iii/iv
iv
iv
iv
iv
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
xii
xii
xii
xii
xii
xii
xiii
osn. rob
višina
147
220
105
230.3
214.3
78.5
81
105
73.5
57.5
78.5
78.5
78.5
78.5
78.5
105
105
78.5
105
100
106
52.5
93.5
104
65.5
146.6
143.7
47
51.5
70
49
43
52.5
52.5
52.5
52.5
52.5
78.5
81.5
55
61
58
48
37
Rdeˇca piramida glej sliko 2c
fizikalne in estetske omejitve oblike egipčanskih piramid.
Priˇcakujemo, da so graditelje iz estetskega vidika privlaˇcile piramide, ki
imajo dodatne geometrijske simetrije. Vse piramide, ki so jih gradili, so
pokonˇcne to pomeni, da je os skozi vrh in središˇce osnovne ploskve je pravokotna na osnovno ploskev. Poleg tega ima pri veˇcini piramid osnovna
ploskev obliko kvadrata. Edina izjema v tabeli 2 je piramida številka 3.
Med piramidami, ki imajo dodatno simetrijo izstopajo piramide, katerih trikotnik na sliki 1 ima stranice v razmerju 3 : 4 : 5 (pitagorejska trojica). V
gornji tabeli temu ustrezajo piramide 5, 8, 9 in od 11 do 15. Naklonski kot
stranskih ploskev teh piramid je 53◦ 7 0 48 00 . Naslednji primer so piramide,
kjer so stranske ploskve enakostraniˇcni trikotniki. Naklonski kot teh piramid je 54◦ 44 0 10 00 . Razmerje stranic trikotnika na sliki 1 je iracionalno. Temu
se najbolj približajo piramide 10, 16, 18 in 22 v tabeli 2. V tej tabeli ni piramide, katere osni presek, bi bil enakostraniˇcni trikotnik oziroma piramide z
naklonskimi koti stranskih ploskev 60◦ . Ravno tako med njimi ne najdemo
piramide z naklonskim kotom 45◦ . Najbolj pa burijo domišlijo piramide 1,
4 in 7, katerih razmerje stranic v trikotniku se približa zlatemu trikotniku.
Pogojno štejemo med nje tudi piramido številka 3, pogojno zato, ker nima
8
fizikalne in estetske omejitve oblike egipčanskih piramid.
kvadratnega tlorisa, vendar se dva od naklonskih kotov stranskih ploskev
približata kotu 51◦ 50 0 35 00 , ki je znaˇcilen za ostale tri.
V zaˇcetku so gradili stopniˇcaste piramide, nato so na prehodu med iii. in iv.
dinastijo zaˇceli graditi piramide z ravnimi stranskimi ploskvami.
Snefrujevo lomljeno piramido štejemo za prehodno piramido med obema
naˇcinoma gradnje, (glej sliko 2b).
Pri tej piramidi je videti zasnovo za naklonski kot 60◦ med osnovno in stranskimi ploskvami, vendar se je zelo verjetno izkazalo, da bi bila v tem primeru piramida preveˇc strma, konstrukcija ne bi vzdržala, verjetno bi bil
problem pritrditve tlaka za stranske ploskve. Takoj po zaˇcetku gradnje so
kot popravili na 54◦ 50 0 , ki je zelo blizu kota, ki ga ima piramida z enakostraniˇcnimi stranskimi ploskvami. Nekje na sredini gradnje so naklonski kot še
enkrat popravili, to pot na 43◦ 22 0 . Ta kot je skrivnosten, ne ustreza naštetim simetrijam, ker se preveˇc razlikuje od 45◦ in, ker se še enkrat ponovi
pri Rdeˇci piramidi, ki je bila ravno tako zgrajena v cˇ asu vladanja faraona
Snefruja (glej sliko 2c).
V tabeli najdemo še eno piramido z naklonskim kotom blizu 45◦ , to je piramida št. 21, njen naklonski kot je 42◦ 35 0 . Ta piramida je med vsemi
piramidami v tabeli 2 najbolj položna.
Piramida z najveˇcjim naklonskim kotom je piramida št. 10, njen kot je
56◦ 18 0 35 00 in spada med manjše piramide. Pri veˇcjih piramidah bi moral
biti kot manjši, da bi konstrukcija vzdržala. Seveda pa kot ni smel biti premajhen, predvsem zaradi estetskega videza in koliˇcine materiala. Naklonski
koti stranskih ploskev piramid so v mejah od 42◦ do 56◦ .
V nadaljevanju si bomo ogledali še en kriterij pri izbiri dimenzij, ki je cˇ isto praktiˇcen. Kako zapisati cˇ im bolj preprosta navodila za gradnjo? Videli
bomo kako so njihove dolžinske enote in merjenje kotov vplivali na doloˇcanje dimenzij.
Tabela 3: Dimenzije egipˇcanskih piramid izražene v kraljevih komolcih in sekedih
št.
(osn. rob)/2
višina
seked=x/28
napaka
y/24
napaka
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11-15
16
17
18
19
20
21
22
140
210
100
220
204
75
77
100
70
55
75
100
100
75
100
95
101
50
179
199
125
280
272
90
98
133
94
82
100
150
156
105
117
111
92
71
22
30
22
22
21
23
22
21
21
19
21
19
18
20
24
25
30
20
0
20’
30’
0
0
24’
0
0
0
28’
0
28’
0
0
0
31’
27’
11’
19
25
19
19
18
20
19
18
18
16
18
16
15
17
21
21
26
17
13’
28’
18’
13’
0
0
13’
0
0
0
0
0
44’
14’
35’
4’
8’
3’
9
naklonski koti v egipčanskih piramidah
6
naklonski koti v egipčanskih piramidah
Keopsova piramida ima izjemno natanˇcno doloˇcene dimenzije. Stranice
osnovne ploskve se razlikujejo le za nekaj centimetrov. Tudi koti med robovi osnovne ploskve se razlikujejo od pravih za najveˇc 2 0 . Seked Keopsove
piramide je enak 22 palcev odstopanje je manj kot 1 0 . Tudi druga najveˇcja
(Kefrenova) piramida v Gizi ima natanˇcno doloˇcene dimenzije. Pri tej piramidi je razmerje stranic trikotnika s stranicami polovica osnovne stranice,
višina in višina stranske ploskve, pitagorejska trojica 3 : 4 : 5. Njen seked je
21 palcev, odstopanje pa je ravno tako manj kot 1 0 . Nimajo vse piramide
tako natanˇcno odmerjenih dimenzij. Delno že v zasnovi, graditelji niso bili
natanˇcni, delno pa tudi zato, ker niso v tako dobrem stanju, kot omenjeni
dve, in je dimenzije težko natanˇcno doloˇciti.
v tabeli 2 so zapisane dimenzije 22 piramid, katerih mere so bolj ali manj
natanˇcno doloˇcene. Dolžine osnovnih robov piramide, izražene v kraljevih
komolcih, naj bi bile bolj zaokrožene. V tabeli 3 so v drugem in tretjem
stolpcu za zapisane dolžine poloviˇcnega osnovnega roba in višine izražene
v kraljevih komolcih. V cˇ etrtem stolpcu je zapisan najbližji celoštevilˇcni
seked naklonskega kota, nato sledi stolpec napak izraženih v loˇcnih minutah. Vzeli bomo da je ujemanje naˇcrtovano, cˇ e se dimenzije ujamejo pod 1 0 .
Razlike pod 1 0 ne bomo šteli za namerno, ampak posledico merskih napak.
iz tabele 3 se vidi, da je pri 14-tih od 22 piramid ujemanje namerno.
Lahko trdimo, da so v teh primerih izbrali celoštevilˇcni seked. Pri nadaljnjih
treh piramidah dobimo dobro ujemanje cˇ e v definiciji za seked kraljevi
komolec, ki meri 28 palcev, nadomestimo z navadnim komolcem, ki meri 24
palcev, tem sledita še dve piramidi št. 20 in 22, pri katerih je napaka majhna.
Tako popravljeni seked naklonskega kota je zapisan v 6. stolpcu, v 7. stolpcu
pa je zapisana ustrezna napaka. Vidimo, da so v tabeli le tri piramide,
katerih seked kota se v nobenem primeru ne izraža celoštevilˇcno. To so
piramide št. 2, 3 in 21. Za piramido številka 3 vemo, da nima kvadratnega
tlorisa. Piramida št. 2 ima skoraj enak naklonski kot, kot ga ima vrhnji del
lomljene piramide (glej sliko 2b) 43◦ 24 0 razmerje med višino in poloviˇcnim
osnovnim robom je 17 : 18, napaka je le 1.8 0 . Piramida št. 21 je v tabeli
najbolj položna od vseh. Razmerje med višino in poloviˇcnim osnovnim
robom se približa razmerju 10 : 11 na 6 0 natanˇcno.
kakšni so naklonski koti piramid merjeni v sekedih ? Najpogosteje
so izbrali seked 21 palcev. V tem primeru je razmerje med poloviˇcnim
osnovnim robom, višino in višino stranske ploskve enako 3 : 4 : 5 (pitagorejska trojica). Temu razmerju ustrezajo dimenzije osmih piramid v tabeli
2. Drugo najpogostejše razmerje, ki se dobro ujame v celoštevilˇcni seked je
22 palcev. V tabeli so tri piramide s popolnim ujemanjem in ena piramida
št. 3, kjer je ujemanje na pol stopinje natanˇcno. Tloris te piramide ni kvadraten. Seked naklonskega kota Keopsove piramide meri 22 palcev, seked
druge najveˇcje Kefrenove pa meri 21 palcev. Ker so mere obeh piramid zelo
natanˇcno doloˇcene lahko reˇcemo, da je bil izbor naˇcrtovan. Pri 22 palˇ
cnem
sekedu je razmerje stranic trikotnika, ki ga sestavljajo poloviˇcni stranski rob,
√
višina in višina stranske ploskve, blizu razmerja 1 : φ : φ (zlati trikotnik),
to pa je tisto, ki vzburja domišlijo.
10
naklonski koti v egipčanskih piramidah
(a) Djoserjeva piramida v Sakkari
(b) Lomljena piramida v Dahshurju.
(c) Rdeˇca piramida v Dahshurju.
(d) Keopsova piramida v Gizi
(e) Kefrenova piramida v Gizi
(f) Seked in komolec (cubit)
Slika 2: Egipˇcanske piramide in seked
ker zlati rez v zgodovini egipta ni bil nikoli omenjen, ne smemo
podleˇci skušnjavi, da bi trdili, da je bil zlati trikotnik namerno izbran. Poskusimo biti bolj pragmatiˇcni. Izbor sekeda naklonskega kota 21 palcev je
oˇciten, ker je v mejah, v katerih se da varno graditi piramido in vsebuje, kot
smo že omenili, trikotnik z razmerjem stranic 3 : 4 : 5 (pitagorejska trojica).
Poznali so Pitagorov izrek a2 + b2 = c2 , ki pa ga v tistem cˇ asu niso imenovali tako, ker je moralo preteˇci veˇc kot 1500 let, da je le-ta ugledal luˇc sveta.
S pomoˇcjo tega razmerja so lahko natanˇcno doloˇcali pravi kot. Kaj pa zlati
trikotnik? So tudi tega izbrali namerno? Brez dvoma, vendar zelo verjetno
ne zaradi tega, ker je zlati.
če pogledamo vse naklonske kote piramid, tiste s dobrim ujemanjem,
vidimo, da merijo njihovi sekedi 18, 20, 21, 22 in 24 palcev. V poštev pri
gradnji velike piramide prideta sekeda 21 in 22 palcev manjši so preveˇc tvegani, veˇcji, pa preveˇc potratni, kar se tiˇce gradbenega materiala. Vidimo, da
izbira ni bila velika. Do zaˇcetka gradnje Keopsove piramide ni bilo zgrajene
veˇcje piramide s sekedom manjšim od 22 palcev. Lahko reˇcemo, da graditelji
Keopsove piramide, vedoˇc, da gradijo najveˇcjo piramido doslej, niso želeli
11
zaključek
tvegali in so izbrali seked 22 palcev. Spomnimo zgodovine mostu v Mostarju, ko je graditelj Mimar Hajrudin zbežal, predno so porušili gradbene
odre, ker se je zbal za svoje življenje. Napake si v tistem cˇ asu plaˇcal z življenjem. Šele po uspehu Keopsove piramide so pri gradnji Kefrenove tvegali
seked 21 palcev.
sklepamo, da je bilo razmerje, ki vsebuje pitagorejsko trojico, za njih,
ˇ pogledamo v tabelo 3, je bilo po
bolj zanimivo od zlatega trikotnika. Ce
Keopsovi piramidi zgrajenih vseh osem piramid s sekedom 21 palcev in le
ˇ izberemo
ena, piramida številka 7, je bila zgrajena s sekedom 22 palcev. Ce
pri dani višini seked 21 palcev namesto 22, prihranimo okoli 10 % materiala.
√
√
števili φ in π. Ulomek 14/11 je cˇ etrti verižni približek števila φ.
√
√
φ =
Števili φ in 4/π se ujameta na manj kot 2 tisoˇcinki natanˇcno:
√
1.2720... in 4/π = 1.2732.... Iz približka za φ dobimo drugi verižni
približek za π, ta je 22/7. Kot smo že omenili je ta približek za π natanˇcnejši
kot so ga poznali v Starem Egiptu.
za konec še vprašanje: Kakšna je zveza med Božanskim razmerjem in
Satanovim številom? Morda se odgovor skriva v naseldnji enaˇcbi:
1
φ
666 = 180 4 − arcsin
.
π
2
7
zaključek
Želeli smo poudariti, da graditelji piramid niso izbirali iracionalnih razmerij
ampak, ravno nasprotno, izbirali so racionalna razmerja. Vidimo, da dimenzije veˇcinoma ustrezajo celoštevilˇcnemu sekedu, cˇ e upoštevamo, da je pri
nekaterih potrebno kraljevi komolec nadomestiti z navadnim, potem so
v naši tabeli le tri piramide, ki temu ne ustrezajo. Celoštevilˇcne podatke
je preprosteje zapisati v navodila graditeljem. Izbor celoštevilˇcnega sekeda
pri upoštevanju robnih pogojev, kot sta varˇcnost pri uporabi materiala in
varnost, je zelo omejen. In lahko reˇcemo, da niso izbrali sekeda 22 palcev
zaradi skritega zlatega trikotnika, ampak ker se nahaja v “zlati sredini” kompromisa med varnostjo in varˇcevanjem. Graditelje je najbolj privlaˇcil seked
21 palcev, ker v sebi skriva pitagorejsko trojico, ki so jo brez dvoma poznali.
12