1. No category

1.
KOMBINATORIKA
1.1
Osnovni pojmi kombinatorike
1. Iz kraja A v kraj B vodi pet razliˇcnih poti, iz kraja B v kraj C pa tri. Po
koliko razliˇcnih poteh lahko pridemo iz kraja A v kraj C? Reˇsitev prikaˇzite s
kombinatoriˇcnim drevesom.
2. V avtomobilski tovarni izdelujejo pet tipov avtomobilov, vsakega od njih pa
lahko izberemo v ˇstirih barvah. Koliko razliˇcnih avtomobilov glede na tip in
barvo nam ponuja tovarna? Nariˇsite kombinatoriˇcno drevo.
3. Koliko besed dolˇzine 4 lahko zapiˇsemo s ˇcrkami A, B, C, D, E in F, ˇce:
a)
b)
c)
d)
se
se
se
se
ˇcrke lahko ponavljajo,
ˇcrke ne smejo ponavljati,
mora beseda konˇcati na BA in se ˇcrke ne smejo ponavljati,
mora beseda zaˇceti na FE in se ˇcrke lahko ponavljajo?
4. Koliko pravih petmestnih ˇstevil, ki se ne zaˇcnejo z 0, lahko zapiˇsemo s ˇstevkami
0, 2, 3, 5, 7, 8 in 9, ˇce:
a)
b)
c)
d)
se smejo ˇstevke ponavljati,
se ˇstevke ne smejo ponavljati,
naj bo ˇstevilo veˇcje od 30.000 in se ˇstevke ne smejo ponavljati,
naj bo ˇstevilo deljivo z dve in se ˇstevke lahko ponavljajo?
5. Tina ima v omari 6 razliˇcnih kap in 3 razliˇcne rute. Na koliko razliˇcnih naˇcinov
se lahko pokrije?
6. Na policijski postaji imajo 6 sluˇzbenih avtomobilov, 3 motorje in 4 kolesa. Na
koliko razliˇcnih naˇcinov se lahko policist pelje na kraj prometne nesreˇce, ki se
je zgodila v bliˇzini?
7. Poslovneˇz ˇzeli obedovati. Izbira lahko med dvema restavracijama, ki ponujata
razliˇcne jedi. V prvi restavraciji imajo na voljo tri razliˇcne juhe, dve glavni
jedi in tri sladice, v drugi pa dve juhi, ˇstiri glavne jedi in tri sladice. Koliko
1. Kombinatorika
2
razliˇcnih menijev ima na voljo poslovneˇz, ˇce se odloˇca med meniji prve ali druge
restavracije?
8. Na mizi leˇzi sedem listkov s ˇcrkami A, B, C, D, E, F, G. Koliko razliˇcnih besed
z dvema ˇcrkama ali s tremi ˇcrkami lahko sestavimo z njimi?
9. Koliko razliˇcnih nizov z dvema, tremi ali ˇstirimi kroglicami lahko sestavimo, ˇce
imamo na voljo 10 kroglic razliˇcnih barv?
1.2
Permutacije
10. V leksikografski ureditvi zapiˇsite vse permutacije ˇcrk a, b, c in nariˇsite kombinatoriˇcno drevo. Koliko je vseh permutacij?
11. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko razporedimo v vrsto ˇsest razliˇcnih vozil?
12. Delovodja mora razdeliti 5 razliˇcnih delovnih nalog petim delavcem tako, da
dobi vsak od njih natanko eno nalogo. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko to
stori?
13. Geslo banˇcne kartice je sestavljeno iz ˇstirih ˇstevk. Nekdo je pozabil svoje geslo,
ve pa, da vsebuje ˇstevke 3, 5, 6 in 9. Koliko razliˇcnih gesel lahko zapiˇse z njimi?
14. Izraˇcunajte:
a)
105!
103!
b)
102! + 101! + 100!
100!
c)
33! − 32!
34! + 33! + 32!
15. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko zloˇzimo na polico 4 razliˇcne matematiˇcne in
3 leposlovne knjige ter 5 razliˇcnih leksikonov,
a) ˇce so knjige lahko poljubno pomeˇsane med seboj,
b) ˇce naj knjige iste vrste stojijo skupaj,
c) ˇce naj le matematiˇcne knjige stojijo skupaj?
16. Na polico ˇzelimo zloˇziti v vrsto m razliˇcnih CD-jev z rock glasbo, n CD-jev s
klasiˇcno in p CD-jev s pop glasbo. Koliko razliˇcnih moˇznosti imamo,
a) ˇce so CD-ji lahko poljubno zloˇzeni,
b) ˇce naj CD-ji z rock glasbo stojijo skupaj,
c) ˇce naj CD-ji s klasiˇcno glasbo stojijo skupaj in CD-ji s pop glasbo skupaj?
‡ 17. Osem zakonskih parov sedi v dvorani na koncertu v isti vrsti, v kateri je
ˇsestnajst stolov. Koliko razliˇcnih sedeˇznih redov je mogoˇcih, ˇce:
a) lahko osebe poljubno sedijo,
b) naj vsak par zakoncev sedi skupaj,
1. Kombinatorika
3
c) naj ˇzenske sedijo skupaj,
d) naj ˇzenske sedijo skupaj in moˇski skupaj?
18. Koliko razliˇcnih permutacij ˇcrk besede KOMBINATORIKA lahko zapiˇsemo?
19. Koliko razliˇcnih besed dolˇzine 10 lahko sestavimo iz ˇcrk besede STATISTIKA,
ˇce naj se beseda vedno zaˇcne s ˇcrko T?
20. Koliko razliˇcnih vzorcev lahko sestavimo, ˇce zlagamo v vrsto 4 modre, 3 bele,
2 ˇcrni in 3 zelene kroglice in kroglic iste barve med seboj ne razlikujemo?
1.3
Variacije
21. Zapiˇsite vse variacije brez ponavljanja reda 2 elementov mnoˇzice {a, b, c}. Koliko variacij je? Nariˇsite kombinatoriˇcno drevo.
22. Zapiˇsite vse variacije s ponavljanjem reda 2 elementov mnoˇzice {a, b, c}. Koliko
variacij je? Nariˇsite kombinatoriˇcno drevo.
23. Geslo banˇcne kartice je sestavljeno iz ˇstirih ˇstevk. Nekdo je pozabil svoje geslo,
ve pa, da vsebuje ˇstevke 3, 5, 6, 7, 8 in 9. Koliko razliˇcnih gesel lahko zapiˇse z
njimi, ˇce se ˇstevke v geslu ne smejo ponavljati, in koliko, ˇce se lahko ponavljajo?
24. Izraˇcunajte:
4
a) V12
5
b) V20
n−1
c) Vn+2
d) Vn2
25. Reˇsite enaˇcbe:
a) V53 + Vn2 = 90
n
n
‡ c) Vn+2 − 2Vn+1 = 0
b) Vn3 − Vn2 = 40
2
1
1
+ Vn+2
= 23 − Vn+3
‡ d) Vn+1
26. Koliko razliˇcnih petmestnih ˇstevil lahko zapiˇsemo s ˇstevkami 2, 3, 5, 6, 7, 8
in 9, ˇce:
a) se ˇstevke ne smejo ponavljati,
b) se ˇstevke lahko ponavljajo?
27. Koliko razliˇcnih ˇstevil, ki so veˇcja od 10.000 in manjˇsa od 35.000, lahko zapiˇsemo
s ˇstevkami 1, 2, 3, 5, 6, 8, ˇce:
a) se ˇstevke ne smejo ponavljati,
b) se ˇstevke lahko ponavljajo?
ˇ
28. V vreˇci je 8 raznobarvnih kroglic. Stirikrat
zapored seˇzemo v vreˇco, vsakokrat
izvleˇcemo eno kroglico in zapiˇsemo njeno barvo. V vrsto zapisane barve kroglic
tvorijo vzorec. Koliko razliˇcnih vzorcev lahko nastane, ˇce:
1. Kombinatorika
4
a) izvleˇceno kroglico vsakokrat vrnemo v vreˇco,
b) izvleˇcenih kroglic ne vraˇcamo v vreˇco?
‡ 29. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko zapakiramo ˇstiri razliˇcne izdelke v pet ˇskatel,
ki so razliˇcnih barv, ˇce naj bo v vsaki ˇskatli kveˇcjemu en izdelek?
‡ 30. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko v galeriji obesijo na steno v vrsto ˇstiri slike
izmed desetih slik razliˇcnih vrednosti, ˇce je najdraˇzja slika vedno ena izmed
ˇstirih izbranih slik in jo obesijo na prvo mesto?
31. V tovarni ˇzelijo izmed vseh delavcev izbrati 3 delavce za delo na 3 razliˇcnih
delovnih mestih. Ugotovili so, da lahko to storijo na 60 razliˇcnih naˇcinov. Med
koliko delavci izbirajo?
1.4
Kombinacije
32. Zapiˇsite vse kombinacije reda 3 ˇcrk a, b, c, d. Koliko jih je?
33. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko izmed osmih razliˇcnih izdelkov izberemo tri
izdelke?
34. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko ˇstudent na izpitu izbere 5 vpraˇsanj izmed 50
razliˇcnih vpraˇsanj?
35. Koliko kombinacij je pri navadni igri Loto, pri kateri med 39 ˇstevili prekriˇzamo
natanko 7 ˇstevil?
36. Izraˇcunajte:
4
a) C12
30
b) C32
c) Cnn−2
n
d) Cn+1
37. Reˇsite enaˇcbe:
n−2
b) Cn+1
= 20
n
n
n
n+2
‡ 38. Dokaˇzite, da velja
+2
+
=
.
4
3
2
4
2n
n
2n
‡ 39. Dokaˇzite, da velja
=
.
n+1
n+1 n
a) Cn2 = 28
3
c) 2Cn2 + Cn+1
= 22
40. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko izmed ˇsestih knjig izberemo ˇstiri knjige, ˇce:
a) lahko knjige poljubno izbiramo,
b) se dvema knjigama ne ˇzelimo odpovedati?
41. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko otrok izbere v slaˇsˇciˇcarni med 10 vrstami
sladoleda ˇstiri, ˇce zagotovo izbere med njimi ˇcokoladni in vanilijev sladoled?
1. Kombinatorika
5
42. Zapiˇsite vse kombinacije s ponavljanjem reda 2 elementov a, b, c, d. Koliko jih
je?
43. Pri telefonskem anketiranju mora raˇcunalnik izmed 100 telefonskih ˇstevilk na
sluˇcajen naˇcin izbrati 20 ˇstevilk. Koliko razliˇcnih sluˇcajnih telefonskih vzorcev
je mogoˇcih, ˇce
a) se telefonske ˇstevilke v vzorcu ne smejo ponavljati,
b) se lahko ista ˇstevilka ponovi v vzorcu veˇckrat?
44. Na voljo imamo ˇstiri barve kroglic, ki jih pakiramo v ˇskatle po 10 kroglic. Koliko
razliˇcnih ˇskatel lahko sestavimo glede na barvo kroglic, ki jih vsebujejo?
45. V podjetju je zaposlenih 12 ˇzensk in 8 moˇskih. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko
izberejo petˇclansko skupino za udeleˇzbo na seminarju, ˇce naj bodo v skupini
dve ˇzenski in trije moˇski?
46. V posodi je 5 belih in 7 rdeˇcih kroglic. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko izberemo iz posode 4 kroglice tako, da bodo med njimi dve ali tri rdeˇce?
47. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko iz kupa 32 obiˇcajnih igralnih kart na slepo
izvelˇcemo tri karte tako, da bo med njimi vsaj en kralj?
48. Na inˇstitutu ˇzelijo oblikovati delovno skupino petih strokovnjakov, v kateri naj
bosta kveˇcjemu dva biologa. Koliko razliˇcnih skupin lahko oblikujejo, ˇce lahko
izbirajo med petimi biologi in ˇsestimi kemiki?
49. V posodi je 7 ˇcrnih, 3 bele in 5 rdeˇcih kroglic. Na koliko razliˇcnih naˇcinov lahko
izberemo med njimi 2 ˇcrni, 2 beli in 4 rdeˇce kroglice?
1.5
Formule in pravila
Osnovni pravili kombinatorike
Pravilo produkta ali osnovni izrek kombinatorike: Naj proces odloˇcanja poteka
v k zaporednih neodvisnih fazah, kjer je ˇstevilo moˇznih odloˇcitev po posameznih fazah
po vrsti n1 , n2 , . . . , nk . Potem je ˇstevilo vseh razliˇcnih moˇznih odloˇcitev v procesu
n = n1 · n2 · · · · · nk .
ˇ se pri izbiranju lahko odloˇcamo med n1 elementi prve mnoˇzice ali
Pravilo vsote: Ce
med n2 elmenti druge mnoˇzice ali . . . ali nk elementi k-te mnoˇzice, kjer so mnoˇzice
paroma tuje, je ˇstevilo vseh razliˇcnih izborov n = n1 + n2 + · · · + nk .
Permutacije
1. brez ponavljanja: Pn = n! = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1
n!
2. s ponavljanjem: Pnn1 ,n2 ,...,nr =
, n 1 + n2 + · · · + nr = n
n1 !n2 ! · . . . · nr !
1. Kombinatorika
6
Variacije
1. brez ponavljanja reda k: Vnk =
2. s ponavljanjem reda k:
(p)
n!
(n − k)!
Vnk = nk
Kombinacije
n
n!
1. brez ponavljanja reda k:
=
=
k
k!(n − k)!
n+k−1
(n + k − 1)!
(p) k
k
2. s ponavljanjem reda k:
Cn = Cn+k−1 =
=
k!(n − 1)!
k
nr
n2
n1
,k2 ,...,kr
· ··· ·
·
3. vezane kombinacije: Cnk11 ,n
=
2 ,...,nr
kr
k2
k1
Cnk
Lastnosti binomskega simbola
n
n
n
n
n
= 1,
= n,
= 1,
=
,
0
1
n
k
n−k
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
ˇ
RESITVE
1. Ker se v kraju A odloˇcamo med 5 potmi in nato v kraju B, neodvisno od
odloˇcitve v kraju A, med 3 potmi, uporabimo osnovni izrek kombinatorike. Iz
kraja A pridemo v kraj C po n = n1 · n2 = 5 · 3 = 15 razliˇcnih poteh.
2. n = 5 · 4 = 20
3. a) Ker se ˇcrke lahko ponavljajo, se lahko na vsakem koraku odloˇcamo med 6
ˇ
moˇznostmi. Stevilo
vseh razliˇcnih besed je n = 6 · 6 · 6 · 6 = 1.296.
b) Ker se ˇcrke ne smejo ponavljati, imamo na vsakem koraku eno moˇznost za
ˇ
odloˇcanje manj. Stevilo
vseh razliˇcnih besed je tako n = 6 · 5 · 4 · 3 = 360.
c) Ker se mora beseda konˇcati na BA in se ˇcrke ne smejo ponavljati, so tako
pri odloˇcitvi za prvo ˇcrko ˇstiri moˇznosti in za drugo ˇcrko tri, zadnji dve ˇcrki
ˇ
sta ˇze doloˇceni. Stevilo
vseh razliˇcnih besed je tako n = 4 · 3.
d) Ker se ˇcrke lahko ponavljajo, imamo pri odloˇcanju za tretjo in ˇcetrto ˇcrko
ˇ
po 6 moˇznosti. Stevilo
vseh razliˇcnih besed je potem n = 6 · 6 = 36.
4. a) n = 6 · 7 · 7 · 7 · 7 = 14.406
c) n = 5 · 6 · 5 · 4 · 3 = 1.800
b) n = 6 · 6 · 5 · 4 · 3 = 2.160
d) n = 6 · 7 · 7 · 7 · 3 = 6.174
5. Ker si bo Tina dala na glavo kapo ali ruto, bo torej izbirala iz mnoˇzice kap ali
iz mnoˇzice rut, ki nimata skupnih elementov. Uporabimo pravilo vsote. Pokrije
se lahko na n = n1 + n2 = 6 + 3 = 9 naˇcinov.
1. Kombinatorika
7
6. Po pravilu vsote ima za izbiro n = 6 + 3 + 4 = 13 moˇznosti.
7. Po osnovnem izreku kombinatorike izraˇcunamo ˇstevilo menijev za vsako od
restavracij. Ker bo celoten meni pojedel v izbrani restavraciji, bo torej jedel v
prvi ali drugi restavraciji. Po pravilu vsote ima potem na voljo
n = 3 · 2 · 3 + 2 · 4 · 3 = 42 razliˇcnih moˇznosti.
8. Izmed 7 ˇcrk izberemo dve in zapiˇsemo besedo ali pa tri in napiˇsemo novo besedo.
ˇ
Stevilo
razliˇcnih besed je n = 7 · 6 + 7 · 6 · 5 = 252.
9. n = 10 · 9 + 10 · 9 · 8 + 10 · 9 · 8 · 7 = 5.850
10. O permutacijah brez ponavljanja govorimo, kadar razporejamo n razliˇcnih elementov v vrsto, kjer uporabimo vseh n elementov. Vrstni red elementov je
pomemben. Za tri ˇcrke so vse moˇzne permutacije: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
ˇ
Stevilo
vseh permutacij brez ponavljanja n razliˇcnih elementov je
Pn = n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1. Za tri elemente je potem P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6.
11. Ker bomo razporedili vseh 6 razliˇcnih vozil v vrsto, gre za permutacije brez
ponavljanja. To lahko storimo na P6 = 6! = 720 razliˇcnih naˇcinov.
12. P5 = 5! = 120
13. P4 = 4! = 24
14. a) 10.920
b) 10.404
c)
8
289
ˇ
15. a) Stevilo
permutacij za 12 razliˇcnih knjig je P12 = 12!.
b) Med seboj lahko zamenjujemo knjige znotraj posameznih skupin, hkrati pa
ˇse skupine med seboj. Tako je ˇstevilo vseh razliˇcnih moˇznosti 4! · 3! · 5! · 3!.
c) V skupini matematiˇcnih knjig lahko knjige zamenjujemo med seboj na 4!
naˇcinov, hkrati pa lahko zamenjujemo med seboj ˇse ostale knjige ter skupino
matematiˇcnih knjig. Potem je ˇstevilo vseh razliˇcnih razporeditev knjig na
polici 4! · 9!.
16. a) (m + n + p)!
b) m!(n + p + 1)!
c) n! · p!(m + 2)!
17. a) 16!
b) Osem parov zamenjujemo med seboj na 8! naˇcinov, hkrati pa ˇse pri vsakem
ˇ
paru na 2! naˇcinov zamenjamo med seboj ˇzensko in moˇskega. Stevilo
vseh
8
razliˇcnih sedeˇznih redov je 8! · 2! .
c) Na 8! naˇcinov zamenjamo med seboj ˇzenske, hkrati pa ˇse 8 moˇskih in
skupino ˇzensk na 9! naˇcinov: 8! · 9!.
d) Na 8! naˇcinov zamenjujemo med seboj samo ˇzenske, prav toliko moˇznosti je
za moˇske. Med seboj zamenjamo ˇse skupino moˇskih in ˇzensk na 2! naˇcinov.
Razliˇcnih sedeˇznih redov je 8! · 8! · 2!.
1. Kombinatorika
8
18. Ker niso vse ˇcrke razliˇcne med seboj, gre za permutacije s ponavljanjem. Vsaka
od ˇcrk A, K, O in I se ponovi dvakrat, ostale nastopijo enkrat.
ˇ
Stevilo
vseh razliˇcnih permutacij s ponavljanjem izraˇcunamo po formuli
n1 ,n2 ,...,nr
Pn
= n1 !·nn!
, kjer je n1 + n2 + · · · + nr = n.
2 !···nr !
2,2,2,2
Za dani primer je potem P13
=
13!
2!·2!·2!·2!
= 389.188.800.
19. P92,2,2,2 = 22.680
4,3,2,3
20. P12
= 277.200
21. O variacijah brez ponavljanja reda k govorimo, kadar razporejamo v vrsto k
elementov, ki jih izberemo iz mnoˇzice z n razliˇcnimi elementi (k ≤ n), kjer lahko
vsak element uporabimo le enkrat. Vrstni red izbranih elementov je pomemben.
Za variacije brez ponavljanja reda 2 za ˇcrke v nalogi imamo naslednje moˇznosti:
ab, ac, ba, bc, ca, cb.
n!
ˇ
Stevilo
variacij brez ponavljanja reda k izraˇcunamo po formuli Vnk = (n−k)!
.
Za dani primer je V32 =
3!
(3−2)!
= 6 variacij brez ponavljanja reda 2.
22. O variacijah s ponavljanjem reda k govorimo, kadar razporejamo v vrsto k elementov, ki jih izberemo iz mnoˇzice z n elementi (k ≤ n), kjer lahko izbrani
element uporabimo veˇckrat. Vrstni red elementov je pomemben. Za variacije s
ponavljanjem reda 2 za ˇcrke v nalogi imamo naslednje moˇznosti:
ˇ
aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc. Stevilo
variacij s ponavljanjem reda k
k
(p)
k
izraˇcunamo po formuli Vn = n . V danem primeru je potem (p) V32 = 32 = 9.
6!
(6−4)!
23. a) V64 =
= 360
24. a) 11.880
b) 1.860.480
b)
(p) V 4
6
= 64 = 1.296
c) (n + 2)!/6
d) n(n − 1)
25. a) n1 = 6, (n2 = −5 ni reˇsitev)
c) n = 2
b) n = 5
d) n1 = 3, (n2 = −6 ni reˇsitev)
26. a) V75 = 2.520
b)
27. a) 2V54 + 2V43 = 288
b) 2(p) V64 + 3(p) V63 = 3.240
28. a)
(p) V 4
8
= 4.096
(p) V 5
7
= 16.807
b) V84 = 1.680
29. Nalogo raje preoblikujemo tako, da ˇskatle prirejamo izdelkom. V54 = 120.
30. V93 = 504
31. Vn3 = 60 ⇒ n = 5
1. Kombinatorika
9
32. O kombinacijah brez ponavljanja reda k govorimo, kadar izbiramo k elementov
iz mnoˇzice z n razliˇcnimi elementi (k ≤ n), kjer vrstni red izbora elementov ni pomemben. Predstavljamo si lahko tudi, da k elementov hkrati izberemo iz mnoˇzice z n elementi. Za tri ˇcrke iz naloge imamo naslednje moˇznosti:
ˇ
abc, abd, acd, bcd. Stevilo
kombinacij brez ponavljanja izraˇcunamo po formuli
n
n!
4!
k
Cn = k = k!(n−k)! . Za dani primer je C43 = 43 = 3!·(4−3)!
= 4.
33. C83 =
8
3
5 =
34. C50
= 56.
50
5
7 = 15.380.937
35. C39
36. a) 495
b) 496
37. a) n1 = 8, (n2 = −7 ni reˇsitev)
c) (n(n − 1))/2
d) n + 1
b) n = 5
c) n = 4
n!
n!
38. n4 + 2 n3 + n2 = 4!(n−4)!
+ 2 · 3!(n−3)!
+ n! =
2!(n−2)!
(n+1)(n+2)
n!
n!
1
1
1
= 2!(n−4)!
4·3 + 2 · 3(n−3) + (n−2)(n−3) = 2!(n−4)! · 4·3·(n−3)(n−2) =
= n+2
4
(2n)!
(2n)!
2n
n
n
39. n+1
· 2n
n = n+1 · n!·n! = (n+1)!·(n−1)! = n+1
40. a) C64 = 15
(n+2)!
4!(n−2)!
=
b) C42 = 6
41. C82 = 28
42. Kombinacije s ponavljanjem reda k imenujemo vzorce, ki nastanejo tako, da iz
mnoˇzice danih elementov na slepo izberemo en element, si ga ogledamo in ga
vrnemo v mnoˇzico, nato zopet izbiramo, dokler ne nastane vzorec velikosti k.
Pri tem vrstni red izbranih elementov ni pomeben. V danem primeru lahko oblikujemo naslednje vzorce: AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD.
k
Njihovo ˇstevilo je 10, kar lahko tudi izraˇcunamo po obrazcu (p) Cnk = Cn+k−1
,
(p) k
k
2
2
ˇce vzamemo, da je n = 4 in k = 2: Cn = Cn+k−1 = C4+2−1 = C5 = 10.
43. a) Ker se telefonske ˇstevilke ne morejo ponavljati, imamo kombinacije
brez
100
20
ˇ
ponavljanja. Stevilo
vseh mogoˇcih vzorcev je Cnk = C100
=
20
b) Ker se telefonske ˇstevilke v vzorcu lahko ponavljajo, imamo kombinacije s
ˇ
ponavljanjem. Stevilo
vseh mogoˇcih vzorcev
je
119
(p) k
k
20
20
Cn = Cn+k−1 = C100+20−1 = C119 =
20
1. Kombinatorika
10
44. V ˇskatli so lahko tudi kroglice iste barve, zato imamo kombinacije s ponavljan
13
(p) 10
10
jem. Za dani primer je n = 4 in k = 10. Potem je C4 = C13 =
= 286.
10
45. Kadar hkrati izbiramo elemente iz veˇc tujih mnoˇzic in vrstni red elementov
ˇ iz prve mnoˇzice z n1 elementi
ni pomemben, imamo vezane kombinacije. Ce
izbiramo k1 elementov in hkrati iz druge mnoˇzice z n2 elementi k2 elementov
in tako naprej, je ˇstevilo vseh moˇznih razliˇcnih izborov
n2 ,k2 ,...,kr
nr
n1
zenskami lahko izberejo dve ˇzenski
Cnk11 ,n
2 ,...,nr = k1 · k2 · . . . · kr . Med 12 ˇ
2 razliˇ
na C12
cnih naˇcinov, hkrati pa med 8 moˇskimi tri moˇske na C83 razliˇcnih
2 · C 3 = 3.696 razliˇ
naˇcinov. Petˇclansko komisijo lahko izberejo torej na C12
cnih
8
naˇcinov.
46. Bele kroglice lahko izbiramo le iz mnoˇzice belih in rdeˇce iz mnoˇzice rdeˇcih
kroglic. Med ˇstirimi kroglicami ˇzelimo dve ali tri rdeˇce kroglice, zato je ˇstevilo
vseh moˇznosti C52 · C72 + C51 · C73 = 385.
47. Vsaj en kralj med tremi kartami pomeni en, dva ali trije kralji med njimi.
Nalogo reˇsimo hitreje, ˇce od ˇstevila vseh moˇznih kombinacij reda 4 izmed 32
elementov odˇstejemo ˇstevilo kombinacij, ko med tremi kartami ni nobenega
3 − C 0 · C 3 = 1.684.
kralja: C32
4
28
48. C50 · C65 + C51 · C64 + C52 · C63 = 281
49. C72 · C32 · C54 = 315
2.
ˇ
VERJETNOSTNI RACUN
2.1
Osnovni pojmi verjetnostnega raˇ
cuna
1. Katere od naˇstetih mnoˇzic predstavljajo popoln sistem dogodkov pri metu
poˇstene igralne kocke? Ali je katera med njimi popoln sistem elementarnih
dogodkov?
a) A = {S, L}, kjer je S padec sodega ˇstevila pik in L padec lihega ˇstevila pik,
b) B = {M3 , V3 }, kjer pomeni M3 , da padejo manj kot tri pike in V3 , da padejo
veˇc kot tri pike,
c) C = {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 }, kjer pomeni Ei padec i pik,
d) D = {M2 , V2 }, kjer pomeni M2 , da padeta manj kot dve piki in V2 , da
padeta vsaj dve piki.
2. Zapiˇsite popoln sistem elementarnih dogodkov pri poskusu, kjer hkrati vrˇzemo
poˇsteno igralno kocko in poˇsten kovanec. Oznaˇcimo z Ei padec i pik na kocki
ter s C padec cifre in z G padec grba na kovancu.
3. V porodniˇsnici so pri rojstvu trojˇckov beleˇzili vrstni red rojstva novorojenˇckov
glede na spol. Zapiˇsite popoln sistem dogodkov, ˇce oznaˇcimo z D rojstvo deklice
in z F rojstvo fantka.
4. Naj bo poskus met poˇstene igralne kocke. Pri tem se lahko zgodijo naslednji
dogodki:
A = {pade sodo ˇstevilo pik},
B = {padejo manj kot tri pike},
C = {pade ˇstevilo, deljivo s tri},
D = {pade liho ˇstevilo pik}.
Odgovorite na naslednja vpraˇsanja:
a)
b)
c)
d)
e)
Kaj je vsota dogodkov A in B?
Kaj je produkt dogodkov A in B?
Ali sta dogodka A in B zdruˇzljiva?
Kaj je nasprotni dogodek dogodka C?
Ali sta dogodka A in D zdruˇzljiva?
2. Verjetnostni raˇcun
12
5. Strelec trikrat zapored strelja proti tarˇci. Oznaˇcimo z Z zadetek in z Z¯ zgreˇseni
strel. Zapiˇsite popoln sistem elementarnih dogodkov in z njimi zapiˇsite naslednje
dogodke:
A = {tarˇca je zadeta natanko enkrat},
B = {tarˇca je zadeta vsaj dvakrat},
C = {prviˇc je zadel v tretjem poskusu},
D = {tarˇca je zadeta kveˇcjemu dvakrat}.
6. V posodi imamo listke s ˇstevili od 1 do 50. Na slepo izvleˇcemo en listek. Naj
bosta dogodka A = {ˇstevilo je deljivo s 5} in B = {ˇstevilo je sodo}.
a)
b)
c)
d)
2.2
Kaj je vsota dogodkov A in B?
Kaj je produkt dogodkov A in B?
Ali sta dogodka A in B zdruˇzljiva?
Kaj je nasprotni dogodek dogodka B?
Verjetnost sluˇ
cajnega dogodka
7. V posodi je 10 kroglic, od tega 6 modrih, ostale pa so rumene. Na slepo
izvleˇcemo eno kroglico. Kolikˇsna je verjetnost, da:
a) je kroglica modre barve,
b) je kroglica rumene barve?
8. Kolikˇsna je verjetnost, da s ˇcrkami E, M, O, P, R, T na slepo zapiˇsemo besedo
PROMET?
9. Na mizi leˇzi ˇsest listkov s ˇcrkami A, B, C, D, E, F. Na slepo vzamemo ˇstiri listke
in z njimi sestavimo besedo. Kolikˇsna je verjetnost, da se bo beseda konˇcala na
samoglasnik?
10. Kolikˇsna je verjetnost, da bo igralec pri navadni igri ˝Loto˝ zadel sedmico, ˇce
je izpolnil eno kombinacijo sedmih ˇstevil izmed 39 ˇstevil?
11. V ˇskatli je 60 kroglic, ki so oˇstevilˇcene s ˇstevilkami od 1 do 60. Na slepo
izvleˇcemo eno kroglico. Kolikˇsna je verjetnost, da je ˇstevilo na kroglici:
a) deljivo s 3,
b) deljivo s 5,
c) deljivo s 3 ali s 5?
12. Kolikˇsna je verjetnost, da iz posode, v kateri je 5 belih, 6 rdeˇcih in 3 modre
kroglice na slepo izvleˇcemo kroglico, ki je bele ali modre barve?
13. Iz kupa 32 igralnih kart na slepo izvleˇcemo eno karto. Kolikˇsna je verjetnost,
da je karta dama ali pik?
2. Verjetnostni raˇcun
13
14. Na vlaku je med 30 potniki 5 potnikov brez vozne karte. Sprevodnik na slepo
izbere 6 potnikov. Kolikˇsna je verjetnost, da bodo med njimi trije potniki brez
vozne karte?
15. V ˇskatli je 7 belih, 3 modre in 8 ˇcrnih kroglic. Kroglice iste barve med seboj
razlikujemo. Na slepo izvleˇcemo hkrati tri kroglice. Kolikˇsna je verjetnost, da:
a)
b)
c)
d)
e)
so vse tri kroglice bele,
je ena kroglica modra, dve pa ˇcrni,
nobena kroglica ni modra,
je vsaj ena kroglica ˇcrna,
je ena kroglica bela in dve modri ali pa ena modra in dve beli?
16. V trgovino so prejeli poˇsiljko 50 ˇzarnic, med njimi pa je bilo 8 neuporabnih.
Kupec je na slepo izbral 10 ˇzarnic. Kolikˇsna je verjetnost, da:
a) so vse ˇzarnice uporabne,
b) je kveˇcjemu ena ˇzarnica neuporabna?
17. Med 40 izdelki je 5 izdelkov z napako. Kontrolor kakovosti na slepo izbere vzorec
4 izdelkov. Serijo izdelkov zavrne, ˇce je v vzorcu veˇc kot en izdelek z napako.
Kolikˇsna je verjetnost, da je serijo zavrnil?
18. Iz obiˇcajnega kompleta 32 igralnih kart na slepo izvleˇcemo ˇstiri karte. Izraˇcunajte
verjetnost, da
a)
b)
c)
d)
e)
2.3
so vse ˇstiri karte rdeˇce,
sta dve karti dami in ena je as,
je vsaj ena karta pik,
je kveˇcjemu ena karta dama,
so dve ali tri karte kralji.
Pogojna verjetnost in verjetnost produkta
¯
19. Dogodka A in B sta neodvisna. Izraˇcunajte verjetnosti dogodkov AB, AB,
¯
AB, A/B, B/A, ˇce je verjetnost dogodka P (A) = 0,3 in verjetnost dogodka
P (B) = 0,6.
20. Izraˇcunajte pogojni verjetnosti P (A/B) in P (B/A), ˇce so verjetnosti
P (A) = 0,8, P (B) = 0,5, P (AB) = 0,3.
‡ 21. Izraˇcunajte verjetnosti P (A/B) in P (B/A) nezdruˇzljivih dogodkov A in B, kjer
je P (A) > 0 in P (B) > 0. Sta dogodka A in B odvisna ali neodvisna?
‡ 22. Izraˇcunajte verjetnosti P (A/B) in P (B/A), kjer je dogodek A naˇcin dogodka
B in dogodek B ni gotov dogodek. Sta dogodka A in B odvisna ali neodvisna?
2. Verjetnostni raˇcun
14
ˇ
23. Stirikrat
zapored vrˇzemo poˇsteno igralno kocko. Izraˇcunajte verjetnost, da bo
prviˇc padla ˇsestica, drugiˇc liho ˇstevilo, tretjiˇc ˇstirica in ˇcetrtiˇc dvojka ali trojka.
24. Dva lovca hkrati in neodvisno streljata na medveda. Verjetnost, da zadene prvi
strelec, je 0,7 in verjetnost, da zadene drugi, je 0,6. Izraˇcunajte verjetnost, da
je medved zadet:
a) natanko enkrat,
b) natanko dvakrat,
c) kveˇcjemu enkrat pri pogoju, da je zadel vsaj en strelec.
25. Trije strelci hkrati ustrelijo proti tarˇci in jo zadenejo z verjetnostmi 0,3, 0,5 in
0,8. Kolikˇsna je verjetnost, da:
a) bo tarˇca zadeta natanko enkrat,
b) bo zadeta vsaj dvakrat,
c) bo zadeta natanko dvakrat pri pogoju, da vsaj en strelec zadene?
26. V obratu imajo tri stroje. Verjetnosti njihovih okvar v enem mesecu so za
prvi, drugi in tretji stroj po vrsti 0,2, 0,15 in 0,11. Okvare strojev so med
seboj neodvisne. Izraˇcunajte verjetnost, da je moral vzdrˇzevalec v enem mesecu
popraviti vsaj en stroj.
27. V posodi je 12 modrih in 18 belih kroglic. Na slepo izberemo ˇsestkrat po eno
kroglico. Kolikˇsna je verjetnost, da bodo prve ˇstiri izbrane kroglice bele, zadnji
dve pa modri, ˇce:
a) izbranih kroglic ne vraˇcamo v posodo,
b) izbrano kroglico vsakokrat vrnemo v posodo?
28. V posodi je 12 belih, 30 rdeˇcih, 20 modrih in 15 zelenih kroglic. Petkrat zapored
na slepo izvleˇcemo po eno kroglico. Kolikˇsna je verjetnost, da bosta prvi dve
izvleˇceni kroglici rdeˇci, tretja bela, ˇcetrta modra in peta zelena, ˇce:
a) izvleˇceno kroglico vsakokrat vrnemo v posodo,
b) izvleˇcenih kroglic ne vraˇcamo v posodo?
29. Z anketo so ˇzeleli ugotoviti, ali so gledalci iz Ljubljane, Maribora in Kopra
zadovoljni ali nezadovoljni s televizijskimi programi. Tabela podaja ˇstevilo ljudi
iz posameznih krajev, ki so zadovoljni oziroma nezadovoljni s programi:
Ljubljana
M aribor
Koper
zadovoljni nezadovoljni
229
153
143
200
220
195
Na slepo izberemo en izpolnjen anketni listiˇc. Izraˇcunajte verjetnost, da ga je
izpolnil gledalec, ki je:
2. Verjetnostni raˇcun
a)
b)
c)
d)
e)
f)
15
iz Maribora,
nezadovoljen s programom,
iz Ljubljane in je s programom zadovoljen,
zadovoljen s programom, pri pogoju, da je iz Kopra,
iz Maribora, ˇce veste, da je s programom nezadovoljen,
iz Maribora ali je s progamom zadovoljen.
30. V podjetju so zbrali podatke svojih zaposlenih o spolu in izobrazbi. Izobrazbo
so razdelili na osnovnoˇsolsko (O), srednjeˇsolsko (S) in visokoˇsolsko (V ). Podatki
so zbrani v tabeli:
O
S
V
M
19
46
12
ˇ
Z
13
50
10
Kadrovnik je na sluˇcajen naˇcin izbral eno osebo v podjetju. Izraˇcunajte verjetnost, da je izbral:
a)
b)
c)
d)
e)
moˇskega,
osebo s srednjeˇsolsko izobrazbo,
ˇzensko s srednjeˇsolsko izobrazbo,
med ˇzenskami tisto, ki ima visokoˇsolsko izobrazbo,
moˇskega, ˇce veste, da ima oseba osnovnoˇsolsko izobrazbo.
31. Hkrati vrˇzemo dve poˇsteni igralni kocki. Izraˇcunajte verjetnost dogodka, da:
a) je vsota pik na obeh kockah 8,
b) je na drugi kocki padla ena pika veˇc kot na prvi kocki,
c) je vsota pik na obeh kockah 9, pri pogoju, da so na vsaki kocki padle vsaj
ˇstiri pike,
d) so na vsaki kocki padle vsaj tri pike, pri pogoju, da je razlika pik na obeh
kockah dve,
e) je produkt pik na obeh kockah vsaj 20, pri pogoju, da je na prvi kocki padlo
liho ˇstevilo pik.
‡ 32. V posodi so 4 rdeˇce in 2 modri kroglici. Dva otroka jemljeta kroglice iz posode.
Najprej vzame kroglico prvi otrok in jo vrne nazaj, nato jo vzame drugi otrok
in jo vrne nazaj. Igro ponavljata toliko ˇcasa, dokler eden izmed njiju ne izvleˇce
modre kroglice. Izraˇcunajte verjetnost,
a) da prvi otrok prvi izvleˇce modro kroglico,
b) da drugi otrok prvi izvleˇce modro kroglico.
2. Verjetnostni raˇcun
2.4
16
Popolna verjetnost in Bayesova formula
33. V prvi posodi so 4 bele in 5 zelenih kroglic, v drugi pa 3 bele in 6 zelenih
kroglic. Na slepo izvleˇcemo eno kroglico iz prve posode in jo damo v drugo
posodo. Nato pa iz druge posode na slepo izvleˇcemo eno kroglico.
a) Kolikˇsna je verjetnost, da iz druge posode izvleˇcemo belo kroglico?
b) Iz druge posode smo izvlekli belo kroglico. Kolikˇsna je verjetnost, da je bila
tudi iz prve posode izvleˇcena bela kroglica?
34. V prvi posodi je 5 modrih in 8 belih listiˇcev, v drugi pa 7 modrih in 10 beˇ padeta vsaj dve piki, na slepo
lih listiˇcev. Vrˇzemo poˇsteno igralno kocko. Ce
izvleˇcemo dva listiˇca iz prve posode, sicer pa iz druge.
a) Kolikˇsna je verjetnost, da sta izbrana listiˇca enake barve?
b) Izvleˇcena listiˇca sta bila enake barve. Kolikˇsna je verjetnost, da sta na kocki
padli manj kot dve piki?
35. Iz kraja A v kraj B vozi 20 vozil, iz kraja B v kraj A pa 40 vozil. Verjetnost,
da bo vozilo, ki vozi iz kraja A v kraj B, zavilo na vmesno bencinsko postajo,
je 0,2, in da bo zavilo vozilo, ki vozi iz kraja B v kraj A, je 0,3.
a) Na slepo izberemo eno vozilo in ga opazujemo. Kolikˇsna je verjetnost dogodka D, da bo vozilo zavilo na vmesno bencinsko postajo?
b) Vozilo je zavilo na vmesno bencinsko postajo. Kolikˇsna je verjetnost, da je
to vozilo, ki vozi iz kraja A v kraj B?
c) Vozilo je zavilo na vmesno bencinsko postajo. Kolikˇsna je verjetnost, da je
to vozilo, ki vozi iz kraja B v kraj A?
36. Prevozniˇsko podjetje ima 10 starih in 5 novih tovornjakov. Verjetnost, da se
pokvari star tovornjak, je 0,12, in verjetnost, da se pokvari nov tovornjak, je
0,01. Voznik je za prevoz tovora na slepo izbral enega izmed tovornjakov.
a) Kolikˇsna je verjetnost dogodka A, da se bo izbrani tovornjak pokvaril?
b) Izbrani tovornjak se je pokvaril. Kolikˇsna je verjetnost, da je to eden izmed
starih tovornjakov?
c) Izbrani tovornjak se je pokvaril. Kolikˇsna je verjetnost, da je to eden izmed
novih tovornjakov?
37. Trije stroji izdelujejo enak izdelek. Prvi stroj izdela 35 % vseh izdelkov, drugi
30 % in tretji 35 %. Vendar vsak od strojev izdela tudi nekaj izmeta. Prvi stroj
izdela 5 % neuporabnih izdelkov, drugi 3 % in tretji 2 %. V kontroli preverjajo
kvaliteto izdelkov. Na slepo izberejo en izdelek.
a) Kolikˇsna je verjetnost, da je izbrani izdelek neuporaben?
b) Izbrani izdelek je neuporaben. Kolikˇsna je verjetnost, da ga je izdelal drugi
stroj?
2. Verjetnostni raˇcun
17
38. Na izpitu iz matematike je bilo med vsemi kandidati 35 % ˇstudentov, ki ponavljajo letnik. Izpit je uspeˇsno opravilo 55 % ponavljalcev in 70 % ostalih
kandidatov. Profesor je na sluˇcajen naˇcin izbral en izpit.
a) Kolikˇsna je verjetnost, da je izbrani izpit ocenjen pozitivno?
b) Izbrani izpit je ocenjen pozitivno. Kolikˇsna je verjetnost, da ga je oddal
ponavljalec?
‡ 39. Trije topovi streljajo na tank z verjetnostmi zadetkov 0,5, 0,4 in 0,7. Verjetnost,
da bo tank uniˇcen z enim zadetkom je 0,2, z dvema 0,5 in s tremi 0,8. Vsi trije
topovi streljajo hkrati in neodvisno drug od drugega.
a) Kolikˇsna je verjetnost, da bo tank uniˇcen?
b) Tank je uniˇcen. Kolikˇsna je verjetnost, da je bil zadet s tremi zadetki?
c) Tank je uniˇcen. Kolikˇsna je verjetnost, da je bil zadet z vsaj dvema zadetkoma?
2.5
Zaporedja neodvisnih poskusov
40. Verjetnost, da se v poskusu zgodi dogodek A, je 0,2. Poskus smo ponovili
12-krat tako, da je izid posameznega poskusa neodvisen od izidov v predhodnjih
poskusih. Kolikˇsna je verjetnost, da se je dogodek A zgodil natanko 7-krat?
ˇ
41. Sestkrat
zapored vrˇzemo poˇsteno igralno kocko. Kolikˇsna je verjetnost,
a) da pade ˇsestica natanko trikrat,
b) da pade ˇsestica prviˇc pri zadnjem metu,
c) da pade ˇsestica kveˇcjemu dvakrat?
42. Med baterijskimi vloˇzki je 10 % neuporabnih. Izraˇcunajte verjetnost, da so med
15 izdelki najveˇc trije neuporabni.
43. Verjetnost, da poˇstna poˇsiljka prispe na pravi naslov, je 99 %. Izraˇcunajte
verjetnost, da sta med 40 poˇsiljkami kveˇcjemu dve poˇsiljki prispeli na napaˇcni
naslov.
ˇ
44. Student
mora na izpitu pri vsakem od dvajsetih vpraˇsanj obkroˇziti pravilen
odgovor izmed treh podanih odgovorov. Vsakokrat je pravilen natanko eden od
odgovorov. Ker se ˇstudent na izpit ni pripravil, je obkroˇzal na slepo. Kolikˇsna
je verjetnost, da pravilno reˇsil natanko deset nalog?
45. V raˇcunovodstvu podjetja imajo 8 raˇcunalnikov. Verjetnost, da se raˇcunalnik
pokvari v enem letu, je za vse raˇcunalnike enaka 0,25. Izraˇcunajte verjetnost,
da se je v istem letu pokvarilo najveˇc 6 raˇcunalnikov.
46. Kaj je bolj verjetno? Da padejo trije grbi pri desetih metih kovanca ali pet
grbov pri petnajstih metih kovanca?
2. Verjetnostni raˇcun
18
‡ 47. Kolikokrat moramo vreˇci kocko, da bo padla enka prviˇc v zadnji ponovitvi
poskusa z verjetnostjo najmanj 0,05?
48. Peljemo se skozi pet semaforiziranih kriˇziˇsˇc. Privzemimo, da med seboj niso
sinhronizirana, kar pomeni, da delujejo neodvisno drug od drugega. V vsakem
kriˇziˇsˇcu naj bo verjetnost, da bo gorela zelena luˇc, ko pripeljemo v kriˇziˇsˇce,
enaka 0,4. Kolikˇsna je verjetnost, da bo gorela zelena luˇc
a)
b)
c)
d)
2.6
v
v
v
v
natanko treh kriˇziˇsˇcih,
natanko ˇstirih kriˇziˇsˇcih,
najveˇc dveh kriˇziˇsˇcih,
vsaj enem kriˇziˇsˇcu?
Sluˇ
cajne spremenljivke
49. Diskretna sluˇcajna spremenljivka X ima naslednjo verjetnostno shemo:
X:
1 2 3
4
5
0,4 p 0,1 0,15 p
Doloˇcite p.
50. Diskretna sluˇcajna spremenljivka X je enakomerno porazdeljena z zalogo vrednosti {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}. Zapiˇsite njeno verjetnostno shemo.
51. Trikrat zapored vrˇzemo kovanec. Sluˇcajna spremenljivka X naj bo ˇstevilo grbov, ki pri tem padejo. Zapiˇsite njeno verjetnostno shemo.
52. Koˇsarkar petkrat zapored vrˇze na koˇs. Verjetnost zadetka je v vseh metih 1/3.
Sluˇcajna spremenljivka X naj bo ˇstevilo doseˇzenih koˇsev. Zapiˇsite verjetnostno
shemo spremenljivke X.
53. V prvi ˇskatli imamo dve kroglici, ki sta oˇstevilˇceni s ˇstevilkama 1 in 2, v drugi
pa tri kroglice s ˇstevilkami 1, 2 in 3. Slepo izberemo iz vsake od ˇskatel po
eno kroglico. Sluˇcajna spremenljivka X naj bo vsota ˇstevilk na obeh kroglicah.
Zapiˇsite njeno verjetnostno shemo.
54. Med 12 izdelki so 4 izdelki z napako. Na slepo izberemo med vsemi izdelki
tri izdelke. Sluˇcajna spremenljivka X naj bo ˇstevilo izdelkov z napako med
izbranimi izdelki. Zapiˇsite njeno verjetnostno shemo.
55. Sluˇcajna spremenljivka X ima naslednjo verjetnostno shemo:
X:
−1 0
1
2
3
0,1 0,1 0,4 0,1 0,3
2. Verjetnostni raˇcun
19
Izraˇcunajte matematiˇcno upanje, varianco in standardni odklon spremenljivke
X. Razloˇzite pomen izraˇcunanih vrednosti.
56. Diskretna sluˇcajna spremenljivka X ima verjetnostno shemo
a)
b)
c)
d)
1
2
3
4
5
0,3 0,1 0,1 0,15 p
Doloˇcite verjetnost p.
Kolikˇsna je verjetnost, da bo vrednost spremenljivke X enaka 3 ali 4?
Kolikˇsna je verjetnost, da vrednost spremenljivke X ni veˇcja od 2?
Doloˇcite matematiˇcno upanje, varianco in standardni odklon za X.
57. Celoˇstevilska diskretna sluˇcajna spremenljivka X ima verjetnostno shemo
−2 −1 3
6
7 x6
X:
0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 p
Izraˇcunajte x6 in p, ˇce je:
a) njeno matematiˇcno upanje enako 2,
b) njeno matematiˇcno upanje enako 1,5,
c) njena varianca enaka 14,49.
58. Iz obiˇcajnega kompleta 32 igralnih kart na slepo izvleˇcemo ˇstiri karte hkrati.
Sluˇcajna spremenljivka X naj bo ˇstevilo src med izvleˇcenimi kartami. Zapiˇsite
njeno verjetnostno shemo in izraˇcunajte matematiˇcno upanje, varianco in standardni odklon spremenljivke X.
59. Iz posode, v kateri je 8 belih in 4 rdeˇce kroglice, trikrat zapored izvleˇcemo po eno
kroglico. Izvleˇceno kroglico vsakokrat vrnemo v posodo. Sluˇcajna spremenljivka
X naj bo ˇstevilo izvleˇcenih rdeˇcih kroglic. Zapiˇsite njeno verjetnostno shemo
in izraˇcunajte matematiˇcno upanje, varianco in standardni odklon.
60. V posodi je 5 belih in 3 ˇcrne kroglice. Na slepo izvleˇcemo iz posode 2 kroglici
hkrati. Vsaka izvleˇcena ˇcrna kroglica povzroˇci izgubo 1.000,00 d. e., vsaka
izvleˇcena bela kroglica pa dobiˇcek 2.000,00 d. e. Sluˇcajna spremenljivka X naj
bo dobiˇcek pri vsakem vleˇcenju kroglic. Doloˇcite verjetnostno shemo, matematiˇcno
upanje in standardni odklon spremenljivke X.
61. Verjetnost, da je na vlaku slepi potnik brez vozne karte, je 0,1. Sprevodnik
na vlaku na slepo izbere 3 potnike. Sluˇcajna spremenljivka X naj bo ˇstevilo
potnikov brez vozne karte med izbranimi tremi potniki. Zapiˇsite verjetnostno
shemo in izraˇcunajte matematiˇcno upanje ter standardni odklon sluˇcajne spremenljivke X.
2. Verjetnostni raˇcun
20
62. Verjetnost, da se izdelek poˇskoduje pri prevozu, je 0,05. Za kontolo kvalitete
prevoza smo nakljuˇcno izbrali 3 izdelke. Naj bo sluˇcajna spremenljivka X ˇstevilo
poˇskodovanih izdelkov med izbranimi izdelki. Zapiˇsite verjetnostno shemo in
izraˇcunajte matematiˇcno upanje ter standardni odklon sluˇcajne spremenljivke
X.
63. Verjetnost, da se bo vozilo ustavilo na poˇcivaliˇsˇcu ob avtocesti, je 0,4. Opazujemo tri nakljuˇcno izbrana vozila na avtocesti. Naj bo sluˇcajna spremenljivka
X ˇstevilo avtomobilov med izbranimi tremi vozili, ki se ustavijo na poˇcivaliˇsˇcu.
Izraˇcunajte matematiˇcno upanje in standardni odklon sluˇcajne spremenljivke.
64. Na opazovanem cestnem odseku se v enem letu zgodijo povpreˇcno tri prometne
nesreˇce. Izraˇcunajte verjetnost, da se bo v naslednjem letu zgodilo 5 prometnih
nesreˇc, in verjetnost, da se bo zgodila le ena prometna nesreˇca. Predpostavimo,
da je ˇstevilo prometnih nesreˇc, ki se zgodijo na opazovenem cestnem odseku,
sluˇcajna spremenljivka, ki ima Poissonovo porazdelitev.
65. Na ˇzeleznici so opazili, da ima vlak na relaciji Novo mesto - Ljubljana povpreˇcno
8-krat na mesec zamudo. Izraˇcunajte verjetnost, da bo imel vlak na tej relaciji v
naslednjem mesecu zamudo 10-krat. Predpostavimo, da je ˇstevilo zamud vlakov
na tej relaciji v enem mesecu sluˇcajna spremenljivka, ki ima Poissonovo porazdelitev.
66. Opazovali so doloˇceno kriˇziˇsˇce in ugotovili, da prevozi kriˇziˇsˇce povpreˇcno 5 vozil
na minuto. Izraˇcunajte verjetnost, da bosta v naslednji minuti prevozila kriˇziˇsˇce
najveˇc dve vozili. Predpostavimo, da je ˇstevilo vozil, ki prevozi kriˇziˇsˇce v eni
minuti, sluˇcajna spremenljivka, ki ima Poissonovo porazdelitev.
67. Funkcija

 0, x ≤ 0
x3 , 0 < x < 1
F (x) =

1, x ≥ 1
je porazdelitvena funkcija zvezne sluˇcajne spremenljivke X.
a) Izraˇcunajte verjetnosti P (X < 0,7) in P (0,1 ≤ X < 0,5).
b) Izraˇcunajte verjetnosti P (−1 ≤ X < 2) in P (X ≥ 0,6).
c) Nariˇsite graf funkcije F (x).
‡ 68. Doloˇcite a in b tako, da bo
F (x) =


0, x ≤ 1
ax2 + bx − 3, 1 < x < 2

1, x ≥ 2
porazdelitvena funkcija zvezne sluˇcajne spremenljivke X. Za izraˇcunana a in b
nariˇsite graf funkcije F (x) in izraˇcunajte verjetnost P (1 ≤ X ≤ 1,5).
2. Verjetnostni raˇcun
21
‡ 69. Doloˇcite a tako, da bo
F (x) =



0, x ≤ 0
0<x<1
1, x ≥ 1
ax
x−2 ,
porazdelitvena funkcija zvezne sluˇcajne spremenljivke X in izraˇcunajte gostoto
porazdelitve te sluˇcajne spremenljivke.
‡ 70. Doloˇcite a tako, da bo
p(x) =
ax − ax2 , 0 < x < 1
0, sicer
gostota zvezne sluˇcajne spremenljivke X in izraˇcunajte P (0,1 ≤ X < 0,5).
‡ 71. Doloˇcite a tako, da bo
p(x) =
a−x
a ,
0<x<2
0, sicer
gostota zvezne sluˇcajne spremenljivke X. Izraˇcunajte P (X < 1), E(X), σ 2 (X)
in σ(X).
72. Sluˇcajna spremenljivka X naj bo enakomerno porazdeljena na intervalu [2, 6].
Zapiˇsite gostoto porazdelitve spremenljivke X in izraˇcunajte P (3 < X < 5).
73. Zvezna sluˇcajna spremenljivka X naj bo enakomerno porazdeljena na intervalu [2, 6]. Zapiˇsite gostoto porazdelitve spremenljivke X ter izraˇcunajte E(X),
σ 2 (X) in σ(X).
74. Zvezna sluˇcajna spremenljivka X naj bo enakomerno porazdeljena na intervalu [1, 3]. Zapiˇsite gostoto porazdelitve spremenljivke X ter izraˇcunajte E(X),
σ 2 (X), σ(X) in P (1,5 ≤ X ≤ 2).
75. Sluˇcajna spremenljivka Z je porazdeljena standardizirano normalno, Z ∼ N (0, 1).
S pomoˇcjo tabele vrednosti funkcije Φ (priloga 1) izraˇcunajte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
P (0 ≤ Z < 1), P (0 ≤ Z < 1,2), P (0 ≤ Z < 2,36)
P (−2 ≤ Z < 0), P (−1,53 ≤ Z < 0), P (−0,58 ≤ Z < 0)
P (1 ≤ Z < 2), P (0,24 ≤ Z < 1,12), P (−1,55 ≤ Z < −0,5)
P (−1,2 ≤ Z < 0,5), P (−0,25 ≤ Z < 2,15), P (−2,51 ≤ Z < 0,18)
P (Z ≥ 1,42), P (Z ≥ 0,12), P (Z ≤ −3,02)
P (Z ≥ −1,35), P (Z ≥ −0,42), P (Z ≤ 2,13)
2. Verjetnostni raˇcun
22
‡ 76. Sluˇcajna spremenljivka Z je porazdeljena standardizirano normalno, Z ∼ N (0, 1).
Doloˇcite z tako, da bo veljalo P (1 ≤ Z < z) = 0,0494.
‡ 77. Sluˇcajna spremenljivka Z je porazdeljena standardizirano normalno, Z ∼ N (0, 1).
Doloˇcite z tako, da bo veljalo P (z ≤ Z < 1, 5) = 0,2244.
78. Sluˇcajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N (3, 0,7). Izraˇcunajte
verjetnosti:
a)
b)
c)
d)
e)
P (3 ≤ X < 3,5), P (3 ≤ X < 4,2), P (2 ≤ X < 3)
P (3,2 ≤ X < 4), P (3,6 ≤ X < 4,1), P (1 ≤ X < 2,2)
P (2 ≤ X < 3,5), P (1,5 ≤ X < 3,2), P (2,5 ≤ X < 3,5)
P (X ≥ 4), P (X ≥ 5), P (X < 1,8)
P (X ≤ 4,5), P (X ≤ 3,8), P (X ≥ 1,2)
ˇ v minutah, ki ga potrebujejo vozniki osebnih avtomobilov, da prepeljejo
79. Cas
pot od Novega mesta do Ljubljane, naj bo normalno porazdeljena sluˇcajna
spremenljivka po zakonu N (40, 6). Izraˇcunajte verjetnost, da sluˇcajno izbrani
voznik
a) prepelje pot v ˇcasu med 38 in 46 minut;
b) potrebuje za pot veˇc kot 50 minut;
c) potrebuje za pot manj kot 35 minut.
80. Naj bo poraba goriva osebnega avtomobila na 100 km normalno porazdeljena
sluˇcajna spremenljivka X z matematiˇcnim upanjem µ = 9 litrov in standardnim odklonom σ = 0,8 litra. Izraˇcunajte verjetnost, da bo poraba goriva tega
avtomobila za naslednjih 100 km
a) med 8 in 10 litrov;
b) manj kot 9,2 litra;
c) veˇc kot 8 litrov.
81. Koliˇcina tekoˇcine v litrih, ki jo elevator (pretovorna mehanizacija) transportira
v eni uri dela, je normalno porazdeljena sluˇcajna spremenljivka po zakonu
N (60, 4). Izraˇcunajte verjetnost, da je koliˇcina transportirane tekoˇcine v naslednji uri
a) manj kot 58 litrov;
b) veˇc kot 65 litrov tekoˇcine;
c) med 57 in 59 litri.
82. Doloˇcite matematiˇcno upanje sluˇcajne spremenljivke X, ki je porazdeljena normalno s standardnim odklonom σ = 1,2 in za katero velja P (X < 14) = 0,7642.
Kolikˇsna je verjetnost, da bo v nekem poskusu vrednost spremenljivke X med
13 in 15?
2. Verjetnostni raˇcun
23
83. Sluˇcajna spremenljivka X se porazdeljuje normalno z matematiˇcnim upanjem
2. Izraˇcunajte standardni odklon spremenljivke X, ˇce je P (X ≥ 1) = 0,8621.
Kolikˇsna je verjetnost, da bo vrednost spremenljivke X v nekem poskusu veˇcja
od 3?
84. Predpostavimo, da je viˇsina odraslih ljudi sluˇcajna spremenljivka, ki je porazdeljna normalno z matematiˇcnim upanjem µ = 176 cm in standardnim
odklonom σ = 9 cm. Izraˇcunajte, pribliˇzno koliko ljudi bo med 850 odraslimi
ljudmi viˇsjih od 188 cm.
‡ 85. Naj bo za odrasle osebe ˇstevilo ur gledanja TV na teden normalno porazdeljena
sluˇcajna spremenljivka z matematiˇcnim upanjem 20 ur in s standardnim odklonom 3 ure. Najmanj koliko ur na teden gleda TV oseba, ki spada v skupino
20 % odraslih oseb, ki gledajo TV najveˇc?
86. S pomoˇcjo aproksimacije binomske porazdelitve z normalno porazdelitvijo izraˇcunajte
verjetnost, da je pri 1.500 metih kovanca padel grb vsaj 800 krat.
87. S pomoˇcjo aproksimacije binomske porazdelitve z normalno porazdelitvijo izraˇcunajte
verjetnost, da je pri 8.000 metih poˇstene igralne kocke padlo sodo ˇstevilo veˇc
kot 3.950-krat.
2.7
Formule in pravila
Verjetnost
1. vsote dveh nezdruˇzljivih dogodkov: P (A + B) = P (A) + P (B)
2. vsote zdruˇzljivih dogodkov: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)
¯ = 1 − P (A)
3. nasprotnega dogodka: P (A)
4. pogojna: P (A/B) = P (AB)/P (B)
5. produkta v celoti neodvisnih dogodkov:
P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 ) · · · P (An )
6. produkta odvisnih dogodkov:
P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) · · · P (An /A1 A2 . . . An−1 )
7. popolna: P (A) = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) + · · · + P (Hn )P (A/Hn )
Bayesova formula
P (Hi /A) =
P (Hi )P (A/Hi )
(i = 1, 2, . . . , n)
P (A)
2. Verjetnostni raˇcun
24
Bernoullijeva formula
n k
Pn (k) =
p (1 − p)n−k (k = 0, 1, . . . , n)
k
Verjetnostna shema diskretne sluˇ
cajne spremenljivke
X:
x1 x2 x3 . . . xn
p1 p2 p3 . . . pn
(p1 + p2 + · · · + pn = 1)
Matematiˇ
cno upanje diskretne sluˇ
cajne spremenljivke
E(X) = Σnk=1 pk xk = p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xn
Varianca in standardni odklon diskretne sluˇ
cajne spremenljivke
σ 2 (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 , σ(X) =
p
σ 2 (X)
E(X 2 ) = Σnk=1 pk x2k = p1 x21 + p2 x22 + · · · + pn x2n
Poissonova porazdelitev
λk e−λ
,
k!
Pλ (k) = P (X = k) =
E(X) = λ
Porazdelitvena funkcja zvezne sluˇ
cnajne spremenljivke (z gostoto verjetnosti p)
Z
x
Z
F (x) = P (X < x) =
∞
p(t) dt,
−∞
p(x) dx = 1
−∞
Matematiˇ
cno upanje zvezne sluˇ
cajne spremenljivke (z gostoto verjetnosti
p)
Z
∞
E(X) =
x p(x) dx
−∞
Varianca in standardni odklon zvezne sluˇ
cajne spremenljivke (z gostoto
verjetnosti p)
σ 2 (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 , σ(X) =
Z ∞
2
E(X ) =
x2 p(x) dx
−∞
p
σ 2 (X)
2. Verjetnostni raˇcun
25
Normalna porazdelitev
(x−µ)2
1
p(x) = √ e− 2σ2
σ 2π
b−µ
a−µ
P (a ≤ X < b) = Φ
−Φ
, Φ(−x) = −Φ(x) , Φ(∞) = 0,5
σ
σ
Aproksimacija binomske porazdelitve z normalno porazdelitvijo
P (a ≤ k < b) = Φ
b − np
√
npq
−Φ
a − np
√
npq
, np > 4, n(1 − p) > 4
ˇ
RESITVE
1. Mnoˇzica dogodkov je popoln sistem dogodkov danega poskusa, ˇce vsebuje vse
mogoˇce dogodke, ki so paroma nezdruˇzljivi, njihova vsota pa je gotov dogodek.
Popoln sistem elementarnih dogodkov je popoln sistem dogodkov, ki je sestavljen iz elementarnih dogodkov (dogodki, ki jih ne moremo zapisati kot vsoto
nekih dogodkov). Popolne sisteme dogodkov predstavljajo mnoˇzice A, C in D,
popoln sistem elementarnih dogodkov pa je C.
2. Dogodek v tem poskusu je urejeni par (Ei , C) ali pa (Ei , G). Popoln sistem
elementarnih dogodkov je mnoˇzica vseh moˇznih urejenih parov v poskusu:
{(E1 , C), (E2 , C), (E3 , C), (E4 , C), (E5 , C), (E6 , C), (E1 , G), (E2 , G),
(E3 , G), (E4 , G), (E5 , G), (E6 , G)}
3. Dogodek v poskusu je urejena trojka rojstev otrok, kjer so beleˇzili spol.
{(F, F, F ), (D, F, F ), (F, D, F ), (F, F, D), (D, D, F ), (D, F, D),
(F, D, D), (D, D, D)}
4. a) Vsota dveh (ali veˇc) dogodkov se zgodi, ko se zgodi vsaj eden od obeh (ali
veˇc) dogodkov. Vsota dogodkov A in B v obravnavanem primeru se zgodi,
ˇce pade 1, 2, 4 ali 6 pik.
b) Produkt dveh dogodkov se zgodi, ko se zgodita oba dogodka hkrati. Produkt
dogodkov A in B se torej zgodi, ˇce padeta dve piki.
c) Dogodka sta nezdruˇzljiva, ˇce se nikoli ne moreta zgoditi hkrati. V nasprotnem primeru sta zdruˇzljiva. Dogodka A in B sta zdruˇzljiva, ker se lahko
zgodita hkrati - ˇce pade 2.
d) Nasprotni dogodek dogodka C se zgodi natanko takrat, ko se dogodek C ne
zgodi, torej ˇce padejo 1, 2, 4 ali 5 pik.
e) Dogodka nista zdruˇzljiva, ker ˇstevilo ne more biti liho in sodo hkrati.
2. Verjetnostni raˇcun
5.
26
¯ Z¯ ZZ,
¯
¯ Z,
¯ Z Z¯ Z,
¯ ZZZ,
¯
¯
¯ ZZZ
Z¯ Z¯ Z,
ZZ
Z ZZ,
ZZ Z,
¯ Z¯ + Z¯ ZZ,
¯
¯ + ZZZ
¯
A = Z Z¯ Z¯ + ZZ
B = ZZ Z¯ + Z ZZ
+ ZZZ,
¯
¯ + ZZ
¯ Z¯ + Z Z¯ Z¯ + ZZZ
¯
¯ + ZZ Z¯
C = Z¯ ZZ,
D = Z¯ Z¯ Z¯ + Z¯ ZZ
+ Z ZZ
6. a) Vsoto dogodkov predstavljajo izvleˇcena ˇstevila, ki so deljiva s 5 ali z 2.
b) Produkt dogodkov predstavljajo izvleˇcena ˇstevila, ki so deljiva z 10 (s 5 in
z 2 hkrati).
c) Dogodka se zgodita hkrati, ˇce izvleˇcemo listek s ˇstevilom, ki je deljivo z 10,
zato sta zdruˇzljiva.
¯ = {ˇstevilo je liho}.
d) B
7. Naj bo n ˇstevilo vseh mogoˇcih enako verjetnih izidov v poskusu in m ˇstevilo
ugodnih izidov za dogodek A. Po klasiˇcni definiciji verjetnosti je verjetnost
dogodka A: P (A) = m/n.
a) Ker je v posodi 6 modrih kroglic, je m = 6 in n = 10 ˇstevilo vseh kroglic.
Verjetnost dogodka A je potem P (A) = m/n = 3/5.
b) m = 4, n = 10, P (A) = 2/5
8. Vse ˇcrke so razliˇcne, zato lahko sestavimo besedo PROMET na en sam naˇcin
ˇ
(m = 1). Stevilo
vseh izidov pri slepem zapisovanju besede pa je ˇstevilo permutacij 6 ˇcrk, zato je n = 6! = 720 in P (A) = 1/6! = 0,00139.
9. m = 2V53 = 120, n = V64 = 360, P (A) = 1/3
7 = 15.380.937, P (A) = 1/15.380.937 = 6,5 · 10−8
10. m = 1, n = C39
11. a) m = 20 ˇstevil, ki so deljiva s 3, n = 60 vseh ˇstevil, zato je P (A) = 1/3.
b) m = 12, n = 60, P (B) = 1/5
c) Dogodka A in B sta zdruˇzljiva, verjetnost vsote dveh zdruˇzljivih dogodkov
pa izraˇcunamo po formuli P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB). Produkt
dogodkov predstavlja ˇstevilo, ki je deljivo s 3 in s 5 hkrati, torej je deljivo
s 15 in P (AB) = 1/15. Verjetnost dogodka, da je ˇstevilo deljivo s 3 ali s 5,
je P (A + B) = 7/15.
12. m = 5 + 3 = 8, n = 14, P (A) = 8/14 = 4/7
13. Oznaˇcimo z A dogodek, da je karta dama in z B, da je pik. Vsota dogodkov
A + B je dogodek, da je karta dama ali pik, produkt dogodkov AB pa pikova
dama. Dogodka sta zdruˇzljiva, zato je
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 4/32 + 8/32 − 1/32 = 11/32.
14. Elemente izbiramo iz mnoˇzice potnikov, ki je razdeljena na dve tuji podmnoˇzici:
na potnike brez vozne karte in na potnike z vozno karto. Uporabimo vezane
3 , n = C 6 , P (A) = 0,0387.
kombinacije: m = C53 · C25
30
3 , P (A) = 0,043
15. a) m = C73 · C30 · C80 , n = C18
2. Verjetnostni raˇcun
27
3 , P (B) = 0,103
b) m = C70 · C31 · C82 , n = C18
3 ,
c) Kroglice razdelimo na modre in na preostale. Potem je m = C30 · C15
3 , P (C) = 0,558.
n = C18
ˇ je D dogodek, da je vsaj ena ˇcrna kroglica (ena ali veˇc), je njegov
d) Ce
¯ da nobena kroglica ni ˇcrna. Med verjetnostma donasprotni dogodek D,
¯
godkov velja zveza P (D) = 1− P (D),
0
3
3
zato je P (D) = 1 − C8 · C10 /C18 = 0,853
3 , P (E) = 0,103
e) m = C71 · C32 · C80 + C72 · C31 · C80 , n = C18
0
10
10
16. a) m = C8 · C42 , n = C50 , P (A) = 0,143
b) Kveˇcjemu ena neuporabna ˇzarnica pomeni, da je neuporabna najveˇc ena
ˇzarnica (torej 0 ali 1), zato je
10 + C 1 · C 9 , n = C 10 , P (B) = 0,491.
m = C80 · C42
8
42
50
17. Zopet uporabimo nasprotni dogodek.
¯ = 1 − (C 0 C 4 + C 1 C 3 )/C 4 = 0,069.
P (A) = 1 − P (A)
5 35
5 35
40
18. a)
b)
c)
d)
e)
4 · C 0 , n = C 4 , P (A) = 0,051
m = C16
16
32
1 , n = C 4 , P (B) = 0,016
m = C42 · C41 · C24
32
4 )/C 4 = 0,705
¯
P (C) = 1 − P (C) = 1 − (C80 · C24
32
4
1
3
4
0
m = C4 · C28 + C4 · C28 , n = C32 , P (D) = 0,934
2 + C 3 · C 1 , n = C 4 , P (E) = 0,0662
m = C42 · C28
4
28
32
19. Pogojna verjetnost P (A/B) je verjetnost, da se je zgodil dogodek A, pri pogoju,
da se je zgodil tudi dogodek B. Izraˇcunamo jo po formuli P (A/B) = P (AB)/P (B).
Opazujemo torej ˇstevilo vseh ugodnih izidov za produkt AB in ˇstevilo ugodnih
izidov za dogodek B.
Dogodka A in B sta neodvisna, ˇce velja P (A/B) = P (A) in
P (B/A) = P (B). Od tod sledi, da je P (AB) = P (A)P (B). Za dani primer je
¯ = P (A)P (B)
¯ = 0,12,
P (AB) = P (A)P (B) = 0,18, P (AB)
¯
¯
P (AB) = P (A)P (B) = 0,42, P (A/B) = P (A) = 0,3, P (B/A) = P (B) = 0,6.
20. P (A/B) = P (AB)/P (B) = 0,6, P (B/A) = P (AB)/P (A) = 0,375
21. Ker sta dogodka nezdruˇzljiva, je njun produkt nemogoˇc dogodek: P (AB) = 0.
P (A/B) = P (AB)/P (B) = 0 6= P (A), P (B/A) = P (AB)/P (A) = 0 6= P (B).
Dogodka sta odvisna, ker P (A/B) 6= P (A) in P (A/B) 6= P (A).
ˇ je dogodek A naˇcin dogodka B, se vsakokrat, ko se zgodi dogodek A, zgodi
22. Ce
tudi dogodek B. Potem je AB = A.
P (A/B) = P (AB)/P (B) = P (A)/P (B) 6= P (A),
P (B/A) = P (AB)/P (A) = P (A)/P (A) = 1 6= P (B).
Dogodka sta odvisna, ker P (A/B) 6= P (A) in P (B/A) 6= P (B).
2. Verjetnostni raˇcun
28
23. Oznaˇcimo omenjene dogodke po vrsti z A1 , A2 , A3 , A4 . Dogodki so med seboj
1
neodvisni, zato je P (A1 A2 A3 A4 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ) = 61 · 21 · 16 · 13 = 216
.
24. Oznaˇcimo s S1 dogodek, da je prvi lovec zadel in s S2 , da je zadel drugi. Potem
je P (S1 ) = 0, 7 in P (S2 ) = 0,6. Verjetnosti dogodkov, da sta zgreˇsila, pa sta
P (S¯1 ) = 1 − P (S1 ) = 0,3 in P (S¯2 ) = 1 − P (S2 ) = 0,4. Dogodek S1 je neodvisen
od dogodkov S2 in S¯2 , dogodek S2 pa od dogodkov S1 in S¯1 .
a) P (A) = P (S1 S¯2 + S¯1 S2 ) = P (S1 )P (S¯2 ) + P (S¯1 )P (S2 ) = 0,46
b) P (B) = P (S1 S2 ) = 0,42
c) Dogodek, da je medved zadet kveˇcjemu enkrat, je A = S¯1 S¯2 + S1 S¯2 + S¯1 S2 ,
in da je zadet vsaj enkrat, je B = S1 S2 + S1 S¯2 + S¯1 S2 . Produkt dogodkov
AB je dogodek, ko se A in B zgodita hkrati. Torej je AB dogodek, da je
medved zadet natanko enkrat: AB = S1 S¯2 + S¯1 S2 .
P (A/B) = P (AB)/P (B) = 0,46/0,88 = 0,523.
25. a) P (A) = 0,38
b) P (B) = 0,55
c) Naj bo dogodek A, da je tarˇca natanko dvakrat zadeta in B dogodek, da je
vsaj en strelec zadel. P (A/B) = 0,46
26. P (A) = 1 − 0,8 · 0,85 · 0,89 = 0,395
27. Oznaˇcimo z Ai , da je bila pri i-tem izbiranju izbrana bela kroglica, in z Bi , da
je bila pri i-tem izbiranju izbrana modra kroglica.
a) Ker izbranih kroglic ne vraˇcamo v posodo, so posamezni dogodki med seboj
odvisni.
P (A1 A2 A3 A4 B5 B6 ) =
P (A1 )P (A2 /A1 )P (A3 /A1 A2 )P (A4 /A1 A2 A3 )P (B5 /A1 A2 A3 A4 ) ·
18 17 16 15 12 11
·P (B6 /A1 A2 A3 A4 B5 ) = 30
· 29 · 28 · 27 · 26 · 25 = 0,023
b) Ker izbrano kroglico vsakokrat vrnemo v posodo, so posamezni dogodki
med seboj neodvisni.
P (A1 A2 A3 A4 B5 B6 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 )P (B5 )P (B6 ) =
18 18 18 12 12
= 18
30 · 30 · 30 · 30 · 30 · 30 = 0,021
28. a) P (R1 R2 B3 M4 Z5 ) = 0,0012
b) P (R1 R2 B3 M4 Z5 ) = 0,0013
29. Dopolnimo tabelo:
Ljubljana
M aribor
Koper
skupaj
zadovoljni nezadovoljni skupaj
229
153
382
143
200
343
220
195
415
592
548
1140
2. Verjetnostni raˇcun
29
Oznaˇcimo po vrsti z L, M, K dogodke, da je oseba iz Ljubljane, Maribora
oziroma iz Kranja ter z Z in N , da je oseba zadovoljna oziroma nezadovoljna
s programom.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
P (M ) = 343/1.140 = 0,301
P (N ) = 548/1.140 = 0,481
P (LZ) = 229/1.140 = 0,201
P (Z/K) = P (ZK)/P (K) = 220/415 = 0,530
P (M/N ) = P (M N )/P (N ) = 200/548 = 0,365
343
+
P (M + Z) = P (M ) + P (Z) − P (M Z) = 1140
592
1140
−
143
1140
=
792
1140
30. Naj bodo O, S, V po vrsti dogodki, da ima oseba osnovnoˇsolsko, srednjeˇsolsko
ˇ da je oseba moˇskega oziroma ˇzenskega
ali visokoˇsolsko izobrazbo ter M in Z,
spola.
a)
b)
c)
d)
e)
P (M ) = 77/150 = 0,513
P (S) = 96/150 = 0,64
ˇ = 50/150 = 0,333
P (ZS)
ˇ = P (V Z)/P
ˇ
ˇ = 10/73 = 0,137
P (V /Z)
(Z)
P (M/O) = P (M O)/P (O) = 19/32 = 0,594
31. Met dveh igralnih kock lahko predstavimo z urejenim parom (i, j), kjer je i
ˇstevilo padlih pik na prvi in j ˇstevilo padlih pik na drugi kocki. Ker je na vsaki
kocki mogoˇcih 6 izidov, je 6 · 6 = 36 vseh mogoˇcih parov. Pri ugotavljanju
ugodnih izidov za posamezen dogodek preˇstejemo ustrezne urejene pare.
a) P (A) = 5/36
c) P (A/B) = P (AB)/P (B) = 2/9
e) P (A/B) = P (AB)/P (B) = 1/6
b) P (A) = 5/36
d) P (A/B) = P (AB)/P (B) = 1/2
32. Naj bo Mi dogodek, da bila pri i-tem poskusu izvleˇcena modra, in Rj dogodek, da je bila pri j-tem poskusu izvleˇcena rdeˇca kroglica. Dogodki, oznaˇceni z
lihimi indeksi, predstavljajo kroglice prvega otroka in dogodki, oznaˇceni s sodimi
indeksi, kroglice drugega otroka.
a) Dogodek, da je prvi otrok prvi izvlekel modro kroglico,
je A = M1 + R1 R2 M3 + R1 R2 R3 R4 M5 + R1 R2 R3 R4 R5 R6 M7 + · · · .
2
4
6
Potem je P (A) = 31 + 32 · 13 + 23 · 13 + 23 · 13 + · · · =
2
4
6
= 13 1 + 32 + 23 + 23 + · · · = 35
b) B = R1 M2 + R1 R2 R3 M4 + R1 R2 R3 R4 R5 M6 + · · · ,
3
5
P (B) = 23 · 31 + 23 · 13 + 32 · 13 + · · · = 25
33. Dvofazni poskus:
1. faza: Iz prve posode lahko izvleˇcemo belo kroglico (hipoteza H1 ) ali zeleno
2. Verjetnostni raˇcun
30
kroglico (hipoteza H2 ). P (H1 ) = 4/9 in P (H2 ) = 5/9. Hipoteze sestavljajo
popoln sistem dogodkov, zato je P (H1 ) + P (H2 ) = 1.
2. faza: Kroglico iz prve posode smo dali v drugo posodo, zato se je ˇstevilo
kroglic v drugi posodi spremenilo. Katero kroglico bomo izvlekli iz druge posode,
je odvisno od tega, katero kroglico smo iz prve posode premestili v drugo. Naj
bo A dogodek, da smo iz druge posode izvlekli belo kroglico. Potem je:
P (A/H1 ) = 4/10, ˇce smo iz prve posode dali v drugo posodo belo, in
P (A/H2 ) = 3/10, ˇce smo iz prve posode v drugo dali zeleno kroglico.
a) Po formuli za popolno verjetnost je
4
3
P (A) = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) = 94 · 10
+ 95 · 10
= 31
90 .
b) Po Bayesovi formuli je P (H1 /A) = P (H1 )P (A/H1 )/P (A) = 16/31.
34. 1. faza: Naj bo hipoteza H1 , da sta na kocki padli vsaj dve piki, in H2 , da sta
padli manj kot 2 piki. P (H1 ) = 5/6, P (H2 ) = 1/6. 2. faza: Naj bo dogodek A,
2 = 0,487
da sta listiˇca enake barve. Potem je P (A/H1 ) = (C52 C80 + C50 C82 )/C13
2
0
0
2
2
in P (A/H2 ) = (C7 C10 + C7 C10 )/C17 = 0,485.
a) P (A) = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) = 0,487
b) P (H2 /A) = P (H2 )P (A/H2 )/P (A) = 0,166
35. Naj bo v prvi fazi hipoteza H1 , da vozilo vozi iz kraja A v kraj B, in H2 , da
vozilo vozi iz kraja B v kraj A. Ker opazujemo n = 60 vozil, je P (H1 ) = m
n =
20
1
m
40
2
60 = 3 in P (H2 ) = n = 60 = 3 .
V drugi fazi naj bo D dogodek, da je vozilo zavilo na vmesno bencinsko postajo.
2
3
Potem je P (D/H1 ) = 0,2 = 10
in P (D/H2 ) = 0,3 = 10
.
a) P (D) =
1
3
b) P (H1 /D)
2
2
3
10 + 3 · 10 = 0,267
(D/H1 )
= P (H1P)P(D)
= 0,25
·
c) P (H2 /D) = 1 − P (H1 /D) = 1 − 0,25 = 0,75
36. P (H1 ) = 10
15 , P (H2 ) =
a) P (A) = 0,0833
5
15 ,
P (A/H1 ) = 0,12, P (A/H2 ) = 0,01
b) P (H1 /A) = 0,96
c) P (H2 /A) = 0,04
37. a) 0,0335
b) 0,269
38. a) 0,648
b) 0,297
39. Naj bo hipoteza H0 , da tank ni bil zadet, ter hipoteze H1 , H2 , H3 , da je bil
zadet natanko enkrat, dvakrat, trikrat. Potem je P (H0 ) = P (S¯1 S¯1 S¯1 ) = 0,09,
ˇ oznaˇcimo z A dogodek, da
P (H1 ) = 0,36, P (H2 ) = 0,41, P (H3 ) = 0,14. Ce
je tank uniˇcen, so verjetnosti P (A/H0 ) = 0, P (A/H1 ) = 0,2, P (A/H2 ) = 0,5,
P (A/H3 ) = 0,8.
a) P (A) = 0,389
c) P (H2 /A) + P (H3 /A) = 0,815
b) P (H3 /A) = 0,288
2. Verjetnostni raˇcun
31
40. Verjetnost, da se bo dogodek A zgodilv n zaporednih neodvisnih ponovitvah
poskusa natanko k-krat, je Pn (k) = nk pk q n−k , kjer je p verjetnost dogodka A
v posamezni realizaciji poskusa in q = 1 − p. V
je p = P (A) = 0,2,
tej7 nalogi
5 = 0,0033.
q = 1 − p = 0,8, n = 12, k = 7 in P12 (7) = 12
0,2
0,8
7
3 5 3
5
1
41. a) p = 6 , q = 1 − p = 6 , n = 6, k = 3, P6 (3) = 63 61
= 0,054
6
ˇ
b) Sestica
ne bo padla v prvih petih metih, v ˇsestem metu pa bo padla. Zato
izraˇcunamo P5 (0) · 1/6 = 0,067.
c) Da bo ˇsestica v ˇsestih poskusih padla kveˇcjemu dvakrat, pomeni, da bo
padla 0, 1 ali 2 krat. Izraˇcunamo P6 (0) + P6 (1) + P6 (2) = 0,938.
42. p = 0,1, q = 0,9, n = 15, k = 0, 1, 2, 3, P15 (0)+P15 (1)+P15 (2)+P15 (3) = 0,944
43. p = 0,01, q = 1−p = 0,99, n = 40, k = 0, 1, 2, P40 (0)+P40 (1)+P40 (2) = 0,993
44. p = 1/3, q = 1 − p = 2/3, n = 20, k = 10, P20 (10) = 0,054
45. p = 0,25, q = 1 − p = 0,75, n = 8, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nalogo reˇsimo hitreje z
nasprotnim dogodkom: 1 − P8 (7) − P8 (8) = 0,99962.
46. Trije grbi v desetih metih kovanca: p = 0,5, q = 1 − p = 0,5, n = 10,
k = 3, P10 (3) = 0,117. Pet grbov v petnajstih metih kovanca: p = 0,5,
q = 1 − p = 0,5, n = 15, k = 5, P15 (5) = 0,092.
Z veˇcjo verjetnostjo bodo med desetimi meti padli trije grbi.
n−1
47. Pn−1 (0) · 1/6 ≥ 0,05 ⇒ 56
≥ 0,3 ⇒ n ≤ 7,6. Kocko vrˇzemo najveˇc
sedemkrat.
48. p = 0,4 in q = 1 − p = 0,6
a)
b)
c)
d)
.
n = 5 in k = 3: P5 (3) = 53 · 0,43 · 0,62 = 0,2304 = 0,230
.
P5 (4) = 54 · 0,44 · 0,61 = 0,0768 = 0,077
.
P5 (0) + P5 (1) + P5 (2) = 0,07776 + 0,2592 + 0,3456 = 0,68256 = 0,683
.
1 − P5 (0) = 1 − 0,07776 = 0,92224 = 0,922
49. Verjetnostna shema diskretne sluˇcajne spremenljivke X je
x1 x2 x3 . . . xn
X:
p1 p2 p 3 . . . p n
kjer je pi = P (X = xi ) in p1 + p2 + · · · + pn = 1.
Za dani primer je torej p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 2p + 0,65 = 1 ⇒ p = 0,175.
50. Enakomerno porazdeljena diskretna sluˇcajna spremenljivka X zavzame vsako
vrednost iz zaloge vrednosti z enako verjetnostjo, zato je 7p = 1 ⇒ p = 1/7.
5 10 15 20 25 30 35
X:
1
1
1
1
1
1
1
7
7
7
7
7
7
7
2. Verjetnostni raˇcun
32
51. Met kovanca predstavlja Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov, kjer je
p = 1/2, q = 1 − p = 1/2. Zaloga vrednosti spremenljivke X je {0, 1, 2, 3}, ker
lahko padejo 0, 1, 2 ali 3 grbi.
p1 = P (X = 0) = P3 (0) = 1/8, p2 = P (X = 1) = P3 (1) = 3/8,
p3 = P (X = 2) = P3 (2) = 3/8, p4 = P (X = 4) = P3 (3) = 1/8
Verjetnostna shema je potem:
0 1 2 3
X:
1
3
3
1
8
8
8
8
ˇ
52. p = 1/3, q = 1 − p = 2/3. Stevilo
zadetkov je lahko 0, 1, . . . , 5 z verjetnostmi
p0 = P (X = 0) = P5 (0) = 32/243, p1 = P (X = 1) = P5 (1) = 80/243, . . .,
p5 = P (X = 5) = P5 (5) = 1/243. Verjetnostna shema je:
X:
53. X :
54. X :
2
3
4
5
1
6
2
6
2
6
1
6
1
2
3
4
5
32
243
80
243
80
243
40
243
10
243
1
243
0
1
2
3
14
55
28
55
12
55
1
55
0
x1 x2 x3 . . . xn
55. Naj bo X :
p1 p 2 p 3 . . . p n
spremenljivke X.
verjetnostna shema diskretne sluˇcajne
Matematiˇcno upanje E(X) je vrednost, pri kateri se stabilizira povpreˇcje vrednosti sluˇcajne spremenljivke X pri velikem ˇstevilu ponovitev poskusa. Za diskretno
sluˇc. sprem. ga izraˇcunamo po formuli E(X) = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + . . . + xn pn .
Varianca je mera za razprˇsenost vrednosti sluˇcajne spremenljivke okoli matematiˇcnega upanja (povpreˇcja) v kvadratnih enotah. Izraˇcunamo jo po formuli
σ 2 (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 , kjer je za diskretno sluˇc. sprem.:
E(X 2 ) = x21 p1 + x22 p2 + x23 p3 + . . . + x2n pn . Standardni odklon sluˇcajne spremenljivke σ(X) je mera za razprˇsenost vrednosti sluˇcajne spremenljivke okoli
matematiˇcnega upanja,pizraˇzen v istih enotah kot spremenljivka. Izraˇcunamo
ga po formuli σ(X) = σ 2 (X). Za dani primer je E(X) = 1,4, E(X 2 ) = 3,6,
√
σ 2 (X) = 3,6 − (1,4)2 = 1,64 in σ(X) = 1,64 = 1,28.
56. a)
b)
c)
d)
57. a)
p = 0,35
P (X = 3) + P (X = 4) = 0,1 + 0,15 = 0,25
P (X = 1) + P (X = 2) = 0,3 + 0,1 = 0,4
E(X) = 3,15, σ 2 (X) = 2,83, σ(X) = 1,68
p = 0,1, x6 = 9
2. Verjetnostni raˇcun
33
b) p = 0,1, x6 = 4
c) p = 0,1, x6 = 8, (−50/9 ni celoˇstevilska reˇsitev)
0
1
2
3
4
58. X :
0,295 0,45 0,215 0,037 0,002
E(X) = 1 srce, σ 2 (X) = 0,68 (src)2 , σ(X) = 0,82 src
0 1 2 3
59. X :
12
6
1
8
27
27
27
27
E(X) = 1, σ 2 (X) = 32 , σ(X) = 0,816
−2.000 1.000 4.000
60. X :
15
10
3
28
28
2
σ (X)
28
E(X) = 1.750,
= 3.616.071,4, σ(X) = 1.901,6
0
1
2
3
61. X :
0,729 0,243 0,027 0,001
E(X) = 0,3 potnikov, σ 2 (X) = 0,27 potnikov2 , σ(X) = 0,52 potnikov
0
1
2
3
62. X :
0,8574 0,1354 0,0071 0,0001
E(X) = 0,1499, E(X 2 ) = 0,1647, σ 2 = 0,1422, σ = 0,3771
0
1
2
3
63. X :
0,216 0,432 0,288 0,064
E(X) = 1,2, E(X 2 ) = 2,16, σ 2 = 0,72, σ = 0,85
64. Sluˇcajna spremenljivka je porazdeljena po Poissonovem zakonu z λ = 3.
5 −3 .
Verjetnost, da se bo zgodilo 5 nesreˇc je P (X = 5) = P3 (5) = 3 5!e = 0,101.
1 −3 .
Verjetnost, da bo zgodila le ena nesreˇca je P (X = 1) = P3 (1) = 3 1!e = 0,149.
65. λ = 8, k = 10, P8 (10) =
810 e−8
10!
= 0,0993
66. λ = 5, k = 0, 1, 2, P5 (0) + P5 (1) + P5 (1) =
50 e−5
0!
+
51 e−5
1!
+
52 e−5
2!
= 0,125
67. Porazdelitvena funkcija F (x) zvezne sluˇcajne spremenljivke X je definirana s
Rx
predpisom F (x) = P (X < x) = −∞ p(t) dt. Od tod sledi, da je verjetnost
dogodka, da se vrednost sluˇcajne spremenljivke X nahaja na intervalu [a, b),
enaka P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a). Porazdelitvena funkcija je nepadajoˇca in
z leve zvezna funkcija ter F (−∞) = 0 in F (∞) = 1. Funkcija p(x) se imenuje
ˇ je funkcija p(x) zvezna, je F (x) = p0 (x).
gostota porazdelitve. Ce
a) P (X < 0,7) = P (−∞ < X < 0,7) = P (0 < X < 0,7) = F (0,7) − F (0) =
= 0,73 − 03 = 0,343 in P (0,1 ≤ X < 0,5) = F (0,5) − F (0,1) = 0,124.
b) P (−1 ≤ X < 2) = 1 in P (X ≥ 0,6) = 1 − F (0,6) = 0,784.
2. Verjetnostni raˇcun
34
c) Graf je na sliki 67.
Slika 67
68. Zapiˇsemo lahko F (1) = 0 in F (2) = 1 ⇒ a + b − 3 = 0, 4a + 2b − 3 = 1
in izraˇcunamo a = −1, b = 4. Porazdelitvena funkcija na intervalu (1, 2)
je F (x) = −x2 + 4x − 3, njen graf pa se nahaja na sliki 68. Izraˇcunamo ˇse
verjetnost P (1 ≤ X ≤ 1,5) = F (1,5) − F (1) = 0,75.
Slika 68
Slika ??
(
69. a = −1, p(x) =
70.
R∞
71.
R2
F 0 (x),
zato je p(x) =
2
,
(x−2)2
0<x<1
0, sicer
R1
(ax − ax2 ) dx = 1 ⇒ a = 6
R0 0,5
P (0,1 ≤ X ≤ 0,5) = 0,1 (6x − 6x2 ) dx = 0,472
−∞ p(x) dx
=1⇒
R1
dx = 1 ⇒ a = 2, P (0 ≤ X ≤ 1) = 0 2−x
2 dx = 0,75
R∞
R 2 x(2−x)
R2
E(X) = −∞ xp(x) dx ⇒ E(X) = 0
dx = 12 0 (2x − x2 ) dx = 32
2
R∞
σ 2 (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 , kjer je E(X 2 ) = −∞ x2 p(x) dx ⇒
p
2
R2 2
E(X 2 ) = 0 x (2−x)
dx = 23 ⇒ σ 2 (X) = 32 − 23 = 92 , σ(X) = σ 2 (X) =
2
0
a−x
a
72. Enakomerna zvezna porazdelitev na intervalu [a, b] je definirana z gostoto
1
b−a , a ≤ x ≤ b
p(x) =
0, sicer
√
2
3
2. Verjetnostni raˇcun
35
1
4 , 2 ≤ x ≤ 6 . Graf funkcije je na sliki 72.
Za dani primer je torej p(x) =
0, sicer
R5
R5
P (3 < x < 5) = 3 p(x) dx = 3 14 dx = 12 .
Slika 72
73. p(x) =
1
4,
2≤x≤6
0, sicer
R6
R6
E(X) = 2 x4 dx = 4, E(X 2 ) = 2
1
2, 1 ≤ x ≤ 3
74. p(x) =
0, sicer
x2
4
dx =
52
3 ,
P (1,5 ≤ X ≤ 2) = 0,25, E(X) = 2, E(X 2 ) =
σ 2 (X) = 34 , σ(X) =
13
3 ,
√
2 3
3
σ 2 (X) = 31 , σ(X) =
√
3
3
75. Sluˇcajna spremenljivka Z se porazdeljuje standardizirano normalno, Z ∼ N (0, 1),
ˇce ima porazdelitveno funkcijo
Z z
1
2
F (z) = √
e−t /2 dt
2π −∞
in gostoto
1
2
p(z) = √ e−z /2 ,
2π
katere graf je na sliki 75. Standardizirana sluˇcajna spremenljivka Z ima matematiˇcno
upanje µ = E(Z) = 0 in standardni odklon σ = 1.
Verjetnost P (0 ≤ Z < z) izraˇcunamo s pomoˇcjo funkcije Φ, ki je tabelirana v
prilogi. Velja namreˇc P (0 ≤ Z < z) = Φ(z) in Φ(−z) = −Φ(z) ter Φ(∞) = 0,5.
Vrednost Φ(z) je na sliki 75 prikazana z osenˇcenim poljem.
2. Verjetnostni raˇcun
36
Slika 75
a) P (0 ≤ Z < 1) = Φ(1) = 0,3413, P (0 ≤ Z < 1,2) = Φ(1,2) = 0,3849
P (0 ≤ Z < 2,36) = Φ(2,36) = 0,4909
b) P (−2 ≤ Z < 0) = Φ(0) − Φ(−2) = 0 + Φ(2) = 0,4772,
P (−1,53 ≤ Z < 0) = Φ(0) − Φ(−1,53) = 0,4370,
P (−0,58 ≤ Z < 0) = Φ(0) − Φ(−0,58) = 0,2190
c) P (1 ≤ Z < 2) = Φ(2) − Φ(1) = 0,1359,
P (0,24 ≤ Z < 1,12) = Φ(1,12) − Φ(0,24) = 0,2738,
P (−1,55 ≤ Z < −0,5) = Φ(−0,5)−Φ(−1,55) = −Φ(0,5)+Φ(1,55) = 0,2479
d) P (−1,2 ≤ Z < 0,5) = Φ(0,5) − Φ(−1,2) = Φ(0,5) + Φ(1,2) = 0,5764,
P (−0,25 ≤ Z < 2,15) = Φ(2,15) − Φ(−0,25) = Φ(2,15) + Φ(0,25) = 0,5829,
P (−2,51 ≤ Z < 0,18) = Φ(0,18) − Φ(−2,51) = Φ(0,18) + Φ(2,51) = 0,5654
e) P (Z ≥ 1,42) = P (1,42 ≤ Z < ∞) = Φ(∞) − Φ(1,42) = 0,0778,
P (Z ≥ 0,12) = P (0,12 ≤ Z < ∞) = Φ(∞) − Φ(0,12) = 0,4522,
P (Z ≤ −3,02) = P (−∞ < Z ≤ −3,02) = Φ(−3,02) − Φ(−∞) = 0,0013
f ) P (Z ≥ −1,35) = P (−1,35 ≤ Z < ∞) = Φ(∞) − Φ(−1,35) = 0,9115,
P (Z ≥ −0,42) = P (−0,42 ≤ Z < ∞) = Φ(∞) + Φ(0,42) = 0,6628,
P (Z ≤ 2,13) = P (−∞ < Z < 2,13) = Φ(2,13) + Φ(∞) = 0,9834
76. P (1 ≤ Z < z) = Φ(z) − Φ(1) = 0,0494 ⇒ Φ(z) = 0,3907 ⇒ z = 1,23
77. P (z ≤ Z < 1,5) = Φ(1,5) − Φ(z) = 0,2244 ⇒ Φ(z) = 0,2088 ⇒ z = 0,55
78. Naj bo sluˇcajna spremenljivka X porazdeljena normalno z matematiˇcnim upanjem µ in standardnim odklonom σ, X ∼ N (µ, σ). Verjetnost, da je vrednost
sluˇcajne spremenljivke X na intervalu [a, b), izraˇcunamo po obrazcu
P (a ≤ X < b) = Φ b−µ
− Φ a−µ
.
σ
σ
3−3
−
Φ
= Φ(0,71) − Φ(0) = 0,2611,
a) P (3 ≤ X < 3,5) = Φ 3,5−3
0,7
0,7
P (3 ≤ X < 4,2) = 0,4564, P (2 ≤ X < 3) = 0,4236
b) P (3,2 ≤ X < 4) = 0,3095, P (3,6 ≤ X < 4,1) = 0,1367,
P (1 ≤ X < 2,2) = 0,1250
c) P (2 ≤ X < 3,5) = 0,6847, P (1,5 ≤ X < 3,2) = 0,5979,
P (2,5 ≤ X < 3,5) = 0,5222
d) P (X ≥ 4) = P (4 ≤ X < ∞) = 0,0764, P (X ≥ 5) = 0,0022,
P (X < 1,8) = 0,0436
e) P (X ≤ 4,5) = 0,9838, P (X ≤ 3,8) = 0,8729, P (X ≥ 1,2) = 0,9949
79. a) 0,4706
b) 0,0475
c) 0,2033
80. a) 0,7888
b) 0,5987
c) 0,8944
2. Verjetnostni raˇcun
81. a) 0,3085
37
c) 0,1747
14−µ
14−µ
82. P (X ≤ 14) = Φ 14−µ
−
Φ(−∞)
=
Φ
+
0,5
⇒
Φ
= 0,2642 ⇒
σ
σ
σ
14−µ
σ
b) 0,1056
= 0,72 ⇒ µ = 13,14, P (13 ≤ X ≤ 15) = 0,4872
83. σ = 0,917, P (X > 3) = 0,1379
.
84. P (X > 188) = 0,0918. Med 850 ljudmi bo 850 · 0,0918 = 78,03 = 78 ljudi viˇsjih
od 188 cm.
85. P (X ≥ x0 ) = Φ(∞) − Φ x0 −20
= 0,2 ⇒ Φ x0 −20
= 0,3 ⇒ x0 −20
= 0,84 ⇒
3
3
3
x0 = 22,52 ur.
86. Binomsko porazdelitev lahko aproksimiramo z normalno, kadar je ˇstevilo ponovitev poskusa n zelo veliko in np > 4 ter n(1 − p) > 4. Verjetnost, da bo v
n neodvisnih ponovitvah poskusa ˇstevilo realizacij (k) dogodka A med a in b,
izraˇcunamo po obrazcu
b−np
a−np
√
P (a ≤ k < b) = Φ √
−
Φ
npq
npq .
Za dani primer je n = 1.500,
p = 1/2, q = 1/2,
1.500−1.500·0,5
√
=
P (800 ≤ k ≤ 1.500) = Φ √1.500·0,5·0,5 − Φ 800−1.500·0,5
1.500·0,5·0,5
= Φ(38,74) − Φ(2,58) = 0,5 − 0,4951 = 0,0049
87. n = 8.000, p = 0,5, q = 0,5,
P (3.950 ≤ k ≤ 8.000) = Φ(89,45) − Φ(1,12) = 0,8686
2. Verjetnostni raˇcun
38
Priloga 3
1
Φ(z) = P (0 < Z ≤ z) = √
2π
Z
z
2
e−x
/2
dx
0
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0000
0398
0793
1179
1554
1915
2257
2580
2881
3159
0040
0438
0832
1217
1591
1950
2291
2611
2910
3186
0080
0478
0871
1255
1628
1985
2324
2642
2939
3212
0120
0517
0910
1293
1664
2019
2357
2673
2967
3238
0160
0557
0948
1331
1700
2054
2389
2704
2995
3264
0199
0596
0987
1368
1736
2088
2422
2734
3023
3289
0239
0636
1026
1406
1772
2123
2454
2764
3051
3315
0279
0675
1064
1443
1808
2157
2486
2794
3078
3340
0319
0714
1103
1480
1844
2190
2517
2823
3106
3365
0359
0753
1141
1517
1879
2224
2549
2852
3133
3389
1.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3413
3643
3849
4032
4192
4332
4452
4554
4641
4713
3438
3665
3869
4049
4207
4345
4463
4564
4649
4719
3461
3686
3888
4066
4222
4357
4474
4573
4656
4726
3485
3708
3907
4082
4236
4370
4484
4582
4664
4732
3508
3729
3925
4099
4251
4382
4495
4591
4671
4738
3531
3749
3944
4115
4265
4394
4505
4599
4678
4744
3554
3770
3962
4131
4279
4406
4515
4608
4686
4750
3577
3790
3980
4147
4292
4418
4525
4616
4693
4756
3599
3810
3997
4162
4306
4429
4535
4625
4699
4761
3621
3830
4015
4177
4319
4441
4545
4633
4706
4767
2.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4772
4821
4861
4893
4918
4938
4953
4965
4974
4981
4778
4826
4864
4896
4920
4940
4955
4966
4975
4982
4783
4830
4868
4898
4922
4941
4956
4967
4976
4982
4788
4834
4871
4901
4925
4943
4957
4968
4977
4983
4793
4838
4875
4904
4927
4945
4959
4969
4977
4984
4798
4842
4878
4906
4929
4946
4960
4970
4978
4984
4803
4846
4881
4909
4931
4948
4961
4971
4979
4985
4808
4850
4884
4911
4932
4949
4962
4972
4979
4985
4812
4854
4887
4913
4934
4951
4963
4973
4980
4986
4817
4857
4890
4916
4936
4952
4964
4974
4981
4986
3.0
1
2
3
4
5
6
7
8
4987
4990
4993
4995
4997
4998
4998
4999
4999
4987
4991
4993
4995
4997
4998
4998
4999
4999
4987
4991
4994
4995
4997
4998
4999
4999
4999
4988
4991
4994
4996
4997
4998
4999
4999
4999
4988
4992
4994
4996
4997
4998
4999
4999
4999
4989
4992
4994
4996
4997
4998
4999
4999
4999
4989
4992
4994
4996
4997
4998
4999
4999
4999
4989
4992
4995
4996
4997
4998
4999
4999
4999
4990
4993
4995
4996
4997
4998
4999
4999
5000
4990
4993
4995
4997
4998
4998
4999
4999
5000
Tabela 1: Vrednosti funkcije Φ.