Vklopni pojavi ter obratovanje transformatorja v prostem teku
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Vklopni pojavi ter obratovanje transformatorja v prostem teku s simulacijo v programskem paketu Matlab-Simulink. Mentor: dr. Damijan Miljavec Aleksander Žbogar Ljubljana, 2009 1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Kazalo UVOD 3 LASTNOSTI TRANSFORMATORJA 3 ZGRADBA TRANSFORMATORJA 4 DELOVANJE TRANSFORMATORJA 5 NADOMESTNI MODEL TRANSFORMATORJA, REDUCIRANJE 6 LABORATORIJSKI PREIZKUS 7 SIMULACIJA 9 MATEMATIČNI MODEL TRANSFORMATORJA 9 LINEARNI MODEL 9 REZULTATI SIMULACIJE 11 NELINEARNI MODEL 13 PRIMERJAVA Z REALNIM STROJEM, PREIZKUŠANEM V LABORATORIJU Viri 18 20 2 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko UVOD V seminarski nalogi sem se osredotočil na enostaven enofazni transformator z enim primarnim in enim sekundarnim navitjem. Kot vemo, se pri vklopu transformatorja pod različnimi pogoji, pojavijo zanimivi pojavi, t.i. vklopni pojavi. Opazovanje teh pojavov je mogoče v laboratoriju, pod nadzorovanimi okoliščinami, ali pa tudi preko simulacije v simulacijskem okolju. Najprej se opiram na matematični model transformatorja z enačbami, kasneje pa sem iz matematičnega modela zgradil še vezni model, ki služi nadaljnji simulaciji v Matlab-SIMULINK-u. Simulacija se sestoji iz dveh delov. Prvi model ne upošteva nelinearnosti feromagnetnega jedra. Kot vemo, le-to ob prehodu v nasičenje- prehodu iz linearnega področja histereze, spreminja lastnosti transformatorja. Nelinearnost lahko opazujemo pri drugem modelu, ki upošteva magnetilnico materiala iz katerega je jedro transformatorja. 1.0) LASTNOSTI TRANSFORMATORJA 1.0.1) ZUNANJE LASTNOSTI Transformator je, kot je znano, enostavna naprava, ki preko uporabe elektromagnetnega polja transformira primarne električne količine na sekundarne, ki so ustrezno spremenjene. Oblik transformatorja je zelo veliko, posamezne izvedbe se lahko delijo po Nazivni moči Namenu Velikosti Obliki Kvaliteti Številu faz ipd.. Kljub temu pa, da je na trgu transformatorjev velika pestrost, so v osnovi vsi transformatorji enaki torej delujejo po istih principih. Slika 1: Močnostni trifazni transformator. 3 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Slika 2: Enofazni transformatorji za elektronske naprave. Slika 3: Trifazni transformator s tremi stebri - vzet iz ohišja. 1.0.2) ZGRADBA TRANSFORMATORJA Vsak transformator je sestavljen iz primarnega in sekundarnega navitja (Lahko tudi več primarjev in sekundarjev kot recimo pri 3-f transformatorjih), tuljavnika na katerem stoji navitje, ter jedra. Odvisno od prestavnega razmerja ima transformator enako razmerje števila ovojev. Tista stran navitja, kjer je navojev več, je ponavadi iz tanjše žice (višja napetost vodi do manjših tokov). Kjer pa je navojev manj, pa je ponavadi žica debelejša (obraten sklep). Jedro pa je lamelirano, zaradi zmanjšanja izgub. Tak enostaven transformator je zelo lepo prikazan na sliki 4. 4 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Slika 4: Principalna zgradba transformatorja. 1.0.3) DELOVANJE TRANSFORMATORJA Pri transformatorjih lahko govorimo o treh osnovnih obratovalnih stanjih. Prosti tek brez obremenitve, kratek stik - sponke sekundarnega navitja so kratkostičene, ter obratovanje pri nazivni obremenitvi. Prav tako pa je zanimivo tudi opazovanje vklopa in z njim povezanih pojavov, kar je tudi glavna tema te naloge. Sam princip delovanja temelji na magnetno med seboj sklopljenih navijih in s tem induciranja napetosti preko časovne spremembe magnetnega pretoka. Ob vzbujanju primarnega navitja s sinusnim potekom napetosti dobimo v linearni teoriji na sekundrnem navitju praviloma sinusen signal enake frekvence z ustrezno spremenjeno amplitudo. Tako naj bi sinusnem vzbujanju sledil sinusen magnetni pretok po enačbi: m U1 4.44 N1 f Ta magnetni pretok nadalje v jedru s površino A vzbudi sinusno gostoto magnetnega pretoka: B m A Ker je v linearni teoriji permeabilnost linearna - se ne spreminja; to pomeni da je tudi H sinusne oblike: B H 5 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Induktivnost L pa je tako konstantna: L N2 A lsr Na tem mestu velja opozoriti na realni stroj, ki je nelinearen. Tako lahko sklepamo, da realne količine niso vedno točno takšne, kot so opisane zgoraj Ta bom v nadaljevanju še pokazal. 1.1) NADOMESTNI MODEL TRANSFORMATORJA, REDUCIRANJE KOLIČIN Uporabil bom nadomestno vezje za enofazni transformator z dvema navitjema, vsi sklepi pa se lahko razširijo na večfazne / trifazne transformatorje. Slika 5 : Nadomestno vezje za enofazni transformator. Oznake predstavljajo: U1 : Napetost na primarnem navitju I1 : Tok skozi primarno navitje R1 : Upornost primarnega navitja X 1 : Stresano reaktanco primarnega navitja, zaradi stresanega magnetnega pretoka primarnega navitja X 2 ' : Stresano reaktanco sekundarnega navitja, zaradi stresanega magnetnega pretoka sekundarnega navitja ' R2 : Upornost sekundarnega navitja U 2 ' : Napetost sekundarnega navitja I 2 ' : Tok skozi sekundarno navitje R0 : Navidezna upornost, na kateri se troši moč, ki pokriva izgube v železu X 0 : Reaktanca magnetenja; zaradi magnetenja jedra 6 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Pri uporabljenem nadomestnem vezju opazimo pri vseh elementih sekundarja črtice. Le-te kažejo na reducirane količine. Reducirane količine so uporabljene za poenostavitev računanja, predstavljajo pa vrednosti, prirejene prestavi transformatorja. Reducirane količine so tako: N Označimo prestavo k 1 ; tedaj lahko zapišemo: N2 I R2' k 2 R2 ; X 2' k 2 X 2 ; I 2 ' 2 ; U 2' k 2 U 2 . k 1.2 ) LABORATORIJSKI PREIZKUS Za simulacijo delovanja transformatorja potrebujemo njegove karakteristične podatke, oziroma parametre. Do njih pridemo preko različnih laboratorijskih preizkusov. Tako moramo določiti količine opisane v 1.1 . Poleg naštetih pa naj podam tudi površino jedra, ki znaša 0.00248 m2, ter srednjo dolžino magnetne silnice0.384 m z N1 N 2 110 ovojev. Uporabljen je bil laboratorijski transformator, ki se nahaja v laboratoriju LES. Eden izmed preizkusov, ki nam na enostaven način pomaga določiti parametre X2 ,X2 ',R1, R1 ' je kratkostični preizkus. Pri tem so sponke sekundarnega navitja kratko sklenjene, napetost primarnega pa je dvignjena do take mere, da po sekundarju teče nazivni tok In. Slika 6: Nadomestno vezje transformatorja v kratkem stiku. Iz nadomestne sheme vidimo, da smo paralelno vejo zanemarili, kar lahko upravičeno storimo, zaradi zanemarljivo majhnega toka I0 . Iz enačb : U P Z k Rk jX k R1 jX 1 R2' jX 2' , Z k k , Rk k2 , X k Z k Rk2 , Rk R1 R2' in Ik Ik X k X 1 X 2' . lahko izračunamo Rk ter Xk. Privzamemimo, da so impendance razeljene med primarno in sekundarno stranjo razdeljene 1:1: 7 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko R1 R2' Rk X ter X 1 X 2' k . 2 2 Velja opozoriti, da smo tu enakost impendanc privzeli - v resnici niso razdeljene tako simetrično. V namen bolj točnega določanja upornosti bi lahko uporabili metodo z enosmernim merjenjem upornosti ali pa U-I metodo. Za določanje impendanc paralelne veje uporabimo prostotečni preizkus, pri katerem je primar priključen na nazivno napetost, sekundar pa ima odprte sponke. To pomeni, da je tok sekundarja enak nič. Sedaj lahko zanemarimo sekundarjeve impendance. Slika 7: Nadomestno vezje za preizkus transformatorja; prosti tek. Parametra X 1 in R1 smo že določili. Če predpostavimo, da sta tako majhna, da je na njiju zanemarljiv padec napetosti (majhni impendanci, tudi tok I1 med prostim tekom je majhen), lahko zapišemo enačbo: Z p R1 jX p R0 jX 0 R0 jX 0 Pomerimo še napetost prostega teka U 0 , tok prostega teka ter moč prostega teka P0 . Če se odločimo za računanje prek moči, zapišimo: R0 U 02 , Q0 S02 P02 P0 U 0 I 0 2 P02 , X0 U 02 Q0 Če želimo čimbolj optimalno upoštevali vpliv histereze na vrednosti teh elementov, lahko opravimo več meritev pri različnih nivojih napetosti U 0 . Iste elemente bi lahko izračunali tudi iz impendance prostega teka. Na tem mestu naj poudarim, da smo v nadaljevanju za model privzeli prestavo 1:1. To ima za posledico enakost upornosti primarja in sekundarja, enakost stresanih impendanc... Model se tako poenostavi, nastale napake pa so iz inženirskega vidika večinoma zanemarljivo majhne. 8 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko 2.0) SIMULACIJA 2.1) MATEMATIČNI MODEL TRANSFORMATORJA. Matematične modele strojev, v našem primeru transformatorja, potrebujemo za analizo obratovalnih lastnosti in vodenje (regulacijo). Model mora biti karseda točen, saj bo le tako posnemal realen stroj. Izhodišče za modeliranje električnih strojev so ravnovesne enačbe, ki izhajajo iz fizikalnih zakonitosti. Osnovna matrična enačba bo enačba U Z * I . Matriki Z ter U ponavadi poznamo. 1 Iz prejšnje enačbe lahko tako izrazimo I Z * U . Velja omeniti, da moramo pri postavljanju modelov transformatorjev upoštevati določene poenostavitve, saj lahko le na tak način sestavimo uporaben in delujoč model. Sicer so lahko modeli tudi bolj zapleteni, to pa ne pomeni vedno učinkovitejšega vodenja. Sploh pri zelo kompleksnih modelih, kjer se pojavi problem počasnosti zaradi velikega števila enačb, ki jih mora simulacijski model rešiti. Podoben problem se pojavi tudi pri regulaciji z zapletenimi modeli. Lahko pa z gotovostjo trdimo, da je naš poenostavljen model dovolj natančen za približno sliko realnega dogajanja. Zaradi poenostavitve opustim tudi pisanje črtic, imejmo pa vedno v mislih dejstvo da so vse veličine sekundarja opremljene z njimi - torej reducirane! Zapišimo torej osnovno matrično enačbo za naš transformator: L12 p I1 U1 R1 L11 p U L p R2 L22 p I 2 2 12 V prostem teku so sponke sekundarja odprte, zato je sekundarni tok (I2) v tem režimu enak nič: L12 p I1 U1 R1 L11 p U L p R2 L22 p 0 2 12 Seveda smo upoštevali tudi prej omenjene redukcijske faktorje. Prednost vezne teorije je v tem, da za rezliko od klasične elelkrtomagnetne teorije, v osnovnih enačbah ne nastopa inducirana napetost, t.i. transformatorska. Tako postane nadomestno vezje popolnoma pasivno, saj v modelu ni več d nobenega vira inducirane napetosti. Operator p je simbolični operator za odvod: p . dt 2.2) LINEARNI MODEL V linearnem modelu transformatorja ne upoštevam magnetilnice materiala iz katerega je magnetno jedro stroja. Posledica tega je sila preprost model, katerega sestavimo iz sledečih dveh enačb, ki se nanašajo na gornjo matrično enačbo. U 1 R1 L11p i1 L21 pi2 ter U1 L12 pi1 R2 L22 p i2 9 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Če slednji enačbi nekoliko preuredimo; pridemo do nekoliko bolj prijazne oblike, v kateri je izražen tok, ki je potem primeren za opazovanje: U 1 L11 L pi1 21 pi2 i1 ter R1 R1 R1 U 2 L12 L pi1 22 pi2 i2 R2 R2 R1 V prostem teku je i2=0 in zato dobita zadnji enačbi obliko: U 1 L11 pi1 i1 R1 R1 U2 L 12 pi1 R2 1 R2 Enačbi predstavimo z blokovnim diagramom v SIMULINK-u: Slika 8a : Linearni model transformatorja (na podlagi diferenciranja toka), SIMULINK. Žal ta prstop deluje pravilno le za vklope napetosti, ko gre le ta skozi nič. V vseh ostalih trenutkih vklopa pa takšen model ne deluje pravilno. Zato moramo namesto diferenciranja toka uporabiti integracijo toka z začetno vrednostjo nič. Takšno vrednost pa ima tok vedno ob vklopu transformatorja na napetostni vir. V ta namen napetostni enačbi u1 L11 pi1 i1 R1 R1 10 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko u2 L12 pi1 R2 R2 preuredimo in sicer: R1 u1 i1 dt i1 L11 R1 in u1 L dt i1 12 Zadnji dve enačbi realiziramo v programskem okolju Matlab/Simulink. Spodnja blokovna shema to prikazuje. Slika 8b : Linearni model transformatorja (na podlagi integriranja napetosti), SIMULINK 2.2.1) REZULTATI SIMULACIJE Najprej si oglejmo analitično rešitev diferencialne enačbe za vklopni tok i1 pri transformatorju v prostem teku vklopljenem na harmoničen vir napetosti: 2U 1 sin t 0 R1i1 L11 pi1 Po izpeljavi dobimo naslednjo funkcijo toka i1: 11 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko i1 R 1 t L 2U1 L *sin(t 0 arctan 11 ) *sin( 0 arctan 11 )* e L11 R1 R1 R12 ( L11 ) 2 R12 ( L11 ) 2 2U1 Kot vidimo je le-ta sestavljena iz dveh delov. Prvi je sinusen in niha s konstantno amplitudo- ta predstavlja trajni tok prostega teka, drugi pa je enosmerni izenačevalni del, ki eksponentno upada. L Če pripišemo konstanti 11 T10 ime konstanta prostega teka transformatorja, lahko vidimo, da R1 zadnja komponenta usiha s časovno konstanto T10. To v praksi pomeni, da če transformatorju na nek način zmanjšamo induktivnost L11 -to sicer v praksi ne gre, v modelu pa si to lahko privoščimo, ali pa zvišamo upornost R1 , se zgodi, da se časovna konstanta zmanjša. Izenačevalni tok ostane po amplitudi podoben, se pa hitreje spusti proti vrednosti 0. Vedeti moramo, da je uporabljani model (Slika 8b) dokaj natančen - zato neracionalno nastavljanje simulacijsklih parametrov včasih prinese čudne rezultate simulacije. Tudi v praksi si ne moremo dovoliti nerealnih vrednosti upornosti, induktivnosti itd.. Slika 9 : Potek vklopnega toka za vrednosti: R1=0.47 L11= 0.162H in L12=0.16 H. Slika 10 : Potek vklopnega toka za prejšnji model s povišano upornostjo R1=2.47 . Opazno je hitrejše usihanje primarnega toka, pri čemer ostaja amplituda nespremenjena. 12 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko 2.3) NELINEARNI MODEL Naša naloga pri sestavljanju nelinearnega modela je čim bolje prikazati, kakšne razlike se pojavijo pri vklopnem toku, pa tudi na splošno, če upoštevamo nelinearnost materiala, s katerega je jedro transformatorja. Naj opozorim, da nisem šel tako daleč, da bi upošteval tudi ostale nelinearnosti- recimo celotne histereze, geometrije, popravkov zaradi reduciranja (Vemo, da v splošnem nista primarno in sekundarno navitje navita s prestavo 1) in podobnih dejavnikov. Upošteval pa sem najbolj pomembno nelinearnost: magnetilno krivuljo za material, iz katerega je jedro: V našem primeru transformatorska pločevina. Zapišimo znova enačbo za vklop transformatorja v prostem teku: L12 p I1 U1 R1 L11 p U L p R2 L22 p 0 2 12 Ker je tok i2 enak nič, velja : u1 R1 L11 d i1 u L i di in iz tega: 1 11 1 1 i1 dt R1 R1 dt Iz te enačbe bomo v nadaljevanju postavili blokovni model. Slika 11: Magnetilnica za transformatorsko pločevino. 13 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Za razliko od prejšnjega modela, sedaj upoštevamo izrazito nelinearno odvisnost med količinama B in H. V pomoč pri modeliranju nam bo Simulunkov modul z imenom "LOOKUP TABLE". Taka funkcija kot vhod sprejme nek parameter, podan v n točkah. Vmesne vrednosti so izračunane preko interpolacije. Ravno tako podamo za izhode n vrednosti, ki so v vmesnih točkah interpolirane. Imamo vektorja: H=[-20000;-18000;-16000;-14000;-12000;-10000;-8000;-6000;-5000;-4000;-3000;-2000;-1800;1600;-1500;-1400;-1300;-1200;-1000;-800;-700;-600;-500;-400;-300;-200;100;0;100;200;300;400;500;600;700;800;1000;1200;1300;1400;1500;1600;1800;2000;3000;4000;5 000;6000;8000;10000;12000;14000;16000;18000;20000] A/m in B=[-1.85;-1.83;-1.8;-1.77;-1.75;-1.715;-1.67;-1.62;-1.58;-1.55;-1.5;-1.444;-1.42;-1.4;-1.39;-1.38;1.37;-1.36;-1.34;-1.3;-1.28;-1.25;-1.22;-1.17;-1.11;-1;0.75;0;0.75;1;1.11;1.17;1.22;1.25;1.28;1.3;1.34;1.36;1.37;1.38;1.39;1.4;1.42;1.444;1.5;1.55;1.58;1.6 2;1.67;1.715;1.75;1.77;1.8;1.83;1.85] T Tako sestavljena in interpolirana magnetilnica izgleda takole: Slika 12 : B-H Karakteristika, interpolacija. 2.3.1) Rezultati simulacije Nastavljeno enačbo za vklop transformatorja v prostem teku bomo realiziral v SIMULINKu. Simulacijsko shemo lahko miselno razdelimo na dva dela; prvi del je realizacija prostotečne oz. vklopne diferencialne enačbe, drugi del pa skrbi za nelinearno odvisnost med vektorjema B in H, česar v prejšnjem modelu ni bilo. Naj omenim še, da smo namesto enačbe 14 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko u1 L11 i1 di1 i1 R1 R1 dt , morali reševati enačbo : R1 u1 i1 dt i1 L11 R1 To pa zaradi odprave algebraičnih zank, ki se pojavijo, če bi hoteli z modelom direktno reševati prvo diferencialno enačbo. Slika 13 : Realizacija nelinearnega modela transformatorja v prostem teku; SIMULINK. Da bi dobili kar najbolj izrazito sliko za opazovanje tokovnih špic, skrajšane časovne konstante usihanja izenačevalnega toka ter pojava višjeharmonskih komponent, sem v naslednjem 15 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko primeru parametre nekoliko prilagodil. Na ta način stroj preide višje v magnetno zasičenje (zmanjšanje preseka jedra..). Slika vklopnega toka ob izrazitem nasičenju je sledeča : Slika 14 : Vklopni tok transformatorja ob prehodu v nasičenje. Naj poudarim, da smo v tem primeru privzeli vklop ob neugodnem trenutku- vklop pri prehodu napetosti skozi ničlo. Amplituda tokovne špice tako dosega visoke vrednosti. Slika polja H je neposredno povezana s tokom, po že znani enačbi, zato je podobna zgornji obliki. Bolj zanimiva je slika polja B ob prehodu jedra v nasičenje. Slika 15 : Magnetno polje B v jedru transformatorja. 16 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Opazimo lahko, da ob vklopu transformatorja s prej podanimi parametri, jedro preide v nasičenjeCca 1.8 T. To pomeni prisotnost tretje in ostalih harmonskih komponent med vklopom, če pa je jedro v nasičenju še v stacionarnem stanju se tudi tam pojavijo višje-harmonske komponente. Sicer pa naj bi se nasičenju izogibali. Opazujmo sedaj še sliko induktivnosti L11 v odvisnosti od časa. Vidimo, da za razliko od linearnega modela, tu induktivnost ni konstantna, ampak je močno odvisna od tega, kje smo v tistem trenutku na B-H karakteristiki. Ob prehodu v nasičenje se tako L11 močno zmanjša. Slika 16: Potek vrednosti induktivnosti L11 . Opazno znižanje ob prehodu v nasičenje. 3.0 ) PRIMERJAVA Z REALNIM STROJEM, PREIZKUŠANEM V LABORATORIJU. Realni transformator, katerega nazivne podatke sem uporabil za sestavo simulacijskega modela, sem izmeril tudi v laboratoriju. S posebno vklopno napravo lahko vklapljamo transformator na togo mrežo pri različnih kotih prehoda napetosti skozi ničlo. Prehodne pojave opazujemo preko tokovne sonde, ki je priključena na digitalni spominski oscilioskop. Velja omeniti, da slika vklopnega toka ni odvisna le od vklopnega kota, temveč močno tudi od remanentnega magnetizma v jedru. Remanentni magnetizem se izkazuje kot nenevtralna usmerjenost weisovih magnetnih domen. V našem primeru, kjer modeliramo brez možnosti nastavljanja predhodne magnetizacije, bomo primerjali sliko, dobljeno s pomočjo simulacije in parametri realnega transformatorja, ter sliko dobljeno v laboratoriju (pri razmagnetenem jedru). Videli bomo, da sta zelo podobni. 17 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Slika 17: Potek vklopnega toka simulacijskega modela s parametri realnega transformatorja. Amplituda toka je cca. 51 A. Slika 18: Potek vklopnega toka in napetosti realnega transformatorja. Skala je nastavljena na 20 A na razdelek, torej je maksimalna amplituda toka v tem primeru cca 54 A. 18 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko ::Viri:: Damijan Miljavec: Vezna teorija električnih strojev, Ljubljana 2009. Drago Dolinar, Peter Jereb: Splošna teorija električnih strojev, FERI, Maribor, 1995. http://www.mathworks.com Wikipedia 19
© Copyright 2024