1. No category

Mit o jalovi moˇci
koliko sta si podobni enoti W in VAr ter kako raˇcunati jalovo moˇc, da bo primerljiva s povpreˇcno
Aleˇs Berkopec
3. julij 2010
Povzetek
V tem ˇclanku vpeljemo koliˇcini D in J. S koliˇcino D so ovrednoteni vati (W), ki se troˇsijo
na bremenu, s koliˇcino J so doloˇceni vati (W), ki se od bremena vraˇcajo v vezje. Rezultat
vsote koliˇcin D in J je moˇc, ki jo poznamo kot povpreˇcno moˇc. Razlika D − J bi bila primeren
kandidat za mero navidezne oz. celotne moˇci.
1
Uvod
Jalova moˇc – enaˇcba, s pomoˇcjo katere jo raˇcunamo – me moti odkar sem prviˇc moral o
njej govoriti na avditornih vajah. Vsi vemo, da je izraz za jalovo moˇc, v katerem nastopa
sinus faznega kota med napetostjo in tokom sin ϕ, zgolj olajˇsava zaradi uporabe kompleksnega
ˇ je 1 Um Im sin ϕ definicija jalove moˇci, potem morda potrebujemo ˇse eno koliˇcino
raˇcuna. Ce
2
za vse tiste vate (W), ki se od bremena vraˇcajo v vezje, kajti jalova moˇc po gornji definiciji
teh vatov (W) ne doloˇci. Sinus kota sicer pomaga pri obravnavi vezij kot povezava med
karakterjem vezja in predznakom jalove moˇci, dejanske moˇcnostne razmere pa s tako definicijo
lahko le slabo ocenimo.
Gornja definicija ni omejena na naˇso drˇzavo. Na angleˇski wikipedii1 so stvari razloˇzene
tako, kot jih tudi mi razlagamo svojim ˇstudentom2 , na nemˇski inaˇcici iste strani3 pa lahko
celo najdemo trditev 1 VAr=1 W.
Enota VAr je bila sprejeta kot enota jalove (reaktivne) moˇci s strani IEC leta 1930, medtem
ko je v SI standardu ni.
2
Trenutna moˇ
c
Predpostavimo, da sta trenutni vrednosti napetosti in toka na nekem bremenu
u(t)
=
Um · cos(ωt)
i(t)
=
Im · cos(ωt + ϕ)
Trenutna moˇc je
p(t)
=
u(t) · i(t)
=
Um Im cos(ωt) · cos(ωt + ϕ)
1
Um Im cos ϕ + cos(2ωt + ϕ)
2
=
Povpreˇcna moˇc je P = 12 Um Im cos ϕ, okrog katere trenutna moˇc niha s kotno frekvenco 2ω.
1 http://en.wikipedia.org/wiki/Volt-amperes
reactive
da je jalova moˇ
c vpeljana na naˇ
cin, kot ga poznamo, zato, da jo je preprosto izraˇ
cunati, danes ne
more veˇ
c zdrˇ
zati. Vsaka danaˇsnja tajnica ima na mizi raˇ
cunalnik, ki izraˇ
cuna sinus kota v manj kot milisekundi, torej
tudi postopek, ki zahteva izraˇ
cun dveh sinusov, eno seˇstevanje in eno mnoˇ
zenje ni noben zalogaj. Ne pozabimo tudi,
da ima elektrodistributer za jalovo moˇ
c loˇ
ceno tarifo, ki je doloˇ
cena kot cena 1 VAr jalove energije in se uporablja
kot sorazmernostni faktor.
3 http://de.wikipedia.org/wiki/Var (Einheit)
2 Argument,
1
1
u(t)
i(t)
p(t)
P
0.5
u, i, p
D
D
0
J
J
-0.5
-1
0
30
60
90
120 150 180 210 240 270 300 330 360
ωt [o]
Slika 1: Graf napetosti u(t), toka i(t), trenutne moˇ
ci p(t) in povpreˇ
cne moˇ
ci za ϕ = 60◦ . Senˇ
ceno obmoˇ
cje je
integral trenutne moˇ
ci (energija): nad abscisno osjo je oznaˇ
cen s ˇ
crko D, pod abscisno osjo s ˇ
crko J.
3
Pozitivna moˇ
c D in negativna moˇ
c J na bremenu
Izraˇcunajmo pozitivni in negativni del integrala moˇci v eni periodi. Sploˇsni izraz za normirani
integral moˇci v periodi Tp = 2π/(2ω) je
Z t2
Z t2
1
1
1
·
cos ϕ + cos(2ωt + ϕ) dt
p(t)dt
=
1
T
T
U I
p t1
p t1
2 m m
Z
1 ϑ2 cos ϕ + cos(2ωt + ϕ) d(ωt)
=
π ϑ1
Z
1 ϑ2 =
cos ϕ + cos(2ϑ + ϕ) dϑ
π ϑ1
i
1
1
1h
=
(ϑ2 − ϑ1 ) cos ϕ + sin(2ϑ2 + ϕ) − sin(2ϑ1 + ϕ)
π
2
2
i
1h
=
(ϑ2 − ϑ1 ) cos ϕ + cos(ϑ2 + ϑ1 + ϕ) · sin(ϑ2 − ϑ1 )
π
ˇ ˇzelimo izraˇcunati integral
ϑ1 = ωt1 in ϑ2 = ωt2 sta niˇcli trenutne moˇci na ωt osi. Ce
pozitivnega dela moˇci, potem v obmoˇcju ϕ ∈ [0, 2π] velja:
π
; ϕ ∈ [0, π]
2
ϑ+
=
3π
1
− ϕ ; ϕ ∈ [π, 2π]
2
3π
− ϕ ; ϕ ∈ [0, π]
+
2
ϑ2 =
π
; ϕ ∈ [π, 2π]
2
Pri izraˇcunu negativnega dela integrala moˇci sta meji:
π
− ϕ ; ϕ ∈ [0, π]
2
ϑ−
=
1
; ϕ ∈ [π, 2π]
− π2
π
; ϕ ∈ [0, π]
2
ϑ−
=
3π
2
− ϕ ; ϕ ∈ [π, 2π]
2
2
Definiramo koliˇcine, normirane z najveˇcjo povpreˇcno moˇcjo 21 Um Im :
Z π
1
1
P = cos ϕ = 1
·
p(ωt)d(ωt)
Tp 0
U I
2 m m
ϕ [◦ ]
-180.0
-170.0
-160.0
-150.0
-140.0
-130.0
-120.0
-110.0
-100.0
-90.0
-80.0
-70.0
-60.0
-50.0
-40.0
-30.0
-20.0
-10.0
-0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
100.0
110.0
120.0
130.0
140.0
150.0
160.0
170.0
Q
=
J
=
D
=
P
-1.000000
-0.984808
-0.939693
-0.866025
-0.766044
-0.642788
-0.500000
-0.342020
-0.173648
0.000000
0.173648
0.342020
0.500000
0.642788
0.766044
0.866025
0.939693
0.984808
1.000000
0.984808
0.939693
0.866025
0.766044
0.642788
0.500000
0.342020
0.173648
0.000000
-0.173648
-0.342020
-0.500000
-0.642788
-0.766044
-0.866025
-0.939693
-0.984808
sin ϕ
1
1
U I
2 m m
1
1
U I
2 m m
1
Tp
Z
·
1
Tp
Z
·
ϑ−
2
ϑ−
1
p(ωt)d(ωt)
ϑ+
2
p(ωt)d(ωt)
ϑ+
1
Q
-0.000000
-0.173648
-0.342020
-0.500000
-0.642788
-0.766044
-0.866025
-0.939693
-0.984808
-1.000000
-0.984808
-0.939693
-0.866025
-0.766044
-0.642788
-0.500000
-0.342020
-0.173648
-0.000000
0.173648
0.342020
0.500000
0.642788
0.766044
0.866025
0.939693
0.984808
1.000000
0.984808
0.939693
0.866025
0.766044
0.642788
0.500000
0.342020
0.173648
D
0.000000
0.000562
0.004458
0.014817
0.034374
0.065287
0.108998
0.166106
0.236297
0.318310
0.409945
0.508126
0.608998
0.708075
0.800418
0.880843
0.944151
0.985370
1.000000
0.985370
0.944151
0.880843
0.800418
0.708075
0.608998
0.508126
0.409945
0.318310
0.236297
0.166106
0.108998
0.065287
0.034374
0.014817
0.004458
0.000562
J
-1.000000
-0.985370
-0.944151
-0.880843
-0.800418
-0.708075
-0.608998
-0.508126
-0.409945
-0.318310
-0.236297
-0.166106
-0.108998
-0.065287
-0.034374
-0.014817
-0.004458
-0.000562
0.000000
-0.000562
-0.004458
-0.014817
-0.034374
-0.065287
-0.108998
-0.166106
-0.236297
-0.318310
-0.409945
-0.508126
-0.608998
-0.708075
-0.800418
-0.880843
-0.944151
-0.985370
N
1.000000
0.985933
0.948609
0.895660
0.834792
0.773362
0.717996
0.674231
0.646242
0.636620
0.646242
0.674231
0.717996
0.773362
0.834792
0.895660
0.948609
0.985933
1.000000
0.985933
0.948609
0.895660
0.834792
0.773362
0.717996
0.674231
0.646242
0.636620
0.646242
0.674231
0.717996
0.773362
0.834792
0.895660
0.948609
0.985933
Tabela 1: Tradicionalne koliˇ
cine (P , Q, S = 1), integralni koliˇ
cini (D, J) in izpeljana koliˇ
cina (N ) za fazne kote
ϕ. Koliˇ
cine so normirane s faktorjem Um Im /2. Skicirane so na sliki 2.
3
P, Q, D, J, N [UmIm/2]
1
0.5
0
P=D+J
Q
D
J
N=|D|+|J|
-0.5
-1
-180 -150 -120 -90
-60
-30
0
30
60
90
120 150 180
o
ϕ[ ]
Slika 2: Graf normiranih koliˇ
cin, izpeljanih iz trenutne moˇ
ci p(t) v odvisnosti od faznega kota med napetostjo in
tokom ϕ. Vrednosti koliˇ
cin so tabelirane v tabeli 1.
3.1
Izraz za D v obmoˇ
cju ϕ ∈ [0, π]
Velja
3.2
ϑ1 = ϑ+
1
=
ϑ2 = ϑ+
2
=
ϑ2 + ϑ1 + ϕ
=
ϑ2 − ϑ1
=
D
=
π
2
3π
−ϕ
2
2π
π−ϕ
i
1h
(π − ϕ) cos ϕ − sin ϕ
π
Izraz za D v obmoˇ
cju ϕ ∈ [π, 2π]
Velja
ϑ1 = ϑ+
2
=
ϑ2 = ϑ+
1
=
ϑ2 + ϑ1 + ϕ
=
ϑ2 − ϑ1
=
D
=
3π
−ϕ
2
π
2
2π
−(π − ϕ)
i
1h
(ϕ − π) cos ϕ + sin ϕ
π
4
3.3
Izraz za J v obmoˇ
cju ϕ ∈ [0, π]
Velja
3.4
ϑ1 = ϑ+
2
=
ϑ2 = ϑ+
1
=
ϑ2 + ϑ1 + ϕ
=
ϑ2 − ϑ1
=
J
=
π
−ϕ
2
π
2
π
ϕ
i
1h
ϕ cos ϕ + sin ϕ
π
Izraz za J v obmoˇ
cju ϕ ∈ [π, 2π]
Velja
3.5
4
ϑ1 = ϑ+
2
=
ϑ2 = ϑ+
1
=
ϑ2 + ϑ1 + ϕ
=
ϑ2 − ϑ1
=
J
=
π
2
3π
−ϕ
2
π
−
2π − ϕ
i
1h
(2π − ϕ) cos ϕ − sin ϕ
π
Skrˇ
ceni zapis izrazov za D in J
D
=
J
=
 h
i
 1 (π − ϕ) cos ϕ − sin ϕ
; ϕ ∈ [0, π]
π
h
i
 1 (ϕ − π) cos ϕ + sin ϕ
; ϕ ∈ [π, 2π]
π

h
i
1

ϕ cos ϕ + sin ϕ
; ϕ ∈ [0, π]
h π
i
 1 (2π − ϕ) cos ϕ − sin ϕ
; ϕ ∈ [π, 2π]
π
Kandidat za navidezno moˇ
c: N = |D| + |J|
Iz zadnjih izrazov lahko vidimo, da je pri kateremkoli faznem kotu ϕ izraz D+J enak povpreˇcni
moˇci P = cos ϕ, torej D + J ≡ P = cos ϕ.
Kako pa bi lahko vpeljali mero za navidezno moˇc? Funkciji D in J sta izraˇcunani z
integralom, zato navidezno moˇc lahko sestavimo iz vsote njunih absolutnih vrednosti. Ker je
D nenegativna, J pa nepozitivna, velja |D| + |J| = D − J:
 h
i
 1 (π − 2ϕ) cos ϕ − 2 sin ϕ
; ϕ ∈ [0, π]
π
h
i
N =D−J =
 1 (2ϕ − 3π) cos ϕ + 2 sin ϕ
; ϕ ∈ [π, 2π]
π
Funkcija N = |D| + |J| je skicirana na sliki 2.
5
Razprava
Velja P = D + J, torej je povpreˇcna moˇc vsota moˇci D, ki smo jo dobili kot ˇcasovno povpreˇcje
pozitivnega dela trenutne moˇci, in moˇci J, ki je ˇcasovno povpreˇcje negativnega dela trenutne
moˇci. Razlika D − J je seˇstevek vse energije, ki se pretaka na breme in iz bremena. Kaj ˇce bi
torej raje ti dve, D in J, poimenovali delovna in jalova? Razlika med jalovo moˇcjo Q in jalovo
moˇcjo J je nezanemarljiva: pri ϕ = π/2 je vrednost tradicionalne jalove moˇci 1 VAr, a izgub
je le za 1/π ≈ 0.31831 W. Ne le, da W ni VAr, celo daleˇc je od tega, da bi bila sorazmerna.
5