Skripta vaj za predmet EEO - Laboratorij za električna omrežja in
Elektroenergetska omrežja
Skripta vaj
Marko Kolenc, dr. Grega Bizjak, dr. Boštjan Blažič
Ljubljana, 2015
Vsebina
1.
Uvod v MATLAB ............................................................................................................................... 4
1.1
Kako pognati program MATLAB .............................................................................................. 4
1.2
M-datoteke .............................................................................................................................. 5
1.2.1
1.3
Prireditev vrednosti ................................................................................................................. 6
1.3.1
Skalarji in kompleksna števila .......................................................................................... 6
1.3.2
Vektorji in matrike ........................................................................................................... 6
1.4
2
Kako odpreti in zagnati M-datoteko? .............................................................................. 5
Operatorji in osnovne matematične funkcije.......................................................................... 7
1.4.1
Aritmetični operatorji ...................................................................................................... 7
1.1.1
Osnovne matematične funkcije....................................................................................... 7
1.1.2
Trigonometrične funkcije ................................................................................................ 7
1.1.3
Logični operatorji............................................................................................................. 8
1.5
Zaokroževanje ......................................................................................................................... 9
1.6
Manipulacije z matrikami in vektorji ....................................................................................... 9
1.6.1
Delo s členi vektorjev .................................................................................................... 10
1.1.4
Delo s členi, vrsticami, stolpci in podmatrikami matrik ................................................ 10
1.6.2
Osnovne matematične operacije z vektorji in matrikami ............................................. 10
1.6.3
Vgrajene matrične operacije ......................................................................................... 11
1.7
2D grafi .................................................................................................................................. 13
1.8
Pogojni stavki......................................................................................................................... 15
1.9
Odprtokodne alternative MATLAB-u..................................................................................... 17
1.10
Izračun sistema enačb z Gauss-Seidel-ovo metodo .............................................................. 18
Matematične osnove..................................................................................................................... 20
2.1
Harmonične veličine .............................................................................................................. 20
2.2
Kompleksne veličine .............................................................................................................. 21
2.3
Kompleksor moči ................................................................................................................... 22
2.4
Osnovni elementi v kompleksnem prostoru ......................................................................... 24
2.4.1
Upor ............................................................................................................................... 24
2.4.2
Kondenzator .................................................................................................................. 25
2.4.3
Tuljava ........................................................................................................................... 25
2.5
Trifazne veličine ..................................................................................................................... 26
1
2.6
3
4
Sistemi komponent ............................................................................................................... 27
2.6.1
Simetričen sistem .......................................................................................................... 28
2.6.2
Enofazni sistem .............................................................................................................. 29
2.6.3
Manjka tretja faza UL3 .................................................................................................... 29
2.6.4
Nasproti ležeča fazorja .................................................................................................. 30
2.6.5
Dva polovična fazorja ležita nasproti fazorju UL1........................................................... 31
VAJA 1 - Sistemi komponent ......................................................................................................... 32
3.1
Navodila za vajo..................................................................................................................... 32
3.2
Grafična določitev simetričnih komponent napetosti........................................................... 32
3.3
Izračun matrike faznih tokov [ If ] .......................................................................................... 36
3.4
Določitev simetričnih komponent impedančne matrike [ Zs ]............................................... 36
3.5
Določitev simetričnih komponent napetosti in toka [ Is ] in [ Us ] ......................................... 38
3.6
Določitev diagonalnih komponent napetosti in toka [ Id ] in [ Ud ]........................................ 38
3.7
Zaključek ................................................................................................................................ 39
VAJA 2 – Električni parametri vodov ............................................................................................. 40
4.1
Navodila za vajo..................................................................................................................... 40
4.2
Potrebne enačbe za izračun .................................................................................................. 41
4.2.1
impedanca, admitanca (na enoto dolžine) .................................................................... 41
4.2.2
Ohmska upornost (rezistanca) ..................................................................................... 41
4.2.3
Induktivnost (reaktanca) ............................................................................................... 42
4.2.4
Induktivnost pozitivnega in negativnega sistema za trifazni vodnik ............................. 45
4.2.5
NIČNA REAKTANCA brez zaščitne vrvi: .......................................................................... 45
4.2.6
SIMETRIČNE KOMPONENTE IMPEDANCE brez zaščitne vrvi ......................................... 46
4.2.7
SIMETRIČNE KOMPONENTE IMPEDANCE z zaščitno vrvjo ............................................ 47
4.2.8
Kapacitivnost ................................................................................................................. 47
4.2.9
Simetrične komponente kapacitivnosti ......................................................................... 48
4.2.10
Polnilna moč voda ......................................................................................................... 50
4.2.11
Karakteristična impedanca voda ................................................................................... 50
4.2.12
Naravna moč voda ......................................................................................................... 50
4.2.13
Termična obremenljivost............................................................................................... 51
4.3
Izračuni .................................................................................................................................. 54
4.3.1
Direktna impedanca ...................................................................................................... 55
4.3.2
Izračun kapacitivnosti .................................................................................................... 57
4.3.3
POLNILNA IN NARAVNA MOČ, KARAKTERISTIČNA IMPEDANCA: .................................. 58
2
4.3.4
5
TERMIČNI TOK VODA IN MOČ ....................................................................................... 59
VAJA 3 – Oblikovanje daljnovoda .................................................................................................. 61
5.1
Navodila za vajo..................................................................................................................... 61
5.2
Osnovni podatki..................................................................................................................... 62
5.3
Parametri kombiniranih vodnikov ......................................................................................... 63
5.4
Razpetina, poves in dolžina vodnika v razpetini.................................................................... 66
5.5
Povesna verižnica .................................................................................................................. 67
5.5.1
Dolžina verižnice ............................................................................................................ 69
5.6
Kritična razpetina .................................................................................................................. 70
5.7
Kritična temperatura ............................................................................................................. 71
5.8
Klasična položajna enačba ..................................................................................................... 71
5.9
Določitev višine stebrov ........................................................................................................ 73
5.10
Mehanski parametri vodov - tabele ...................................................................................... 75
5.11
Izračuni .................................................................................................................................. 77
5.11.1
Specifična teža vrvi () ................................................................................................... 77
5.11.2
Modul elastičnosti (E) .................................................................................................... 77
5.11.3
Temperaturni razteznostni koeficient () ..................................................................... 77
5.11.4
Koeficiente , E in lahko določimo tudi iz priložene tabele 24 oz. iz priročnikov ...... 77
5.12
Dodatno zimsko breme ......................................................................................................... 77
5.13
Dopustna natezna napetost () pri temperaturi = -5 C .................................................... 78
5.14
Kritična razpetina (sk) ............................................................................................................ 78
5.15
Kritična temperatura (k) ...................................................................................................... 78
5.16
Montažna tabela ................................................................................................................... 78
5.16.2
Določitev višine stebrov ................................................................................................ 82
3
1. Uvod v MATLAB
Programski paket MATLAB je izdelek podjetja MathWorks. MATLAB je moderno programsko orodje
za numerično reševanje problemov. Razvijati so ga pričeli v univerzitetnem okolju in je šele kasneje
postal širše dostopen komercialni produkt. Program je napisan tako, da omogoča enostavno
izvajanje matričnih operacij, reševanje diferencialnih enačb z numerično integracijo, grafični prikaz
rezultatov vključno z animacijami. Edina podatkovna struktura MATLAB-a je kompleksna matrika.
Najenostavnejši način podajanja matrik je eksplicitni, to je način, ko priredimo imenu matrike seznam
elementov, ki so ločeni s presledki ali vejicami. Od tod tudi ime MATLAB (matrični laboratorij). V tako
imenovanih M-datotekah lahko zapišemo lasten program. Vsako tako napisano datoteko lahko
obravnavamo kot novo funkcijo in jo uporabljamo na enak način kot že vgrajene funkcije. Z
združevanjem M-datotek (funkcij) lahko vsakdo ustvari obsežno orodje za namensko uporabo.
1.1 Kako pognati program MATLAB
MATLAB ima ob zagonu lahko različen izgled in ga sestavlja eno ali več oken. MATLAB namreč
omogoča da ga priredimo po lastnih potrebah in nato se izbrana nastavitev ohrani tudi ob
naslednjem zagonu. Ob zagonu se zato lahko odpre eno ali več oken. Najpogosteje so to okna
Command Window, Launch Pad in Command History lahko pa tudi okna Current
Directory,Workspace in Help. Osnovno nastavitev prikličemo s klikom v meniju
Home/Layout/Default. Velikokrat se zgodi, da je ob prvem zagonu pisava izredno majhna. To
spremenimo s klikom na Home/Preferences/Fonts, kjer si izberemo želeno pisavo.
Slika 1: Programsko okolje MATLAB
Oglejmo si malce bolj podrobno glavna okna:
Command Window je glavno okno MATLAB-a v katerega lahko neposredno vpisujemo ukaze.
Delo v njem je priporočljivo le za reševanje enostavnih problemov in za hitre izračune. Za
ponoven izračun z drugačnimi vhodnimi podatki je namreč potrebno vse ukaze še enkrat
napisati.
Command History prikazuje staro vsebino okna Command Window.
4
Current Directory prikaže delovno mapo s seznamom vseh *.m datotek in *.mdl datotek
(Simulink sheme), ki se nahajajo v njem.
Workspace podaja sezam, tip in dimenzijo vseh spremenljivk, definiranih v delovnem
prostoru.
Slika 2: Glavno okno – Command Window
1.2 M-datoteke
So datoteke v katerih so lahko zapisani uporabniški programi in že izdelani programi (v okviru
osnovnega MATLABA-a ali njegovih orodij). V M-datoteko torej lahko zapišemo svoj program. Iz Mdatoteke lahko kličemo tudi druge M-datoteke.
1.2.1 Kako odpreti in zagnati M-datoteko?
Novo M-datoteko odpremo v meniju Editor/New/Script. Odpre se novo okno z MATLAB-ovim
urejevalnikom besedil v katerega napišemo program. Za pisanje M-datotek lahko uporabimo tudi
katerikoli drug urejevalnik besedil kot npr. beležnico. MATLAB-ov editor lahko odpremo tudi brez
zagona MATLAB-a. Že obstoječo datoteko odpremo tako, da v MATLAB-ovem oknu v meniju
izberemo File/Open in nato poiščemo iskano datoteko. M-datoteko shranimo s končnico .m. Če
delamo z MATLAB-ovim urejevalnikom se ta končnica doda avtomatsko, če pa uporabljamo kakšen
drug urejevalnik pa jo je potrebno dodati. Ime datoteke ne sme vsebovati šumnikov in presledkov.
Program zapisan v M-datoteki poženemo tako, da pritisnemo ikono Editor/Run ali s klikom na F5.
Program je potrebno predhodno shraniti in če tega nismo storili, nas MATLAB avtomatsko prosi, da
ga shranimo. Prav tako poda zahtevo po spremembi delovne mape in praktično vedno pritisnemo
»Change Folder«. Če želimo pognati samo del programa, označimo želeno kodo in pritisnemo F9. Če
smo v programu omogočili izpis rezultatov (to pomeni da se ustrezne vrstice ne zaključijo s
podpičjem) vidimo rezultate v delovnem oknu.
Na začetku vsakega programa po navadi zapišemo tri ukaze, to so
clc – pobriše vsebino glavnega okna.
clear all – izbriše vse predefinirane spremenljivke in
close all – zapre vsa grafična okna.
5
1.3 Prireditev vrednosti
1.3.1 Skalarji in kompleksna števila
Decimalna števila se vpisujejo s piko. V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte
rezultate:
a
b
c
d
e
f
g
=
=
=
=
=
=
=
10
20;
1.07
5e-4
5*10^5
3 + i*1
1 - j
Slika 3: Programska koda – Skalarji in kompleksna števila
1.3.2 Vektorji in matrike
Vrstični vektor vpišemo v oglatih oklepajih, člene vektorja med seboj ločimo z vejico ali presledkom x
= [1,2,3]. Stolpčni vektor vpišemo v oglatih oklepajih, njegove člene pa ločimo s podpičji x=[4;3;2;1].
Vektor z enakomerno naraščajočimi/padajočimi členi generiramo na sledeči način x=1:0.2:2. Matriko
vpišemo tako, da vrstice ločimo s podpičjem, člene v vrstici pa z vejico ali presledkom A =
[1,2,3;4,5,6;7,8,9].
Tabela 1: Vektorji in matrike
Vpis vrstičnega vektorja.
Vpis stolpčnega vektorja
Avtomatsko generiranje vektorja
Vpis matrike
x=[x1, x2, x3 ,..]
y=[y1; y2; y3; y4; ..]
x=x_začetni : korak : x_končni
A = [A11, A12, A13,.. ; A21, A22, A23,.. ;
A31, A32, A33,..;..]
V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate:
%
a
b
c
d
e
A
Za komentiranje zapišemo znak »%« pred vsako vrstico
= [1,2,3,4]
= [1 2 3 4]
= [1; 2; 3; 4]
= 1:10
= 1:0.5:10
= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
% Transponirajmo vektor a:
a_transponiran = a'
% Izračunajmo inverzno matriko matrike A
inv_A = A^-1
% Inverzno matriko A lahko izračunamo tudi z uporabo
funkcije inv()
inv_A = inv(A)
% Izračun inverzne matrike na način 1/A je napačen!
Slika 4: Programska koda – vektorji in matrike
6
1.4 Operatorji in osnovne matematične funkcije
1.4.1
Aritmetični operatorji
Tabela 2: Aritmetični operatorji
+, *, /
^
sqrt(x)
\
1.1.1
seštevanje,odštevanje
množenje, deljenje
potenca
kvadratni koren
levo deljenje
Osnovne matematične funkcije
Tabela 3: Osnovne matematične funkcije
exp(x)
log(x)
log10(x)
abs(x)
1.1.2
Eksponentna funkcija ex
Naravni logaritem
Desetiški logaritem
Absolutna vrednost
Trigonometrične funkcije
Argumenti (koti) se podajajo v radianih. Vrednost konstante 𝜋 je vgrajena in jo lahko uporabljamo v
izrazih:
Tabela 4: Trigonometrične funkcije
cos (x)
sin(x)
tan (x)
acos(x)
asin(x)
atan(x)
sinh(x)
cosh(x)
tanh(x)
Kosinus kota
Sinus kota
Tangens kota
Inverzni kosinus
Inverzni sinus
Inverzni tangens
Hiperbilični sinus
Hiperbolični kosinus
Hiperbolični tangens
7
1.1.3
Logični operatorji
Se uporabljajo predvsem kot argumenti v pogojnih stavkih:
Tabela 5: Logični operatorji
~
negacija
~=
ni enako
==
ekvivalentno
<
manjše
<=
manjše ali enako
>
večje
>=
večje ali enako
&
logični in
|
logični ali
~
komplement
V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate:
a =10;
b =20;
c = a + b
d = a - b
e = a * b
f = a / b
g = a \ b
h = a ^ 2
i=exp(1)
j=exp(2)
% Sedaj ne i ne j nista več kompleksni števili, saj smo jima priredili
% določeno vrednost. Če želimo poenostaviti njune vrednosti, to
% naredimo z ukazom clear:
clear i j
% Ne pozabite kako je potrebno vnašati kote kadar računamo s kotnimi
% funkcijami - radiane ali stopinje. Ponovite kako se pretvori iz stopinj
% v radiane in obratno!
sin(1)
sin(pi)
sqrt(2) % kvadratni koren
27^(1/3) % kubični koren
log(exp(1)) % naravni logaritem
log10(10) % desetiški logaritem
7/0 % deljenje z ničlo
Inf + Inf
%
1
3
3
3
Logični operatorji (vrnejo 0 ali 1):
== 2
~= 2
> 3
>= 3
Slika 5: Programska koda – operatorji in osnovne matematične funkcije
8
1.5 Zaokroževanje
Za zaokroževanje rezultatov uporabljamo ukaze fix, floor, ceil, round.
Tabela 6: Zaokroževanje
fix(x)
round(x)
floor(x)
ceil (x)
Z aokrožitev navzdol na celo število
Zaokrožitev na najbližje celo število
Zaokrožitev na najbližje celo število, proti minus neskončno
Zaokrožitev na najbližje celo število, proti neskončnosti
V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate
floor(-4.8)
floor(4.8)
fix(-4.8)
fix(4.8)
ceil(4.8)
ceil(4.2)
ceil(-4.8)
Slika 6: Programska koda –zaokroževanje
1.6 Manipulacije z matrikami in vektorji
Nekaj osnovnih pravil za manipulacije z vektorji in matrikami:
Z vejico ločimo člene v stolpcu, z dvopičjem preidemo v novo vrstico.
Pri delu z matrikami, oziroma členi matrik, se prvo število v oklepaju nanaša na vrstico, drugo
na stolpec. A(i,j) tako pomeni i to vrstico in j-ti člen v vrstici
Če delamo s celim stolpcem ali vrstico, nadomestimo številko člena z dvopičjem. A(i,:) tako
pomeni i-to vrstico in je torej vrstični vektor, A(:,j) pomeni vse člene v j-tem stolpcu in je
stolpčni vektor.
Če bomo priredili vrednost nekega člena matriki, ki še ni definirana, bodo imeli ostali členi
matrike vrednost 0. Če npr. uporabimo ukaz C(3,4) = 10 in matrike C še ni, bo generirana
matrika C dimenzije 3x4, ki bo imela člen C(3,4) = 10, vsi ostali členi pa bodo nič.
Pri dodajanju členov matriki je potrebno paziti na dimenzijo. Tako lahko matriki dodamo le
stolpec, ki ima toliko členov kot ima matrika vrstic ali vrstico, ki ima toliko členov kot ima
matrika stolpcev.
9
1.6.1
Delo s členi vektorjev
Tabela 7: Delo s členi vektorjev
xi=x(i)
x(i)=xi
x=[x, a1, a2, a3,..]
x=[x; a1; a2; a3,..]
1.1.4
Branje i-tega člena vektorja
Prirejanje vrednosti i-temu členu vektorja
Dodajanje členov a1,a2,... vrstičnem vektorju
Dodajanje členov a1,a2,... stolpčnem vektorju
Delo s členi, vrsticami, stolpci in podmatrikami matrik
Tabela 8: Delo s členi, vrsticami, stolpci in podmatrikami matrik.
Aij=A(i,j)
a=A(:,j)
a=A(i,:)
B=A(i:j,k:l)
A(i,j)=Aij
A(:,i)=[Ai1; Ai2; Ai3;...]
A(i,:)=[A1i, A2i, A3i,...]
A(:,j)=[]
A(i,:)=[]
C=[A,x]
C=[A;y]
Branje člena matrike
Branje j-tega stolpca matrike
Branje i-te vrstice matrike
Branje podmatrike
Prirejanje nove vrednosti členu matrike
Prirejanje nove vrednosti stolpcu matrike
Prirejanje nove vrednosti vrstici matrike
Brisanje stolpca iz matrike
Brisanje vrstice iz matrike
Dodajanje stolpca matriki
Dodajanje vrstice matriki
1.6.2 Osnovne matematične operacije z vektorji in matrikami
MATLAB omogoča dva tipa operacij med vektorji in matrikami. Prvi način je takšen kot ga poznamo z
matematike, npr. množenje dveh matrik. Drug način pa je bolj splošen in omogoča tudi operacije po
elementih, npr. množenje istoležnih členov dveh matrik. Ta možnost izhaja iz dejstva, da MATLAB
temelji na uporabi polj (array), matrike pa so samo posebna oblika teh polj s posebej definiranimi
(matričnimi in vektorskimi) operacijami. Oba tipa operacij sta opisana spodaj.
Tabela 9: Osnovne matematične operacije z vektorji in matrikami
A (+, -, *, /) a
A*y
A (+, -, *, /) B
A ( .*, . /) B
a (+, -, *, /) b
a (. *, . /) b
A'
Prištevanje /odštevanje/množenje/deljenje vseh členov matrike ali
vektorja s skalarjem.
Množenje matrike z vektorjem.
Prištevanje /odštevanje/množenje/deljenje matrike z matriko.
Množenje/deljenje matrike z matriko po členih.
Prištevanje /odštevanje/množenje/deljenje vektorja z vektorjem.
Množenje/deljenje vektorja z vektorjem po členih.
Transponiranje vektorja ali matrike.
10
Prištevanje/odštevanje/množenje/deljenje matrike ali vektorja s skalarjem: Vsakemu členu
matrike ali vektorja lahko prištejemo/odštejemo vrednost skalarja a oziroma jih z a
delimo/množimo z ukazi A+a , A-a , A*a , A/a .
Množenje matrike z vektorjem: Matriko A z vektorjem y pomnožimo z ukazom A*y. y mora
biti stolpčni vektor dimenzije, ki je enaka številu stolpcev matrike A.
Prištevanje/odštevanje/množenje/deljenje matrike z matriko: Prišteti in odšteti je možno le
matrike enakih dimenzij. Operacija se izvrši člen s členom. Pomnožimo (matrično množenje)
lahko le matriki, kjer ima prva enako število stolpcev kot druga vrstic. Delimo lahko le matriki,
ki imata enako število stolpcev.
Množenje/deljenje matrike z matriko po členih: Operacijo lahko izvajamo samo na matrikah
enakih dimenzij. Operacijo po členih označimo s piko pred operatorjem, npr. operator za
množenje po členih je (.*). Zmnožijo/delijo se istoležni členi v matrikah (torej ne gre za
množenje matrik, kot ga poznamo iz matematike).
Prištevanje /odštevanje/množenje/deljenje vektorja z vektorjem: Prišteti/odšteti/deliti je
možno le vektorje enakih dimenzij. Pri tem se operacija izvede na istoležnih členih.
Množenje/deljenje vektorja z vektorjem po členih: Operacijo po členih označimo s piko pred
operatorjem, npr. operator za množenje po členih je (.*). Zmnožijo/delijo se istoležni členi v
vektorjih (torej ne gre za množenje vektorjev, kot ga poznamo iz matematike).
Transponiranje: Matriko oziroma vektor transponiramo z ukazom A', oziroma y'.
1.6.3
Vgrajene matrične operacije
Tabela 10: Vgrajene matematične operacije
sum(x)
max(x)
inv(A)
rank(A)
det(A)
eig(A)
poly(A)
norm(A)
Vsota členov vektorja ali stolpca matrike
Največji člen vektorja ali stolpca matrike
Inverzna matrika
Rang matrike
Determinanta matrike
Lastne vrednosti matrike
Koeficienti karakterističnega polinoma
Norma matrike ali vektorja
11
V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate:
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A' % Transponiranje matrike
A + 10
A / 10
% Pozorno opazujte razliko med * in .*
A * A
A .* A
[5 5 5] * A
[5 5 5] .* A
% Branje členov
A(:,1)
A(1,:)
A(end,2)
A(2:3,3) %
drugi in tretji člen tretjega stolpca
% Matriki spreminjamo člene
A(3,2) = 0
A(:,3) = 1
A = [A A] % matriki dodamo matriko in jih združimo v eno
b(1:5) = 1
b = [b 6] % vektorju dodamo še en člen
c = b' % c je transponiran vektor b
c (2:4) = 2
c .* c
c * c
c * b
%
%
%
%
Ponovite operacije z matrikami:
- kdaj lahko množimo in kdaj ne
- inverzne matrike
- pri množenju matrik je pomembno zaporedje!
length(b) % izpis dolžine vektorja
size(A) % izpis dimenzij matrike
Slika 7: Programska koda – delo s členi vektorjev
12
1.7 2D grafi
Za izris, opremljanje osnovnih 2D grafov in delo z njimi uporabljamo naslednje ukaze:
Tabela 11: 2D grafi
figure(i)
plot(x,y,x1,y1,x2,y2,..)
Odpre grafično okno številka i.
V okno izriše x,y graf.
title('Naslov')
xlabel('Oznaka na X osi')
ylabel('Oznaka na Y osi')
grid
axis([Xmin, Xmax, Ymin,Ymax])
hold on
Graf opremi z naslovom.
X os opremi z oznako.
Y os opremi z oznako.
V graf nariše mrežo.
Določitev območja X in Y osi grafičnega okna..
Zadrži trenutno sliko v grafičnem oknu, tako da lahko kasneje
dodamo še več potekov.
V grafično okno z več poteki doda legendo.
Grafično okno razdeli v 4 podokna (2x2), V prvo nariše graf
(x1,y1)
Zapre vsa grafična okna
legend ('Prvi graf', 'Drugi graf','..)
subplot(2,2,1) , plot(x1,y1)
close all
Ukaz figure: Z ukazom figure(i) se odpre i-to grafično okno. Ta ukaz je potrebno uporabiti
zmeraj, ko želimo narisati graf v novo okno, to je pred ukazom plot. V primeru ko tega ukaza
ne uporabimo se graf nariše v zadnje odprto grafično okno. Stara vsebina tega okna se (razen
če smo uporabili ukaz hold on) izbriše. Če še ni odprto nobeno grafično okno in uporabimo
ukaz plot, se avtomatsko odpre.
Ukaz plot: XY graf izrišemo torej z ukazom plot(x,y) . X in Y morata biti vektorja enake dolžine.
V primeru če je eden vektor stolpčni drugi pa vrstica je potrebno enega izmed njiju
transponirati. Namesto vektorjev x i n y lahko vpišemo v ukaz plot tudi kakšen izraz, npr.
plot(t,cos(t)) . Če želimo v grafično okno izrisati istočasno več grafov v ukazu plot navedemo x
, y pare po vrsti, npr. plot(x,y,x1,y1,x2,y2). Vsak potek se izriše s svojo barvo.
13
Preizkusimo do sedaj prikazane ukaze na enostavnih primerih. Odtipkajte vsak odstavek v MATLAB in
opazujte razliko na grafu:
x=-10:10; % najprej definirajmo vektor od -10 do 10 s korakom 1
figure(1)
plot(sin(x))
xlabel('vodoravna os')
ylabel('navpicna os')
% Vidimo, da je korak prevelik. Zmanjšajmo korak in izrišimo še enkrat:
x=-10:0.1:10;
figure(2)
plot(sin(x))
xlabel('vodoravna os')
ylabel('navpicna os')
% Na sliki 2 želimo, da gre x os od -10 do 10 in ne od 1 do konca
dolžine
% vektorja x
figure(3)
plot(x,sin(x))
xlabel('vodoravna os')
ylabel('navpicna os')
% Izris dveh slik na enem grafu
figure(4)
hold on
plot(x,sin(x),'red')
plot(x,sin(x+pi/2),'green')
xlabel('vodoravna os')
ylabel('navpicna os')
% namesto črte lahko za vsako točko izrišemo različne simbole
figure(5)
hold on
plot(x,sin(x),'*')
plot(x,sin(x+pi/2),'r+')
xlabel('vodoravna os')
ylabel('navpicna os')
% omejimo x os od 0 do 2*pi in y od od -1 do 1 in dodamo mrežo
figure(6)
hold on
grid on
plot(x,sin(x))
xlabel('vodoravna os')
ylabel('navpicna os')
axis([0 2*pi -1 1])
Slika 8: Programska koda – izris slik
14
% dodajmo legendo
figure(7)
hold on
grid on
plot(x,sin(x),'yellow')
plot(x,sin(x+pi/2))
xlabel('vodoravna os')
ylabel('navpicna os')
legend('sin(x)','sin(x+pi/2)',4)
axis([0 2*pi -1.5 1.5])
title('To je naslov')
% Še en zahtevnejši graf:
figure(10)
hold on
grid on
spodnja_meja(1:length(x))=-1;
zgornja_meja(1:length(x))=1;
plot(x,sin(x),'green')
plot(x,sin(x+pi/2))
plot(x,spodnja_meja,'r','LineWidth',2)
plot(x,zgornja_meja,'r','LineWidth',2)
ylabel('\itNapetost \rm / U')
xlabel('\itČas \rm / 24ur') % "\it" pomeni posevno, "\rm" pa pokoncno
legend('sin(x)','sin(x+pi/2)',4)
title('naslov grafa')
axis([0 2*pi -1.5 1.5])
Slika 9: Programska koda – izris slik (2)
1.8 Pogojni stavki
Tabela 12: Pogojni stavki
if
for zanka
while zanka
switch
break
Pogojni stavek
Zanka z določenim številom ponovitev
Zanka z logičnim pogojem
Pogojni skoki
Skok iz zanke ali pogojnega stavka
15
Ukaz if: Ukazi napisani v okviru pogojnega stavka se izvedejo če je izpolnjen podan logični
pogoj. Splošna oblika if stavka je naslednja:
if pogoj1
stavki1;
elseif pogoj2
stavki2;
else
stavki3;
end
Slika 10: Programska koda – if stavek
V primeru če je izpolnjen pogoj1 se torej izvedejo stavki1 . Sicer se preveri pogoj2 in če je
izpolnjen ta, se izvedejo stavki2 . Če nista izpolnjena ne pogoj1 ne pogoj2 se izvedejo stavki3 .
Seveda lahko v if stavku nastopa še več elseif pogojev, pa tudi else stavek ni nujen. If stavke
je možno tudi gnezditi. Pri pisanju pogojev uporabljamo logične operatorje <, >=, >=, ~=, = =.
Ukaz for: Z ukazom for generiramo zanko, ki se bo izvedla tolikokrat, kot smo določili.
Splošna oblika for zanke je naslednja:
for stevec = zacetni:korak:koncni,
stavki;
end
Slika 11: Programska koda – for zanka
Število ponovitev je torej določeno z začetno in končno vrednostjo števca ter korakom s
katerim se števec povečuje.
16
V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate:
b = 0;
for i = 1 : 10
b = b + 1;
end
b
b = 0;
for i = 1 : 10
b = b + 1;
if b == 5
break
end
end
b
c = [10 5 11 3 20 55];
for i =1:length(c)
d(i)= 10*c(i);
end
d
% vse člene v vektorju d, ki so večji ali enaki 100, damo na nič:
for i = 1 : length(d)
if d(i) >= 100
d(i) = 0;
end
end
d
Slika 12: Programska koda – pogojni stavki
1.9 Odprtokodne alternative MATLAB-u
Octave je odprtokodni računalniški program za numerične matematične izračune. Večinoma je
združljiv s programom MATLAB. Je brezplačna alternativa MATAB-u. Omogoča tudi podporo
Matpower-ju. V praksi lahko torej izdelamo povsem enake optimizacijske programe in simulacije kot
v MATLAB-u. Delo pa je oteženo, ker Octave nima grafičnega vmesnika
17
1.10 Izračun sistema enačb z Gauss-Seidel-ovo metodo
Izračunajte x1, x2 in x3 pri podanem sistemu enačb:
3x1 0,1x2 0, 2 x3 7,58
0,1x1 7 x2 0,3x3 19,3
0,3x1 0, 2 x2 10 x3 71, 4
Določimo začetne vrednosti, ki naj bodo:
x1 1,
x2 1,
x3 1.
Iz prve enačbe izpostavimo x1, iz druge x2 in iz tretje x3:
x1 (0,1x2 0, 2 x3 7,58) / 3
x2 (0,1x1 0,3x3 19,3) / 7
x3 (0,3x1 0, 2 x2 71, 4) / 10
Ker imamo začetne približke za x1, x2 in x3, jih vstavimo v enačbo in izračunamo nove vrednosti:
x1 (0,1 1 0, 2 1 7,58) / 3 2,717
x2 (0,1 1 0,3 1 19,3) / 7 2,729
x3 (0,3 1 0, 2 1 71, 4) / 10 7,130
Dobili smo nove vrednosti za x1, x2 in x3:
x1 2,717,
x2 2,729,
x3 7,130.
Sedaj ponovimo postopek in spet izračunamo nove vrednosti. Spremenljivke konvergirajo proti
končni rešitvi. Po določenem številu iteracij so razlike med starimi in na novo izračunanimi
vrednostmi zelo majhne in lahko zato zaključimo postopek.
18
Programska koda za rešitev sistema enačb:
clc;close all;clear all
i=1; % zaporedno stevilo iteracije (zacnemo z 1)
x1(i)=1; % zacetna vrednost za x1
x2(i)=1; % zacetna vrednost za x2
x3(i)=1; % zacetna vrednost za x3
error_x1(i)=99999; % zacetna vrednost razlike med
x(n+1) in x(n)
% dokler je razlika med x(n+1) in x(n) vecja od 0,01:
while error_x1(i) >= 0.01
x1(i+1)=(7.85+0.1*x2(i)+0.2*x3(i))/3;
x2(i+1)=(-19.3-0.1*x1(i)+0.3*x3(i))/7;
x3(i+1)=(71.4-0.3*x1(i)+0.2*x2(i))/10;
error_x1(i+1)=abs((x1(i+1)-x1(i))/x1(i))*100;
error_x2(i+1)=abs((x2(i+1)-x2(i))/x2(i))*100;
error_x3(i+1)=abs((x3(i+1)-x3(i))/x3(i))*100;
i=i+1
end
figure
plot(error_x1(2:end))
grid on
xlabel('stevilo iteracij')
ylabel('razlika med x(n+1) in x(n) [%]')
figure
hold on
plot(x1,'r')
plot(x2,'g')
plot(x3)
legend('x1','x2','x3')
grid on
xlabel('stevilo iteracij')
ylabel('vrednosti spremenljivk')
Slika 13: Programska koda – rešitev sistema enačb
Programsko kodo lahko pohitrimo s tem, da pri izračunu vedno uporabimo najnovejše vrednosti. Ko
izračunamo x1(i+1), lahko to vrednost uporabimo že v naslednji enačbi za izračun x2(i+1) in ne
čakamo, da vrednost x1(i+1) uporabimo šele v naslednji iteraciji. Prav tako lahko uporabimo x2(i+1)
in ga vstavimo v tretjo enačbo za izračun x3(i+1). V tem smislu priredite zgornjo programsko kodo.
19
2 Matematične osnove
2.1 Harmonične veličine
Napetost in tok sta harmonični funkciji, ki jih zapišemo v obliki:
u (t ) U cos(t U )
i(t ) I cos(t I )
U in I sta temenski vrednosti, kar lahko zapišemo kot:
U max 2 U ef 𝑢̂
I max 2 I ef 𝑖̂
Veljajo še naslednje enačbe:
t 2ft
U I
p(t ) u(t ) i(t )
Na sliki 14 je predstavljena harmonična funkcija napetosti u(t).
u(t)
u
u(t ) uˆ cos(t u )
uˆ
0
ωt
π/2
Slika 14: Časovni potek harmonske funkcije napetosti
pri čemer je
•
•
•
u(t ) trenutna vrednost napetosti,
uˆ je amplituda (temenska vrednost) harmonične napetosti,
2 f 2 / T je krožna frekvenca, kjer je f frekvenca in T perioda harmonične
funkcije ter
20
•
u je fazni zamik glede na t 0 .
Skopirajte naslednjo programsko kodo v MATAB, spreminjajte parametre in opazujte razliko v
animaciji. V for zanki spreminjajte amplitudo toka ali kot.
clc; clear all; close all
U=2; % amplituda napetosti
fiu=0; % faza napetosti
I=1; % amplituda toka
fii=-90; % faza toka
f=50; % frekvenca
t=0:0.0001:(1/f*3);
w=2*pi*f;
os_nic(1:length(t))=0;
for fii=-90:5:90 % I=0:0.1:2 % spreminjamo fazo toka
ali amplitudo
figure(1);
grid on
u=sqrt(2)*U.*cos(w*t+fiu*pi/180);
i=sqrt(2)*I.*cos(w*t+fii*pi/180);
s=u.*i; % postumaj enote ......
[hAx,hLine1,hLine2] = plotyy([t' t'],[u' i'],t,s)
set(hAx(1),'YLim',[-6 6])
set(hAx(2),'YLim',[-6 6])
ylabel(hAx(1),'\itS \rm / VA')
ylabel(hAx(2),'\itu \rm / V')
set(hLine2(1),'LineWidth',2)
legend('napetost','tok','moc')
hold on
plot(t,os_nic,'black')
xlabel('\itt \rm / ms')
title('Casovni potek napetosti, toka in moci')
hold off
end
Slika 15: Programska koda – časovni potek toka, napetosti in moči
2.2 Kompleksne veličine
Harmonične veličine zapisujemo v kompleksni obliki. Iz časovnega prostora preslikamo veličine v
kompeksni prostor, kjer uporabimo zapis s fazorji. Pri tem se uporablja Eulerjev obrazec:
e j cos j sin
e j cos j sin
21
Vsakemu kompleksnemu številu e j pripada v kompleksni ravnini, katere osi so (Re, Im), točka na
krožnici polmera 1. Daljica, ki povezuje središče krožnice in točko na krožnici, in pozitivna realna os,
oklepata kot .
Im
α
sin α
ejα
cos α
Re
e-jα
Slika 16: Prikaz kompleksnega števila v kompleksni ravnini
Za izmenično veličino tako velja:
ˆ ju e jt ] Projekcija na realno os daje u(t)
u(t ) Re[ue
U Ue j U cos jU sin
U U UU
*
2.3 Kompleksor moči
Trenutna moč je definirana kot:
p(t ) u(t ) i(t ) 2 U cos(t u ) 2 I cos(t i )
Uporabimo matematični priročnik, kjer je zapisan naslednji obrazec:
cos cos
1
[cos( ) cos( )]
2
in dobimo:
p(t )
1
2 U 2 I [cos( u i ) cos(2t u i )]
2
Moč niha in je enkrat pozitivna in enkrat negativna, kar prikazuje naslednja slika:
22
Casovni potek napetosti, toka in moci
napetost
tok
moc
4
3
2
2
0
0
u /V
S / VA
1
-1
-2
-4
0
0.01
0.02
0.03
t / ms
0.04
0.05
0.06
Slika 17: Časovni potek toka, napetosti in moči
Povprečno vrednost izračunamo kot:
1 ˆ
1 ˆ
ˆ cos(u i ) ui
ˆ cos UI cos
p(t) ui
2
2
Povprečno moč imenujemo delovna moč. Faktor cos imenujemo faktor delavnosti. Delovno moč
zapišemo z efektivnimi vrednostmi kot:
P U I cos .
Če zapišemo:
cos(2t u i ) cos(2t 2u (u i ))
in uporabimo matematični priročnik, kjer je zapisano:
cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )
lahko zapišemo moč kot dva prispevka:
1
1
p(t ) uˆ iˆ cos u i (1 cos2(t u )) uˆ iˆ sin u i sin2 t u
2
2
p1 (t )
p2 (t )
Za povprečne moči velja:
23
p1 (t ) P
p2 (t) 0
Maksimalni vrednosti moči p2 (t ) rečemo jalova moč. Velja:
Q UI sin .
Za navidezno moč velja:
S P jQ U I
*
S 2 P 2 Q2
2.4 Osnovni elementi v kompleksnem prostoru
2.4.1 Upor
Za upor velja:
u(t) Ri(t) .
Tok in napetost sta harmonični veličini:
i 2I cos(t i )
u 2U cos(t u )
Enačbo za tok vstavimo v enačbo za napetost na poru:
u 2RI cos(t i )
in zapišemo:
2U cos(t u ) u 2IR cos(t i ) .
Ker velja, da sta si fazi enaki:
u i
Velja enačba, zapisana z efektivnimi vrednostmi:
U RI .
V kompleksnem prostoru lahko zapišemo tokove in napetosti na sledeč način:
i 2I cos(t i ) I Ie ji ,
u 2U cos(t u ) U Ue ju .
in zapišemo enačbo za upor v kompleksnem prostoru:
24
U Ue ju RIe ji R I U R I .
2.4.2 Kondenzator
Za kondenzator velja naslednja enačba:
i C
du
.
dt
Odvajamo napetost in dobimo:
u 2U cos t u
i 2CU sin t u 2CU cos t u
2
Tok prehiteva napetost za 90°, velja:
i u
2
zapišemo:
2I cos t i i 2CU cos t i
in dobimo:
I CU .
Podobno kot pri uporu tudi tukaj toku in napetosti določimo kazalca in zapišemo:
I Ie ji CUe
j (u )
2
Pri čemer smo za I vstavili prejšnjo enačbo. Upoštevamo še korelacijo:
e
j u
2
e ju e
j
2
je ju
in zapišemo:
I jCUe ju jCU
I jC U
XC
2.4.3 Tuljava
Za tuljavo velja enačba:
uL
di
.
dt
Odvajamo tok in dobimo
25
u 2LI sin t i 2LI cos t i
2
Napetost prehiteva tok za 90°, velja:
u i
2
.
Zapišemo:
u 2U cos t u u 2LI cos t u
in dobimo:
U LI
Podobno kot pri uporu in kondenzatorju tudi tukaj toku in napetosti določimo kazalca in zapišemo:
U Ue
ju
LIe
ju
LIe
j (i )
2
Pri čemer smo za U vstavili prejšnjo enačbo.
U jLIe ji jL I
U jL I .
XL
Sedaj narišite kazalčne diagrame za upor, napetost in tok!
2.5 Trifazne veličine
Trenutno moč v trifaznem sistemu zapišemo kot prispevek vsake faze posebej:
p3 f (t) uL1 (t)iL1 (t) uL2 (t)iL2 (t) uL3 (t)iL3 (t) .
Napetosti so:
uL1 (t ) 2U cos(t u )
uL2 (t ) 2U cos(t u 120)
uL3 (t ) 2U cos(t u 120)
Enako velja tudi za tokove. Za simetričen sistem velja, da so si amplitude in koti od vseh faz, enaki.
Trenutna moč v simetričnem trifaznem sistemu je:
p3 f (t) 3 U I cos(u i ) .
Kompleksor navidezne moči pa je:
S3 f 3U I * 3Umf I * ,
kjer je Umf medfazna vrednost napetosti!
26
2.6 Sistemi komponent
V primeru nesimetričnih razmer lahko uporabimo pretvorbo v odgovarjajoče veličine novega sistema
komponent, kjer je izračun enostavnejši in preglednejši. Z drugimi besedami – nesimetričen sistem
lahko s pretvorbo v simetrične komponente rešimo z uporabo simetričnih metod. Rezultate lahko s
povratnimi pretvorbami spet prenesemo v originalni sistem, ki ga imenujemo tudi naravni sistem.
Simetrične komponente izračunamo tako, da napetosti naravnega sistema pomnožimo s
transformacijsko matriko [S]:
[𝑈𝑠 ] = [𝑆][𝑈𝑓 ]
1 1 1 U L1
U 0 L1
1
U 1 a a 2 U
L2
1L1 3
2
U 2 L1
1 a a U L 3
Pri tem smo definirali konstanto a, ki predstavlja zasuk v pozitivni matematični smeri za 120°:
a e
j 1200
e
j
2
3
1
3
cos(1200 ) j sin(1200 ) j
.
2
2
U 0 L1 je prva faza ničnega sistema,
U 1L1 je prva faza pozitivnega (direktnega) sistema in
U 2 L1 prva faza negativnega (inverznega) sistema.
Poljuben nesimetričen trifazni sistem torej lahko zapišemo kot vsoto treh simetričnih sistemov:
pozitivnega, negativnega in ničnega. Primer prikazuje naslednja slika:
U2L1
UL3
U1L3
U2L3
120°
120°
U0L1=U0L2=U0L3
UL1
UL2
U1L1
U1L2
a)
U2L2
b)
c)
Slika 18: Grafični prikaz pretvorbe nesimetričnega sistema v simetrične komponente a) pozitivni, b)
negativni ter c) nični sistem
Velja tudi povratna transformacija iz sistema simetričnih komponent v sistem naravnih komponent:
[𝑈𝑓 ] = [𝑇][𝑈𝑠 ] in [𝐼𝑓 ] = [𝑇][𝐼𝑠 ],
pri čemer je [𝑇] povratna transformacijska matrika:
−1
[𝑇] = [𝑆] .
27
Iz internetne strani predmeta EEO prenesite programsko kodo za izris simetričnih komponent.
Spreminjajte amplitude in kote naravnega sistema in opazujte spremembe pri izračunu simetričnih
komponent.
Primer izrisa:
Naravni sistem
Casovni potek napetosti
400
200
0
-200
0
-200
-400
-400
-200
0
200
Realna os
Nicni sistem
0
0.01
0.02
0.03
t / ms
0.04
Direktni sistem
0
-200
-400
400
Imaginarna os
200
200
0
-200
-400
-200
0
200
Realna os
200
0
-200
-400
-200
0
200
Realna os
-200
0
200
Realna os
Slika 19: Programska koda – izris simetričnih komponent
V nadaljevanju so prikazani izračuni posebnih primerov nesimetrije.
2.6.1
0.05
Inverzni sistem
400
Imaginarna os
400
Imaginarna os
prva faza - UL1
druga faza - UL2
tretja faza - UL3
200
u /V
Imaginarna os
400
Simetričen sistem
UL1 UL1
UL2 a UL1
UL3 aUL1
2
Zapišemo matrično enačbo in izračunamo:
U0L1
1 1 1 UL1
U 1 1 a a 2 a2U
1 L1 3
L1
2
U2L1
1 a a aUL1
1
1
2
2
U0L1 UL1 a UL1 aUL1 UL1 1 a a 0
3
3
Pri čemer velja:
1 a a 1 e j (120 ) e j (120 )
0
2
0
1
3 1
3
1 j
j
11 0
2
2 2
2
28
0.06
U1L1
1
1
3
3
3
3
UL1 a UL1 a UL1 UL1 1 a a UL1
3
3
Pri čemer velja:
0
0
1 a a 1 e j (360 ) e j(360 ) 1 1 1 3
3
U2L1
3
1
1
4
2
4
2
UL1 a UL1 a UL1 UL1 1 a a 0
3
3
Pri čemer velja:
a a
4
3 1
a a 1a a
3
1
1a a 1a a
4
2
2
1
3 1
3
1 j
j
0
2
2 2
2
Vidimo, da sta pri pretvorbi naravnega sistema, ki je simetričen, v simetrične komponente, nični in
negativni sistem enaka nič. Pozitivni sistem pa je enak naravnemu sistemu.
2.6.2
Enofazni sistem
UL1 UL1
UL2 0
UL3 0
Zapišemo matrično enačbo in izračunamo:
U0L1
1 1 1 UL1
U 1 1 a a 2 0
1 L1 3
U2L1
1 a 2 a 0
1
U0L1 UL1
3
1
U1L1 UL1
3
1
U2L1 UL1
3
2.6.3
Manjka tretja faza UL3
UL1 UL1
UL2 a2UL1
UL3 0
Zapišemo matrično enačbo in izračunamo:
29
U0L1
1 1 1 UL1
U 1 1 a a 2 a2U
1 L1 3
L1
U2L1
1 a 2 a 0
1
1
1
2
2
U0L1 UL1 a UL1 0 UL1 1 a aUL1
3
3
3
Pri čemer velja:
1 a a 0 1 a a
2
2
1
1
2
3
UL1 a UL1 0 UL1 1 a3 UL1
3
3
3
1
1
1 2
4
U2L1 UL1 a UL1 0 UL1 1 a a UL1
3
3
3
U1L1
Pri čemer velja:
a a,
4
1 a a 0 1 a a
2
2
Množenje vektorja a z -1 povzroči preslikavo skozi koordinatno izhodišče, kar prikazuje slika 20.
a
Im
30
60
60
Re
30
-a
Slika 20: Vektor a in -a
2.6.4
Nasproti ležeča fazorja
UL1 UL1
UL2 UL1
UL3 0
Zapišemo matrično enačbo in izračunamo:
U0L1
1 1 1 UL1
U 1 1 a a 2 U
1 L1 3
L1
U2L1
1 a 2 a 0
1
U0L1 UL1 UL1 0 0
3
30
1
1
UL1 a UL1 0 UL1 1 a
3
3
3
1 1
3
1
3
UL1 1 j
UL1 j
3 2
2
2
3 3
2
3 3
3
1
3 1
1
UL1
j
UL1
j
2
3
3 2
3
3 2
2
3 1 1
1
3
1
UL1 j
UL1 j
j
2
3
3
2j 2
2
1
1
3
j
2
UL1 j j
UL1 a
2
2
3
3
U1L1
Na podoben način kot pri izračunu U1L1, izračunamo še U2L1:
U2L1
2.6.5
1
1
2
2
UL1 a UL1 0 UL1 1 a
3
3
1 3
3
j
UL1 j
UL1 a
3 2
2
3
Dva polovična fazorja ležita nasproti fazorju UL1
UL1 UL1
1
UL2 UL1
2
1
UL3 UL1
2
Zapišemo matrično enačbo in izračunamo:
UL1
U0L1
1 1 1
U 1 1 a a 2 1 U
1 L1 3
2 L1
2
U2L1
1 a a
1
UL1
2
1
1
1
U0L1 UL1 UL1 UL1 0
3
2
2
1
1
1 2 1 1
2
U1L1 UL1 aUL1 a UL1 UL1 1 a a
3
2
2
3 2
1 1 1
3 1
3
UL1 1 j
j
3 2 2
2 2
2
1 1
1
UL1 1 1 UL1
3 2
2
1
1 2
1
1 1 2
1
U2L1 UL1 a UL1 aUL1 UL1 1 a a UL1
3
2
2
3 2
2
31
3 VAJA 1 - Sistemi komponent
3.1 Navodila za vajo
Imamo trifaznega porabnika s podano impedančno matriko:
U L1
U L2
U L3
I L1
I L2
[Z𝑓 ]
I L3
Slika 21: Trifazni porabnik
Z p
Z f Z m
Z m
Zm
Zp
Zm
Zp=(10+j30) Ω
Zm
Zm Ω
Z p
Zm=(5+ j20) Ω
Na priključnih sponkah izmerimo naslednji vektor faznih napetosti:
[Uf]=
277 0˚
260 -120˚
295 115˚
V
Grafično določite simetrične komponente napetosti,
nato pa izračunajte še: matriko faznih tokov [ If ]
simetrične komponente impedančne matrike [ Zs ]
simetrične komponente napetosti in toka [ Is ], [ Us ]
diagonalne komponente napetosti in toka [ Id ], [ Ud ].
3.2 Grafična določitev simetričnih komponent napetosti
Za določitev simetričnih komponenta moramo najprej definirati transformacijsko matriko [S], ki služi
za preslikavo iz naravnega v sistema v sistem simetričnih komponent in vektor a, ki predstavlja zasuk
za 120° v pozitivni matematični smeri.
32
1 1 1
S 1 1 a a 2
3
2
1 a a
1
3
a e j120 j
2
2
1
3
2
a e j 240 j
2
2
Simetrične komponente izračunamo tako, da napetosti naravnega sistema pomnožimo s
transformacijsko matriko [S]:
[𝑈𝑠 ] = [𝑆][𝑈𝑓 ]
1 1 1 U L1
U 0 L1
U 1 1 a a 2 U
L2
1L1 3
1 a 2 a U
U 2 L1
L3
1
U L1 U L 2 U L3
3
1
2
U 1L1 U L1 aU L 2 a U L 3
3
1
2
U 2 L1 U L1 a U L 2 aU L 3
3
U 0 L1
Najprej narišemo naravni sistem:
U L3
U L1
115°
125°
120°
U L2
Slika 22: Vektorji napetosti v naravnem sistemu
33
Nato narišemo nični sistem. Uporabimo enačbo:
U 0 L1
1
U L1 U L 2 U L3 .
3
Najprej narišemo vektor napetosti U L1 in mu prištejemo vektorja U L 2 in U L 3 . Vsoto teh treh
1
. S tem dobimo vektor ničnega simetričnega sistema U 0L1 .
3
Dopišemo še preostala dva vektorja napetosti U 0L 2 in U 0L 3 , ki sta v fazi s prvim vektorjem U 0L1 . S
vektorjev nato pomnožimo še z
tem smo dobili celotno sliko ničnega simetričnega sistema.
U L1 U L 2 U L 3
U L1
U 0 L1
60°
U 0L 2
U 0L 3
U L2
U L3
55°
Slika 23: Grafična določitev ničnega sistema
Za izris pozitivnega sistema uporabimo enačbo:
U 1L1
1
2
U L1 aU L 2 a U L3 .
3
Podobno kot pri prejšnjem primeru, seštevamo vektorje U L1 , U L 2 in U L 3 , ki pa jih po potrebi pred
seštevanjem pomnožimo z a ali a2 in s tem zasukamo za 120° ali 240°. Da dobimo končno obliko
pozitivnega simetričnega sistema, moramo vektorju U 1L1 dodati še preostala vektorja napetosti, ki
sta zamaknjena za 120°. S tem dobimo simetričen sistem, ki ima smer vrtenja v enaki smeri kot
naravni sistem.
34
U 1L 3
U L1
120°
aU L 2
2
a U L3
120°
120°
U 1L1
U L1 aU L 2 a U L 3
2
U 1L 2
Slika 24: Grafična določitev pozitivnega sistema
Za izris pozitivnega sistema uporabimo enačbo:
U 2 L1
1
2
U L1 a U L 2 aU L3 .
3
Negativni sistem narišemo na enak način kot pozitivnega. Vektorji napetosti so simetrični, kar pomeni
medsebojni zamik za 120°, pri čemer pa je smer vrtenja obrnjena!
65°
aU L 3
U 2L 3
2
a U L2
U L1
U 2L1 U 2L 2
U L1 a U L 2 aU L 3
2
Slika 25: Grafična določitev negativnega sistema
35
120°
Opozoriti je potrebno, da zaradi boljše razvidnosti, slike 2, 3 in 4 niso povsem v merilu glede na
začetno sliko 1.
3.3 Izračun matrike faznih tokov [ If ]
Za izračun matrike faznih tokov [ If ] potrebujemo matriko faznih napetosti [ Uf ] in impedančno
matriko [ Zf ], ki ju imamo podana:
10 + 𝑗30 5 + 𝑗20
5 + 𝑗20
[𝑍𝑓 ] = [ 5 + 𝑗20 10 + 𝑗30 5 + 𝑗20 ] Ω
5 + 𝑗20
5 + 𝑗20 10 + 𝑗30
277∠0°
[𝑈𝑓 ] = [260∠ − 120°] V
295∠115°
Uporabimo enačbo:
[𝑈𝑓 ] = [𝑍𝑓 ][𝐼𝑓 ],
ki jo je potrebno preoblikovati. Pri množenju matrik moramo upoštevati matematična pravila, pri
čemer je pomemben vrstni red matrik v enačbi! Uporabiti moramo inverzno matriko impedančne
matrike [ Zf ]:
−1
[𝐼𝑓 ] = [𝑍𝑓 ] [𝑈𝑓 ]
277 cos 0 j sin0
277
U f 260 cos(120) j sin( 120) 130 j 225,17 V
124,67 267,36
295 cos115 j sin115
I f Z f
1
3.4
9,87 j 22,17 24,27 66,0
U f 24,42 j1,38 24,46 176,76 A
15,19 j 20,66 25,64 53,66
Določitev simetričnih komponent impedančne matrike [ Zs ]
Za izpeljavo enačbe za izračun simetričnih komponent impedančne matrike [ Zs ] moramo najprej
zapisati nekaj splošnih enačb. Velja enačba:
[𝑈𝑓 ] = [𝑍𝑓 ][𝐼𝑓 ],
36
pri čemer jo lahko zapišemo tudi v sistemu simetričnih komponent z izrazom:
[𝑈𝑠 ] = [𝑍𝑠 ][𝐼𝑠 ].
Velja tudi povratna transformacija iz sistema simetričnih komponent v sistem naravnih komponent:
[𝑈𝑓 ] = [𝑇][𝑈𝑠 ] in [𝐼𝑓 ] = [𝑇][𝐼𝑠 ],
pri čemer je [𝑇] povratna transformacijska matrika:
1
[𝑇] = [1
1
1
𝑎2
𝑎
1
𝑎]
𝑎2
−1
oziroma [𝑇] = [𝑆]
1
Pozorni moramo biti na zapis matrike [𝑇], ki je brez 3, ki nastopa pri matriki [𝑆].
Nato lahko izračunamo:
[𝑈𝑓 ] = [𝑍𝑓 ][𝐼𝑓 ],
[𝑇][𝑈𝑠 ] = [𝑍𝑓 ][𝑇][𝐼𝑠 ].
Izraz pomnožimo s [𝑇]
−1
in dobimo:
−1
[𝑈𝑠 ] = [𝑇] [𝑍𝑓 ][𝑇][𝐼𝑠 ].
−1
Če namesto izraza [𝑇] [𝑍𝑓 ][𝑇] zapišemo [𝑍𝑠 ], dobimo izraz [𝑈𝑠 ] = [𝑍𝑠 ][𝐼𝑠 ]. Namesto [𝑇]
−1
zapišemo še [𝑆]. S tem dobimo enačbo za izračun simetričnih komponent impedančne matrike [ Zs ]:
[𝑍𝑠 ] = [𝑆][𝑍𝑓 ][𝑇].
Izraz [𝑍𝑠 ] ima standardno obliko, ki je:
𝑍𝑝 + 2 ∙ 𝑍𝑚
0
[𝑍𝑠 ] = [
0
0
𝑍𝑝 − 𝑍𝑚
0
0
0
].
𝑍𝑝 − 𝑍𝑚
Izvendiagonalni členi so vedno nič, drugi in tretji člen v diagonali pa sta enaka.
37
Vstavimo podatke in izračunamo [ Zs ]:
1
1
[𝑍𝑠 ] = [1
3
1
1
𝑎
𝑎2
1 𝑍𝑝
𝑎2 ] [𝑍𝑚
𝑎 𝑍𝑚
𝑍𝑚
𝑍𝑝
𝑍𝑚
𝑍𝑚 1 1
𝑍𝑚 ] [1 𝑎2
𝑍𝑝 1 𝑎
1
𝑎]
𝑎2
20 + 𝑗70
0
0
0
5 + 𝑗10
0 ]Ω
[𝑍𝑠 ] = [
0
0
5 + 𝑗10
Rešitev preverimo s tem, da pogledamo ali so izvendiagonalni res nič. Prav tako sta drugi in tretji člen
v diagonalni vrstici enaka.
3.5 Določitev simetričnih komponent napetosti in toka [ Is ] in [ Us ]
Simetrične komponente napetosti in toka dobimo tako, da fazne napetosti in tokove pomnožimo s
transformacijsko matriko [S].
7,44 j14,06 15,91 62,11
U s S U f 276,96 j 8,57 277,09 1,77 V
7,4 j 5,49 9,22 143,41
0,21 j 0,05 0,22 11,94
I s S I f 10,39 j 22,5 24,78 65,21 A
0,74 j 0,37 0,82 153,15
3.6 Določitev diagonalnih komponent napetosti in toka [ Id ] in [ Ud ]
Diagonalne komponente napetosti in toka dobimo tako, da fazne napetosti in tokove pomnožimo s
transformacijsko matriko [K].
Matrika [K] je:
1 1
1
1
K 2 1 1
3
3 3
0
7,44 j14,06 15,91 62,11
U d K U f 269,56 j14,06 269,92 2,99 V
3,08 j 284,36 284,38 90,62
38
0,21 j 0,05 0,22 11,94
I d K I f 9,66 j 22,13 24,14 66,42 A
22,87 j11,13 25,44 154,05
3.7 Zaključek
V primeru nesimetričnih razmer lahko uporabimo pretvorbo v odgovarjajoče veličine novega sistema
komponent, kjer je izračun enostavnejši in preglednejši. Z drugimi besedami – nesimetričen sistem
lahko s pretvorbo v simetrične komponente rešimo z uporabo simetričnih metod. Rezultate lahko s
povratnimi pretvorbami spet prenesemo v originalni sistem, ki ga imenujemo tudi naravni sistem.
Uporaba simetričnih komponent je nepogrešljiva pri izračunu kratkih stikov, kjer lahko pride v
sistemu do večjih nesimetrij. Za analizo prehodnih pojavov in predstavitev električnih strojev so bile
razvite še druge pretvorbe, kot so npr. diagonalne ali dvoosne komponente.
V primeru, da je naravni sistem simetričen in ga preslikamo v simetrične komponente, se izkaže, da je
pozitivni sistem enak naravnemu, nični in negativni sistem pa sta enaka nič. V primeru, da
povečujemo nesimetrijo, se povečujeta nični in negativni sistem, pozitivni sistem pa se manjša. Glede
na to, da je nesimetrija pri podanem primeru majhna (sistem je skoraj simetričen) lahko že pred
izračunom pričakujemo, da bo pozitivni sistem velik, nični in negativni pa majhna. Grafično določene
simetrične komponente potrjujejo to dejstvo.
39
4 VAJA 2 – Električni parametri vodov
4.1 Navodila za vajo
Za daljnovod napetosti 750 kV v Južni Afriki z vodniki 6 x Al/Fe 490/65 mm 2 in zaščitno vrvjo
Al/Fe120/70 mm2 določite naslednje parametre:
direktno upornost R1 (),
nično upornost R0 (),
direktno reaktanco X1 (),
nično reaktanco X0 (),
direktno kapacitivnost C1 (F),
nično kapacitivnost C0 (F),
polnilno moč QP (Mvar),
naravno moč Pn (MW),
karakteristično impedanco ZC () in
termično moč Sth (MVA) za trajno in kratkotrajno obremenitev.
Daljnovod je dolg 400 km.
ZV1
1
az
a1
h1
ZV2
az
2
3
a3
h2
hz
h3
Slika 26: Prečni prerez daljnovoda
Geometrijski podatki:
a1=18 m
a2=0 m
a3=18 m
h1=35 m
h2=35 m
h3=35 m
aZ=5 m
hZ=40 m
f=20.0 m (poves)
40
4.2 Potrebne enačbe za izračun
4.2.1
impedanca, admitanca (na enoto dolžine)
Model voda s koncentriranimi parametri je mogoče predstaviti z nadomestnim T ali π vezjem.
Navadno se uporablja π vezje, ki ga prikazuje slika 27.
1
Z
I
U1
2
Y
2
Y
2
U2
Slika 27: Nazivni π model voda s koncentriranimi parametri
Parametri π člena daljnovoda so upornost R, reaktanca X, susceptanca B in prevodnost G. Po navadi
jih podajamo na enoto dolžine (Ω/m), kar označimo s črtico ali pa z malo pisano črko. Serijska
impedanca in prečna admitanca sta definirani kot:
Z ' R ' jX '
Y ' G ' jB '
4.2.2 Ohmska upornost (rezistanca)
Omsko upornost za vodnik izračunamo s pomočjo enačbe:
R'
A
(Ω/m)
kjer je A električni aktivni prerez vodnika (mm2) ter ρ specifična omska upornost (Ω mm2/m), ki je
odvisna od vrste materiala. Pri vrvi Al/Je upoštevamo le prerez Al. Aluminij ima prevodnost veliko
večjo od železa, zato predpostavimo, da ves električen tok teče samo po aluminiju. Ta predpostavka
sicer ne drži popolnoma, saj del električnega toka teče tudi po jeklu, vendar s to poenostavitvijo ne
naredimo velike napake.
Tabela 13: Specifična ohmska upornost materialov
material
ρ nΩ m
Cu
Al
Je
AlMg1
AlMgSi
16,8
28,2
220
35,5
36,0
41
4.2.2.1 Simetrične komponente upornosti
Pri izračunih nas zanimajo direktna upornost, inverzna upornost in nična upornost.
Direktna upornost je definirana kot:
R1' R2'
Al
AAl
in nična upornost kot:
R0' R1' 3 Rzem' .
Ker trifazni daljnovodi nimajo nevtralnega vodnika, nastopajo nične komponente tokov le pri
zemeljskih stikih. Zanimivo je, da pri nizkih frekvencah ohmska upornost zemlje ni odvisna od
specifične prevodnosti tal, temveč le od obratovalne frekvence. Zapišemo lahko:
Rzem' f 103
Ω/km
R0' R1' 0,15
Ω/km .
in dobimo:
f 50 Hz : Rzem' 0,05 Ω/km
4.2.3 Induktivnost (reaktanca)
Induktivnost znotraj vodnika:
1
Ln ' 104
2
H/km
Induktivnost zunaj vodnika (do vodnika na razdalji d):
d
Lz ' 2 104 ln
H/km
rv
pri čemer moramo upoštevati, da je dejanski radij vodnika rv enak:
rv
1,3 A
2
kjer je A celotni presek (AAl + AFe).
Skupna induktivnost je nato:
1
d
L ' Ln ' Lz ' 2 104 ln
rv
4
1
ln e0,25
4
H/km
1
d
d
L ' 2 104 ln 2 104 ln
rv
re
4
42
H/km
V izrazu za izračun induktivnosti nastopa člen re , ki ga imenujemo ekvivalentni polmer in ga
izračunamo z množenjem dejanskega radija faznega vodnika z ekvivalentnim faktorjem. Z
ekvivalentnim polmerom smo v koeficient lastne indukcije vključili še notranjo induktivnost vodnika.
Daljnovodne vrvi so sestavljene iz večjega števila žic, kar vpliva na re . Velja enačba:
re n d11...dnn ,
2
kjer je n število žic in d razdalja med vodniki. Podatke za re razberemo iz tabel (glej tabelo 14).
Zaradi boljših mehanskih lastnosti notranji del vodnika vsebuje jeklene vrvi (glej sliko 28), ki pa so
slabši prevodnik kot aluminij. Vrvi so v spirali in vsak sloj ima drugačno smer, da se sklopi boljše držijo
skupaj. Pletene vodnike se uporablja zaradi boljše prožnosti in lažje izdelave. Slaba lastnost pletenih
vrvi pa je, da se upornost vodnika poveča, ker so zunanji vodniki daljši zaradi spiralaste oblike.
Dva sloja vrvi iz aluminija
(spiralno v različnih smereh)
Notranjost vodnika iz
jeklenih vrvi
Slika 28: Pleteni vodnik
Za polni vodnik velja:
L ' 2 104 ln
d
re
pri čemer je re rv e0.25 0,779 rv
H/km
(aproksimacija s cevjo s tanko steno).
Za pleteno vrv velja:
L ' 2 104 ln
d
re
H/km
re= fe rv (faktor fe odčitamo oz tabele).
Tabela 14: Ekvivalentni polmer daljnovodnih vrvi glede na njihove geometrijske polmere
prerezi (mm2)
št. plasti
fe
50/30, 75/80, 95/55, 120/70
1
0,55 – 0,700
vrvi:
70/12, 360/57
2
0,809
Al/Fe
170/40, 240/55, 350/80, 490/110
3
0,826
AlMg1/Fe
490/65
3
0,810
10 – 50
0,726
vrvi
70 – 120
0,758
Al, Je, Cu in
150 – 185
0,768
AlMg1
0,772
240 – 500
masivni vodnik
0,779
43
Če je posamezna faza sestavljena iz snopa večjega števila vrvi (glej sliko 29), moramo polmer vodnika
nadomestiti z ekvivalentnim polmerom snopa.
a
rd
2rv
n=8
Slika 29: Snopasti vodniki
Za snopasti vodnik iz dveh ali več vrvi velja:
L ' 2 104 ln
d
res
H/km
n
res n rv aii n n re rdn 1 .
i 2
kjer je re ekvivalentni radij enega faznega vodnika, a razdalja med vodniki (v večini primerov je to
standardna razdalja 40 cm) in rd radij, po katerem so razporejeni vodniki
rd
a
2sin
.
n
Za različno število vodnikov v snopu lahko zapišemo enačbe:
2 vrvi v snopu: res
re a
3 vrvi v snopu: res 3 re a2
4 vrvi v snopu: res 4 re a 2
3
Z uporabo snopastih vodnikov se zmanjša jakost električnega polja na površini vodnika, kar ima za
posledico zmanjšanje korone. Poveča se tudi ekvivalentni radij in s tem zmanjša induktivnost. Če
želimo povečati ekvivalentni radij, lahko to storimo tudi z uporabo različnih vodnikov. ACSR
vodnikom (Aluminium conductor with steel reinforcment) se med jeklenim jedrom aluminijastem
plaščem npr. doda različne materiale iz vlaknin, s čimer povečamo ekvivalentni radij.
44
4.2.4 Induktivnost pozitivnega in negativnega sistema za trifazni vodnik
Za izračun direktne induktivnosti veljata enačbi:
d
L1 ' 2 104 ln
H/km
re
L1 ' 2 104 ln
dsr
re
vod simetričen (enake razdalje med vodniki)
H/km
vod ni simetričen.
Poleg upoštevanja ekvivalentnih polmerov vodnikov in snopastih vodnikov, moramo pri trifaznih
vodnikih upoštevati še razdalje med faznimi vodniki. V primeru, da vod ni simetričen, moramo za
izračun induktivnosti izračunati srednjo geometrijsko razdaljo, ki je:
d sr 3 d ab d bc d ac
Razdalje d , d ab , dbc in d ac so prikazane na sliki 30.
c
d
d
dac
d
dbc
dab
a
a
b
b
c
Slika 30: Simetrični in nesimetrični trifazni sistem
Za izračun direktne reaktance trifaznega vodnika moramo moramo induktivnost L ' pomnožiti z :
X1 ' L ' 2 f 2 104 ln
X1 ' 0,1445 log
dsr
re
dsr
re
Ω/km
Ω/km .
4.2.5 NIČNA REAKTANCA brez zaščitne vrvi:
Najprej izračunamo nično reaktanco kot, da zaščitne vrvi ni. Šele nato jo z izrazi v nadaljevanju
korigiramo z upoštevanjem zaščitne vrvi.
dc
X 0 ' 3 0,1445 log
3 r d 2
e
sr
kjer je
3
re dsr 2
ekvivalentni radij celotnega 3f voda in dc carsonova razdalja, ki nam pove kako
globoko v odvisnosti od specifične upornosti tal segajo magnetne silnice v zemljo. Upornost zemlje
odčitamo iz tabele.
dc 93,1 z
dc 658
45
z
f
Pri čemer je ρz upornost zemlje. Upornost zemlje je odvisna od terena. Približni podatki so podani v
tabeli 15. Če ni drugače navedeno, upoštevamo povprečno vlažno zemljo.
Tabela 15: Upornost zemlje v odvisnosti od terena
teren
ρz [Ωm]
dc [m]
voda
0.01 – 1
9.5 – 95
močvirje
10-100
300-950
povprečno vlažna zemlja
100
930
suha tla
1000
3000
7
škrilavec
10
0.3*106
peščenjak
109
3*106
4.2.6 SIMETRIČNE KOMPONENTE IMPEDANCE brez zaščitne vrvi
Sedaj imamo vse potrebne podatke za izračun direktne in nične impedance brez zaščitne vrvi:
Z1 ' R ' j 0,1445 log
dsr
re
dsr 3 dab d bc dac
Z0 ' R ' 3Rzem ' j 3 0,1445 log
dc
3
dsr 2 re
Ker vemo, da je izraz za matriko simetričnih impedanc enak:
Zl 2Zm
ZS 0
0
sledi:
0
Zl Zm
0
0
0
Zl Zm
Z0 Zl 2Zm
Z1 Z2 Zl Zm
kjer so Z0 nične impedanca, Z1 direktna impedanca, Z2 inverzna impedanca, Zl lastna impedanca
in Zm medsebojna impedanca. Iz teh dveh izrazov lahko določimo še lastno in medsebojno
impedanco, ki ju potrebujemo pri izračunu simetričnih impedanc z zaščitno vrvjo:
Zl ' R ' Rzem ' j 0,1445 log
Zm ' Rzem ' j 0,1445 log
46
dc
dsr
dc
re
4.2.7 SIMETRIČNE KOMPONENTE IMPEDANCE z zaščitno vrvjo
Zaščitna vrv je ozemljena, zato se v njej pojavljajo nični tokovi. Zaščitna vrv zato vpliva le na nično
impedanco, obratovalna impedanca ostane nespremenjena. Zapišemo korekcijo nične impedance
zaradi zaščitne vrvi:
Z0 z ' Zl ' 2Zm ' 3
Zzm '2
Z '2
Z0 ' 3 zm
Zz '
Zz '
Zz ' Rzv ' Rzem ' j 0,1445 log
Zzm ' Rzem ' j 0,1445 log
Kjer je
3
dc
rez
dc
3
dazv dbzv dczv
dazv dbzv dczv srednja geometrijska razdalja med vodniki in zaščitno vrvjo. Razdalje d azv ,
dbzv in d czv so razdalje med vodniki in zaščitno vrvjo, Zz ' lastna impedanca zaščitne vrvi in Zzm '
medsebojna impedanca zaščitne vrvi na enoto dolžine.
4.2.8 Kapacitivnost
Podobno kot pri upornostih in reaktancah, želimo določiti simetrične komponente kapacitivnosti
C0 ' , C1 ' in C2 ' . Kapacitivnost je snovno-geometrijska lastnost prostora. Povsod kjer lahko
določimo napetost med dvema prevodnima površinama in kjer obstaja električna povezava, imamo
kondenzator. Vodniki proti zemlji in med seboj tvorijo kondenzator na katerem se nabere elektrina
(glej sliko 31). Pri sistemu vodnik-zemlja tvori zemlja isto polje kakor zrcalna slika vodnika.
L3
CV'
CV'
L1
L2
CV'
C Z'
C Z'
C Z'
Slika 31: Delne kapacitivnosti pri enosistemskem vodu brez zaščitne vrvi
Izraz za kapacitivnost voda je naslednji:
C'
2
d
ln sr
rec
1
F/km
d
10 18 ln sr
rec
6
47
pri čemer za enojne vodnike velja, da je rec rv
(drugače kot pri računanju induktivnosti!). V
primeru snopastih vodnikov velja enačba:
rec n n rv rdn 1
Pogosto se uporablja kapacitivna prevodnost:
b ' C '
7,58 106
d
log sr
rec
S/km
4.2.9 Simetrične komponente kapacitivnosti
Pri izračunu simetričnih komponent kapacitivnosti moramo upoštevati tudi razdalje do navideznih
vodnikov, kar prikazuje slika 32.
dij2 (hi h j )2
b
i
dcb
c
dab
dac
dij
a
(hi h j )
j
hi
Hcc
Hab
Hac
Haa
c‚
Hij
Hii
Hbb
a
H jj
‚
j
b
‚
i
‚
Slika 32: Geometrija voda
Najprej izračunamo:
dsr – srednjo geometrijsko razdaljo med vodniki,
Hl – srednjo lastno razdaljo vodnikov do zrcalne slike,
Hm – srednjo medsebojno razdaljo vodnikov do zrcalne slike.
48
‚
dsr 3 dab d bc dac
Hl 3 Haa Hbb Hcc
Hm 3 Hab Hbc Hac
Haa 2ha
Za višino vodnika vzamemo višino obesišča zmanjšano za 2/3 povesa:
2
h hoz f .
3
Višine do zrcalnih slik določimo enostavno z uporabo Pitagorovega izreka:
Hij 2 (h j hi )2
dij2 (h j hi )2
2
Srednja lastna razdalja vodnikov do zrcalne slike je tako:
Hij 4h j hi dij2
Sedaj imamo vse potrebne podatke za izračun direktne kapacitivnosti in nične kapacitivnosti brez
zaščitnega vodnika:
C1 ' C2 '
106
d H
41,4 log sr l
rec Hm
F/km
Vidimo, da se prispevek zemlje nahaja v dveh veličinah, to sta Hl in Hm. Višji kot je daljnovod manjše
so razlike med tema dvema členoma (glej sliko 32) in s tem je manjši vpliv zemlje. V primeru, da sta
izraza enaka, ju lahko okrajšamo in dobimo osnovno enačbo za kapacitivnost voda.
Nična kapacitivnost brez zaščitnega vodnika:
106
C0 '
3 H2H
m l
41,4 3 log
3 r d2
sr
ec
F/km
Z upoštevanjem zaščitnega vodnika moramo enačbo za nično kapacitivnost nekoliko korigirati.
Upoštevamo podatke iz tabele 16 in dobimo:
C0 '
106
3 H2H
m l
41,4 3 log
3 r d2
sr
ec
2 H zm
log d
zm
log H z
rezc
49
F/km
Tabela 16: Geometrijski parametri z upoštevanjem zaščitne vrvi
veličina
1 zaščitna vrv
2 zaščitni vrvi
H zm
3
H az H bz H cz
6
H az1 H bz1 H cz1 H az2 H bz2 H cz 2
d zm
3
d az d bz d cz
6
d az1 d bz1 d cz1 d az2 d bz2 d cz 2
Hz
H zz
H z1 H z 2
rezc
rz
rez dz1z 2
Izraz rezc , ki se nahaja v tabeli, predstavlja ekvivalentni radij snopa zaščitnih vodnikov za izračun
kapacitivnosti. Izraz
H z1 H z 2 predstavlja povprečno višino dveh zaščitnih vrvi.
4.2.10 Polnilna moč voda
Polnilna moč voda je moč, ki se akumulira v kapacitivnostih:
MVar/km
QC ' b ' Un2
4.2.11 Karakteristična impedanca voda
Ko je vod priključen na nazivno napetosti in je na bremenski strani priključena karakteristična
impedanca, teče v vod naravna moč. V takem primeru ne prejema in ne oddaja reaktivne moči,
napetost vzdolž voda je konstantna (glej sliko 33).
ZC
Uf
I
x
L
b
C
če upoštevamo L in C, dobimo:
ZC 60 ln
dsr
rec
4.2.12 Naravna moč voda
Pn 3
U 2f
ZC
U n2
ZC
50
Kapacitivni
značaj voda
P Pn
Induktivni značaj
voda
napetost
P Pn
P Pn
dolžina
Slika 33: Napetost vzdolž voda v odvisnosti od moči bremena
4.2.13 Termična obremenljivost
Nadzemne in kabelske vode lahko obremenimo največ do meje njihove termične obremenljivosti.
Termično obremenljivost določa maksimalna temperatura, pri kateri vodnik lahko obratuje brez
trajnih posledic na prevodnem vodniku in na izolaciji. Pri izračunih termične obremenljivosti se pri
kratkih vodih kot kriterij upošteva samo največja dovoljena temperatura vodnika, pri dolgih vodih pa
se upoštevajo še drugi kriteriji, kot so na npr. stabilnostne meje, padci napetosti in stroški izgub
električne energije.
Maksimalna temperatura vodnika je definirana z maksimalnimi dovoljenimi izgubami natezne
trdnosti vodnika v času celotne življenjske dobe.
Maksimalna temperatura vodnika je odvisna od:
•
tokovne obremenitve,
•
električnih karakteristik in
•
atmosferskih vplivov (sonce, veter).
Za izračun maksimalnega toka je potrebno torej upoštevati več parametrov. Velja, da je pridobljena
toplota enaka oddani toploti:
Pj Pm Pi Ps Pr Pc Pw ,
pri čemer so:
Pj joulske izgube,
Pm izgube magnetenja,
Ps segrevanje zaradi obsevanja sonca,
Pi izgube zaradi korone,
Pr oddana moč s pomočjo toplotnega sevanja,
Pc oddana moč s pomočjo konvekcije,
Pw oddana moč zaradi izhlapevanja.
51
Na podlagi vseh moči je določen maksimalni tok. Shranjena toplota v prevodniku je razlika med
pridobljeno in oddano toploto. Enačbe so v večini primerov empirično določene in jih najdemo v
priročnikih in znanstvenih člankih, saj bi bila analitična izpeljava prezahtevna (Na joulske izgube npr.
vpliva upornost vodnika, ki se zaradi kožnega pojava spremeni in jih določimo z aproksimacijo.
Ohlajanje vodnika s pomočjo konvekcije je npr. odvisno od hitrosti vetra in tudi njegove smeri.
Prispevek PW je odvisen vremena (npr. vlage) vendar se ga po navadi niti ne upošteva.). Primer
električnega vodnika po katerem teče tok I in je izpostavljen zunanjim vplivom prikazuje slika 34.
Vesoljna ali difuzna
solarna radiacija
Imaginarna meja, ki
predstavlja vesolje
Sonce
Difuzno sevanje
Radiacijsko
odvajanje toplote
Direktna solarna
radiacija
PR
PV
Pb
H
Veter
Joulsko segrevanje
vodnika
Pj
Ps
Neabsorbirani del
toplote vodnika
Pc
2
RI
Konvekcijsko odvajanje
toplote
Solarni prispevek
Slika 34: Električni vodnik po katerem teče tok I in je izpostavljen zunanjim vplivom
Pri nadzemnih vodih je zato maksimalni tok določen v večji meri s prispevkom upornosti vodnika in
odvedeno toploto. Toplota, ki se akumulira v vodniku (joulske izgube) je lahko odvedena samo preko
površine vodnika s konvekcijo in sevanjem, kar predstavlja enačba:
I 2R S(Pr Pc )
W
pri čemer je R upornost, I tok in S površina vodnika.
V našem primeru bomo maksimalni tok računali po enačbi:
Imax Ith
s
Pr Pc
R '
52
Pr 115 a max a
1000
3
Pc
181 v
a
Ith
0,123
2 rv
2 rv
R '
max a
3
181 v
a
115
max a
0,123
1000 a 2 rv
[A]
kjer so:
R ' ohmska upornost [Ω/km]
Al
1 max 293K
A
4 103
R '
v
a temp. okolice v K (indeks a kot ambient)
rv dejanski polmer vodnika
max maksimalna temperatura vodnika v K
hitrost vetra (0,6 m/s )
rv
1,3 A
2
A = (AAl + AFe)
Zunanja temperatura ima velik vpliv na segrevanje vodnikov, zato pri izračunih podajamo maksimalne
tokove oz. termične moči za poletje kot tudi zimo. Temperature, ki jih upoštevamo podaja tabela 17.
Tabela 17: Temperature, ki se upoštevajo pri izračunih termičnih tokov.
zima
poletje
a =15 0C
a =30 0C
trajni režim:
max =60 0C
max =60 0C
začasni (20 min)
max =75 0C
max =75 0C
Na koncu izračunamo še maksimalno termično moč, ki je:
Sth 3UnIth
Pri računanju moči moramo biti pozorni, da uporabimo enačbo za trifazni sistem.
53
4.3 Izračuni
Izračun geometrije voda:
razdalja med vodnikom 1 in vodnikom 2 d12
h1 h2
razdalja med vodnikom 2 in vodnikom 3 d23
h2 h3 a2 a3
razdalja med vodnikom 1 in vodnikom 3 d13
h1 h3
2
a1 a2 18 m
2
2
2
2
18 m
a1 a3 36 m
2
Srednja geometrijska razdalja med vodniki:
dsr 3 d12 d23 d13 22,68 m
Izračunamo dejanski radij faznega vodnika:
rv
1,3 AAl AFe
2
15,31 mm
Izračunamo ekvivalenti radij faznega vodnika. Faktor, ki smo ga pri tem izbrali, znaša 0,81. Za
podani prerez faznega vodnika velja:
re fe rv 0,81 rv 12,40 mm
Poleg ekvivalentnega radija moramo v primeru snopastih vodnikov polmer vodnika
nadomestiti z ekvivalentnim polmerom snopa. Za snopaste vodnike velja:
rd
a
2sin
400 mm
n
pri čemer je n = 6 (št. vodnikov v snopu) in a = 400 mm, kar je običajna vrednost.
Izračunamo ekvivalenti radij snopa šestih faznih vodnikov (6x Al/Je 490/65 mm2):
res n re n rdn 1 302,23 mm
Carsonova razdalja je razdalja, kjer se nahaja ekvivalentni vodnik, ki nadomesti zemljo, ki v tem
primeru predstavlja impedanco, preko katere se zakjuči tokokrog. Izračunamo Carssonovo
razdaljo:
dc 93,1 zem 2944 m ,
pri čemer je zem 1000 Ωm ker gre za suho zemljo (lokacija daljnovoda v Južni Afriki).
Na enak način kot pri izračunu ekvivalentnega radija faznih vodnikov in snopa storimo to še pri
zaščitnih vrveh. Izračun dejanskega radija zaščitnega vodnika:
54
rvz
1,3 AAlz AFez
8,96 mm
2
Izračunamo ekvivalenti radij zaščitnega vodnika. Iz tabele razberemo, da je najprimernejši
faktor 0,7. Za podani prerez zaščitnega vodnika velja:
rez fez rvz 0,7 rvz 6,27 mm
Ker imamo dve zaščitni vrvi (kot snop) izračunamo:
dz
rdz
2sin
5000 mm
nz
pri čemer je dz 2 az 1000 (v mm) in nz 2 – število zaščitnih vrvi.
Izračunamo ekvivalenti radij snopa dveh zaščitnih vodnikov:
resz nz rez nz rdz nz 1 250,43 mm
Izračunamo razdalje vodikov do zaščitne vrvi:
d1z 2 d3 z1
h1 hz a1 az
d1z1 d3 z 2
h3 hz
d2z1 d2z 2
h2 hz a2 az
2
2
2
23,54 m
a3 az 13,93 m
2
2
2
7,07 m
in dobimo srednjo razdaljo med vodniki in zaščitno vrvjo
dsrz 6 d1z1 d2z1 d3z1 d1z 2 d2z 2 d3z 2 13,24 m
4.3.1 Direktna impedanca
Z1 ' R1 ' j X1 '
Z1 ' R1 ' j 0,1445 log
dsr
res 0,001
4.3.1.1 DIREKTNA OHMSKA UPORNOST
Pri izračunu direktne ohmske upornosti upoštevamo le aktivni prerez vrvi. Torej, če je vodnik
pleten iz Al/Fe, upoštevamo le presek aluminija, če pa je smo jeklena vrv, upoštevamo seveda
samo jeklo.
R1 '
Al
0,0096 Ω/km
AAl n
R1 R1 ' l 3,84 Ω
kjer je A električni aktivni prerez vodnika (mm2) ter ρ specifična omska upornost (Ω mm2/m).
55
4.3.1.2 DIREKTNA REAKTANCA
X1 ' 0,1445 log
dsr
0,271 Ω/km
res 0,001
X1 X ' l 108,4 Ω
Z1 3,84 j108,4 Ω
4.3.1.3 NIČNA IMPEDANCA (brez zaščitne vrvi)
Z0 ' R0 ' j X0 '
Najprej izračunamo nično impedanco brez upoštevanja zaščitne vrvi:
Z0 ' R ' 3Rzem ' j 3 0,1445 log
R ' 0,15 j 0,1445 log
dc
3
dsr res 0,001
2
dc 3
dsr 2 res 0,001
R0 ' R ' 0,15 0,160 Ω/km
X 0 ' 0,1445 log
dc 3
1,187 Ω/km
dsr 2 res 0,001
Z0' 0,160 j1,187 Ω/km
Z0 63,8 j 474,8 Ω
4.3.1.4 NIČNA IMPEDANCA (z zaščitno vrvjo)
Pri izračunu ohmske upornosti zaščitne vrvi upoštevamo le aktivni prerez vrvi. Torej, če je
vodnik pleten iz Al/Fe, upoštevamo le presek aluminija, če pa je smo jeklena vrv, upoštevamo
seveda samo jeklo.
Rz '
Al
0,1175 Ω/km
AAlz nz
X z ' 0,1445 log
dc
0,588 Ω/km
resz 0,001
lastna impedanca zaščitne vrvi:
Zz ' Rz ' Rzem ' j 0,1445 log
medsebojna impedanca zaščitne vrvi:
56
dc
0,168 j 0,588 Ω/km
resz 0,001
Zzm ' Rzem ' j 0,1445 log
dc
0,05 j 0,34 Ω/km
dsrz
nična impedanca voda:
Z0Z ' Z0 ' 3
Zzm '2
0,151 j 0,611 Ω/km
Zz '
Z0Z Z0Z ' l 60,31 j 244,23 Ω
4.3.2 Izračun kapacitivnosti
2
Najprej je potrebno izračunati geometrijo voda. Pri izračunih operiramo z 3 celotnega povesa.
Izračun reduciranih višin vodnikov:
h1f h1 32 f 21,67 m
H11 2 h1f 43,33 m
h2f h2 32 f 21,67 m
H22 2 h2f 43,33 m
h3f h3 32 f 21,67 m
H33 2 h3f 43,33 m
Srednja lastna razdalja vodnikov do zrcalne slike:
HL 3 H11 H22 H33 43,33 m
H12 4h1f h2f d122 46,92 m
H13 4h1f h3f d13 2 56,34 m
H23 4h2f h3f d 23 2 46,92 m
Srednja medsebojna razdalja vodnikov do zrcalne slike:
HM 3 H13 H12 H23 49,872 m
Pri izračunu ekvivalentnega radija snopa faznega vodnika upoštevamo samo dejanski radij
faznega vodnika rv, kar je drugače kot pri računanju induktivnosti! Ekvivalentni radij faznega
vodnika za izračun kapacitivnosti je tako:
n 1
rec n rv n rd
313,03 mm
Srednja lastna razdalja zaščitnih vodnikov do zrcalne slike
hZf hZ 32 f 26,67 m
HZZ 2 hZf 53,33 m
57
H1z1 H3 z 2 4h1f hzf 1 d1z12 50,05 m
H1z 2 H3 z1 4h1f hzf 2 d1z 22 53,53 m
H2 z 2 H2 z1 4h2f hzf 1 d 2 z12 48,60 m
Srednja geometrijska razdalja vodnikov do zrcalne slike zaščitnega vodnika:
Hzm 6 H1z1 H1z 2 H2z1 H2z 2 H3 z1 H3 z 2 50,681m
Ekvivalentni radij zaščitnega vodnika za izračun kapacitivnosti:
rezc nz rvz nz rdz nz 1 299,33 mm
4.3.2.1 DIREKTNA KAPACITIVNOST VODA
C1 '
103
13,427 nF/km
dsr
HL
41,4 log
r
0,001
HM
ec
C1 C1 ' l 5,37 μF
4.3.2.2 NIČNA KAPACITIVNOST VODA
C0'
103
3
HM2 HL
41, 4 3 log
3 r 0, 001 d 2
sr
ec
H
log2 zm
d zm
log HZZ
rezc 0, 001
10,181 nF/km
C0 C0' l 4,072 μF
4.3.3 POLNILNA IN NARAVNA MOČ, KARAKTERISTIČNA IMPEDANCA:
b ' C '
7,58 106
4,075 106 S/km
dsr
log
rec 0,001
4.3.3.1 POLNILNA MOČ
Qp ' b ' Un2 2,292 MVAr/km
Qp Qp ' l 916,92 MVAr
58
4.3.3.2 KARAKTERISTIČNA IMPEDANCA
ZC 60 ln
dsr
256,973 Ω
rec 0,001
4.3.3.3 NARAVNA MOČ
Pn
Un2
2188,9 MW
ZC
4.3.4 TERMIČNI TOK VODA IN MOČ
Dodatni (standardni) podatki, ki jih potrebujemo pri izračunu so:
v = 0,6
α = 4 10-3
hitrost vetra (m/s)
temperaturna odvisnost upornosti (1/K)
a
temperatura okolice:
poleti
pozimi
303 K (30C)
288 K (15C)
max
maksimalna temperatura vodnika:
nf
trajno
333 K (60C)
kratkotrajno 348 K (75C)
število vrvi v snopu (ena faza)
R ' R ' (1 α(max 293 )) nf
4.3.4.1
TERMIČNI TOK
Ith
4.3.4.2
2 rv
R '
3
181 v
a
115
max a
1000 0,123
2
r
a
v
TERMIČNA MOČ
Sth
Kombinacije:
Ith Un 3 nf
1000
(MVA)
poletje, trajno obratovanje ( a = 303K, max = 333 K)
poletje, kratkotrajno obratovanje ( a = 303K, max = 348 K)
zima, trajno obratovanje ( a = 288K, max = 333 K)
zima, kratkotrajno obratovanje ( a = 288K, max = 348 K)
59
(A)
Tabela 18: Temperature, ki jih je potrebno upoštevati glede na sezono in čas trajanja obremenitve.
ZIMA
POLETJE
trajna obremenitev
a =15 0C, max =60 0C, R'60
a =30 0C, max =60 0C, R'60
kratkotrajna obremenitev
a =15 0C, max =75 0C, R'75
a =30 0C, max =75 0C, R'75
Glede na zgornjo tabelo vstavimo vrednosti v enačbo za tok in moč. Izračunani tokovi in moči so v
spodnjih tabelah:
Tabela 19: Izračunani termični tokovi
ZIMA
POLETJE
trajna obremenitev
Ith=998,45 A
Ith=825,07 A
kratkotrajna obremenitev
Ith=1124,20 A
Ith=985,34 A
Tabela 20: Izračunane termične moči
ZIMA
trajna obremenitev
kratkotrajna obremenitev
Sth=7782 MVA
Sth=8762 MVA
60
POLETJE
Sth=6431 MVA
Sth=7680 MVA
5 VAJA 3 – Oblikovanje daljnovoda
5.1 Navodila za vajo
Daljnovod nazivne napetosti 220 kV križa plinovod po spodnji skici. Izračunati je potrebno montažno
krivuljo za razpetino “s” in za uporabljene vrvi Al/Je 490/65 mm2. Določiti je potrebno tudi višino
križnih stebrov 2 in 3 do spodnjih obesišč vodnikov.
c2
c2
c
c1
c1
b
s1
s2
s
Slika 35: Skica trase
Tabela 21: Podatki
U
kV
220
Prečkamo
plinovod
s1
m
220
s
m
200
s2
m
190
61
c1
m
230
c
m
235
c2
m
240
b
m
120
5.2 Osnovni podatki
Pri izračunu mehanskih parametrov daljnovoda moramo poznati naslednje veličine:
kg
3
m
specifično maso vodnika, ki podaja gostoto materiala na volumen
specifično težo
temperaturni razteznostni koeficient
N
kg
,
3
2
m mm m
1
K
N
modul elastičnosti (prožnostni modul) E
2
mm
natezno trdnost (napetost) snovi
N
. Natezna trdnost je mehanska lastnost
2
mm
materiala, ki določa velikost materiala, pri kateri se vrv strga. Nasproten proces raztezanju je
kompresija.
Vsi ti parametri so odvisni od vrste vodnika, ki je v večini primerov sestavljen iz dveh materialov, to
sta aluminij ali jeklo. Velika večina vrvi je kombiniranih in mednarodno standardiziranih. Tipični
prerezi vodnikov so Al/Je 490/65 mm2, Al/Je 240/40 mm2 itd.
prevodnost
Al
Je
mehanska
trdnost
Slika 36: Presek vodnika
Definirajmo še relativni raztezek, ki ga bomo uporabljali v nadaljevanju:
l
l0
Natezna napetost je sila, ki nateguje vrv (glej sliko 37). Relativni raztezek zaradi natezne napetosti
lahko zapišemo kot:
l
l0
62
E
σ
meja pretrga
σpr
meja
elastičnosti
trajna
deformacija
σe
σp
nelinearno
lin
ea
rn
o
meja
proporcionalnosti
l
l0
Slika 37: Natezni preizkus materiala
Meja proporcionalnosti je tista meja, do katere pri preizkušenem materialu velja še Hookov zakon, ki
podaja raztezek ali skrček prožnega telesa pri deformaciji. V tem območju je raztezek linearno
sorazmeren natezni napetosti. Meja elastičnosti je največja napetost, ki še ne povzroči plastične
deformacije. Po razbremenitvi se preizkušeni material povrne v svoje prvotno stanje in ne pusti
trajne deformacije. Meja pretrga je tista napetost, pri kateri se preizkušeni material zlomi/pretrga.
5.3 Parametri kombiniranih vodnikov
Vodniki so navadno iz dveh materialov, zato je potrebno njihove parametre določiti iz obeh
materialov. Pri tem predpostavimo, da se vodnika enako raztezata med seboj, torej je lepljenje med
Al in Je tolikšno, da ne prihaja do medsebojnih premikov, zato lahko zapišemo:
A Al AAl Je AJe .
Produkt specifične teže kombinirane vrvi in celotnega preseka vrvi je enak vsoti posameznih
produktov za aluminij in jeklo. Neznan podatek je specifična teža kombinirane vrvi, ki jo zapišemo
kot:
Al AAl Je AJe
AAl AJe
Je Al N
mm2m .
1
Pri čemer je prerezno razmerje, definirano kot:
AAl
.
AJe
Na podoben način izpeljemo enačbe za modul elastičnosti in temperaturni koeficient kombinirane
vrvi:
63
E
EJe E Al N
mm2 ,
1
JeEJe Al EAl 1
K .
E 1
Poleg relativnega raztezka zaradi natezne napetosti nastopa tudi relativni raztezek zaradi
temperature. V tem primeru predpostavimo, da pri izdelavi vrvi nastopa nevtralna temperatura
15 15 o C , pri kateri ne nastopajo natezne napetosti med jeklenim jedrom in aluminijastem
plaščem. Sprememba dolžine vrvi zaradi temperature je:
l
l0
..
Relativni raztezek vrvi je vsota obeh raztezkov, zaradi natezne napetosti in temperature:
Zaradi predpostavke, da ni medsebojnih premikov med materialoma, lahko zapišemo:
Al , Al , Je, Je, ,
15 Al Al 15 .
E Al
E
Dalje lahko izračunamo natezno napetost celotne vrvi v odvisnosti od temperature in natezne
napetosti v aluminijastem plašču.
Al 15 E
E
Al .
EAl
Natezna napetost
je pravokotna na prerez,
ima samo smer tangente na vodnik in se vzdolž vodnika spreminja,
je odvisna od teže vrvi, sile napenjanja in dodatnih vplivov (temperatura, veter, vibracije in
dodatno zimsko breme).
Slika 38 prikazuje vektor natezne napetosti, pri čemer sta H horizontalna in V vertikalna
komponenta vektorja natezne napetosti.
64
H
V
Slika 38: Vektor natezne napetosti
Natezna napetost je največja pri dodatnem zimskem bremenu pri -5 °C. V Sloveniji je normalna
dodatna obtežba na dolžinski meter vodnika enaka dodatni obtežbi, ki se na določenem mestu
pojavlja povprečno vsakih pet let. Dopustno natezno napetost računamo za ekstremna stanja, to je:
pri temperaturi -20 °C in
pri temperaturi -5 °C z dodatnim zimskim bremenom.
in jo za kombinirano vrv izračunamo z enačbo:
'dop Al 15 E
E
Al ,dop
EAl
'dop se nanaša na horizontalno komponento, ki je enaka po celotni razpetini. Podatek za Al ,dop
razberemo iz tabele in znaša 60 N/mm2.
dop se ne sme prekoračiti, zato pri določenih objektih uporabljamo varnostni faktor, ta je za:
ceste dop 'dop ,
avtoceste, plovne reke, gosto naseljene kraje dop 0,75 'dop ,
in železnice dop 0,85 'dop .
Pri računanju parametrov vodnika ne smemo izpustiti vpliva dodatnega zimskega bremena (sneg,
žled), ki ga upoštevamo kot dodatno obremenitev na meter vodnika (dodatna specifična teža) in ga
zapišemo kot:
D
2
A
3
(
4
N
)
mm2m
Pri računanju nato upoštevamo celotno specifično težo. Specifični teži vrvi prištejemo dodatno
specifično težo zaradi zimskega bremena:
C D
Opazimo lahko tudi, da je občutljivost vrvi na dodatno zimsko breme odvisna od njenega preseka. Če
je premer vrvi manjši, je dodatno zimsko breme na enoto prereza večje.
65
5.4 Razpetina, poves in dolžina vodnika v razpetini
Definiramo dva pojma, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju:
razpetina (s) - horizontalna razdalja med dvema obesiščema (ne glede na višino stebrov),
poves (f) - največja navpična razdalja v razpetini in sicer med vodnikom in daljico, ki povezuje
ob obesišči in vedno nastopi na polovici razpetine s/2 (največji poves najnižja točka).
s
s/2
s/2
f
Slika 39: Razpetina in poves pri enakih višinah obesišč
ss
s
sD
s/2
s/2
f
Slika 40: Razpetina in poves pri različnih višinah obesišč
66
5.5 Povesna verižnica
Vodnik se poveša zaradi lastne teže in dodatnih bremen. Obliko vodnika opišemo z enačbo verižnice
oz. verižnico:
y
v d v
dl
h
d
h d h
dl
v
teža
x
Slika 41: Delček verižnice
Enačbe, ki veljajo v ravnotežju:
h h d h 0
v dl v d v 0
Za horizontalno komponento velja:
h h d h 0 d h 0
Kar pomeni, da je horizontalna natezna napetost konstantna v katerikoli točki verižnice.
Rešimo še enačbo za vertikalno komponento; dl lahko zapišemo kot:
2
dy
dl dx dy dx 1
.
dx
2
2
Nadalje lahko zapišemo:
d v
dy
1
.
dx
dx
2
Velja, da je
tg
v dy
dy
v v
,
h dx
dx
zato lahko zapišemo
2
d 2y
dy
h 2 1 .
dx
dx
67
Dobili smo diferencialno enačbo drugega reda. Če se postavimo v izhodišče koordinatnega sistema
(x=0 in y=0), je splošna rešitev diferencialne enačbe enaka:
y a ch
x
a,
a
pri čemer je:
a
h
.
Hiperbolični kosinus (chx) in hiperbolični sinus (shx) lahko razvijemo v vrsto:
x2 x4
...
2! 4!
x3 x5
shx x
...
3! 5!
chx 1
Za razpetine manjše od 400 m vzamemo dva člena in za razpetine večje od 400 m vzamemo tri člene.
Če vzamemo samo prva dva člena, dobimo:
x2
x2
x2
y a 1
a
a
a
.
2a
2a
2! a2
Največji poves nastopi na polovici razpetine:
s
fmax (s ) a ch a ,
2
2a
2
s
2
2
s .
2
8a
fmax
Oglejmo si še enačbo za poves pri različnih višinah obesišč:
y
s
s/2
sd
s/2
h
h
y2
2
2
y2
f
1
yf
y1
0
x1
xf
x2
Slika 42: Različne višine obesišč
68
x
fmax
1
s2
,
cos 8 h
h
sd s
.
2a
Najnižja točka je od sredine oddaljena za xf, kot prikazuje slika 42.
5.5.1 Dolžina verižnice
Glede na sliko 41 lahko zapišemo dolžino vrvi z enačbo:
2
x
x
l
x
dy
dl 1
dx a sh ,
0
0
2
a
dx
pri čemer je:
2
dy
dl dx 2 dy 2 dx 1
.
dx
Celotna dolžina vrvi za razpetino znaša:
x
l 2a sh .
a
Celotna razpetina dolžine verižnice na enakih višinah obesišč je
s
Lv 2a sh
2a
s
s3
2s 3
2a
s
,
3
24 h2
2a 48a
pri čemer je Lv je celotna dolžina vrvi in h napetost s katero smo napeli vrv.
Oglejmo si še razliko med dvema na videz podobnima funkcijama (glej sliko 43):
f(x) = cosh(x)-1 in
f(x) = 1-cos(x)
Pri manjših odmikih sta si krivulji res podobni, vendar se z večanjem razdalje napaka močno poveča.
69
15
y(x)=cosh(x)-1
y(x)=1-cos(x)
10
5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y(x)=cosh(x)-1
y(x)=1-cos(x)
0.4
0.2
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Slika 43: Razlika med funkcijama 1-cosx in coshx-1
5.6 Kritična razpetina
Natezna napetost je odvisna od temperature. Zanima nas kdaj se pojavi dopustna natezna napetost –
določamo jo pri -20 °C in pri -5 °C z dodatnim zimskim bremenom. Kritična razpetina je razpetina, pri
kateri je:
20 5,DB dop ,
pri čemer predstavlja dopustno horizontalno napetost.
Izračunamo kritično razpetino pri čemer upoštevamo dop pri -5 °C in dodatno zimsko breme.
Izpeljava iz klasične položajne enačbe za razmere pri -5 °C poda naslednji izraz:
sk dop
360
D
2
2
,
pri čemer je D dodatno zimsko breme.
Če je dejanska razpetina manjša od kritične, nastopi največja natezna napetost pri -20 °C:
če je s > sk nastopi dop (max) pri -5 °C + DB,
če je s < sk nastopi dop (max) pri -20 °C, (Izračunamo dop pri -20 °C!).
70
Z drugimi besedami – kritična razpetina nam pove kdaj nastopijo najslabše razmere. Če je npr sk=150
m, dejanska razpetina pa je 200 m, nastopi največja natezna napetost (najslabše razmere) pri -5 °C z
dodatnim bremenom.
a)
2
5
-20
b)
[N/m2]
5 db
[N/m ]
5 db
5
s > sk
-5 0
+40
[° C]
-20
s = sk
-5 0
+40
[° C]
Slika 44: Natezna napetost vrvi v odvisnosti od temperature
5.7 Kritična temperatura
Kritična temperatura je tista temperatura, pri kateri je poves enak povesu pri -5 °C z dodatnim
zimskim bremenom:
k
5DB D
5 °C .
E D
Če je poves pri kritični temperaturi manjši kot pri predpostavljeni največji temperaturi (npr 40 °C),
določamo največji poves pri predpostavljeni največji temperaturi. V nasprotnem primeru, ko kritična
temperatura presega največjo temperaturo, računamo poves pri kritični temperaturi oz. pri
temperaturi -5 °C z dodatnim bremenom.
f
[m]
f
a)
f-5+db
[m]
f-5+db
f-5
f-5
k 400 C
-20
-5 0
b)
k 400 C
k
40 [° C]
-20
-5 0
Slika 45: Poves vrvi v odvisnosti od temperature
5.8 Klasična položajna enačba
Podaja vrednosti za (ali poves f) v odvisnosti od temperature:
, f F ( ) .
71
40
k [° C]
Ti podatki so za različne temperature podani v montažni tabeli, ki jo moramo določiti. Klasična
položajna enačba ima obliko:
3 m 2 n2 ,
pri čemer so:
s
cos
s (c2 c1 )2
2
n s
,
E cos
.
24
Koeficient n je konstanten (neodvisen od temperature).
m
s 2E cos 02
( 0 )E cos dop (N/mm2).
2
24 dop
Če je kritična razpetina manjša od dejanske (s > sk) velja v enačbi za koeficient m naslednje:
0 = -5 C
0 c D
dop dop 5°C
Če je (s < sk) pa velja:
0 = -20 C
0
dop dop 20°C
Natezno napetost dobimo z rešitvijo polinoma : 3 m 2 n2 (N/mm2). Rešitev lahko podamo
analitično ali numerično.
Analitična rešitev: Polinom lahko rešimo z analitično rešitvijo:
1
2
n 2
1/ 3
1
1
3
3
m
n 27n 2 4m 3
27
18
1/ 3
1
1
3
3
1
n2
m n 27n 2 4m 3
27
18
2
Nato izračunamo poves iz enačbe:
f
s 2
(m).
8
72
1
m
3
Če je kritična temperatura večja od predpostavljene največje (k > 40 °C), je največji poves pri:
f
s 2
8 5 °C
Če je kritična temperatura manjša od predpostavljene največje (k < 40 °C), je največji poves pri:
f
s 2
8 40 °C
Iteracijski postopek: Polinom rešimo s pomočjo formule :
k 1
n
.
m
k
S to formulo se po štirih do petih iteracijah (k = 1..5) dovolj dobro približamo pravi vrednosti , pri
čimer vzamemo poljubno začetno vrednost k (začetna vrednost je lahko 1).
Sedaj imamo vse potrebne podatke za izdelavo montažne tabele, ki je naslednje oblike:
Tabela 22: Montažna tabela
(C)
-20
-10
0
10
20
30
40
2
m (N/mm )
(N/mm2)
f (m)
5.9 Določitev višine stebrov
Za določitev potrebne višine stebrov potrebujemo podatek o varnostni višini, ki ga razberemo iz
tabele. Varnostna višina predstavlja vertikalno razdaljo. Če ima daljnovod nazivno napetost višjo od
110 kV moramo varnostno višino povečati za
Un 110
(m) ,
150
kjer je U n obratovalna napetost v kV.
sd
s
fs
h2
c2
Yc
hv
h1
c1
Xc
Slika 46: Skica trase
73
c
b
Postopek določitev višine stebrov:
določimo varnostno višino h'v,
določimo dodatno varnostno višino hdod
izračunamo (glej sliko 46):
hv= h'v+ hdod
sd 2
40C c2 c1
s
sc s sd
sc
b
2
X c 2
Yc
2 40C
Xc
fs
sc 2
8 40C
nato izračunamo višino stebrov:
hstebra hv c2 c fs Yc .
Zgornje enačbe so zapisane za primer, ko je kritična temperatura manjša od 40 °C, zato nastopi
maksimalni poves pri 40 °C. V nasprotnem primeru moramo namesto 40C in upoštevati
5C DB in c .
Potrebno je še omeniti, da veljata za Xc dva izraza in sicer:
če je teme verižnice (najnižja točka) levo od objekta:
sc 2 X c b
Xc
sc
b
2
In če je teme verižnice (najnižja točka) desno od objekta:
Xc
sc
b.
2
74
5.10 Mehanski parametri vodov - tabele
Podatki, ki jih potrebujemo pri reševanju vaje, so zbrani v naslednjih tabelah.
Tabela 23: Dopustne natezne napetosti
Dopustne natezne napetosti
dop (N / mm2 )
Al
Cu
Jeklo II
Jeklo III
AlMg1
60
180
280
450
90
Tabela 24: Specifična teža, modul elastičnosti in temperaturni koeficient
Razmerje prereza
Specifična teža
Modul elastičnosti
Temperaturni
2
2
Al/Je
koeficient
(N / m mm )
E(N / mm )
(106 / C )
4,4
0,0364
80000
18,7
6,0
0,0350
77000
18,8
7,7
0,0336
70000
19,4
Tabela 25: Splošni podatki za aluminij in železo
Splošni podatki
Al
Fe
Temperaturni koeficient
23
11
(106 / C )
Modul elastičnosti
56000
180000
E (N / mm2 )
Dopustna natezna napetost
60
280 - 450
dop (N / mm2 )
Specifična teža
(N / m mm2 )
0,027
Tabela 26: Varnostni faktor
Varnostni faktor
križanje cest 1. - 4. reda
avtoceste
plovne reke, kanali
železnice
gosto naseljeni kraji
ostali
0,078
dop fv dop '
1
0,75
0,75
0,85
0,75
1
75
Tabela 27: Varnostne višine
Varnostne višine
nedostopna mesta
vozilom nedostopna mesta
vozilom dostopna mesta
stavbe
stavbe z vnetljivo streho
naseljeni kraji
regionalne, lokalne ceste
magistralne, avto- ceste
reka za splavljanje
plovne reke, prekopi
plinovodi, naftovodi
76
hv (m)
4
5
6
5
12
7
7
7
7
15
8
5.11 Izračuni
5.11.1 Specifična teža vrvi ()
Podatki iz tabele:
Al = 0,027 N/mm2m
Fe = 0,078 N/mm2m (v nadaljevanju uporabljamo podatke za Fe)
Uporabljena vrv:
Al/Je 490/65 mm2
Prerezno razmerje:
AAl 490
7,54
AFe
65
Al Fe
0,03297 N/mm2m
1
5.11.2 Modul elastičnosti (E)
Podatki iz tabele :
EFe = 180000 N/mm2
EAl = 56000 N/mm2
skupni modul : E
EFe E Al
70520 N/mm2
1
5.11.3 Temperaturni razteznostni koeficient ()
Podatki iz tabele:
Al = 23 10 6 1/K
Fe = 11 10 6 1/K
FeEFe Al EAl
19,41 106 1/K
E (1 )
5.11.4 Koeficiente , E in lahko določimo tudi iz priložene tabele 24 oz. iz priročnikov
0,0336 N/mm2m
E 70000 N/mm2
19,40 106 1/K
… vendar bodo v nadaljevanju uporabljeni izračunani podatki.
5.12 Dodatno zimsko breme
A AAl AJe
77
D
2
A
3
0,0175 N/mm2m
4
2
celotna specifična teža: C D 0,0505 N/mm m
5.13 Dopustna natezna napetost () pri temperaturi = -5 C
Podatek :
dopAl= 60 N/mm2
Nevtralna temperatura:
t = 15C
Temperatura okolice:
= -5C
Faktor varnosti:
fv = 1,0
dop ' ( Al )( t )E
E
dopAl 70,50 N/mm2
E Al
dop fv dop ' 70,50 N/mm2
5.14 Kritična razpetina (sk)
Definicija : Kritična razpetina je tista razpetina, pri kateri je natezna napetost pri -20 C enaka natezni
napetosti pri -5 C z dodatnim bremenom.
sk dop
360
154,28 m.
c2 2
Ker je kritična razpetina manjša od naše razpetine (s = 200 m), nastopi največja natezna napetost pri 5 C z upoštevanjem dodatnega zimskega bremena in lahko v nadaljnjih izračunih upoštevamo
dopDB , v nasprotnem primeru moramo dop izračunati za -20 °C.
5.15 Kritična temperatura (k)
Definicija : Kritična temperatura je temperatura, pri kateri je poves enak povesu pri -5 C z dodatnim
bremenom.
k
dop
(1 ) 5C 12,85 C.
E
c
Ker je kritična temperatura manjša od 40 C (k 40 C), nastopi največji poves pri temperaturi
+40 C.
5.16 Montažna tabela
3 m 2 n2
78
s
cos
0,9988
s 2 (c2 c1 )2
n s
E cos
357,25
24
Koeficient n je konstanten (neodvisen od temperature).
m
s 2E cos c 2
( 0 )E cos dop (N/mm2)
24 dop 2
dop 70,50 N/mm2
Koeficient m je temperaturno odvisen, pri čimer je v enačbi 0 = -5 C.
Natezno napetost dobimo z rešitvijo polinoma : 3 m 2 n2 (N/mm2).
Uporabimo analitično enačbo za izračun polinoma:
1
2
n 2
1/ 3
1
1
3
3
m
n 27n 2 4m 3
27
18
1/ 3
1
1
3
3
1
n2
m n 27n 2 4m 3
27
18
2
1
m
3
Poves računamo iz enačbe:
f
s 2
(m).
8
Tabela 28: Montažna tabela
(C)
-20
-10
0
10
20
30
40
m (N/mm2)
-30,86
-17,19
-3,52
10,16
23,83
37,50
51,18
(N/mm2)
63,01
56,78
51,55
47,18
43,53
40,46
37,86
f (m)
2,62
2,90
3,20
3,49
3,79
4,07
4,35
Glede na izračunane vrednosti je potrebno narisati še grafe odvisnosti in f od temperature .
5.16.1.1 Numeričen način izračuna polinoma
Polinom lahko rešimo tudi numerično in sicer s pomočjo formule
k 1
n
k m
79
.
S to formulo se po štirih do petih iteracijah (k = 1..5) dovolj dobro približamo pravi vrednosti , pri
čimer vzamemo poljubno začetno vrednost k (začetna vrednost je lahko 1). Primer izračuna s
pomočjo iteracijskega postopka prikazuje slika 47. Natezno napetost in poves v osvisnosti od
temperature pa prikazujeta sliki 48 in 49.
% vhodni podatki
E % modul elasticnosti zascitne vrvi
s % razpetina
c1 % nadmorska visina prvega stebra
c2 % nadmorska visina drugega stebra
gc % celotna specificna teza
si % dopustna natezna napetost
a % temperaturni razteznostni koeficient
t=[-20; -10; 0; 10; 20; 30; 40]; %temperatura
csf=s/sqrt(s^2+(c2-c1)^2)
n=g*s*sqrt((E*csf)/24)
m=(s^2*E*csf*gc^2)/(24*si^2)+a*(t-t0)*E*csf-si
% zacetne vrednosti
sigma(1:7,1)=1;
error(1:7,1)=inf;
i=1;
while max(error) >= 0.01
sigma(:,i+1) = n./sqrt(sigma(:,i)+m);
error(1:7,i)=abs((sigma(:,i+1)- ...
sigma(:,i))./sigma(:,i))*100;
i=i+1
end
sigma(:,end)
% izris za sigma pri -20 °C
figure;
hold on
plot(real(sigma(1,:)),'r')
plot(imag(sigma(1,:)))
title({'primer konvergence (100 iteracij) ->
imaginarni del gre proti nic','resitev: sigma 20°C = 63.01 N/mm^2'})
legend('realni del','imaginarni del',4)
xlabel('temperatura (°C)')
ylabel('Natezna napetost (N/mm^2)')
grid on
xlim([0 100])
Slika 47: Primer iteracijskega izračuna
80
65
Natezna napetost (N/mm2)
60
55
50
45
40
35
-20
-10
0
10
temperatura (°C)
20
30
40
Slika 48: Graf odvisnosti 𝝈𝝑 od temperature 𝝑
4.6
4.4
4.2
poves f (m)
4
3.8
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
-20
-10
0
10
temperatura (°C)
20
Slika 49: Graf odvisnosti 𝒇𝝑 od temperature 𝝑
81
30
40
Slika 50 prikazuje potek rešitve z iteracijskim postopkom za 𝜎−20°𝐶 . Realni del rešitve gre proti končni
rešitvi, imaginarni pa gre proti nič. Končna rešitev je enaka 63,01 N/mm2 (enako kot z uporabo
analitične formule).
primer konvergence (100 iteracij) -> imaginarni del gre proti nic
resitev: sigma -20°C = 63.01 N/mm2
80
Natezna napetost (N/mm2)
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
realni del
imaginarni del
0
10
20
30
40
50
60
temperatura (°C)
70
80
90
100
Slika 50: Potek rešitve z iteracijskim postopkom
5.16.2 Določitev višine stebrov
Najprej določimo varnostno višino, ki znaša pri prečkanju plinovoda 8 m. Ker pa je nazivna napetost
daljnovoda 220 kV, prištejemo še 0,73 m, tako da znaša skupna varnostna višina hv = 8,73 m. Dodatek
0,73 m dobimo iz enačbe hdod
U n 110
(m), pri čimer je Un nazivna napetost daljnovoda 220 kV.
150
sd
s
fs
h2
c2
Yc
hv
h1
c1
Xc
Slika 51: Skica trase
82
c
b
sc
b 37,4 m
2
X c 2
Yc
0,61 m
2 40C
hv 8,73 m
Xc
b 120 m
sd 2
40C c2 c1
114,82 m
s
sc s sd 314,82 m
fs
sc 2
10,79 m
8 40C
Oba stebra imata enako višino:
hstebra hv c2 c fs Yc 13,91 m
S tem je izpolnjen pogoj zadostne varnostne višine.
83
![TECH-MASTERS: Nova Strip Super [web]](http://cdn3.abcdocz.com/store/data/002705810_1-46f31bb76cb21184cc70d800f783c0c8-250x500.png)
© Copyright 2024