1. No category

Matrike
Inverz matrike
Inverz matrike
ˇ za matriko A ∈ Rn×n obstaja taka matrika B ∈ Rn×n , da je
Ce
AB = BA = In , pravimo, da je matrika A obrnljiva, matrika B pa
inverz matrike A. Inverz matrike A oznaˇcimo z A−1 .
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrika A ∈ Rn×n je obrnljva natanko tedaj, ko je
det(A) 6= 0.
ˇ je matrika A ∈ Rn×n obrnljiva, je obrnljiva tudi matrika
Ce
A−1 in velja
(A−1 )−1 = A.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
BF – Biologija
12. teden
ˇ sta matriki A, B ∈ Rn×n obrnljivi, je obrnljiva tudi matrika
Ce
AB ∈ Rn×n in velja
(Zadnja sprememba: 30. maj 2011)
(AB)−1 = B −1 A−1 .
1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
2
Inverz matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Inverz matrike
Raˇcunanje inverza s pomoˇcjo Gaussove eliminacije
Naj bo A ∈ Rn×n dana matrika. Iˇscˇ emo matriko X
AX = I. Skratka
 
 

x11 . . . x1n
1
a11 . . . a1n
 ..
..  =  ..
..  ·  ..
 .
.   .
.   .
Za poljubni matriki A, B ∈ Rn×n velja produktna formula za
determinante
det(AB) = det(A) det(B).
|
ˇ je A obrnljiva matrika, velja
Ce
1
det(A−1 ) =
.
det(A)
xn1 . . . xnn
an1 . . . ann
{z
} |
{z
}
A
X
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)

... 0
. . .. 
. . .
0 ... 1
|
{z
}
I
ˇ z xj oznaˇcimo j-ti stolpec matrike X , z bj pa j-ti stolpec
Ce
matrike I, vidimo, da je v gornji matriˇcni enaˇcbi pravzaprav
skritih n sistemov enaˇcb:
Axj = bj ,
3
∈ Rn×n , da bo
4
ˇ
Matjaˇz Zeljko
j = 1, 2, . . . , n.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Inverz matrike
Matrike
Ker imajo sistemi enaˇcb Axj = bj , j = 1, 2, . . . , n, isto matriko
ˇ torej matriko A
koeficientov, jih lahko reˇsujemo hkrati. Ce
razˇsirimo desno z identiˇcno matriko I, tj.


a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
 a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0 


[A|I] =  .
.. .. . . ..  ,
..
..
 ..
.
. .
.
.
. 
Zgled
Izraˇcunaj inverz matrike A =
[A|I] =
in s pomoˇcjo Gaussove eliminacije preoblikujemo to matriko v


1 0 . . . 0 b11 b12 . . . b1n
 0 1 . . . 0 b21 b22 . . . b2n 


[I|B] =  . . .
..
..
..  ,
..
.
.
.
 . .
. .
.
.
. 
[A|I] ∼
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
1 0
1
4
0 −5 −2 1
A
6
Inverz matrike
.
∼
0
1 4 1
2
0 1 5 − 15
−1
=
− 53
2
5
ˇ
Matjaˇz Zeljko
4
5
− 15
∼
1 0 − 35
2
0 1
5
4
5
− 15
.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike


1
0
1
Izraˇcunaj inverz matrike A =  −1
2 −1 .
2 −3
1
Inverz matrike
ˇ
Vrnimo se sˇ e enkrat k sistemu enaˇcb Axj = bj , j = 1, 2, . . . , n. Ce
piˇsemo


x1j
 x2j 


xj =  .  ,
.
 . 
xnj
Raˇcunajmo


 
1 0 0
1 0
1
1 0 0
1
0
1
1
1
∼
0
1 1 0 ∼ 0 1
2
0
[A|I] ∼  0
2
2 0
1
3
0 −3 −1 −2 0 1
0 0 −1 − 2 2 1

 

3
0
0
1 0 1 1
1 0 0 12
1
2
1
1
0  ∼  0 1 0 12
∼  0 1 0 12
0 .
2
2
1
3
1
3
0 0 1 2 − 2 −1
0 0 1 2 − 2 −1
7
1 4 1 0
2 3 0 1
Raˇcunanje inverza s pomoˇcjo Cramerjevega pravila
Zgled
Torej je
Torej je
A−1 .
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Sledi
0 0 . . . 1 bn1 bn2 . . . bnn
5
1 4
.
2 3
Razˇsirjena matrika je
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
je B =
Inverz matrike

A−1 = 
1
2
1
2
1
2
ˇ
Matjaˇz Zeljko
3
2
1
2
− 23

1
0 .
−1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
lahko po Cramerjevem pravilu zapiˇsemo
xij =
det(Bij )
,
det(A)
kjer je matrika Bij enaka matriki A, v kateri smo i-ti stolpec
zamenjali s stolpcem bj . Torej je det(Bij ) = (−1)i+j det Aji , kjer je
Aji poddeterminanta elementa aji v matriki A.
8
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
.
Matrike
Inverz matrike
Matrike
Zgled
Izrek
ˇ je det(A) 6= 0, je
Ce
Izraˇcunaj inverz matrike A =
A−1 =
1 e T
(A) ,
det A
Torej je
Opomba. V raˇcunski praksi skoraj vedno raˇcunamo inverz
matrike s pomoˇcjo Gaussove eliminacije, saj bi morali pri
raˇcunanju inverza s pomoˇcjo prirejenke izraˇcunati n2 + 1
determinant reda (n − 1) × (n − 1).
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Zgled

A
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
1
=
−5
3 −2
−4
1
T
1
=
−5
ˇ
Matjaˇz Zeljko
10
Matrike
 2 −1
 −3 1
  0 1
e
A= 
 − −3 1
  0 1
2 −1

1
0
1

Izraˇcunaj inverz matrike A = −1
2 −1 .
2 −3
1
11
−1
Inverz matrike
Za matriko A je
1
0
1
2 −1 + 1 −1 2
det(A) = −1
2 −1 = 1 2 −3
−3 1 2 −3
1 = 1 · (−1) + 1 · (−1) = −2.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
1 4
.
2 3
Za matriko A je det(A) = −5 in
3 −2
e
A=
.
−4
1
e prirejenka matrike A, torej matrika z elementi
kjer je A
e = [(−1)i+j det Aij ], kjer je Aij matrika, ki jo dobimo iz matrike
A
A, tako, da v njej odstranimo i-to vrstico in j-ti stolpec.
9
Inverz matrike
Torej je
=
A−1
12
3 −4
−2
1
=
− 35
2
5
4
5
− 51
.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Inverz matrike
−1 −1 −1 2
−
2 −3
2
1
1 1 − 1 0
2 1 2 −3
1 0
1 − 1
−
−1 −1 −1 2

 


−1
−1
−1

 =  −3 −1
3 .


−2
0 −2



T

−1 −1 −1
−1 −3 −2
1 
1 
−3 −1
3  =
−1 −1
0 =
=
−2
−2
−2
0 −2
−1
3 −2

 1
3
1
2
2
1
1

=
0 .
2
2
1
3
2 − 2 −1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Inverz matrike
Matrike
Inverz matrike je tesno povezan z reˇsevanjem sistemov enaˇcb.
Recimo, da imamo linearen sistem n enaˇcb z n neznankami, ki
ga v matriˇcni obliki zapiˇsemo kot
Zgled
Naj bo A =
enaˇcbo
Ax = b.
ˇ je detA 6= 0, obstaja
Ce
A−1 .
Torej je
x =A
−1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
=
A−1 b
oziroma
b.
15
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
AX
X
14
Inverz matrike
3
2
. Reˇsi matriˇcno
1 −1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
= 7I − B 2 ,
= A−1 (7I − B 2 ).
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Inverz matrike
ˇ Matrika
2. nacin
jo z
X je razseˇznosti 2 × 2. Oznaˇcimo
2a − 5c 2b − 5d
a b
, lahko
. Ker je AX =
X=
−a + 3c −b + 3d
c d
enaˇcbo AX = 7I − B 2 zapiˇsemo v obliki
2a − 5c 2b − 5d
−4 −4
=
.
−a + 3c −b + 3d
−2
4
Iz enakosti gornjih matrik razberemo dva sistema enaˇcb:
2a − 5c = −4,
−a + 3c = −2;
2b − 5d = −4,
−b + 3d = 4.
3 5
−4 −4
−22 8
·
=
.
1 2
−2
4
−8 4
ˇ
Matjaˇz Zeljko
in B =
AX + B 2 = 7I,
Torej je
X = A−1 (7I − B 2 ) =
ˇ Enaˇcbo najprej preoblikujemo
1. nacin
Po vrsti izraˇcunamo
3
2
3
2
11 4
2
B =
·
=
,
1 −1
1 −1
2 3
1 0
11 4
−4 −4
2
7I − B = 7 ·
−
=
,
0 1
2 3
−2
4
2 −5 = 1,
det(A) = −1
3 −1 3 5
2 −5
−1
=
A
=
.
1 2
−1
3
2 −5
−1
3
AX + B 2 = 7I.
A−1 Ax
Sistem je torej enoliˇcno reˇsljiv. Njegovo reˇsitev izraˇcunamo
tako, da najprej izraˇcunamo A−1 , nato pa matriko A−1 ∈ Rn×n
pomnoˇzimo z matriko b ∈ Rn×1 in dobimo x ∈ Rn×1 .
13
Inverz matrike
Iz prvih dveh enaˇcb sledi c =
−8 in a =−22, iz drugih dveh pa
−22 8
d = 4 in b = 8. Torej je X =
.
−8 4
16
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Inverz matrike
Matrike
Inverz matrike
Raˇcunajmo
Zgled
Naj bo A =
1 −2
3
1
in B =
a b
a b
1 −2
AX + XA =
+
=
c d
c d
3
1
a − 2c b − 2d
a + 3b −2a + b
=
+
=
3a + c 3b + d
c + 3d −2c + d
2a + 3b − 2c −2a + 2b − 2d
5
0
,
=
=
5 −1
3a + 2c + 3d
3b − 2c + 2d
5
0
. Reˇsi matriˇcno enaˇcbo
5 −1
AX + XA = B.
Ker matriˇcno mnoˇzenje ni komutativno, iz izraza AX + XA ne
moremo izpostaviti
matrike
X . Torej nam preostane le, da
a b
zapiˇsemo X =
in iz enakosti AX + XA = B razberemo
c d
sistem 4 linearnih enaˇcb s 4 neznankami.
1 −2
3
1
od koder sledi
2a + 3b − 2c = 5
−2a + 2b − 2d = 0
3a + 2c + 3d = 5
3b − 2c + 2d = −1.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
17
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Inverz matrike
5

1 0
 0 1
∼ 
 0 0
0 0
Torej je
0
0
1
0
5
16
5
−4

0
2
0
1 
.
0
1 
1 −1
X=
19
0 0 0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
2
1
1 −1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Uporabimo Gaussovo eliminacijo na razˇsirjeni matriki sistema:
 

5 
3
0
1
2 3 −2
0
5
2 −1
2

  0
 −2 2
0
5
−2
−2
5
0
−2
e = 
∼
∼ 
A
9
5
 3 0
5   0 −2
2
3
5
3 −2 
0 3 −2
2 −1
0
3 −2
2 −1



5 
1
1 0 − 25 − 53
1 0 0 − 34
4
5 
  0 1 0 −1
 0 1 −2 −2
1
5
5
4
4 ∼
∼ 
∼ 
16
6
3
5 
 0 0
2   0 0 1
0 0 − 45
18
8
7
2
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Inverz matrike
Simultano reˇsevanje sistemov
Matriˇcna enaˇcba AX = B, kjer sta A, B ∈ Rn×n dani matriki,
det(A) 6= 0, ima reˇsitev X = A−1 B. Ali lahko do te reˇsitve
pridemo brez mnoˇzenja matrik A−1 in B?
Matrika B sestoji iz n stolpcev b1 , . . . , bn in le neznanke iz
prvega stolpca matrike X so zajete v tistih enaˇcbah iz AX = B,
ki vsebujejo elemente prvega stolpca matrike B. Torej lahko
sistem AX = B obravnavamo kot n sistemov oblike Axi = bi ,
kjer je xi ravno i-ti stolpec matrike X , bi pa i-ti stolpec matrike
X . Gaussov postopek lahko v tem primeru shematiˇcno
zapiˇsemo kot
[A|bi ] ∼ [I|xi ].
8
− 72
Ker pa pri vseh sistemih na levi strani nastopa ista matrika,
lahko reˇsitve zdruˇzimo in dobimo
.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
[A|B] ∼ [I|X ].
20
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Inverz matrike
Matrike

Zgled




−1
1 2
0
3 −4
Naj bo A =  2 −1 3  in B =  7 13 −5 . Reˇsi
−3
2 1
−5 −4 −3
matriˇcno enaˇcbo
AX = B.
Uporabimo prijem [A|B] ∼ [I|X ].
21
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
22
Vektorski prostor
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Vektorski prostor
distributivnost v skalarnem faktorju
(λ + µ )a = λ a + µ a za vsake a ∈ X in λ , µ ∈ R
asociativnost seˇstevanja
(a + b) + c = a + (b + c) za vsake a, b, c ∈ X
homogenost v skalarnem faktorju
λ (µ a) = (λ µ )a za vsake a ∈ X in λ , µ ∈ R
obstoj nevtralnega elementa za seˇstevanje
Obstaja 0 ∈ X , da je a + 0 = 0 + a = a za vsak a ∈ X
lastnost enote za mnoˇzenje
1a = a za vsak a ∈ X
obstoj nasprotnega elementa za seˇstevanja
Za vsak a ∈ X obstaja b ∈ X , da je a + b = b + a = 0.
Vektor b imenujeno nasprotni vektor in oznaˇcimo z −a.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)

0
3 −4
7 13 −5  ∼
−5 −4 −3

0 −3
4
7
19 −13  ∼
−5 −13
9

16 −9
19 −13  ∼
6 −4

1
1
−2
1  = [I|X ].
3 −2
distributivnost v vektorskem faktorju
λ (a + b) = λ a + λ b za vsake a, b ∈ X in λ ∈ R
komutativnost seˇstevanja
a + b = b + a za vsaka a, b ∈ X
ˇ
Matjaˇz Zeljko
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Vektorski prostor nad mnoˇzico realnih sˇ tevil R je mnoˇzica X
opremljena z operacijama seˇstevanja + : X × X → X in
mnoˇzenja s skalarjem · : R × X → X , za kateri velja.
23
−1
1 2

2 −1 3
[A|B] =
−3
2 1

1 −1 −2

0
1
7
∼
0 −1 −5

1 0 5 7
∼  0 1 7 7
0 0 2 2

1 0 0 2
∼  0 1 0 0
0 0 1 1


2
1
1
Torej je X =  0 −2
1 .
1
3 −2
Inverz matrike
24
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Vektorski prostor
Matrike
Vektorski prostor
Linearna neodvisnost
Naj bodo ai ∈ X poljubni vektorji ter λi ∈ R poljubni skalarji.
Izraz
Vektorski prostor Rn . Za a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn ,
b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn in λ ∈ R definiramo operacije po
komponentah
λ1 a 1 + λ2 a 2 + . . . + λn a n =
∑ λi a i
i=1
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ),
imenujemo linearna kombinacija vektorjev a1 , . . . , an , sˇ tevila
λ1 , . . . , λn pa imenujemo koeficiente te linearne kombinacije.
λ (a1 , . . . , an ) = (λ a1 , . . . , λ an ).
Vektorski prostor Rm×n . Obiˇcajni matriˇcni operaciji
seˇstevanja in mnoˇzenja s skalarjem ustrezata vsem
aksiomom za vektorski prostor.
V posebnem primeru lahko prostor matrik
obravnavamo kot vektorski prostor.
n
Pravimo, da so vektorji ai ∈ X linearno neodvisni, cˇ e iz
λ1 a 1 + λ2 a 2 + . . . + λn a n = 0
Rn×1
sledi, da je λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Vektorji so linearno odvisni,
cˇ e niso linearno neodvisni.
Vektor 0 je linearno odvisen.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
25
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
26
Vektorski prostor
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Vektorski prostor
Zgled
Ali so vektorji a1 = (1, 3, 1), a2 = (2, 1, −1), a3 = (1, 5, 3)
linearno neodvisni?
ˇ oznaˇcimo sˇ e x = (λ1 , λ2 , λ3 )T , lahko gornji homogen sistem
Ce
linearnih enaˇcb zapiˇsemo v matriˇcni obliki kot
Zapiˇsimo linearno kombinacijo vektorjev:
Ax = 0.
λ1 (1, 3, 1) + λ2 (2, 1, −1) + λ3(1, 5, 3) = (0, 0, 0),
Ker je
kar nam da sistem
λ1 + 2 λ2 + λ3 = 0
3 λ1 + λ2 + 5 λ3 = 0
λ1 − λ2 + 3λ3 = 0.


1
2 1
Matrika tega sistema je A =  3
1 5  in sestavljajo jo
1 −1 3
ravno vektorji a1 , a2 in a3 , zloˇzeni v stolpce.
27
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
1
2
1
det(A) = 3
1 5 = −4,
1 −1 3 premore sistem le niˇcelno reˇsitev. Torej x = (0, 0, 0)T oziroma
λ1 = λ2 = λ3 = 0.
28
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Vektorski prostor
Matrike
Vektorski prostor
Naj bodo a1 , . . . , an ∈ Rm poljubni vektorji. V sploˇsnem lahko
reˇcemo, da so ti vektorji linearno neodvisni natanko tedaj, ko
ima matrika A = [aT1 , aT2 , . . . , aTn ] rang n.
r
r
Izrek
Naj bodo a1 , . . . , an ∈ Rn poljubni vektorji. Vektorji a1 , . . . , an so
linearno neodvisni natanko tedaj, ko je matrika A, katere stolpci
so aT1 , aT2 , . . . , aTn , obrnljiva.
1
1
?
m
Videli smo zˇ e, da enaˇcbi a1 λ1 + a2 λ2 + . . . + an λn = 0 ustreza
homogeni sistem Ax = 0, kjer so stolpci matrike A ravno aT1 , aT2 ,
. . . , aTn , neznani vektor pa je x = (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
0
m
1
0
1
0
0
Vemo, da premore sistem Ax = 0 neniˇcelno reˇsitev natanko
tedaj, ko je det(A) = 0. Neniˇcelna reˇsitev sistema pa pomeni,
da so vektorji a1 , . . . , an linearno odvisni.
n
n
Ker je r = rang(A) ≤ min{m, n}, v primeru n > m vektorji ne
ˇ pa je n ≤ m, mora za
morejo biti linearno neodvisni. Ce
linearno neodvisnost veljati r = n.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
29
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
30
Vektorski prostor
Matrike
Ali so vektorji a1 = (1, 3, 1, 3), a2 = (0, 2, 1, −1), a3 = (2, 4, 1, 7)
linearno neodvisni?
Ko slednje zapiˇsemo z razˇsirjeno matriko in uporabimo
Gaussovo metodo, dobimo:
 


2
1 0
1
0 2



2 4 
e= 3
 ∼  0 1 −1  .
A


 1
1 1
0 0
0 
0
3 −1 7
0 0
Ker ima dobljena matrika rang 2, so vektorji a1 , a2 , a3 linearno
ˇ veˇc, iz dobljene matrike na koncu razberemo, da
odvisni. Se
sta vektorja a1 in a2 (ki jima pripadata neznanki v prvih dveh
stolpcih) linearno neodvisna.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Vektorski prostor
λ1 (1, 3, 1, 3) + λ2 (0, 2, 1, −1) = (2, 4, 1, 7).
Vektorje a1 , a2 , a3 zapiˇsemo v matriko A po stolpcih in matriko
A preoblikujemo s pomoˇcjo Gaussove eliminacije:
 
 


1
0
2
1 0
2
1
0 2


 3

2 −2 
2 4 
∼ 0
 ∼  0 1 −1  .
A=




 1
1 1
0
1 −1
0 0
0 
3 −1 7
0 −1
1
0 0
0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Ker sta vektorja a1 in a2 linearno neodvisna, skupaj z a3 pa so
linearno odvisni, lahko a3 izrazimo kot linearno kombinacijo
ˇ je taka izraˇzava moˇzna, mora
vektorjev a1 in a2 . Kako? Ce
veljati λ1 a1 + λ2 a2 = a3 . Torej
Zgled
31
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Torej je λ1 = 2 in λ2 = −1.
Opomba. Opazimo, da gre tu za isto matriko, kot smo jo
zapisali pri ugotavljanju linearne neodvisnosti. Matriki je
potrebno dodati le loˇcevalno cˇ rto med linearno neodvisnimi
vektorji in vektorji, ki jih zˇ elimo izraziti kot linearne kombinacije.
32
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Lastne vrednosti
Podobnost matrik
∈ Rn×n
Matrika A
je podobna matriki B ∈
obrnljiva matrika P, da je B = P −1 AP.
Rn×n ,
ˇ
Dana je matrika A ∈ Rn×n . Zelimo
hitro izraˇcunati Am za velik
m ∈ N.
cˇ e obstaja
ˇ je A diagonalna matrika, je izraˇcun enostaven:
Ce


λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0 


A =  .
..
..  = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ),
.
 .
.
. 
Vsaka matrika je podobna sama sebi.
ˇ je matrika A podobna matriki B, je tudi B podobna
Ce
matriki A.
Res: Iz B = P −1 AP sledi A = PBP −1.
ˇ je matrika A podobna matriki B in matrika B podobna
Ce
matriki C, je tudi A podobna C.
ˇ je B = P −1 AP in C = Q −1 BQ, je
Res: Ce
C = Q −1 P −1 APQ = (QP)−1 A(QP).
ˇ je B = P −1 AP, za vsak m ∈ N velja
Ce
A
m
B m = P −1 AP · P −1 AP · · · P −1 AP = P −1 Am P.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
33
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
0 ...
λ2m . . .
..
.
0
..
.
0
0
0
0
..
.
. . . λnm



 = diag(λ1m , λ2m , . . . , λnm ).

Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Lastne vrednosti
ˇ je A diagonalizabilna matrika, velja D = P −1 AP. Za vsako
Ce
naravno sˇ tevilo m velja D m = P −1 Am P in od tod Am = PD m P −1 .
Zgled
Izraˇcunaj
−2 3
Matrika A =
je diagonalizabilna.
0 1
1 −1
1 1
−1
. Sledi
je P =
Res: za P =
0
1
0 1
1 −1
−2 3
1 1
−1
P AP =
=
0
1
0 1
0 1
−2 2
1 1
−2 0
=
=
= D.
0 1
0 1
0 1
−2 0
Matrika A je podobna diagonalni matriki D =
.
0 1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
0
λ1m
Matrike
ˇ
Matjaˇz Zeljko
. . . λn
0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Lastne vrednosti
Matrika A je diagonalizabilna, cˇ e je podobna kakˇsni diagonalni
matriki.
35


= 

34
Diagonalizacija matrik
Zgled

A7
za matriko A =
−2 3
.
0 1
Kot smo zˇ e prej videli,
A diagonalizabilna,
tj.
je matrika
1 1
−2 0
P −1 AP = D za P =
in D =
. Sledi
0 1
0 1
1 −1
(−2)7 0
1 1
7
7 −1
=
A = PD P =
0
1
0 17
0 1
1 −1
−128 0
1 1
=
=
0
1
0 1
0 1
−128 1
1 −1
−128 129
=
=
.
0 1
0
1
0
1
36
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Zgled
Dokaˇzi, da matrika A =
0 1
0 0
Lastne vrednosti
Matrike
Lastne vrednosti
Poglejmo si lastnost diagonalizabilnosti podrobneje. Naj torej
velja P −1 AP = D = diag(λ1 , . . . , λn ). Oznaˇcimo z
ek = (0, . . . , 1, . . . , 0)T ∈ Rn×1 matriko–stolpec, ki ima v k-ti
vrstici sˇ tevilo 1, vsa ostala sˇ tevila pa so enaka 0. Torej je
  

0

 0
λ1 0 . . . 0  .   . 
..   .. 
 0 λ2 . . . 0  

 


 1  =  λk  = λk e k .
Dek =  .

.
.




..    
..
 ..
.. 
..
 .   . 
0 0 . . . λn
0
0
ni diagonalizabilna.
Opazimo, da za matriko A velja A2 = 0.
ˇ bi A bila diagonalizabilna, bi veljalo D = P −1 AP in
Ce
D 2 = P −1 A2 P = 0. Ker pa od tod sledi D = 0, dobimo tudi
A = PDP −1 = 0. Protislovje.
ˇ oznaˇcimo
Iz AP = PD sledi APek = PDek = P λk ek = λk Pek . Ce
k-ti stolpec matrike P s pk , velja pk = Pek in
Apk = λk pk .
Ker je matrika P obrnljiva, so stolpci p1 , . . . , pn linearno
neodvisni.
37
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
38
Lastne vrednosti
Matrike
Lastne vrednosti in lastni vektorji
(A − λ I)x = 0.
Gornji homogen sistem ima netrivialno reˇsitev, cˇ e je
determinanta tega sistema enaka 0, tj. det(A − λ I) = 0.
Ax = λ x.
Vektor x imenujemo lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ .
Matrika

ˇ je x lastni vektor, ki
Lastni vektor ni enoliˇcno doloˇcen. Ce
pripada lastni vrednosti λ , je tudi kx lastni vektor k isti lastni
vrednosti za poljuben k ∈ R \ {0}.
Res: A(kx) = kAx = k λ x = λ (kx).


A−λI = 

Kot bomo kasneje videli, je moˇzno, da k neki lastni vrednosti
obstaja veˇc linearno neodvisnih lastnih vektorjev.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Lastne vrednosti
Matriˇcno enaˇcbo Ax = λ x lahko zapiˇsemo v obliki Ax = λ Ix oz.
v obliki homogenega sistema linearnih enaˇcb
ˇ
Stevilo
λ je lastna vrednost matrike A ∈ Rn×n , cˇ e obstaja
kakˇsen neniˇceln vektor (stolpec) x ∈ Rn×1 , da je
39
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
a11 − λ
a21
..
.
a12
a22 − λ
..
.
an1
an2
...
...
a1n
a2n
..
.
. . . ann − λ





se imenuje karakteristiˇcna matrika matrike A, njena
determinanta det(A − λ I) pa karakteristiˇcni polinom matrike A.
40
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Karatkeristiˇcni polinom matrike A ∈ Rn×n je polinom stopnje n z
realnimi koeficienti, njegove niˇcle pa so lastne vrednosti matrike
A.
Polinom det(A − λ I) ima n niˇcel, ki pa niso nujno realna sˇ tevila.
Zgled
Doloˇci vse lastne vrednosti matrike A =
Karakteristiˇcni polinom se glasi
cos ϕ − λ
− sin ϕ
det(A − λ I) = sin ϕ
cos ϕ − λ
in ima niˇcli
λ1,2 =
41
2 cos ϕ ±
cos ϕ
sin ϕ
− sin ϕ
cos ϕ
Zgled
Doloˇ
vrednosti in lastne vektorje matrike
ci vse lastne
−2 3
.
A=
0 1
Karakteristiˇcni polinom matrike A je
−2 − λ
3
det(A − λ I) = 0 1−λ
.
= λ 2 − 2λ cos ϕ + 1
in ima niˇcli λ1 = −2, λ2 = 1.
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
= (−2 − λ )(1 − λ )
Lastne vektorje k lastnima vrednostima λ1 in λ2 doloˇcimo tako,
da poiˇscˇ emo vse reˇsitve homogenega sistema
p
(2 cos ϕ )2 − 4
= cos ϕ ± i sin ϕ .
2
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Lastne vrednosti
(A − λ I)x = 0,
za λ = λ1 in λ = λ2 .
42
Lastne vrednosti
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Lastne vrednosti
Za λ = λ1 = −2 imamo homogeni sistem
(A − λ1 I)x = 0,
Poglejmo si metodo sˇ e enkrat.
Ker je sistem (A − λ1 I)x = 0 homogen, desnih strani ni potrebno
pisati. Gornji raˇcun za λ1 = −2 zato na kratko zapiˇsemo kot
3
−2 − (−2)
0 3
0 1
A − λ1 I =
=
.
∼
0 1 − (−2)
0 0
0 3
kjer je x = (x1 , x2 )T neznani vektor. Ta sistem lahko v
popolnosti popiˇsemo z razˇsirjeno matriko
−2 − (−2)
0 3 0
3 0
[A − λ1 I|0] =
=
∼
0 1 − (−2) 0
0 3 0
0 1 0
.
∼
0 0 0
Ta matriˇcni sistem ima rang 1, izrazljiva neznanka pa je v
drugem stolpcu. Sledi x2 = 0, x1 pa je (prost) parameter.
Torej x = (x1 , 0)T , kjer je x1 ∈ R poljuben. Vsi lastni vektorji k
λ1 = −2 so torej oblike x1 (1, 0)T .
Od tod sledi, da je x2 = 0. Ker je x1 poljuben, so vsi lastni
vektorji, ki pripadajo lastni vrednosti λ1 , oblike
x = (x1 , 0)T = x1 (1, 0)T , kjer je x1 ∈ R. Ker nas pri lastnih
vektorjih obiˇcajno zanimajo le linearno neodvisni lastni vektorji,
izmed vseh vektojev izberemo le tistega, ki ga najenostavneje
zapiˇsemo. V naˇsem primeru je to vektor (1, 0)T .
43
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
44
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Lastne vrednosti
Izrek
Matrika A ∈ Rn×n je diagonalizabilna natanko tedaj, ko ima n
linearno neodvisnih lastnih vektorjev.
Za λ2 = 1 naredimo podobno. Ker gre ponovno za homogeni
sistem, desnih strani ne piˇsemo. Skratka
−2 − 1
−3 3
3
1 −1
=
∼
A − λ2 I =
.
0 0
0 1−1
0
0
ˇ je matrika A diagonalizabilna, velja D = P −1 AP. Obrnljiva
Ce
matrika P je sestavljena iz linearno neodvisnih vektorjev
pk = Pek , ki imajo lastnost Apk = λk pk . Torej so pk lastni
vektorji k lastnim vrednostim λk .
Tudi ta sistem ima rang 1, izrazljiva neznanka pa je v prvem
stolpcu. Sledi x1 = x2 .
Za dokaz v drugo smer pa vzemimo, da so p1 , . . . , pn linearno
neodvisni lastni vekorji. Matrika, sestavljena iz stolpcev p1 , . . . ,
pn , je obrnljiva. Iz zveze Apk = λk pk izpeljemo APek = DPek za
D = diag(λ1 , . . . , λn ). Ker APek = DPek velja za vsak k (tj. k-ta
stolpca se ujemata), je AP = DP oz.
Reˇsitev je torej oblike x = (x2 , x2 )T , kjer je x2 ∈ R poljuben. Vsi
lastni vektorji k λ2 = 1 so torej oblike x2 (1, 1)T .
P −1 AP = D.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
45
Matrike
Zgled
Diagonaliziraj matriko A =
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Lastne vrednosti
Matrike
Zgled
−2 3
.
0 1

det(A − λ I) =
2−λ
−1
−4
−2
1−λ
4
1
−1
=
−3 − λ
2 − λ −2
1
2 − λ −2
−1 1 − λ
−1
−1 1 − λ =
−4
4
−3 − λ −4
4
= (2 − λ )(1 − λ )(−3 − λ ) − 8 − 4 −
=
Opozorilo. Lastne vrednosti lahko naˇstejemo tudi v drugem
vrstnem redu. Pomembno je le, da v matriko D in matriko P
zloˇzimo lastne vrednosti in pripadajoˇce lastne vektorje v
enakem vrstnem redu.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Lastne vrednosti
Najprej moramo izraˇcunati karakteristiˇcni polinom det(A − λ I).
bo diagonalizirana matrika enaka
λ1 0
−2 0
−1
=
.
D = P AP =
0 λ2
0 1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)

2 −2
1
Diagonaliziraj matriko A =  −1
1 −1 .
−4
4 −3
Videli smo zˇ e, da ima matrika lastni vrednosti λ1 = −2 in λ2 = 1
ter pripadajoˇca (linearno neodvisna) lastna vektorja p1 = (1, 0)T
ˇ zapiˇsemo
in p2 = (1, 1)T . Ce
1 1
P = [p1 p2 ] =
,
0 1
47
ˇ
Matjaˇz Zeljko
46
−(−4)(1 − λ ) − (−4)(2 − λ ) − 2(−3 − λ ) =
= (2 − λ )(1 − λ )(−3 − λ ) + 6 − 6λ =
48
= (1 − λ ) ((2 − λ )(−3 − λ ) + 6) = (1 − λ )(λ + λ 2 ).
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Karakteristiˇcni polinom
Lastne vrednosti
Pri λ2 = 0 imamo
det(A − λ I) = (1 − λ )λ (1 + λ )


2−0
−2
1
−1  =
det(A − λ2 I) =  −1 1 − 0
−4
4 −3 − 0

 

2 −2
1
1 −1
1
=  −1
1 −1  ∼  2 −2
1 ∼
−4
4 −3
−4
4 −3


 
1 −1 0
1 −1
1
0 1 .
∼  0
0 −1  ∼  0
0
0 0
0
0
1
ima torej niˇcle λ1 = 1, λ2 = 0 in λ3 = −1.
Pri λ1 = 1 imamo

 

2−1
−2
1
1 −2
1
−1  =  −1
0 −1  ∼
det(A − λ1I) =  −1 1 − 1
−4
4 −3 − 1
−4
4 −4


 
1 0 1
1 −2 1
∼  0 −2 0  ∼  0 1 0  .
0 0 0
0 −4 0
Reˇsitev tega sistema je x3 = 0 in x1 = x2 , torej vsi vektorji oblike
(x2 , x2 , 0) = x2 (1, 1, 0). Pripadajoˇci lastni vektor k λ2 = 0 je npr.
p2 = (1, 1, 0).
Reˇsitev tega sistema je x2 = 0 in x1 = −x3 , torej vsi vektorji
oblike (−x3 , 0, x3 ) = −x3 (1, 0, −1). Pripadajoˇci lastni vektor k
λ1 = 1 je npr. p1 = (1, 0, −1).
Izrazljivi neznaki pripadata prvemu in tretjemu stolpcu.
Izrazljivi neznaki pripadata prvemu in drugemu stolpcu.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
49
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
50
Lastne vrednosti
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Pri λ3 = −1 imamo

Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Lastne vrednosti
Videli smo, da ima matrika lastne vrednosti λ1 = 1, λ2 = 0 in
λ3 = −1 ter pripadajoˇce (linearno neodvisne) lastne vektorje
ˇ zapiˇsemo
p1 = (1, 0, −1)T , p2 = (1, 1, 0)T in p3 = (0, 1, 2)T . Ce


1 1 0
P = [p1 p2 p3 ] =  0 1 1  ,
−1 0 2

2 − (−1)
−2
1
−1 1 − (−1)
−1  =
A − λ3 I = 
−4
4 −3 − (−1)

 

3 −2
1
1 −2
1
=  −1
2 −1  ∼  3 −2
1 ∼
−4
4 −2
−4
4 −2


 
1 0
0
1 −2
1
∼  0
4 −2  ∼  0 1 − 12  .
0 −4
2
0 0
0
bo diagonalizirana matrika enaka

 

1 0
0
λ1 0 0
0 .
D = P −1 AP =  0 λ2 0  =  0 0
0 0 −1
0 0 λ3
Reˇsitev tega sistema je x1 = 0 in x2 = 12 x3 , torej vsi vektorji
oblike (0, 21 x3 , x3 ) = 21 x3 (0, 1, 2). Pripadajoˇci lastni vektor k
λ3 = −1 je npr. p3 = (0, 1, 2).
Izrazljivi neznaki pripadata prvemu in drugemu stolpcu.
51
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
52
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Matrike
Zgled
Lastne vrednosti
Matrike
Karakteristiˇcni polinom ima lastne vrednosti λ1,2 = −1 in λ3 = 1.
Oglejemo si A − λ1,2 I. Matrika homogenega sistema je


−1
1
1
Diagonaliziraj matriko A =  −2 −2 −3 .
2
1
2

−1 − (−1)
1
−2 −2 − (−1)
A − λ1,2 I = 
2
1

 
0
1
1
2



=
−2 −1 −3 ∼ 0
2
1
3
0
Najprej moramo izraˇcunati karakteristiˇcni polinom det(A − λ I).
−1 − λ
1
1
−1 − λ
1
−2
−2 − λ −3
−2
−2 − λ =
det(A − λ I) =
2
1
2−λ
2
1
= (−1 − λ )(−2 − λ )(2 − λ ) − 6 − 2 −
= (−1 − λ )(−2 − λ )(2 − λ ) − 3 − 3λ =
= (−1 − λ ) ((−2 − λ )(2 − λ ) + 3) =
= (−1 − λ )(−1 + λ 2) = −(λ + 1)2 (λ − 1).
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Za vajo doloˇcimo sˇ e lastne vektorje, ki pripadajo lastni
vrednosti λ3 = 1.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
54
Lastne vrednosti
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Lastne vrednosti
Izrek
Razliˇcnim lastnim vrednostim pripadajo linearno neodvisni
lastni vektorji.
Za λ3 = 1 je matrika homogenega sistema enaka


−1 − 1
1
1
A − λ3 I = 
−2 −2 − 1
−3  =
2
1 2−1

 

 
1 0 0
−2
1
1
1 − 21 − 21
=  −2 −3 −3  ∼  0 −2 −2  ∼  0 1 1  .
0 0 0
2
1
1
0
2
2
55

1
−3  =
2 − (−1)

 
1 3
1 0 1
1 1  ∼  0 1 1 .
0 0 0
0 0
Reˇsitev tega sistema je x1 = −x3 in x2 = −x3 , torej vsi vektorji
oblike (−x3 , −x3 , x3 ) = −x3 (1, 1, −1). Opazimo, da imamo le
ˇ
enoparametricno
druˇzino reˇsitev, cˇ eprav je bila λ = −1 dvojna
niˇcla polinoma. Kot bomo kasneje videli, je zˇ e to zadostna
ovira, da matrika ni diagonalizabilna.
−2(−2 − λ ) − (−3)(−1 − λ ) − (−2)(2 − λ ) =
53
Lastne vrednosti
Naj bodo λ1 , . . . , λm razliˇcne lastne vrednosti in x1 , . . . , xm
pripadajoˇci lastni vektorji matrike A. Z indukcijo bomo pokazali,
da je za vsak k vektor xk linearno neodvisen od x1 , . . . , xk −1 .
ˇ je k = 1, ni kaj dokazovati. Vektor x1 je neniˇceln in je
Ce
linearno neodvisen.
Reˇsitev tega sistema je x1 = 0 in x2 = −x3 , torej vsi vektorji
oblike (0, −x3 , x3 ) = −x3 (0, 1, −1).
V dokazu indukcijskega koraka pa za hip privzemimo, da je
Sedaj lahko tudi na drug naˇcin utemeljimo, da matrika ni
diagonalizabilna. Kot je raˇcun pokazal, smo dobili le dva
linearno neodvisna lastna vektorja, in sicer (1, 1, −1) in
(0, 1, −1), za diagonalizabilnost pa bi potrebovali 3.
ˇ to enakost (matriˇcno) pomnoˇzimo z A, dobimo
Ce
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
xk = µ1 x1 + µ2 x2 + . . . + µk −1 xk −1 .
(1)
Axk = µ1 Ax1 + µ2 Ax2 + . . . + µk −1 Axk −1
oziroma
λk xk = µ1 λ1 x1 + µ2 λ2 x2 + . . . + µk −1 λk −1 xk −1 .
56
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
(2)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Posledica
Matrika, ki ima same razliˇcne lastne vrednosti, je
diagonalizabilna.
ˇ pa enakost (1) pomnoˇzimo z λk , dobimo
Ce
λk xk = µ1 λk x1 + µ2 λk x2 + . . . + µk −1 λk xk −1 .
(3)
ˇ je λ niˇcla reda r karakteristiˇcnega polinoma det(A − λ I),
Ce
pravimo, da ima lastna vrednost λ algebraiˇcno veˇckratnost r .
ˇ lahko k lastni vrednosti λ poiˇscˇ emo m linearno neodvisnih
Ce
lastnih vektorjev, pravimo, da ima λ geometriˇcno veˇckratnost m.
Iz (2) in (3) sledi protislovna enakost
µ1 (λ1 − λk )x1 + µ2 (λ2 − λk )x2 + . . . + µk −1 (λk −1 − λk )xk −1 = 0.
Slednje pa ne drˇzi, saj je µi 6= 0 za neki i < k in λi 6= λk , vektorji
x1 , . . . , xk −1 pa so pravzaprav linearno neodvisni.
57
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Vedno je 1 ≤ m ≤ r in matrika je diagonalizabilna natanko tedaj,
ko je algebariˇcna veˇckratnost vsake lastne vrednosti enaka
njeni geometriˇcni veˇckratnosti.
Leslijev model populacijske rasti
Matrike
(t)
nk +1 = pk nk .
in sicer kot

Oznaˇcimo z rk povpreˇcno rodnost v starostnem razredu k.
Torej je
(t+1)
(t)
(t)
(t)
n1
= r1 n1 + r2 n2 + . . . + rm nm .
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Leslijev model populacijske rasti
Skupno sˇ tevilo osebkov v cˇ asu t lahko opiˇsemo z vektorjem
(t) (t)
(t)
N (t) = (n1 , n2 , . . . , nm )T . Zgornje enaˇcbe lahko potem
enostavno zapiˇsemo v matriˇcni obliki s pomoˇcjo Leslijeve
matrike


r1 r2 . . . rm−1 rm
 p1 0 . . .
0
0 



0
0 
L =  0 p2 . . .
,
 ..
.
.
..
.. 
 .

0 0 . . . pm−1 0
Razdelimo vse zˇ enske osebke v populaciji v m (enakih)
(t)
starostnih razredov in oznaˇcimo z nk sˇ tevilo osebkov v k-tem
starostnem razredu ob (diskretnem) cˇ asu t. Oznaˇcimo s
pk ∈ (0, 1) verjetnost, da osebek preˇzivi k-ti starostni razred in
ob naslednjem diskretnem cˇ asu vstopi v razred k + 1. Torej je
59
ˇ
Matjaˇz Zeljko
58
Leslijev model populacijske rasti
(t+1)
Lastne vrednosti



(t+1)
N
=



60
(t+1)
n1
(t+1)
n2
(t+1)
n3
..
.
(t+1)
nm


 
 
 
=
 
 

r1 r2
p1 0
0 p2
..
.
...
...
...
..
.
0
. . . pm−1
0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
rm−1
0
0
  (t)
n1
(t)

n2


  n(t)
 3
 .
  ..
(t)
0
nm
rm
0
0
..
.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)




 = LN (t) .



Matrike
Leslijev model populacijske rasti
Zanima nas, kako bi lahko cˇ imbolj enostavno doloˇcili N (t) ,
cˇ e je podan N (0) .
Zanima nas, ali obstaja kakˇsna “stabilna” porazdelitev
populacije, tj. kakˇsen vektor N in sˇ tevilo λ , da je
N (t) ≈ λ t N. (Izkaˇze se, da je λ ravno dominantna lastna
vrednost, N pa ustrezni lastni vektor.)
61
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)