1. No category

Uvod
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Predavatelj:
Kabinet:
Govorilna ura:
E-poˇsta:
Spletna stran:
ˇ
doc. dr. Matjaˇz Zeljko
5.06 (FMF, Jadranska 21)
ponedeljek, 13.15-14.00 *
[email protected]
http://zeljko.dmfa.si
Asistenta:
Kris Stopar, [email protected]
Nik Stopar, [email protected]
po dogovoru v 310 (FMF, Jadranska 19)
FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo
Govorilna ura:
1. teden
* ali po dogovoru po e-poˇsti
(Zadnja sprememba: 23. maj 2013)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
1
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
2
Uvod
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Funkcijske vrste
Funkcijske vrste
Obveznosti sˇ tudenta
ˇ
Vaje: Student
mora opraviti dva kolokvija iz snovi vaj in
reˇsiti dve domaˇci nalogi.
ˇ
Predavanja: Student
mora opraviti izpit iz snovi predavanj.
Naj bo I ⊂ R interval. Dano je zaporedje funkcij fk : I → R.
∞
Funkcijska vrsta je vrsta
ˇ za dani x ∈ I ta vrsta
∑ fk (x). Ce
k =1
ˇ za vsak
konvergira, pravimo, da vrsta konvergira v toˇcki x. Ce
x ∈ I vrsta konvergira v toˇcki x, pravimo, da vrsta konvergira po
toˇckah na intervalu I.
Zakljuˇcna ocena:
Ocena iz vaj: Za pozitivno oceno je potrebno zbrati vsaj
ˇ ocena iz delnih
50 % moˇznih toˇck iz delnih kolokvijev. Ce
kolokvijev ni pozitivna, je potrebno opravljati raˇcunski del
izpita. Pravilno in pravoˇcano reˇsena domaˇca naloga lahko
prinese do 5 % dodatnih toˇck, ki se priˇstejejo skupnemu
doseˇzku kolokvijev.
Zgled
Naj bo fk (x) = x k . Doloˇci najveˇcji interval I, da vrsta
∞
∑ fk (x)
k =1
konvergira po toˇckah na intervalu I.
Ocena iz teorije: Za pozitivno oceno je potrebno zbrati vsaj
50 % moˇznih toˇck na izpitu iz teorije.
3
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
4
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Funkcijske vrste
Diferencialni raˇcun
ˇ vrsta konvergira po toˇckah na intervalu I, po definiciji
Ce
konvergence to pomeni, da za vsak x ∈ I in vsak ε > 0 obstaja
m
N, da za vsaka m > n ≥ N velja |
∑
Izrek
ˇ obstaja konvergentna sˇ tevilska vrsta
Ce
fk (x)| < ε .
∞
k =n+1
ˇ
Stevilo
N je odvisno od x in ε .
|fk (x)| ≤ ak za vsak x ∈ I, je vrsta
m
∑
k =n+1
∞
∑ ak , da je
k =1
∑ fk (x) enakomerno
k =1
konvergentna na intervalu I.
Pravimo, da funkcijska vrsta konvergira enakomerno na
intervalu I, cˇ e vsak ε > 0 obstaja N, da za vsaka m > n ≥ N
velja |
Funkcijske vrste
fk (x)| < ε za vse x ∈ I.
ˇ
Stevilo
N je odvisno samo od ε , ne pa tudi od x.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
5
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Funkcijske vrste
Diferencialni raˇcun
Zgled
7
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Funkcijske vrste
Zgled
∞
Dokaˇzi, da je vrsta
ˇ
Matjaˇz Zeljko
6
∞
x2
konvergira za vsak x ∈ R,
2 k
k =0 (1 + x )
za noben a > 0 pa vrsta ni enakomerno konvergentna na
intervalu [0, a].
sin kx
enakomerno konvergentna na R.
k!
k =1
∑
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Dokaˇzi, da vrsta f (x) =
8
∑
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Funkcijske vrste
Diferencialni raˇcun
Poskusimo poiskati zgornjo mejo vsote (1). Naj bo sedaj N ∈ N.
Potem je
(
1
∞
x 6= 0
x2
(1+x 2 )N+1
.
RN (x) = ∑
=
2
k
0
x =0
k =N+1 (1 + x )
Pokazati moramo, da pogoj enakomerne konvergetnosti ni
m
izpolnjen. Naj bo Rm,n (x) =
∑
Funkcijske vrste
fk (x)|. Torej moramo poiskati
k =n+1
ε > 0, za katerega ne obstaja N, da bi za vsaka m > n ≥ N
veljalo
(1)
|Rm,n (x)| < ε
Torej je pri danem N in fiksem x velja sup Rm,n (x) = RN (x) in
za vse x ∈ [0, a].
m>n≥N
sup
sup Rm,n (x) = sup RN (x) = 1.
x∈[0,a] m>n≥N
x∈[0,a]
Torej tak N ne obstaja, cˇ e je ε < 1.
9
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
ˇ
Matjaˇz Zeljko
10
Funkcijske vrste
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Funkcijske vrste
Zveznost funkcijske vrste
y
Izrek
ˇ je funkcijska vrsta
Naj bodo fk : I → R zvezne funkcije. Ce
f
∞
∑ fk (x) enakomerno konvergentna, je njena vsota
k =1
bc
f (x) =
1
∞
∑ fk (x) zvezna funkcija.
k =1
bbc
bc
O
∞
f (x) =
1
x
x2
∑ (1 + x 2)k
k =0
11
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
12
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Funkcijske vrste
Diferencialni raˇcun
Funkcijske vrste
Integral funkcijske vrste
Zgled
∞
1
∑ 2n √1 + nx
Dokaˇzi, da je s predpisom f (x) =
Izrek
Naj bodo fk : I → R zvezne
funkcije.
Za vsak zaprt interval
doloˇcena
n=0
zvezna funkcija f : [0, ∞) → R in s pomoˇcjo tega izraˇcunaj
lim f (x).
x↓0
Z b
a
ˇ
Matjaˇz Zeljko
13
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Z b
∞
[a, b] ⊂ I je vrsta
∑
fk (x) dx
a
k =1
!
∞
∑ fk (x)
k =1
∞
dx =
Funkcijske vrste
Diferencialni raˇcun
Odvod funkcijske vrste
∑
k =1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
14
konvergentna in velja
Z
b
a
fk (x) dx .
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Potenˇcne vrste
Potenˇcne vrste
Naj bo (an ) zaporedje realnih sˇ tevil. Vrsta
Izrek
∞
ˇ je funkcijska vrsta
Naj bodo fk : I → R odvedljive funkcije. Ce
∞
∞
k =1
k =1
∑ ak x k
∑ fk (x) konvergentna, vrsta ∑ fk′ (x) pa enakomerno
konvergentna, je funkcija f : I → R, podana z f (x) =
odvedljiva in velja
′
f (x) =
k =0
∞
se imenuje potenˇcna vrsta.
∑ fk (x),
k =1
Izrek
∞
∑
fk′ (x).
ˇ je potenˇcna vrsta
Ce
k =1
∞
∑ ak x k konvergentna za x = x0 , je
k =0
absolutno konvergentna za vsak x, za katerega velja |x| < |x0 |.
15
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
16
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Potenˇcne vrste
Diferencialni raˇcun
ˇ obstaja tako sˇ tevilo R ∈ [0, ∞), da potenˇcna vrsta
Ce
Potenˇcne vrste
Zgled
∞
∞
∑ ak x k
(2)
Doloˇci konvergenˇcni polmer vrste
k =0
2k x k
.
k
k =1
∑
konvergira za vsak x, kjer je |x| < R, in divergira za vsak x, kjer
ˇ
je |x| > R, pravimo, da je R konvergenˇcni polmer vrste. Ce
vrsta (2) konvergira za vsak x, oznaˇcimo R = ∞.
Izrek
ˇ obstaja limita lim | an | = a, je polmer konvergenˇcnega
Ce
an+1
n→∞
kroga potenˇcne vrste
∞
∑ ak x k enak R = a.
k =0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
17
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Potenˇcne vrste
Diferencialni raˇcun
Izrek
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Potenˇcne vrste
Zgled
∞
Naj bo R konvergenˇcni polmer potenˇcne vrste
Doloˇci obmoˇcje absolutne in enakomerne konvergence vrste
∞
(x + 5)2k −1
∑ k4k .
k =1
∑ ak x k . Potem
k =0
vrsta konvergira absolutno za vsak |x| < R in za vsak 0 < r < R
vrsta konvergira enakomerno na intervalu [−r , r ].
19
ˇ
Matjaˇz Zeljko
18
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
20
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Potenˇcne vrste
Diferencialni raˇcun
Potenˇcne vrste
Odvod potenˇcne vrste
Izrek
∞
Naj bo R konvergeˇcni polmer potenˇcne vrste f (x) =
k =0
∞
Potenˇcna vrsta
velja f ′ (x) =
∞
∑ ak x k .
∑ kak x k −1 ima tudi konvergenˇcni polmer R in
k =1
∑ kak x k −1.
k =1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
21
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
22
Potenˇcne vrste
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Taylorjeva vrsta
Taylorjeva vrsta
Zgled
∞
Izraˇcunaj vsoto vrste
Videli smo zˇ e, da lahko za funkcijo, ki je v toˇcki x odvedljiva, v
okolici te toˇcke pa zvezna, zapiˇsemo
∑ kx k −1 .
k =1
f (x + h) ≈ f (x) + f ′ (x)h.
Ker je lim (f (x) + f ′ (x)h) = f (x) = lim f (x + h), je gornja formula
h→0
h→0
za majhne h precej natanˇcna. Teˇzava pa je v tem, da iz same
formule ni razvidno, kako majhen h moramo izbrati, da bo pri
danem ε > 0 veljalo
|f (x + h) − (f (x) + f ′ (x)h)| < ε .
V nadaljevanju si bomo ogledali, kako lahko funkcijo
aproksimiramo z drugo, enostavnejˇso funkcijo in ocenimo
napako aproksimacije.
23
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
24
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
ˇ sedaj v gornjih enaˇcbah postavimo h = 0, dobimo f (a) = b0 ,
Ce
f ′ (a) = b1 , f ′′ (a) = 2b2 , . . . , f (n+1) (a + h) = n!bn ; torej
Ko vstavimo v polinom
f (x) = c0 + c1 x + c2 x 2 + . . . + cn x n
izraz x = a + h, dobimo
bk =
f (a + h) = c0 + c1 (a + h) + c2 (a + h)2 + . . . + cn (a + h)n .
(3)
(4)
n
f (a + h) =
kjer je bk = bk (a). Po vrsti izraˇcunamo
f ′ (a + h) = b1 + 2b2 h + . . . + nbn hn−1 ,
f ′′ (a + h) = 2b2 + 3 · 2b3h + . . . + n(n − 1)bn hn−2 ,
..
.
f (n) (a + h) = n(n − 1) · · · 1
f
(a + h) = 0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
26
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
f (k ) (a)
(x − a)k .
k!
k =0
n
∑
(6)
Taylorjeva vrsta
Potem je g(a) = g(x) = 0 in po Rolleovem izreku obstaja toˇcka
ξ med a in x, da je g ′ (ξ ) = 0. Sledi
(k )
Za polinom Tn velja Tn (a) = f (a) in Tn (a) = f (k ) (a) za
k = 1, 2, . . . , n. V sploˇsnem pa Tn (x) ni enak f (x) za vsak x,
ampak je le pribliˇzek. Izraz
g ′ (t) =
f (k ) (a)
∑ k! (x − a)k .
k =0
n
Rn (x) = f (x) − Tn (x) = f (x) −
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Naj bo f : I → R (n + 1)-krat odvedljiva funkcija in x ∈ I poljubna
toˇcka z odprtega intervala I. Postavimo
n
f (k ) (t)
x − t n+1
k
g(t) = −f (x) + ∑
(x − t) + Rn (x)
.
k!
x
−
a
k =0
Naj bo f poljubna funkcija, ki je n-krat odvedljiva v toˇcki x = a.
Taylorev polinom funkcije f je
Tn (x) =
f (k ) (a) k
∑ k! h .
k =0
Ker je a + h = x, lahko zapiˇsemo Taylorjevo formulo za polinom
f:
n
f (k ) (a)
(x − a)k .
(5)
f (x) = ∑
k!
k =0
(n+1)
25
1 (k )
f (a) za k = 0, 1, . . . , n,
k!
ˇ sedaj to
kjer smo definirali 0! = 1 in k! = 1 · 2 · · ·k za k ∈ N. Ce
upoˇstevamo v (4), dobimo
Gornji izraz lahko preoblikujemo v
f (a + h) = b0 + b1 h + b2 h2 + . . . + bn hn ,
Taylorjeva vrsta
(n + 1)(x − t)n
f (n+1) (t)
(x − t)n − Rn (x)
.
n!
(x − a)n+1
Ker je g ′ (ξ ) = 0, sledi
tod
imenujemo ostanek v Taylorjevi formuli (in je odvisen od x, a in
n.)
f (n+1) (t)
(x
n!
Rn (x) =
ξ)
in od
− ξ )n = Rn (x) (n+1)(x−
(x−a)n+1
n
f (n+1) (ξ )
(x − a)n+1 .
(n + 1)!
Gornji izraz imenujemo Lagrangeova oblika ostanka v Taylorjevi
formuli.
27
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
28
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
Izrek
Naj bo n ∈ N in f zvezna funkcija, definirana na zaprtem
intervalu med a in x, ki je na odprtem intervalu med a in x
(n + 1)-krat odvedljiva. Potem obstaja sˇ tevilo ξ med a in x, da je
Taylorjeva vrsta
Zgled
Zapiˇsi Taylorjev polinom stopnje 2 funkcije f , podane z
f (x) = ln(x + 5) − ln5, in oceni napako aproksimacije na
intervalu [−1, 1].
f (n+1) (ξ )
f (k ) (a)
k
(x
−
a)
+
(x − a)n+1 .
∑ k!
(n
+
1)!
k =0
n
f (x) =
Pri fiksnem a je ostanek v Taylorjevi formuli odvisen sˇ e od x in
n. Pri funkcijah, ki so neskonˇcnokrat odvedljive, se lahko zgodi,
da je lim Rn (x) = 0. Za take funkcije velja
n→∞
∞
f (x) =
f (k ) (a)
∑ k! (x − a)k .
k =0
Gornji izraz imenujemo Taylorjeva vrsta funkcije f v okolici
toˇcke x = a.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
29
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
31
−
−1
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
ln(x + 5) − ln5
1
bc
x2
50
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Taylorjeva vrsta
Zgled
y
x
5
ˇ
Matjaˇz Zeljko
30
bc
Zapiˇsi Taylorjev polinom stopnje n funkcije f , podane z
( 1
−
e x 2 , x 6= 0
f (x) =
0,
x = 0.
bc
O 1
x
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
32
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta za
Taylorjeva vrsta
ex
y
Naj bo f (x) = ex . Videli smo zˇ e, da je f (k ) (x) = ex za vsak k.
Torej je razvoj pri a = 0 enak
bc
1
f
x
O
−1
n
1
f (k ) (0) k
x
+
R
(x)
=
n
∑ k! x k + Rn (x),
∑ k!
k =0
k =0
n
f (x) =
bc
bc
kjer je Rn (x) =
x n+1
ξ
(n+1)! e ,
ξ med 0 in x. Za vsak x in vsak ξ je
x n+1 ξ
e = 0.
n→∞ (n + 1)!
lim Rn (x) = lim
n→∞
Razvoj za eksponentno funkcijo se torej glasi
ex = 1 + x +
ˇ
Matjaˇz Zeljko
33
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
∞
xk
1 2 1 3
x + x + ... = ∑
2!
3!
k!
k =0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
34
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
za vsak x ∈ R.
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Taylorjeva vrsta
Taylorjeva vrsta za sin x
y
ex
Naj bo f (x) = sin x. Tedaj za vsak k velja
f (k ) (x) = sin(x + k · π2 ).
2
1 + x + x2!
Pri a = 0 je zato f (0) = 0, f ′ (0) = 1, f ′′ (0) = 0, f ′′′ (0) = −1,
f (4) (0) = 0, . . . , kar nam da
1
bc
f (x) = x −
1
bc
2
O
3
1 + x + x2! + x3!
1+x
−1
x
x
sin(ξ + (n + 1) · π2 ) in
Ostanek te vrste je namreˇc Rn (x) = (n+1)!
podobno kot prej izraˇcunamo lim Rn (x) = 0. Torej je
n+1
bc
n→∞
sin x = x −
35
ˇ
Matjaˇz Zeljko
∞
1 3 1 5
x 2k +1
x + x + . . . = ∑ (−1)k
.
3!
5!
(2k
+
1)!
k =0
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
36
∞
1 3 1 5
x 2k +1
za vsak x ∈ R.
x + x +. . . = ∑ (−1)k
3!
5!
(2k + 1)!
k =0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Taylorjeva vrsta za cos x
y
Naj bo f (x) = cos x. Tedaj za vsak k velja
x
x−
1
−π
f (k ) (x) = cos(x + k · π2 ).
bc
bc
π
bc
O
−1
x3
3!
bc
+
Pri a = 0 je zato f (0) = 1, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = −1, f ′′′ (0) = 0,
f (4) (0) = 1, . . . , kar nam da
x5
5!
bc
2π
f (x) = 1 −
x
bc
sin x
3
∞
1 2 1 4
x 2k
x + x + . . . = ∑ (−1)k
.
2!
4!
(2k)!
k =0
x
cos(ξ + (n + 1) · π2 ) in
Ostanek te vrste je namreˇc Rn (x) = (n+1)!
podobno kot prej izraˇcunamo lim Rn (x) = 0. Torej je
n+1
x − x3!
n→∞
cos x = 1 −
ˇ
Matjaˇz Zeljko
37
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
∞
1 2 1 4
x 2k
za vsak x ∈ R.
x + x + . . . = ∑ (−1)k
2!
4!
(2k)!
k =0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
38
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta za
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Taylorjeva vrsta
(1 + x)r
y
Naj bo f (x) = (1 + x)r . Potem je
2
4
f (k ) (x) = r (r − 1) · · · (r − k + 1)(1 + x)r −k .
1 − x2! + x4!
bc
− 32π
π
2
bc
− π2
1
1
bc
bc
r (r − 1) · · · (r − n + 1) n
r (r − 1) 2
x +...+
x + Rn (x).
2!
n!
Ostanek v Lagrangeovi
obliki je enak
r r
−n−1
Rn (x) = n+1 (1 + ξ )
x n+1 in dokazati je moˇzno, da je
lim Rn (x) = 0 za |x| < 1. Razvoj v potenˇcno vrsto (za |x| < 1)
f (x) = 1 + rx +
bc
bc
3π
2
O
−1
Za vsak k torej velja f (k ) (0) = r (r − 1) · · · (r − k + 1) in lahko
zapiˇsemo
x
bc
2
1 − x2!
cos x
n→∞
se torej glasi
∞ r
r (r − 1) 2 r (r − 1)(r − 2) 3
(1 + x) = 1+rx +
x +
x +. . . = ∑
xk,
k
2!
3!
k =0
−k +1)
.
kjer smo oznaˇcili 0r = 1 in kr = r (r −1)(r −2)···(r
k!
r
39
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
40
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
√
1
Za r = 12 imamo f (x) = (1 + x) 2 = 1 + x. Po vrsti izraˇcunamo
1 1
1 1
1
1
1
·( −1)
·( −1)·( 1 −2)
1
2 = 1,
2 = 2 2
= − 18 , 32 = 2 2 3! 2
= 16
, . . . . Torej
2
2
1
2
je
√
1
1
1
1 + x = 1 + x − x 2 + x 3 + . . . za |x| < 1.
2
8
16
1
(1 + x)− 2
− 12
y
2
1 + x2
√
1+x
√1 .
1+x
1
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
bc
1
3
5
1
1
√
= 1 − x + x 2 − x 3 + . . . za |x| < 1.
2
8
16
1+x
ˇ
Matjaˇz Zeljko
3
x
1 + x2 − x8 + 16
imamo f (x) =
Po vrsti izraˇcunamo
Za r =
=
1
1
1
1
·(−
−1)
−
−2
= 38 ,
= − 21 , −22 = 2 2 2
1
− 1 ·(− 1 −1)·(− 1 −2)
− 21 5
= 2 2 3! 2
= − 16
, . . . . Torej je
3
41
Taylorjeva vrsta
bc
−1
2
1 + x2 − x8
bc
x
O
ˇ
Matjaˇz Zeljko
42
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Taylorjeva vrsta
Taylorjeva vrsta za ln(1 + x)
y
Za f (x) = ln(1 + x) lahko izraˇcunamo
f (k ) (x) = (−1)k −1 (k − 1)!(1 + x)−k .
Sledi f (k ) (0) = (−1)k −1 (k − 1)! in
1 − 12 x + 83 x 2
1
bc
1
f (x) = x −
x2 x3 x4
+
−
+ ....
2
3
4
n
x n+1
Ostanek v Lagrangeovi obliki je enak Rn (x) = (−1)
in
n+1 ( 1+ξ )
dokazati je moˇzno, da je lim Rn (x) = 0 za |x| < 1. Razvoj za
√1
1+x
n→∞
bc
−1
x
O
5 3
x
1 − 12 x + 38 x 2 − 16
43
logaritemsko vrsto se torej glasi
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
1−
1
2x
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ln(1 + x) = x −
44
∞
x2 x3 x4
xk
+
−
+ . . . = ∑ (−1)k −1
2
3
4
k
k =1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
za |x| < 1.
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Uporaba Taylorjeve vrste pri raˇcunanju limit
y
2
3
x − x2 + x3
Zgled
x
√
√
3
1+x− 3 1−x
.
x
x→0
Izraˇcunaj limito lim
ln(1 + x)
bc
1
bc
−1
bc
x
O
2
x − x2
2
3
4
x − x2 + x3 − x4
ˇ
Matjaˇz Zeljko
45
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
46
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
Zgled
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Taylorjeva vrsta
Zgled
Izraˇcunaj limito lim
x→0
ex −cos x
x
.
Izraˇcunaj limito lim
x→0
ln(1+x)
.
x
Zgled
Razvij funkcijo f , f (x) =
47
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
48
1
,
1+x 2
v Taylorjevo vrsto okoli x = 0.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Karakerizacija ekstremov s pomoˇcjo viˇsjih odvodov
Zgled
Poiˇscˇ i vse ekstreme funkcije x 7→ arc tan(2x) − 2x.
Videli smo zˇ e, da ima funkcija ekstrem v taki stacionarni toˇcki,
da prvi odvod spremeni predznak pri prehodu preko nje.
Ekstrem pa lahko prepoznamo tudi s pomoˇcjo viˇsjih odvodov.
Izrek
Naj bo funkcija f (n + 1)-krat odvedljiva in naj v stacionarni toˇcki
x0 velja
f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0
in
f (n) (x0 ) 6= 0.
ˇ je n sodo sˇ tevilo, je v tej toˇcki ekstrem in sicer lokalni
Ce
maksimum, cˇ e je f (n) (x0 ) < 0, in lokalni minimum, cˇ e je
f (n) (x0 ) > 0.
ˇ je n liho sˇ tevilo, v tej toˇcki ni ekstrema.
Ce
49
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
50
Taylorjeva vrsta
Diferencialni raˇcun
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Taylorjeva vrsta
Eulerjeva formula
Videli smo zˇ e, da je
ex = 1 + x +
1 2 1 3 1 4 1 5
x + x + x + x + ....
2!
3!
4!
5!
Dokazati je moˇzno, da je ta vrsta konvergira za vsako
kompleksno sˇ tevilo x. Ko namesto x v vrsto vstavimo ix, kjer je
i imaginarna enota (tj. i 2 = −1), dobimo
eix
1
1
1
1
= 1 + ix − x 2 − i x 3 + x 4 − i x 5 + . . . =
2!
3!
4! 5!
1 2 1 4
1 3 1 5
=
1 − x + x + ... + i x − x + x + ... .
}
| 2! {z4!
}
| 3! {z5!
cos x
sin x
Torej smo izpeljali Eulerjevo formulo
eix = cos x + i sin x.
51
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
52
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialni raˇcun
Taylorjeva vrsta
Kot zanimivost navedimo sˇ e enaˇcbo, ki povezuje pet
najpomembnejˇsih matematiˇcnih konstant:
ei π + 1 = 0.
53
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)