1. No category

Funkcije
Sploˇsni pojem funkcije
Sploˇsni pojem funkcije
Naj bosta X in Y mnoˇzici. Funkcija ali preslikava f : X → Y je
pravilo f , ki vsakemu elementu x mnoˇzice X priredi natanˇcno
doloˇcen element f (x) mnoˇzice Y . Oznaˇcimo lahko tudi
x 7→ f (x).
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Mnoˇzico X imenujemo definicijsko obmoˇcje ali domena,
mnoˇzico f (X ) = {f (x); x ∈ X } pa zaloga vrednosti funkcije f .
Definicijsko obmoˇcje funkcije f oznaˇcimo tudi z Df , zalogo
vrednosti pa z Zf .
BF – Biologija
3. teden
Graf funkcije f : X → Y je mnoˇzica
(Zadnja sprememba: 20. marec 2011)
Γ(f ) = {(x, f (x)) ∈ X × Y ; x ∈ X } ⊂ X × Y .
ˇ
Matjaˇz Zeljko
1
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
2
Sploˇsni pojem funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Funkcija f je tako doloˇcena, cˇ e je podano definicijsko obmoˇcje
Df in funkcijski predpis, ki vsakemu x ∈ Df priredi natanˇcno
doloˇcen element f (x). Funkcijski predpis podamo lahko s
tabelo, besedilom, diagramom, ali pa, kot je v matematiki
obiˇcajno, analitiˇcno. Analitiˇcno lahko podamo funkcijo
Sploˇsni pojem funkcije
Naj bo I ⊂ R interval in f : I → R funkcija. Funkcija f je navzgor
omejena, cˇ e obstaja M ∈ R, da je f (x) ≤ M za vsak x ∈ I.
ˇ
Stevilo
M imenujemo zgornja meja funkcije f .
y
eksplicitno; tj. v obliki y = f (x)
M
implicitno; tj. v obliki F (x, y) = 0
bc
parametriˇcno; tj. v obliki x = g(t), y = h(t)
ˇ je funkcija podana eksplicitno, jo enostavno pretvorimo v
Ce
implicitno ali parametriˇcno obliko. Obratna pot ni vedno moˇzna
ali pa je raˇcunsko neizvedljiva.
Zgled
I
Funkcijo y = f (x) zapiˇsemo implicitno kot F (x, y) = y − f (x),
parametriˇcno pa kot x = t, y = f (t).
3
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
4
ˇ
Matjaˇz Zeljko
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Sploˇsni pojem funkcije
Funkcije
Funkcija f je navzdol omejena, cˇ e obstaja m ∈ R, da je f (x) ≥ m
ˇ
za vsak x ∈ I. Stevilo
m imenujemo spodnja meja funkcije f .
Funkcija f je omejena, cˇ e je navzgor in navzdol omejena. Torej
obstajata m, M ∈ R, da je m ≤ f (x) ≤ M za vsak x ∈ I.
y
y
M
m
ˇ
Matjaˇz Zeljko
5
bc
m
bc
Funkcije
bc
x
I
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
x
I
ˇ
Matjaˇz Zeljko
6
Sploˇsni pojem funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Natanˇcna zgornja meja funkcije f je njena najmanjˇsa zgornja
meja: torej sˇ tevilo M ∈ R, da je f (x) ≤ M za vsak x ∈ I in da za
vsak ε > 0 obstaja x0 ∈ I, da je f (x0 ) > M − ε . Pogosto
oznaˇcimo M = sup(f ).
Sploˇsni pojem funkcije
Natanˇcna spodnja meja funkcije f je njena najveˇcja spodnja
meja: torej sˇ tevilo m ∈ R, da je f (x) ≥ m za vsak x ∈ I in da za
vsak ε > 0 obstaja x0 ∈ I, da je f (x0 ) < m + ε . Pogosto
oznaˇcimo m = inf(f ).
y
y
M
M −ε
Sploˇsni pojem funkcije
bc
bc
bc
m+ε
bc
bc
m
bc
x0 I
7
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
bc
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
I
8
ˇ
Matjaˇz Zeljko
x0
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Sploˇsni pojem funkcije
Funkcije
Sploˇsni pojem funkcije
Zgled
Obravnavaj omejenost funkcije f : [1, ∞) → R, podane s
predpisom f (x) = x1 .
Niˇcla funkcije f je tako sˇ tevilo a, da je f (a) = 0.
y
y
1
bc
bc
bc
bc
O
x
a
f (x) =
1
x
bc
x
1
Funkcija f je omejena in velja sup(f ) = 1, inf(f ) = 0. Ker velja
f (1) = sup(f ), je sup(f ) = max(f ). Ker pa je f (x) > 0 za vsak
x > 0, ne obstaja toˇcka x0 , v kateri je f (x0 ) = inf(f ) in zato ne
obstaja minimum funkcije f .
ˇ
Matjaˇz Zeljko
9
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
10
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Sploˇsni pojem funkcije
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Sploˇsni pojem funkcije
Toˇcka x0 je pol funkcije f , cˇ e je v vsaki njeni okolici funkcija f
neomejena; tj. cˇ e za vsak M obstaja ε > 0, da je |f (x)| > M za
vsak 0 < |x − x0 | < ε .
Funkcija f : R \ {−1} → R, f (x) =
x0 = −1.
y
Funkcija f : R → R,
f (x) =
M
bc
bc
11
x0 − ε x0 x0 + ε
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
bc
1
x+1 ,
0,
ima pol v toˇcki
cˇ e je x =
6 −1,
cˇ e je x = −1
ima pol v toˇcki x0 = −1 ∈ Df .
f
O
(
1
x+1 ,
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
12
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Sploˇsni pojem funkcije
Funkcije
Sploˇsni pojem funkcije
Definicijsko obmoˇcje funkcije f je simetriˇcno, cˇ e je x ∈ Df
natanko tedaj, ko je −x ∈ Df . Funkcija f je soda, cˇ e ima
simetriˇcno definicijsko obmoˇcje in velja f (−x) = f (x) za vsak
x ∈ Df .
Funkcija f je liha, cˇ e ima simetriˇcno definicijsko obmoˇcje in
velja f (−x) = −f (x) za vsak x ∈ Df .
y
f (x)
y
f (x)
bc
bc
bc
−x
bc
bc
bc
O
−x
bc
bc
O
bc
x
Graf sode funkcije je simetriˇcen na ordinatno os.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Funkcije
x
bc
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
bc
−f (x)
bc
13
bc
x
Graf lihe funkcije je simetriˇcen na koordinatno izhodiˇscˇ e.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
14
Sploˇsni pojem funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Sploˇsni pojem funkcije
Zgled
f
Funkcija x 7→
soda ne liha.
ex +e−x
2
h ex −e−x
2
je soda, x 7→
Enostavno je videti, da je
f
Vsota in razlika dveh lihih funkcij je liha funkcija, produkt in
kvocient dveh lihih pa je soda funkcija.
bc
1
g
Produkt in kvocient sode in lihe funkcije je liha funkcija.
bc
bc
bc
−1
h
ˇ
Matjaˇz Zeljko
pa ni ne
y
Vsota, razlika, produkt in kvocient dveh sodih funkcij je
soda funkcija.
15
g ex
2
liha, x 7→
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
16
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
O
1
x
−1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Sploˇsni pojem funkcije
Funkcije
Funkcija f : I → R je naraˇscˇ ajoˇca na intervalu I, cˇ e je
f (x1 ) ≤ f (x2 ) za vsaka x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 . Funkcija f : I → R je
strogo naraˇscˇ ajoˇca na intervalu I, cˇ e je f (x1 ) < f (x2 ) za vsaka
x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 .
Funkcija f : I → R je padajoˇca na intervalu I, cˇ e je f (x1 ) ≥ f (x2 )
za vsaka x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 . Funkcija f : I → R je strogo
padajoˇca na intervalu I, cˇ e je f (x1 ) > f (x2 ) za vsaka x1 , x2 ∈ I,
x1 < x2 .
y
y
f (x2 )
bc
f (x1 )
bc
bc
bc
bc
bc
x1
x2
I
ˇ
Matjaˇz Zeljko
17
Sploˇsni pojem funkcije
bc
f (x2 )
bc
bc
bc
bc
x
bc
x1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
f (x1 )
I
ˇ
Matjaˇz Zeljko
18
Sploˇsni pojem funkcije
Funkcije
x
x2
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Sploˇsni pojem funkcije
Inverzna funkcija
Zgled
ˇ obstaja taka funkcija g : Y → X ,
Naj bo f : X → Y funkcija. Ce
da je g ◦ f = idX in f ◦ g = idY , pravimo, da je g inverz funkcije f
in oznaˇcimo f −1 = g. Spomimo se, da inverzna funkcija k dani
funkciji f obstaja natanko tedaj, ko je f bijektivna.
Funkcija f : R → R, podana s predpisom f (x) = x 22x+1 , je na
intervalu [−1, 1] strogo naraˇscˇ ajoˇca, na intervalih (−∞, −1], in
[1, ∞) pa strogo padajoˇca.
Inverzno funkcijo grafiˇcno
doloˇcimo tako, da nariˇsemo
graf funkcije f in ga prezrcalimo cˇ ez simetralo lihih
kvadrantov.
Analitiˇcno pa
doloˇcimo inverzno funkcijo
tako, da enaˇcbo y = f (x)
“reˇsimo” na x; torej tako, da
iz enaˇcbe y = f (x) izrazimo
x = g(y).
y
bc
−1
bc
bc
bc
O
1
x
bc
19
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
20
ˇ
Matjaˇz Zeljko
y
1
f −1 (x) = x 3 + 2
bc
2
bc
bc
1
O
bc
bc
bc
1 2
x
f (x) = (x − 2)3
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Limita funkcije
Funkcije
Naj bo x0 notranja toˇcka intervala I in f : I \ {x0 } → R dana
ˇ
funkcija. Stevilo
A je limita funkcije f v toˇcki x0 , cˇ e za vsak ε > 0
obstaja δ > 0, da za vsak x ∈ I iz 0 < |x − x0 | < δ sledi
|f (x) − A| < ε . Oznaka: lim f (x) = A.
Zgled
Dokaˇzi, da je lim (2x + 1) = 3.
x→x0
x→1
y
Oznaˇcimo f (x) = 2x + 1 in izberimo ε .
Poiskati moramo tak δ , da je
f
A+ε
A
bc
Ker je f (x) − 2 = 2(x − 1), bo za |x −
1| < 2ε veljalo |2(x − 1)| < ε . Torej za
δ = 2ε velja: cˇ e je 0 < |x − 1| < δ , je
|f (x) − 3| < ε .
A−ε
O
x0 − δ
ˇ
Matjaˇz Zeljko
21
Funkcije
y
3
bc
bc
|f (x) − 3| < ε za 0 < |x − 1| < δ .
bc
bc
Limita funkcije
bc
x0
x0 + δ
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
22
Limita funkcije
Funkcije
bc
O
bc
1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Limita funkcije
Zgled
Izrek (Izrek o sendviˇcu)
Doloˇci lim f (x) za funkcijo f , podano s predpisom
x→1
(
x 2 −1
cˇ e je x 6= 1,
f (x) = x−1
1
cˇ e je x = 1.
ˇ je lim f (x) = lim h(x) = A in je f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) za vse x
Ce
Velja: lim f (x) = 2 in f (1) = 1.
x→x0
x→x0
blizu x0 (razen za x = x0 ), obstaja tudi limita lim g(x) in je
x→x0
enaka A.
y
y
x→1
Limita funkcije f v toˇcki x0 ni
2
odvisna od funkcijske vrednosti v tej toˇcki. V definiciji li1
mite imamo namreˇc pogoj 0 <
|x − x0 | < δ , kar pomeni, da
O
x
se x toˇcki x0 sicer poljubno
1
pribliˇzuje, vendar te toˇcke ne
ˇ veˇc, zaradi pogoja
doseˇze. Se
|x − x0 | > 0 tudi ni potrebno, da je funkcija f v toˇcki x0 sploh
definirana.
h
bc
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
A
b
bc
23
x
bc
bc
g
f
bc
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
bc
O
bc
x0
24
ˇ
Matjaˇz Zeljko
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Limita funkcije
Funkcije
Leva in desna limita
Zgled
Dokaˇzi, da je lim
x→0
sin x
x
ˇ
Stevilo
A je leva limita funkcije f v toˇcki x0 , cˇ e za vsak ε > 0
obstaja δ > 0, da za vsak x ∈ I iz 0 < x0 − x < δ sledi
|f (x) − A| < ε . Oznaka: lim f (x) = A.
= 1.
y
S skice razberemo, da za 0 <
x < π2 velja ocena
x↑x0
1
(Z oznako x ↑ x0 poudarimo, da x naraˇscˇ a k x0 .)
bc
|CD| = sin x < x < tan x = |AB|.
B
1
Torej je 1 < sinx x < cos
x , kar
lahko zapiˇsemo tudi v obliki
D
sin x
< 1.
cos x <
x
bc
Ker
Limita funkcije
je
lim cos x = 1,
po
x→0
x
O
y
bc
bc
bc
bc
C
A
A+ε
A
A−ε
x
bc
bc
bc
sin x
x→0 x
ˇ
Matjaˇz Zeljko
25
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
bc
x0 − δ
O
= 1.
prejˇsnjem izreku sledi lim
ˇ
Matjaˇz Zeljko
26
Limita funkcije
bc
x0
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Limita funkcije
Neposredno iz definicije limite vidimo, da obstaja lim f (x)
ˇ
Stevilo
A je desna limita funkcije f v toˇcki x0 , cˇ e za vsak ε > 0
obstaja δ > 0, da za vsak x ∈ I iz 0 < x − x0 < δ sledi
|f (x) − A| < ε . Oznaka: lim f (x) = A.
x→x0
natanko tedaj, ko obstajata limiti lim f (x) in lim f (x) in sta enaki.
x↑x0
x↓x0
Zgled
x↓x0
(Z oznako x ↓ x0 poudarimo, da x pada k x0 .)
Izraˇcunaj lim arc tan x1 in lim arc tan x1 . Ali obstaja lim arc tan x1 ?
x↓0
y
x↑0
x→0
y
A+ε
A
A−ε
π
2
bc
bc
O
bc
bc
x
bc
O
27
bc
bc
x0 x0 + δ
ˇ
Matjaˇz Zeljko
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
− π2
28
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Limita funkcije
Funkcije
Limita funkcije
Limita v neskonˇcnosti
Zgled
1
1
x→0 1+e x
Ali obstaja lim
Funkcija x 7→
1
x
1
1
x↓0 1+e x
Torej je lim
ˇ
Stevilo
A je limita funkcije f v neskonˇcnosti, z oznako
lim f (x) = A, cˇ e za vsak ε > 0 obstaja b, da za vsak x > b velja
?
x→∞
lim x1
x↓0
ima pri x = 0 pol:
= +∞ in
1
1
x→0 1+e x
= 0 in lim x1 = 1 ter lim
x↑0
lim x1
x↑0
|f (x) − A| < ε .
= −∞.
y
ne obstaja.
A+ε
A
A−ε
y
1
bc
bc
bc
bc
f
bc
1
2
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
29
x
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
bc
O
bc
O
x
b
ˇ
Matjaˇz Zeljko
30
Limita funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Limita funkcije
Neskonˇcna limita
ˇ za vsak b obstaja δ > 0, da je f (x) > b za 0 < |x − a| < δ ,
Ce
pravimo, da gre vrednost funkcije f preko vsake meje, ko gre x
proti a, in oznaˇcimo lim f (x) = ∞.
Podobno oznaˇcimo lim f (x) = A, cˇ e za vsak ε > 0 obstaja b,
x→−∞
da za vsak x < b velja |f (x) − A| < ε .
x→a
y
y
A+ε
A
A−ε
bc
bc
bc
f
bc
b
bc
b
O
bc
x
f
bc
O
31
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
32
a−δ
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
bc
bc
a a+δ
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Limita funkcije
Funkcije
Podobno oznaˇcimo lim f (x) = −∞, cˇ e za vsak b obstaja δ > 0,
Zgled
x→a
da je f (x) < b za 0 < |x − a| < δ .
y
a−δ
bc
O
bc
Naj bosta p(x) = am x m + . . . + a0 in q(x) = bn x n + . . . + b0
p(x)
.
polinoma, am 6= 0 6= bn . Izraˇcunaj lim q(x)
x→∞
a a+δ
bc
bc
x
ˇ
Stevec
in imenovalec ulomka
p(x)
q(x)
delimo z x n in dobimo
p(x) am x m−n + am−1 x m−n−1 + . . . + a0 x −n
=
.
q(x)
bn + bn−1 x −1 + . . . + b0 x −n
f
b
Limita funkcije
bc
Ker je lim (bn + bn−1 x −1 + . . . + b0 x −n ) = bn 6= 0, od tod sledi
x→∞


0
cˇ e je m < n,
cˇ e je m = n,
cˇ e je m > n.
p(x)
lim
= abmn
x→∞ q(x)


∞ · sign( abmn )
ˇ
Matjaˇz Zeljko
33
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Limita funkcije
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Zveznost
Zveznost
Zgled
√
√
√
√
Izraˇcunaj lim ( x 2 + x − x 2 − x) in lim ( x 2 + x − x 2 − x).
x→∞
Naj bo x0 poljubna toˇcka intervala I in f : I → R dana funkcija.
Funkcija f je zvezna v toˇcki x0 , cˇ e za vsak ε > 0 obstaja δ > 0,
da za vsak x ∈ I iz |x − x0 | < δ sledi |f (x) − f (x0 )| < ε .
x→−∞
Pri izraˇcunih limit v neskonˇcnosti si pogosto pomagamo z
enakimi prijemi kot pri raˇcunanju limit zaporedij. Torej
p
p
2x
(x 2 + x) − (x 2 − x)
√
√
x2 + x − x2 − x = √
=√
.
x2 + x + x2 − x
x2 + x + x2 − x
Pri limiti x → ∞ lahko predpostavimo, da je x > 0 in zato
2x
2
q
√
lim √
= lim q
= 1.
x→∞
x→∞ x 2 + x + x 2 − x
1 + x1 + 1 − x1
35
ˇ
Matjaˇz Zeljko
34
Pri limiti x → −∞ lahko predpostavimo, da je x < 0 in zato
2
2x
q
√
= lim q
= −1,
lim √
x→−∞
x→−∞ x 2 + x + x 2 − x
1
1
− 1+ x − 1− x
√
kjer smo upoˇstevali, da je x 2 = |x| = −x za x < 0.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
y
f (x0 ) + ε
f (x0 )
f
bc
bc
f (x0 ) − ε
bc
O
x0 − δ
bc
x0
x0 + δ
x
Pravimo, da je funkcija f zvezna na intervalu I, cˇ e je zvezna v
vsaki njegovi toˇcki.
36
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Zveznost
Funkcije
Funkcija je zvezna z desne v toˇcki x0 , cˇ e za vsak ε > 0 obstaja
δ > 0, da za vsak x ∈ I iz 0 ≤ x − x0 < δ sledi |f (x) − f (x0 )| < ε .
Funkcija je zvezna z leve v toˇcki x0 , cˇ e za vsak ε > 0 obstaja
δ > 0, da za vsak x ∈ I iz 0 ≤ x0 − x < δ sledi |f (x) − f (x0 )| < ε .
y
y
f (x0 ) + ε
f (x0 )
f (x0 ) − ε
bc
bc
bc
x0 − δ
O
ˇ
Matjaˇz Zeljko
37
f (x0 ) + ε
f (x0 )
f (x0 ) − ε
bc
bc
x0
x
Funkcije
−2
bc
bc
bc
bc
O
bc
bc
bc
1
2
3
bc
bc
bc
cˇ e je x ∈ Q,
je nezvezna v
cˇ e je x ∈
/ Q,
y
x
−1
bc
Zveznost
Zgled
bc
bc
bc
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
(
1,
Dirichletova funkcija f (x) =
0,
vsaki toˇcki x ∈ R.
bc
−1
bc
Mnoˇzica toˇck, v katerih je funkcija f : R → R nezvezna, je lahko
konˇcna (ali celo prazna) ali neskoˇcna (ali celo vsa realna
sˇ tevila).
Za realno sˇ tevilo x z [x] oznaˇcimo najveˇcje celo sˇ tevilo, ki ne
presega x. Torej je [π ] = 3 in [−π ] = −4.
bc
bc
x0 x0 + δ
Funkcije
Funkcija celi del
1
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
38
Zveznost
y
2
bc
bc
O
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Zveznost
bc
1
−2
bc
bc
O
x0
x
Funkcija x 7→ [x] je v vseh celoˇstevilskih toˇckah zvezna z desne.
39
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
40
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Zveznost
Funkcije
Zveznost
Zgled
Doloˇci vrednosti konstant a in b tako, da bo funkcija f : R → R,


ax + b, cˇ e je x > 2,
f (x) = 5,
cˇ e je x = 2,


bx − a, cˇ e je x < 2,
Izrek
Funkcija f : I → R je v toˇcki x0 ∈ I zvezna natanko tedaj, ko je
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Pogosto je funkcija f v okolici toˇcke x0 podana z veˇc predpisi.
Ker je lim f (x) = A natanko tedaj, ko obstajata limiti lim f (x) in
x→x0
x↑x0
zvezna v toˇcki x = 2.
lim f (x) in sta enaki A, lahko zveznost v toˇcki x0 dokaˇzemo tudi
x↓x0
Da bi bila funkcija zvezna v toˇcki 2, mora veljati
lim f (x) = lim f (x) = f (2). Ker je lim f (x) = 2b − a,
s pomoˇcjo leve in desne limite:
x↑2
Izrek
Funkcija f : I → R je v toˇcki x0 ∈ I zvezna natanko tedaj, ko je
x↑2
x↓2
2b − a = 5
lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ).
2a + b = 5
x↓x0
x↑x0
x↓2
lim f (x) = 2a + b in f (2) = 5, mora veljati
ˇ enaˇcbi odˇstejemo, dobimo b − 3a = 0, oz. b = 3a in od tod
Ce
2a + 3a = 5. Sledi a = 1 in b = 3.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
41
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
42
Zveznost
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Zveznost
Izrek
Naj bosta f , g : I → R funkciji in naj obstajata limiti lim f (x) in
x→x0
lim g(x). Potem obstajata tudi limiti lim (f (x) + g(x)) in
x→x0
x→x0
lim (f (x) · g(x)) in velja
Posledica
x→x0
lim (f (x) + g(x)) =
x→x0
lim (f (x) · g(x)) =
x→x0
ˇ sta funkciji f in g zvezni v toˇcki x0 , sta v tej toˇcki zvezni tudi
Ce
ˇ je g(x0 ) 6= 0, je
funkciji x 7→ (f (x) + g(x)) in x 7→ (f (x) · g(x)). Ce
f (x)
v toˇcki x0 zvezna tudi funkcija x 7→ g(x) .
lim f (x) + lim g(x)
x→x0
x→x0
lim f (x) · lim g(x)
x→x0
x→x0
ˇ je g(x) 6= 0 za vse x blizu x0 in lim g(x) 6= 0, obstaja tudi
Ce
x→x0
limita
f (x)
lim g(x)
x→x0
in velja
lim f (x)
f (x)
x→x0
lim
=
.
x→x0 g(x)
lim g(x)
x→x0
43
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
44
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Zveznost
Funkcije
Zveznost
Kompozitum zveznih funkcij
Posledica
ˇ je funkcija f zvezna v toˇcki x0 in funkcija g zvezna v toˇcki
Ce
f (x0 ), je tudi funkcija g ◦ f zvezna v toˇcki x0 .
Izrek
ˇ obstaja limita lim f (x) (oznaˇcimo jo z A) in je funkcija g
Ce
x→x0
zvezna v toˇcki A, obstaja tudi limita lim g(f (x)) in velja
x→x0
lim g(f (x)) = g(A).
x→x0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
45
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Zveznost
Funkcije
Zgled
Zgled
Izraˇcunaj limito
Ker je
x−3
x−4 .
x 2 −5x+6
x 2 −6x+8
Ker je
2 −5x+6
lim xx 2 −6x+8
x→x0
Izraˇcunaj lim
za x0 = 2 in x0 = 3.
(x−2)(x−3)
smo
(x−2)(x−4) , lahko za x 6= 2 ulomek okrajˇ
x−3
funkcija x 7→ x−4 v toˇcki x = 2 zvezna, tako velja
=
Raˇcunajmo
√
x2 + 3 − 2
x +1
v
x −3
2−3 1
x − 3 = lim
lim 2
=
=
= .
x→2 x − 4
x→2 x − 6x + 8
x − 4 x=2 2 − 4 2
x 2 −5x+6
2
x
x→3 −6x+8
Izraˇcun limite lim
47
x 2 −5x+6
x 2 −6x+8
=
v toˇcki x = 3 zvezna in zato velja
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Zveznost
x 2 +3−2
.
x+1
√
√
( x 2 + 3 − 2)( x 2 + 3 + 2)
√
=
(x + 1)( x 2 + 3 + 2)
√
( x 2 + 3)2 − 22
(x 2 + 3) − 4
√
√
=
=
(x + 1)( x 2 + 3 + 2) (x + 1)( x 2 + 3 + 2)
(x − 1)(x + 1)
x −1
√
=√
.
(x + 1)( x 2 + 3 + 2)
x2 + 3 + 2
Torej je
x 2 − 5x + 6
0
x 2 − 5x + 6 lim 2
= 0.
=
= 2
x→3 x − 6x + 8
x − 6x + 8 x=3 −1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
=
=
pa ni problematiˇcen, saj je funkcija
ˇ
Matjaˇz Zeljko
√
x→−1
x 2 − 5x + 6
x 7→
ˇ
Matjaˇz Zeljko
46
lim
x→−1
48
√
x −1
−2
1
x2 + 3 − 2
= lim √
=√
=− .
x +1
x→−1 x 2 + 3 + 2
2
4+2
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Zveznost
Funkcije
Zgled
Izraˇcunaj
Iz
lim sin x
x→0 x
Ker je
sin 3x
lim sin
5x
x→0
in
Opisanega prijema pa pri drugi limiti ne moremo uporabiti, saj
je lim sin3x3x = lim sin5x5x = 0.
lim sin 3x .
x→π sin 5x
x→π
= 1 sledi, da je za vsak a 6= 0 tudi
sin 3x
=
sin 5x
Zveznost
sin 3x
3x
sin 5x
5x
·
lim sin ax
x→0 ax
x→0
ˇ gre x → π , gre t → 0. Ker je
Piˇsimo t = x − π oz. x = t + π . Ce
= 1.
sin(3x) = sin 3(t + π ) = sin(3t + 3π ) =
= sin 3t cos 3π + cos 3t sin 3π = − sin 3t
3x
,
5x
in podobno sin(5x) = − sin 5t, sledi
je
lim sin 3x
3x
3
sin 3x
x→0 3x
· lim
=
= .
lim
sin
5x
5
x→0 sin 5x
lim 5x x→0 5x
lim
x→π
− sin 3t
3
sin 3x
= lim
= .
sin 5x t→0 − sin 5t
5
x→0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
49
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Zveznost
Funkcije
Zgled
x→∞

1,
xm − 1 
= 0,
lim
x→∞ x n − 1


∞,
x m −1
x n −1
Izraˇcunaj limito lim
cˇ e je m = n,
cˇ e je m < n,
cˇ e je m > n,
(x − 1)(x + 1)
x −1
2
x2 − 1
= lim
= lim 2
=− .
3
2
x→−1 (x + 1)(x − x + 1)
x→−1 x − x + 1
x→−1 x + 1
3
lim
Zgled
x m −1
.
n
x→1 x −1
xm − 1
x→1 x n − 1
51
Zveznost
x 2 −1
.
3
x
x→−1 +1
.
Naj bosta m, n ∈ N. Izraˇcunaj lim
lim
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Zgled
Naj bosta m, n ∈ N. Izraˇcunaj lim
Zgled
ˇ
Matjaˇz Zeljko
50
(x − 1)(x m−1 + x m−2 + · · · + 1)
=
x→1 (x − 1)(x n−1 + x n−2 + · · · + 1)
x m−1 + x m−2 + · · · + 1 m
= lim n−1
= .
x→1 x
n
+ x n−2 + · · · + 1
=
√
(2−x) x+7
.
x 2 −4
x→2
Izraˇcunaj limito lim
lim
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
√
√
√
−(x − 2) x + 7
(2 − x) x + 7
− x +7
3
= lim
lim
= lim
=− .
2
x→2 (x − 2)(x + 2)
x→2
x→2 x + 2
4
x −4
52
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Zveznost
Funkcije
Lastnosti zveznih funkcij
Izrek
ˇ je f : [a, b] → R zvezna funkcija in je f (a)f (b) < 0, ima
Ce
funkcija f na tem intervalu vsaj eno niˇclo.
Zgled
1−cos x
.
x2
x→0
Izraˇcunaj limito lim
1 − cosx
x→0
x2
lim
Naj bo f (a) > 0 > f (b). Trditev je geometriˇcno nazorna, saj je
graf zvezne funkcije nepretrgan. Ker leˇzi toˇcka A(a, f (a)) na
zgornji polravnini, toˇcka B(b, f (b)) pa na spodnji, mora graf
funkcije f med toˇckama A in B vsaj enkrat sekati abscisno os.
(1 − cosx)(1 + cos x)
=
x→0
x 2 (1 + cosx)
=
lim
bc
A
sin2 x
1
1
= lim
= ,
·
2
x→0 x
1 + cos x
2
kjer smo upoˇstevali
lim sin x
x→0 x
bc
a
Funkcije
c1
a1
bc
Lastnosti zveznih funkcij
bc
bc
c3
a3
bc
c2
b2
bc
bc
bc
bc
bc
b3
bc
c4
a4
b4
Lastnosti zveznih funkcij
bc
A
bc
bc
b
bc
f (a1 ) > 0 > f (b1 ).
bc
a
ˇ v razpoloviˇscˇ u c2 intervala
Razpolovimo interval [a1 , b1 ]. Ce
[a1 , b1 ] velja f (c2 ) = 0, smo tako toˇcko zˇ e naˇsli, sicer pa na
enem od podintervalov, oznaˇcimo ga z [a2 , b2 ], velja
f (a2 ) > 0 > f (b2 ). Postopek sˇ e ponavljamo . . .
Tako dobimo naraˇscˇ ajoˇce zaporedje (an ) levih krajiˇscˇ in
padajoˇce zaporedje (bn ) desnih krajiˇscˇ . Obe zaporedji sta
konvergentni in imata skupno limito x0 . Ker je f zvezna v toˇcki
x0 , velja f (x0 ) = lim f (an ) ≥ 0 in f (x0 ) = lim f (bn ) ≤ 0. Ker je
n→∞
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
bc
bc
bc
bc
bc
bc
c3
a3
bc
c2
b2
bc
bc
c4
a4
bc
B x
b1
bc
bc
bc
b3
bc
b4
Metodi iskanja niˇcle funkcije, ki smo jo uporabili v gornjem
dokazu, pravimo bisekcija in je ena najenostavnejˇsih
numeriˇcnih metod za iskanje niˇcel funkcij.
n→∞
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
c1
a1
a2
f (x0 ) ≥ 0 in f (x0 ) ≤ 0, od tod sledi f (x0 ) = 0.
55
bc
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Dokaˇzimo sedaj trditev analitiˇcno. Razpolovimo interval [a, b].
ˇ v razpoloviˇscˇ u c1 velja f (c1 ) = 0, smo niˇclo zˇ e naˇsli, sicer pa
Ce
na enem od podintervalov, oznaˇcimo ga z [a1 , b1 ], velja
B x
b1
bc
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
54
bc
bc
a2
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
b
bc
bc
= 1.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
53
bc
56
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Lastnosti zveznih funkcij
Funkcije
Lastnosti zveznih funkcij
Zgled
Poiˇscˇ i kakˇsno realno niˇclo polinoma f (x) = x 3 − 2x 2 + x − 1.
y
Ker je f (1) = −1 in f (2) = 1, leˇzi niˇcla na intervalu [1, 2].
[1, 2]
[1.5, 2]
[1.75, 2]
[1.75, 1.875]
[1.75, 1.8125]
[1.75, 1.78125]
[1.75, 1.765625]
[1.75, 1.765625]
[1.75390625, 1.7578125]
f (1.5) < 0
f (1.75) < 0
f (1.875) > 0
f (1.8125) > 0
f (1.78125) > 0
f (1.765625) > 0
f (1.7578125) > 0
f (1.75390625) < 0
x0 ≈ 1.755859375
ˇ
Matjaˇz Zeljko
57
1
bc
bc
bc
O
−1
Izrek
ˇ je f : [a, b] → R zvezna funkcija, je na tem intervalu tudi
Ce
omejena.
bc
bc
2x
1
bc
bc
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
58
Lastnosti zveznih funkcij
Funkcije
Opozorilo. Predpostavka, da je funkcija definirana na zaprtem
intervalu, je bistvena. Zvezna funkcija f : (−1, 1) → R,
x
f (x) = 1−x
2 , je na (odprtem) intervalu (−1, 1) navzgor in
navzdol neomejena.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Lastnosti zveznih funkcij
Izrek
ˇ je f : [a, b] → R zvezna funkcija in m njena natanˇcna
Ce
spodnja meja, M pa njena natanˇcna zgornja meja, obstajata
toˇcki xm in xM , da je f (xm ) = m in f (xM ) = M.
y
y
b
M
bc
f
bc
−1
bc
bc
O
1
x
bc
bc
m
59
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
60
b
b
a
xM
b
bc
bc
O
ˇ
Matjaˇz Zeljko
b
xm
b
b
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Lastnosti zveznih funkcij
Funkcije
Lastnosti zveznih funkcij
Predpostavka, da je funkcija definirana na zaprtem intervalu, je
bistvena. Zvezna funkcija f : (1, 2) → R, f (x) = x, ima na
odprtem intervalu (1, 2) natanˇcno spodnjo mejo 1 in natanˇcno
zgornjo mejo 2, vendar teh dveh vrednosti ne zavzame.
y
Posledica
2
ˇ je f : [a, b] → R zvezna funkcija in M njena natanˇcna zgornja
Ce
meja, m pa njena natanˇcna spodnja meja, za vsak y ∈ [m, M]
obstaja toˇcka x ∈ [a, b], da je f (x) = y.
1
bc
bc
bc
bc
O
ˇ
Matjaˇz Zeljko
61
bc
x
1 Df 2
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
62
Lastnosti zveznih funkcij
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Lastnosti zveznih funkcij
Izrek
Gornja dva izreka in posledico lahko skupaj na kratko povemo
takole: Zvezna funkcija je na (konˇcnem) zaprtem intervalu
omejena in zavzame vse vrednosti na zaprtem intervalu
(vkljuˇcno s krajiˇscˇ i) med svojo najveˇcjo in najmanjˇso vrednostjo.
ˇ je f : [a, b] → R zvezna in strogo naraˇscˇ ajoˇca funkcija,
Ce
obstaja inverzna funkcija g : [f (a), f (b)] → R k f in g je na
intervalu [f (a), f (b)] strogo naraˇscˇ ajoˇca in zvezna.
y
b
y
b
M
bc
bc
bc
f
g
bc
bc
m
b
a
b
bc
bc
O
b
b
x
a
bc
f (b)
bc
f (a)
bc
bc
bc
f
bc
bc
bc
bc
bc
O f (a) f (b) a
63
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
64
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
b x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Linearna funkcija
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Potence in polinomi
Linearna funkcija je v eksplicitni obliki podana s predpisom
f (x) = kx + n.
Naj bo n naravno sˇ tevilo. Funkcija
f : R → R, podana s predpisom f (x) =
x n , se imenuje potenˇcna funkcija ali
na kratko potenca. Potenˇcna funkcija
je definirana za vsak x in ima edino
niˇclo pri x = 0. Graf te funkcije imeˇ je n
nujemo parabola n-te stopnje. Ce
sodo sˇ tevilo, je f soda funkcija, sicer
pa je f liha funkcija. Potenˇcna funkcija je neomejena in ima edino niˇclo
pri x = 0.
ˇ
Stevilo
k je naklonski koeficient, n pa odsek na ordinatni osi.
ˇ sta T1 (x1 , y1 ) in T2 (x2 , y2 ) toˇcki z razliˇcnima abscisama,
Ce
obstaja natanˇcno ena linearna funkcija skozi ti dve toˇcki in
ta je podana z enaˇcbo
y2 − y1
(x − x1 ).
y − y1 =
x2 − x1
ˇ sta premici podani kot grafa linearnih funkcij
Ce
y = k1 x + n1 in y = k2 x + n2 , za kot med njima velja
tan ϕ =
65
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Funkcije
y
x2
x
1
bc
bc
bc
bc
bc
bc
−1
O
bc
bc
x
1
−1
x3
k2 − k1
.
1 + k1 k2
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
66
Pregled elementarnih funkcij
Naj bodo a0 , a1 , . . . , an realna sˇ tevila. Izraz
ˇ
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 imenujemo polinom. Ce
je an 6= 0, je stopnja polinoma f enaka n. Polinomska funkcija je
definirana na celi realni osi.
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Lokalno obnaˇsanje polinoma v okolici niˇcle
Ker je f (x) = (x − x0 )r g(x) in g(x0 ) 6= 0, se v okolici niˇcle
polinom obnaˇsa podobno kot potenˇcna funkcija x 7→ a(x − x0 )r ,
kjer je a 6= 0. Glede na sˇ tevilo r loˇcimo 3 tipe niˇcel.
Izrek (Osnovni izrek algebre)
Vsak polinom stopnje vsaj 1 ima vsaj eno kompleksno niˇclo.
Od tod izpeljemo, da lahko polinom f stopnje n zapiˇsemo v
obliki
f (x) = a0 (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ),
bc
kjer so x1 , . . . , xn niˇcle polinoma f . Kompleksne niˇcle polinoma
z realnimi koeficienti nastopajo v konjugiranih parih, zato ima
polinom lihe stopnje z realnimi koeficienti vsaj eno realno niˇclo.
ˇ je sˇ tevilo x0 niˇcla neniˇcelnega polinoma f , potem obstaja
Ce
natanˇcno doloˇceno naravno sˇ tevilo r , da je f (x) = (x − x0 )r g(x)
ˇ
in g(x0 ) 6= 0. Stevilo
r imenujemo red niˇcle x0 .
67
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
a<0
a<0
x0
a>0
bc
bc
x0
x0
a>0
r =1
68
a>0
a<0
r > 1, liho
ˇ
Matjaˇz Zeljko
r > 1, sodo
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
x
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Zgled
Zgled
Skiciraj graf polinoma f (x) = x 4 − x 2 .
Skiciraj graf polinoma f (x) = x 3 (x − 2)2 .
Ker je f (x) = x 2 (x − 1)(x + 1), ima polinom niˇcle v −1, 0 (reda
2) in 1.
Polinom ima niˇclo tretjega reda v x = 0 in drugega v x = 2. Za
velike x se obnaˇsa podobno kot x 7→ x 5 .
y
y
y = x4 − x2
y = x 3 (x − 2)2
bc
bc
bc
1
1
bc
√1
2
− √12
bc
−1
bc
O
− 41
ˇ
Matjaˇz Zeljko
69
bc
Funkcije
bc
bc
bc
bc
bc
O
bc
x
1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
70
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
bc
bc
bc
1
6
5
2
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Pregled elementarnih funkcij
Racionalne funkcije
Zgled
Naj bo f (x) = 16 (2x + 1)(2x + 3)(x − 2). Skiciraj grafa funkcij
f (x) in |f (x)|.
y
y
p(x)
an x n + an−1x n−1 + . . . + a1 x + a0
f (x) =
=
q(x) bm x m + bm−1 x m−1 + . . . + b1 x + b0
5
2
bc
1
2
bc
bc
bc
bc
bc
bc
−1
O
2 x
−1
71
bc
1
2
bc
bc
−1
bc
ˇ polinoma p in q nimata
imenujemo racionalna funkcija. Ce
skupnih niˇcel, so niˇcle racionalne funkcije f niˇcle polinoma p,
poli pa niˇcle funkcije q. Racionalna funkcija f je definirana
povsod, razen v niˇclah polinoma q. (Moˇzno je, da q nima
1−x
realnih niˇcel, tedaj je f definirana povsod. Npr. f (x) = 1+x
2 .)
bc
bc
bc
bc
bc
1
bc
1
bc
− 25
Kvocient dveh polinomov
bc
bc
O 1
bc
2
x
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
72
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Potenca z negativnim eksponentom
Lokalno obnaˇsanje racionalne funkcije v okolici pola
p(x)
q(x) .
Naj bo f (x) =
y
1
bc
−1
bc
bc
1
−1
bc
bc
O 1
bc
y = x −3
bc
bc
O
bc
1
x
a>0
−1
bc
a>0
bc
x0
a<0
f (x) = x −n je liha oz. soda funkcija, cˇ e je n liho oz. sodo sˇ tevilo.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Pregled elementarnih funkcij
Asimptota racionalne funkcije
Zgled
Skiciraj graf racionalne funkcije f (x) =
p(x)
, kjer stopnja polinoma p ni manjˇsa od stopnje
Naj bo f (x) = q(x)
polinoma q. Ko polinom p delimo s polinomom q, dobimo
1
.
x 2 +2x
Ker je x 2 + 2x = x(x + 2), ima f pola prvega reda v x = 0 in
x = −2.
y
p(x) = k(x)q(x) + r (x),
kjer je stopnja polinoma r manjˇsa od stopnje polinoma q, k pa
neniˇcelni polinom. Torej je
1
x 2 +2x
f (x) = k(x) +
1
bc
bc
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
bc
−2 −1 O
75
x
r sodo
ˇ
Matjaˇz Zeljko
74
x0
a<0
r liho
73
kjer je
6 0. Torej se v bliˇzini pola racionalna funkcija obnaˇsa kot
=
x 7→ a(x − x0 )−r , a 6= 0.
bc
bc
x
p(x)
(x−x0 )r q1 (x) ,
p(x0 )
q1 (x0 )
y = x −5
y = x −2
bc
Recimo, da je x0 niˇcla reda r polinoma q in
da je p(x0 ) 6= 0. Tedaj zapiˇsemo f (x) =
y
y = x −4
bc
Pregled elementarnih funkcij
r (x)
q(x)
|x|→∞
Ker je lim
bc
bc
1
−1
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
r (x)
.
q(x)
= 0, se za velike x racionalna funkcija obnaˇsa
tako kot polinom k. Pravimo, da je k asimptota racionalne
funkcije f .
Opazimo, da je f (x) = k(x) natanko tedaj, ko je r (x) = 0. Graf
funkcije f torej seka svojo asimptoto v toˇckah (x, f (x)), kjer je
r (x) = 0.
76
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Zgled
Skiciraj graf racionalne funkcije f (x) =
Zgled
Skiciraj graf racionalne funkcije f (x) =
2
x2
.
x 2 +1
x2
2x−2 .
2
x
1
Ker je 2x−2
= 12 x + 21 + 2x−2
, je polinom 12 x + 21 (linearna)
asimptota funkcije f .
2
1
Ker je x 2x+1 = x x+1−1
2 +1 = 1 − x 2 +1 , ima funkcija vodoravno
asimptoto y = 1.
y
x2
2x−2
y
bc
1
x2
x 2 +1
bc
O
x
1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
77
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
bc
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
78
x
1
O
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Pregled elementarnih funkcij
Algebraiˇcne funkcije
Skiciraj graf racionalne funkcije f (x) =
x 4 − 3x 2 + 1 =
x 4 +x 2 +1
x 2 −1
=
funkcije f .
x2 − 2 −
x 4 −3x 2 +1
.
x 2 −1
Algebraiˇcna funkcija y = y(x) je reˇsitev enaˇcbe
(x 2 − 1)(x 2 − 2) − 1,
1
x 2 +1
je
in je polinom x 7→ x 2 − 2 asimptota
An (x)y n + An−1 y n−1 + . . . + A1 (x)y + A0 (x) = 0,
kjer so A0 , . . . , An polinomi. Tako npr. za n = 2 in A2 = 1, A1 = 0
in A0 (x) = −x dobimo enaˇcbo y 2 − x = 0, kar nam da korensko
funkcijo. V sploˇsnem ima gornja enaˇcba n reˇsitev, zato je
ˇ se omejimo na realne
algebraiˇcna funkcija veˇcliˇcna. Ce
funkcije, reˇsitev ne obstaja ali pa ni povsod definirana. Med
algebraiˇcne funkcije spadajo vse krivulje II. reda:
y
−1
1
bc
bc
bc
bc
O
1
x
elipsa; npr.
x2
a2
x 4 −3x 2 +1
x 2 −1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
parabola; npr.
80
2
+ yb2 = 1,
hiperbola; npr.
79
1
bc
bc
Pregled elementarnih funkcij
Zgled
Ker je
1
2
bc
2
x2
− yb2 =
a2
y 2 = 2px.
1 (ali
ˇ
Matjaˇz Zeljko
x2
a2
2
− yb2 = −1),
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Elipsa
Pregled elementarnih funkcij
Hiperbola
y
Enaˇcba elipse v srediˇscˇ i legi je
x2
a2
+
y2
b2
a
bc
b
= 1.
bc
Enaˇcba hiperbole v srediˇscˇ i legi je
x2 y2
−
= 1.
a2 b 2
a
ˇStevili a in b imenujemo polosi elipse. −a F1 O
x
F2
Elipsa je mnoˇzica toˇck v ravnini, za
−b
katere je vsota razdalj do dveh izbra−a
nih toˇck v ravnini konstantna. Izbrani
toˇcki imenujemo goriˇscˇ i elipse. Na
√
sliki sta to toˇcki F1 (−e, 0) in F2 (e, 0), kjer je e = a2 − b 2. (Tu
ˇ je a < b, je elipsa raztegnjena v
smo privzeli, da je a ≥ b. Ce
√
smeri ordinatne osi, goriˇscˇ i pa sta v toˇckah (0, ± b 2 − a2 ).)
bc
bc
bc
bc
bc
Hiperbola je sestavljena iz dveh vej, ki leˇzita simetriˇcno glede
na ordinatno os. Premici y = ± ba x sta asimptoti hiperbole.
Hiperbola je mnoˇzica toˇck v ravnini, za katere je absolutna
vrednost razlike razdalj do dveh izbranih toˇck v ravnini
hiperbole. Na sliki
konstantna. Izbrani toˇcki imenujemo goriˇscˇ i √
sta to toˇcki F1 (−e, 0) in F2 (e, 0), kjer je e = a2 + b 2 .
bc
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
81
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
ˇ
Matjaˇz Zeljko
82
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
y
b
bc
bc
x2
a2
2
− yb2 = 1
F2
O
a
bc
bc
F2
−a
x
bc
bc
bc
bc
O
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
a
bc
−b
83
2
− yb2 = −1
bc
b
bc
bc
−a
Pregled elementarnih funkcij
y
x2
a2
F1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
−b
F1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
84
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
x
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Parabola
Pregled elementarnih funkcij
Korenske funkcije
√
Korenske funkcije x 7→ n x so inverzne funkcije k potenˇcnim
ˇ je n liho sˇ tevilo, so definirane povsod, cˇ e je n
funkcijam. Ce
pozitivno sodo sˇ tevilo, pa le na intervalu [0, ∞).
y
Enaˇcba parabole v temenski obliki je
y 2 = 2px.
y
Parabola je mnoˇzica toˇck v ravnini, ki
so enako oddaljene od izbrane toˇcke
F v ravnini in izbrane premice d v
ravnini. Toˇcka F ( p2 , 0) se imenuje
goriˇscˇ e parabole, premica d pa vodnica parabole.
Parabola je simetriˇcna na abscisno
os in p
jo sestavljata grafa
p funkcij
f1 (x) = 2px in f2 (x) = − 2px.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
85
bc
bc
− p2
O
bc
F
p
2
x
1
−1
bc
bc
bc
d
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
y
bc
86
bc
y=
√
3
x
y=
√
5
x
1
x
O
bc
O
√
x
y=
√
4
x
bc
bc
1
bc
bc
y=
bc
1
x
−1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Pregled elementarnih funkcij
Eksponentna funkcija
Zgled
Skiciraj graf korenske funkcije f (x) =
√
3
x + 2 − 1.
y
Funkcija, ki ni algebraiˇcna,
se imenuje
transcendentna.
Med
ax
x0
a
najpomembnejˇse
take
funkcije sodi eksponena
tna funkcija x 7→ ax , kjer
1
je a > 0 poljubno realno
sˇ tevilo. Za eksponentno
funkcijo je znaˇcilen adix
x0
O
1
cijski izrek ax+y = ax ay .
Najpogosteje uporabljamo eksponentno funkcijo z osnovo e,
torej x 7→ ex . Eksponentna funkcija je povsod definirana in
navzgor neomejena, cˇ e je a 6= 1.
Funkcija f je inverzna k funkciji g(x) = (x + 1)3 − 2.
y
bc
bc
bc
bc
1
−2−1
O
√
y = 3 x +2−1
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
x
1
−1
−2
y = (x + 1)3 − 2
87
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
88
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
bc
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Zgled
Skiciraj graf eksponentne funkcije f (x) = 1 + 2x−3 .
Naj bo f (x) = ax . Za a > 1 je funkcija f strogo naraˇscˇ ajoˇca, za
0 < a < 1 pa je funkcija f strogo padajoˇca. V obeh primerih je
zaloga vrednosti enaka (0, ∞).
y
y
a
f (x) = ax
y
bc
1
bc
bc
1
bc
bc
bc
bc
x
0 1
1 + 2x−3
f (x) = ax
bc
bc
2
bc
bc
bc
x
0 1
−1
a>1
2x
1
a
bc
bc
1
0<a<1
bc
bc
−1 O
89
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Funkcije
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
bc
bc
bc
1
2
3
ˇ
Matjaˇz Zeljko
90
Pregled elementarnih funkcij
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Zgled
Obrat eksponentne funkcije x 7→ ex je logaritemska
funkcija ln, ki je definirana s
predpisom: x = ey natanko
tedaj, ko je y = ln x. Logaritemska funkcija je definirana na intervalu (0, ∞) in je
neomejena. Za logaritemsko funkcijo je znaˇcilna enakost ln(xy) = ln x + ln y.
91
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Skiciraj graf logaritemske funkcije f (x) = −1 + ln(x + 2).
y
y
e
ex
bc
bc
1
ln x
1
O
−2
bc
bc
bc
bc
bc
1
e
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
x
bc
ln x
−1 O
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
1
2
−1 + ln(x + 2)
x
bc
−1
92
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Kotne funkcije
Kotne funkcije so sin (sinus), cos (kosinus), tan (tangens) in jih vpeljemo s
pomoˇcjo kotov v pravokotnem trikotniku. V
pravokotnem trikotniku OAB s hipotenuzo
OB naj velja x = ∠AOB. Definiramo sin x =
|OA|
|AB|
|AB|
sin x
|OB| , cos x = |OB| in tan x = cos x = |OA| .
Funkciji sin in cos sta periodiˇcni s periodo 2π , saj velja
sin x = sin(x + 2π ) in cos x = cos(x + 2π ) za vsak x ∈ R.
B
bc
y
1
x
bc
−π
bc
A
O
sin x
bc
bc
O
−1
Definicijo lahko pri funkcijah sin in cos razˇsirimo na vsa realna
sˇ tevila.
1
bc
y
α
bc
O
bc
bc
sin α
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
93
α
cos α
bc
O
1
2π x
cos x
1
bc
bc
bc
π
bc
bc
bc
O
− π2
−1
π
2
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
bc
3π
2
2π
x
bc
94
Pregled elementarnih funkcij
y
bc
1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
bc
−π
− 32π
bc
bc
bc
1
π
bc
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
tan x
Zgled
− 32π
bc
−π
1
bc
− π2
bc
bc
bc
0
π
2
bc
π
bc
3π
2
bc
2π
bc
5π
2
bc
3π
Skiciraj graf funkcije f (x) = sin(2x + π ) + 1.
bc
x
y
bc
2
bc
bc
− 74π
bc
− 34π
1
O
bc
bc
π
4
π
bc
bc
5π
4
bc
9π x
4
Funkcija tan je periodiˇcna s periodo π , saj velja
tan x = tan(x + π ) za vsak x ∈ R.
Med njimi veljajo zveze tan x =
1 + tan2 x = cos12 x .
95
ˇ
Matjaˇz Zeljko
sin x
cos x ,
sin2 x + cos2 x = 1,
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
96
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Ciklometriˇcne funkcije
Inverz funkcije sin : [− π2 , π2 ] → [−1, 1] torej obstaja. Imenujemo
ga arkus sinus in oznaˇcimo z arc sin. Torej za x ∈ [− π2 , π2 ] in
y ∈ [−1, 1] velja x = sin y natanko tedaj, ko je y = arc sin x.
Ciklometriˇcne funkcije so inverzne funkcije h kotnim funkcijam.
Funkcija sin : R → R ni injektivna, zato inverz na celotni realni
osi ne obstaja. Na intervalu [− π2 , π2 ] pa je injektivna in zavzame
vsako vrednost z intervala [−1, 1] natanko enkrat.
y
1
y
bc
bc
y = sin x,
|x| ≤ π2
bc
− π2 −1
bc
bc
bc
1
bc
− π2
y = arc sin x
π
2
sin x
bc
Pregled elementarnih funkcij
bc
bc
bc
O
bc
π
2
0
x
97
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Funkcije
−1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
bc
bc
Pregled elementarnih funkcij
y
bc
cos x
1
π
2
bc
−1
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Pregled elementarnih funkcij
Podobno definiramo (glavno vejo) inverza funkcije cos, skrˇcene
na interval [0, π ]. Na tem intervalu je kosinus strogo padajoˇca
funkcija (torej injektivna) in zavzame vsako vrednost z intervala
[−1, 1] natanko enkrat.
0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Ker je sin periodiˇcna funkcija, ima enaˇcba x = sin y, x ∈ [−1, 1]
neskonˇcno reˇsitev: cˇ e je y = arc sin x reˇsitev, je za vsak k ∈ Z
tudi arc sin x + 2k π reˇsitev. Zgoraj opisano funkcijo imenujemo
zato glavno vejo funkcije arc sin.
99
x
− π2
ˇ
Matjaˇz Zeljko
98
bc
π
2
−1
bc
bc
1
100
bc
bc
π
bc
x
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
Inverz funkcije cos : [0, π ] → [−1, 1] imenujemo arkus kosinus in
oznaˇcimo z arc cos. Za x ∈ [0, π ] in y ∈ [−1, 1] velja x = cos y
natanko tedaj, ko je y = arc cos x.
Nazadnje vpeljemo sˇ e (glavno vejo) inverza funkcije
tan : (− π2 , π2 ) → R, ki ga imenujemo arkus tangens in oznaˇcimo
z arc tan.
y
y
y = arc cos x
bc
π
2
bc
− 32π
1
bc
bc
bc
bc
−1
O
−1
1
bc
π
bc
bc
− π2
bc
bc
bc
0
π
2
bc
π
bc
3π
2
bc
2π
bc
5π
2
bc
3π
bc
x
x
Pregled elementarnih funkcij
Funkcije
y
−1 O
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
π
2
−π
104
bc
4
bc
6
bc
bc
bc
bc
− 34π
bc
2
x
bc
− π2
x
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
bc
− π4
y = arc tan x
bc
bc
1
bc
bc
O
Pregled elementarnih funkcij
Skiciraj graf funkcije f (x) = − arc tan( x2 − 2) − π2 .
y = tan x,
|x| < π2
π
2
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Zgled
y
− π2
ˇ
Matjaˇz Zeljko
102
Za x ∈ (− π2 , π2 ) in y ∈ R velja x = tan y natanko tedaj, ko je
y = arc tan x. Funkcija arc tan x je definirana povsod, njena
zaloga vrednosti pa je interval (− π2 , π2 ).
103
1
−π
bc
π
2
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
− π2
bc
y = cos x, 0 ≤ x ≤ π
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
tan x
π
bc
101
Pregled elementarnih funkcij
bc
bc
bc
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)
Funkcije
Pregled elementarnih funkcij
Zgled
Skiciraj graf funkcije f (x) = sin(x 3 ).
bc
y
π
1
bc
y = x3
bc
bc
bc
bc
bc
bc
O
x
−1
bc
105
−π
ˇ
Matjaˇz Zeljko
bc
Izbrana poglavja iz matematike (Biologija)