Matrike Vektorski prostor Vektorski prostor Vektorski prostor nad mnoˇzico realnih sˇ tevil R je mnoˇzica X opremljena z operacijama seˇstevanja + : X × X → X in mnoˇzenja s skalarjem · : R × X → X , za kateri velja. Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) komutativnost seˇstevanja a + b = b + a za vsaka a, b ∈ X ˇ Matjaˇz Zeljko asociativnost seˇstevanja (a + b) + c = a + (b + c) za vsake a, b, c ∈ X FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo obstoj nevtralnega elementa za seˇstevanje Obstaja 0 ∈ X , da je a + 0 = 0 + a = a za vsak a ∈ X 13. teden obstoj nasprotnega elementa za seˇstevanja Za vsak a ∈ X obstaja b ∈ X , da je a + b = b + a = 0. Vektor b imenujeno nasprotni vektor in oznaˇcimo z −a. (Zadnja sprememba: 23. maj 2013) 1 ˇ Matjaˇz Zeljko Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 2 Vektorski prostor ˇ Matjaˇz Zeljko Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Vektorski prostor Vektorski prostor Rn . Za a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn in λ ∈ R definiramo operaciji po komponentah distributivnost v vektorskem faktorju λ (a + b) = λ a + λ b za vsake a, b ∈ X in λ ∈ R distributivnost v skalarnem faktorju (λ + µ )a = λ a + µ a za vsake a ∈ X in λ , µ ∈ R (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ), homogenost v skalarnem faktorju λ (µ a) = (λ µ )a za vsake a ∈ X in λ , µ ∈ R λ (a1 , . . . , an ) = (λ a1 , . . . , λ an ). lastnost enote za mnoˇzenje 1a = a za vsak a ∈ X Vektorski prostor Rm×n . Obiˇcajni matriˇcni operaciji seˇstevanja in mnoˇzenja s skalarjem ustrezata vsem aksiomom za vektorski prostor. V posebnem primeru lahko prostor matrik Rn×1 obravnavamo kot vektorski prostor. 3 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 4 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Matrike Vektorski prostor Matrike Vektorski prostor Linearna neodvisnost Zgled Naj bodo ai ∈ X poljubni vektorji ter λi ∈ R poljubni skalarji. Izraz λ1 a 1 + λ2 a 2 + . . . + λn a n = Ali so vektorji a1 = (1, 3, 1), a2 = (2, 1, −1), a3 = (1, 5, 3) linearno neodvisni? n ∑ λi a i i=1 imenujemo linearna kombinacija vektorjev a1 , . . . , an , sˇ tevila λ1 , . . . , λn pa imenujemo koeficiente te linearne kombinacije. Pravimo, da so vektorji ai ∈ X linearno neodvisni, cˇ e iz λ1 a 1 + λ2 a 2 + . . . + λn a n = 0 sledi, da je λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Vektorji so linearno odvisni, cˇ e niso linearno neodvisni. Vektor 0 je linearno odvisen. 5 ˇ Matjaˇz Zeljko Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 6 Vektorski prostor ˇ Matjaˇz Zeljko Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Vektorski prostor Izrek Naj bodo a1 , . . . , an ∈ Rn poljubni vektorji. Vektorji a1 , . . . , an so linearno neodvisni natanko tedaj, ko je matrika A, katere stolpci so aT1 , aT2 , . . . , aTn , obrnljiva. Videli smo zˇ e, da enaˇcbi a1 λ1 + a2 λ2 + . . . + an λn = 0 ustreza homogeni sistem Ax = 0, kjer so stolpci matrike A ravno aT1 , aT2 , . . . , aTn , neznani vektor pa je x = (λ1 , λ2 , . . . , λn ). Vemo, da premore sistem Ax = 0 neniˇcelno reˇsitev natanko tedaj, ko je det(A) = 0. Neniˇcelna reˇsitev sistema pa pomeni, da so vektorji a1 , . . . , an linearno odvisni. 7 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 8 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Matrike Vektorski prostor Matrike Naj bodo a1 , . . . , an ∈ Rm poljubni vektorji. V sploˇsnem lahko reˇcemo, da so ti vektorji linearno neodvisni natanko tedaj, ko ima matrika A = [aT1 , aT2 , . . . , aTn ] rang n. r r 1 Vektorski prostor Zgled Ali so vektorji a1 = (1, 3, 1, 3), a2 = (0, 2, 1, −1), a3 = (2, 4, 1, 7) linearno neodvisni? 1 ? m 0 m 1 0 1 0 0 n n Ker je r = rang(A) ≤ min{m, n}, v primeru n > m vektorji ne ˇ pa je n ≤ m, mora za morejo biti linearno neodvisni. Ce linearno neodvisnost veljati r = n. 9 ˇ Matjaˇz Zeljko Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) ˇ Matjaˇz Zeljko 10 Vektorski prostor Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Vektorski prostor Mnoˇzica V = {v1 , . . . , vn } linearno neodvisnih vektorjev je baza vektorskega prostora V , cˇ e je vsak vektor v ∈ V moˇzno izraziti kot linearno kombinacijo vektorjev v1 , . . . , vn . Izrek Naj bo V baza vektorskega prostora V . Potem se da vsak vektor v ∈ V razviti po bazi na en sam naˇcin. ˇ je Naj bo V = {v1 , . . . , vn }. Ce v= n n i=1 i=1 ∑ αi vi = ∑ βi vi , je n ∑ (αi − βi )vi = 0. i=1 Zaradi linearne neodvisnosti baznih vektorjev je zato αi − βi = 0 za vsak i. 11 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 12 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Matrike Vektorski prostor Matrike Vektorski prostor Izrek ˇ sta U = {u1 , . . . , um } in V = {v1 , . . . , vn } bazi vektorskega Ce prostora V , je m = n. Ker imajo torej vse (konˇcne) baze vektorskega prostora V enako sˇ tevilo vektorjev, je smiselno definirati dimenzijo vektorskega prostora V kot sˇ tevilo vektorjev v neki (pravzaprav vsaki) bazi prostora V . Ker je V baza, lahko za vsak j = 1, 2, . . . , m zapiˇsemo Zgled n uj = Dimenzija vektorskega prostora Rn je n. ∑ αij vi . j=1 ˇ dokaˇzemo, da je Ab = 0 le za Oznaˇcimo A = [αij ] ∈ Rn×m . Ce niˇcelni vektor b = (β1 , . . . , βm )T ∈ Rm , bo rang(A) = m in m ≤ n. cunajmo Naj bo torej ∑m j=1 αij βj = 0 za vsak i. Raˇ ! 0= n m i=1 j=1 ∑ ∑ αij βj vi = m n m j=1 i=1 j=1 ∑ βj ∑ αij vi = ∑ βj uj . Ker so vektorji uj linearno neodvisni, je res βj = 0 za vsak j. 13 Podobno dokaˇzemo, da je tudi n ≤ m in je zato m = n. ˇ Matjaˇz Zeljko Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 14 Vektorski prostor ˇ Matjaˇz Zeljko Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Vektorski prostor Naj bo V vektorski prostor nad R. Podmnoˇzica U ⊆ V je vektorski podprostor, cˇ e je vektorski prostor za isti operaciji seˇstevanja in mnoˇzenja s skalarjem kot v V . Torej je Zgled Dimenzija vektorskega prostora matrik Rm×n je mn. za poljubna u, v ∈ U tudi u + v ∈ U ter za poljubna u ∈ U in α ∈ R je tudi α u ∈ U. Kot kaˇze naslednji izrek, pa lahko pogoja tudi zdruˇzimo. Izrek Podmnoˇzica U ⊆ V je vektorski podprostor natanko tedaj, ko je α u + β v ∈ U za vse u, v ∈ U in vse α , β ∈ R. 15 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 16 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Matrike Vektorski prostor Naj bo V vektorski prostor nad R in V = {v1 , . . . , vn } mnoˇzica vektorjev iz V . Mnoˇzico vseh linearnih kombinacij vektorjev iz V imenujemo linearna ogrinjaˇca vektorjev v1 , . . . , vn in oznaˇcimo z L (v1 , . . . , vn ). Matrike Evklidski prostor Naj bo V vektorski prostor nad mnoˇzico realnih sˇ tevil R. Skalarni produkt je operacija h . , . i : V × V → R, Izrek Mnoˇzica L (v1 , . . . , vn ) je vektorski podprostor v V . za katero velja linearnost v prvem faktorju hα u + β v, w i = α hu, w i + β hv, w i za vse α , β ∈ R in u, v, w ∈ V ; simetriˇcnost hu, vi = hv, ui za vse u, v ∈ V ; pozitivna definitnost hu, ui ≥ 0 za vse u ∈ V in hu, ui = 0 natanko tedaj, ko je u = 0. Vektorski prostor, opremljen s skalarnim produktom, imenujemo Evklidski prostor. Po definiciji linearne ogrinjaˇce sledi, da je α u + β v ∈ L za vsaka u, v ∈ L . ˇ Matjaˇz Zeljko 17 Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Evklidski prostor 18 Evklidski prostor ˇ Matjaˇz Zeljko Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Evklidski prostor Zgled Dokaˇzi, da je s predpisom n hu, vi = ∑ ui vi i=1 za u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn in v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn definiran skalarni produkt na Rn . 19 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 20 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Matrike Evklidski prostor Matrike Evklidski prostor Naj bop h, i skalarni produkt. Norma vektorja v ∈ V je sˇ tevilo kvk = hv, vi. V Evklidskem prostoru Rn je norma kar obiˇcajna dolˇzina vektorja. Zgled Dokaˇzi, da je s predpisom hu, vi = 2u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u2 v2 Norma vektorja ima naslednje lastnosti pozitivna definitnost kvk ≥ 0 za vse v ∈ V in kvk = 0 natanko tedaj, ko je v = 0. za u = (u1 , u2 ) ∈ R2 in v = (v1 , v2 ) ∈ R2 definiran skalarni produkt na R2 . Doloˇci kot med vektorjema (1, 0) in (0, 1) glede na ta skalarni produkt. absolutna homogenost kα vk = |α | kvk za vse α ∈ R in v ∈ V . trikotniˇska neenakost ku + vk ≤ kuk + kvk ˇ Matjaˇz Zeljko 21 Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) ˇ Matjaˇz Zeljko 22 Evklidski prostor Matrike Pravimo, da sta vektorja u in v pravokotna, cˇ e je hu, vi = 0. Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Evklidski prostor Izrek (Pitagorov izrek) Izrek ˇ sta neniˇcelna vektorja pravokotna, sta linearno neodvisna. Ce ˇ sta u in v pravokotna vektorja, je Ce ku + vk2 = kuk2 + kvk2 . Naj bo a ⊥ b in α a + β b = 0. Torej je hα a + β b, ai = α ha, ai = α kak2 = 0, kar nam da α = 0. Podobno je tudi β = 0. Raˇcunajmo ku + vk2 = hu + v, u + vi = Izrek ˇ sta u in v linearno neodvisna vektorja, sta vektorja u in Ce hu,v i u pravokotna in linearno neodvisna. v ′ = v − hu,ui = hu, ui + hu, vi + hv, ui + hv, vi = kuk2 + kvk2 Zaradi linearne neodvisnosti u in v je vektor v ′ neniˇceln. Pravokotnost pa sledi iz raˇcuna hu, v − 23 hu, vi hu, vi ui = hu, vi − hu, ui = 0. hu, ui hu, ui ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 24 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Matrike Evklidski prostor Matrike Naj bo V Evklidski prostor. Mnoˇzica vektorjev V = {v1 , . . . , vn } je ortogonalna, cˇ e je hvi , vj i = 0 za i 6= j. Zgled Dokaˇzi, da je Mnoˇzica vektorjev V = {v1 , . . . , vn } je ortonormirana, cˇ e je ortogonalna in kvi k = 1 za vsak i. Zgled ˇ Matjaˇz Zeljko Matrike Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Evklidski prostor Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Matrike Evklidski prostor Iz pogoja k 0 = hfk +1 , ej i = hvk +1 − ∑ λi ei , ej i = hvk +1 , ej i − λj Izrek Naj bo V = {v1 , v2 , . . . , vn } baza prostora V . Potem obstaja taka ortonormirana baza E = {e1 , e2 , . . . , en } prostora V , da za vsak k velja L (e1 , e2 , . . . , ek ) = L (v1 , v2 , . . . , vk ). i=1 sledi λj = hvk +1 , ej i. Torej je k fk +1 = vk +1 − ∑ hvk +1 , ei iei Trditev dokaˇzemo z indukcijo, ki je hkrati tudi konstrukcija ortonormirane baze. Za k = 1 postavimo e1 = kv11 k v1 . Recimo, da smo vektorje e1 , e2 , . . . , ek zˇ e konstruirali in da velja L (e1 , e2 , . . . , ek ) = L (v1 , v2 , . . . , vk ). Naj bo i=1 in L (e1 , e2 , . . . , ek , fk +1 ) = L (v1 , v2 , . . . , vk , vk +1 ). Nazadnje postavimo ek +1 = kfk1+1 k fk +1 . Torej je {e1 , e2 , . . . , ek +1 } ortonormiran sistem vektorjev in L (e1 , e2 , . . . , ek +1 ) = L (v1 , v2 , . . . , vk +1 ). Ker je L (e1 , e2 , . . . , en ) = L (v1 , v2 , . . . , vn ) = V , je E = {e1 , e2 , . . . , en } res iskana ortonormmirana baza za V k fk +1 = vk +1 − ∑ λi ei . i=1 Vektor fk +1 izberemo tako, da je fk +1 ⊥ ej za j = 1, 2 . . . , k. ˇ Matjaˇz Zeljko ˇ Matjaˇz Zeljko 26 Gram-Schmidtov postopek 27 1 1 1 (1, 2, −2), (2, 1, 2), (2, −2, −1) 3 3 3 ortonormirana baza za R3 . Standardna baza E = {e1 , . . . , en } za Rn je ortonormirana. 25 Evklidski prostor Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 28 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) Matrike Evklidski prostor Matrike Evklidski prostor Zgled Izvedi Gram-Schmidtov postopek na bazi {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} prostora R3 . 29 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo) 30 ˇ Matjaˇz Zeljko Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
© Copyright 2024