Matrike
Vektorski prostor
Vektorski prostor
Vektorski prostor nad mnoˇzico realnih sˇ tevil R je mnoˇzica X
opremljena z operacijama seˇstevanja + : X × X → X in
mnoˇzenja s skalarjem · : R × X → X , za kateri velja.
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
komutativnost seˇstevanja
a + b = b + a za vsaka a, b ∈ X
ˇ
Matjaˇz Zeljko
asociativnost seˇstevanja
(a + b) + c = a + (b + c) za vsake a, b, c ∈ X
FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo
obstoj nevtralnega elementa za seˇstevanje
Obstaja 0 ∈ X , da je a + 0 = 0 + a = a za vsak a ∈ X
13. teden
obstoj nasprotnega elementa za seˇstevanja
Za vsak a ∈ X obstaja b ∈ X , da je a + b = b + a = 0.
Vektor b imenujeno nasprotni vektor in oznaˇcimo z −a.
(Zadnja sprememba: 23. maj 2013)
1
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
2
Vektorski prostor
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Vektorski prostor
Vektorski prostor Rn . Za a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn ,
b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn in λ ∈ R definiramo operaciji po
komponentah
distributivnost v vektorskem faktorju
λ (a + b) = λ a + λ b za vsake a, b ∈ X in λ ∈ R
distributivnost v skalarnem faktorju
(λ + µ )a = λ a + µ a za vsake a ∈ X in λ , µ ∈ R
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ),
homogenost v skalarnem faktorju
λ (µ a) = (λ µ )a za vsake a ∈ X in λ , µ ∈ R
λ (a1 , . . . , an ) = (λ a1 , . . . , λ an ).
lastnost enote za mnoˇzenje
1a = a za vsak a ∈ X
Vektorski prostor Rm×n . Obiˇcajni matriˇcni operaciji
seˇstevanja in mnoˇzenja s skalarjem ustrezata vsem
aksiomom za vektorski prostor.
V posebnem primeru lahko prostor matrik Rn×1
obravnavamo kot vektorski prostor.
3
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
4
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Vektorski prostor
Matrike
Vektorski prostor
Linearna neodvisnost
Zgled
Naj bodo ai ∈ X poljubni vektorji ter λi ∈ R poljubni skalarji.
Izraz
λ1 a 1 + λ2 a 2 + . . . + λn a n =
Ali so vektorji a1 = (1, 3, 1), a2 = (2, 1, −1), a3 = (1, 5, 3)
linearno neodvisni?
n
∑ λi a i
i=1
imenujemo linearna kombinacija vektorjev a1 , . . . , an , sˇ tevila
λ1 , . . . , λn pa imenujemo koeficiente te linearne kombinacije.
Pravimo, da so vektorji ai ∈ X linearno neodvisni, cˇ e iz
λ1 a 1 + λ2 a 2 + . . . + λn a n = 0
sledi, da je λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Vektorji so linearno odvisni,
cˇ e niso linearno neodvisni.
Vektor 0 je linearno odvisen.
5
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
6
Vektorski prostor
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Vektorski prostor
Izrek
Naj bodo a1 , . . . , an ∈ Rn poljubni vektorji. Vektorji a1 , . . . , an so
linearno neodvisni natanko tedaj, ko je matrika A, katere stolpci
so aT1 , aT2 , . . . , aTn , obrnljiva.
Videli smo zˇ e, da enaˇcbi a1 λ1 + a2 λ2 + . . . + an λn = 0 ustreza
homogeni sistem Ax = 0, kjer so stolpci matrike A ravno aT1 , aT2 ,
. . . , aTn , neznani vektor pa je x = (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Vemo, da premore sistem Ax = 0 neniˇcelno reˇsitev natanko
tedaj, ko je det(A) = 0. Neniˇcelna reˇsitev sistema pa pomeni,
da so vektorji a1 , . . . , an linearno odvisni.
7
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
8
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Vektorski prostor
Matrike
Naj bodo a1 , . . . , an ∈ Rm poljubni vektorji. V sploˇsnem lahko
reˇcemo, da so ti vektorji linearno neodvisni natanko tedaj, ko
ima matrika A = [aT1 , aT2 , . . . , aTn ] rang n.
r
r
1
Vektorski prostor
Zgled
Ali so vektorji a1 = (1, 3, 1, 3), a2 = (0, 2, 1, −1), a3 = (2, 4, 1, 7)
linearno neodvisni?
1
?
m
0
m
1
0
1
0
0
n
n
Ker je r = rang(A) ≤ min{m, n}, v primeru n > m vektorji ne
ˇ pa je n ≤ m, mora za
morejo biti linearno neodvisni. Ce
linearno neodvisnost veljati r = n.
9
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
10
Vektorski prostor
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Vektorski prostor
Mnoˇzica V = {v1 , . . . , vn } linearno neodvisnih vektorjev je baza
vektorskega prostora V , cˇ e je vsak vektor v ∈ V moˇzno izraziti
kot linearno kombinacijo vektorjev v1 , . . . , vn .
Izrek
Naj bo V baza vektorskega prostora V . Potem se da vsak
vektor v ∈ V razviti po bazi na en sam naˇcin.
ˇ je
Naj bo V = {v1 , . . . , vn }. Ce
v=
n
n
i=1
i=1
∑ αi vi = ∑ βi vi ,
je
n
∑ (αi − βi )vi = 0.
i=1
Zaradi linearne neodvisnosti baznih vektorjev je zato αi − βi = 0
za vsak i.
11
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
12
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Vektorski prostor
Matrike
Vektorski prostor
Izrek
ˇ sta U = {u1 , . . . , um } in V = {v1 , . . . , vn } bazi vektorskega
Ce
prostora V , je m = n.
Ker imajo torej vse (konˇcne) baze vektorskega prostora V
enako sˇ tevilo vektorjev, je smiselno definirati dimenzijo
vektorskega prostora V kot sˇ tevilo vektorjev v neki (pravzaprav
vsaki) bazi prostora V .
Ker je V baza, lahko za vsak j = 1, 2, . . . , m zapiˇsemo
Zgled
n
uj =
Dimenzija vektorskega prostora Rn je n.
∑ αij vi .
j=1
ˇ dokaˇzemo, da je Ab = 0 le za
Oznaˇcimo A = [αij ] ∈ Rn×m . Ce
niˇcelni vektor b = (β1 , . . . , βm )T ∈ Rm , bo rang(A) = m in m ≤ n.
cunajmo
Naj bo torej ∑m
j=1 αij βj = 0 za vsak i. Raˇ
!
0=
n
m
i=1
j=1
∑ ∑ αij βj
vi =
m
n
m
j=1
i=1
j=1
∑ βj ∑ αij vi = ∑ βj uj .
Ker so vektorji uj linearno neodvisni, je res βj = 0 za vsak j.
13
Podobno dokaˇzemo, da je tudi n ≤ m in je zato m = n.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
14
Vektorski prostor
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Vektorski prostor
Naj bo V vektorski prostor nad R. Podmnoˇzica U ⊆ V je
vektorski podprostor, cˇ e je vektorski prostor za isti operaciji
seˇstevanja in mnoˇzenja s skalarjem kot v V . Torej je
Zgled
Dimenzija vektorskega prostora matrik Rm×n je mn.
za poljubna u, v ∈ U tudi u + v ∈ U ter
za poljubna u ∈ U in α ∈ R je tudi α u ∈ U.
Kot kaˇze naslednji izrek, pa lahko pogoja tudi zdruˇzimo.
Izrek
Podmnoˇzica U ⊆ V je vektorski podprostor natanko tedaj, ko je
α u + β v ∈ U za vse u, v ∈ U in vse α , β ∈ R.
15
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
16
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Vektorski prostor
Naj bo V vektorski prostor nad R in V = {v1 , . . . , vn } mnoˇzica
vektorjev iz V . Mnoˇzico vseh linearnih kombinacij vektorjev iz
V imenujemo linearna ogrinjaˇca vektorjev v1 , . . . , vn in
oznaˇcimo z L (v1 , . . . , vn ).
Matrike
Evklidski prostor
Naj bo V vektorski prostor nad mnoˇzico realnih sˇ tevil R.
Skalarni produkt je operacija
h . , . i : V × V → R,
Izrek
Mnoˇzica L (v1 , . . . , vn ) je vektorski podprostor v V .
za katero velja
linearnost v prvem faktorju
hα u + β v, w i = α hu, w i + β hv, w i za vse α , β ∈ R in
u, v, w ∈ V ;
simetriˇcnost
hu, vi = hv, ui za vse u, v ∈ V ;
pozitivna definitnost
hu, ui ≥ 0 za vse u ∈ V in hu, ui = 0 natanko tedaj, ko je
u = 0.
Vektorski prostor, opremljen s skalarnim produktom, imenujemo
Evklidski prostor.
Po definiciji linearne ogrinjaˇce sledi, da je α u + β v ∈ L za
vsaka u, v ∈ L .
ˇ
Matjaˇz Zeljko
17
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Evklidski prostor
18
Evklidski prostor
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Evklidski prostor
Zgled
Dokaˇzi, da je s predpisom
n
hu, vi =
∑ ui vi
i=1
za u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn in v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn definiran skalarni
produkt na Rn .
19
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
20
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Evklidski prostor
Matrike
Evklidski prostor
Naj bop
h, i skalarni produkt. Norma vektorja v ∈ V je sˇ tevilo
kvk = hv, vi. V Evklidskem prostoru Rn je norma kar obiˇcajna
dolˇzina vektorja.
Zgled
Dokaˇzi, da je s predpisom
hu, vi = 2u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u2 v2
Norma vektorja ima naslednje lastnosti
pozitivna definitnost
kvk ≥ 0 za vse v ∈ V in kvk = 0 natanko tedaj, ko je v = 0.
za u = (u1 , u2 ) ∈ R2 in v = (v1 , v2 ) ∈ R2 definiran skalarni
produkt na R2 . Doloˇci kot med vektorjema (1, 0) in (0, 1) glede
na ta skalarni produkt.
absolutna homogenost
kα vk = |α | kvk za vse α ∈ R in v ∈ V .
trikotniˇska neenakost
ku + vk ≤ kuk + kvk
ˇ
Matjaˇz Zeljko
21
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
22
Evklidski prostor
Matrike
Pravimo, da sta vektorja u in v pravokotna, cˇ e je hu, vi = 0.
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Evklidski prostor
Izrek (Pitagorov izrek)
Izrek
ˇ sta neniˇcelna vektorja pravokotna, sta linearno neodvisna.
Ce
ˇ sta u in v pravokotna vektorja, je
Ce
ku + vk2 = kuk2 + kvk2 .
Naj bo a ⊥ b in α a + β b = 0. Torej je
hα a + β b, ai = α ha, ai = α kak2 = 0, kar nam da α = 0. Podobno
je tudi β = 0.
Raˇcunajmo
ku + vk2 = hu + v, u + vi =
Izrek
ˇ sta u in v linearno neodvisna vektorja, sta vektorja u in
Ce
hu,v i
u pravokotna in linearno neodvisna.
v ′ = v − hu,ui
= hu, ui + hu, vi + hv, ui + hv, vi = kuk2 + kvk2
Zaradi linearne neodvisnosti u in v je vektor v ′ neniˇceln.
Pravokotnost pa sledi iz raˇcuna
hu, v −
23
hu, vi
hu, vi
ui = hu, vi −
hu, ui = 0.
hu, ui
hu, ui
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
24
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Evklidski prostor
Matrike
Naj bo V Evklidski prostor. Mnoˇzica vektorjev V = {v1 , . . . , vn }
je ortogonalna, cˇ e je hvi , vj i = 0 za i 6= j.
Zgled
Dokaˇzi, da je
Mnoˇzica vektorjev V = {v1 , . . . , vn } je ortonormirana, cˇ e je
ortogonalna in kvi k = 1 za vsak i.
Zgled
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Evklidski prostor
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Evklidski prostor
Iz pogoja
k
0 = hfk +1 , ej i = hvk +1 − ∑ λi ei , ej i = hvk +1 , ej i − λj
Izrek
Naj bo V = {v1 , v2 , . . . , vn } baza prostora V . Potem obstaja taka
ortonormirana baza E = {e1 , e2 , . . . , en } prostora V , da za vsak
k velja L (e1 , e2 , . . . , ek ) = L (v1 , v2 , . . . , vk ).
i=1
sledi λj = hvk +1 , ej i. Torej je
k
fk +1 = vk +1 − ∑ hvk +1 , ei iei
Trditev dokaˇzemo z indukcijo, ki je hkrati tudi konstrukcija
ortonormirane baze.
Za k = 1 postavimo e1 = kv11 k v1 .
Recimo, da smo vektorje e1 , e2 , . . . , ek zˇ e konstruirali in da velja
L (e1 , e2 , . . . , ek ) = L (v1 , v2 , . . . , vk ). Naj bo
i=1
in L (e1 , e2 , . . . , ek , fk +1 ) = L (v1 , v2 , . . . , vk , vk +1 ). Nazadnje
postavimo ek +1 = kfk1+1 k fk +1 . Torej je {e1 , e2 , . . . , ek +1 }
ortonormiran sistem vektorjev in
L (e1 , e2 , . . . , ek +1 ) = L (v1 , v2 , . . . , vk +1 ).
Ker je L (e1 , e2 , . . . , en ) = L (v1 , v2 , . . . , vn ) = V , je
E = {e1 , e2 , . . . , en } res iskana ortonormmirana baza za V
k
fk +1 = vk +1 − ∑ λi ei .
i=1
Vektor fk +1 izberemo tako, da je fk +1 ⊥ ej za j = 1, 2 . . . , k.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
ˇ
Matjaˇz Zeljko
26
Gram-Schmidtov postopek
27
1
1
1
(1, 2, −2), (2, 1, 2), (2, −2, −1)
3
3
3
ortonormirana baza za R3 .
Standardna baza E = {e1 , . . . , en } za Rn je ortonormirana.
25
Evklidski prostor
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
28
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Evklidski prostor
Matrike
Evklidski prostor
Zgled
Izvedi Gram-Schmidtov postopek na bazi
{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} prostora R3 .
29
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
30
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)