ה-(ABCD)של הבחירה החברתית - אוניברסיטת בר-אילן
ה ABC(D)-של הבחירה
החברתית
(Arrow, Borda, Condorcet
)and Dodgson
שמואל ניצן
אוניברסיטת בר אילן
1
Kenneth Arrow
-1921נולד בארה"ב
מחשובי התורמים לכלכלה
הניאו-קלאסית
-1972פרס נובל בכלכלה
(מקבל הפרס הצעיר ביותר
אי פעם)
2
Arrow
תרם לתחומים שונים ובעיקר ל-
בחירה חברתית
שיווי משקל כללי
כלכלת אינפורמציה
כלכלת אי-וודאות
3
תרומה לבחירה חברתית
משפט האי-אפשרות
))Arrow’s Impossibility Theorem, 1951
הקטליזטור של התפתחות תחום הבחירה
החברתית
)(Social Choice Theory
4
ז'אן שארל דה בורדה
Jean-Charles de Borda
1733-1799
פיסיקאי ניסויי ,ספן.
5
בורדה
חוקר בליסטיקה
מהנדס צבאי בצי הצרפתי
ממציא מכשיר המיפוי "המעגל החוזר" (תואר בספר:
The Measure of All Things, Ken Adler, 2002שיצא לאור בעברית
בהוצאת דביר ,הכול לפי מידה)2006 ,
יו"ר וועדת המידות והמשקלות בה היו חברים קונדורסה ,לבואזיה,
לפלאס ולגנדרה ()1790
חוקר של שיטות בחירה
6
תרומה לבחירה חברתית
כלל הנקודות של בורדה ()1770
7
המרקיז דה קונדורסה
Condorcet
מארי-ז'אן-אנטואן-ניקולא דה קאריטא ,המרקיז דה
קונדורסה1743 – 1794 ,
פוליטיקאי ,פילוסוף ,מתמטיקאי וחוקר מדע המדינה,
מהנציגים המובהקים של תקופת הנאורות .קונדורסה דגל
בליברליזם כלכלי ,סובלנות דתית ,בחינוך מודרני
ובעליונות השכל האנושי.
8
קונדורסה
- 1777 מזכיר האקדמיה הצרפתית למדעים.
תלמידו של דלאמבר ,ממחברי האנציקלופדיה הגדולה.
בן אצולה שתמך בהתלהבות במהפכה הצרפתית.
-1791נציג פריז באספה המחוקקת שהיה למזכירה.
תכנן את מערך החינוך הממלכתי ,ועסק בניסוח החוקה
החדשה ובקידום רעיון זכות ההצבעה לנשים.
חינו סר בעיני המהפכנים בגלל התנגדותו להוצאת המלך
להורג .נאלץ להסתתר ,ואז חיבר את ספרו הגדול "רישום
לתמונה היסטורית של התקדמות רוח האדם" (חזונו
הנשגב לעתיד המין האנושי) .התאבד /נרצח ב. 1794 -
9
תחומי התענינות
תורת ההסתברות
חשבון אינטגרלי
זכויות האדם
רפורמות פוליטיות ,מנהליות וכלכליות
כללי בחירות
10
תרומה לבחירה חברתית (קולקטיבית)
כלל הבחירות של קונדורסה (עקביות קונדורסה)
פרדוקס הבחירות של קונדורסה
משפט המושבעים של קונדורסה
11
צ'ארלס דודג'סון (לואיס קארול)
)Charles Dodgson (Lewis Carroll
12
1832-1898
מרצה באוקספורד ,כומר
סופר
מתימטיקאי
לוגיקאן
צלם
פילוסוף
דודג'סון
13
"הרפתקאות אליס בארץ הפלאות"
"מבעד למראה ומה אליס מצאה שם"
חידות מתמטיות ולוגיות
חיבורים בגיאומטריה
לוגיקה סימבולית
משחקי מילים ,איגיון
חידות מתמטיות ולוגיות
Lewis Carroll's Pillow Problem
סל מכיל דסקית אחת .ידוע כי הדסקית
לבנה או שחורה .דסקית לבנה מוכנסת
לסל ,הסל מנוער ומוצאת ממנו דסקית,
שידוע כי היא לבנה .מה הסיכוי עתה
להוציא מהסל דסקית לבנה?
14
"פתרון "1
מאחר ומצב הסל ,לאחר השינוי ,נשאר
בהכרח כפי שהיה (נכנסה ויצאה דסקית
לבנה) ,ההסתברות להוצאת דסקית
לבנה נותרה כפי שהייתה.1/2 ,
15
פתרון 2
נסמן ב B -וב W1 -את הדסקית השחורה והדסקית הלבנה שאולי
נמצאות בסל במצב ההתחלתי.
נסמן ב W2 -את הדסקית הלבנה המוכנסת לסל.
נסמן מצב אפשרי לאחר ההוצאה של דסקית לבנה מהסל על ידי זוג
דסקיות( :הדסקית שהוצאה מהסל ,הדסקית שנותרה בסל)
קיימים אפוא שלושה מצבים אפשריים ,בעלי הסתברות שווה:
( )W1,W2( ,)W2,W1ו.)B ,W2( -
בשני מצבים הדסקית שנותרה בסל היא לבנה ולכן ההסתברות להוציא
דסקית לבנה גדלה מ 1/2-ל.2/3-
16
Dodgson
A Method of Taking Votes on More Than Two
Issues ;Oxford ; 1876.
The Principles of Parliamentary Representation;
London; Harrison and Sons; 1884.
A Discussion of Various Methods of Procedure
in Conducting Elections; Oxford; 1893.
The Mathematical Pamphlets of Charles L.
Dodgson; edited by Francine F. Abeles;
Charlottesville; University of Virginia; 1995.
17
תרומה לבחירה חברתית
18
עקרון הבחירה (הפשרה) של דודג'סון:
ההתקרבות לבחירה על פי קונדורסה
בחירה חברתית :אתגר
להשכלה/נאורות ((Enlightenment
במחצית השנייה של המאה ה18-
מהו כלל הבחירה הקבוצתי הראוי?
19
התרומה של Condorcet
משפט המושבעים של קונדורסה (:)1785
קבוצה של פרטים זהים עומדת מול שתי אפשרויות שאחת מהן היא
המועדפת ,אך קיימת אי וודאות ביחס לזהותה של אפשרות זו.
א .ההסתברות שהקבוצה בוחרת באפשרות המועדפת ("האפשרות
הנכונה") גבוהה יותר כאשר הקבוצה משתמשת בכלל הרוב הפשוט
ולא מפקידה את ההחלטה הקבוצתית בידי אחד מחבריה.
ב .הסתברות הבחירה של האפשרות המועדפת שואפת ל 1-כאשר
מספר הפרטים בקבוצה שואף לאין סוף.
20
התרומה של Condorcet
כלל הבחירה של קונדורסה
הגדרה :נבחרת האפשרות שהיא "מנצחת קונדורסה" –
אפשרות הגוברת על כל אפשרות אחרת ברוב פשוט.
קריטריון קונדורסה
הגדרה :כלל בחירה מקיים את קריטריון קונדורסה ,אם
הוא בוחר את "מנצחת קונדורסה" ,במידה וקיימת
אפשרות כזו.
21
כלל הבחירה של קונדורסה
יתרונות:
דמוקרטי!
מממש את עיקרון הרוב!
פשוט!
22
כלל הבחירה של קונדורסה
חסרונות:
לא מבטיח בחירה -פרדוקס הבחירות של
קונדורסה
לא מתחשב בעצמת ההעדפות
23
פרדוקס הבחירות של קונדורסה :לא
קיימת אפשרות מנצחת -נבחרת
a
c
b
פרט 3פרט 2פרט 1
a
b
c
b
c
a
c
a
b
24
התרומה של Borda
כלל הנקודות של בורדה ()1770
הגדרה :כל פרט מעניק ל k -האפשרויות העומדות
לבחירה נקודות בהתאם לדירוגן ביחס ההעדפה שלו;
לאפשרות הטובה ביותר מוענקות kנקודות ,לאפשרות
המדורגת שניה מוענקות ) (k-1נקודות ,וכן הלאה ,עד
לאפשרות הגרועה ביותר לה מוענקת נקודה אחת .כלל
בורדה בוחר באפשרות לה מעניקים הפרטים את מספר
הנקודות הגדול ביותר.
25
דוגמה :בפרופיל ההעדפות הנתון
נבחרת אפשרות b
ניקוד על פרט 3
פי כלל
בורדה
10- bנק' b
פרט 2
פרט 1
ניקוד
a
a
4
9 – aנק' d
b
b
3
6 – dנק' c
d
c
2
5 – cנק' a
c
d
1
26
כלל בורדה
משמעות:
א .האפשרות הנבחרת על ידי כלל בורדה היא
בעלת הדרוג הממוצע הגבוה ביותר של הפרטים.
ב .לאפשרות הנבחרת על ידי כלל בורדה יש
בממוצע את מספר התומכים הגבוה ביותר
בהשוואות בינאריות מול האפשרויות האחרות.
27
כלל בורדה
יתרונות:
מבטיח בחירה!
דמוקרטי!
נותן ביטוי לעצמת ההעדפות!
האפשרות הנבחרת על-ידי כלל בורדה איננה
יכולה להיות מנוצחת על פי קונדורסה.
28
כלל בורדה
חסרונות:
לא מקיים את קריטריון קונדורסה .כלומר ,קיימים
פרופילים של העדפות כך שקיימת אפשרות שהיא
מנצחת על פי קונדורסה ,ובכל זאת כלל בורדה לא
בוחר בה.
הניקוד שרירותי.
הניקוד כפוי ואיננו מאפשר ביטוי אישי של עצמת
העדפות".
29
התרומה של Dodgson
עקרון הבחירה (הפשרה) של דודג'סון:
התקרבות לבחירה על פי קונדורסה.
מכיר בחשיבות עיקרון הרוב וגם באפשרות שכלל
הבחירה של קונדורסה לא מבטיח בחירה.
מתקרב לבחירה על פי קונדורסה ע"י שימוש במושג
"מרחק בין העדפות" ,תוך התחשבות (בדומה לבורדה)
בכל סדר ההעדפות.
30
עקרון הבחירה (הפשרה) של דודג'סון:
ההתקרבות לבחירה על פי קונדורסה
מן הראוי שכלל הבחירה החברתית יממש את עיקרון הרוב
הפשוט כך:
אם קיימת אפשרות שהיא מנצחת על פי קונדורסה ,על
הכלל לבחור בה.
אם לא קיימת אפשרות שהיא זוכה על פי קונדורסה ,על
הכלל לבחור באפשרות הזקוקה למספר הקטן ביותר של
שינויים בהעדפות הפרטים כדי להפוך לזוכה על פי
קונדורסה .דודג'סון מגדיר שינויים בהעדפות הפרטים
כשינויים בין אפשרויות סמוכות ביחסי ההעדפה של
הפרטים.
31
התקרבות לבחירה על פי קונדורסה :דוגמה
קיימות 4אפשרויות,a,b,c,d ,
ו 13 -פרטים שהעדפותיהם
מוצגות בטבלה:
c b b b a a a a
d d d c c
d d d d b b b b
b b b a a
c c c b b a* c c c c c c c
a a a d d b* a a a d d d d
32
במקרה זה ההעדפה החברתית המבוססת על כלל הרוב הפשוט
היא מעגלית a :עדיפה מ b ,b -עדיפה מ c ,c -עדיפה מd ,d-
עדיפה מ .a -כלומר ,לא קיימת אפשרות זוכה על פי קונדורסה.
כל אחת מהאפשרויות c ,aו d -זקוקה לארבעה חילופים על
מנת הפוך למנצחת קונדורסה .אפשרות bזקוקה לחילוף אחד,
למשל ,ההחלפה בין שתי האפשרויות המסומנות ב ,* -ולכן היא
זו שצריכה להיבחר !
עקרון הבחירה (הפשרה) של דודג'סון:
ההתקרבות לבחירה על פי קונדורסה
הפשרה הכפולה:
הצעת פשרה בין קונדורסה (שימוש בקריטריון
קונדורסה) ובורדה (ממדד הקרבה משתמעת
התחשבות בעצמת ההעדפות).
33
ההיבט הנורמטיבי
השאלה הנורמטיבית המרכזית היא מהו יחס ההעדפה
החברתית ה"רצוי".
התשובה לשאלה יכולה להתבסס על הסכמה ביחס
לתכונות הרצויות של יחס ההעדפה החברתית הראוי,
מאחר שההסכמה עשויה להוביל לזיהוי חד משמעי של
יחס זה ,וממילא לפונקצית הבחירה החברתית הרצויה.
ההצלחה של גישה זו ,הגישה האקסיומטית ,עשויה אפוא
לאפשר לחברה להתגבר על הקשי של נקיטת פעולה
בנסיבות של ניגודי אינטרסים בין חבריה.
34
ההיבט הפוזיטיבי
השאלה הפוזיטיבית המרכזית היא האם אפשר לחקור את
ההחלטות החברתיות ,בדומה לבחירה האינדיווידואלית,
על בסיס ההנחה שהבחירה החברתית ניתנת
לרציונאליזציה על ידי יחס העדפה סביר כלשהו.
הקיום של יחס העדפה חברתית סביר (ושל פונקצית
בחירה חברתית ,הניתנת לרציונאליזציה על ידו) מבטיח
התנהגות חברתית רציונאלית .התנהגות כזו היא בעלת
חשיבות רבה מן הבחינה המתודולוגית .היא מאפשרת
מימוש של המטרות הפוזיטיביות ( הסבר וניבוי ) של
תורת הבחירה החברתית ,תוך התבססות על
המתודולוגיה הפורייה המקובלת בתחום הכלכלה.
35
התרומה של Arrow
משפט האי-אפשרות
))Arrow’s Impossibility Theorem, 1951
הקטליזטור של התפתחות תחום הבחירה
החברתית
)(Social Choice Theory
36
התכונות הנדרשות במשפט
האי-אפשרות של Arrow
תחום בלתי מוגבל (:(Unrestricted Domain -UD
הכלל מתאים יחס העדפה חברתית לכל חברה
שהיא ,דהיינו לכל פרופיל אפשרי של העדפות.
טרנסיטיביות ):(Transitivity – T
כל יחס העדפה חברתית הכלול בטווח של כלל
האגרגציה הוא טרנסיטיבי.
37
התכונות הנדרשות במשפט
האי-אפשרות של Arrow
עיקרון פארטו (:) Pareto Principle - P
ההעדפה החברתית בין שתי אפשרויות זהה להעדפה של
כל פרט ,כאשר העדפות הפרטים הן זהות.
אי-דיקטטוריות (:(Non-Dictatorship – ND
לא קיים פרט דיקטטורי ,פרט שהעדפותיו קובעות באופן
בלעדי ובכל הנסיבות את ההעדפה החברתית בין כל שתי
אפשרויות.
38
התכונות הנדרשות במשפט
האי-אפשרות של Arrow
אי-תלות באפשרויות לא-רלוונטיות ((IIA
) :)Independence of Irrelevant Alternativesההעדפה
של כל חברה בין כל שתי אפשרויות תלויה אך ורק
בהעדפות האינדיווידואליות על תת הקבוצה הכוללת את
אותן שתי אפשרויות.
ניסוח חילופי :אם הצמצום של שני פרופילים שונים
לקבוצה המכילה שתי אפשרויות הוא זהה ,אז הצמצום
של שני יחסי ההעדפה החברתית המתאימים לשני
הפרופילים לאותה קבוצה אף הוא זהה.
39
מה המשמעות של ?IIA
ההעדפה החברתית בין כל שתי אפשרויות תלויה אך ורק
באינפורמציה על ההעדפות (האורדינאליות) של הפרטים
הנוגעות לאותן שתי האפשרויות.
פירוש הדבר הוא שהתנאי IIAמחייב חוסר התחשבות
של ההעדפה החברתית במידע אודות עצמת ההעדפות
של הפרטים ביחס לאותן האפשרויות וגם חוסר
התחשבות במידע אודות ההערכות היחסיות של אותן
האפשרויות בהשוואה לאפשרויות אחרות.
40
משפט האי-אפשרות של Arrow
לא קיים כלל אגרגציה המקיים את התכונות ,UD
ND ,P ,Tו.IIA -
או
אם כלל אגרגציה מקיים את התכונות P ,T ,UD
ו ,IIA -אז הוא כלל דיקטטורי.
41
מה המשמעות של משפט
האי-אפשרות של ?Arrow
מהו כלל הבחירה הקבוצתי הראוי?
!!! ???
42
מה המשמעות של משפט
האי-אפשרות של Aביחס ל?C-
43
לרצות את קונדורסה
בדמוקרטיה לא ניתן ָ
ולהבטיח בחירה:
לא קיים כלל אגרגציה דמוקרטי ( ,)ND+Pלא
מוגבל בתחולתו ( )UDובלתי תלוי באפשרויות לא
רלוונטיות ( ,)IIAהמבטיח בחירה (.)T
האם בעיית חוסר הבחירה היא
משמעותית?
הסתברות פרדוקס הבחירות
מספר הפרטים
מס ‘ אפשר' 3
5
7
9
11
...
בגבול
3
.056
.069
.075
.078
.080
…
.088
4
.111
.139
.150
…
.176
5
.160
.200
.215
…
.251
6
.202
…
.315
7
.239
.299
.343
…
.369
:
:
:
:
:
:
:
:
בגבול
1
1
1
1
1
…
1
44
.255
.156
.230
.258
.160
.251
.284
.342
.305
.294
מה המשמעות של משפט
האי-אפשרות של Aביחס ל B-או ? D
45
בדמוקרטיה לא ניתן לרצות את בורדה או את
דודג'סון ולהבטיח אי תלות באפשרויות לא
רלוונטיות :
לא קיים כלל אגרגציה דמוקרטי ( ,)ND+Pלא
מוגבל בתחולתו ( )UDומבטיח בחירה ( ,)Tשאיננו
תלוי באפשרויות לא רלוונטיות (.)IIA
האם הכלל של " Bמכבד" את ?C
כלל בורדה לא יכול לבחור באפשרות מנוצחת על
פי קונדורסה!
הכלל של בורדה לא יכול להעניק לאפשרות
מנצחת קונדורסה את הניקוד הנמוך ביותר!
46
האם הכלל של " Dמכבד" את Cואת ?B
הכלל של דודג'סון יכול לבחור באפשרות מנוצחת
על פי קונדורסה! )(Nurmi, 2004
הכלל של דודג'סון יכול לבחור באפשרות הגרועה
ביותר על פי הניקוד של בורדה! )(Ratliff, 2002
47
סוף דבר
שאלת הבחירה החברתית (קבוצתית הראויה) היא
אכן אתגר להשכלה/נאורות (.(Enlightenment
אתגר ל C+B -במאה ה.18 -
אתגר ל D-במאה ה.19 -
אתגר ל A-וממשיכיו במאה ה.20 -
48
© Copyright 2024