‫סיכום קורס מוקלד ע"י גרבר ערן‪.‬‬ ‫סיכומים אלו הן של ההרצאות של מיכל פלדמן‪.‬‬ ‫כל אשר בוחר להשתמש בהרצאות אלו עושה זאת על דעת עצמו‪.‬‬ ‫לכל טעות בסיכום (או כל נושא אחר) ניתן לפנות למייל‪:‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫נושאים חישוביים בתורת המשחקים – שיעור ‪10‬‬ ‫תיאוריה של בחירה חברתית‪:‬‬ ‫המודל‪:‬‬ ‫| |‬ ‫‪ :A‬קבוצה של אלטרנטיבות (מועמדים)‬ ‫| |‬ ‫‪ :I‬קבוצה של בוחרים‪.‬‬ ‫‪ :L‬קבוצת הסדרים הליניאריים על ‪.A‬‬ ‫‪ :‬פונקציית רווחה חברתית‪.‬‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪ :‬פונקציית בחירה חברתית‪.‬‬ ‫הפונקציה‬ ‫דוגמאות לכללי בחירה‪:‬‬ ‫‪ .1‬החזר את המועמד שדורג ראשון ע"י רוב הבוחרים‪.‬‬ ‫לדוגמא‪:‬‬ ‫‪ 52% ‬מהבוחרים הצביעו‬ ‫‪ 52% ‬מהבוחרים הצביעו‬ ‫‪ 04% ‬מהבוחרים הצביעו‬ ‫לפי כלל זה ‪ c‬יבחר‪ ,‬למרות ש ש‪ 04%-‬מעדיפים את ‪ b‬על ‪,c‬‬ ‫אבל ‪ 02%‬מעדיפים את ‪ a‬על ‪.b‬‬ ‫מנגד יותר מ‪ 04%‬מעדיפים את ‪ c‬על ‪a‬‬ ‫(וחוזרים להעדפה של ‪ b‬על ‪)...c‬‬ ‫‪ .5‬כלל בורדה‪:‬‬ ‫כל בוחר שמדרג את המועמד ‪ a‬במקום ‪ ,i‬המועמד ‪ a‬יקבל ‪ m-i‬נקודות‪.‬‬ ‫המועמד בעל מספר הנקודות הגבוה ביותר זוכה‪.‬‬ ‫לדוגמא‪:‬‬ ‫‪ ‬הדירוג של בוחר ‪:1‬‬ ‫‪ ‬הדירוג של בוחר ‪:5‬‬ ‫בוחר ‪ 1‬נתן את הניקוד הבא‪:‬‬ ‫ל‪ 5 a-‬נקודות \ ל‪ b-‬נקודה אחת \ ל‪ c-‬אפס נקודות‪.‬‬ ‫בוחר ‪ 5‬נתן את הניקוד הבא‪:‬‬ ‫ל‪ a-‬אפס נקודות \ ל‪ 5 b-‬נקודות \ ל‪ c-‬נקודה אחת‪.‬‬ ‫ומקבלים כי הזוכה הוא ‪ b‬שלו ‪ 5‬נקודות‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬אי‪-‬תלות באלטרנטיבות לא רלוונטיות – ‪IIA‬‬ ‫‪ F‬מקיימת ‪ IIA‬אם העדפה בין ‪ a‬ו‪ b-‬נקבעת על סמך העדפות הבוחרים בין ‪ a‬ל‪.b-‬‬ ‫סימון‪:‬‬ ‫( הינו דירוג האלטרנטיבות של השחקן ה‪)i-‬‬ ‫ולכל‬ ‫הסבר – לכל‬ ‫אם לכל ‪i‬‬ ‫תכונת פה אחד – ‪:Unanimity‬‬ ‫אם כל הבוחרים נתנו את אותו הסדר‪ ,‬נרצה שכלל הבחירה יחזיר סדר זה‪.‬‬ ‫הסדר שכל הבוחרים דירגו בו את האלטרנטיבות אז‬ ‫כלומר‪ ,‬עבור‬ ‫תכונת הפרטו‪:Pareto-‬‬ ‫אז‬ ‫אם לכל ‪i‬‬ ‫למה‪:‬‬ ‫תחת ‪.Unanimity Pareto IIA‬‬ ‫הוכחה (בנפנוף ידיים)‪:‬‬ ‫נניח שכל הבוחרים דרגו את ‪ a‬מעל ‪.b‬‬ ‫נעביר את ‪ a‬ו‪ b-‬למעלה הבחירה ושאר ומשאר הבחירות נתעלם‪.‬‬ ‫(* הן שאר הבחירות)‬ ‫מתכונת ה‪ Unanimity-‬נקבל את הסדר‬ ‫‪( .‬לא ברור לי לגמרי למה זה נכון)‬ ‫מ‪ IIA-‬נקבל כי‬ ‫דיקטטורה (הגדרה)‪:‬‬ ‫‪ F‬מקיימת דיקטטורה אם קיים ‪ ,i‬כך שלכל‬ ‫מתקיים‬ ‫משפט ‪:Arrow‬‬ ‫| | כל פר"ח (פונקציית רווחה חברתית) שמקיימת ‪ IIA+Unanimity‬היא דיקטטורה‪.‬‬ ‫עבור‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫למת הניטרליות בזוגות‪:‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫כל‬ ‫אזי‬ ‫כך שלכל ‪i‬‬ ‫הוכחת הלמה (בנפנוף)‪:‬‬ ‫נבצע הצבות מחדש בהעדפות כך ש ‪ c‬תמיד מעל ‪ a‬ו‪ d-‬תמיד מתחת ל‪ b-‬ונתעלם משאר האלטרנטיבות‪.‬‬ ‫או‬ ‫נקבל כי קיימים שני סדרים אפשריים בין הארבעה‪:‬‬ ‫ולכן‬ ‫מותר שיהיה שוויון יחיד בין האיברים‪ ,‬כך שיהיו לנו לכל הפחות ‪ 5‬אלטרנטיבות שונות‪.‬‬ ‫הוכחת משפט ‪:Arrow‬‬ ‫נתייחס ל‬ ‫נגדיר פרופיל ‪:‬‬ ‫לכל‬ ‫עבור‬ ‫עבור‬ ‫ולכן קיים כך שמתקיים‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫הוא דיקטטור‪.‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫תהי אלטרנטיבה‬ ‫נשנה את מיקום ‪ e‬הסידורי האלטרנטיבות השונים של השחקנים כך‪:‬‬ ‫ידורג ראשון‪.‬‬ ‫לכל סידור ‪ 1‬עד‬ ‫ידורג בין ‪ c‬ל‪d-‬‬ ‫לסידור‬ ‫עד ‪ ,n‬ידורג אחרון‪.‬‬ ‫לשאר הסידורים‬ ‫לכל ‪ i‬היחס בין ‪ e‬ו‪ c-‬שקול ליחס בין ‪ a‬ל‪ b-‬בפרופיל‬ ‫לכל ‪ i‬היחס בין ‪ e‬ו‪ d-‬שקול ליחס בין ‪ b‬ל‪ a-‬בפרופיל‬ ‫וקיבלנו שאם‬ ‫ומלמת הניטרליות בזוגות‬ ‫ומלמת הניטרליות בזוגות‬ ‫מעדיף את ‪ c‬על ‪ d‬אז תמיד ‪ c‬יועדף על ‪.d‬‬ ‫סיום הוכחת משפט ‪ – Arrow‬מהטענה נובע כי פונקציית הרווחה החברתית שלנו היא דיקטטורה‪.‬‬ ‫חסינות בפני מניפולציה‪:‬‬ ‫פב"ח (פונקציית בחירה חברתית) ניתנת למניפולציה אסטרטגית ע"י בוחר ‪ i‬אם קיימים‬ ‫שמתקיים‪:‬‬ ‫כתכונת הכנות‪:‬‬ ‫פב"ח היא כנה אם היא לא ניתנת למניפולציה אסטרטגית‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫תהי ‪ f‬פב"ח כנה על‬ ‫| | אזי ‪ f‬דיקטטורה‪.‬‬ ‫וקיים‬ ‫כך‬