צירופים. בינום ניוטון. . 5 . חליפות תרגיל

‫תרגיל ‪ . 5‬חליפות‪ .‬צירופים‪ .‬בינום ניוטון‪.‬‬
‫‪ .1‬כמה מילים שונות בנות ‪ 7‬אותיות ניתן ליצור מהאותיות א – ז ‪ ,‬כאשר בכל אות ניתן‬
‫להשתמש פעם אחת ו‪: -‬‬
‫א(‬
‫ב(‬
‫ג(‬
‫ד(‬
‫ב' האות האמצעית ‪,‬‬
‫האותיות א' וב' תהיינה סמוכות‪,‬‬
‫א' תופיע לפני ב' ‪,‬‬
‫א(‪ ,‬ב( ו‪ -‬ג( ביחד‪.‬‬
‫‪ .2‬כמה מילים שונות ניתן לקבל בעזרת התחלפת האותיות במילה "מתמטיקה" ?‬
‫‪ .3‬כמה מספרים שונים בין ‪ 4000‬ל‪ 5000 -‬ניתן לכתוב ע''י הספרות ‪ 7 ,6 ,4 ,3‬כאשר‬
‫א( כל ספרה מופיעה רק פעם אחת ?‬
‫ב( אין הגבלה על מספר הפעמים שספרה יכולה להופיע ?‬
‫‪ .4‬בכמה מספרים ‪-6‬ספרתיים יש בדיוק שתי ספרות זוגיות ?‬
‫‪ .5‬בכמה אופנים ניתן לסדר על מדף ‪ 5‬ספרים שונים באנגלית‪ 4 ,‬ספרים שונים בעברית ו‪3 -‬‬
‫ספרים ברוסית ? בכמה אופנים ניתן לסדר את הספרים שכל הספרים מאותה השפה יהיו זה‬
‫על יד זה ? מה ההסתברות שכל הספרים מאותה השפה יהיו זה על יד זה ?‬
‫‪ .6‬מושיבים ‪ 5‬בנים ו‪ 5 -‬בנות ליד שולחן עגול‪.‬‬
‫א( בכמה דרכים שונות ניתן להושיב אותם ?‬
‫ב( בכמה דרכים שונות ניתן להושיב אותם אם רוצים שישבו בן בת לסירוגין ?‬
‫‪ .7‬בכמה דרכים ניתן לסדר בטור ‪ 12‬אנשים אם ‪ 2‬מהם לא יכולים להיות במקום הראשון‪,‬‬
‫ו‪ 3 -‬אחרים לא יכולים להיות במקום האחרון ?‬
‫‪ 9 .8‬בעלי‪-‬חיים שונים עומדים בשורה‪ ,‬בינם שחף ושפן‪ .‬כמה יש אפשרויות שבין השחף‬
‫והשפן יהיו בדיוק ‪ 4‬בעלי‪-‬חיים ? מה ההסתברות שבין השחף והשפן יהיו בדיוק ‪ 4‬בעלי‪-‬חיים ?‬
‫‪ .9‬חישבו את הסכומים‪. :‬‬
‫‪ 31  31  31‬‬
‫‪ 31  31  31‬‬
‫א( ‪,   +   +   + ... +   +   +  ‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫‪13  14  15 ‬‬
‫‪100  100  100 ‬‬
‫‪100  100  100 ‬‬
‫‪ + ‬‬
‫‪ + ‬‬
‫‪ + ... + ‬‬
‫‪ + ‬‬
‫‪ + ‬‬
‫ב( ‪‬‬
‫‪, ‬‬
‫‪ 2   4   6 ‬‬
‫‪ 94   96   98 ‬‬
‫‪100  100 ‬‬
‫‪100  100  100  100 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − ‬‬
‫‪ + ‬‬
‫‪ − ‬‬
‫‪ + ... + ‬‬
‫‪ − ‬‬
‫ג( ‪‬‬
‫‪ 2   3   4   5 ‬‬
‫‪ 50   51 ‬‬
‫‪ .10‬נתונים ‪ 3‬כדורים לבנים )זהים(‪ 1 ,‬ירוק‪ 1 ,‬צהוב‪ 1 ,‬שחור‪ .‬בחרו מתוכם ‪ 4‬כדורים‬
‫וסדרו אותם בשורה‪ .‬מהו מספר האפשרויות לעשות זאת‪ ,‬אם ‪ 2‬סידורים נחשבים שונים‬
‫כאשר הם שונים בהרכבם או בסדר הכדורים ?‬
‫‪ .11‬בכמה מהמספרים בקטע ]‪ [20.000, 300.000‬כל הספרות שונות ?‬
‫‪ .12‬מהו מספר המחלקים של ‪? 12.000.000‬‬
‫‪ .13‬מהו מספר המחלקים משותפים של ‪ 2010‬ו‪?10 20 -‬‬
‫‪ .14‬בכמה דרכים ניתן לסדר בשורה ‪ m‬כדורים לבנים ו‪ n -‬כחורים שחורים ‪,‬כך שני כדורים שחורים‬
‫לא יהיו סמוכים?‬
‫‪ 15‬מהו מספר האפשרויות לבחירת ‪ 5‬קלפים מתוך ‪ 52‬קלפים שבחפיסה‪ ,‬כך שיהיה ביניהם לפחות קלף‬
‫אחד מכל אחד מארבעת הסוגים ?‬
‫‪ .16‬הוכחו‪:‬‬
‫‪ n‬‬
‫א( ‪3 n = ∑   ⋅ 2 i‬‬
‫‪i=0  i ‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  2 ‬‬
‫ב( ‪  +   + ... +   =  ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪n  m  n + m‬‬
‫‪  ⋅ ‬‬
‫‪ = ‬‬
‫ג( ‪‬‬
‫∑‬
‫‪i =0  i   r − i ‬‬
‫‪ r ‬‬
‫‪ .17‬מהו מספר התמורות של ‪ n‬מספרים ‪ 1, 2, 3,...., n‬שבהן המספרים ‪ 1‬ו‪: 2 -‬‬
‫א( נמצאים זה ליד זה‪.‬‬
‫ב( אינם נמצאים זה ליד זה‪.‬‬
‫ג( מהו מספר התמורות של ‪ n‬מספרים הללו‪ ,‬שבהן המספרים ‪ 1, 2, 3‬נמצאים כולם בסמיכות ?‬
‫‪ .18‬בכל משבצת של טבלה בת ‪ n‬שורות‪ 2n ,‬עמודות יש לסמן בדיוק אחד מבין הסמלים × ו‪ . o -‬בכמה‬
‫דרכים ניתן למלא את הטבלה כך ש‪:‬‬
‫א( בכל עמודה יהיה בדיוק × אחד ?‬
‫ב( בכל שורה יהיו בדיוק שני × ?‬
‫ג( בכל עמודה יהיה בדיוק × אחד ובכל שורה יהיו בדיוק שני × ‪-‬ים ?‬
‫ד( בכל עמודה יהיה לפחות ‪ o‬אחד ?‬
‫‪ .19‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 2n‬כדורים לבנים ו‪ n -‬כדורים צבעוניים )ב‪ n -‬צבעים שונים( כדלקמן‪:‬‬
‫א( ל‪ 3n -‬תאים‪ ,‬כדור אחד בדיוק בכל תא ?‬
‫ב( ל‪ 3n -‬תאים‪ ,‬כדור לבן אחד לכל היותר בכל תא‪.‬‬
‫‪ .20‬קבוצת אנשים מכילה ‪ 7‬גברים ו‪ 4-‬נשים ‪ .‬בכמה דרכים ניתן לבחור ‪ 6‬אנשים מהקבוצה הזו כך‬
‫שביניהם יהיו שתי נשים לפחות‪.‬‬
‫‪ .21‬ישנם ‪ ( n ≥ 6) n‬מנויים של חברה טלפונית‪ .‬בכמה דרכים ניתן לקשר שלושה זוגות נפרדים‬
‫מהם בו‪-‬זמנית‪.‬‬
‫‪ .22‬נתונות הספרות ‪ . 0,1,2,3,4,5‬מצאו כמה מספרים ניתן ליצור תוך שימוש בכולן )כל ספרה‬
‫משתתפת במספר בדיוק פעם אחת(‪.‬‬
‫א( ללא מגבלות‪,‬‬
‫ב( מספרים שמתחלקים ב‪,5-‬‬
‫ג( מספרים זוגיים שגדולים מ‪.400,000 -‬‬
‫בהצלחה !‬