‫אלגברה לינארית ‪ -‬הגדרות ומשפטים‬ ‫פרק ‪ - 3‬דטרמיננטה‬ ‫הגדרה ‪3.1‬‬ ‫דטרמיננטה מוגדרת על מטריצה ריבועית בלבד ומסומנת 𝐴 או 𝐴 ‪ det‬והיא מוגדרת בצורה‬ ‫רקורסיבית‪ .‬חישוב דטרמיננטה מתבצע ע"י בחירת שורה או עמודה לפיה תפותח‬ ‫הדטרמיננטה‪.‬‬ ‫‪ .1‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר ‪:1𝑥1‬‬ ‫‪ .2‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר ‪:2𝑥2‬‬ ‫‪ .3‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛‪,‬‬ ‫המתקבלת מהמטריצה 𝐴 ללא‬ ‫אם 𝑎 = 𝐴 אז 𝑎 = 𝐴‬ ‫𝑏 𝑎‬ ‫= 𝐴 אז 𝑐𝑏 ‪𝐴 = 𝑎𝑑 −‬‬ ‫אם‬ ‫𝑑 𝑐‬ ‫נגדיר את המטריצה המינורית‬ ‫שורה 𝑖 וללא עמודה 𝑗‪.‬‬ ‫𝑗𝑖𝑀 מסדר‬ ‫‪𝑛−1 𝑥 𝑛−1‬‬ ‫ולכן הדטריננטה של 𝐴 מתקבלת ע”י הנוסחא הבאה‪:‬‬ ‫א‪ .‬פיתוח לפי שורה 𝑖‪:‬‬ ‫ב‪ .‬פיתוח לפי עמודה 𝑗‪:‬‬ ‫𝑛𝑖𝑀‬ ‫𝑛‪𝑖+‬‬ ‫𝑗𝑛𝑀‬ ‫‪𝑀𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 −1‬‬ ‫𝑛‪𝑗 +‬‬ ‫‪𝑖+2‬‬ ‫‪𝑀2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 −1‬‬ ‫מטריצת הסימנים עבור חישוב דטרמיננטה‪:‬‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫⋮‬ ‫⋱‬ ‫‪+‬‬ ‫…‬ ‫⋱‬ ‫…‬ ‫‪𝑀𝑖1 + 𝑎𝑖2 −1‬‬ ‫‪𝑗 +2‬‬ ‫‪𝑖+1‬‬ ‫‪𝑀1𝑗 + 𝑎2𝑗 −1‬‬ ‫‪𝐴 = 𝑎𝑖1 −1‬‬ ‫‪𝑗 +1‬‬ ‫‪𝐴 = 𝑎1𝑗 −1‬‬ ‫‪+ −‬‬ ‫‪− +‬‬ ‫⋮ ‪+‬‬ ‫⋮ ⋮‬ ‫משפט ‪ – 3.2‬השפעת ביצוע פעולות אלמנטריות של דטרמיננטה של מטריצה‬ ‫ניתן לבצע פעולות אלמנטריות על דטרמיננטה לפי שורות או לפי עמודות‪ .‬השפעת ביצוע‬ ‫הפעולות על סימן הדטרמיננטה‪:‬‬ ‫‪ .1‬החלפת שתי שורות (או עמודות) במטריצה משנות את סימן הדטרמיננטה‬ ‫‪ .2‬הכפלת שורה (או עמודה) בקבוע לא משנה את סימן הדטרמיננטה‬ ‫‪ .3‬הוספת כפולה של שורה (או עמודה) לשורה (או עמודה) אחרת לא משנה את סימן‬ ‫הדטרמיננטה‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם במטריצה יש שורה (או עמודה) של אפסים אז הדטרמיננטה שווה אפס‬ ‫‪ .2‬אם במטריצה שורה (או עמודה) אחת היא כפולה של שורה (או עמודה) אחרת אז‬ ‫הדטרמיננטה שווה אפס‬ ‫‪ .3‬יהיו 𝐴 ו‪ 𝐵 -‬מטריצות מסדר 𝑛‪ ,‬אזי מתקיים‪𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵 :‬‬ ‫‪ .4‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛 אזי מתקיים‪𝐴𝑡 = 𝐴 :‬‬ ‫‪ .5‬תהי 𝐴 מטריצה הפיכה מסדר 𝑛𝑥𝑛‪ ,‬אזי ‪ 𝐴 ≠ 0‬ומתקיים‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫𝐴‬ ‫= ‪𝐴−1‬‬ ‫‪ .6‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛 וסקלר ‪ ,α‬אז מתקיים‪α𝐴 = α 𝐴 :‬‬ ‫‪ .7‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛‪ ,‬אזי מתקיים‪𝐴𝑘 = 𝐴 𝑘 :‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫משפט ‪ – 3.3‬כלל קרמר‬ ‫תהי 𝑏 = 𝑥𝐴 מערכת משוואות מסדר 𝑛 עבורה יש פתרון יחיד‪ ,‬כלומר ‪ . 𝐴 ≠ 0‬אזי יש פתרון‬ ‫יחיד למערכת והוא ניתן לחישוב ע"י כלל קרמר באופן הבא‪:‬‬ ‫‪𝐴1‬‬ ‫‪𝐴2‬‬ ‫𝑛𝐴‬ ‫= ‪, 𝑥2‬‬ ‫= 𝑛𝑥 ‪, … ,‬‬ ‫𝐴‬ ‫𝐴‬ ‫𝐴‬ ‫= ‪𝑥1‬‬ ‫כאשר 𝑖𝐴 היא המטריצה שהוחלפה בה עמודת 𝑖 בוקטור האיברים החופשיים 𝑏 של מערכת‬ ‫המשוואות‪.‬‬ ‫משפט ‪3.4‬‬ ‫הקשר בין דרגה של מטריצה‪ ,‬מספר פתרונות של המערכת‪ ,‬דטרמיננטה והפיכות המטריצה‪:‬‬ ‫תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛‪ ,‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬