BOKM˚ AL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I torsdag 15.desember 2011 kl. 09:00-14:00 Tillatte hjelpemidler: ”R. A. Adams and C. Essex, Calculus - A complete course” og kalkulator uten grafisk display, som ikke kan programmeres. Antall deloppgaver: 14 OPPGAVE 1 La √ z = −1 + i 3. a) Merk av z i det komplekse planet og skriv tallet p˚ a formen r(cos θ + i sin θ), med 0 ≤ θ < 2π. b) Løs ligningen √ w4 = −8(1 − i 3), og merk av løsningene i det komplekse planet. OPPGAVE 2 a) Finn grenseverdien lim x→3− sin(x − 3) . |x − 3| b) Bruk definisjonen av grenseverdi til ˚ a vise at lim (x2 − 6x) = −8. x→2 OPPGAVE 3 I en barnehage g˚ ar det 100 barn. P˚ a et tidspunkt bryter det ut omgangssyke i barnehagen. La y(t) være antall barn som er smittet av viruset etter en tid t m˚ alt i dager. I dette tilfellet er en god modell for utbredelsen av smittten at raten antall smittede barn øker med er b˚ ade proporsjonal y til y (siden dette er antall barn som er smittet) og til (1 − 100 ) (siden dette er andelen barn som kan smittes). Merk at vi antar at alle barna møter i barnehagen selv om de er syke. a) Sett opp den separable differensialligningen som uttrykker antallet barn som er smittet, og vis at denne ligningen har løsning gitt ved formelen 100 . 1 + Ce−kt der C og k er konstanter. y(t) = b) Smitten bryter ut idet ett av de 100 barna mandag morgen kommer i barnehagen med omgangssyke. Neste morgen er fire barn smittet (inkludert barnet som var smittet dagen før). Hvor lang tid tar det før halvparten av barna er smittet? 1 OPPGAVE 4 Den opplevde temperaturen, eller vindavkjølingsindeksen, er den temperatur vi m˚ atte hatt i vindstille forhold for ˚ a føle samme kulde som ved de eksisterende vind- og temperaturforhold. Værvarslingstjenester i flere land (inkludert Norge) benytter følgende modell for beregning av vindavkjølingsindeksen W : W = 13, 12 + 0, 6215 · T − 11, 37 · V 0,16 + 0, 3965 · T · V 0,16 , der T er temperaturen i celcius og V er vindhastighetnen i km/h. a) Anta at temperaturen p˚ a et tidspunkt er T = −15◦ C og det bl˚ aser frisk bris med en vindhastighet p˚ a V =10,5 m/s = 36 km/h. Med hvilken rate m˚ a vinden løye for at at vindavkjølingsindeksen skal være konstant dersom temperaturen minker med en rate p˚ a 1, 5◦ C per time? b) Finn en formel for vindavkjølingsindeksen som funksjon av vindhastighet gitt at temperaturen er konstant lik −15◦ C. Lag en lineærapproksimasjon til denne funksjonen med utgangspunkt i vindhastigheten V =10,5 m/s = 36 km/h. Finn feilleddet i approksimasjonen, og avgjør hvis mulig om den lineære approksimasjonen vil gi for stor eller for liten verdi for vindavkjølingsindeksen. OPPGAVE 5 Gitt funksjonen ( −x3 + 3x + 1, f (x) = (x − 1)2 ex , −2 ≤ x < 0, 0 ≤ x ≤ 2. a) Bruk definisjonene av kontinuitet og den deriverte i et punkt og avgjør om f (x) er kontinuerlig og/eller deriverbar for x = 0. b) Bestem absolutte og lokale ekstremalpunkter for f . c) Finn hvor f har eventuelle vendepunkt, og skisser grafen til f . OPPGAVE 6 a) Bruk substitusjon, og finn det ubestemte integralet Z dx √ . 2 x(1 + x) b) Bestem verdien av integralet Z 4 1 dx 2 x −4 eller vis at det divergerer. c) Finn løsningen y av differensialligningen (1 + x)y 0 + y = (1 + x)2 . Inga Berre Hilde Kristine Hvidevold 2 Trine Mykkeltvedt