1. No category

Braggdiffraksjon
Nicolai Kristen Solheim
Abstract
Gjennom denne øvelsen skal vi gjøre oss kjent med røntgenstråling og elektrondiffraksjon.
Herunder finner vi bremsestråling, karakteristisk stråling, energispektrum, røntgenspektroskopi og
Braggspredning. Vi ser her på braggdiffraksjon både teoretisk og i praksis.
1 Introduksjon
Denne øvelsen er todelt. I de tre første oppgavene tar vi for oss røntgenstråling og aspekter ved
dette, mens vi i de tre siste oppgavene ser på elektrondiffraksjon og Braggspredning. Vi kan se på
disse delene hver for seg. I første del bruker vi et røntgenspektrometer, mens vi i andre del bruker en
elektronkanon med fokuseringssystem og karbonfilm som er montert i en evakuert glassbeholder.
1.1 Røntgenstråling
Røntgenstråling er elektromagnetisk stråling med bølgelengde i området 10
10 eller fotonenergi i området 0.1 1 . Denne typen stråling oppstår når elektroner bremses i et
stoff, som kan skje ved to forskjellige prosesser.
Den første prosessen kalles bremsestråling. Her oppstår røntgenstråling når elektronene støter
mot andre elektroner eller avbøyes i feltet rundt atomkjernene. Her kan bremsestrålingsfotonene ha
alle energier mindre enn elektronets kinetiske energi. Energispektret fra bremsestråling er med andre
ord kontinuerlig. Siden den maksimale energien er avhengig av elektronets kinetiske energi, kan vi i
prinsippet lage bremsestråling med så høy energi vi ønsker.
Den andre prosessen kalles karakteristisk stråling. Den prosessen oppstår når hurtige
elektroner som går gjennom et stoff eksiterer eller ioniserer stoffets atomer eller molekyler. Atomene
eller molekylene faller så tilbake i sin laveste energitilstand slik at stoffe deeksiteres, for så å sende ut
elektromagnetisk stråling. Fotonene i denne strålingen har diskret energi, tilsvarende forskjellen
mellom atomenes energinivåer. Energispektret blir et linjespektrum hvor linjene svarer til bestemte
overganger i atomene i det stoffet som bremser elektronene. Disse helt bestemte energiene er
karakteristiske for stoffet, og kan derfor brukes til å identifisere atomer i et stoff.
Bremsestrålingen og den karakteristiske strålingen kan inneholde både synlig lys og stråling
utenfor det synlige spektret. Stråling med kortere bølgelengde enn lys kalles ultrafolett stråling hvis
den kan undersøkes med optiske metoder, f.eks. med mekanisk fremstilte strekgitre. Røntgenstråling
er stråling med så kort bølgelengde at optiske metoder ikke kan benyttes. Vi må derfor studere denne
strålingen med krystallspektrometre. Skillet mellom røntgenstråling og ultrafiolett stråling er ikke satt
ved noen bestemt bølgelengde. Det er den adekvate målemetoden som avgjør om strålingen skal kalles
Side 1 av 12
optisk lys eller røntgenstråling. Optiske metoder kan benyttes for bølgelengder ned til omlag 10 ,
røntgenspektroskopiske metoder for bølgelengder opp til ca. 60 .
Røntgenstråling har som regel lavere energi, altså lengre bølgelengde, enn -stråling, men
forskjellen mellom røntgen- og -stråling avgjøres av selve strålingsmekanismen. Røntgenstråling
oppstår ved prosesser i elektronbanene, mens -stråling oppstår i atomkjerner eller ved desintegrasjon
av elementærpartikler.
For å måle bølgelengder benytter vi optikken i forskjellige typer gitre some er mekanisk
framstilt, slik at gitterkonstanten er av samme størrelsesorden som bølgelengden. For røntgenstråling
kan vi som sagt ikke benytte oss av mekaniske gitre, og heller bruke krystaller med naturlige gitre.
I krystallene vi benytter oss av, er atomene ordnet i et enkelt kubisk gitter hvor overflaten er et
gitterplan. Når strålingen treffer et gitterplan, virket dette som et speil og strålingen blir reflektert med
hensyn på innfallsvinkelen. Det har seg videre slik at stråling som spres mot de enkelte atomer i et
plan vil interferere konstruktivt dersom dersom refleksjonsvinkelen er lik innfallsvinkelen. Dette
gjelder alle bølgelengder, og vi kaller dette speilbetingelsen. Vi kan i figur en se hvilken type
krystaller vi har, og hvordan vi betrakter gitterplanet.
Figur 1: Refleksjon fra krystall med gitterplanavstand . Tilsvarer figur 17.3 i oppgaveteksten.
Videre vil også stråling som reflekteres fra to forskjellige gitterplan interferere. Vi vil også få
konstruktiv interferens dersom gangforskjellen mellom den reflekterte strålingen fra de to planene er et
helt antall bølgelengder. Fra figur 1 over ser vi at gangforskjellen mellom stråling som reflekteres fra
to gitterplan med en avstand fra hverandre vil være gitt som 2 sin , der er vinkelen mellom
innfallende/reflektert stråling og gitterplanene.
Dersom det benyttes et monoenergisk røntgenstråling vil vinkelen
variere mellom
innfallende stråle og gitterplanet , og vi vil observere den reflekterte strålen i en retning 2 i forhold
til den innfallende. På denne måten vil vi se skarpe maksima i bestemte retninger, altså for bestemte
verdier av . Vi kaller det maksimum som svarer til at gangforskjellen mellom bølger fra to naboplan
er for første ordens maksimum. En gangforskjell 2 gir annen ordens maksimum og videre gir 3
tredje ordens maksimum
For å gjennomføre denne praktiske oppgaven bruker vi et røntgenspektrometer. Dette
spektrometeret består av tre deler: et røntgenrør, en krystall og en detektor for røntgenstråling.
Spektrometeret må dessuten inneholde spalter eller blendere som avgrenser strålingen, og krystallen
og røntgendetektoren er plassert på et dreiebord slik at innfallsvinkelen og den reflekterte vinkelen blir
like store. Oppsettet for spektrometeret er vist i figur 2 under.
Side 2 av 12
Figur 2: Bragg-type røntgenspektrometer med GM-detektor. Røntgenstråling fra anoden A passerer to
spalter, og treffer krystallen i vinkelen . Den reflekterte strålen som danner vinkelen 2 med den
innfallende, går inn i GM-røret. Foran GM-røret er det to spalter som skjermer mot spredt stråling fra
veggene i spektrometeret. Tilsvarer figur 17.4 i oppgaveteksten.
Dette spektrometeret danner røntgenstråling ved hjelp av vakumrør og en glødekatode. Elektroner fra
katoden vil akselereres i feltet mellom anoden og katoden og treffer anoden med en energi , hvor
er spenningen over røret. Når elektronene treffer anoden bremses de, og det produseres
røntgenstråling. Det produseres både bremsestråling og karakteristisk stråling. Den minste
bølgelengden eller maksimale frekvensen i spekteret svarer til at hele elektronenergien
er overført
til et enkelt foton.
Energien til den karakteristiske strålingen er kun bestemt av anodematerialet og er derved
uavhengig av spenningen over røret. Røntgenrøret som benyttes i denne øvelsen har en anode av
kopper, og spenningen over røret holdes på 20 . Den karakteristiske strålingen fra kopperanoden i
vårt måleområde består av fire linjer listet i tabell 1 under.
Tabell 1: Karakteristiske linjer for kommer i vårt måleområde Linje #
Bølgelengde
154.4 154.0 139.2 138.1 Det bør også påpekes at krystallen som brukes har en matt og en plank flate. For å oppnå størst mulig
intensitet i den reflekterte strålen skal krystallen monteres ned den blanke flaten ut. En bør da passe på
at krystallen blir stilt riktig slik at den treffer GM-røret.
1.2 Elektrondiffraksjon
Elektrondiffraksjon skjer når elektroner blir spredt fra atomene i et krystallgitter. Dette vil
skape diffraksjonsmønstre som kan beskrives ved elektronenes bølgeegenskaper. I denne praktiske
øvelsen måler vi to gitteravstander i polykrystallinsk grafitt (karbon) ved bruk av denne effekten. Vi
betrakter her de Broglies berømte hypotese fra 1924. Denne går ut på at atomære partikler har
bølgeegenskaper og kan knyttes til kvanteteorien. Her ser vi også på Braggspredning, som på samme
måte som røntgendiffraksjon gir en første ordens spredning når 2 sin
der
er
gitterplanavstanden.
I denne oppgaven treffer de spredte elektronene en kuleformet skjerm med radius .
Geometrien for dette er vist i figur 3 under.
Side 3 av 12
Figur 3: Geometrien for måling av småvinkel elektrondiffraksjon fra en krystall. Tilsvarer figur 17.6 i
oppgaveteksten.
Avstanden
2 mellom punktet der strålen treffer krystallen og skjermen er 127
denne praktiske øvelsen.
3 for
2 Teori
Røntgenstrålingen karakteriseres ved bølgelengden , frekvensen
energien gis vanligvis i elektronvolt, . For omregning gjelder følgende.
1 1.602 · 10
1.241 · 10 eller fotonenergien
, og
1
2
3
Videre vil har vi for et røntgenspektrometer at det oppstår konstruktiv interferens mellom strålingene
fra de to gitterplanene dersom
2 sin
4
der kvantetallet er en helt tall og er bølgelenden for strålingen. Vi kjenner dette som Braggs lov,
alternativt som Braggs betingelse for refleksjon av røntgenstråler.
Når det kommer til elektrondiffraksjon kan vi se på elektronenes de Broglie bølgelengde. Han
postulerte at en partikkel med en impuls har en bølgelengde som kan skrives på formen
.
Dersom en så akselererer elektroner gjennom en potensialforskjell
uttrykket
5
, kan vi finne hastigheten fra
6
som videre gir
1
7
der
2.426 og
Side 4 av 12
8
9
.
Videre kan vi betrakte geometrien i figur 3. For små vinkler vil relasjonen
10
gjelde, som videre gir at
11
med hensyn på 4 .
3 Eksperimentelt
3.1 Oppgave 1
I denne første oppgaven benytter vi en LiF-krystall som har 2
401 , og vi velger den
20 . Det første vi ønsker å gjøre er å
nominelle verdien for spenningen over røntgenrøret
måle intensiteter for hver halve grad fra 2
12° inntil intensiteten flater ut. Vi har gitt at dette vil
skje ved cirka 20° 22°. Vi bruker en måletid på 60 sekunder.
Videre fremstiller vi måleresultatene grafisk, for så å benytte grafen til å bestemme
spenningen over røntgenrøret. Vi sammenlikner til slutt denne verdien med den nominelle verdien.
3.2 Oppgave 2
Deretter bytter vi ut LiF-krystallen med en RbCl-krystall. Dette gjør en veileder for oss. Vi
1, 2 og 3. Totalt skal det være 6 topper, og vi bruker verdiene i tabell
beregner så 2 og 2 for
1. Vi antar her at
og . Vi får også oppgitt fra oppgaveteksten at 2
655 .
og
med hensyn på .
Vi bruker så 4 for å løser for
3.3 Oppgave 3
I denne oppgaven ser vi på spekteret fra RbCl-krystallen, for å se om vi eksperimentelt kan
påvise topper i nærheten av av vinklene vi beregnet i oppgave 2. Vi bruker måletid på 10 sekunder.
Måten vi gjør dette på er at vi sjekker områdene rundt toppene vi allerede har beregnet i forrige
oppgave.
Vi skulle egentlig ha sjekket for hver halve grad, men da dette var den siste oppgaven som ble
gjort under tidspress sjekket vi kun hver grad, som likevel viste topper rundt vinklene som ble
beregnet i forrige oppgave.
Et annet spørsmål i denne deloppgaven er om toppenes posisjoner på vinkelskalaen er
avhengig av den valgte spenningen over røntgenrøret.
3.4 Oppgave 4: Relativistisk korreksjon
Videre beregner vi verdien av den relativistiske korreksjonsfaktoren
1, 5, 20, 50 og 100 . Vi løser her med 9 .
Side 5 av 12
for
3.5 Oppgave 5: Måling av ringenes diametere
Når anodespenningen overstiger 3 ses to lysende ringer på skjermen som en følge av
gittergeometrien. Denne geometrien er vist i figur 4.
Figur 4: Skisse som viser de to spredningsretningene for ytre og indre ring. Tilsvarer figur 17.7 i
oppgaveteksten.
Vi ønsker å måle ytre og indre diameter for hver av disse to ringene, og bruker middelverdien av to
diametre ved utregning av gitterplanavstandene. For å ikke forstyrre elektronstrålen benyttes et
skyvemål av plast. Vi måler ringenes diametre for 11 verdier av
mellom 6.0 og 8.0 . Totalt
måler vi altså fire forskjellige diametre per valgte .
3.6 Oppgave 6: Gitterplanavstandene
Til slutt beregner vi
(svarende til indre ring) og
(svarende til ytre ring) for alle
målingene i oppgave 5. Vi finner deretter de to middelverdiene med den statistiske og eksperimentelle
usikkerheten hver for seg, før vi legger usikkerhetene sammen. Helt til slutt beregner vi forholdet
mellom gitterplanavstandene (se figur 4) og sammenligner med det målte forholdet.
4 Resultater
4.1 Oppgave 1
Vi har her målt intensiteten til hver halve grad fra 2
samlede dataen er vist i tabell 2. Måletiden er 60 s.
Tabell 2: Intensiteter med hensyn på . °
12.0 12.5 13.0 Tellinger
68 84 58 Side 6 av 12
12° inntil intensiteten flater ut. Den
13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 19.0 19.5 20.0 20.5 21.0 21.5 22.0 77 82 78 91 150 214 254 362 432 500 553 603 699 726 758 741 751 732 Vi kan videre fremstille dette grafisk, både med målte
under.
Figur 5: Grafisk fremstilling av data.
Side 7 av 12
og relativt. Dette er vist i hhv. figur 5 og 6
Figur 6: Relativ fremstilling av data.
Fra figurene 5 og 6 over ser vi at vi får en knekk rundt cirka 15.5°. Videre er det slik at vi vil finne
ved
. Vi har fra oppgaveteksten oppgitt at 2
401 og at den nominelle verdien
20 . Videre har vi fra 1 at gis i
slik at vi kan kombinere med 4 og få at
12
er verdien vi skal beregne. Fra 4 får vi at
55.80 0.056 , som er en
hvor
akseptabel bølgelengde og ligger innenfor området for røntgenstråler. Setter vi dette inn i (1) gir dette
22142 22 . Den målte
er med andre ord 2 større enn den nominelle .
at
4.2 Oppgave 2
Vi har her antatt at
154.2 og
138.65 4 , slik at
og , og bruker middelverdien av disse, altså
. Videre beregner vi 2 og 2 for
1, 2 og 3 ved hjelp av
sin
der 2
655 tabell 3.
og er definert ved
og
13
. Resultatene som er funnet for 2
Tabell 3: Beregning av vinkel for topper 27.2° 56.2°
Side 8 av 12
90.0° og 2
er gitt i
24.4° 79.2° 50.4°
Fra tabell 3 ser vi at vi har en topp for hver verdi av
med hensyn på
og . Totalt gir dette 6 topper.
4.3 Oppgave 3
Deretter undersøkte vi spekteret til RbCl-krystallen for å se om vi eksperimentelt kunne påvise
topper rundt vinklene vi har beregnet i oppgave 2. Grunnet dårlig tid ble det foretatt ferre målinger enn
det som ble anbefalt, men vi kan fra dataen i tabell 4 se topper rundt verdiene vi fant i oppgave 2.
Måletiden for hver vinkelverdi er 10 sekunder.
Tabell 4: Data for spekteret fra RbCl‐krystallen (måletid: 10 sekunder) 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 25 27 28 29 30 31 32 33 50 165 47
48
49
54
53
97
75
76
77
56 47 53 167 147 133 119 105 99 88 210 51
52
53
54
55
53
43
55
67
231
79
80
47 39 85
86
87
54 53 50 57
58
59
60
61
58
44
56
58
57
89
90
98 47 99 858 77 90 94 68 80 Fra dataen i tabell 4 ser vi at vi har topper i nærheten av de 6 toppene vi beregnet i forrige oppgave. Vi
har også en topp ved 2
15°. Vi har med dette eksperimentelt påvist at det er topper i nærheten av
vinklene vi beregnet.
Videre vil toppenes posisjoner på vinkelskalaen ikke avhenge av den valgte spenningen over
røntgenrøret. Dette skyldes at energien til den karakteristiske strålingen kun er bestemt av
anodematerialet, og derved uavhengig av spenningen over røret.
4.4 Oppgave 4
Vi beregner så den relativistiske
1, 5, 20, 50 og 100 . Vi bruker her
10
.
korreksjonsfaktoren
1.60 · 10 og
Side 9 av 12
, se
0.511
9 , for
9.109 ·
Tabell 5: Relativistiske korreksjonsfaktorer. 1 5 20 50 100 0.9995 0.9976 0.9904 0.9765 0.9545 Tabell 5 over viser den relativistiske korreksjonsfaktoren
med hensyn på .
4.5 Oppgave 5
Vi måler så diameteren på de to lysende ringene vi ser på skjermen, når anodespenningen
overstiger 3 . Den ytre og indre diameteren for hver ring er vist i tabell 6.
Tabell 6: Verdier for diameterne til ringene Indre ring
6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 2.00 1.90 1.90 1.80 1.80 1.80 1.60 1.60 1.50 1.50 1.50 2.55
2.20
2.20
2.20
2.10
2.10
2.00
1.90
1.90
1.90
1.90
Ytre ring
2.28
2.05
2.05
2.00
1.95
1.95
1.80
1.75
1.70
1.70
1.70
3.60
3.40
3.30
3.20
3.10
3.00
2.90
2.90
2.80
2.80
2.80
4.15 4.00 3.90 3.60 3.60 3.40 3.40 3.30 3.20 3.20 2.10 3.88
3.70
3.60
3.40
3.35
3.20
3.15
3.10
3.00
3.00
2.95
er ytre diameter og
/
er middelverdien av disse. Vi har
I tabellen over er indre diameter,
videre at lengden
2
127 3 . Denne dataen skal brukes for å beregne
gitterplanavstandene i neste oppgave.
4.5 Oppgave 6
Får å beregne gitterplanavstanden tar vi utgangspunkt i 7 , hvor vi neglisjerer
da denne
varierer lite for små verdier. Bruker vi dataen fra oppgave 5, gir dette oss verdiene i tabell 7.
Tabell 7: Bølgelengde og gitterplanavstander med hensyn på 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 15.83 15.57 15.33 15.09 14.87 14.66 14.45 176.4
193.0
189.9
191.7
193.7
190.9
203.9
103.6
106.9
108.2
112.8
112.8
116.3
116.5
Side 10 av 12
7.4 7.6 7.8 8.0 14.26 14.07 13.89 13.71 206.9
210.2
207.5
204.9
116.8
119.1
117.6
118.1
Videre kan vi beregne middelverdi, standardavvik og den statistiske usikkerheten for dataen ved hjelp
av MATLAB. Vi her her brukt funksjonene mean(A), std(A) og std(A)/sqrt(length(A)) der A er en
vektor. Funksjonene tilsvarer hhv. uttrykkene
∑
14
,
∑
15 , og
16
/√
der
.
Tabell 8: middelverdi, standardavvik og statistisk usikkerhet 197.9 10.2 3.1
5.2 113.5
1.6 Fra tabell 8 er standardavviket og
den statistiske usikkerheten for middelverdien
mangler vi kun den eksperimentelle dataen. Denne er gitt ved
, hvor usikkerheten
4.7 og
2.7 .
Dette gir
Herfra vil den totale usikkerheten være gitt ved
. Herfra
.
17 .
18
For den indre ringen, vil vi da få at
√4.7
3.1 5.6 mens vi for den ytre ringen vil få at
√2.7
Fra dette har vi at
197.9
5.6 1.6 3.1 113.5
mens
.
3.1 . Dette gir et forhold
1.74. Videre kan vi beregne forholdet mellom gitterplanavstandene i figur 4. Antar vi at dette
er en likesidet 6-kant og at lengden for en av sidene,
geometri kan vi bruke cosinus til å løse dette, slik at
, er 1, kan vi beregne lengden på
2
der er gitt ved
Side 11 av 12
. Fra
19
cos 30°
Fra dette har vi at
cos 30° .
1.73, og forholdet mellom disse er gitt ved
20
1.73 som er tilnærmet det
vi har funnet eksperimentelt.
5 Diskusjon
Vi så i oppgave 1 hvor vi skulle bestemme spenningen
at vi fikk en verdi som var 2 større enn den nominelle verdien. Hva dette kan komme av er usikkert, men vi kan kanskje ha valgt
feil verdier. Eventuelt kan det også være en mulighet for at vi har misforstått måten vi skulle bruke
grafen på. Utover dette virker grafen og data riktig.
Det må igjen påpekes at vi i oppgave 3 foretok ferre målinger enn hva som var forventet. Et
aspekt her er jo hvor nøyaktig vi kan skille disse toppene fra hverandre. Dersom vi hadde tatt dobbelt
så mange målinger, altså med hensyn på hver halve grad, ville vi sett toppene mer nøyaktig. Et annet
aspekt ved denne oppgaven er toppen som vi observerte ved 15°. Da det var gitt at det bare skulle
være 6 topper, var dette litt uventet. Selvom det er lite sannsynlig at dette er en feil, kunne det vært
interessant å foreta en ny måling på samme område for å bekrefte denne intensitetstoppen.
Når det gjelder toppenes posisjon på vinkelskalaen, vil de ikke avhenge av den valgte
spenningen over røntgenrøret da energien til den karakteristiske strålingen kun er bestemt av
anodematerialet, og derved uavhengig av spenningen over røret.
I oppgave 4 ser vi på relativistisk korreksjon fra 1 til 100 . Vi ser her (jmf. tabell 1) at
korreksjonsfaktoren ikke varierer mye i det området vi betrakter. Det vil derfor ikke være nødvendig å
regne relativistisk for så små verdier som vi bruker her i denne øvelsen.
6 Konklusjon
Gjennom denne øvelsen har vi gjort oss kjent med røntgenstråling og elektrondiffraksjon. Vi
har sett på forskjellige prosesser ved røntgenstråling, herunder bremsestråling og karakteristisk
stråling. I tillegg har vi gjort oss kjent med røntgenspektroskopi og Braggspredning, og sett på dette i
praksis.
7 Kilder
-
Oppgavetekst: FYS2150, øvelse 17, Braggdiffraksjon
Side 12 av 12