Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra fo
¨r gymnasister
Veronica Crispin Quinonez
Sammanfattning. Denna text ¨ar f¨orel¨asningsanteckningar fr˚
an
f¨
oredraget Abstrakt algebra som h¨olls under Kleindagarna p˚
a Institutet Mittag-Leffler 15-17 juni 2012.
1. Introduction
Vad betyder ordet “abstrakt” i uttrycket “abstrakt algebra”?
Enligt [NE] ¨ar Abstraktion, en tankeprocess . . . i vilken man bortser
fr˚
an vissa egenskaper . . . och i st¨allet uppm¨arksammar en eller n˚
agra
f˚
a egenskaper. Den i detta sammanhang b¨asta beskrivningen finner jag
dock hos Rydelius [R] n¨ar jag s¨oker p˚
a ordet i Svenska Akademiens
ordbok: Genom det man bortlemnar k¨annem¨arken, (kan man) ifr˚
an
l¨agre begrepp uppstiga till h¨ogre, hvilket kallas logisk Abstraktion.” (Inom psykologin anser man att barnets f¨orm˚
aga till abstrakt t¨ankande
b¨orjar utvecklas vid elva˚
ars˚
aldern.)
Med andra ord drar man ut (aritmetiska) egenskaper som en viss
(tal-)m¨angd besitter, arbetar bara med dessa egenskaper, varefter de
erh˚
allna resultaten till¨ampas p˚
a m˚
anga fler m¨angder ¨an bara de ursprungliga (tal-)m¨angderna.
2. M¨
angder och operationer
De vanligaste o¨andliga talm¨angderna ¨ar N − de naturliga talen
(inklusive noll), Z − heltalen, Q − de rationella talen, R − de reella
talen och C − de komplexa talen. Vi kan bilda andra m¨angder med
hj¨alp av dessa, s˚
asom R \ {0} − alla reella tal utom noll eller Q+ −
alla de positiva rationella talen.
De f¨orsta operationer som definieras i skolan ¨ar addition, subtraktion, multiplikation och division, a¨ven om man i sj¨alva verket arbetar
med betydligt fler operationer men utan att vara medveten om dem.
1
2
VERONICA CRISPIN QUINONEZ
Definition 2.1. En m¨angd M s¨ags vara sluten under operationen
∗ om f¨or varje elementpar a, b, d¨ar a ∈ M och b ∈ M , s˚
a a¨r resultatet
av operationen a ∗ b ˚
aterigen ett element i M .
Exempel 2.2. Av m¨angderna som n¨amns i b¨orjan av det h¨ar avsnittet ¨ar:
(1) alla utom R \ {0} slutna under addition;
(2) N och Q+ de enda som inte ¨ar slutna under subtraktion;
(3) alla slutna under multiplikation;
(4) bara R \ {0} och Q+ slutna under division; i m¨angderna Q, R
och C finns det ett enda element som g¨or att talm¨angden inte
uppfyller kravet p˚
a slutenhet, men i N och Z kan man hitta
o¨andligt m˚
anga elementpar som st¨aller till det.
¨
OVNING
1. Visa varf¨or var och en av m¨angderna som n¨amns tidigare ¨ar eller inte ¨ar sluten under given operation.
Nedanst˚
aende exempel beskriver aritmetiska egenskaper hos de j¨amna
talen, som vi l¨ar oss ganska tidigt i grundskolan, med den abstrakta
algebrans spr˚
ak.
Exempel 2.3. De j¨amna talen ¨ar slutna under addition, subtraktion och multiplikation, dock inte under division d˚
a, till exempel, 62 ¨ar
udda, 26 icke ¨ar heltal och 02 inte ¨ar definierat.
F¨oljande exempel generaliserar exemplet i ett visst fall.
Exempel 2.4. L˚
at S vara de heltal som f˚
ar rest 1 vid division
med 3, dvs tal p˚
a formen x = 3n + 1, d¨ar n ∈ Z. S ¨ar d˚
a sluten
under multiplikation, ty (3n + 1)(3m + 1) = 9nm + 3n + 3m + 1 =
3(3nm + n + m) + 1 f˚
ar ocks˚
a rest 1 vid division med 3.
Naturliga fr˚
agor som en algebraiker d˚
a vill st¨alla a¨r, bland annat:
(1) Givet en m¨angd M och en operation ∗, a¨r M sluten under *?
(2) Om M inte ¨ar sluten under ∗, hur kan vi ¨andra p˚
a M f¨or att
g¨ora den sluten under ∗?
(3) Givet M , vilka operationer finns det s˚
adana att M ¨ar sluten
under dem?
3. Bin¨
ara operationer
I f¨orra avsnittet har vi talat om operationer utan att egentligen ha
definierat begreppet. Faktum a¨r att vi bara har pratat om en typ av
operationer som vi definierar p˚
a f¨oljande s¨att.
¨ GYMNASISTER
ABSTRAKT ALGEBRA FOR
3
Definition 3.1. En bin¨ar operation p˚
a en m¨angd M ¨ar en regel
som till varje ordnat par av element a, b ∈ M tilldelar ett element i M ,
betecknat a ∗ b.
De fyra grundl¨aggande aritmetiska operationerna ¨ar s˚
a klart bin¨ara,
men f¨or att ge en b¨attre k¨ansla f¨or begreppet b¨or man alltid ge motexempel. I definitionen ¨ar n˚
agra ord understrukna, och vi ska visa varf¨or
de ¨ar s˚
a v¨asentliga genom att ge exempel p˚
a operationer som inte ¨ar
bin¨ara om vart och ett av de understrukna kraven inte uppfylls.
Exempel 3.2. Det ¨ar viktigt att operationen ¨ar definierad f¨or varje par. Betrakta m¨angden av alla ¨andliga vektorer och operationen
addition. D˚
a kan man inte addera tv˚
a vektorer av olika storlek, s¨ag,
(1, 2, 3)+(1, 2). F¨or att fixa det, kan man i st¨allet betrakta alla vektorer
av samma storlek.
Exempel 3.3. Ordningen av elementen ¨ar viktig, eftersom 3 + 4 6=
4 + 3.
Exempel 3.4. Ordet bin¨ar indikerar just att det alltid r¨or sig om
ett par element som man g¨or n˚
agot med. En un¨ar operation skulle
√
kunna vara ”kvadratroten ur”
eller “fakulteten av” !, d˚
a man bara
beh¨over ett enda tal f¨or att dra roten ur det eller ber¨akna fakulteten
av.
Exempel 3.5. L˚
at ∗ definieras via a ∗ b = {ett heltal som ¨ar
st¨orre ¨an a och b}. D˚
a kan vi ha b˚
ade 2 ∗ 3 = 4 och 2 ∗ 3 = 5 och andra
v¨arden, och det finns inte ett enda best¨amt v¨arde p˚
a 2 ∗ 3, vilket g¨or
operationen ganska om¨ojlig att arbeta med algebraiskt. Vi kan r¨atta
till definitionen genom att till¨agga “. . . det minsta heltal som ¨ar st¨orre
. . . “.
Exempel 3.6. Det sista villkoret att resultatet av operationen ska
˚
aterigen vara ett element i M ¨ar slutenhet. Varf¨or den ¨ar viktig har vi
sett tidigare.
H¨ar f¨oljer exempel p˚
a bin¨ara operationer, som ¨ar mer eller mindre
“naturliga”.
Exempel 3.7. .
(1) N och a ∗ b = min(a, b) = {det minsta talet av a och b}
(2) N och a ∗ b = a = {det f¨orsta talet i talparet}
(3) M¨angden M best˚
aende av alla funktioner, som ¨ar definierade
p˚
a R och har v¨ardem¨angd i R, och operationen + eller ·
(4) N+ och a ∗ b = ab (varf¨or a¨r det viktigt att m¨angden bara
best˚
ar av positiva heltal?)
4
VERONICA CRISPIN QUINONEZ
(5) N+ och a ∗ b = a · b − a
(6) N+ och a ∗ b = a · b − 1.
4. Egenskaper hos bin¨
ara operationer
Nu ¨ar det dags att titta p˚
a fler begrepp som vi bekantade oss med
redan i grundskolan: kommutativitet och associativitet.
Definition 4.1. En bin¨ar operation ∗ p˚
a en m¨angd M kallas kommutativ om a ∗ b = b ∗ a f¨or alla a, b ∈ M .
Exempel 4.2. Betrakta Exempel 3.7 (1). Operationen a¨r kommutativ, eftersom det minsta talet ¨ar best¨amt oavsett ordningen som talparet a¨r presenterat i.
Operationen i Exempel 3.7 (2) ¨ar inte kommutativ, eftersom 3 ∗ 5 =
3 men 5 = 5 ∗ 3.
¨
OVNING
3. Kontrollera alla de ¨ovriga operationerna i Exempel 3.7
med avseende p˚
a kommutativitet.
En bin¨ar operation kan naturligtvis appliceras flera g˚
anger och d˚
a
p˚
a fler a¨n bara tv˚
a element, men kan man g¨ora det hursom helst? Vi vet
att (3+4)+2 = 3+(4+2), dvs att det inte spelar roll i vilken ordning vi
summerar tv˚
a tal i taget i en flertalssumma s˚
a l¨ange ordningen mellan
24
alla talen ¨ar densamma. ˚
A andra sidan k¨anner vi ocks˚
a till att 36 6= 24
6 .
3
Definition 4.3. En bin¨ar operation ∗ p˚
a en m¨angd M kallas associativ om (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) f¨or alla a, b, c ∈ M . F¨or en s˚
adan
operation ¨ar uttrycket a ∗ b ∗ c v¨aldefinierat ¨aven utan parenteser.
ab
.
2
Exempel 4.4. F¨or en godtycklig o¨andlig talm¨angd, l˚
at a ∗ b =
Det ¨ar l¨att att se att operationen ¨ar kommutativ. Den a¨r ¨aven
associativ, eftersom (a ∗ b) ∗ c = ( ab
)∗c =
2
a· bc
2
ab
·c
2
2
=
abc
4
och a ∗ (b ∗ c) =
a ∗ ( bc2 ) = 2 = abc
. Observera att denna operation ∗ ¨ar baserad p˚
a
4
den gamla bekanta multiplikationen och divisionen, och att vi anv¨ande
deras egenskaper i v˚
art bevis.
¨
Exempel 4.5. Betrakta Exempel 3.7 (6). Enligt Ovningen
3 ¨ar
operationen a ∗ b = ab − 1 kommutativ.
Vi ska visa att den inte ¨ar associativ, dvs att (a ∗ b) ∗ c 6= a ∗ (b ∗ c).
Vi har (a ∗ b) ∗ c = (ab − 1) ∗ c = ((ab − 1)c) − 1 = abc − c − 1 men
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (bc − 1) = (a(bc − 1)) − 1 = abc − a − 1, vilket skulle
bevisas.
Ett annat exempel p˚
a en kommutativ och icke-associativ operation
ab
¨ar a ∗ b = 2 . Visa det!
¨ GYMNASISTER
ABSTRAKT ALGEBRA FOR
5
Tv˚
a operationer som varken ¨ar kommutativa eller associativa hittar
vi i Exempel 3.7 (4,5).
Ett givet exempel fr˚
an universitetsmatematiken p˚
a en icke-kommutativ
men associativ operation a¨r matrismultiplikation, men kan vi hitta ett
enklare exempel? Exempel 3.7 (2) ¨ar ett s˚
adant. Det kan k¨annas konstruerat vid f¨orsta anblicken, men hur kan man beskriva operationen
“Ange x-koordinaten f¨or en given punkt i xy-planet” med matematiska
symboler? Jo, exakt s˚
a.
Sats 4.6. Om ∗ ¨ar en associativ bin¨ar operation, s˚
a kommer operationen applicerad p˚
a fyra eller fler element ge samma resultat oavsett
hur man placerar parenteserna.
Bevis. Satsen g¨allande fyra element s¨ager att inga parenteser beh¨ovs
i uttrycket a ∗b ∗ c ∗ d eftersom associativiteten ger
(a ∗ b) ∗ c ∗ d = [ ty (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ] = a ∗ (b ∗ c) ∗ d = [ l˚
at b ∗ c = b0 ] = a ∗ (b ∗ c) ∗ d =
a ∗ b ∗ (c ∗ d) = [ l˚
at c ∗ d = c0 ] = a ∗ b ∗ (c ∗ d).
Grupper
Definition 4.7. En m¨angd G tillsammans med en bin¨ar operation
∗ kallas grupp, betecknat hG, ∗i om f¨oljande villkor ¨ar uppfyllda:
G1 : ∗ a¨r associativ
G2 : det finns ett identitetselement e ∈ G s˚
adant att e∗x = x∗e =
x f¨or alla x ∈ G
G3 : till varje element x ∈ G finns en invers x0 ∈ G s˚
adan att
x ∗ x0 = x0 ∗ x = e.
Anm¨
arkning 4.8. Man kan visa att identitetselementet ¨ar unikt
liksom inversen till ett element.
Exempel 4.9. N˚
agra v¨alk¨anda grupper ¨ar:
(1) hZ, +i med identitetselementet 0 och d¨ar inversen till ett tal
a¨r det motsatta talet
(2) hR \ {0}, ·i med identitetselementet 1 och d¨ar inversen till ett
tal x ¨ar den multiplikativa inversen x1
(3) h{matriser av storlek mxn}, +i med identitetselementet nollmatrisen.
Exempel 4.10. Nu ska vi konstruera en grupp. Vi tar R och hittar
p˚
a operationen a ∗ b = a + b + ab. F¨or att avg¨ora om hR, ∗i ¨ar en grupp
beh¨over vi kontrollera alla tre villkoren.
G1 : Algebraiska ber¨akningar visar att ∗ ¨ar associativ.
6
VERONICA CRISPIN QUINONEZ
G2 : F¨or att hitta identitetselementet e l¨oser vi ekvationen e∗x = x,
det vill s¨aga e ∗ x = x ⇔ e + x + ex = x ⇔ e + ex = 0 ⇔
e(1 + x) = 0 ⇒ e = 0 eftersom ekvationen ska g¨alla f¨or alla x.
G3 : Nu n¨ar vi vet att identitetselementet a¨r 0, a¨r det dags att
hitta inversen till ett godtyckligt element x, dvs x0 s˚
adant att
x
x ∗ x0 = 0 ⇔ x + x0 + xx0 = 0 ⇔ x0 (1 + x) = −x ⇔ x0 = − 1+x
.
Det betyder att inversen till −1 med avseende p˚
a ∗ inte kan
ber¨aknas. Detta hinder fixar vi till genom att helt enkelt ta
bort talet ur m¨angden.
Allts˚
a, har vi konstruerat gruppen hR \ {−1}, ∗i, d¨ar a ∗ b = a +
b + ab.
N˚
agra exempel p˚
a “icke-grupper” ¨ar:
hN, ∗i d¨ar a ∗ b = ab − 1 eftersom operationen inte ¨ar associativ
enligt Exempel 4.5,
hR \ {0}, +i eftersom identitetselementet saknas,
hN, +i d¨ar alla positiva element saknar invers.
5. Gruppisomorfier
Tv˚
a grupper hG, ∗i och hH, ◦i kallas isomorfa om elementen i den
ena a¨r precis elementen i den andra (m¨ojligen med andra namn) och
operationen ∗ motsvaras av operationen ◦. Med andra ord ¨ar grupperna identiska utom namnen p˚
a elementen och operationerna. D˚
a finns
det en s˚
a kallad bijektion, dvs en avbildning som bara byter namn p˚
a
elementen, mellan grupperna.
F¨oljande villkor k¨annetecknar en bijektion mellan tv˚
a m¨angder.
Man t¨anker sig att avbildningen g˚
ar fr˚
an den ena m¨angden till den
andra m¨angden. I s˚
a fall motsvaras varje element i den andra m¨angden
ett unikt element i den f¨orsta m¨angden.
Exempel 5.1. Grupperna hR, +i och hR+ , ·i ¨ar isomorfa. Vi l˚
ater
bijektionen, “namnbytesfunktionen”, fr˚
an hR, +i till hR+ , ·i definieras
via f (x) = ex . Vi beh¨over kontrollera att f verkligen ¨ar en bijektion:
(1) Om x 6= y s˚
a ¨ar f (x) = ex 6= ey = f (y). Allts˚
a, tv˚
a olika element R avbildas p˚
a tv˚
a olika element i R+ . Detta s¨akerst¨aller
villkoret “unikt”.
(2) Givet ett t ∈ R+ , ¨ar t = eln(t) = f ln(t) , dvs “varje” element
i R+ motsvaras av ett element i R.
P˚
a vilket s¨att motsvaras + av ·? F¨orst tar vi x, y ∈ R och tittar p˚
a
deras motsvarigheter ex , ey ∈ R+ . Om vi tar summan x + y ∈ R, vilket
element motsvarar den i R+ ? Vi har f (x+y) = ex+y = ex ey = f (x)f (y).
Allts˚
a motsvaras summan hR, +i av en produkt i hR+ , ·i.
¨ GYMNASISTER
ABSTRAKT ALGEBRA FOR
7
Exempel 5.2. Gruppen hZ, +i ¨ar isomorf med gruppen hnZ, 0i,
d¨ar n a¨r ett positivt heltal, via bijektionen f (x) = nx.
Ibland ¨ar det sv˚
art att hitta en bijektion, men det betyder inte att
tv˚
a grupper inte ¨ar isomorfa. Om man misst¨anker att tv˚
a grupper inte
¨ar isomorfa, kan man f¨ors¨oka leta efter egenskaper som ena gruppen
besitter, men inte den andra.
Exempel 5.3. Grupperna hR, +i och hR \ {0}, ·i ¨ar inte isomorfa.
I den f¨orsta har ekvationen x + x = a alltid en l¨osning x = a2 f¨or ett
godtyckligt a ∈ R. I den andra saknar ekvationen x · x = a l¨osning f¨or
exempelvis a = −1.
Om tv˚
a eller flera grupper har samma egenskaper r¨acker det att
studera ena gruppen. Genom att “dra ut” vissa egenskaper, som kanske
m˚
anga m¨angder har gemensamt, och arbeta med dem enbart kan man
sedan till¨ampa de resultat man f˚
ar p˚
a alla m¨angderna utan att beh¨ova
studera varje m¨angd f¨or sig.
F¨or vidare l¨asning kan jag varmt rekommendera min f¨orsta kursbok
i abstrakt algebra [F].
6. Till¨
ampningar
Galoisteori ¨ar studie av s˚
a kallade Galoisgrupper. I den bevisar
man bland annat att det inte g˚
ar att hitta nollst¨allen till ett polynom
av femte och h¨ogre grad genom att bara anv¨anda de fyra aritmetiska
operationerna och r¨otter av tal.
I gruppen Rubiks kub ¨ar elementen alla m¨ojliga vridningar p˚
a en
Rubiks kub. Om E ¨ar ursprungsl¨aget och U ¨ar att vrida toppskiktet
90◦ medsols, d˚
a ¨ar U ∗ U ∗ U ∗ U = E. Om D ¨ar att vrida botten◦
skiktet 90 medsols, s˚
a betyder D ∗ U att man f¨orst vrider toppskiktet
och sedan bottenskiktet. Observera ordning som kommer fr˚
an funktionsl¨aran, j¨amf¨or med g(f (x)), d¨ar man f¨orst applicerar funktionen f
och sedan g. L¨as g¨arna mer p˚
a
http://en.wikipedia.org/wiki/Rubik’s− Cube− group
Inom kemi kan man studera symmetrier hos molekyler. Ett antal
symmetriska r¨orelser eller vridningar tillsammans bildar en grupp. L¨as
mer p˚
a
http://en.wikipedia.org/wiki/Molecular− symmetry
Det ¨ar faktiskt ¨aven m¨ojligt att addera punkter p˚
a en viss typ av
kurvor, som kallas elliptiska, utan att blanda in koordinater. Denna
addition g˚
ar ut p˚
a att dra r¨ata linjer mellan tv˚
a punkter eller genom
en punkt p˚
a kurvan. Sedan tittar man p˚
a om den r¨ata linjen sk¨ar kuran
i ytterligare en punkt p˚
a kurvan eller ej. L¨as mer om detta p˚
a
8
VERONICA CRISPIN QUINONEZ
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic− curve#The− group− law
¨
7. Ovningar
H¨ar kommer en m¨angd olika bin¨ara operationer att arbeta med
p˚
a olika s¨att: hitta m¨angder som ¨ar slutna under en given operation,
avg¨ora om operationen ¨ar associativ etc.
(1) a ∗ b = ab
(2) a ∗ b = ab
√
(3) a ∗ b = b a
(4) a ∗ b = ab + a + b
(5) a ∗ b = a+b
2
(6) a ∗ b = | ab |
(7) a ∗ b = | a + b |
(8) a ∗ b = |√a | · b
(9) a ∗ b = ab
(10) a ∗ b = √
π(a + b)
(11) a ∗ b = a2 + b2
(12) a ∗ b = πb + a
(13) a ∗ b = ab
√ −1
(14) a ∗ b = √a + b
a
(15) a ∗ b = b Man kan undra om denna operation ¨ar un¨ar, d˚
man i praktiken bara arbetar med ett element, men eftersom det alltid finns tv˚
a ing˚
angsv¨arden, ¨ar operationen bin¨ar,
an ena ing˚
angsv¨ardet vid operationens
¨aven om man bortser fr˚
utf¨orande.
Referenser
[NE] Nationalencyklopedin http://www.ne.se
[F] Fraleigh, John B. A First Course in Abstract Algebra, 7th Edition., AddisonWesley 2003.
[R] Rydelius, Andreas. N¨
odiga f¨
ornufftz ¨
ofvningar. 2 uppl. 1-5, Link¨oping 1737.
Matematiska institutionen, Uppsala universitet
E-mail address: [email protected]