1. No category

Repetition, sid 1-84 i kvantv¨arldens fenomen
Gillis Carlsson
[email protected]
29 Mars, 2012
Repetition: Kap 1
Viktiga saker fr˚
an kapitel 1, Partiklar och v˚
agor
• V˚
ag-partikel dualism f¨
or ljus och massiva partiklar
• de Broglies relation mellan r¨
orelsem¨angd och v˚
agl¨angd
• Postulat
• Heisenbergs obest¨ambarhets relationer
V˚
ag-partikel dualism f¨or ljus och massiva partiklar
• M˚
anga optiska fenomen f¨
orklaras med en v˚
agmodell f¨or ljus
• Fotoelektriska effekten f¨
orklarades 1905 med hj¨alp av en
partikelmodel f¨or ljus
• Diskreta energikvanta E = ~ω, ’fotoner’ inf¨
ordes
• Partikel-v˚
ag dualism f¨
or massiva partiklar
• I klassisk mekanik beskriver vi partiklars uppf¨
orande med en
partikel model !
• Typisk partikelgenskap: lokaliserad och f¨
oruts¨agbar position
• M˚
anga experiment med massiva partiklar under 1900 och 2000-talet
f¨
orklaras av en v˚
agmodel f¨
or partiklar
• Ett viktigt exempel ¨
ar dubbelspalt experiment med t.ex.
neutroner
de Broglies relation mellan r¨orelsem¨angd och v˚
agl¨angd
• Enligt de Broglie associeras en v˚
agl¨angd λ till en partikel med
r¨
orelsem¨ang p enligt λ = h/p
• de Broglie’s hypotes ligger till grund f¨
or v˚
agmodeller f¨or massiva
partiklar
• Bohr introducerade 1913 en atommodel d¨ar elektroner cirkulerade i
banor med endast best¨amda (’kvantiserade’) radier, runt en liten
k¨arna (med protoner och neutroner)
• Kvantiseringen av elektronernas radie ¨
ar ekvivalent med att
kr¨ava att banans omkrets ¨ar ett visst antal hela (de Broglie)
v˚
agl¨angder
• Bohr’s model kunde f¨
oruts¨aga energiniv˚
aerna f¨or v¨ate (n¨astan)
exakt (trots att Bohrs model inneh¨
oll vissa felaktigheter)
Viktiga samband f¨or Fotoner och massiva partiklar
Fotoner
Partiklar
Energi: E = ~ω = hν
V˚
agvektor: ~k d¨ar |~k| =
R¨orelsem¨angd: ~p = ~~k
|~p | = ~|~k| = ~ 2π
λ =
h
λ
ger V˚
agl¨angd: λ =
h
|~p |
Energi: E = m0 c 2 +
2π
λ
m0~v 2
2
R¨
orelsem¨angd: ~p = m~v
V˚
agl¨angd: λ =
ω = 2πν
h
~ = 2π
h
|~p |
Postulat
• Kvantmekaniken bygger p˚
a postulat (’antaganden’) och tillh¨orande
tolkningar (vi f¨oljer den sk K¨
openhamnstolkningen h¨ar)
• Vi inf¨or en (komplexv¨ard) v˚
agfunktion Ψ(~r , t) som generellt beror
p˚
a rumskoordinaterna och tiden.
• V˚
agfunktioner kan superponeras
• M¨
ojliga utfall av experiment kan endast anges som sannolikheter
som ber¨aknas mha v˚
agfunktioner
• T.ex. sannolikheten att finna en partikel i x = a ¨
ar
|Ψ(x = a, t)|2
• N¨
ar man uppm¨ater ett visst v¨arde f¨
or en observabel ¨andrar sig
(’reduceras’) v˚
agfunktionen till att motsvara precis det
uppm¨atta v¨ardet
Definitioner
V˚
agfunktionen: Ψ (~r , t)
Sannolikhetst¨athet: ρ (~r , t) = |Ψ (~r , t) |2
Normering:
R∞
R∞
ρ (x, t) dx = −∞ |Ψ (~r , t) |2 dx = 1
−∞
Sannolikhetstolkning:
Rx
P (x1 < x < x2 ) = x12 ρ (x, t) dx
Superponering: Ψ = Ψ1 + Ψ2
ρ = |Ψ|2 = |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 + Ψ∗1 Ψ2 + Ψ1 Ψ∗2
Heisenbergs obest¨ambarhetsrelationer
• V˚
agfunktionen beskriver en sannolikhetsf¨
ordelning och det g˚
ar inte
att skriva en v˚
agfunktion d¨ar b˚
ade position och r¨orelsem¨angd har
givna v¨arden
• Sambandet mellan utbredningen av v˚
agfunktionens
sannolikhetsf¨ordelning i x och p anges av Heisenbergs
obest¨ambarhetsrelation:
∆x · ∆p ≥ ~/2
(1)
• Motsvarande f¨ordelning finns ocks˚
a i E och t
∆E · ∆t > ~/2
(2)
Repetition: Kap 2
Viktiga saker fr˚
an kapitel 2, Schr¨odingerekvationen
• Schr¨odingerekvationen
• Potentiel energi
Schr¨odingerekvationen
• Kvantmekaniken utg˚
ar fr˚
an Schr¨
odingerekvationen
i~
∂Ψ
~2 2
=−
∇ Ψ + VΨ
∂t
2m
(3)
som beskriver en v˚
agfunktion Ψ i rum och tid
• Genom ett antal postulat tolkar och extraherar vi fysikalisk
information (t.ex. (medel-) l¨age och hastighet) fr˚
an v˚
agfunktionen
Ψ.
• Inga experiment under 1900-talet och 2000-talet har kullkastat
kvantmekaniken ...d¨arf¨
or litar vi p˚
a den...
• Att ber¨akna exakta l¨
osningar till S.E f¨
or m˚
anga partiklar ¨ar mycket
sv˚
art!
• I denna kursen l¨oser vi S.E. f¨
or en partikel i en dimension
f¨
oretr¨adelsevis f¨or styckvis konstanta potentialer
Potentiell energi I
• I klassisk mekanik (Newton) beskriver man vilka krafter som verkar
p˚
a en partikel
• Man kan f˚
a en ekvivalent beskriving mha potentialfunktioner
• Sambandet mellan kraft och potential i en dimension defineras av
F =−
∂V
∂x
• Totala energin best˚
ar av en kinetisk och en potentiell del och
beskrivs enligt
p2
E=
+ V (x)
2m
• Den totala energin ¨ar konstant under r¨
orelsen
(4)
(5)
Potentiell energi II
• I kvantmekaniken anv¨ander vi inga krafter utan ist¨allet bara
potentialfunktioner
• Givet en potentialfuktion beskriver Schr¨
odingerekvationen hur
partiklar r¨or sig
Repetition: Kap 3
Viktiga saker fr˚
an kapitel 3, Station¨ara str¨ommar - reflektion,transmission
och tunneleffekt
• Tidsoberoende Schr¨
odingerekvationen
• Planv˚
agor
• Reflektion och transmission, tunnling
Tidsoberoende Schr¨odingerekvationen
• I denna kursen intresserar vi oss mest f¨
or station¨ara l¨osningar som
alla har tidsberoendet f (t) = e −iωt
• Med ansatsen Ψ(x, t) = φ(x)f (t) insatt i den tidsberoende S.E f˚
ar
vi den tidsoberoende S.E.
−
~ ∂ 2 φ(x)
+ V (x)φ(x) = E φ(x)
2m ∂x 2
• Generallt l¨oser man denna (andra ordningens ordin¨ara
differentialekvation) numeriskt f¨
or en given potential V(x)
• F¨
or speciella potentialer, t.ex. de styckvis konstanta och den
harmoniska oscillatorn V (x) = mω 2 x 2 /2, kan den tidsoberoende
S.E. l¨osas analytiskt
(6)
Planv˚
agor
• Partikelstr¨ommar genom kvantstrukturer modellerar vi mha
planv˚
agor
Ψ = Ae i(kx−ωt) ,
vilka ¨ar l¨osningar till S.E. i omr˚
aden med (styckvis-) konstanta
potentialer. D˚
a V (x) = V0 , har vi v˚
agtalet
p
k = (2m(E − V0 )/~2 )
• Planv˚
agor har en best¨amd r¨
orelsem¨angd p = ~k d¨ar riktningen
h¨
oger/v¨anster best¨ams av tecknet +/- framf¨
or v˚
agtalet k
• L¨
R a∞get ¨ar2d¨aremot odefinerat och normalisering (f¨or en partikel)
|Ψ| dx ¨ar ej applicarbart i vanlig mening
−∞
(7)
(8)
Reflektion och transmission, tunnling
• F¨
or planv˚
agor definerar man (i analogi med optiken) reflektion R
och transmission T vid ett potentialspr˚
ang enligt (se sid. 52 i boken
f¨
or beteckningar)
R=
|Strans |2
|Srefl |2
,
T
=
|Sin |2
|Sin |2
(9)
• Vid transmission ¨over ¨andliga potentialgropar uppst˚
ar
interferensfenomen
• Tunnling ¨ar ett exempel p˚
a ett kvantmekaniskt fenomen som saknar
motsvarighet i klassisk fysik och har konsekvenser inom vitt skilda
omr˚
aden t.ex:
• α−s¨
onderfall
• Sveptunnelmikroskop (STM)
Tunnling genom potentialbarri¨ar
1
0.8
T
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
Energy [eV]
Tunnling genom potentialbarri¨ar med:
bredd=0.5 nm
h¨
ojd=5 eV
15
Repetition: Kap 4
Viktiga saker fr˚
an kapitel 4, Bundna tillst˚
and
• Bundna tillst˚
and
• Kvantbrunnar med o¨andligt och ¨andligt h¨
oga v¨aggar
• Ljusuts¨andning
Bundna tillst˚
and
• En partikel som befinner sig i en ’potentialgrop’, dvs som har en
totalenergi betydligt l¨agre ¨an omkringliggande potentaler, ¨ar bunden
• F¨
or att beskriva bundna (station¨ara) tillst˚
and i en dimension
anv¨ands den tidsoberoende S.E.
−
~ ∂ 2 φ(x)
+ V (x)φ(x) = E φ(x)
2m ∂x 2
• S.E. (ovan) har d˚
a diskreta energiv¨arden En med tillh¨orande
v˚
agfunktioner φ(x) som l¨
osningar f¨
or en given potential V (x)
(10)
O¨andlig- och ¨andlig kvantbrunn
• Ett kvalitativt viktigt exempel som ¨aven kan l¨
osas analytiskt ¨ar den
o¨andligt djupa kvantbrunnen definerad genom:
½
0, d˚
a 0≤x ≤a
V (x) =
(11)
∞,
annars
S.E. har d˚
a l¨osningarna
~2 π 2 n 2
En =
, φn (x) =
2ma2
r
³ nπx ´
2
sin
a
a
(12)
F¨
or en ¨andligt djup brunn ber¨aknar vi ist¨allet energierna med hj¨alp
av ’tangensekvationerna’ (olika f¨
or j¨amn och udda paritet).
Observera att antalet bundna tillst˚
and d˚
a ¨ar ¨andligt.
Ljusuts¨andning
• Ljus (fotoner) kan uts¨andas n¨ar en partikel deexciteras fr˚
an ett
h¨
ogre bundet energitillst˚
and Ei (initialtillst˚
and) till ett l¨agre Ef
(finaltillst˚
and)
• Fotonens energi blir E = Ei − Ef = ~ω, s˚
a att v˚
agl¨angden (f¨argen!)
kan ber¨aknas enligt λ = 2πc/ω (d¨ar c ¨ar ljusfarten)
• F¨
or endimensionella kvantbrunnar g¨aller urvalsregeln att
initialtillst˚
andet och finaltillst˚
andet skall ha olika paritet