Kvantmekanik
F¨orel¨asning 1
Gillis Carlsson
[email protected]
2 September, 2014
F¨orel¨asningarna i kvantmekanik
LP1
• V1 (2/9): Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84
• V2 (10/9): Formalism. Sid 109-124, 128-131, 185-189
• V3 (17/9): Approximativa ber¨akningsmetoder. Sid. 135-146
• V3 (19/9): Sf¨arisk symmetri. Sid 151-160
• V4 (23/9): V¨ateatomen och st¨
orningsr¨akning i He. Sid. 163-173
• V4 (24/9): Harmonisk oscillator och Atomk¨arnans struktur
• V4 (26/9): extra
• V8 (20/10): Sammanfattning och genomg˚
ang av ex-tenta
V9 (29/10): Kvantmekanik tentamen
LP2
Dagens f¨orel¨asning
Repetition, sid 1-84 i kvantv¨arldens fenomen
Repetition: Kap 1
Viktiga saker fr˚
an kapitel 1, Partiklar och v˚
agor
• V˚
ag-partikel dualism f¨
or ljus och massiva partiklar
• de Broglies relation mellan r¨
orelsem¨angd och v˚
agl¨angd
• Postulat
• Heisenbergs obest¨ambarhets relationer
V˚
ag-partikel dualism f¨or ljus
• V˚
agmodellen f¨or ljus f¨
orklarar m˚
anga optiska fenomen
• Men ljus kan ocks˚
a uppf¨
ora sig som partiklar,
Ex. Fotoelektriska effekten
• ljuspartiklarna kallas Fotoner och har energi E = ~ω
• Vinkelfrekvens: ω = 2πν
• Frekvens: ν =
c
λ
V˚
ag-partikel dualism f¨or massiva partiklar
• I klassisk mekanik beskrivs partiklars uppf¨
orande med en partikel
model !
• Typisk partikelgenskap: lokaliserad och f¨
oruts¨agbar position
• Men partiklar kan ocks˚
a uppf¨
ora sig som v˚
agor,
Ex. interferensfenomen
• de Broglie v˚
agl¨angden λ f¨
or en partikel med r¨
orelsem¨angd p
defineras enligt λ = h/p
Viktiga samband f¨or Fotoner och massiva partiklar
Fotoner
Partiklar
Energi: E = ~ω = hν
V˚
agvektor: ~k d¨ar |~k| =
R¨orelsem¨angd: ~p = ~~k
|~p | = ~|~k| = ~ 2π
λ =
h
λ
ger V˚
agl¨angd: λ =
h
|~p |
Energi: E = m0 c 2 +
2π
λ
m0~v 2
2
R¨
orelsem¨angd: ~p = m~v
V˚
agl¨angd: λ =
ω = 2πν
h
~ = 2π
h
|~p |
Definitioner
V˚
agfunktionen: Ψ (~r , t)
Sannolikhetst¨athet: ρ (~r , t) = |Ψ (~r , t) |2
Normering:
R∞
R∞
ρ (x, t) dx = −∞ |Ψ (~r , t) |2 dx = 1
−∞
Sannolikhetstolkning:
Rx
P (x1 < x < x2 ) = x12 ρ (x, t) dx
Superponering: Ψ = Ψ1 + Ψ2
ρ = |Ψ|2 = |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 + Ψ∗1 Ψ2 + Ψ1 Ψ∗2
Heisenbergs obest¨ambarhetsrelationer
• V˚
agfunktionen beskriver en sannolikhetsf¨
ordelning och det g˚
ar inte
att skriva en v˚
agfunktion d¨ar b˚
ade position och r¨orelsem¨angd har
givna v¨arden
• Sambandet mellan utbredningen av v˚
agfunktionens
sannolikhetsf¨ordelning i x och p anges av Heisenbergs
obest¨ambarhetsrelation:
∆x · ∆p ≥ ~/2
(1)
• Motsvarande f¨ordelning finns ocks˚
a i E och t
∆E · ∆t > ~/2
(2)
Repetition: Kap 2
Viktiga saker fr˚
an kapitel 2, Schr¨odingerekvationen
• Schr¨odingerekvationen
• Potentiel energi
Schr¨odingerekvationen
• Tidsberoende Schr¨
odingerekvationen:
i~
∂Ψ
~2 2
=−
∇ Ψ + VΨ
∂t
2m
(3)
beskriver hur v˚
agfunktioner ¨andras med tiden
• V˚
agfunktionerna kan beskriva tex elektroner som tunnlar genom en
barri¨ar eller en alpha partikel som tunnlar ut fr˚
an en atomk¨arna
• I kvantnano kursen l¨
ostes S.E. f¨
or en partikel i en dimension bla f¨or
styckvis konstanta potentialer
Potentialer
• I kvantmekaniken anv¨ands ofta inga krafter utan ist¨allet bara
potentialfunktioner
• Givet en potentialfunktion beskriver Schr¨
odingerekvationen hur
partiklar r¨or sig
Samband mellan kraft och potential:
~ = −∇V
Kraft: F
Klassiska uttrycket f¨or totala energin ¨ar summan av kinetisk och
potentiell energi:
p2
E=
+ V (x)
2m
Repetition: Kap 3
Viktiga saker fr˚
an kapitel 3, Station¨ara str¨ommar - reflektion,transmission
och tunneleffekt
• Tidsoberoende Schr¨
odingerekvationen
• Planv˚
agor
Tidsoberoende Schr¨odingerekvationen I
Tidsberoende SE:
i~
∂Ψ
~2 2
=−
∇ Ψ + VΨ
∂t
2m
Om en v˚
agfunktion kan faktoriseras:
Ψ(x, t) = φ(x)e −iEt/~ = φ(x)e −iωt
d¨ar φ(x) uppfyller tidsoberoende Schr¨
odingerekvationen:
Eφ = −
~2 2
∇ φ + Vφ
2m
s¨ager man att partiklarna ¨ar i ett station¨art tillst˚
and, ty
|Ψ(~r , t)|2 = |Ψ(~r )|2
Tidsoberoende Schr¨odingerekvationen II
• Bl.a. alla bundna tillst˚
and ¨ar station¨ara
• Generallt l¨oser man tidsoberoende S.E. (andra ordningens ordin¨ar
differentialekvation) numeriskt f¨
or en given potential V(x)
• F¨
or speciella potentialer, t.ex. de styckvis konstanta och den
harmoniska oscillatorn V (x) = cx 2 , kan den tidsoberoende S.E.
l¨
osas analytiskt
• I kvantnano kursen l¨
ostes SE f¨
or endimensionella problem med enkla
potentialer
• I denna kursen blir det 3 dimensioner och bla Coulomb potentialen
Tidsoberoende S.E. med konstant potential
Om V = V0 =konst. f˚
as tidsoberoende SE:
~2 d 2 φ
+ V0 φ = E φ
2m dx 2
om E > V0 (fria partiklar) f˚
ar man
−
d 2φ
+ k 2φ = 0
dx 2
med V˚
agtalet: k =
p
2m(E − V0 )/~2
agor:
L¨
osningarna kallas planv˚
φ (x) = Ae ikx + Be −ikx
Reflektion och transmission, tunnling
• F¨
or planv˚
agor definerar man (i analogi med optiken) reflektion R
och transmission T vid ett potentialspr˚
ang enligt (se sid. 52 i boken
f¨
or beteckningar)
R=
|Strans |2
|Srefl |2
,
T
=
|Sin |2
|Sin |2
(4)
• Vid transmission ¨over ¨andliga potentialgropar uppst˚
ar
interferensfenomen
• Tunnling ¨ar ett exempel p˚
a ett kvantmekaniskt fenomen som saknar
motsvarighet i klassisk fysik och har konsekvenser inom vitt skilda
omr˚
aden t.ex:
• α−s¨
onderfall
• Sveptunnelmikroskop (STM)
Tunnling genom potentialbarri¨ar
1
0.8
T
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
Energy [eV]
Tunnling genom potentialbarri¨ar med:
bredd=0.5 nm
h¨
ojd=5 eV
15
Repetition: Kap 4
Viktiga saker fr˚
an kapitel 4, Bundna tillst˚
and
• Bundna tillst˚
and
• Kvantbrunnar med o¨andligt och ¨andligt h¨
oga v¨aggar
• Ljusuts¨andning
Bundna tillst˚
and
• En partikel som befinner sig i en ’potentialgrop’, dvs som har en
totalenergi l¨agre ¨an omkringliggande potentialer, ¨ar bunden
• F¨
or att beskriva bundna (station¨ara) tillst˚
and i en dimension
anv¨ands den tidsoberoende S.E.
−
~ ∂ 2 φ(x)
+ V (x)φ(x) = E φ(x)
2m ∂x 2
• S.E. (ovan) har d˚
a diskreta energiv¨arden En med tillh¨orande
v˚
agfunktioner φn (x) som l¨
osningar f¨
or en given potential V (x)
(5)
O¨andlig- och ¨andlig kvantbrunn
• o¨andligt djup kvantbrunn
• ¨andligt djup kvantbrunn
• Pauli principen
Visas p˚
a tavlan
Ljusuts¨andning
• Ljus (fotoner) kan uts¨andas n¨ar en partikel deexciteras fr˚
an ett
h¨
ogre bundet energitillst˚
and Ei (initialtillst˚
and) till ett l¨agre Ef
(finaltillst˚
and)
• Fotonens energi blir E = Ei − Ef = ~ω, s˚
a att v˚
agl¨angden (f¨argen!)
kan ber¨aknas enligt λ = 2πc/ω (d¨ar c ¨ar ljusfarten)
• F¨
or endimensionella kvantbrunnar g¨aller urvalsregeln att
initialtillst˚
andet och finaltillst˚
andet skall ha olika paritet (olika
urvalsregler f˚
as f¨or olika experimentella villkor)
Problem att ¨ova p˚
a
F¨or F-studenter
• Ohlen, kap. 1: 4,5,8 och 11
• Ohlen, kap. 4: 1,2,9 och 11
¨
Ovning
1 p˚
a torsdag 4/9 kl. 10-12 (H421)
¨
Ovning 2 p˚
a m˚
andag 8/9 kl. 8-10 (H421)
Hemsida: live@lund
F¨or N-studenter
• Hilbert spaces: 1-15
¨
Ovning
1 p˚
a onsdag 3/9 kl. 10-12 (semF)
¨
Ovning 2 p˚
a fredag 5/9 kl. 10-12 (semF)
¨
Ovning
3 p˚
a tisdag 9/9 kl. 10-12 (semF)
Hemsida: www.matfys.lth.se/education/FMFF15/