Kvantmekanik - Föreläsning 1
Kvantmekanik F¨orel¨asning 1 Gillis Carlsson [email protected] 2 September, 2014 F¨orel¨asningarna i kvantmekanik LP1 • V1 (2/9): Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 • V2 (10/9): Formalism. Sid 109-124, 128-131, 185-189 • V3 (17/9): Approximativa ber¨akningsmetoder. Sid. 135-146 • V3 (19/9): Sf¨arisk symmetri. Sid 151-160 • V4 (23/9): V¨ateatomen och st¨ orningsr¨akning i He. Sid. 163-173 • V4 (24/9): Harmonisk oscillator och Atomk¨arnans struktur • V4 (26/9): extra • V8 (20/10): Sammanfattning och genomg˚ ang av ex-tenta V9 (29/10): Kvantmekanik tentamen LP2 Dagens f¨orel¨asning Repetition, sid 1-84 i kvantv¨arldens fenomen Repetition: Kap 1 Viktiga saker fr˚ an kapitel 1, Partiklar och v˚ agor • V˚ ag-partikel dualism f¨ or ljus och massiva partiklar • de Broglies relation mellan r¨ orelsem¨angd och v˚ agl¨angd • Postulat • Heisenbergs obest¨ambarhets relationer V˚ ag-partikel dualism f¨or ljus • V˚ agmodellen f¨or ljus f¨ orklarar m˚ anga optiska fenomen • Men ljus kan ocks˚ a uppf¨ ora sig som partiklar, Ex. Fotoelektriska effekten • ljuspartiklarna kallas Fotoner och har energi E = ~ω • Vinkelfrekvens: ω = 2πν • Frekvens: ν = c λ V˚ ag-partikel dualism f¨or massiva partiklar • I klassisk mekanik beskrivs partiklars uppf¨ orande med en partikel model ! • Typisk partikelgenskap: lokaliserad och f¨ oruts¨agbar position • Men partiklar kan ocks˚ a uppf¨ ora sig som v˚ agor, Ex. interferensfenomen • de Broglie v˚ agl¨angden λ f¨ or en partikel med r¨ orelsem¨angd p defineras enligt λ = h/p Viktiga samband f¨or Fotoner och massiva partiklar Fotoner Partiklar Energi: E = ~ω = hν V˚ agvektor: ~k d¨ar |~k| = R¨orelsem¨angd: ~p = ~~k |~p | = ~|~k| = ~ 2π λ = h λ ger V˚ agl¨angd: λ = h |~p | Energi: E = m0 c 2 + 2π λ m0~v 2 2 R¨ orelsem¨angd: ~p = m~v V˚ agl¨angd: λ = ω = 2πν h ~ = 2π h |~p | Definitioner V˚ agfunktionen: Ψ (~r , t) Sannolikhetst¨athet: ρ (~r , t) = |Ψ (~r , t) |2 Normering: R∞ R∞ ρ (x, t) dx = −∞ |Ψ (~r , t) |2 dx = 1 −∞ Sannolikhetstolkning: Rx P (x1 < x < x2 ) = x12 ρ (x, t) dx Superponering: Ψ = Ψ1 + Ψ2 ρ = |Ψ|2 = |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 + Ψ∗1 Ψ2 + Ψ1 Ψ∗2 Heisenbergs obest¨ambarhetsrelationer • V˚ agfunktionen beskriver en sannolikhetsf¨ ordelning och det g˚ ar inte att skriva en v˚ agfunktion d¨ar b˚ ade position och r¨orelsem¨angd har givna v¨arden • Sambandet mellan utbredningen av v˚ agfunktionens sannolikhetsf¨ordelning i x och p anges av Heisenbergs obest¨ambarhetsrelation: ∆x · ∆p ≥ ~/2 (1) • Motsvarande f¨ordelning finns ocks˚ a i E och t ∆E · ∆t > ~/2 (2) Repetition: Kap 2 Viktiga saker fr˚ an kapitel 2, Schr¨odingerekvationen • Schr¨odingerekvationen • Potentiel energi Schr¨odingerekvationen • Tidsberoende Schr¨ odingerekvationen: i~ ∂Ψ ~2 2 =− ∇ Ψ + VΨ ∂t 2m (3) beskriver hur v˚ agfunktioner ¨andras med tiden • V˚ agfunktionerna kan beskriva tex elektroner som tunnlar genom en barri¨ar eller en alpha partikel som tunnlar ut fr˚ an en atomk¨arna • I kvantnano kursen l¨ ostes S.E. f¨ or en partikel i en dimension bla f¨or styckvis konstanta potentialer Potentialer • I kvantmekaniken anv¨ands ofta inga krafter utan ist¨allet bara potentialfunktioner • Givet en potentialfunktion beskriver Schr¨ odingerekvationen hur partiklar r¨or sig Samband mellan kraft och potential: ~ = −∇V Kraft: F Klassiska uttrycket f¨or totala energin ¨ar summan av kinetisk och potentiell energi: p2 E= + V (x) 2m Repetition: Kap 3 Viktiga saker fr˚ an kapitel 3, Station¨ara str¨ommar - reflektion,transmission och tunneleffekt • Tidsoberoende Schr¨ odingerekvationen • Planv˚ agor Tidsoberoende Schr¨odingerekvationen I Tidsberoende SE: i~ ∂Ψ ~2 2 =− ∇ Ψ + VΨ ∂t 2m Om en v˚ agfunktion kan faktoriseras: Ψ(x, t) = φ(x)e −iEt/~ = φ(x)e −iωt d¨ar φ(x) uppfyller tidsoberoende Schr¨ odingerekvationen: Eφ = − ~2 2 ∇ φ + Vφ 2m s¨ager man att partiklarna ¨ar i ett station¨art tillst˚ and, ty |Ψ(~r , t)|2 = |Ψ(~r )|2 Tidsoberoende Schr¨odingerekvationen II • Bl.a. alla bundna tillst˚ and ¨ar station¨ara • Generallt l¨oser man tidsoberoende S.E. (andra ordningens ordin¨ar differentialekvation) numeriskt f¨ or en given potential V(x) • F¨ or speciella potentialer, t.ex. de styckvis konstanta och den harmoniska oscillatorn V (x) = cx 2 , kan den tidsoberoende S.E. l¨ osas analytiskt • I kvantnano kursen l¨ ostes SE f¨ or endimensionella problem med enkla potentialer • I denna kursen blir det 3 dimensioner och bla Coulomb potentialen Tidsoberoende S.E. med konstant potential Om V = V0 =konst. f˚ as tidsoberoende SE: ~2 d 2 φ + V0 φ = E φ 2m dx 2 om E > V0 (fria partiklar) f˚ ar man − d 2φ + k 2φ = 0 dx 2 med V˚ agtalet: k = p 2m(E − V0 )/~2 agor: L¨ osningarna kallas planv˚ φ (x) = Ae ikx + Be −ikx Reflektion och transmission, tunnling • F¨ or planv˚ agor definerar man (i analogi med optiken) reflektion R och transmission T vid ett potentialspr˚ ang enligt (se sid. 52 i boken f¨ or beteckningar) R= |Strans |2 |Srefl |2 , T = |Sin |2 |Sin |2 (4) • Vid transmission ¨over ¨andliga potentialgropar uppst˚ ar interferensfenomen • Tunnling ¨ar ett exempel p˚ a ett kvantmekaniskt fenomen som saknar motsvarighet i klassisk fysik och har konsekvenser inom vitt skilda omr˚ aden t.ex: • α−s¨ onderfall • Sveptunnelmikroskop (STM) Tunnling genom potentialbarri¨ar 1 0.8 T 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 Energy [eV] Tunnling genom potentialbarri¨ar med: bredd=0.5 nm h¨ ojd=5 eV 15 Repetition: Kap 4 Viktiga saker fr˚ an kapitel 4, Bundna tillst˚ and • Bundna tillst˚ and • Kvantbrunnar med o¨andligt och ¨andligt h¨ oga v¨aggar • Ljusuts¨andning Bundna tillst˚ and • En partikel som befinner sig i en ’potentialgrop’, dvs som har en totalenergi l¨agre ¨an omkringliggande potentialer, ¨ar bunden • F¨ or att beskriva bundna (station¨ara) tillst˚ and i en dimension anv¨ands den tidsoberoende S.E. − ~ ∂ 2 φ(x) + V (x)φ(x) = E φ(x) 2m ∂x 2 • S.E. (ovan) har d˚ a diskreta energiv¨arden En med tillh¨orande v˚ agfunktioner φn (x) som l¨ osningar f¨ or en given potential V (x) (5) O¨andlig- och ¨andlig kvantbrunn • o¨andligt djup kvantbrunn • ¨andligt djup kvantbrunn • Pauli principen Visas p˚ a tavlan Ljusuts¨andning • Ljus (fotoner) kan uts¨andas n¨ar en partikel deexciteras fr˚ an ett h¨ ogre bundet energitillst˚ and Ei (initialtillst˚ and) till ett l¨agre Ef (finaltillst˚ and) • Fotonens energi blir E = Ei − Ef = ~ω, s˚ a att v˚ agl¨angden (f¨argen!) kan ber¨aknas enligt λ = 2πc/ω (d¨ar c ¨ar ljusfarten) • F¨ or endimensionella kvantbrunnar g¨aller urvalsregeln att initialtillst˚ andet och finaltillst˚ andet skall ha olika paritet (olika urvalsregler f˚ as f¨or olika experimentella villkor) Problem att ¨ova p˚ a F¨or F-studenter • Ohlen, kap. 1: 4,5,8 och 11 • Ohlen, kap. 4: 1,2,9 och 11 ¨ Ovning 1 p˚ a torsdag 4/9 kl. 10-12 (H421) ¨ Ovning 2 p˚ a m˚ andag 8/9 kl. 8-10 (H421) Hemsida: live@lund F¨or N-studenter • Hilbert spaces: 1-15 ¨ Ovning 1 p˚ a onsdag 3/9 kl. 10-12 (semF) ¨ Ovning 2 p˚ a fredag 5/9 kl. 10-12 (semF) ¨ Ovning 3 p˚ a tisdag 9/9 kl. 10-12 (semF) Hemsida: www.matfys.lth.se/education/FMFF15/
© Copyright 2024