1. No category

Deriveringsregler
Roger Bengtsson
Spyken, Lund
March 12, 2012
Roger Bengtsson
”Reglerna”
Produktregeln:
(f (x) · g (x))0 = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x)
Kvotregeln:
f (x)
g (x)
0
=
f 0 (x)g (x) − f (x)g 0 (x)
g (x)2
Kedjeregeln:
(f (g (x))0 = f 0 (g (x)) · g 0 (x)
Roger Bengtsson
Bevisprincip
Roger Bengtsson
Bevisprincip
Vi bevisar f¨orst kedjeregeln genom att utg˚
a fr˚
an derivatans
definition och g¨ora lite omskrivningar. Beviset kommer att
k¨annas besv¨arligt, men det ¨ar mest en notationsfr˚
aga!
Roger Bengtsson
Bevisprincip
Vi bevisar f¨orst kedjeregeln genom att utg˚
a fr˚
an derivatans
definition och g¨ora lite omskrivningar. Beviset kommer att
k¨annas besv¨arligt, men det ¨ar mest en notationsfr˚
aga!
D¨arefter bevisa vi produktregeln utifr˚
an en trevlig identitet
och m.h.a. kedjeregeln.
Roger Bengtsson
Bevisprincip
Vi bevisar f¨orst kedjeregeln genom att utg˚
a fr˚
an derivatans
definition och g¨ora lite omskrivningar. Beviset kommer att
k¨annas besv¨arligt, men det ¨ar mest en notationsfr˚
aga!
D¨arefter bevisa vi produktregeln utifr˚
an en trevlig identitet
och m.h.a. kedjeregeln.
Till sist bevisar vi kvotregeln genom att skriva om som en
produkt och anv¨anda produkt- och kedjeregel.
Roger Bengtsson
Derivatans definition
Minns definitionen
f 0 (x) =
df
f (x + h) − f (x)
= lim
h→0
dx
h
Observera att bokst¨averna x och h inte ¨ar heliga s˚
a
f 0 () = lim
→0
f ( + ) − f ()
betyder samma sak och man kan skriva i vilka variablenamn man
o¨nskar i och .
Roger Bengtsson
Kedjeregeln
Vi bildar allts˚
a den sammansatta funktionen S(x) = f (g (x)) och
ska nu unders¨oka kvoten
S(x + h) − S(x)
f (g (x + h)) − f (g (x))
=
h
h
d˚
a h → 0. Vi f¨ors¨oker snickra ihop n˚
agot med f :s derivata. S¨att
g (x) = u (av praktiska/visuella sk¨al). Om h ¨ar litet s˚
a kan vi skriva
g (x + h) = u + k och g (x + h) − g (x) = k
d¨ar k ocks˚
a ¨ar ett litet tal, speciellt g¨aller h → 0 ⇒ k → 0.
Roger Bengtsson
Kedjeregeln
Allts˚
a
f (g (x + h)) − f (g (x))
f (u + k) − f (u)
=
h
h
Oj, vad det hade varit bra med ett k i n¨amnaren (f¨or att f˚
a f 0 ).
Sagt och gjort
f (g (x + h)) − f (g (x))
S(x + h) − S(x)
=
=
h
h
=
f (u + k) − f (u)
f (u + k) − f (u) k
=
· =
h
k
h
f (u + k) − f (u) g (x + h) − g (x)
=
·
k
h
Roger Bengtsson
Kedjeregeln
Nu l˚
ater vi h → 0 (och d¨armed ocks˚
a k → 0):
f (u + k) − f (u) g (x + h) − g (x)
·
→ f 0 (u) · g 0 (x)
k
h
Men u = g (x) byter vi tillbaka s˚
a
S(x + h) − S(x)
f (u + k) − f (u) g (x + h) − g (x)
=
·
→ f 0 (g (x))·g 0 (x)
h
k
h
Eftersom S(x) = f (g (x)) s˚
a ¨ar vi klara.
Roger Bengtsson
Kedjeregeln
S˚
a ingen st¨ammer mig, det finns vissa (hanterliga) problem som
sopats under mattan, t.ex
hur vet man att k → 0 om h → 0?
hur vet man att k = g (x + h) − g (x) som vi f¨orl¨angde med,
och fick i en n¨amnare, inte blir noll f¨
or n˚
agot h > 0?
Vi l˚
ater detta stanna under mattan! I MaD ¨ar det ”nemas
problemas”.
Roger Bengtsson
Produktregeln
Vi g¨or f¨oljande ”halsbrytande” omskrivning:
4f (x) · g (x) = (f (x) + g (x))2 − (f (x) − g (x))2
Kontrollera sj¨alv genom att ”veckla ut” h¨
ogerledet.
Derivatan av v¨ansterledet ¨ar uppenbarligen
4 (f (x) · g (x))0
H¨ogerledet kan deriveras med kedjereglen!
Roger Bengtsson
Produktregeln
Vi deriverar
(f (x) + g (x))2 − (f (x) − g (x))2
(m.a.p. x) med hj¨alp av kedjeregeln och f˚
ar
2(f (x) + g (x))(f 0 (x) + g 0 (x)) − 2(f (x) − g (x))(f 0 (x) − g 0 (x))
F¨orenklar vi detta f˚
ar vi
4f 0 (x)g (x) + 4f (x)g 0 (x)
Sammantaget
4 (f (x) · g (x))0 = 4f 0 (x)g (x) + 4f (x)g 0 (x)
vilket efter division med 4 ger produktregeln.
Roger Bengtsson
Kvotregel
Vi g¨or f¨oljande inte s˚
a ”halsbrytande” omskrivning
f (x)
= f (x) · g (x)−1
g (x)
och deriverar med hj¨alp av produkt- och kedjeregel
f 0 (x)g (x)−1 + f (x)(−1)g (x)−2 g 0 (x) =
f 0 (x)g (x) − f (x)g 0 (x)
g (x)2
d¨ar vi allts˚
a skriver p˚
a gemensam n¨amnare i sista steget.
Roger Bengtsson