Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Inledning
I kap 4 “Differentialekvationer” behövs derivator (och integraler) och i kap 5
“Omfångsrika problemsituationer” finns intressanta problem med användning av
derivator och integraler. Känner man för att fortsätta på en
civilingenjörsutbildning är det mycket lämpligt att man använder kap 3 för att
fördjupa sina kunskaper.
Konkretisering av ämnesplan (länk)
http://www.ioprog.se/public_html/Ämnesplan_Matematik/Struktur_äm
nesplan_matematik/Struktur_ämnesplan_matematik.html
Inledande aktivitet
1. Diskussion
2. GeoGebra
g(x) =
h(x) =
f(x) = If[x1<=x<=x2, g(x), h(x)]
CAS:
𝑓(𝑥) -> Integral
3.1 Derivator
Repetition (sid 120-125)
I princip är hela avsnitt 3.1 en repetition från Ma3c och Ma4, även om problemen
blir svårare. Det första delavsnittet kallas också för repetition och här väljer man
själv vad och hur mycket man vill göra eller allt.
Några bevis (126-127)
Ska man bevisa något om derivata så måste man oftast gå tillbaka till
definitionen. Repetera Matematik 5000 3c kap 2.2 sid 77 – 82, Matematik 5000 4
kap 2.3 sid 74 – 76, Matematik 5000 4 kap 3.1 sid 100 – 102. Sedan handlar det
mest om algebraiska manipulationer.
Lös 3133, 3134, 3135, 3138, 3139 och eventuellt 3140 och 3141.
Tangenter och linjär approximation (128-129)
Om man vill approximera grafen till en funktion
y=f(x) i en punkt (a,f(a)) är
rimligen tangenten genom punkten på grafen den bästa approxiamtionen. Som
bekant fås lutningen denna tangent mha derivata. Approximation med tangent
kan t.ex. vara ett bra hjälpmedel om man vill studera en komplicerad funktion
"lokalt" (dvs nära en given punkt).
Lös 3143, 3145, 3146, 3149 och eventuellt 3150, 3151.
GeoGebra
Förändringshastigheter och derivata (sid 130-135)
Detta handlar i princip användning av användning kedjeregeln, fast man måste
hantera "okända" funktioner i sin derivering.
Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som boken): Arean av
en kvadrat ökar med 5
cm2/s. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick (t=t0) då
sidan är 10 cm? Vi vet (såklart) att
A(t)=s(t)2
Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på t
och får
A’(t)=2⋅s(t)⋅s’(t)
Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av
kända värden ger nu
5=2⋅10⋅s’(t0)
ur vilket
s’(t0) enkelt kan bestämmas.
Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en
t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan och man erhåller ett
samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter.
Observera att boken använder ett alternativt skrivsätt för derivator, nämligen
A’(t) =
!"
, s’(t) =
!"
!"
, A’(s) =
!"
!"
!"
I exemplet ovan kan kedjeregeln alltså formuleras
!"
!"
=
!"
!"
⋅
!"
!"
Lös 3156, 3157, 3161, 3163, 3166, 3168.
3.2 Extremvärden
Den vanligaste tillämpningen av derivator är nog extremvärdesproblem. Taktiken
är som bekant att leta upp derivatans nollställen och sedan klassificera punkter
med teckentabell eller andraderivatans tecken. Det som kan vara lite knepigt är
att konstruera en egen funktion från figur eller text. När man gör detta bör man
dessutom notera definitionsmängden, och komma ihåg att också eventuella
ändpunkter till intervall måste beaktas med avseende på max/min.
GeoGebra
Tillämpningar och problemlösning (sid 137-143)
Uppgifterna nedan är en kraftig utglesning, men dom räcker till. 3205 till
3228 bör alla lösa eller i alla fall ha koll på. Övriga är lite svårare och för de som
strävar mot högre betyg.
Lös 3205, 3208, 3212, 3215, 3218, 3220, 3222, 3228 samt eventuellt
3233, 3234, 3236, 3237 (inte så lätta uppgifter).
3.3 Integraler
Primitiva funktioner, integraler och areaberäkning (sid 145-149)
Detta är i princip repetition från Matematik 4, dock kan de enskilda problemen
var lite svårare eller mera "tekniska". Av a-uppgifterna bör man klara dom flesta.
b- och c-uppgifterna arbetar man med om man vill ha svårare problem. 3321 är
inte "standard" så här får man tänka efter.
Lös uppgifter efter behov vilket kan innebär några a-uppgifter och sedan b- och
eventuellt c-uppgifter. 3321 är som sagt svår.
Geometriska sannolikheter (sid 150)
Egentligen inget nytt. Man modellerar med areor när man räknar utfallsrum.
Dessa areor kan sedan bestämmas t.ex. med integral.
Lös 3322, 3323. 3324 är intressant men ganska svår och måste i nuläget lösas
utan integraler. För att bestämma den gröna arean krävs lite eftertanke.
Partiell integration (sid 151-153)
Som bekant så är primitiv funktion ett bra hjälpmedel för att räkna ut integraler.
Ju fler primitive funktioner man klarar ju fler integraler klarar man därmed.
Partiell integration är en "metod" för att bestämma vissa primitiva funktioner, och
den är i princip en spegelbild av deriveringsregeln för en produkt (inte så oväntat
att varje deriveringsregel har en motsvarigthet).
f(x)g(x)dx = F(x)g(x) − F(x)g (x)
’
Som boken visar får man
där man alltså överför bestämmandet av primitiven till
av primitive funktionen till
f(x)g(x) till bestämmandet
F(x)g’(x). Nu finns det ju inget som säger att den
senare blir enklare än den förra i allmänhet. Man måste därför "veta vad man
sysslar med" när man partialintegrerar. Detta lär man sig genom att kika på
exempel och träna själv.
Lös samtliga a- och b-uppgifter och eventuellt 3333 och 3334.
Volymberäkning med skivmetoden (sid 154-156)
I slutet av Ma4 kikade vi på hur man kan beräkna volymen på rotationskropar. Vi
tänkte oss då att man skivade upp kroppen i smala skivor ("nästan cylindrar")
och tecknade den sammanlagda skivvolymen som integralen
!
𝐴
!
𝑥 𝑑𝑥 = lim!→ !,!!→!
!
!!! 𝐴(xi)Δ 𝑥
där A(x)Δx kan ses som volymen på en "smal" cylinder och där alltså A(x)=πx2 är tvärsnittsarean. Notera dock att skivorna inte måste vara cylindrar, för att teckna A(x)Δx räcker det ju att ha koll på hur stor tvärsnittsarean är för ett godtyckligt x. Integralen kan sedan beräknas med primitiv funktion (förutsatt att vi kan finna
en primitiv, och det kan vi nästan alltid i denna kurs)!
Rotationer runt y-axeln hanteras på motsvarande sätt. I princip handlar det bara
om att "byta variabel".
Lös 3337, 3339, 3341, 3343 och eventuellt 3345.
Volymberäkning med cylindriska skal (sid 158-159)
I förra avsnittet delade vi upp en kropp i skivor, tecknade volymen för sådana
skivor och summerade med en integral för att få hela volymen. Det finns
emellertid inget som säger att man måste dela upp i skivor, man kan dela upp
som man vill, bara det går att göra uppdelningen oändligt fin, och att man kan
teckna lämpliga uttryck.
Ett alternativ, när det gäller rotationskroppar, är att dela upp i cylindriska skal
eller rör. Se boken för illustration. Varför ska man hitta på denna nya metod? Jo,
ibland blir det enklare räkningar med skivor och ibland enklare med rör.
Lös samtliga a-uppg, 3353 och eventuellt 3355. 3353 och 3353 finns lösta.
Generaliserade integraler (sid 160-161)
Det finns två typer av generaliserade integraler, de där funktionen är odefinierad
i någon ändpunkt, t.ex.
!
!
1
𝑑𝑥
𝑥
och de där man integrerar över obegränsat intervall, t.ex.
!!
! !
dx
Enbart det sista alternativet behandlas i boken. Iden är att se integralen som ett
gränsvärde. Om detta gränsvärde går att bestämma ändligt säges integralen vara
konvergent, annars divergent. Räkningen sker som vanligt men avslutas med en
gränsvärdesräkning, se bok för exempel.
Ett resultat som verkar paradoxalt är att den "strut" man får om kurvan
y=1/x,
1≤x<∞ roterar runt x-axeln får oändlig yta men ändligt volym. Varför är detta
en "paradox"? Räkningarna till detta exempel är dessvärre lite för svåra för
Matematik 5, även om man ska göra det i uppgift 3360.
Lös alla utom 3360.