L¨
osningsf¨
orslag till tentamen i Reglerteknik I (TSRT19) 2012-03-05
¨
1. (a) Overf¨
oringsfunktionen ges av
−1
G(s) = C(sI − A)
s + 1 −1 −1 0
1
B= 1 0
=
0
s−1
1
(s + 1)(s − 1)
(b) Poler: -2 och -5 Nollst¨
allen: -1
Systemet ¨
ar stabilt eftersom samtliga poler ligger i v¨anster halvplan.
(c) I-delens huvudsakliga syfte a
¨r att eliminera det station¨ara felet mellan referenssignal och utsignal.
(d) Under f¨
oruts¨
attning att systemet ¨ar linj¨art skalas utsignalen proportionellt mot
insignalen. I figur 1 blir utsignalen lika med 0.5 i station¨aritet f¨or ett steg som
insignal med amplituden 1. Med en amplituden 2 p˚
a insignalen s˚
a blir utsignalen
d¨armed lika med 0.5*2=1 i station¨aritet.
(e) Polerna till G1 (s) ges av
s2 + 2s + 1 = 0
⇒
s = −1
dvs tv˚
a rella poler i s = −1.
Polerna till G2 (s) ges av
s2 + 2s + 2 = 0
⇒
s = −1 ± i
dvs tv˚
a komplexa poler i s = −1 ± i.
Eftersom oscillativt system ¨
ar kopplat till koplexa poler ¨ar G2 (s) mer oscillativt
a¨n G1 (s).
2. (a) Det slutna systemet Gc (s) ¨
ar ¨overf¨oringsfunktionen fr˚
an r till y, dvs Y (s) =
Gc (s)R(s). Eftersom det slutna systemet har statisk f¨orst¨arkning 1 s˚
a kommer
a mot 1 enligt slutv¨ardesteoremet
¨aven utsignalen att g˚
1
lim y(t) = lim sY (s) = lim sGc (s)R(s) = lim sGc (s) = Gc (0) = 1
s→0
s→0
s→0
s
t→∞
(b) K¨anslighetsfunktionen S(s) ¨
ar ¨overf¨oringsfunktionen fr˚
an v till y, dvs Y (s) =
S(s)V (s). Vi kan nu anv¨
anda oss av att det faktum att f¨or ett stabilt linj¨art
system s˚
a f˚
ar vi f¨
or en sinus-signal in, en sinus-signal ut, n¨ar transienterna har
d¨ott ut. Utsignalen kommer att ha f¨oljande utseende
y(t) = |S(iω0 )| sin(ω0 t + arg S(ω0 i))
n¨ar v(t) = sin(ω0 t)
H¨ar analyserar vi en st¨
orning med frekvens ω0 = 1[rad/s]. Ur bodediagrammet
f¨or S(s) kan vi avl¨
asa
|S(i · 1)| ≈ 4 dB = 10(4/20) ≈ 1.6
arg S(1 · i) ≈ 45◦
och d¨
armed
y(t) ≈ 1.6 sin(t + 45◦ )
(c) Eftersom superpositionsprincipen g¨aller f¨or linj¨ara system har vi nu Y (s) =
Gc (s)R(s) + S(s)V (s). Genom att kombinera resultaten i 2a) och 2b) f˚
as d¨arf¨or
y(t) ≈ 1.6 sin(t + 45◦ ) + 1
1
¨
(d) Overf¨
oringsfunktionen fr˚
an −n till y ges den komplement¨ara k¨anslighetsfunktionen
F (s)G(s)
T (s) = 1+F (s)G(s) = Gc (s). F¨
orst¨arkningen av m¨atbruset kan d¨arf¨or best¨ammas
ur bodediagrammet f¨
or det slutna systemet Gc . D¨arur kan vi avl¨asa att m¨atbruset
d¨ampas f¨
or frekvenser ω > 10 [rad/s] eftersom |Gc (iω)| < 1 f¨or dessa ω.
(e) Det verkliga systemet ges av
G0 (s) = α · G(s)
Det relativa modellfelet ∆G (s) ges d˚
a av
G0 (s) = G(s)(1 + ∆G (s))
⇔
∆G (s) = α − 1 = 0.1
Vi konstaterar att F (s) stabiliserar G(s) ty det kretsf¨orst¨arkningen F (s)G(s)
har positiv fasmarginal. Vidare har G(s) och G0 (s) samma antal poler i h¨oger
halvplan eftersom endast en konstant skiljer dem˚
at. Slutligen g˚
ar b˚
ade F (s)G(s)
och F (s)G0 (s) mot noll d˚
a |s| g˚
ar mot o¨andligheten enligt bodediagrammet f¨or
F (s)G(s).
Enligt robusthetskriteriet ¨
ar d˚
a det sanna ˚
aterkopplade systemet stabilt s˚
a l¨ange
1
1
α − 1 = 0.1 < |T (iω)| = |Gc (iω)| f¨or alla ω. Detta ¨ar de facto uppfyllt eftersom
|Gc (iω)| < 10 = 20 dB enligt bodediagrammet f¨or Gc (s).
3. (a)
i. Med tillst˚
anden x1 = y, x2 = y˙ f˚
as tillst˚
andsformen
0
0 1
u
x+
x˙ =
1
0 −1
y= 1 0 x
ii. Tillst˚
ands˚
aterkopplingen u = −Lx + r ger att det ˚
aterkopplade systemet
f˚
ar den karakteristiska ekvationen
det(λI − (A − BL)) = 0
⇔
λ2 + (1 + l2 )λ + l1 = 0
Polplacering i −1 motsvarar den ¨onskade ekvationen (λ + 1)2 = λ2 + 2λ +
1 = 0. J¨
amf¨
orelse ger l2 = 1 och l1 = 1 och tillst˚
ands˚
aterkopplingen blir
u = −x1 − x2 + r.
iii. N¨
ar vi ist¨
allet m¨
ater bilens
hastighet ska y = x2 vilket inneb¨ar att vi f˚
ar
en ny matris C = 0 1 . Det ger f¨oljande tillst˚
andsmodell
0 1
0
x˙ =
x+
u
0 −1
1
y= 0 1 x
Observerbarhetsmatrisen ¨
ar d˚
a
C
0 1
O=
=
CA
0 −1
Det icke observerbara underrummet ges av
0 1
x1
0
=
0 −1
x2
0
1
dvs det sp¨
anns av vektorn
. Eftersom x1 ¨ar bilens position kan vi inte
0
skatta denna utifr˚
an endast en m¨atning av hastigheten.
2
(b) B- III: Alla bodediagram har statisk f¨orst¨arkning 1 utom Bodediagram B. Vidare har alla stegsvar slutv¨
arde 1 utom Stegsvar III. D¨arf¨or m˚
aste B h¨ora till
III.
A - II: Endast Bodediagram A har en resonanstoppen och endast Stegsvar II
har en ¨
oversl¨
ang. S˚
alnda m˚
aste de h¨ora ihop.
D - IV, C - I, : Eftersom bandbredden i Bodediagram D ¨ar h¨ogre ¨an bandbredden
i Bodediagram C och eftersom Stegsvar IV ¨ar snabbare ¨an Stegsvar I f˚
as D IV och C - I.
4. (a) Det slutna systemet ges av
Gc (s) =
F (s)G(s)
K50
= 3
2
1 + F (s)G(s)
s + 15s + 50s + K50
Vi f˚
ar d˚
a
P (s) = s3 + 15s2 + 50s = s(s + 5)(s + 10),
Q(s) = 50,
n=3
m=0
Startpunkter: P (s) = 0 ⇒ s = 0, s = −5, s = −10
Slutpunkter: Q(s) = 0 ⇒ Inga slutpunkter
Asymptoter:
- Antal: n − m = 3

π

(k = 0)
3
π
π
- Riktningar: 3 + 2k 3 = π
(k = 1)

 5π
(k = 2)
3
1
- Sk¨
arningspunkt: 3 (0 − 5 − 10) = −5
- Delar av reella axeln som tillh¨or rotorten: (−∞, -10] och [-5, -0].
S˚
alunda kommer roten som b¨
orjar i -10 att f¨olja asymptoten l¨angs reella axeln
ut mot negativa o¨
andligheten. R¨otter som b¨orjar i -5 resp 0 kommer d¨aremot att
vandra mot varandra d˚
aK¨
okar. F¨or n˚
agot K-v¨arde kommer de att m¨otas och
d¨arefter g˚
a ut i komplexa talplanet f¨or att slutligen n¨arma sig varsin asymptot
n¨ar K g˚
ar mot o¨
andligheten. Det ger en rotort enligt figur 1.
Root Locus
6
Asymptote →
Imaginary Axis (seconds−1)
4
← K=K
3
2
↓ K=K1
0
↑ K=K
2
−2
Asymptote →
−4
−6
−15
−10
−5
0
Real Axis (seconds−1)
Figur 1: Rotort f¨or systemet i uppgift 4)
3
5
Eftersom asymptoterna f¨
or de tv˚
a komplexkonjugerade polerna pekar ut i h¨oger
halvplan, kommer dessa poler f¨or n˚
agot K att sk¨ara imagin¨ara axeln. N¨ar detta
sker f˚
as genom ins¨
attning av s = iw i P (s) + KQ(s) = 0, vilket ger
P (iw) + KQ(iw) = 0
⇔
50K − iw3 − 15w2 + 50iw = 0
Uppdelning i imagin¨
ar- och realdel ger
−w3 + 50w = 0
50K − 15w2 = 0
Den f¨
orsta av dessa ekvationer ger tv˚
a m¨ojligheter, w = 0 och w2 = 50. Insatt i
den undre ekvationen ger detta K = 0 och K = 15. Vi har allts˚
a tre sk¨arningar
med imagin¨
√ ara axeln, vid w = 0 f¨or K = 0 (dvs en av startpunkterna) och vid
w = ± 50 f¨
or K = 15. D¨
armed befinner sig f¨or 0 < K < 15 alla poler i v¨anster
halvplan och det ˚
aterkopplade systemet ¨ar f¨or dessa v¨arden p˚
a K stabilt.
Snabbheten hos det ˚
aterkopplade systemet ges av den dominerande polens
avst˚
and till origo. Enligt rotorten ¨okar detta avst˚
andet med ¨okande K och
s˚
alunda ¨
okar ¨
aven snabbheten. F¨or sm˚
a K ¨ar alla poler reella, medan f¨or stora K blir tv˚
a poler komplexa. Systemet ¨ar allts˚
a v¨al d¨ampat f¨or sm˚
a K men
oscillativt f¨
or stora K. F¨
or K > 15 v¨axer dessa oscillationer obegr¨ansat och
systemet blir instabilt.
(b) Eftersom systemet inneh˚
aller en integrator kommer det station¨ara felet med ett
steg som refererenssignal att g˚
a mot noll s˚
a l¨ange ˚
aterkopplingen ¨ar stabil.
Detta kan ¨
aven ses med slutv¨ardesteoremet. Laplacetransformen f¨or ett steg
r(t) = a ¨
ar R(s) = a/s. Det station¨ara felet f¨or det ˚
aterkopplade systemet med
en P-regulator d¨
ar K > 0 blir d¨arf¨or enligt slutv¨ardesteoremet
1
R(s)
1 + F (s)G(s)
s(s + 5)(s + 10)
= lim
a=0
s→0 s(s + 5)(s + 10) + 50K
lim e(t) = lim sE(s) = lim s
t→∞
s→0
s→0
Observera att slutv¨
ardesteoremet ¨ar endast till¨ampbart f¨or stabila system, dvs
d˚
a K < 15 enligt f¨
oreg˚
aende uppgift.
(c) Varken stegsvaret f¨
or K = K1 eller K = K2 har enligt figur 9 och figur 10
n˚
agon ¨
oversl¨
ang vilket indikerar att motsvarande poler ¨ar reella. F¨or dessa
˚
aterkopplingar har allts˚
a de tv˚
a l˚
angsammaste polerna ¨annu inte vandrat ut i
det komplexa talplanet. Eftersom stegsvaret f¨or K = K1 ¨ar l˚
angsammare ¨an
stegsvaret f¨
or K = K2 ligger den dominerande polen f¨or ˚
aterkoppling K = K1
n¨armare origo ¨
an den dominerande polen f¨or K = K2 .
Enligt figur 11 har stegsvaret f¨or K = K3 ett tydligt oscillativt beteende vilket
avsl¨
ojar att det ˚
aterkopplade systemet har komplexkonjugerade poler. Vi konstaterar a
ven
att
oscillationerna avtar, vilket indikerar att systemet a¨r stabilt.
¨
Detta intr¨
affar f¨
or v¨
arden K = K3 d¨ar de tv˚
a l˚
angsammaste polerna vandrat
ut i det komplexa talplanet men ¨annu inte vandrat in i h¨oger halvplan.
Se figur 1 f¨
or t¨
ankbara platser i rotorten som motsvaras av ˚
aterkopplingarna
K1 , K2 och K3 .
5. (a) En P-regulator F (s) = K ¨
andrar inte fasdiagrammet f¨or kretsf¨orst¨arknigen
utan endast dess amplituddiagram. F¨or att f˚
a en fasmarginal p˚
a minst 55◦ m˚
aste
allts˚
a sk¨
arfrekvensen ligga under wc < 2 [rad/s] eftersom arg G(i2) ≈ −125◦ =
◦
−180 + 55◦ . Detta motsvarar enligt amplituddiagrammet en f¨orst¨orkning p˚
a
4
K = 1/|G(i2)| ≈ 5 dB ≈ 2. F¨or st¨orre K kommer fasmarginalen att minska eftersom b˚
ade amplituddiagrammet och fasdiagrammet avtar monotont.
Det st¨
orta f¨
orst¨
arkningen ¨
ar allts˚
a K ≈ 2 vilket ger en sk¨arfrekvens p˚
a wc ≈
2 [rad/s]
(b) Uppgiften l¨
oses h¨
ar med lead-lag-design. Den ¨onskade sk¨arfrekvensen ¨ar samma
som den nuvarande, dvs ωc,d = ωc = 1 [rad/s] vilket enligt figur 12 redan har
en fasmarginal p˚
a 73◦ . En eventuell lag-l¨ank g¨or att 73◦ − 6◦ = 67◦ kommer att
˚
aterst˚
a av denna fasmarginal. Eftersom kravet var ϕm > 67◦ beh¨ovs h¨ar ingen
extra fasavansering och s˚
alunda ingen lead-l¨ank.
F¨or att uppfylla kravet p˚
a rampfelet anv¨ands en lag-l¨ank
F (s) =
τI s + 1
τI s + γ
(1)
¨
Overf¨
oringsfunktionen fr˚
an referenssignalen till reglerfelet ¨ar
E(s) =
1
R(s)
1 + F (s)G(s)
D˚
a en ramp har laplacetransformen R(s) = 1/s2 f˚
ar vi fr˚
an slutv¨ardesteoremet
lim e(t) = lim sE(s) = lim s
t→∞
s→0
s→0
1
1
=
1 + F (s)G(s) s2
1
γ
1
= γ ≤ 0.01
· lim sG(s)
s→0
| {z }
=1
vilket ger
γ = 0.01
F¨or att lag-l¨
anken inte ska f¨
ors¨amra fasmarginalen alltf¨or mycket v¨aljs enligt
tumregeln τI = 10/wc,d = 10.
Totalt f˚
ar vi allts˚
a en regulator enligt (1) med parametrarna valda enligt ovan.
(c) Vi l¨
oser ¨
aven denna uppgiften med lead-lag-design. F¨orst noterar vi att vi inte
har n˚
agot krav p˚
a station¨
art fel. S˚
alunda beh¨ovs ingen lag-l¨ank.
Vidare, vid den ¨
onskade sk¨
arfrekvensen ωc,d = 7 rad/s ¨ar fasen arg G(iωc,d ) =
−180◦ . Vi har allts˚
a 0◦ fasmarginal och m˚
aste fasavancera hela 100◦ f¨or att
◦
uppn˚
a den ¨
onskade fasmarginalen 100 . Eftersom en lead-l¨ank som mest kan
fasavancera 90◦ beh¨
ovs h¨
ar tv˚
a lead-l¨ankar f¨or att uppn˚
a ¨onskad fasmarginal.
Vi v¨
aljer parametriseringen av b˚
ada lead-l¨ankarna lika. Vi betraktar allts˚
a regulatorn
τD s + 1
F (s) = KFlead (s)Flead (s),
d¨ar
Flead (s) =
(2)
βτD s + 1
Vi l˚
ater nu lead-l¨
ankarna fasavancera ϕmax = 100◦ /2 = 50◦ vardera, vilket enligt figur 5.13 p˚
a sidan 106 i l¨
aroboken motsvarar β = 0.13. F¨or att placera den
maximala fas¨
okningen vid den ¨onskade sk¨arfrekvensen v¨aljer vi τD = ω 1√β ≈
c,d
0.40. F¨
or att wc,d = 7 rad/s verkligen ska vara en sk¨arfrekvens m˚
aste f¨oljande
g¨alla
K |Flead (iωc,d )| |Flead (iωc,d )| |G(iωc,d )| = 1
|
{z
}|
{z
} | {z }
= √1β
= √1β
⇒
K=
β
≈ 1.9
|G(iωc,d )|
≈0.067
d¨ar |G(iωc,d )| = −23.5 dB = 10−23.5/20 ≈ 0.067 kan avl¨asas som amplitudmarginalen
ur bodediagrammet f¨
or G.
Regulatorn ges d˚
a av (2) med parametrarna valda enligt ovan.
5