1. No category

3. L¨
osning av elektrostatiska problem f¨
or dielektrika
[RMC]
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.1
3.1. Dielektrika
Ett perfekt dielektrikum (isolator) ¨ar ett material som inte inneh˚
aller n˚
agra fria laddningar alls. Alla
elektroner ¨ar med andra ord h˚
art bundna till materialets atomer eller molekyler.
Dielektrika reagerar p˚
a yttre elektriska f¨alt s˚
a att de polariseras, d.v.s. dipoler induceras i materialet.
Detta ger upphov till ett elf¨altsbidrag innanf¨
or och utanf¨
or dielektriket.
Exempel p˚
a dielektrika: glas, porslin, keramik, plast, oxider, luft, diverse v¨atskor och gaser, . . .
Eftersom dielektrika polariseras, s˚
a har varje region med
volymen dV ett dipolmoment
Z
0
dp =
dq r
(3.1)
dV
En naturlig volymoberoende storhet ¨ar polarisationen
P=
dp
,
dV
2
[P ] = C/m ,
(3.2)
som ¨ar en funktion av platsen inom dielektriket.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.2
Eftersom de minsta best˚
andsdelarna i ett dielektrikum ¨ar molekyler kan man definiera ett molekyl¨
art
dipolmoment
Z
pm =
0
(3.3)
pm
(3.4)
dq r
mol
Nu g¨aller
dp =
X
m∈dV
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.3
3.2. Det elektriska f¨
altet utanf¨
or ett dielektrikum
Ett polariserat dielektrikum best˚
ar av dipoler, s˚
a dielektrikets potential ¨ar en summa av deras
enskilda potentialer
1 dp · (r − r0)
dϕ(r) =
4πε0 |r − r0|3
(3.5)
Eftersom dp = PdV f˚
ar vi
1
ϕ(r) =
4πε0
Z
V0
dV 0P(r0) · (r − r0)
|r − r0|3
(3.6)
L˚
at oss f¨orenkla integranden genom att g¨
ora oss av med (r − r0)-termer.
Vi kan visa att f¨oljande g¨aller:
1
r − r0
∇
=
|r − r0|
|r − r0|3
(3.7)
P(r0) · (r − r0)
1
0
0
=
P
(
r
)
·
∇
|r − r0|3
|r − r0|
(3.8)
0
Vi har nu att
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.4
Med hj¨alp av ∇(f F) = f ∇ · F + F · ∇f f˚
ar vi F · ∇f = ∇(f F) − f ∇ · F:
0
P(r ) · ∇
0
P
1
1
0
0
=
∇
·
−
∇
·P
|r − r0|
|r − r0|
|r − r0|
(3.9)
Ins¨attning i potentialen:
1
ϕ(r) =
4πε0
Z
P
1
0 0
dV ∇ ·
−
|r − r0|
4πε0
V0
Z
V0
dV 0∇0 · P
|r − r0|
(3.10)
Med Gauss’ teorem kan dV 0∇0· skrivas dA0b
n· och vi har
1
ϕ(r) =
4πε0
I
A0
dA0b
1
n·P
−
|r − r0|
4πε0
Z
V0
dV 0∇0 · P
|r − r0|
(3.11)
Vi kan g¨ora f¨oljande identifikation:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
σP
=
P·b
n
(3.12)
ρP
=
−∇ · P
(3.13)
JJ J I II ×
3.5
d¨ar σP och ρP ¨ar t¨athet av polarisationsladdningar.
Potentialen ¨ar nu
1
ϕ(r) =
4πε0
I
A0
1
dA0σP
+
|r − r0|
4πε0
Z
V0
dV 0ρP
|r − r0|
(3.14)
Totala laddningen i och p˚
a ett dielektrikum ¨ar
Z
I
Q=
dV ρ +
dAσ
V0
(3.15)
A0
Om vi inte har externa laddningar, utan all laddning kommer fr˚
an polarisationen, s˚
a har vi
Z
Q
I
=
dV (0 + ρP ) +
dA(0 + σP )
V0
A0
Z
=
I
−
dV ∇ · P +
dA · P
V0
A0
I
=
I
−
dA · P +
A0
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
dA · P
A0
JJ J I II ×
3.6
=
0
(3.16)
enligt Gauss’ teorem (divergensteoremet).
Det elektriska f¨altet ¨ar ju
E = −∇ϕ
(3.17)
1
1
r − r0
0
−∇
=∇
=
|r − r0|
|r − r0|
|r − r0|3
(3.18)
Vi har fr˚
an tidigare:
s˚
a vi f˚
ar nu
1
E(r) =
4πε0
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
I
− r0 )
1
dA
+
|r − r0|3
4πε0
A0
0 σP ( r
Z
dV
V0
− r0)
|r − r0|3
0 ρP (r
(3.19)
JJ J I II ×
3.7
3.3. Det elektriska f¨
altet innanf¨
or ett dielektrikum
Vi vill nu ta reda p˚
a det makroskopiska elf¨altet inne i dielektriket, d.v.s. det genomsnittliga f¨altet i
ett litet omr˚
ade (som dock inneh˚
aller m˚
anga dipoler).
Vi har redan best¨amt f¨altet utanfo
a vi best¨ammer det
¨r dielektriket, och vi kan anv¨anda detta d˚
interna f¨altet.
Tidigare visades att
∇ × E = 0,
(3.20)
d.v.s. att elf¨altet ¨ar irrotationellt. Fr˚
an detta f¨
oljde att v¨agen f¨
or f¨altets kurvintegral mellan punkterna
A och B kunde v¨aljas fritt. L˚
at nu B = A, s˚
a att
I
dr · E = 0
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(3.21)
JJ J I II ×
3.8
Vi till¨ampar nu detta p˚
a kurvan ABCDA
i figuren.
Kurvan g˚
ar genom en vakuum-”n˚
al” placerad i dielektriket i riktningen av f¨altet.
Kurvintegralen ger, d˚
a l¨angden av BC och DA blir infinitesimala, att det vid gr¨ansytan g¨aller att
∆rEv,t − ∆rEd,t = 0
(3.22)
Ev,t = Ed,t
(3.23)
Allts˚
a:
Slutsats: det elektriska f¨altet inne i ett dielektrikum ¨ar lika med f¨altet i en tunn vakuum-”n˚
al” i
dielektriket.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.9
Med hj¨alp av uttrycket f¨or den externa potentialen f˚
ar vi nu
1
ϕin(r) =
4πε0
I
A0 +A1 +A2 +Am
dA0σP
1
+
|r − r0|
4πε0
Z
V0 −Vc
dV 0ρP
|r − r0|
(3.24)
d¨ar Am ¨ar n˚
alens mantelyta och Vc n˚
alens volym, A0 och V0 hela kropperns area och volym, och
A1 och A2 ¨andytorna p˚
a n˚
alen (se bilden).
Den f¨orsta integralen ¨ar allts˚
a¨
over alla ytor och den senare ¨
over hela kroppen utom vakuumn˚
alens
volym (d¨ar ju laddningen=0).
L˚
at nu n˚
alens tjocklek bli infinitesimalt tunn, s˚
a att A1, A2 g˚
ar mot 0. Om dielektriket ¨ar isotropiskt
har vi dessutom att E ¨ar parallell med P, vilket g¨
or att σP = P · b
n = 0 p˚
a mantelytan. Detta g¨
or
att ytintegralen f˚
ar samma utseende som i uttrycket f¨
or det externa elf¨altet, ekv. 3.14.
I volymintegralen kan vi l˚
ata ”n˚
alen” bli infinitesimalt liten, s˚
a att V0 − Vc → V0. Men nu m˚
aste
vi fo¨rs¨akra oss om att detta potentialbidrag inte divergerar ! D˚
a ”n˚
alens” volym g˚
ar mot 0:
s3xρP
dV 0ρP
(x − x0)(y − y 0)(z − z 0)ρP
lim
≈ lim p
≡ lim
√ ∼0
0
2
0
2
0
2
s
→0
x
r→r0 |r − r0 |
r→r0
s
(x − x ) + (y − y ) + (z − z )
x 3
0
om vi omskriver s = r − r och har sx ∼ sy ∼ sz s˚
a att s =
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
q
s2x
+
s2y
+
s2z
(3.25)
√
= sx 3.
JJ J I II ×
3.10
Med andra ord, de tidigare resultaten f¨
or ϕ och E g¨aller f¨
or observationspunkter r b˚
ade innan- och
utanf¨or dielektriket!
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.11
3.4. Gauss’ lag f¨
or dielektrika
L˚
at nu ett antal laddade ledare vara neds¨ankta i
ett dielektrikum.
Gauss’ lag ger
I
dA · E =
A
1
(Q + QP )
ε0
(3.26)
d¨ar den totala laddningens delar ¨ar
Q
=
QP
=
q1 + q2 + q3
Z
Z
dA · P +
dV (−∇ · P)
A1 +A2 +A3
(3.27)
(3.28)
V
Dielektrikets volym V exkluderar ledarnas volymer.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.12
Den senare ekvationen ger
Z
QP
Z
dV (−∇ · P)
dA · P +
=
A1 +A2 +A3
V
Z
Z
dA · P −
=
A1 +A2 +A3
dA · P
A+A1 +A2 +A3
Z
=
−
dA · P
(3.29)
A
Gauss’ lag blir
I
dA · (ε0E + P) = Q
(3.30)
A
Storheten ε0E + P har f˚
att ett eget namn, elektrisk fo
¨rskjutning (displacement) eller elektriskt
fl¨
odest¨
athet (flux ):
D ≡ ε0 E + P
(3.31)
Enhet: [D ] = [P ] = C/m2.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.13
Gauss’ lag ¨ar nu
I
dA · D = Q
(3.32)
A
Denna form ¨ar en generalisering f¨
or situationer med ledare och dielektrika.
Elf¨altet har ersatts med den relevantare storheten elfl¨
odest¨athet, och som laddning r¨aknas endast
den externa laddningen.
Terminologi:
• Q, Qext : (extern) laddning p˚
a ledares ytor, och i eller p˚
a dielektrika
• Qind : inducerad laddning p˚
a ledares ytor
• QP : yt- och volymladdning i dielektrika p.g.a. polarisation, polarisationsladdning
Som tidigare kan vi skriva
I
Z
Z
dA · D =
A
dV ∇ · D =
V
dV ρ
(3.33)
V
och identifiera
∇·D=ρ
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(3.34)
JJ J I II ×
3.14
Det elektriska f¨altet kan nu skrivas
1
1
E= D− P
ε0
ε0
(3.35)
d¨ar D f˚
as utifr˚
an den k¨anda externa laddningsf¨
ordelningen ρ med hj¨alp av Gauss’ lag i differentialform, ekv. (3.34), och dielektrikets polarisation P.
Polarisering uppst˚
ar p.g.a. av ett yttre elf¨alt, s˚
a vi har det allm¨anna f¨
orh˚
allandet
P = P(E)
(3.36)
F¨
or de flesta material f¨orsvinner P d˚
a det yttre f¨altet plockas bort:
P(0) = 0
(3.37)
Om dielektriket ¨ar isotropiskt, s˚
a har P och E samma riktning.
Den enklaste lag som uppfyller dessa villkor ¨ar
P(E) = χe(E)E
(3.38)
d¨ar χe kallas elektrisk susceptibilitet.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.15
Fl¨
odet kan nu skrivas
D = ε0E + P = (ε0 + χe(E))E ≡ ε(E)E
(3.39)
d¨ar ε ¨ar det dielektriska materialets permittivitet.
I de flesta fall ¨ar χe, ε oberoende av f¨altstyrkan. Vi har d˚
a linj¨
ara dielektrika.
Man definierar ocks˚
a den relativa permittiviteten εr via ekvationen
ε ≡ εr ε 0
(3.40)
Men
D = ε0E + P = ε0E + χeE
(3.41)
s˚
a att
εr =
ε
χe
=1+
ε0
ε0
(3.42)
εr kallas ocks˚
a f¨or dielektricitetskonstanten. Den har v¨ardet > 1 f¨
or ¨
ovriga media ¨an vakuum.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.16
Vi kan nu skriva polarisationen som
P = D − ε0E = (ε − ε0)E = ε0(εr − 1)E
(3.43)
F¨
or tillr¨ackligt stora v¨arden p˚
a E bryts de element¨ara dipolerna upp d˚
a elektroner b¨
orjar dras ut ur
dem. D˚
a detta sker uppst˚
ar fri laddning och dielektriket blir ledande. Det v¨arde p˚
a E ¨
over vilket
detta sker kallas dielektricitets-styrka, och kan betecknas Eds.
Dielektrikum
glas
kvarts
koksalt
tr¨a
etanol
destillerat vatten, 20-0 Celsiusgrader
luft, normalt tryck
teflon, naturgummi
zinkoxid
berylliumoxid
bariumtitanat
εr
5-10
4,3
6,1
2,5-8,0
28,4
80,1-87,8
1,00059
2,1
3
6
≥1200
Eds (V/m)
9 × 106
8 − 40 × 106
150 × 106
65 − 70 × 106
3 × 106
20 − 120 × 106
[RMC, http://www.eccosorb.com/sales/Dielectric_Chart.pdf,
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.17
http://www.ami.ac.uk/courses/topics/0115_cai/], CRC, http://hypertextbook.com/facts/2008/JeffreyWong.s
http://www.mt-berlin.com/frames_cryst/descriptions/quartz.htm
Exempel : En punktladdning q inne i ett isotropiskt, linj¨art dielektrikum med permittiviteten ε.
Flo
¨dest¨atheten ¨ar
D = ε0Eb
r + P = ε0Eb
r + χEb
r = εEb
r = Db
r
(3.44)
Gauss’ lag till¨ampad p˚
a en sf¨arisk yta centrerad p˚
a laddningen:
2
q = 4πr D
(3.45)
q r
D=
4π r 3
(3.46)
d.v.s.
Elf¨altet:
E=
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
q
r
4πεr ε0 r 3
(3.47)
JJ J I II ×
3.18
D˚
a εr > 1 ¨ar E mindre ¨an om laddningen var i vakuum!
Polarisationen av materialet minskar allts˚
a elf¨altets styrka.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.19
3.5. Randvillkor f¨
or f¨
altvektorerna och potentialen
Gauss’ lag p˚
a pillburken:
D2,nA − D1,nA = σA
(3.48)
d¨ar σ ¨ar extern laddning.
Detta ger
D2,n = D1,n + σ
(3.49)
Fl¨
odest¨athetens normalkomponent ¨ar allts˚
a diskontinuerlig om det finns extern laddning p˚
a
gr¨ansytan.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.20
Kurvintegralen ABCDA, med BC och DA infinitesimalt sm˚
a, ger
E2 · ∆r − E1 · ∆r = 0
(3.50)
Eftersom ∆r ¨ar i tangentens riktning f˚
as
E2,t = E1,t
(3.51)
J¨amf¨or detta med resultatet i ledare att den tangentiella komponenten alltid ¨ar ≡ 0 - polarisationen
m¨
ojligg¨or allts˚
a en avvikelse av denna regel!
?
?
?
Obs: Enligt f¨oreg˚
aende ekvation ¨ar elf¨altets tangentiella komponent kontinuerlig. Eftersom E =
−∇ϕ m˚
aste vi d˚
a ha att ϕ ¨ar kontinuerlig, annars f˚
ar vi ju inte utf¨
ora deriveringen!
ϕ1(rrand) = ϕ2(rrand)
(3.52)
Detta strider inte emot diskontinuitetsvillkoret f¨
or fl¨
odest¨athetens normal-komponent. Normalkomponenten ¨ar ju en annan derivata ¨an den tangentiella komponenten, s˚
a den kan nog vara
diskontinuerlig.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.21
Om man bildar en tub av fl¨
odeslinjer f˚
as en
fl¨
odestub som i figuren.
H¨ar f¨
oljer allts˚
a tubens kanter f¨altet D. D˚
a ¨ar
D ·b
n = 0 vid tubens sidor, d˚
a f¨altet och normalen
¨ar vinkelr¨ata mot varandra.
Gauss’ lag f¨or denna ¨ar
Z
Z
dAb
n2 · D −
A2
dAb
n1 · D = Q
(3.53)
A1
Detta visar allts˚
a att D har ett direkt samband med externa laddningar.
Om ingen extern laddning finns i tuben f˚
as att fl¨
odet bevaras: fl¨
odet genom A1 och A2 ¨ar detsamma.
N¨ar (externa) laddningar ¨ar n¨arvarande m˚
aste vi ha att fl¨
odeslinjer startar eller slutar p˚
a dessa,
eftersom fl¨odet d˚
a inte bevaras.
Kraftlinjer, d¨aremot, startar och slutar p˚
a extern och polariserad laddning, eftersom F = q E =
q(D/ε0 − P).
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.22
3.6. Poisson-ekvationen och dess randvillkor
Vi kom fram till
∇·D=ρ
(3.54)
Under antagande att dielektrika ¨ar isotropiska, linj¨ara och homogena (ε 6= ε(r)) har vi
∇·E=
ρ
ε
(3.55)
ρ
ε
(3.56)
Om som tidigare E = −∇ϕ s˚
a
2
∇ ϕ=−
Poissons ekvation f¨or dielektrika ¨ar som tidigare, men ε0 har ersatts av ε.
Laplace-ekvationen
2
∇ ϕ=0
(3.57)
kan anv¨andas d˚
a man har dielektrika med enskilda punktladdningar, laddade eller neutrala ledare,
eller dielektrika med enbart (externa) ytladdningsf¨
ordelningar.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.23
Elektrostatiska problem med ledare och (isotropiska, linj¨ara, homogena) dielektrika best˚
ar d¨arf¨
or i
l¨
osning av Laplaces ekvation i separata regioner — inne i de dielektriska medierna och i tomrummet
mellan dessa och ledare — och foga samman l¨
osningarna med hj¨alp av randvillkoren.
?
?
?
Exempel : Sf¨ariskt, oladdat dielektrikum med radien a i ett initialt likformigt f¨alt E0 i vakuum.
L¨
osningen ¨ar fr˚
an tidigare:
−2
cos θ,
r > a,
(3.58)
−2
cos θ,
r < a,
(3.59)
ϕ1(r, θ)
=
A2r cos θ + B2r
ϕ2(r, θ)
=
C2r cos θ + D2r
Ett villkor f˚
ar vi fr˚
an det att ϕ1 = −E0z = −E0r cos θ d˚
a r → ∞. Detta ger A2 = −E0..
D˚
a ϕ2 b¨or vara definierad ocks˚
a i origo m˚
aste vi ha D2 = 0.
Tangentiella kompontenerna av elf¨altet ska vara kontinuerliga:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.24
E1,t(r = a, θ)
=
1 ∂ϕ1
−3
= −E0 sin θ + B2a sin θ
r ∂θ
E2,t(r = a, θ)
=
−
=
−
1 ∂ϕ2
= C2 sin θ
r ∂θ
(3.60)
(3.61)
(3.62)
Detta ger
−3
− E0 + B2a
= C2
(3.63)
Fl¨
odets normalkomponenter ¨ar kontinuerliga, efterstom ingen extra laddning finns placerad p˚
a
dielektriket:
D1,n(r = a, θ)
=
=
=
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
∂ϕ1
−3
= ε1E0 cos θ + ε1B22a cos θ
∂r
D2,n(r = a, θ)
−ε1
∂ϕ2
−ε2
= −ε2C2 cos θ
∂r
(3.64)
(3.65)
(3.66)
JJ J I II ×
3.25
Detta ger
−3
E0 + 2B2a
= −εr C2
(3.67)
Summan av de tv˚
a ekvationer vi nu f˚
att ¨ar
−3
3B2a
= (1 − εr )C2
(3.68)
Detta ger
3B2a−3
C2 =
1 − εr
(3.69)
Ins¨attning av C2 i uttrycket 3.63 ger
−3
3
B2 = (E0 + C2)a =
E0 +
3B2a
1 − εr
!
3
3
a = E0a +
3B2
1 − εr
(3.70)
varifr˚
an man kan l¨osa ut B2 och f˚
ar
B2 =
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
εr − 1
3
E0a
εr + 2
(3.71)
JJ J I II ×
3.26
Ins¨attning igen ger
3B2a−3
3E0
C2 =
=−
1 − εr
εr + 2
(3.72)
Slutliga potentialen ¨ar allts˚
a
ϕ1(r, θ)
=
ϕ2(r, θ)
=
εr − 1
3 −2
−E0r cos θ +
E0a r cos θ,
εr + 2
3E0
r cos θ, r < a,
−
εr + 2
r > a,
(3.73)
(3.74)
Elf¨altet inne i dielektriket ?
E2 = −∇ϕ2 =
3
E0b
z = konstant
εr + 2
(3.75)
Detta ¨ar ett konstant f¨alt, som ¨ar parallellt med det yttre initialt likformiga elf¨altet.
Polarisationen ¨ar
P2 = ε0(εr − 1)E2 = 3ε0
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
εr − 1
E0b
z = konstant
εr + 2
JJ J I II ×
(3.76)
3.27
Den radiella polarisationen:
P2,r = ε0(εr − 1)E2,r · b
r = 3ε0
εr − 1
E0 cos θ
εr + 2
(3.77)
Polarisations-ytladdningen ¨ar
σP = P2 · b
r = P2,r
(3.78)
ρP = −∇ · P2 = 0
(3.79)
Polarisations-volymladdningen ¨ar
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.28
(a) Fl¨odet D (totala fl¨odet bevaras om inga externa laddningar), (b) elf¨altet E.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.29
3.7. Bildladdningsmetoden f¨
or dielektrika
[RMC ed. 3 ¨ovning 4-9]
F¨
or ledare hade vi tidigare att bildladdningen var inuti eller utanf¨
or ledaren, och vi s¨
okte potentialen
i den region som inte inneho¨ll bildladdningar.
I de situationer att vi har flera dielektrika kommer vi nu att ha bildladdningar inte bara i ett
dielektrika utan i flera.
Exempel : Punktladdning q i platsen (−d, 0, 0) i dielektrikum 1, som fyller regionen x < 0.
Dielektrikum 2 fyller halvrummet x > 0.
Avst˚
anden fr˚
an origo till den verkliga laddningen q och bildladdningen q 0 ¨ar
r
r
0
=
=
q
(x − (−d))2 + y 2 + z 2
(3.80)
q
(x − d)2 + y 2 + z 2
(3.81)
Potentialen i dielektrikum 1 ¨ar
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.30
1
ϕ1(x, y, z) =
4πε1
q
q0
+ 0
r
r
(3.82)
Detta ¨ar summan av den verkliga laddningens potential och potentialen fr˚
an bildladdningen i
medium 2.
Inne i medium 2 finns ingen verklig laddning. Men f¨altet fr˚
an q k¨anns av, och f¨
or att ha en m¨
ojlighet
00
att forma det enligt randvillkoren uppfinner vi en ny bildladdning q , i dielektrikum 1, s˚
a att denna
har samma position som den ursprungliga laddningen. Vi har nu
q 00
q 000
q
+
≡
ϕ2(x, y, z) =
4πε2r
4πε2r
4πε2r
(3.83)
1. Kravet att potentialen ska vara kontinuerlig:
ϕ1(0, y, z)
= ϕ2(0, y, z)
=
1
4πε1
q
=
1
q 000
p
4πε2 d2 + y 2 + z 2
p
d2 + y 2 + z 2
+p
q
0
!
d2 + y 2 + z 2
(3.84)
2. Kravet att fl¨odest¨athetens normalkomponent ¨ar kontinuerlig d˚
a σ = 0:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.31
ε1∂xϕ1(0, y, z)
= ε2∂xϕ2(0, y, z)
0−d
0+d
0
−q
−
q
((0 + d)2 + y 2 + z 2)3/2
((0 − d)2 + y 2 + z 2)3/2
=
1
4π
=
0+d
1 000
− q
4π ((0 + d)2 + y 2 + z 2)3/2
(3.85)
Dessa villkor ger
q+q
0
=
ε1 000
q
ε2
−q + q
0
=
−q
(3.86)
000
(3.87)
Subtrahera den senare fr˚
an den f¨
orra. Vi f˚
ar:
q
000
2ε2
=q
ε1 + ε2
(3.88)
Ins¨attning i ekv. (3.86) ger
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.32
0
q =q
ε1 − ε2
ε1 + ε2
(3.89)
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.33
3.8. Molekyl¨
art elf¨
alt
Vi s˚
ag tidigare att ett polariserat dielektrikum best˚
ar av inducerade dipoler. Det f¨alt som polariserar
en enskild molekyl kallas molekyl¨
art elf¨
alt. Detta ¨ar helt enkelt det totala f¨altet som p˚
averkar
molekylen, p.g.a. av andra dipoler och yttre laddningar. Molekylens eget dipolf¨alt ing˚
ar inte i detta
f¨alt!
Betrakta en sf¨arisk kavitet i ett dielektrikum, som befinner sig mellan tv˚
a parallella ledande plan,
vilka ger upphov till ett elf¨alt Eext. I bilden ¨ar detta f¨alt riktat fr˚
an v¨anster till h¨
oger. I kavitetens
mittpunkt finns det en molekyl (inte utritad). Vi vill nu veta det molekyl¨ara f¨altet i denna punkt.
Antag att polarisationen ¨ar homogen, s˚
a att ∇ · P = 0. L˚
at det depolariserande f¨altet fr˚
an
polarisationsladdningarna p˚
a de externa ytorna vara Edepol. Detta f¨alt g˚
ar fr˚
an h¨
oger till v¨anster
(mot det yttre elf¨altet och mot polarisationsvektorn P).
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.34
Det molekyl¨ara f¨altet ¨ar
0
Em = Eext + Edepol + Epol,yta + E
(3.90)
d¨ar
Epol,yta ¨ar f¨altet fr˚
an polarisationsladdningarna p˚
a kavitetetens yta, och E0 ¨ar f¨altet fr˚
an dipoler
innanf¨or kaviteten.
Det makroskopiska (genomsnittliga) elf¨altet i dielektriket ¨ar
E = Eext + Edepol
(3.91)
Med hj¨alp av Gauss’ lag till¨ampad p˚
a en pillerburk som b¨
orjar i dielektriket och slutar i vakuum
innan det ledande planet:
(ε0E + P )A − ε0EextA = 0
(3.92)
ε0(E − Eext) = −P
(3.93)
Detta ger
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.35
som ger
Edepol =
1
P
ε0
(3.94)
Men eftersom Edepol och P ¨ar riktade ˚
at olika h˚
all, s˚
a g¨aller
Edepol
1
=− P
ε0
(3.95)
F¨altet fr˚
an kavitetens ytpolarisation, taget i molekylens position:
1
−r0
0
=
dA σP 03
4πε0
r
(3.96)
0
P 02 0 0
0
0 r
=−
r dφ dθ sin θ cos θ 03
4πε0
r
(3.97)
dEpol,yta
Laddningst¨atheten: σP = P · b
r = P cos θ .
dEpol,yta
Polarisationen ¨ar parallell med f¨altet, s˚
a enbart bidrag som har fr˚
an noll avvikande projektion p˚
a
polarisationens riktningsvektor ¨
overlever. L˚
at polarisationen vara i z -axelns riktning:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.36
b = dEpol,yta cos θ 0 =
dEpol,yta · P
P
0
0
2 0
dθ sin θ cos θ dφ
4πε0
(3.98)
b ·b
eftersom P
r = 1 · 1 · cos θ 0.
Svaret blir efter integrering ¨over alla rymdvinklar
P
b
Epol,yta · P =
3ε0
(3.99)
Eftersom detta ¨ar i polarisationens riktning, kan vi skriva
Epol,yta =
P
3ε0
(3.100)
Vi kommer att begr¨ansa oss till fall d¨ar E0 ¨ar noll. Detta g¨aller om (i) det finns m˚
anga dipoler
inne i kaviteten, och de ¨ar alla parallella men slumpm¨assigt placerade, eller om (ii) dipolerna ¨ar
arrangerade som i en kristall med kubisk symmetri.
Vi har nu
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.37
0
Em = E + Epol,yta + E = E +
P
3ε0
(3.101)
Dielektrikets polarisation ¨ar proportionell mot det totala f¨altet, s˚
a d˚
a borde vi ha att en molekyls
dipolmoment ocks˚
a ¨ar proportionellt mot (det molekyl¨ara) f¨altet. Man definierar den molekyl¨
ara
polarisabiliteten α med hj¨alp av
pm = αEm
(3.102)
dp
P=
dV
(3.103)
Vi hade ju i b¨orjan att
Detta kan skrivas
P=
dN dp
dp
≡n
= npm
dV dN
dN
(3.104)
d¨ar N ¨ar antalet molekyler i volymen dV d¨ar dp ber¨aknas. n ¨ar atomernas nummer-densitet,
SI-enheten blir 1/m3.
Vi f˚
ar nu
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.38
P = nαEm = nα
P
E+
3ε0
(3.105)
Eftersom P = χeE f˚
ar vi den s˚
a kallade Clausius-Mossotti-ekvationen:
α=
3ε0χe
3ε0 εr − 1
1
·
=
·
n 3ε0 + χ
n εr + 2
(3.106)
Genom att m¨ata upp n och εr , som ¨ar b˚
ada makroskopiska storheter, kan vi allts˚
a ta reda p˚
a den
molekyl¨ara polarisabiliteten!
Om vi ¨annu anv¨ander en enkel modell f¨
or hur en atom polariseras kan vi dessutom uppskatta
atomens radie fr˚
an α.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.39
Approximera elektronkonfigurationen som en sf¨arisk, homogen laddningsf¨
ordelning. D˚
a ett yttre
elf¨alt kopplas p˚
a kommer elektronmolnets masscentrum att f¨
orskjutas fr˚
an den positiva k¨arnan.
Beteckna f¨orskjutningen med x.
Kraften p˚
a k¨arnan:
Fk = Ze · Em
(3.107)
˚
A andra sidan kan vi betrakta den lilla fo
¨rskjutna sf¨aren med radien x. Laddningen i den ges av
f¨
orh˚
allandet mellan hela sf¨arens volym till den lilla sf¨arens volym g˚
anger hela sf¨arens laddning:
x3
Qe = Ze 3
R
(3.108)
d¨ar R ¨ar elektronmolnets (= atomens) radie.
Nu ges f¨altet p˚
a denna sf¨ars yta av Gauss lag:
1
x3
1
4πx EC = Qe = Ze 3
ε0
ε0
R
(3.109)
Fk = Ze · EC
(3.110)
2
Kraften ¨ar nu ocks˚
a
De tv˚
a krafterna ¨ar samma sak s˚
a de b¨
or vara lika, och vi f˚
ar:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.40
ZeEm
Zex
= ZeEC = Ze
4πε0R3
(3.111)
s˚
a att
3
Zex = 4πε0R Em
(3.112)
Eftersom
pm
=
Zex
(3.113)
pm
=
αEm
(3.114)
s˚
a har vi
3
pm = 4πε0R Em = αEm
(3.115)
och
α = 4πε0R
3
(3.116)
De v¨arden man f˚
ar f¨or R med denna modell st¨ammer relativt bra med experimentella v¨arden,
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.41
f¨
orutsatt att man v¨aljer l¨ampliga ¨amnen.
R blir av storleksordningen 1 ˚
Angstr¨
om, d.v.s. 0,1 nm eller 10−10 m. som ju ¨ar atomers typiska
storleksskala.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
3.42