1. No category

2. L¨
osning av elektrostatiska problem f¨
or ledare
2
∇ ϕ(r) =
1 ∂
ρ ∂ρ
+
1
∂
r 2 sin θ ∂θ
ρ
∂ϕ(r)
∂ρ
1 ∂ 2ϕ(r)
∂ 2ϕ(r)
+
ρ2 ∂ψ 2
∂z 2
(2.5)
[RMC]
i cylindriska koordinater (ρ, ψ, z), och
2
∇ ϕ(r) =
1 ∂
r 2 ∂r
r
2 ∂ϕ(r)
∂r
+
sin θ
∂ϕ(r)
∂θ
+
∂ 2ϕ(r)
r 2 sin2 θ ∂φ2
1
(2.6)
i sf¨
ariska koordinater (r, θ, φ),
?
?
?
Om ρ(r) = 0 i de flesta punkter r, d.v.s. vi har ledare och bara ett f˚
atal externa laddningsf¨ordelningar, s˚
a f˚
ar vi Laplaces ekvation
2
∇ ϕ(r) = 0
(2.7)
Tidigare best¨amde vi elf¨altet fr˚
an en laddningsf¨ordelning ρ(r) genom att integrera ett enda uttryck.
I dessa fall var f¨ordelningen ρ(r) best¨amd p˚
a f¨orhand.
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.1
2.1. Poissons ekvation
JJ J I II ×
2.3
Vi kommer nu att granska allm¨anna system av laddningsf¨ordelningar och ledare, och hur de ser ut
vid statisk j¨amvikt. Situationen kompliceras nu av att laddnigar induceras p˚
a de ledande ytorna, och
denna laddning ¨ar inte k¨and p˚
a f¨orhand.
[RMC, Jackson]
Dylika system beskrivs i det allm¨anna fallet av Poissons ekvation, vars l¨osning ϕ(r) allts˚
a ger oss
systemets elektrostatiska tillst˚
and.
Fr˚
an tidigare vet vi att
∇ · E(r)
=
ρ(r)
ε0
(2.1)
E(r)
=
−∇ϕ(r)
(2.2)
F¨or att l¨osa Laplaces ekvation (eller Poissons ekvation i allm¨anhet) f¨or ett system av N st ledare
beh¨over vi k¨anna till randvillkoren, d.v.s. definierade v¨arden p˚
a den s¨okta funktionen ϕ eller dess
derivator i givna punkter.
Om ϕ(r) ¨ar k¨and p˚
a ledarnas ytor, d.v.s. vi vet ϕAi , i = 1, 2, . . . , N , kallas randvillkoren f¨or
Dirichlet-randvillkor.
Detta ger oss genast
2
∇ ϕ(r) = −
ρ(r)
ε0
(2.3)
som kallas Poissons ekvation.
Om ist¨allet ∂ϕ/∂n (potentialens normalderivata, d.v.s. elf¨altet) ¨ar k¨and p˚
a ledarnas ytor, d.v.s. vi
vet (∂ϕ/∂n)Ai , i = 1, 2, . . . , N , kallas randvillkoren f¨or Neumann-randvillkor.
Med b˚
ade ϕSi och (∂ϕ/∂n)Ai specificerade kan en l¨osning inte garanteras existera. Detta f¨or att
Dirichlet- och Neumann-randvillkor kan leda till olika l¨osningar! Denna kombination av randvillkor
kallas Cauchy-randvillkor.
Laplace-operatorn ¨ar
2
2
2
2
∇ ϕ = ∂x ϕ + ∂y ϕ + ∂z ϕ
(2.4)
Om vi har bara en ledare och punkt-laddningar betecknar man ofta ledarens ytpotential med ϕ0.
i Cartesiska koordinater (x, y, z),
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.2
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.4
V¨alj nu ytan A i o¨andligheten, d¨ar potentialerna f¨osvinner:
Exempel 1: Tv˚a klot bredvid varandra.
I
Exempel 2: Tv˚a cylindrar bredvid varandra.
Exempel 3: Tv˚a plan bredvid varandra.
dAb
n · Φ(∇Φ) = 0
(2.9)
dV ∇ · (Φ(∇Φ)) = 0
(2.10)
A
Enligt Gauss’ teorem har vi d˚
a att
Exempel 4: En punktladdning ovanf¨or ett plan.
I
Exempel 5: En punktladdning ovanf¨or ett klot.
Exempel 6: En punktladdning utanf¨or en cylinder.
V
Expandera integranden:
O.s.v. !
2
?
?
2
∇ · (Φ(∇Φ)) = Φ∇ Φ + (∇Φ) = 0 + (∇Φ)
?
2
(2.11)
Vi har d˚
a
I
Vi kommer i de f¨oljande sektionerna att l¨osa Laplace-ekvationen explicit f¨or olika h¨ogsymmetri-fall.
Vi kommer ocks˚
a att se p˚
a en alternativ l¨attare teknik vid namn bildladdnings-metoden.
2
(2.12)
dV (∇Φ) = 0
V
Enda m¨ojligheten ¨ar att (∇Φ)2 = 0 ¨overallt inom V . Allts˚
a, ∇ϕ1 − ∇ϕ2 = 0, s˚
a att vi m˚
aste
ha ϕ2 = ϕ1 + C0, d¨ar C0 ¨ar en konstant. Om vi allts˚
a har randvillkoren givna s˚
a existerar det endast en unik l¨osning till Laplaces ekvation.
Ifall vi har ett Neumann-problem kan vi addera en godtycklig konstant till l¨osningen f¨or potentialen,
men elf¨altet ¨ar fortfarande unikt.
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.5
2.2. Laplace-ekvationens egenskaper
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.3. Laplace-ekvationen i en oberoende variabel
Superposition
L˚
at nu ϕ vara en funktion i endast en variabel.
L˚
at ϕi(r), i = 1, . . . , M vara l¨osningar till Laplaces ekvation. D˚
a g¨aller att
Laplace-ekvationen ger nu f¨or reaktangul¨ara koordinater
ϕ(r) =
M
X
2.7
d2ϕ
=0
dx2
(2.8)
Ciϕi(r)
i=1
d¨ar Ci ¨ar godtyckliga konstanter ocks˚
a ¨ar en l¨osning.
(2.13)
Detta kan genast integreras till ϕ(x) = ax + b.
Bevis: Direkt ins¨attning av ϕ(r) i Laplaces ekvation! ?
?
?
Unikhet
L˚
at ϕ1 och ϕ2 vara tv˚
a l¨osningar till Laplaces ekvation, s˚
a att de uppfyller samma randvillkor p˚
a
alla ledarnas ytor A1, A2, . . . i systemet. D˚
a g¨aller att ϕ1 och ϕ2 kan skilja sig med h¨ogst en
konstant term.
Bevis: Definiera Φ = ϕ1 − ϕ2. Eftersom b˚
ada l¨oser Laplaces ekvation s˚
a g¨aller ∇2Φ = 0.
Dessutom, antingen g¨aller Φ = 0 eller b
n · ∇Φ = 0 p˚
a ledarnas ytor.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.6
Ett annat fall ¨ar att ϕ ¨ar sf¨ariskt symmetrisk, d.v.s. ϕ = ϕ(r). Laplace-ekvationen i sf¨ariska
koordinater ger nu
1 d
r 2 dr
r
2 dϕ
dr
(2.14)
=0
Detta ger efter en integrering
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.8
r
2 dϕ
dr
alla v¨arden p˚
a r och θ m˚
aste de vara en konstant. Kalla denna k:
(2.15)
=a
s˚
a att
a
dϕ
= 2
dr
r
(2.16)
1 d
2 dZ
r
Z dr
dr
1 1 d
dQ
sin θ
sin θ Q dθ
dθ
Efter ytterligare en integrering:
ϕ(r) = −
a
+b
r
(2.17)
=
k
(2.21)
=
−k
(2.22)
Detta ¨ar Legendres ekvation.
Med en icketrivial matematisk betraktelse kan man visa att dessa differentialekvationer har fysikaliskt
meningsfulla l¨osningar endast ifall k = m(m + 1) d¨ar m ¨ar ett heltal.
Vi inf¨or beteckningen P (x) ≡ P (cos θ) = Q(θ).
L¨osningarna ¨ar s.k. Legendre-polynom, av vilka de fem f¨orsta ¨ar
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.9
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.11
2.4. Laplace-ekvationen i sf¨
ariska koordinater
[RMC, Jackson, Arfken]
P0(x)
=
1
(2.23)
P1(x)
=
x
(2.24)
Azimutal symmetri
P2(x)
=
Vi kommer i det f¨oljande att anta azimutal symmetri, d.v.s. att den potential som s¨okes ¨ar
symmetrisk runt z -axeln. D˚
a g¨aller att ϕ = ϕ(r, θ). Laplaces ekvation blir
P3(x)
=
P4(x)
=
1 ∂
r 2 ∂r
r
2 ∂ϕ
∂r
+
1
∂
r 2 sin θ ∂θ
sin θ
∂ϕ
∂θ
=0
(2.18)
Enklaste l¨osningsmetoden ¨ar att anta att ϕ kan skrivas som en produkt av en-variabels funktioner:
ϕ(r, θ) = Z(r)Q(θ). Ins¨attning ger
1
d
Q
r 2 dr
r
2 dZ
dr
+
1 1 d
+
sin θ Q dθ
1
d
Z
r 2 sin θ dθ
sin θ
dQ
dθ
r
2 dZ
dr
dQ
sin θ
dθ
(2.25)
(2.26)
(2.27)
d¨ar x = cos θ .
Man kan visa [Arfken] att i allm¨anhet ges Legendre-polynomet m av uttrycket
=0
(2.19)
Pm(x) =
Efter f¨
orenkling
1 d
Z dr
1
2
(3x − 1)
2
1
3
(5x − 3x)
2
1
4
2
(35x − 30x + 3)
8
1
2mm!
d
dx
m
2
m
(x − 1) ,
(2.28)
som kallas Rodrigues’ formel.
=0
(2.20)
?
?
?
F¨
orsta termen beror bara p˚
a r medan andra beror bara p˚
a θ . F¨or att dessa termer ska vara lika f¨or
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.10
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.12
D˚
a allts˚
a vinkeldelen ger villkoret k = m(m + 1), g¨aller f¨or den radiella delen:
1 d
Z dr
2 dZ
r
dr
(2.29)
= m(m + 1)
G¨
or Ansatzen Z(r) = r p, d¨ar p b¨or best¨ammas. Ins¨attning ger
ϕ(r, θ) =
∞
X
m
Amr Pm(cos θ) +
m=0
∞
X
Bnr
−(n+1)
Pn(cos θ),
SPH, (r, θ)
(2.36)
n=0
Exempel 1: m = 0. ϕ(r, θ) = A eller ϕ(r, θ) = A0r−1. Den senare l¨osningen ¨ar ju en
punktladdnings potential.
m(m + 1)
=
r
−p
d 2 p−1
r pr
dr
−p dr
Exempel 2: m = 1. ϕ(r, θ) = ArP1(cos θ) eller ϕ(r, θ) = A0r−2P1(cos θ). Den senare
l¨osningen ¨ar ju en dipols potential.
p+1
=
pr
=
p(p + 1)r
=
p(p + 1)
dr
Exempel 3: Oladdad ledande sf¨ar i ett konstant elf¨alt.
−p p
r
(2.30)
L¨
os detta:
2
p +p+
1
4
2
=
m +m+
1
4
(2.31)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
p+
1
2
2
p+
1 2
2
1
±(m + )
2
1
1
− ± (m + )
2
2
=
1
2
=
p
=
2.13
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.15
(2.32)
m+
(2.33)
(2.34)
Vi f˚
ar f¨
orutom triviall¨osningen p = m m¨ojligheten p = −(m + 1).
?
?
?
L˚
at elf¨altet vara i z -riktningen och sf¨arens mittpunkt i origo.
Problemets l¨osning ¨ar allts˚
a
m
ϕm(r, θ) = Ar Pm(cos θ) eller ϕm(r, θ) = Br
−(m+1)
Vi har samma potential ϕ(r = a, θ) ≡ ϕ0 i ledarens inre som p˚
a dess yta.
Pm(cos θ)
(2.35)
L¨osningen ¨ar helt allm¨ant
med m = 0, 1, 2, . . . och A, B konstanter.
Dessa funktioner kallas zon-ytfunktioner (zonal harmonics).
ϕ(r, θ)
=
Den mest allm¨anna l¨osningen till problemet ¨ar dock
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
A0 + B0r
−1
+A1r cos θ + B1r
JJ J I II ×
2.14
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
−2
cos θ
JJ J I II ×
2.16
1
1
2
2
−3
2
+ A2r (3 cos θ − 1) + B2r (3 cos θ − 1) + . . .
2
2
(2.37)
Totala laddningen:
Q
I o¨andligheten ˚
aterf˚
ar vi det urprungliga f¨altet, E(r = ∞) = E0b
z = −dϕ/dz , s˚
a ϕ(r = ∞) =
−E0z + C , med C en konstant.
ϕ(r = ∞, θ) = −E0z + C = −E0r cos θ + C ≡ A0 + A1r cos θ
Z
=
2π
0
π
dAσ =
0
2
=
3r ε0E02π
(2.38)
=
Vi m˚
aste d˚
a ha att An = 0, n ≥ 2 och A1 = −E0.
Z
3r
2
,θ=π
θ=0
=
D˚
a r = a g¨aller ϕ(r = a, θ) = konstant, s˚
a alla Bn = 0 f¨or n ≥ 2. Vi beh˚
aller B1 f¨or att ha
m¨
ojlighet att kompensera A1-termens θ -beroende vid r = a.
Z
π
Z
2π
0
Z
π
2
r dφdθ sin θσ
0
dθ sin θ cos θ
0
1
2
ε0E02π sin θ
2
(2.46)
(2.47)
0.
Utan azimutal symmetri
[Jackson, Arfken]
Vi har nu
Laplace-ekvationen ¨ar nu:
ϕ(r, θ) = A0 + B0r
−1
+ A1r cos θ + B1r
−2
cos θ,
r > a.
(2.39)
2
∇ ϕ(r) =
Men B0-termen st˚
ar f¨or en punktladdning i origo. Dock har vi nu en neutral sf¨ar, s˚
a B0 = 0:
ϕ(r, θ) = A0 + A1r cos θ + B1r
−2
cos θ,
r>a
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(2.40)
2.17
1 ∂
r 2 ∂r
r
2 ∂ϕ(r)
∂r
+
1
∂
r 2 sin θ ∂θ
sin θ
∂ϕ(r)
∂θ
+
∂ 2ϕ(r)
r 2 sin θ ∂φ2
1
2
(2.48)
Vi f¨ors¨oker igen med en produkt av en-variabels-funktioner: ϕ = Z(r)Q(θ)U (φ).
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.19
Vi f˚
ar efter ins¨attning och multiplikation med sin2 θ/(Z(r)Q(θ)U (φ):
D˚
a ϕ(r = a, θ) ≡ ϕ0:
−2
A1a cos θ + B1a
3
(2.41)
cos θ = 0
3
s˚
a att B1 = −a A1 = E0a .
2
sin θ
1 d
Z dr
r
2 dZ
dr
+
1
d
Q sin θ dθ
sin θ
dQ
dθ
+
1 d2 U
=0
U dφ2
(2.49)
Den sista termen beror enbart p˚
a φ, medan de tv˚
a f¨orsta beror p˚
a r och θ . Inf¨or separationskonstanten m2:
Slutliga uttrycket ¨ar
3
ϕ(r, θ) = ϕ0 − E0r cos θ + a E0r
−2
cos θ
(2.42)
Fr˚
an detta kan vi best¨amma elf¨altet och sf¨arens ytladdningsf¨ordelning:
Er
=
−
∂ϕ
= E0
∂r
1+2
1 ∂ϕ
= −E0
r ∂θ
a3
r3
!
a3
r3
cos θ,
!
Eθ
=
−
σ
=
ε0Er (r = a) = 3ε0E0 cos θ
1−
sin θ,
r>a
r>a
(2.43)
1 d2U
U dφ2
1 d
1
d
dQ
2
2 dZ
sin θ
r
+
sin θ
Z dr
dr
Q sin θ dθ
dθ
−m
=
m
2
2
(2.50)
(2.51)
F¨orsta ekvationens l¨osning ¨ar
U (φ) = e
(2.44)
(2.45)
=
±imφ
(2.52)
H¨ar m˚
aste vi kr¨ava att m ¨ar ett heltal.
Andra ekvationen blir:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.18
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.20
1 d
Z dr
r
2 dZ
dr
+
1
d
Q sin θ dθ
sin θ
dQ
dθ
−m
2
1
sin2 θ
=0
(2.53)
Negativa m kan relateras till positiva v¨arden:
Inf¨
or nu en ny separationskonstant, k:
−m
Pl
1 d
2 dZ
r
Z dr
dr
1
d
dQ
1
2
sin θ
−m
Q sin θ dθ
dθ
sin2 θ
=
k
(2.54)
=
−k
(2.55)
= (−1)
− m)! m
P (x)
(l + m)! l
m (l
(2.63)
Den mest allm¨anna l¨osningen till problemet ¨ar nu:
ϕ(r, θ, φ) =
∞ X
l
X
l
−l−1
m
imφ
Almr + Blmr
Pl (x)e ,
SPH, (r, θ, φ)
(2.64)
l=0 m=−l
I den andra ekvationen k¨anner vi igen Legendres ekvation, men nu finns det en extra term
medplockad. Enligt de tidigare resultaten kan vi genast identifiera k med l(l + 1), d¨ar l ¨ar ett
heltal (tidigare: m):
H¨ar st˚
ar SP H f¨or sf¨arisk symmetriskt system.
.
1 d
2 dZ
r
Z dr
dr
d
dQ
1
1
2
sin θ
−m
Q sin θ dθ
dθ
sin2 θ
=
l(l + 1)
(2.56)
=
−l(l + 1)
(2.57)
JJ J I II ×
2.21
I den f¨
orsta ekvationen kan vi f¨ors¨oka med Z(r) = r p:
−p
L¨
osningarna ¨ar
ϕ(r, θ, φ) =
∞ X
l
X
0
l
0
−l−1
Almr + Blmr
Ylm(θ, φ),
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(2.58)
2.23
Klotytfunktionerna ¨ar
Ylm(θ, φ) =
l
(2.65)
d¨ar Ylm(θ, φ) ¨ar klotytfunktionerna (spherical harmonics).
d 2 p−1
r pr
= . . . = p(p + 1) = l(l + 1)
dr
Z(r) = r ,
SPH, (r, θ, φ)
l=0 m=−l
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
r
Ofta reducerar man de tv˚
a sista faktorerna till en enda, och skriver l¨osningen som
eller Z(r) = r
−l−1
(2.59)
r
2l + 1
4π
s
(l − m)! m
imφ
P (cos θ)e
(l + m)! l
(2.66)
Man kan visa att
Ekvationen i θ ¨ar:
m
1
d
Q sin θ dθ
dQ
sin θ
dθ
−m
1
2
sin2 θ
∗
(2.67)
Yl,−m(θ, φ) = (−1) Ylm(θ, φ),
= −l(l + 1)
Detta ¨ar ekvationen f¨or de associerade Legendre-polynomen
Plm(cos θ)
(2.60)
≡
Plm(x).
d¨ar
∗
betyder komplex-konjugering.
N˚
agra klotytfunktioner:
De associerade Legendre-polynomen ¨ar relaterade till de vanliga polynomen Pl (x) via ekvationen
m
2 m/2
Pl (x) = (1 − x )
m
d
Pl (x)
dxm
=
Y1,−1(θ, φ)
=
Y10(θ, φ)
=
(2.61)
F¨
or indexen m g¨aller
m = −l, . . . , 0, . . . , l
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Y00(θ, φ)
(2.62)
JJ J I II ×
2.22
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
1
√
4π
r
3
−iφ
sin θe
8π
r
3
−
cos θ
4π
(2.68)
(2.69)
(2.70)
JJ J I II ×
2.24
Y11(θ, φ)
r
−
=
3
iφ
sin θe
8π
(2.71)
L¨osningarna ¨ar
R(ρ)
Ψ(ψ)
=
=
−ν
ν
(2.76)
aρ + bρ
0
0
A sin(νψ) + B cos(νψ) ≡ A sin(νψ + B)
(2.77)
Vi m˚
aste nu kr¨ava att ν ¨ar ett positivt eller negativt heltal f¨or att potentialen m˚
aste upprepa sig
med rotationsvinkeln 2π .
Om ν = 0 f˚
as l¨osningarna
R(ρ)
=
a0 + b0 ln ρ
(2.78)
Ψ(ψ)
=
A0 + B0ψ
(2.79)
Vi m˚
aste dock s¨atta B0 = 0 s˚
a att Ψ(0) = Ψ(2π) ! Konstanten A0 kan sedan inbakas i uttrycket
f¨or R.
Den mest allm¨anna l¨osningen ¨ar nu
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.25
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.27
2.5. Cylindrisk symmetri
ϕ(ρ, ψ)
Utan z-beroende
a0 + b0 ln ρ +
∞
X
n
anρ sin(nψ + cn)
n=1
[Jackson]
+
Ifall vi har cylindrisk symmetri och inget beroende p˚
a z , blir Laplace-ekvationen
1 ∂
ρ ∂ρ
ρ
∂ϕ
∂ρ
+
1 ∂ 2ϕ
=0
ρ2 ∂ψ 2
ρ d
R dρ
ρ
dR
dρ
+
(2.72)
1 d2Ψ
=0
Ψ dψ 2
ρ
dR
dρ
1 d2Ψ
Ψ dψ 2
ν
=
−ν
−n
sin(nψ + dn),
CYL, (ρ, ψ)
(2.80)
Betrakta de hopfogade ledande planen i figuren.
Problemet ¨ar 2-dimensionellt, s˚
a l˚
at oss anv¨anda
pol¨ara koordinater ρ, ψ . Detta motsvarar cylindriska koordinater med inget z -beroende.
Ifall β < π ¨ar det fr˚
aga om en inbuktning, ifall
β > π om ett h¨orn, β ≈ 2π skarpt h¨orn.
Potentialen vid planens yta ¨ar φ0 (detta ¨ar ett
randvillkor).
(2.73)
2
=
bnρ
Exempel :
Vi f˚
ar
ρ d
R dρ
∞
X
n=1
F¨
ors¨
ok med den separabla ansatzen ϕ(ρ, ψ) = R(ρ)Ψ(ψ):
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
=
(2.74)
F¨orsta randvillkoret f¨or v˚
art specifika problem:
2
(2.75)
JJ J I II ×
2.26
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.28
ϕ0 = ϕ(ρ, ψ = 0) = a0 +
∞
X
n
anρ sin cn
(2.81)
n=1
F¨
or att undvika singulariteter i origo ρ = 0: bn = 0, f¨or n ≥ 0. Dessutom m˚
aste ϕ0 vara
oberoende av ρ, s˚
a vi m˚
aste ha cn = 0. Uppenbarligen g¨aller a0 = ϕ0.
Andra randvillkoret:
ϕ0 = ϕ(ρ, ψ = β) = a0 +
∞
X
n
anρ sin(nβ)
(2.82)
β = π/4
:
σ∝ρ
β = π/2
:
σ∝ρ
β=π
:
σ∝1
β = 3π/2
:
σ∝ρ
β = 2π
:
σ∝ρ
3
1
−1/3
−1/2
n=1
Igen, detta ska g¨alla f¨or godtyckligt v¨arde p˚
a ρ, s˚
a vi m˚
aste ha sin(nβ) = 0. Detta ger nβ = mπ
eller n = mπ/β d¨ar m ¨ar ett heltal.
Fr˚
an detta ser vi att ju skarpare h¨orn (mindre vinkel) desto mindre laddningst¨athet i h¨ornet !
Det korrekta uttrycket f¨or potentialen ¨ar allts˚
a
ϕ(ρ, ψ) = ϕ0 +
∞
X
amρ
mπ/β
Vinkeln β = π motsvarar allts˚
a en plan yta, β = 3π/2 ett vinkelr¨att h¨orn, och β = 2π kanten
av ett o¨andligt halvplan.
sin(mπψ/β),
m = 1, 2, 3, . . .
(2.83)
F¨or h¨orn med en ¨oppningsvinkel β > π blir laddningst¨atheten och elf¨altet ρ−f , med f > 0. D˚
a
man l˚
ater ρ → 0, d.v.s. d˚
a man n¨armar sig h¨ornet, blir elf¨altet allt starkare.
m=1
I tre dimensioner kan man g¨ora en motsvarande h¨arledning ocks˚
a f¨or en konisk spets (se Jackson
kapitel 3.4) och f˚
ar d˚
a ett kvalitativt liknande resultat.
Men fortfarande ¨ar koefficienterna am ok¨anda !
Elf¨altets komponenter ¨ar:
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Eρ
=
−
Eψ
=
−
∞
X
∂ϕ
mπ
mπ/β−1
=
amρ
sin(mπψ/β)
∂ρ
β
m=1
∞
X mπ
1 ∂ϕ
mπ/β−1
=−
amρ
cos(mπψ/β)
ρ ∂ψ
β
m=1
2.29
(2.84)
(2.85)
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.31
Det h¨ar kan man nyttja till sin f¨ordel f¨or att skydda sig mot ˚
asknedslag: f¨or att skapa goda
f¨oruts¨attningar i en viss punkt f¨or en urladdning mellan ˚
askmoln och mark ¨ar det bara att placera dit
en mycket spetsig ledande st˚
ang. Kring ˚
askledarens spets kommer ¨aven en svag laddningsf¨ordelning
p˚
a marken att ge upphov till ett starkt f¨alt. Kring den h¨ar spetsen ¨ar det nu l¨attare f¨or ˚
askmolnen
att ¨overvinna luftens gr¨ansv¨arde f¨or elektriskt genomslag/urladdning.
Med z-beroende
Behandlas inte. L¨osningarna f¨or ρ-beroendet blir Bessel-funktioner.
Ytladdningst¨atheten ¨ar (Gauss lag, jfr. “pillerburken”).
σ = ε0Eψ (ρ, ψ = 0) = −ε0
∞
πX
mπ/β−1
amρ
β m=1
(2.86)
F¨
or sm˚
a ρ kan vi sk¨ara av serien efter f¨orsta termen och f˚
ar
π
π/β−1
σ ≈ −ε0 a1ρ
β
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(2.87)
JJ J I II ×
2.30
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.32
2.6. Bildladdningsmetoden
2.7. Punktvisa bildladdningar
Exempel : Punktladdning q utanf¨or ett ledande o¨andligt plan som sammanfaller med yz -planet.
I vissa situationer kommer man l¨attare undan genom att inte utg˚
a fr˚
an Laplace-ekvationen.
L˚
at punktladdningens position vara r1 = (x1, y1, z1) = (d, 0, 0).
Vi behandlar nu en grundl¨aggande metod som handlar om att bygga upp en l¨osning med hj¨alp av
enkla laddningsf¨ordelningar, s˚
a kallade bild-laddningar.
Potentialen utanf¨or ett system av (o)laddade ledare och enkla laddningsf¨ordelningar kan skrivas som
ϕ(r) =
X
i
1 X
ϕi(r) +
4πε0 j
Z
dA0j σj (r0j )
|r − r0j |
Punktladdningen q inducerar en laddningsf¨ordelning σ(y, z) p˚
a ledarens plan.
Totala potentialen utanf¨or ledaren ¨ar d˚
a en
summa av punktladdningens potential och
den fr˚
an den inducerade laddningen.
Ist¨allet f¨or att f¨ors¨oka r¨akna fram σ(y, z) tar
vi fasta p˚
a faktumet att ledarens yta m˚
aste
ha samma potential ¨overallt.
(2.88)
Termerna i den f¨orsta summeringen st˚
ar f¨or enkla laddningsf¨ordelningar (punkter, linjer, . . . ).
Termerna i den andra summeringen beaktar de inducerade laddningsf¨ordelningarna p˚
a ledarnas ytor,
och m˚
aste allts˚
a erh˚
allas som en explicit integrering ¨over dessa f¨ordelningar.
Vi b¨
or komma ih˚
ag att ledarnas ytor ¨ar ekvipotentialytor, s˚
a att ϕi p˚
a ledarnas ytor ¨ar k¨anda.
Inom bildladdningsmetoden inf¨or man fiktiva punkt- och linjeladdningar placerade s˚
a att dessa
ger uppphov till de k¨anda ytpotentialerna. Detta betyder, att den andra summeringen i ekv. (??)
ers¨atts med en summa som liknar den f¨orsta.
Totalpotentialen ¨ar
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.33
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.35
Platserna f¨or de fiktiva laddningarna m˚
aste vara inom ledarna, och de ¨ar allts˚
a bara ett hj¨alpmedel
f¨
or att r¨akna fram totalpotentialen !
ϕ(r)
Om bildladdningar f¨orekommer utanf¨or ledarna, i samma region d¨ar potentialen ska best¨ammas,
l¨
oser man ju inte l¨angre Laplaces ekvation utans Poissons ekvation — dessutom med fel laddningsf¨
ordelning (bildladdningen ¨ar ju inte verklig) !
=
=
=
ϕ1(r) + ϕ2(r)
q
1
+ ϕ2 (r )
4πε0 |r − r1|
q
+ ϕ2(r)
p
4πε0 (x − d)2 + y 2 + z 2
(2.89)
d¨ar φ2 ¨ar potentialen f¨or ytan, som f¨or stunden ¨ar ok¨and.
P˚
a ledarens yta:
ϕ(0, y, z) =
4πε0
Ett naturligt val f¨or bildladdningen ¨ar nu
p
ϕ2(x, y, z) =
D¨arav metodens namn !
q
d2 + y 2 + z 2
4πε0
p
+ ϕ2(0, y, z) ≡ 0
−q
(2.90)
(2.91)
(x + d)2 + y 2 + z 2
Totala potentialen ¨ar nu
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.34
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.36
ϕ(x, y, z) =
4πε0
p
q
(x − d)2 + y 2 + z 2
−
4πε0
p
q
(x + d)2 + y 2 + z 2
,
x≥0
2
q2 2
2
(a + b − 2ab cos θ)
q 02
(2.96)
q2 2
2
(a + b )
q 02
(2.97)
q2 2
2
(a + b − 2ab)
q 02
(2.98)
Denna ekvation skall g¨alla f¨or alla v¨arden p˚
a θ.
Den inducerade ytladdningsf¨ordelningen ¨ar
σ(x, y, z) = ε0Ex(x = 0) = −ε0
2
a + d − 2ad cos θ =
(2.92)
∂ϕ qd
=−
∂x x=0
2π(d2 + y 2 + z 2)3/2
(2.93)
Om θ = π/2:
Absolutbeloppet ¨ar maximalt d˚
a y = z = 0, d˚
a g¨aller σ = −q/(2πd2).
2
2
a +d =
Kraften p˚
a punktladdningen:
Om θ = 0:
Fq
=
−q (∇ϕ2) 2
1
q
(x
+
d,
y,
z)
−
4πε0 ((x + d)2 + y 2 + z 2)3/2
x=d,y=0,z=0
2
=
=
1
q2
(2d, 0, 0) −
4πε0 (2d)3
2
a + d − 2ad =
x=d,y=0,z=0
(2.94)
Ok¨anda ¨ar b och q 0 ! Nu har vi 2 ekvationer och 2 obekanta, s˚
a vi kan s¨oka en unik l¨osning f¨or
dessa.
Subtrahera den senare ekvationen fr˚
an den f¨orra:
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.37
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Exempel : Punktladdning q utanf¨or en ledande sf¨ar med mittpunkten i origo.
2.39
q2
b
q 02
(2.99)
q2 2
q4 2
2
b = 02 (a + b )
04
q
q
(2.100)
d=
Ins¨attning i ekv. (??) ger
L˚
at punktladdningens position vara r1 = db
r.
Placera nu en bildladdning q 0 inuti sf¨aren, i
punkten r2 = bb
r.
2
a +
q4
q2
a2
a2
−
(1
+
)
+
=0
q 04
q 02
b2
b2
Potentialen i en punkt r ¨ar nu
ϕ(r, θ, φ)
=
=
=⇒
q2
q 02
q
1
q0
1
+
4πε0 |r1 − r|
4πε0 |r2 − r|
q
1
q0
1
+
√
√
4πε0 r 2 + d2 − 2rd cos θ
4πε0 r 2 + b2 − 2rb cos θ
(2.95)
=
=

1
1 +
2

1
1 +
2

a2
a4
a2
1 + 2 2 + 4 − 4 2
b
b
b

s
a2
a2
± (1 − 2 )2
2
b
b
a2
±
b2
s
(2.102)
(2.103)
L¨osningarna ¨ar q 2/q 02 = 1 eller q 2/q 02 = a2/b2. Den senare ger q/q 0 = ±a/b av vilkan vi v¨aljer
q/q 0 = −a/b.
Om vi har sf¨aren vid noll potential: ϕ(r = a, θ, φ) = 0:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(2.101)
JJ J I II ×
2.38
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.40
fr˚
an vilket vi f˚
ar q 00.
Vi har nu
Kraften p˚
a punktladdningen ? Avst˚
andet mellan laddningarna ¨ar
d
=
q
q0
=
q2
b
q 02
a
−
b
h ≡ |d − b| = |d −
(2.104)
(2.105)
d2 − a2
a2
|=
d
d
(2.111)
s˚
a att
Fq = |q
Detta ger
q0 1
a q2
d2
q2
ad
|
=
=
4πε0 h2
d 4πε0 (d2 − a2)2
4πε0 (d2 − a2)2
(2.112)
Sf¨arens ytladdningst¨athet ¨ar
σ(θ, φ) = −ε0
2
b
=
a
d
(2.106)
0
=
a
− q
d
(2.107)
q
∂ϕ ∂r r=a
(2.113)
Sf¨arens totala laddning ges av Gauss’ lag till¨ampad p˚
a sf¨arens yta:
0
Q=q +q
00
(2.114)
0
Om vi betecknar den verkliga punktladdningens position med r = r1 = db
r s˚
a blir potentialen
utanf¨
or sf¨aren
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
ϕ(r, θ, φ)
1
1
q
aq
−
4πε0 |r0 − r|
4πε0 d| a2b
r
d − r|
"
#
a
q
1
−
2
4πε0 |r − r0|
d| ad b
r − r|


1
a
q


−
2
4πε0 |r − r0|
d|r − a2 r0|
=
=
=
2.41
Obs:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.43
JJ J I II ×
2.44
• Jordad sf¨ar: ϕ(r = a) = 0, q 00 = 0.
• Ickeladdad sf¨ar: q 00 = −q 0 = aq/d.
(2.108)
d
Om vi ¨
onskar att sf¨aren befinner sig p˚
a en potential ϕ0 m˚
aste vi addera ytterligare en bildladdning
q 00, denna g˚
ang i sf¨arens mitt:
ϕ(r, θ, φ)
=
1
4πε0
(2.109)
= ϕ0
(2.110)
q
q0
q 00
+
+
r1
r2
r
Vi har nu att
ϕ(r = a, θ, φ)
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
=
1
4πε0
0+
q 00
a
JJ J I II ×
2.42
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Med M < 1 f˚
as en cylindrisk ekvipotentialyta som innest¨anger den h¨ogra linjeladdningen. 2.8. Linjeformade bildladdningar
Exempel : Laddad ledande cylinder utanf¨or ett ledande plan.
L˚
at ledaren ligga i yz -planet. L˚
at linjeladdningen vara l¨angs med z -axeln, och ha
koordinaterna x = d, y = 0.
Uppenbarligen har vi inget z -beroende,
f¨orutsatt att planet och ledningen ¨ar o¨andligt
l˚
anga ⇒ inga kant-effekter!
Om potentialen p˚
a planet ¨ar noll, b¨or vi ha en bildladdning i platsen x = −d, y = 0, orienterad
l¨angs med z -axeln.
Potentialen i en punkt (x, y) ¨ar
ϕ(x, y) = −
λ
λ
r1
λ
ln r1 +
ln r2 = −
ln
2πε0
2πε0
2πε0
r2
(2.115)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.45
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.47
2.9. Greens metod
Potentialen ¨ar noll p˚
a planet, d.v.s. f¨or r1 = r2.
Helt allm¨ant:
[Jackson, Arfken]
r1
2
=
2
(x − d) + y
=
(x + d) + y
r2
2
2
(2.116)
2
2
(2.117)
Greens metoder h¨
or inte till k¨
arnmaterialet p˚
a denna kurs, men de behandlas kort f¨
or att de
annars kan anses vara en del av en fysikers allm¨
anbildning.
2.9.1. Greens I och II teorem
Konstant potential, som inte ¨ar noll, f˚
as i punkterna (x, y) d¨ar r1/r2 ¨ar konstant, s¨ag M .
Gauss’ teorem s¨ager ju att
r2
x2 − 2xd + d2 + y 2
2
M = 12 = 2
r2
x + 2xd + d2 + y 2
Efter f¨
orenkling f˚
as
M2 + 1
x+d 2
M −1
!2
V
dV ∇ · F =
I
A
dA · F ≡
I
A
dAb
n·F
(2.121)
L˚
at nu vektorf¨altet F vara givet som produkten av en skal¨arfunktion med gradienten av en annan
skal¨arfunktion:
2
+y =
d
2M
|M 2 − 1|
2
(2.119)
som ¨ar ekvationen f¨or en cylinder med mittpunkten (−d(M 2 + 1)/(M 2 − 1), 0) och radien
Rc = d
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Z
(2.118)
2M
|M 2 − 1|
Vi har nu
(2.120)
JJ J I II ×
(2.122)
F = φ∇ψ
2.46
∇·F
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
=
2
∇ · (φ∇ψ) = φ∇ ψ + ∇φ · ∇ψ
JJ J I II ×
(2.123)
2.48
b
n·F
=
φb
n · ∇ψ ≡ φ
∂ψ
∂n
(2.124)
dV
V
I
∂ψ
2
φ∇ ψ + ∇φ · ∇ψ =
dAφ
∂n
A
(2.125)
ϕ(r) =
Skriver vi ist¨allet
(2.126)
F = ψ∇φ
dV
V
I
∂φ
2
ψ∇ φ + ∇ψ · ∇φ =
dAψ
∂n
A
dV
V
A
ϕ
∂ 0ϕ
∂ 0G
−
G
∂n0
∂n0
(2.132)
I
∂ψ
∂φ
2
2
φ∇ ψ − ψ∇ φ =
dA φ
−ψ
∂n
∂n
A
(2.128)
Z
0
V
0
0
dV ρ(r )G(r, r ) −
1
4π
I
dA
A
0
0
ϕ(r )
0
0 ∂ 0G(r, r0)
0 ∂ ϕ(r )
−
G(
r
,
r
)
∂n0
∂n0
(2.133)
Denna ekvation ger allts˚
a inte en fysikaliskt vettig l¨osning till elektrostatiska randv¨ardesproblem, f¨or
den inneh˚
aller b˚
ade Dirichlet- och Neumann-randvillkoren.
Om vi har ett Dirichlet-problem ¨ar ϕ(r0) k¨and p˚
a randytan, medan ∂ϕ/∂n ¨ar ok¨and. F¨or att g¨ora
oss av med detta uttryck s¨oker vi en s.k. Greens funktion GD (r, r0) = 0 d˚
a r0 ¨ar p˚
a randytan A
! Potentialen ges d˚
a genast av uttrycket
ϕ(r) =
Detta ¨ar Greens II teorem, som ibland ocks˚
a kallas bara Greens teorem.
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
1
4πε0
(2.127)
Subtrahera denna fr˚
an den tidigare:
Z
0
Men iden ¨ar nu att denna form m¨ojligg¨or att s¨oka funktioner G som f˚
ar n˚
andera randvillkorstermen
att f¨orsvinna, och d¨armed leder till en fysikaliskt rimlig l¨osning f¨or den andra typen av randvillkor!
Detta ¨ar grundideen i den s.k. Greens-funktion-metoden.
f˚
ar vi
Z
dA
Detta ger med att utf¨ora integralen ¨over Diracs delta-funktion:
Ins¨attning i Gauss’ teorem ger Greens I teorem
Z
I
=
2.49
1
4πε0
Z
0
V
0
0
dV ρ(r )GD (r, r ) −
1
4π
I
0
0
dA ϕ(r )
A
∂ 0GD (r, r0)
∂n0
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(2.134)
2.51
.
Om vi ist¨allet har ett Neumann-problem ¨ar ∂ 0ϕ(r0)/∂n0 k¨and p˚
a randytan. Vi s¨oker en Greens
funktion GN (r, r0) f¨or vilken g¨aller att ∂ 0GN (r, r0)/∂n0 = 0 d˚
a r0 ¨ar p˚
a randytan A.
L˚
at nu φ = ϕ(r) (den elektrostatiska potentialen) och ψ = G(r, r0), d¨ar funktionen G uppfyller
f¨
oljande villkor:
Potentialen ges d˚
a av uttrycket
02
0
∇ G = −4πδ(r − r )
(2.129)
ϕ(r) =
1
4πε0
Z
0
0
0
dV ρ(r )GN (r, r ) +
V
1
4π
I
0
0
dA GN (r, r )
A
∂ 0ϕ(r0)
∂n0
(2.135)
Med detta villkor kan G skrivas som summan
1
0
G(r, r ) =
+ F (r, r ),
|r − r0|
0
(2.130)
Exempel 1: En Greens funktion f¨or en punktladdning utanf¨or ledande sf¨ar. Antag potentialen p˚a
d¨ar F satisifierar Laplaces ekvation:
ytan ¨ar k¨and, s˚
a att vi har ett Dirichlet-problem. Vi ska d˚
a ha G(r, r0) = 0 f¨or r0 p˚
a ledarens yta.
02
0
∇ F (r, r ) = 0.
(2.131)
dV
V
0
02
02
ϕ∇ G − G∇ ϕ
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
L˚
at punktladdningen vara i r0, och sf¨arens radie vara a.
Vi l¨oste detta problem tidigare, se ekv. (??). Vi kan nu f¨ors¨oka v¨alja den erh˚
allna potentialen (med
laddningsfaktorn bortdividerad) som Greens funktion:
Greens II teorem ger nu
Z
Fr˚
an den f¨orsta termen i dessa uttryck ser vi att Greens funktion kan v¨aljas s˚
a att den motsvarar en
potential, bara laddningsf¨ordelningen har dividerats bort !
=
Z
dV
V
0
0
−ϕ4πδ(r − r ) + G
ρ(r0)
ε0
JJ J I II ×
0
G(r, r ) =
2.50
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
1
a
1
a
−
≡
−
2
0|
a2 0
0
|r − r0|
|
r
−
r
d|r − d2 r |
r |r − ra02 r0|
JJ J I II ×
(2.136)
2.52
H¨ar g¨aller att r0 ¨ar platsen f¨or den reella punktladdningen.
ϕ(r)
0
Vi observerar nu att r = a ger G = 0, som det b¨or vara f¨or det h¨ar Dirichlet-problemet.
−
=
Z
1
+
4π
Med sf¨ariska kordinater f˚
as
0
Z
1
4π
G(r, r ) = p
1
r2
+
r 02
−
2rr 0
cos γ
−q
1
r 2 r 02
a2
(2.137)
+ a2 − 2rr 0 cos γ
ϕ(r) =
ϕ0
4π
−
Z
2π
Z
0
dφ
0
2π
0
dφ
0
2π
0
dφ
0
π/2
Z
Z
0
π/2
0
2∂
0
dθ sin θ ϕ0a
0
0
π
0
2∂
0
dθ sin θ ϕ0a
π/2
0
dθ sin θ +
0
Z
2π
0
dφ
0
Z
π
0
GD (r, r0)
∂n0
GD (r, r0)
∂n0
0
dθ sin θ
π/2
0
!
∂ 0G ∂n0 r0=a
=
=
=
∂ 0G − 0 ∂r r0=a
r 2 − a2
2
2
a(r + a − 2ar cos γ)3/2
(2.138)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2π
Z
0
dφ
0
π/2
0
0
dθ sin θ +
0
Z
2π
0
dφ
0
Z
π
0
dθ sin θ
π/2
0
!
(r 2
0
GD (r, r0)
∂n0
(2.141)
a(a2 − r 2)
+ a2 − 2ar cos γ)3/2
(2.142)
Med u0 = cos θ 0, du = − sin θ 0:
2
r
a − r cos γ
a − r cos γ
− 2
2
2
3/2
(r + a − 2ar cos γ)
(r + a2 − 2ar cos γ)3/2
−
−
Z
2∂
a
Normalderivatan p˚
a ytan, som separerar den externa volymen (d¨ar vi vill veta potentialen!) fr˚
an
ledarens inre, ¨ar
ϕ0
ϕ(r) =
4π
(2.140)
2.53
ϕ(r) =
ϕ0
4π
Z
2π
Z
0
dφ
0
0
0
du −
1
Z
2π
Z
0
dφ
0
−1
du
0
0
(r 2
a(a2 − r 2)
+ a2 − 2ar cos γ)3/2
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(2.143)
2.55
Exempel : En ledare best˚aende av tv˚a hemisf¨arer isolerade fr˚an varandra.
ϕ(r) =
ϕ0
4π
Z
2π
0
dφ
0
Dirichlet-problemets l¨osning med Greens metod ger oss ekvationen
ϕ0
4π
Z
2π
0
dφ
0
ϕ(r) =
ϕ(r) =
1
4πε0
0
V
dV × 0 −
1
4π
A
0
0
dA ϕ(r )
0
0
∂ G D (r , r )
∂n0
(2.139)
0
Z
2π
Z
0
dφ
0
0
du
0
−1
(r 2
a(r 2 − a2)
+ a2 − 2ar cos γ)3/2
(2.144)
Z
1
0
ϕ0
2
0
du −
Z
1
0
Z
2π
0
dφ
0
0
du −
Z
Z
0
du
−1
0
du
−1
0
0
a(z 2 − a2)
(z 2 + a2 − 2az cos θ 0)3/2
a(z 2 − a2)
(z 2 + a2 − 2azu0)3/2
(2.145)
(2.146)
Slutsvaret ska bli
ϕ(r) = ϕ0
Ingen laddning utanf¨or ledaren!
z 2 − a2
1− √
z z 2 + a2
!
(2.147)
Obs: F¨or z = a f˚
as ϕ = ϕ0 som v¨antat. Med Greens funktion vald som i f¨oreg˚
aende exempel:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
0
du −
Specialfall: r ¨ar p˚
a den positiva z -axeln. D˚
a g¨aller cos γ ≡ b
r0 · b
r =b
r0 · b
z = cos θ 0 och r = z .
ϕ(r) =
I
1
Denna integral ¨ar inte enkel att utf¨ora, eftersom γ beror p˚
a alla vinklar φ, φ0, θ, θ 0.
L˚
at potentialen f¨or den ¨ovre halvsf¨aren vara
+ϕ0 och −ϕ0 f¨or den undre.
Z
Z
JJ J I II ×
2.54
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.56
2.10. L¨
osning av Poissons ekvation
0
ϕ (r ) =
Poissons ekvation ¨ar ju
1
4πε0
Z
dV
0 ρext (r
V
0
)
|r − r0|
(2.155)
ar vi med Laplaces ekvation:
Den andra l¨osningen ϕ00(r) f˚
2
∇ ϕ(r) = −
ρ(r)
ε0
2
00
∇ ϕ (r) = 0
(2.148)
(2.156)
Vi har tv˚
a m¨ojliga situationer.
Utifr˚
an ϕ00(r) kan vi ju best¨amma den inducerade laddningen p˚
a ledarnas ytor.
Situation 1
Den totala l¨osningen ¨ar nu
Laddningst¨atheten ρ(r) ger den fullst¨andiga f¨ordelningen i volymen av intresse, d.v.s. givna
laddningar och inducerade laddningar:
(2.149)
ρ(r) = ρext(r) + ρind(r)
0
00
(2.157)
ϕ(r) = ϕ (r) + ϕ (r)
Obs: Randvillkoren, t.ex. i ett Dirichlet-problem, ¨ar nu givna f¨or ϕAi = ϕ0A + ϕ00A , s˚
a randvillkoren
i
i
f¨or ϕ00A (l¨osningen fr˚
an Laplace-ekvationen) m˚
aste modifieras d¨arefter!
i
L¨
osningen till Poissons ekvation ¨ar d˚
a
ϕ(r) =
1
4πε0
Z
dV
0
V
ρ(r0)
|r − r0|
(2.150)
Exempel :
Antag vi har en radiell symmetrisk laddningsf¨ordelning, ρ = ρ(r). Vi har nu Poissons ekvation i
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2.57
den enkla formen
1 d
r 2 dr
r
2 dϕ
dr
=−
1
ρ(r)
ε0
(2.151)
Detta ger
ϕ(r) = −
1
ε0
Z
r
dr
r0
0
1
r 02
Z
r0
0
r0
00
00
dr ρ(r )r
002
(2.152)
Situation 2
I det andra faller inneh˚
aller ρ(r) inte inducerad laddning, utan enbart den externa laddningen,
d.v.s. den som vi har kvar efter att alla ledare (inneh˚
allande inducerad laddning) har plockats bort:
(2.153)
ρ(r) = ρext(r)
Vi s¨
oker nu tv˚
a l¨osningar. Den f¨orsta l¨osningen ϕ0(r) ges av Poissons ekvation med laddningst¨atheten
ρext(r). Vi l¨oser allts˚
a ekvationen
2
0
∇ ϕ (r) = −
ρext(r)
ε0
(2.154)
eller utf¨
or integralen
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.58
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
2.59