1. No category

Konsultarbete
Matte D
Linn Lundberg Mb10b
Upptäck sambandet
Uppgift 1
Frågeställning:
En kvadrat i första kvadranten delas i två områden A och B av grafen till
potensfunktionen
y = xp, där p > 0
a) Beräkna förhållandet mellan areorna av områdena A och B för några olika värden
på p, t ex p = 1/2, 1, 3/2, 2, 3
b) Formulera och bevisa en sats om hur areaförhållandet beror av p.
c) Gäller satsen om kvadranten utvidgas till en rektangel med sidorna a och ap .
Samband:
1
 x 
p
1

x
dx


x 

p 

0
p 1
1
A = Area A=
0

1
1
B = Area B =

0

x 
x p dx  

 p 
p 1
0
Konsultarbete
Matte D
Linn Lundberg Mb10b
Lösning:
a) A/B då p = 0,5 = 0,5
A/B då p = 1 = 1
A/B då p = 1,5 = 1,5
A/B då p = 2 = 2
A/B då p = 3 = 3
1
A /B 
 1 x
0
p
dx
1
x
p
dx
0
Jag gjorde en tabell som jag grundat på uträkningar jag gjort med räknaren och de
resultat jag fått i geogebra.

Räknaren ger att p måste vara positivt om det skall ge ett definierat A/B värde.
(Linjen är en asymptot till y-axeln.)
b) Det verkar som att A/B = p
Konsultarbete
Matte D
Linn Lundberg Mb10b
1
1
1
1
p 1 
p 1 


x
x
p
p 1
A /B   1  x p dx /  x p dx  x 

p
 /
 
1
p 1
 p 1 0 p 10
0
0
1
p 1
p 1
1

1
c)
a
 1  x dx
p
 x p 1 a x p 1 a
p 1
p 1
p 1 

p 1
A /B  a
 x 
 /
  a  a / a = a  a  
 p 1 ==
p
1
p
1
0 
0
p 1 p 1  p 1 a 
 x p dx 
0
0
p 1
p 1
a  p 1 1 = p 1
a
a




Då xp är en potensfunktion så existerar den endast i första kvadranten om inte p är ett
jämt tal.

Svar:
A/B = p gäller då areorna begränsas av 0 ≤ x ≤ 1.
Gäller dock ej om 0 ≤ x ≤ a a = ett godtyckligt tal.
Gäller teoretisk och stämmer i geogebra. (om a < 0)
Diskussion och analys:
Den teoretiska metoden är en säkrare metod för att lösa uppgiften. Detta på grund av att
jag då lättare kan se fel som uppstår. Geogebra metoden ger dock i helhet en överblick
på lösningen som gör det lätt att se för vilka värden a och p som gav definierade värden.
I geogebra finns mer formler och verktyg till att utföra beräkningar som vi kanske inte
lärt oss. Är dock mycket lätt att något blir fel i geogebra som sedan leder till att hela
lösningen blir fel. Därför tycker jag den teoretiska metoden är den man ska lita på. Men
jag tar absolut med mig geogebra som verktyg då det är användbart på många sätt.