Daniel Herzegh
Mb10b
Konsultarbete
04.06.2012
Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre
Städer
Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar,
ska förbindas med fiberoptiska kablar.
En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för olika
värden på a och det är tre alternativ som diskuteras.
Alt. 1
Alt. 2
Alt. 3
Vilket det bästa alternativet är beror naturligtvis på värdet på
måste av naturliga skäl
alltid vara
eftersom staden alltid har lika avstånd från de båda andra städerna.
Sammanfattningsvis ges kortast sträcka av...
Alt. 1 när
. Den totala längden på ledningen
.
Alt. 2 i intervallet
, alltså när den totala längden på ledningen är mellan
och
.
Alt. 3 i intervallet
. Den totala längden på ledningen är då mellan
och
Det finns dock ett fjärde alternativ som innebär kortare ledningsdragning för alla
, nämligen:
när
Daniel Herzegh
Mb10b
Konsultarbete
04.06.2012
Lösningar - Metod & Resultat
● Metod 1 - Modell i geogebra
Genom att göra en modell i geogebra, där är en variabel och de olika alternativen är
inställda utifrån sina individuella villkor, går det att observera hur de olika alternativen
förändras.
Alternativen är inställda på följande sätt:
●
●
●
I figuren nedan kan vi exempelvis läsa av att när
innebär
den
kortaste ledningsdragningen med
. ( är avståndet mellan mitten av linjen
och
punkten . Avståndet är naturligtvis positivt. Minustecknet beror på att Punkten :s värde i
y-led är så mycket mindre än linjen
:s värde i y-led.)
Med ovanstående metod kan dock bara längden på ledningarna för de 3 föreslagna
alternativen beräknas och inte det överlägsna alternativet om man vill ha så kort
ledningsdragning som möjligt oavsett längd på . Vi kallar detta för
.
Daniel Herzegh
Mb10b
Konsultarbete
04.06.2012
I bilden ovan har a samma värde som i de tidigare alternativen, men sträckan för ledningen,
som i det här fallet är
är kortare än samtliga av de förra alternativen.
Villkoret för detta är att vinklarna mellan ledningarna, med som medelpunkt, ska vara
. . Jag har undersökt hur längden påverkas av att flytta punkten i y-led. Detta
resulterar alltid i högre värden på sträckan. Det spelar ingen roll var punkten befinner sig.
Om man vill åstadkomma en så kort ledningsdragning som möjligt är en fast punkt på den
plats där samtliga vinklar är
.
●
Metod 2 - Algebraisk lösning med grafritning i geogebra.
Samtliga sträckor för
För
att få
kan kallas för funktioner av .
måste vi gå igenom en smärre härledning för
som en funktion av .
Först måste vi uttrycka ett samband mellan och , vilket vi får
i och med arean .
Hur sidan x förhåller sig till Arean,
sats:
, fås genom pythagoras
Daniel Herzegh
Mb10b
Hur sidan
Konsultarbete
04.06.2012
förhåller sig till
fås med Herons formel, där
är halva omkretsen:
Alltså:
=>
Alltså: Alternativ 3 =
Även funktionen för sträckan till
kräver en mindre härledning.
En slutsats vi kan dra från denna bild är att sträckan
(
). Låt oss räkna ut sträckan
s värde.
Vi vet även att vinkeln
sinussatsen:
, samt
.
, är
är konstant så länge
. Om vi kallar sträckan
för
ger
Daniel Herzegh
Mb10b
Konsultarbete
04.06.2012
Vi måste nu beteckna
som en funktion av . Låt oss kalla mittpunkten på sträckan
för .
Både
och
fås genom pythagoras sats.
Alltså:
I bilden nedan har vi anpassat grafer i geogebra till funktionerna för de olika alternativen.
Alternativ 1
Alternativ 2
Alternativ 3
Alternativ 4
Daniel Herzegh
Mb10b
Konsultarbete
04.06.2012
Linjemarkeringen som går vid
är för att förtydliga att det är härifrån som graferna
gäller, då längden på a inte kan vara mindre än för den här uppgiften.
Grafen illustrerar tydligt för vilka värden på a som respektive ledning ger kortare
ledningsdragning än någon annan. Den visar dessutom att längden på ledningen för
är kortast för alla värden på Det är något otydligt i intervallet
, men det beror bara på utzoomningen. Zoomar man in ser man att den rosa streckade grafen
alltid är nedanför den röda.
Analys och utveckling av problemet
Eftersom detta inte är en experimentell uppgift har exakta svar kunnat ges. Båda metoderna
ger, i slutändan, samma information fast på olika sätt. Medan grafen från metod 2 på ett
mer lättläsligt sätt redovisar längden för de totala sträckorna i förhållande till längden för
a, kan man med geogebra-modellerna från metod 1 se hur de olika alternativen förändras
rent geometriskt, beroende på längden för . Denna information skulle kunna utnyttjas för
att se vilket område som ledningarna kommer gå igenom och på så sätt ta hänsyn till fler
faktorer som kan påverka dess längd, vilket kan vara hinder som t ex berg etc. För även om
är bäst i teorin, så kan det finnas faktorer i verkligheten som gör att ett annat
alternativ faktiskt ger en kortare ledningsdragning. Därför kan man för ett bestämt värde på a,
med hjälp av metod 1, positionsbestämma alla ledningsalternativ och med hänsyn till terräng
etc räkna ut hur långt varje alternativ faktiskt kommer att bli i verkligheten.