Matematiska projekt Dubbelpendeln Simulera rörelsen hos ändpunkten på dubbelpendeln för några olika startpunkter. Problemet finns beskrivet på http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum inklusive härledning av systemet av differentialekvationer som måste lösas numeriskt. Sudoku Implementera en Sudoku-‐lösare och använd den för att lösa 50 Sudokus. (Detta är problem 96 i Project Euler där en textfil med 50 sudokus finns att ladda hem). VaR-‐simulering Value at risk (VaR) är ett sätt att kvantifiera risk, det mäter den potentiella förlusten hos en placering över en given tidsperiod T med konfidensgrad p. Om till exempel VaR för en placering är 10 miljoner kronor över en vecka (T) med konfidensgrad 95 % (p), så betyder det att det är 5 % risk att placeringen ska förlora mer än 10 miljoner kronor i värde över en vecka. Hos banker är det vanligt att T är en dag eller tio dagar medan ett år är vanligt för försäkringsbolag. Konfidensgraden p är ofta 99 % eller 99.5 %. I den här uppgiften ska du hämta data för en aktie eller ett aktieindex för någon tidsperiod och anpassa ett par olika tidsseriemodeller (EWMA och GARCH) till data. Använd sedan dessa modeller för att bestämma VaR (T = 1 dag, p = 99 %) genom simulering och jämför modellerna med hjälp av backtesting. Bestämning av nollkupongkurva till svenska statsobligationer En statsobligation är detsamma som ett förutbestämt framtida kassaflöde (förutom möjligtvis i Grekland). Ägaren till obligationen får årsvisa utbetalningar, så kallade kuponger, under dess löptid och på förfallodagen utbetalas även det nominella beloppet. Exempel: En tvåårig statsobligation med nominellt belopp 1000 kronor och kupongränta 5 % ger dig en utbetalning (kupong) om 50 kronor (5 % av 1000 kronor) om ett år och en utbetalning om 50 + 1000 kronor (kupong plus nominellt belopp) om två år. Statsobligationer ges ut av riksgälden och handlas på börsen och dess pris P kan också anges som en ränta y där sambandet mellan dessa är (𝐶! betecknar kupongen år i och N det nominella beloppet som utbetalas år T): 𝑁
𝑃 = 1+𝑦
!
+ !
!!!
𝐶!
1+𝑦 !
Många gånger behöver man värdera ett kassaflöde (till exempel ett försäkringsbolags framtida åtaganden till sina försäkringstagare) som inte handlas på börsen och då vill man göra detta så att värdet är konsistent med andra kassaflöden på kapitalmarknaden, i detta fall kassaflöden från svenska statsobligationer. För att göra detta så bestämmer man en så kallad nollkupongskurva (diskonteringskurva) utgående från statsobligationernas priser och deras kassaflöden. Detta görs oftast med hjälp av interpolation och en optimiseringsalgoritm. Nollkupongskurvan är en räntekurva som reproducerar statsobligationernas priser då dessas kassaflöden diskonteras enligt denna räntekurva och värdet av ett icke börshandlat kassaflöde fås då genom att diskontera detta med denna nollkupongskurva. I den här uppgiften ska du konstruera ett program som bestämmer nollkupongskurvan för svenska statsobligationer per ett givet datum med hjälp av Hermite interpolation. Se till exempel http://www.finmod.co.za/Hagan_West_curves_AMF.pdf för en beskrivning av metoden. Proteinveckning In a very simplified form, we can consider proteins as strings consisting of hydrophobic (H) and polar (P) elements, e.g. HHPPHHHPHHPH. For this problem, the orientation of a protein is important; e.g. HPP is considered distinct from PPH. Thus, there are 2n distinct proteins consisting of n elements. When one encounters these strings in nature, they are always folded in such a way that the number of H-‐H contact points is as large as possible, since this is energetically advantageous. As a result, the H-‐elements tend to accumulate in the inner part, with the P-‐
elements on the outside. Natural proteins are folded in three dimensions of course, but we will only consider protein folding in two dimensions. The figure below shows two possible ways that our example protein could be folded (H-‐H contact points are shown with red dots). The folding on the left has only six H-‐H contact points, thus it would never occur naturally. On the other hand, the folding on the right has nine H-‐H contact points, which is optimal for this string. Assuming that H and P elements are equally likely to occur in any position along the string, the average number of H-‐H contact points in an optimal folding of a random protein string of length 8 turns out to be 850 / 28=3.3203125. What is the average number of H-‐H contact points in an optimal folding of a random protein string of length 15? Give your answer using as many decimal places as necessary for an exact result. Maximal triangelsumma Genom att starta från toppen av triangeln nedan och endast flytta till ett närliggande tal på raden nedanför, så är den maximala summan av de tal man kan passera, från topp till botten, 23. 3 7 4 2 4 6 8 5 9 3 Implementera en algoritm för att bestämma den maximala summan, från topp till botten, i en triangel med 100 rader.