Kap 9 Forcerad (påtvingad) konvektion vid turbulent strömning; Ch 9 Forced convectionturbulent flow) 1. Introduktion - allmän beskrivning; introduction-general description 2. Grundekvationer (basic equations) - N.S., K.E., TFE 3. Definition av turbulenta spänningar, turbulenta värmeflöden • Definition of turbulent stresses and heat fluxes 4. Definition av turbulent viskositet, turbulent diffusivitet • Definition of turbulent viscosity and diffusivity 5. Reynolds’ analogi, Reynolds-Colburns analogi • Reynolds’ analogy, Reynolds-Colburn’s analogy 6. Hastighetsfördelningar – strömningsfältet • Velocity distributions 7. Uttryck för friktionsfaktorn • Expressions for the friction factor 8. Empiriska formler – problemlösning • Empirical formulas- problem solving 9. Temperaturfördelning • Temperature distribution Egenskaper hos turbulensen - Properties of a turbulent field 1) Strömningen är instationär. The flow is unsteady. 2) Rörelsen är oregelbunden och uppvisar slumpartard variation i tid och rum avseende detaljstrukturen. The motion is irregular and has random variation in time and space concerning the detailed flow structure. 3) Stor virvelintensitet. Instationära virvlar av vitt skilda storlekar förekommer samtidigt i strömningsfältet. Great intensities of eddies. Unsteady eddies of various size exist. 4) Tredimensionell rörelse. Behäftad med rotation (vridning av fluidelement). The motion is three-dimensional and the vorticity is high. Egenskaper hos turbulensen, forts – Properties of the turbulent field continued 5) Höga Reynolds tal, High Reynolds number 6) Kontinuerligt fenomen, Continuous phenomenon 7) Diffusiv, Diffusive 8) Dissipativ, Dissipative Analysmetoder för turbulent strömning; Methods of analysis of turbulent flow 1) Rörelseekvationerna i olika former; Equations of motion 2) Dimensionsanalys; dimensional analysis 3) Asymptotisk invarians – Asymptotic invariance Reynolds tals likformighet Reynolds number similarity 4) Lokal invarians; Local invariance ”self preservation” - självlikformighet Strömningshastighetens tidsvariation-time variation of the flow velocity u u' u τ Reynolds' dekomposition- Reynolds’ decomposition u = u + u′ v = v + v′ w = w + w′ p = p + p′ u= 1 τ 2 − τ1 u ′(RMS) = τ2 ∫ u dτ τ1 u′2 t = t + t′ RMS-storheter, RMS-values; turbulent gränsskikt tangentiellt anströmmad plan platta,turbulent boundary layer along a tangentially approached flat plate 0,09 U∞δ u′(RMS) 0,08 ν U∞ 0,07 u* 0,06 U∞ = 8×10 4 = 0.037 0,05 0,04 0,03 v′(RMS) 0,02 w ′(RMS) U∞ U∞ 0,01 0 0 0,2 0,4 0,6 y/δ 0,8 1 Kontinuitetsekvationen - Continuity equation ∂u ∂ v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂u′ ∂v′ ∂w′ + + =0 ∂x ∂y ∂z Rörelseekvationen - equation of motion 1 ∂p μ ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ∂u ∂u ∂u ∂u =− + ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ +w +v +u ∂z ⎠ ∂y ∂z ρ ∂x ρ ⎝ ∂x ∂y ∂x ∂τ ∂ 2 ∂ ∂ − u′ − u′v′ − u′w′ ∂x ∂y ∂z Turbulenta spänningar - turbulent stresses y u(y) v' dA x z m = ρ v ′dA Fx = m y u = ρdAv′ (u + u′ ) σ dA = − Fx σ = ρ v′(u + u′) = −ρ u′v′ σ = σlam + σ turb = μ ∂u − ρ u′v′ ∂y Temperaturfältsekvationen - temperature field equation ∂t ∂t ∂t ∂t λ ⎛ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ⎞ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ +u +v +w = ∂τ ∂x ∂y ∂z ρcp ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂ ∂ ∂ − u′t ′ − v′t ′ − w′t ′ ∂x ∂y ∂z Turbulent värmeflöde - turbulent heat flux y u(y) v' dA x z dQ dm h q ( τ) = = = ρv′cp (t + t ′ ) dA dA qturb = ρcp v′t ′ Totalt värmeflöde - total heat flux q = qmolecular + qturb q = −λ ∂t + ρcp v′t ′ ∂y Gränsskiktsekv vid Turbulent Strömning boundary layer equations turbulent flow ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y 1 dp μ ∂ 2u ∂ ∂u ∂u u +v =− + − u′v′ 2 ∂x ∂y ρ dx ρ ∂y ∂y dp dU = −ρU dx dx ∂t ∂t λ ∂ 2t ∂ u +v = − v′t ′ 2 ∂x ∂y ρcp ∂y ∂y Turbulent Viskositet och Turbulent Diffusivitet - turbulent viscosity and turbulent diffusivity σ turb ∂u = −ρ u′v′ = ρε m ∂y qturb = ρcp v′t ′ = −ρcp ε q Prt = εm εq ∂t ∂y Total Skjuvspänning och Totalt Värmeflöde - total shear stress and total heat flux ∂u ∂u ∂u σ=μ + ρε m = ρ (ν + ε m ) ∂y ∂y ∂y ⎛ λ ⎞ ∂t ⎛ ν ε m ⎞ ∂t ∂t ∂t ε m ⎜ ⎟ ⎟⎟ = ρcp + = −ρcp ⎜⎜ + q = −λ − ρcp ε q ⎜ ⎟ ∂y ∂y ⎝ Pr Prt ⎠ ∂y ⎝ ρcp Prt ⎠ ∂y Reynolds analogi - Reynolds analogy ⎛ ν ε m ⎞ ∂t ⎛ ν ε m ⎞ ∂t ⎟⎟ ⎟⎟ − ρcp ⎜⎜ + cp ⎜⎜ + Pr Prt ⎠ ∂ y Pr Prt ⎠ ∂y q ⎝ ⎝ =− = ∂ ∂u u σ ρ( ν + ε m ) (ν + ε m ) ∂y ∂y q σ Antas konstant vilket innebär att den blir lika med vad som gäller vid väggytan, dvs Assumed constant and then equal to the value at the wall Pr och/and Prt sätts lika med 1, are set to unity ∂t 1 qw ∂u =− ∂y cp σ w ∂y qw σ w Reynolds analogi forts- Reynolds analogy continued 1 qw U t∞ − t w = − cp σ w qw = α(t w − t∞ ) ρU 2 σw = CF 2 CF α = ρcpU 2 Colburns analogi – Colburn’s analogy St = Nu x Re x Pr = CF 2 Pr − 2 3 Chilton-Colburn’s analogi – Chilton-Colburn’s analogy j = St Pr 2/3 = CF 2 Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt – Velocity distribution in a turbulent boundary layer u y→0 ∂u ∂u 1 ∂σ +v = ∂x ∂y ρ ∂y u och/and 0= v är mycket små, are very small 1 ∂σ ρ ∂y σ = konstant = constant = σ w = väggskjuvspänningen, wall shear stress (ν + ε m ) y→0 ν ∂u σ w = ρ ∂y ∂u σ w = ∂y ρ σw u= y + c1 μ Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt, velocity distribution in a turbulent boundary layer –Visköst underskikt, Viscous sublayer σ w = ρuτ2 uτ = σ w ρ u uτ y = ν uτ y + = uτ y / ν 0 < y+ < 5 Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt, velocity distribution in a turbulent boundary layer – Turbulenta skiktet, logaritmiska området; turbulent layer, logarithmic regime ε m >> μ ρ y u lm lm y turbulent knippe vägg Blandningslängden, mixing length lm x Lump of turbulent flow Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt , velocity distribution in a turbulent boundary layer – Turbulenta skiktet, logaritmiska området; turbulent layer, logarithmic regime u ′ ≈ lm σ turb ∂u ∂y ⎛ ∂u ⎞ = −ρ u′v′ = ρ lm2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂y ⎠ ε m = lm2 ∂u ∂y lm = κ y 2 ⎛ ∂u ⎞ σ κ 2 y 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = w ρ ⎝ ∂y ⎠ ∂u 1 uτ = ∂y κ y 2 Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt, velocity distribution in a turbulent boundary layer – Turbulenta skiktet, logaritmiska området; turbulent layer, logarithmic regime u= uτ ln y + C κ u 1 = ln y + + A uτ κ y + > 30 fully turbulent regime outer regime u uτ viscous sublayer 1 = 2.44 κ buffer layer A = 4.9 − 5.5 1 10 100 1000 10000 y+ Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt, velocity distribution in a turbulent boundary layer – Turbulenta skiktet, logaritmiska området; turbulent layer, logarithmic regime 40 u uτ Ludwieg and Tillmann Klebanoff and Diehl Schultz-Grunow 35 30 25 u 20 uτ 15 = 8.3 y + 1/ 7 u uτ 10 u 5 uτ = 2.44 ln(y + ) + 4.9 = y+ 0 1 10 100 1 000 10 000 y+ Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt , velocity distribution in a turbulent boundary layer 16 14 U- u 12 uτ U- u uτ = −2.44 ln(y/δ ) + 2.5 10 8 6 Area of experimental data 4 U- u 2 0 0.01 uτ 0.05 = 9.6 (1- y/δ )2 0.1 0.5 1 y/δ Hastighetsfördelning i turbulent rörströmning, velocity distribution in turbulent pipe flow 24 21 Nikuradse Reichardt Reichardt-Schuh 18 u+ u+ = 2.5 ln(y+ ) + 5.5 15 12 u + = −3.05 + 5.00 ln(y + ) 9 6 u+ = y+ 3 0 1 10 100 1 000 y+ Temperaturfördelning i ett turbulent gränsskikt, temperature distribution in a turbulent boundary layer ∂t ∂t ∂ ⎡⎛ ν ε m ⎞ ∂t ⎤ 1 ∂ ⎟⎟ ⎥ = − +v = ⎢⎜⎜ + u (q) ∂x ∂y ∂y ⎣⎝ Pr Prt ⎠ ∂y ⎦ ρcp ∂y y→0 : u →0 , v →0 ∂ (q) → 0 ∂y ⎛ ν ε ⎞ ∂t qw = −ρcp ⎜⎜ + m ⎟⎟ ⎝ Pr Prt ⎠ ∂y uy y = τ ν + + T = (tw − t )ρcpuτ qw Temperaturfördelning i ett turbulent gränsskikt, temperature distribution in a turbulent boundary layer ∂T + 1 = + 1 εm / ν ∂y + Pr Prt y+ T+ = ∫ 0 dy + 1 εm / ν + Pr Prt Temperaturfördelning i ett turbulent gränsskikt, temperature distribution in a turbulent boundary layer 10 000 Pr = 3000 1000 1 000 300 + T 100 30 100 10 5 1.0 0.73 10 1 1 + T = Pr y + 10 100 T+ = 1 000 Prt ln y + + At (Pr) κ 10 000 y+ Formler för Nusselt-talet baserade på experiment (rör) Formulas for Nu number based on experiments (pipes, tubes) Dittus-Boelter-ekvation/equation Nu D = 0.023 Re 0 .8 D n = 0.4 om, if tw > tB n = 0.3 tw < tB om, if Pr n Formler för Nusselt-talet baserade på experiment (rör), Formulas for Nu number based on experiments (pipes, tubes) - hänsyn till inloppssträcka, consideration of thermal entrance length Nu D = 0.036 Re 0.8 D Pr 1/ 3 (D / L )0.055 10 < L / D < 400 . Inloppssträckan vid turbulent strömning är kort, typiskt The entrance length is short for turbulent flow, typically 10 < Lentrance / D < 60 Användning av Reynolds analogi för att finna uttryck för Nusselt-talet, Application of Reynolds analogy to determine expressions for the Nu number 1) Bestäm skjuvspänningskoefficienten CF, determine the shear stress coefficient CF L . p+Δp p σw πD 2 Δp = σ w πDL 4 Användning av Reynolds analogi för att finna uttryck för Nusselt-talet, Application of Reynolds analogy to determine expressions for the Nu number L ρ um2 Δp = f D 2 Δ pD ρum2 σw = = f 4 8 L . CF = f / 4 σ w = C Fρum2 / 2 Reynolds-Colburns analogi för rörströmning, Reynolds-Colburn’s analogy for pipe flow St = Nu D Re D Pr = f 8 Pr − 2 / 3 Användning av Reynolds analogi för att finna uttryck för Nusselt-talet, Application of Reynolds analogy to determine expressions for the Nu number σ w = ρuτ2 8 8 f = = + 2 2 (um / uτ ) (um ) Mha den logaritmiska hastighetsfördelningen finner man … . By using the logarithmic velocity distribution one finds 1 f 1 f = 2.03 log ( f Re D ) − 0.91 = 2.0log ( f Re D ) − 0.8 Användning av Reynolds analogi för att finna uttryck för Nusselt-talet, Application of Reynolds analogy to determine expressions for the Nu number Ett enklare uttryck för f fås om den s.k. sjundedelsregeln (9-54) användes A simpler expression is found if (9-54) is used f = . 0.3164 (Re D ) 0.25 ”Blasius’ relation” Nu D = 0.0396 Re 3D/ 4 Pr 1 / 3 Användning av friktionsfaktorn och Reynolds-Colburns analogi för att finna uttryck för Nusselt-talet; Usage of the friction factor and Reynolds-Colburn’s analogy to find expressions for the Nu number 0,1 f = 64/Re (laminar) 0,05 f . ekv. (9-63) R/ks = 507, Nikuradse (sand roughness) 252 126 60 30.6 15 R/k = 1300, Galavics (commercial rough) 0,01 1 000 10 000 ekv. (9-62b) 100 000 1 000 000 Användning av friktionsfaktorn och Reynolds-Colburns analogi för att finna uttryck för Nusselt-talet; Usage of the friction factor and Reynolds-Colburn’s analogy to find expressions for the Nu number 0.100 9 8 ε/D Turbulent zone Transition zone 0.05 0.04 7 6 0.03 5 f 0.015 flow inar Lam 4 0.02 3 0.01 0.008 0.006 0.004 . Re cr 0.002 0.001 0.0008 0.0006 0.0004 Sm 2 th oo pe pi 0.0002 0.0001 5E-4 0.010 1E-4 103 2 3 4 5 67 104 2 3 4 5 67 105 2 3 4 5 67 Re=umD/ν 106 2 3 4 5 67 107 2 3 4 5 67 108 Turbulent strömning utmed plana plattor, turbulent flow along flat plates C F, x = 0.0592 Re −x1 / 5 Re x = 5 ⋅ 10 5 − 10 7 Nu. x = 0.0296 Re 4x / 5 Pr 1 / 3 C F, x = 0.370 (log Re x ) 2.584 Rex = 10 7 − 10 9 Ytterligare formler för f och Nu vid turbulent rörströmning, additional formulas for f and Nu at turbulent pipe flow St = Nu D Re D Pr . Nu D = = f 8 1.07 + 12.7 f 8 (Pr 2 / 3 − 1) f 8(Re D − 1000) Pr 1.0 + 12.7 f 8 (Pr 2 / 3 − 1) f = (0.79ln Re D − 1.64) −2
© Copyright 2024