1. No category

Kap 9 Forcerad (påtvingad) konvektion vid
turbulent strömning; Ch 9 Forced convectionturbulent flow)
Š
Š
Š
Š
Š
Š
Š
Š
Š
1. Introduktion - allmän beskrivning; introduction-general description
2. Grundekvationer (basic equations) - N.S., K.E., TFE
3. Definition av turbulenta spänningar, turbulenta värmeflöden
• Definition of turbulent stresses and heat fluxes
4. Definition av turbulent viskositet, turbulent diffusivitet
• Definition of turbulent viscosity and diffusivity
5. Reynolds’ analogi, Reynolds-Colburns analogi
• Reynolds’ analogy, Reynolds-Colburn’s analogy
6. Hastighetsfördelningar – strömningsfältet
• Velocity distributions
7. Uttryck för friktionsfaktorn
• Expressions for the friction factor
8. Empiriska formler – problemlösning
• Empirical formulas- problem solving
9. Temperaturfördelning
• Temperature distribution
Egenskaper hos turbulensen - Properties of
a turbulent field
1) Strömningen är instationär. The flow is unsteady.
Š 2) Rörelsen är oregelbunden och uppvisar slumpartard variation i tid
och rum avseende detaljstrukturen. The motion is irregular and has
random variation in time and space concerning the detailed flow
structure.
Š 3) Stor virvelintensitet. Instationära virvlar av vitt skilda storlekar
förekommer samtidigt i strömningsfältet. Great intensities of eddies.
Unsteady eddies of various size exist.
Š 4) Tredimensionell rörelse. Behäftad med rotation (vridning av
fluidelement). The motion is three-dimensional and the vorticity is
high.
Š
Egenskaper hos turbulensen, forts –
Properties of the turbulent field continued
Š
Š
Š
Š
5) Höga Reynolds tal, High Reynolds number
6) Kontinuerligt fenomen, Continuous
phenomenon
7) Diffusiv, Diffusive
8) Dissipativ, Dissipative
Analysmetoder för turbulent strömning;
Methods of analysis of turbulent flow
Š
Š
Š
Š
Š
Š
Š
1) Rörelseekvationerna i olika former; Equations
of motion
2) Dimensionsanalys; dimensional analysis
3) Asymptotisk invarians – Asymptotic invariance
Reynolds tals likformighet
Reynolds number similarity
4) Lokal invarians; Local invariance
”self preservation” - självlikformighet
Strömningshastighetens tidsvariation-time
variation of the flow velocity
Š
u
u'
u
τ
Reynolds' dekomposition- Reynolds’
decomposition
u = u + u′
v = v + v′ w = w + w′
Š
p = p + p′
u=
1
τ 2 − τ1
u ′(RMS) =
τ2
∫ u dτ
τ1
u′2
t = t + t′
RMS-storheter, RMS-values; turbulent
gränsskikt tangentiellt anströmmad plan
platta,turbulent boundary layer along a tangentially
approached flat plate
Š
0,09
U∞δ
u′(RMS)
0,08
ν
U∞
0,07
u*
0,06
U∞
= 8×10 4
= 0.037
0,05
0,04
0,03
v′(RMS)
0,02
w ′(RMS)
U∞
U∞
0,01
0
0
0,2
0,4
0,6
y/δ
0,8
1
Kontinuitetsekvationen - Continuity
equation
Š
∂u ∂ v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
∂u′ ∂v′ ∂w′
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
Rörelseekvationen - equation of motion
Š
1 ∂p μ ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
∂u
∂u
∂u
∂u
=−
+ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
+w
+v
+u
∂z ⎠
∂y
∂z
ρ ∂x ρ ⎝ ∂x
∂y
∂x
∂τ
∂ 2 ∂
∂
− u′ − u′v′ − u′w′
∂x
∂y
∂z
Turbulenta spänningar - turbulent stresses
y
u(y)
v'
Š
dA
x
z
m = ρ v ′dA
Fx = m y u = ρdAv′ (u + u′ )
σ dA = − Fx
σ = ρ v′(u + u′) = −ρ u′v′
σ = σlam + σ turb = μ
∂u
− ρ u′v′
∂y
Temperaturfältsekvationen - temperature
field equation
Š
∂t
∂t
∂t
∂t
λ ⎛ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ⎞
⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
+u
+v
+w
=
∂τ
∂x
∂y
∂z ρcp ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
∂
∂
∂
− u′t ′ − v′t ′ − w′t ′
∂x
∂y
∂z
Turbulent värmeflöde - turbulent heat flux
y
Š
u(y)
v'
dA
x
z
dQ dm h
q ( τ) =
=
= ρv′cp (t + t ′ )
dA
dA
qturb = ρcp v′t ′
Totalt värmeflöde - total heat flux
Š
q = qmolecular + qturb
q = −λ
∂t
+ ρcp v′t ′
∂y
Gränsskiktsekv vid Turbulent Strömning boundary layer equations turbulent flow
Š
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
1 dp μ ∂ 2u ∂
∂u
∂u
u
+v
=−
+
− u′v′
2
∂x
∂y
ρ dx ρ ∂y
∂y
dp
dU
= −ρU
dx
dx
∂t
∂t
λ ∂ 2t
∂
u
+v
=
− v′t ′
2
∂x
∂y ρcp ∂y
∂y
Turbulent Viskositet och Turbulent
Diffusivitet - turbulent viscosity and turbulent
diffusivity
Š
σ turb
∂u
= −ρ u′v′ = ρε m
∂y
qturb
= ρcp v′t ′ = −ρcp ε q
Prt =
εm
εq
∂t
∂y
Total Skjuvspänning och Totalt
Värmeflöde - total shear stress and total heat
flux
Š
∂u
∂u
∂u
σ=μ
+ ρε m
= ρ (ν + ε m )
∂y
∂y
∂y
⎛ λ
⎞ ∂t
⎛ ν ε m ⎞ ∂t
∂t
∂t
ε
m
⎜
⎟
⎟⎟
= ρcp
+
= −ρcp ⎜⎜ +
q = −λ − ρcp ε q
⎜
⎟
∂y
∂y
⎝ Pr Prt ⎠ ∂y
⎝ ρcp Prt ⎠ ∂y
Reynolds analogi - Reynolds
analogy
Š
⎛ ν ε m ⎞ ∂t
⎛ ν ε m ⎞ ∂t
⎟⎟
⎟⎟
− ρcp ⎜⎜ +
cp ⎜⎜ +
Pr Prt ⎠ ∂ y
Pr Prt ⎠ ∂y
q
⎝
⎝
=−
=
∂
∂u
u
σ
ρ( ν + ε m )
(ν + ε m )
∂y
∂y
q σ
Antas konstant vilket innebär att den blir
lika med vad som gäller vid väggytan, dvs
Assumed constant and then equal to the
value at the wall
Pr och/and Prt sätts lika med 1, are set to unity
∂t
1 qw ∂u
=−
∂y
cp σ w ∂y
qw σ w
Reynolds analogi forts- Reynolds analogy
continued
Š
1 qw
U
t∞ − t w = −
cp σ w
qw = α(t w − t∞ )
ρU 2
σw = CF
2
CF
α
=
ρcpU
2
Colburns analogi – Colburn’s
analogy
Š
St =
Nu x
Re x Pr
=
CF
2
Pr − 2 3
Chilton-Colburn’s analogi –
Chilton-Colburn’s analogy
Š
j = St Pr
2/3
=
CF
2
Hastighetsfördelning i ett turbulent
gränsskikt – Velocity distribution in a
turbulent boundary layer
Š
u
y→0
∂u
∂u 1 ∂σ
+v
=
∂x
∂y ρ ∂y
u
och/and
0=
v
är mycket små, are very small
1 ∂σ
ρ ∂y
σ = konstant = constant = σ w = väggskjuvspänningen, wall shear stress
(ν + ε m )
y→0
ν
∂u σ w
=
ρ
∂y
∂u σ w
=
∂y
ρ
σw
u=
y + c1
μ
Hastighetsfördelning i ett turbulent
gränsskikt, velocity distribution in a
turbulent boundary layer –Visköst
underskikt, Viscous sublayer
Š
σ w = ρuτ2
uτ = σ w ρ
u uτ y
=
ν
uτ
y + = uτ y / ν
0 < y+ < 5
Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt,
velocity distribution in a turbulent boundary layer –
Turbulenta skiktet, logaritmiska området; turbulent
layer, logarithmic regime
Š
ε m >> μ ρ
y
u
lm
lm
y
turbulent knippe
vägg
Blandningslängden, mixing length
lm
x
Lump of turbulent
flow
Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt ,
velocity distribution in a turbulent boundary layer –
Turbulenta skiktet, logaritmiska området; turbulent
layer, logarithmic regime
Š
u ′ ≈ lm
σ turb
∂u
∂y
⎛ ∂u ⎞
= −ρ u′v′ = ρ lm2 ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ∂y ⎠
ε m = lm2
∂u
∂y
lm = κ y
2
⎛ ∂u ⎞
σ
κ 2 y 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = w
ρ
⎝ ∂y ⎠
∂u 1 uτ
=
∂y κ y
2
Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt,
velocity distribution in a turbulent boundary layer –
Turbulenta skiktet, logaritmiska området; turbulent
layer, logarithmic regime
Š
u=
uτ
ln y + C
κ
u 1
= ln y + + A
uτ κ
y + > 30
fully turbulent regime
outer regime
u
uτ
viscous
sublayer
1
= 2.44
κ
buffer
layer
A = 4.9 − 5.5
1
10
100
1000
10000
y+
Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt,
velocity distribution in a turbulent boundary layer –
Turbulenta skiktet, logaritmiska området; turbulent
layer, logarithmic regime
Š
40
u
uτ
Ludwieg and Tillmann
Klebanoff and Diehl
Schultz-Grunow
35
30
25
u
20
uτ
15
= 8.3 y +
1/ 7
u
uτ
10
u
5
uτ
= 2.44 ln(y + ) + 4.9
= y+
0
1
10
100
1 000
10 000
y+
Hastighetsfördelning i ett turbulent gränsskikt ,
velocity distribution in a turbulent boundary layer
16
Š
14
U- u
12
uτ
U- u
uτ
= −2.44 ln(y/δ ) + 2.5
10
8
6
Area of experimental data
4
U- u
2
0
0.01
uτ
0.05
= 9.6 (1- y/δ )2
0.1
0.5
1
y/δ
Hastighetsfördelning i turbulent rörströmning,
velocity distribution in turbulent pipe flow
Š
24
21
Nikuradse
Reichardt
Reichardt-Schuh
18
u+
u+ = 2.5 ln(y+ ) + 5.5
15
12
u + = −3.05 + 5.00 ln(y + )
9
6
u+ = y+
3
0
1
10
100
1 000
y+
Temperaturfördelning i ett turbulent gränsskikt,
temperature distribution in a turbulent boundary
layer
Š
∂t
∂t
∂ ⎡⎛ ν ε m ⎞ ∂t ⎤
1 ∂
⎟⎟ ⎥ = −
+v
= ⎢⎜⎜ +
u
(q)
∂x
∂y ∂y ⎣⎝ Pr Prt ⎠ ∂y ⎦
ρcp ∂y
y→0 : u →0 , v →0
∂
(q) → 0
∂y
⎛ ν ε ⎞ ∂t
qw = −ρcp ⎜⎜ + m ⎟⎟
⎝ Pr Prt ⎠ ∂y
uy
y = τ
ν
+
+
T =
(tw − t )ρcpuτ
qw
Temperaturfördelning i ett turbulent gränsskikt,
temperature distribution in a turbulent boundary
layer
Š
∂T +
1
=
+
1 εm / ν
∂y
+
Pr
Prt
y+
T+ =
∫
0
dy +
1 εm / ν
+
Pr
Prt
Temperaturfördelning i ett turbulent gränsskikt,
temperature distribution in a turbulent boundary
layer
10 000
Š
Pr = 3000
1000
1 000
300
+
T
100
30
100
10
5
1.0
0.73
10
1
1
+
T = Pr y
+
10
100
T+ =
1 000
Prt
ln y + + At (Pr)
κ
10 000
y+
Formler för Nusselt-talet baserade på experiment
(rör) Formulas for Nu number based on experiments
(pipes, tubes)
Š
Dittus-Boelter-ekvation/equation
Nu D = 0.023 Re
0 .8
D
n = 0.4 om, if
tw > tB
n = 0.3
tw < tB
om, if
Pr
n
Formler för Nusselt-talet baserade på experiment
(rör), Formulas for Nu number based on
experiments (pipes, tubes) - hänsyn till
inloppssträcka, consideration of thermal entrance
length
Š
Nu D = 0.036 Re
0.8
D
Pr
1/ 3
(D / L )0.055
10
< L / D < 400
.
Inloppssträckan vid turbulent strömning är kort, typiskt
The entrance length is short for turbulent flow, typically
10 < Lentrance / D < 60
Användning av Reynolds analogi för att finna
uttryck för Nusselt-talet, Application of Reynolds
analogy to determine expressions for the Nu number
Š
1) Bestäm skjuvspänningskoefficienten CF, determine the
shear stress coefficient CF
L
.
p+Δp
p
σw
πD 2
Δp
= σ w πDL
4
Användning av Reynolds analogi för att finna
uttryck för Nusselt-talet, Application of Reynolds
analogy to determine expressions for the Nu number
L ρ um2
Δp = f
D 2
Δ pD
ρum2
σw =
= f
4
8
L
.
CF = f / 4
σ w = C Fρum2 / 2
Reynolds-Colburns analogi för rörströmning,
Reynolds-Colburn’s analogy for pipe flow
St =
Nu D
Re D Pr
=
f
8
Pr − 2 / 3
Användning av Reynolds analogi för att finna
uttryck för Nusselt-talet, Application of Reynolds
analogy to determine expressions for the Nu number
σ w = ρuτ2
8
8
f =
= + 2
2
(um / uτ )
(um )
Mha den logaritmiska
hastighetsfördelningen finner man …
.
By using the logarithmic velocity distribution one finds
1
f
1
f
= 2.03 log ( f Re D ) − 0.91
= 2.0log ( f Re D ) − 0.8
Användning av Reynolds analogi för att finna
uttryck för Nusselt-talet, Application of Reynolds
analogy to determine expressions for the Nu number
Ett enklare uttryck för f fås om den s.k. sjundedelsregeln (9-54) användes
A simpler expression is found if (9-54) is used
f =
.
0.3164
(Re D ) 0.25
”Blasius’ relation”
Nu D = 0.0396 Re 3D/ 4 Pr 1 / 3
Användning av friktionsfaktorn och Reynolds-Colburns
analogi för att finna uttryck för Nusselt-talet; Usage of the
friction factor and Reynolds-Colburn’s analogy to find
expressions for the Nu number
0,1
f = 64/Re (laminar)
0,05
f
.
ekv. (9-63)
R/ks = 507, Nikuradse (sand roughness)
252
126
60
30.6
15
R/k = 1300, Galavics (commercial rough)
0,01
1 000
10 000
ekv. (9-62b)
100 000
1 000 000
Användning av friktionsfaktorn och Reynolds-Colburns
analogi för att finna uttryck för Nusselt-talet; Usage of the
friction factor and Reynolds-Colburn’s analogy to find
expressions for the Nu number
0.100
9
8
ε/D
Turbulent zone
Transition zone
0.05
0.04
7
6
0.03
5
f
0.015
flow
inar
Lam
4
0.02
3
0.01
0.008
0.006
0.004
.
Re
cr
0.002
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
Sm
2
th
oo
pe
pi
0.0002
0.0001
5E-4
0.010
1E-4
103
2
3 4 5 67
104
2
3 4 5 67
105
2
3 4 5 67
Re=umD/ν
106
2
3 4 5 67
107
2
3 4 5 67
108
Turbulent strömning utmed plana plattor,
turbulent flow along flat plates
C F, x = 0.0592 Re −x1 / 5
Re x = 5 ⋅ 10 5 − 10 7
Nu. x = 0.0296 Re 4x / 5 Pr 1 / 3
C F, x =
0.370
(log Re x ) 2.584
Rex = 10 7 − 10 9
Ytterligare formler för f och Nu vid turbulent
rörströmning, additional formulas for f and Nu at
turbulent pipe flow
St =
Nu D
Re D Pr
.
Nu D =
=
f 8
1.07 + 12.7 f 8 (Pr 2 / 3 − 1)
f 8(Re D − 1000) Pr
1.0 + 12.7 f 8 (Pr 2 / 3 − 1)
f = (0.79ln Re D − 1.64) −2