תורות המספרים ־ הרצאה 7
תורות המספרים ־ הרצאה 7
17בנובמבר 2014
פתרון קונגרואנציות ממעלה ראשונה
ראינו שעבור המשוואה ):ax ≡ b ( mod n
.1יש פתרון אמ"מ .d := gcd(a, n)|b
x ∈ Z .2פותר את המשוואה )בהנחה שיש פתרון( אמ"מ
n
d
mod
b
d
≡ . ad x
.3כלל הפתרונות נתונים ע"י xj = x0 + j ndכאשר x0הפתרון היחיד למשוואה המצומצמת
. ad x ≡ db
mod nd
.4אם מסתכלים על פתרונות מודולו ,nיש בדיוק dפתרונות שונים )בהנחה שיש פתרון(.
המטרה :מספר משוואות בנעלם אחד.
משפט השאריות הסיני
אם n1 , ..., nkזרים בזוגות אז לכל c1 , ..., ckיש פתרון למערכת המשוואות ) .∀j, x ≡ cj ( mod nj
Q
הפתרון יחיד מודולו . kj=1 nj
הערה :המשפט אומר שהמערכת ) ∀j, x ≡ cj ( mod njשקולה למשוואה הבודדתx ≡ c ( mod n1 · ... · nk ) :
)וכל הפתרונות כאן הם (xj = c + jn1 · ... · nkכאשר c ∈ Zהמקיים ) .∀j, c ≡ cj ( mod nj
הוכחת )ההערה( :ניקח x = cכלשהו שפותר את המערכת .אז כמובן ) ) c = cj ( mod njלפי
ההגדרה( ,ו cיחיד מודולו ) n1 · ... · nkלפי המשפט(.
בכיוון השני ,אם xj = c + jn1 · ... · nkאז ) ,xj ≡ c ≡ cj ( mod njכי החלק הימני מצטמצם
מודולו .nj
1
הוכחת המשפט
קיום
נגדיר ,n = n1 · ... · nkונגדיר לכל ni :j
i6=j
Q
=
n
nj
= .mj
נחפש פתרון xמהצורה:
x = m1 x1 + m2 x2 + ... + mk xk
עבור ) (xjשלמים.
הסיבה לצורה זו היא שעבור xכזה) x ≡ mj xj ( mod nj ) ,שאר האיברים הם כפולות של nj
)שמוכל בתוך ,(nולכן מצטמצמים(.
לכן נדרוש .mj xj ≡ cj ( mod nj ) :נשים לב כי ,gcd (mj , nj ) = 1כי מהנתון niזרים בזוגות
)אם pראשוני מחלק את ,mjקיים i 6= jכך ש p|niולכן ,(p - njלכן קיים xjהפותר את
) .mj xj ≡ cj ( mod njנגדיר מה־ ) (xjאת xומצאנו פתרון.
יחידות
נניח כי x, yשניהם פתרונות ל ) .∀i, x ≡ cj ( mod njלכן ,∀j, y − x ≡ 0 ( mod nj ) ,כלומר
.∀j, nj |y − xלכן )*( גם n = n1 · ... · nk |y − xכי ה ) (njזרים ,כלומר ) .y ≡ x ( mod n1 · ... · nk
כאשר )*( מוסבר ע"י פרוק y − xלגורמים ראשוניים ,ואבחנה שכל niמוכל בחלק אחר של פרוק זה.
דוגמה
נפתור את חידת ברמהגופטא.
)2
)3
)5
)7
mod
mod
mod
mod
(1
(2
(4
(0
≡ x
≡ x
≡x
≡x
נקבל:
n = 2 · 3 · 5 · 7 = 210
210
= 105
= m1
2
210
= m2
= 70
3
210
= m3
= 42
5
210
= m4
= 30
7
2
נרצה למצוא x1 , ..., x4כך ש־
)2
x1 = 1
3) e.g. x2 = 2
⇒
)5
x3 = 2
)7
x4 = 0
mod
mod
mod
mod
(≡1
(≡2
(≡4
(≡0
)2
x1
)3
x2
⇒⇐
)5
2x3
)7
2x4
mod
mod
mod
mod
(≡1
(≡2
(≡4
(≡0
105x1
70x
2
42x3
30x4
כעת ניקח
x = 105 · 1 + 70 · 2 + 42 · 2 + 30 · 0 = 329
והפתרון הכללי למערכת הוא כל ה־ xjהמוגדרים ע"י .xj = 329 + j · 210לכן יש לפחות 119ביצים
בסל )עבור .(j = −1
מערכת משוואות לינארית כללית במשתנה אחד היא מהצורה ) ∀j, aj x ≡ bj ( mod njכאשר ) (nj
אינם חייבים להיות זרים.
נראה רדוקציה מכאן למערכת שאנו מכירים .ראשית ,ראינו ש־ ) ax ≡ b ( mod nכאשר = d
a0 db ≡1 ( mod nd ) a
⇒⇐
mod nd
) gcd(a, nמחלק את x ≡ db ( mod nd ) ⇐⇒ b
. x ≡ a0 db
d
בנוסף ,אם הפירוק לראשוניים של
נקבל:
e
mod pj j
n
d
הוא = pe11 ...pel l
n
d
אז מההערה אחרי משפט השארית הסיני
b
b
( mod pe11 ...pel l ) ⇐⇒ ∀j, x ≡ a0
d
d
x ≡ a0
הערה.x ≡ c ( mod r) ⇐ r|x − c ⇐ rs|x − c ⇐ x ≡ c ( mod rs) :
כעת ,כשנעבור מהמערכת ) ∀j, aj x ≡ bj ( mod njלאיחוד של מערכות מהצורה ≡ ∀k, x
) dk ( mod pekkאז ניתן לשמור רק את המשוואה עם החזקה הכי גבוהה של כל ראשוני בהנחה שכל
החזקות הנמוכות יותר עקביות איתה )אחרת אין פתרון( .כעת נמצא את הפתרון ממשפט השאריות
הסיני.
דוגמה
פתור
)x ≡ 5 ( mod 6
)x ≡ 9 ( mod 10
)x ≡ 2 ( mod 9
3
פתרון
ממשפט השארית הסיני ,האוסף שקול ל־
)2
)3
)2
)5
)9
mod
mod
mod
mod
mod
(5
(5
(9
(9
(2
≡x
≡ x
≡x
≡x
≡ x
את 9לא נפרד כי המחלקים שלו 3ו 3אינם זרים.
וכיוון שאלו משוואות עקביות ,האוסף שקול ל־
)x ≡ 1 ( mod 2
)x ≡ 2 ( mod 9
)x ≡ 4 ( mod 5
)לקחנו את החזקות הגבוהות ביותר ־ לכן 9ולא 3־ והקטנו את הפתרונות לפתרונות הקטנים ביותר(.
כעת נפתור לפי האלגוריתם במשפט השאריות הסיני ,ונקבל ).x ≡ 29 ( mod 90
עוד על )ab ( mod n
המשפט הקטן של פרמה
יהי pראשוני ו־ aזר ל־ .pאז ).ap−1 ≡ 1 ( mod p
דוגמה
חשב את ) .220 ( mod 17מהמשפט 216 ≡ 1 ( mod 17) ,ולכן ).220 ≡ 24 ≡ 16 ≡ −1 ( mod 17
דוגמה
הראה כי 298 + 398מתחלק ב־ .13
פתרון
מהמשפט ) .212 ≡ 312 ≡ 1 ( mod 13כיוון ש 98 = 12 · 8 + 2אז
)32 ≡ 22 + 32 ≡ 4 + 9 ≡ 0 ( mod 13
.
4
8
22 + 312
8
298 + 398 ≡ 212
משפט אוילר )הכללה של המשפט הקודם(
יהי nטבעי .יהי aזר ל .nאז
)aφ(n) ≡ 1 ( mod n
כאשר
= |}φ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | gcd(k, n) = 1
1
1
el
e1
[n = p1 ...pl ] = n 1 −
· ... · n 1 −
p1
pl
הוכחה
הערה :אם aהפיך מודולו nו bהפיך מודולו nאז abהפיך מודלו .n
הערה :אם ) ab ≡ ac ( mod nאז ).b ≡ c ( mod n
טענה :נבחין שהפעולה של הכפלה ב־ aמודולו nפועלת באופן חח"ע ועל על ) Z∗nקבוצת האיברים
ההפיכים מודולו .(n
כעת ,יהיו ) g1 , ..., gφ(nנציגים למחלקות ההפיכים מודולו ) nאפשר לחשוב עליהם כעל כל המספרים
ההפיכים מ־ 0עד .(n − 1נשים לב ש־
∗
)aφ(n) · g1 · ... · gφ(n) ≡ (ag1 ) (ag2 ) ... agφ(n) ≡ g1 · ... · gφ(n) ( mod n
כאשר ∗ נובע מההערה השנייה.
ולכן ).aφ(n) ≡ 1 ( mod n
מסקנה
בתנאי המשפט הקודם aφ(n)−1הוא הפכי של aמודולו .n
דוגמאות
.1
מצא הפכי ל־ 5מודולו .18
5
פתרון
1
1−
=6
3
1
= 18 1 −
2
2
φ(18) = φ 2 · 3
לכן נקבל הפכי ל־ 5מ־
)≡ 5 · 252 ≡ 5 · 72 ≡ 35 · 7 ≡ −7 ( mod 18
2
55 ≡ 5 · 52
.2
הראה כי 7100 − 3100מתחלק ב .1000
פתרון
אפשר לנסות להפעיל את משפט אוילר ישירות.
1
1
3
3
φ(1000) = φ 2 · 5 = 1000 1 −
1−
= 400
2
5
לכן ,לא ברור מכאן איך לפשט את 7100ו .3100
במקום זאת ,נתחיל עם משפט השאריות הסיני:
)7100 − 3100 ≡ 0 ( mod 1000
אמ"מ
) ≡ 0 ( mod 23
) ≡ 0 ( mod 53
(
7100 − 3100
7100 − 3100
כעת נפעיל את משפט אוילר ונקבל:
1
=4
φ(8) = 8 1 −
2
1
φ(125) = 125 1 −
= 100
5
לכן ) 7100 ≡ 1 ≡ 3100 ( mod 8וגם )7100 ≡ 1 ≡ 3100 ( mod 125
6
.3
נניח כי n = rsכאשר rו־ sזרים ,ו .r, s > 2
יהי aזר ל־ .nאז )שיפור של משפט אוילר למקרה זה(:
1
)a 2 φ(n) ≡ 1 ( mod n
p ,p|nראשוני ,אז p ≥ 3ולכן אי זוגי ,וכעת ב ) φ(nיופיע
קל לראות שבמקרה זה ) φ(nזוגי ,כי
קיים
1
e
e
הגורם ,p − 1שכן ).φ (p ) = p 1 − p = pe−1 (p − 1
7
© Copyright 2024