נחזור ונתרגל
קפיצה לגובה לכיתה ח (קפ"ל) חלק ב מדריך למורה הספר מיועד לתלמידי המיצוי והקבצות ג בבתי ספר רגילים וכולל את נושאי הלימוד למחצית השנייה של השנה על פי תכנית הלימודים של כיתה ח. הגישה הדידקטית המנחה את הספר היא של למידה מרווחת. אחד האפיונים של תלמידים מתקשים הוא ,לעיתים קרובות ,חולשה בזיכרון .לכן ,אם לנושא מוקצב זמן מסוים ,עדיף לתרגל את הנושא במרווחים. בחשיפה חוזרת ,המידע יוטמע בזיכרון למשך טווח ארוך יותר. במרווחים ,נלמדים נושאים אחרים וניתנות פעילויות מסוג "נחזור ונתרגל". מבנה הספר הפרקים מחולקים ,בדרך כלל ,לתתי פרקים .כל תת פרק מתחיל במספר פעילויות ודוגמאות .פעילויות אלו בונות את הנושא ואת המושגים המרכזיים בפרק. הפעילויות והדוגמאות ממוספרות ברצף. את הפעילויות ואת הדוגמאות מומלץ לבצע עם התלמידים במליאת הכיתה כאשר הספרים סגורים. התרגילים נועדו לתרגול בכיתה ולשיעורי בית .היקף התרגול ושיעורי הבית ייקבע בהתאם לכיתה ,על פי שיקול דעת המורה. בספר לתלמיד התרגילים המיועדים לכלל התלמידים ממסופרים במספרים בצבע שחור .תרגילים מתקדמים ממוספרים בצבע כתום. את הפעילויות ,הדוגמאות ,והסיכומים ,מומלץ לבצע במליאת הכיתה ולקיים דיון. בעמודים בהם פעילויות מסוג זה מופיע לוגו של הקנייה במליאה: (הלוגו מצביע על פעילות עם המורה עם התלמידים – מופיע על רקע אפור). בחלק מהתרגילים מופיע לוגו מוקטן .בתרגילים אלו מומלץ לפתור שניים שלושה סעיפים בכיתה ואת האחרים לתת כעבודה עצמית בכיתה או בבית. בכל פרק מופיע ,על רקע וורוד ,סיכום של הנלמד תחת הכותרת "מה למדנו?". מומלץ לעבור על סיכומים אלו במליאת הכיתה .ולתת לכל היגד דוגמה מתאימה ו/או לסרטט סרטוט מתאים. פעילויות מסוג "נחזור ונתרגל": תרגילי חזרה על נושאים שונים שנלמדו קודם לכן ,לאו דווקא לפי רצף התכנים הנלמדים. פעילויות אלו חשובות במיוחד .הן עוזרות לשמור את הידע הנלמד זמין .יתכן שלחלק מהתלמידים לוקח זמן להגיע אל הידע הדרוש ולמראית עין פעילויות אלה נותנות הרגשה של "בזבוז זמן" .אך ,בטווח הרחוק דרך עבודה זו משמרת את מרבית החומר הנלמד בצורה זמינה ומשמעותית. בנוסף ,התרגול החוזר תורם בהכנה למבחנים אינטגרטיביים. מומלץ לבצע פעילויות אלו על פי מיקומם בספר או בזמן אחר בהתאם לשיקול דעת המורה. כדי להקל על ההתמצאות בחרנו להשתמש בסימונים הבאים: רקע צהבהב סיכומים /הגדרות עיקרי הדברים רקע משובץ תכלת דף תובנות רקע אפור דוגמאות מומלצת הקנייה/דיון במליאת הכיתה רקע תכלת נחזור ונתרגל תרגילים מתקדמים: מספר התרגיל בצבע כתום מספר עמוד בספר לתלמיד: 1 סטטיסטיקה תיאורית – הצגת נתונים סטטיסטיקה נלמדת בשני סבבים: בסבב הראשון עוסקים בייצוג וארגון נתונים בדרכי ייצוג שונות ,ושכיחות יחסית. בסבב השני נלמד טווח נתונים ומדדי מרכז. כל נושא מחולק לתת-נושאים שונים .למען הנוחיות נכנה כל תת-נושא כ"חלק". חלקים 6 :3 , 2 , 1שיעורים. חלק :1הצגת נתונים בטבלת שכיחויות ובדיאגרמת עמודות מטרות :התלמיד יארגן ויציג נתונים בטבלת שכיחויות ובדיאגרמת עמודות. יקרא נתונים מתוך טבלה ודיאגרמת עמודות ,יזהה את השכיח בייצוגים השונים, ויעבור מייצוג אחד לייצוג אחר. הקניה :ככלל ,הדוגמאות הן פעילויות שבאמצעותן מוקנים המושגים והמיומנויות. הן מתבצעות במליאה עם התלמידים כשותפים מלאים בפתרונן. דוגמה :1הפעילות תתבצע במליאת הכיתה עם שאלות מנחות של המורה כאשר הספרים סגורים. מומלץ להציג את השאלה ולרשום את רשימת הנתונים על הלוח. מומלץ לסרטט את הטבלה על הלוח ,ולהשלים עם התלמידים :את הנתונים בעמודה של מספר ילדים במשפחה ואת הנתונים בכל שורה ושורה. מציגים את המושג שכיחות ,עוברים על השאלות שבדוגמה ,ומתרגלים את הבנתו על-ידי שאלות נוספות ,כגון: מה השכיחות של משפחות בעלות 3ילדים? כאשר התלמיד מתרגם שכיחות למספר הפעמים שגודל המשפחה מופיע ,לאילו משפחות יש שכיחות ? 2וכדומה. בדיאגרמת עמודות ,מציינים כי הציר האנכי מייצג שכיחות .מה מייצג הציר האופקי? לפני שמסבירים את מושג השכיח ,שואלים :האם מישהו שמע על המושג שכיח? מקשיבים לתשובות, אומרים :בסטטיסטיקה לשכיח יש משמעות מסוימת .מסבירים. שואלים :מה מספר הילדים השכיח במשפחה? באיזה מההצגות רואים זאת יותר בקלות – ברשימת המספרים ,בטבלה ,בדיאגרמה? (העמודה הגבוהה ביותר מעידה על הגודל השכיח). (ב) כמה תלמידים בכיתה? סכום של כל השכיחויות. הערה :ייתכנו שני שכיחים בקבוצת נתונים :לא מקובל לדבר על שכיחים כאשר יש יותר משני שכיחים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ כיתה ח ,חלק ב 1 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" מספר עמוד בספר לתלמיד: 2 תרגילים :עבודה בזוגות ככלל ,מומלץ לעודד תלמידים לעבוד בזוגות בהתמודדותם בפתרון שאלות. עבודה בחברותא מאפשרת הוראת עמיתים ,ומקדמת את שני בני הזוג :זה שמלמד נתרם כי הוא מברר לעצמו את המושגים תוך כדי ההוראה .זה שלומד – ברור שנתרם! בראש העמוד תרגיל לפתרון במליאת הכיתה עם המורה. הוא כולל את כל השלבים :ספירה של השכיחויות ,הצגה של השכיחויות בטבלה ,והצגה של הנתונים בדיאגרמת עמודות. בסעיף (ג) שאלות על הנתונים שהוצגו ,בדומה לשאלות שהוצגו בדוגמה .1 מומלץ לבקש מהתלמידים לפתור את הסעיפים אחד אחד ,ולאחר כל סעיף ,לבדוק את תשובות התלמידים ולקיים דיון מתאים. לאחר ההקניה ,מומלץ לתת לתלמידים לפתור תרגילים 1ו ,3 -ולבדוק אותם במליאה. התלמיד בודק את הבנתו על ידי התמודדות עם פתרון שאלות דומות לאלו שהוצגו בהקניה. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ כיתה ח ,חלק ב 2 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" מספר עמוד בספר לתלמיד: .2 3 בשאלה זאת ,את הנתונים יש להוציא מתוך הדיאגרמה ולא מתוך הטבלה. ככלל ,כאשר התלמיד נחשף לשאלה מסוג חדש ,מומלץ לבקש מהתלמידים לנסות להסביר את השאלה במילים שלהם. מתמטיקה היא שפה מאד מתומצתת ,ולכן לא תמיד קל להבין מיד במה מדובר. מומלץ לדון עם התלמידים במונחים :גדול מ ,-קטן מ ,-וגם לא גדול מ ,-לא קטן מ ,-הכוללים גם את המספר עצמו. חשוב לבקש מהתלמידים לנסות ולהסביר מה פשר השאלה כאשר התלמיד מונחה לעיין בטבלה ו/או בגרף. ציון גבוה מ 60 -כולל את התלמידים שקיבלו , 90 , 80 , 70ו .100 -נשאל כמה תלמידים קיבלו ציון שאינו קטן מ ? 60 -מספר זה כולל את התלמידים שקיבלו ציון גבוה מ 60 -וגם את אלו שקיבלו ציון .60 בשאלה זאת עליהם לחשב את הסכום של מספרי התלמידים שקיבלו .100 ,90 ,80 ,70 .3 כמו בשאלה ,2קריאת הנתונים היא מדיאגרמת עמודות. ניתן לבנות טבלת שכיחויות ולהציג את הנתונים גם בטבלה. את השאלות הנוספות יפתרו עצמאית בכיתה או בבית ,על פי שיקולי הדעת של המורה ובהתחשב בזמן הפריסה. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ כיתה ח ,חלק ב 3 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" מספר עמוד בספר לתלמיד: 4 .6הצגה של נתונים בטבלה ודיאגרמת עמודות. בטבלה מנייה של השכיחויות באמצעות קווקווים .יש לתרגם את הקווים לשכיחויות ולהוסיף את השכיחויות בעמודה השמאלית של הטבלה. בסעיף (ב) ,בדיאגרמת העמודות ,יש להשלים את השמות של צירים. על הציר האופקי מוצגים סוגי כלי הרכב .על הציר האנכי השכיחות ,כלומר ,מספר כלי הרכב. השאלות עוסקות בקריאה נכונה של הנתונים. בסעיף (ו) יש לחבר את השכיחויות של כל שלושת סוגי הרכב. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ כיתה ח ,חלק ב 4 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" מספר עמוד בספר לתלמיד: 5 .7תרגיל ראשון בו על התלמידים לסרטט את דיאגרמת העמודות. כדי להקל על התלמידים נתונים הצירים ושמות הצירים. על הציר האופקי מופיעים הציונים שהתקבלו במבחן .חשוב להקפיד על כך שהעמודות תהיינה רוחב שווה. ההקצאה על הציר מסייעת בכך. על הציר האנכי נעשתה הקצאה אבל התלמידים יוסיפו את הערכים המתאימים 0 :עד .12 כמו כן מוצגת העמודה המתארת את מספר התלמידים שקיבלו את הציון .80 השאלות המעידות על קריאה נכונה של נתונים דומות לשאלות שניתנו בתרגילים הקודמים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ כיתה ח ,חלק ב 5 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" מספר עמוד בספר לתלמיד: 6 הצגת נתונים בפיקטוגרמה חלק 2 מטרות :להציג ולקרוא נתונים בייצוג נוסף. הקניה :דוגמה 2הינה פעילות הקניה שמטרתה להציג בפני התלמידים דיאגרמה של סמלים. התלמיד מכיר דיאגרמה שבה כל סמל מייצג מספר (שכיחות) של תצפיות. זהו למעשה היבט נוסף של "דיאגרמת עמודות" שבה הגובה מייצג את השכיחות. בפיקטוגרמה ,לכל סמל ערך מספרי ,והשכיחות מתקבלת מסכום של הערכים המספריים של כל הציורים. בדוגמה 2כל ציור מייצג 100ספרים. לכן למשל ,בינואר ,שכיחות הספרים היא .800 כרגיל ,ההקניה נעשית במליאת הכיתה כאשר א .הספר סגור. ב .על ידי שאלות מנחות של המורה. ג .ההוראה היא "סביב התלמיד" ,ולא סביב המורה .הכוונה היא שהתלמיד הוא בתפקיד פעיל, הקול שלו נשמע יותר מאשר קול המורה. תפקיד המורה הוא להציג את המושגים הנדרשים להתקדמות השיעור. שאלות המורה מנחות את התלמיד להגיע לידע הנדרש. ולבסוף ,הניסוח המדויק של הדברים נעשה על ידי המורה. פיקטוגרף או פיקטוגרמה שמשמעותה רישום תמונה ,הוא צורת ייצוג של אובייקטים באמצעות ציורים. דוגמאות קדומות של פיקטוגרמה הם פטרוגליפים וציורי מערות שהתגלו במקומות שונים .בשלב מאוחר יותר בהתפתחות הכתב נוצרו סמלים מוסכמים המייצגים רעיון או מושג ונוצר הכתב הפיקטוגרפי שבו יש מערכת ציורים או סמלים כאשר כל ציור מייצג מילה. דוגמה לשימוש עכשווי לפיקטוגרף -כף היד שבתמרור עצור. (ויקיפדיה). תרגילים עבודה בזוגות התלמידים פותרים תרגילים , 11 , 9ו 13 -בכיתה .בודקים במליאה. .9יש לשים לב לכך שבכיתה ח מופיע "חצי" סמל/בן אדם ,ולכן הסמל מייצג חצי מ ,10 -כלומר 5תלמידים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ כיתה ח ,חלק ב 6 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" מספר עמוד בספר לתלמיד: 7 .10שימו לב כי המשאית מייצגת רק 5כלי רכב .הציורים האחרים מייצגים כל אחד 10כלי רכב. בסעיף (ה) בפיקטוגרמה שתי משאיות ושני זוגות אופניים .שני זוגות אופניים מייצגים 20זוגות. שתי משאיות מייצגות 10כלי רכב .כלי הרכב שהשכיחות שלו היא הקטנה ביותר הוא משאית וכלי רכב מסחרי. .11לא נתון הגודל אותו מייצג הציור .על התלמידים לקבוע זאת על-פי השוואת הנתונים של מספר הבתים ברחובות הדקל והתמר עם כמות הציורים בפיקטוגרמה. לפי הפיקטוגרמה ,ברחוב הדקל יש 6ציורים .נתון שברחוב הדקל יש 30בתים .מכאן ,כל ציור מייצג 5בתים. נבדוק אם זה נכון גם לגבי מספר הבתים ברחוב התמר. .12כמו בשאלה ,11לא נתון הגודל אותו מייצג הציור. המידע הנתון בשאלה :כל תמונה מייצגת אותו מספר של פריטים נתון גם המספר הכולל של מכנסיים שנמכרו ביום המסוים. בפיקטוגרמה מופיעים 4סמלים של מכנסיים המייצגים 80זוגות מכנסיים. לכן ,כל סמל מייצג 20פריטים. ניתן לחשב את מהפר החולצות והחצאיות שנמכרו .מספר החולצות שנמכרו מיוצג באמצעות 7סמלים, המייצגים 140פריטים ) . (20 ⋅ 7מספר החצאיות שנמכרו מיוצג באמצעות 3סמלים ,המייצגים 60פריטים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ כיתה ח ,חלק ב 7 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" מספר עמוד בספר לתלמיד8 : בהמשך תרגילים מסוגים שונים :ייצוג בטבלה ,ייצוג נתונים בדיאגרמת עמודות וייצוג נתונים בפיקטוגרמה. חשוב לתת לתלמידים להתמודד גם בסוגים קודמים .זו המהות של למידה מרווחת ,המוכיחה את עצמה כיעילה. .13בשאלה זאת תרגול של הכיוון ההפוך – הפעם התלמידים מסרטטים את דיאגרמת העמודות. זאת השאלה הראשונה ,בפרק הסטטיסטיקה ,שעל התלמיד לסרטט את הדיאגרמה כולה, (ללא חלקים כמו בתרגיל .)7 כדי להקל על התלמידים נתונה מערכת צירים עם קווי עזר וטבלה ריקה. חשוב לדון איתם בשאלה :מה מייצג כל אחד מהצירים? בנוסף ,יש להקפיד על סרטוט עמודות ברוחב שווה .בתרגיל 7נתונה הקצאה המסייעת בכך .בתרגיל זה על התלמיד להקפיד על רוחב שווה של העמודות. תרגילים 15 ,14בעמוד זה ,ותרגיל 17בעמוד הבא הם תרגילים דומים לתרגילים הקודמים ומיועדים לתרגול נוסף ,או לפעילויות הערכה ,על פי שיקול דעתו של המורה ועל פי פריסת הזמן המיועדת לפרק זה. אנו לא ממליצים לחרוג מהזמן המיועד :התלמידים ייפגשו תרגילים כאלה שוב בפעילויות של "נחזור ונתרגל". כפי שנאמר ,הלמידה המרווחת עדיפה על למידה בגושים מרוכזים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ כיתה ח ,חלק ב 8 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" מספר עמוד בספר לתלמיד: 9 .16דיאגרמת העמודות מציגה את התפלגות המכירות של ארבעה סוגים של מכשירי כתיבה במשך שבוע. בדיאגרמה הפריטים מסומנים באותיות א ,ב ,ג ,ד. בשאלה המילולית נתון הפריט השכיח ,הפריט שמספר המכירות שלו הוא הקטן ביותר ,וסדר הגודל בין הכמויות של הפריטים האחרים .על התלמידים להתאים בין הסיפור המילולי והשכיחות המוצגת בדיאגרמת העמודות. מומלץ לאפשר לתלמידים להתמודד עם השאלה בכוחות עצמם ולבדוק במליאת הכיתה. מתלמידים שיתקשו בפתרון נבקש לקרוא את הנתונים אחד אחד. אחרי שורת הפתיחה נשאל :כמה פריטים מוצגים בסיפור ובדיאגרמת העמודות? "ידוע כי הפריט השכיח הוא מחברות" – איזו אינפורמציה קיבלנו בשורה זאת? (הפריט הנמכר ביותר) איזו עמודה מייצגת את השכיח? (ב – העמודה הגבוהה ביותר). "הפריט שכמות המכירות שלו היא הקטנה ביותר" איזו עמודה מייצגת אותו? נשארו שני פריטים ושתי עמודות א ו -ג .מה נתון לגביהן? "נמכרו יותר עטים מסרגלים". (17א) האם על פי הנתונים ניתן להסיק שנסיעה במכונית מסוכנת יותר מרכיבה על אופנוע? על-פי הנתונים ,מספר הנפגעים בתאונות בהן מעורבים כלי רכב דו גלגליים קטן בהרבה ממספר הנפגעים שנהגו או נסעו במכונית .נתונים אלו אינם מעידים על כך שנסיעה באופנוע בטוחה יותר. בהשוואה בין מספר הנפגעים צריך לקחת בחשבון את מספר כלי הרכב מכל סוג הנעים בכבישים. מה למדנו? סיכום של התכנים שנלמדו עד כה. מומלץ לעבור עליהם במליאת הכיתה ולבקש מהתלמידים לתת דוגמה לכל אחד מהמושגים המוזכרים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ כיתה ח ,חלק ב 9 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" מספר עמוד בספר לתלמיד: 10 דיאגרמת עמודות כפולה חלק 3 כשרוצים להשוות בין שתי מערכות נתונים המציגות התפלגות בין ערכים זהים במצבים או בזמנים שונים, כגון מספר התלמידים שקיבלו ציון מסוים במתמטיקה ובאנגלית ,נוח לסרטט דיאגרמת עמודות כפולה. דיאגרמת עמודות כפולה דוגמה 3 לפניכם שתי דיאגרמות עמודות. באחת התפלגות הציונים במתמטיקה ,ובשנייה התפלגות הציונים באנגלית ,של 30תלמידי כיתה ח. דיאגרמת עמודות כפולה מאפשרת השוואה נוחה בין שתי מערכות הנתונים. מטרות :לחשוף בפני התלמידים את האפשרות ,והנוחות בהסקת מסקנות כאשר הנתונים המקבילים התפלגות הציונים באנגלית של תלמידי כיתה ח התפלגות הציונים במתמטיקה של תלמידי כיתה ח מספר תלמידים מספר תלמידים מוצגים בדיאגרמת עמודות כפולה. חומרים :מומלץ להגיע לשיעור עם דוגמה 3מוכנה להצגה לכיתה ,להקרנה ,אם יש עותק של גרסה דיגיטאלית, או להצמדה ללוח. הקניה :הספר סגור. מומלץ לכסות תחילה את התרשים של דיאגרמת העמודות הכפולה, ולהציג בפני התלמידים את שתי דיאגרמות העמודות ה"יחידות". הציון הציון ענו על השאלות הבאות: (א) האם בשני המקצועות מספר זהה של התלמידים שקיבלו ציון ? 80 (ב) באיזה משני המקצועות הישגי התלמידים טובים יותר? מומלץ לשאול את התלמידים את שאלות א ו -ב ,כדי ליצור הבנה ומוטיבציה ללימוד על דיאגרמת עמודות כפולה. כ די להשוות בין שתי הדיאגרמות נוח לעתים להציגן בסרטוט אחד. התפלגות הציונים במתמטיקה ובאנגלית של תלמידי כיתה ח מציגים בפניהם את דיאגרמת העמודות הכפולה, ושואלים " :האם ניתן לענות ביתר קלות על שאלות א ו -ב מתרשים של דיאגרמת העמודות הכפולה?" לאחר מכן ,שואלים" :מדוע לדעתכם מכנים אותה "דיאגרמת עמודות כפולה?". וכן" ,מדוע העמודות צבועות בצבעים שונים?". השאלות מפנות את תשומת הלב הקוגניטיבי/חשיבתי של הלומד למקום של צורך: 10 9 8 7 מקרא: 6 אנגלית 5 מתמטיקה 4 א .ליעילות ההשוואה בהצגה זו. ב .בכינוי "העמודה הכפולה". ג .לצורך בצבעים שונים ובמקרא כדי להבחין בין העמודות. מספר תלמידים 3 2 1 הציון 0 100 90 80 70 60 50 40 ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 10 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 11 תרגיל לפתרון במליאת הכיתה. מומלץ לבקש מהתלמידים לפתור את הסעיפים אחד אחד ,ולאחר כל סעיף ,לבדוק את תשובות התלמידים ולקיים דיון מתאים. (א) השלמה של המקרא. התפלגות הגובה הממוצע של בנים ובנות לפי גיל הסעיפים הבאים מאפשרים שאלות מהסוג :באיזה מההצגות :טבלה או דיאגרמת עמודים ,נעזרתם כדי לענות על כל שאלה. את התשובות לסעיפים (ב) ו( -ד) קל לראות בדיאגרמת העמודות .העמודה הצבועה בוורוד גבוהה מהעמודה הצבועה בכחול רק בגיל .12שוויון בגובה העמודות יש בגילים , 6 , 3ו.9 - תשובה לשאלה :באיזה גיל הגובה הממוצע של הבנים גדול מזה של הבנות (סעיף (ג)) ניתן לראות מתוך דיאגרמת העמודות :בגילים 18ו 21 -נראה כי ההפרש הוא הגדול ביותר. כדי לבדוק אם באמת בשתי קבוצות הגיל אותו הפרש ,וכדי לבדוק מה ההפרש יש להתייחס לנתונים המדויקים שבטבלת השכיחויות. תרגילים 19 – 18מומלץ לפתור כעבודה עצמית בכיתה ולבדוק אותם במליאה. תרגילים אלו דומים לשאלות הפתיחה אך כוללות שאלות גם על תכנים שנלמדו בחלקים הקודמים, כגון :מה השכיח? כאשר בודקים את המטלות ,מומלץ לבקש מהתלמידים שיסבירו את המקרא ,הסבר מלא. למשל בתרגיל 18לא להסתפק בתשובה כחול – חורף אדום – קיץ ,לציין שהגובה של העמודות הצבועות בכחול מציין את המכירות בחורף של חולצות לפי סוגים .הגובה של העמודות הצבועות באדום ,מציין את המכירות בקיץ של חולצות לפי סוגים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 11 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 12 בתרגיל " ,19כל עמודה הצבועה בצבע כחול מציגה את מספר התלמידים בכיתה ח 1שקיבלו ציון מסוים". ולא להסתפק בהסבר" :צבע כחול כיתה ח . "1ההסבר המלא מצביע על הבנה ומשמעות המקרא. התרגילים 25 – 20יכולים להתבצע כעבודת כיתה או שיעורי בית .לשיקול המורה ובהתחשב בזמן המיועד לכלל הנושא. .20אם סעיף (ג) מהווה בעיה ,מומלץ לשאול: כמה זמן מקדישים לשיעורי בית בחופש הגדול? ( 0שעות). מה יהיה גובה העמודה המתאימה ביום חופש? (.)0 איך העמודה תיראה? (העמודה לא תופיע). ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 12 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד13 : .22קריאת נתונים מתוך דיאגרמת עמודות כפולה כפי שעשו בתרגילים קודמים. (ה) לחישוב מספר התלמידים מכיתה ח 1שקיבלו ציון גבוה מ 80 -יש לחבר את מספרי התלמידים בעמודות הצבועות בכחול ,שקיבלו את הציונים 90ו.)4 + 2 = 6( .100 - על-פי שיקול דעתו של המורה ,ניתן להוסיף גם שאלות מהסוג "אינו קטן מ "80 -שהוא ניסוח אחר ל 80 -ומעלה ,וכדומה כפי שהוזכר בהנחיה לתרגיל 2עמוד .3 ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 13 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 14 .24בדיאגרמת העמודות נמחקו הכותרות. על הציר האופקי מוצגות קבוצות הגיל. על הציר האנכי :השכיחויות ,מ 10 -עד .120 ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 14 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 15 חלק :4הצגת נתונים בדיאגרמת עוגה דיאגרמת עוגה היא דיאגרמה שמציגה "ויזואלית" את השכיחויות היחסיות. ניתן לראות עבור כל תוצאה איזה חלק מתוך השלם (כלל האוכלוסייה) היא מהווה. כלומר במקרים בהם רוצים להשוות שכיחויות יחסיות ,דיאגרמה זו מסייעת להשוות ובמקרים רבים אין צורך בחישובים ,ניתן לאמוד על סמך שטח גזרות של חלקים ידועים כמו חצי ,רבע ,שליש. חשוב לזכור :בדיאגרמת עוגה "הולך לאיבוד" מידע – המידע על המספרים המוחלטים. מטרות :התלמיד ידע לקרוא נתונים מדיאגרמת עוגה שהיא דרך נוספת להצגת נתונים .יפתח הבנה של היתרונות של דיאגרמת העוגה ,שהיא ההצגה המועדפת כאשר מעוניינים להציג בדרך ברורה את החלק היחסי של כל אחד מהנתונים. כפעילות פתיחה הצגה של התפלגות דוחות תנועה של משטרת ישראל לפי סוגים עיקריים בשנת .2008 הדיאגרמה נלקחה מאתר הרשות הלאומית לבטיחות בדרכים. הנתונים מוצגים בדיאגרמת הנקראת דיאגרמת עוגה .הצגה בה כל גזרה מייצגת את החלק היחסי של הנתון הנבדק. הגזרה בעלת השטח הגדול ביותר כוללות את כל הדוחות האחרים. התלמידים מתבקשים להתבונן בדיאגרמה ולא להתייחס לגזרה זו .מבין הגזרות האחרות: (א) רואים בבירור שהגזרות הצבועות בירוק כהה ובכחול כהה הן הגזרות בעלות השטח הגדול ביותר. יש להתייחס לתוכן הגזרות :העבירות ,מהירות מופרזת ואי חגירה של חגורת בטיחות הן העבירות בגינן נרשם המספר הגדול ביותר של דוחות. (ב) העבירות שכרות ואי מתן זכות קדימה להולכי רגל הן העבירות בגינן נרשם המספר הקטן ביותר של דוחות. (ג) צירוף אפשרי :מהירות מופרזת ,התנהגות הולכי רגל ,ואי מתן זכות קדימה להולך רגל. צירוף אפשרי אחר :אי חגירה של חגורת בטיחות ,שכרות ,אי ציות לרמזור ,ואי מתן זכות קדימה להולך רגל. או :סטייה מנתיב ,שימוש בנייד ללא דיבורית ,ואי ציות לתמרורים אחרים. (ד) צירוף אפשרי :העבירות במחצית התחתונה של העיגול :אי מתן זכות קדימה להולך רגל ,אי ציות לרמזור, אי חגירת חגורת בטיחות ,שכרות ,סטייה מנתיב ,שימוש בנייד ללא דיבורית ,ואי ציות לתמרורים אחרים. (ה) כפי שצוין בראש העמוד ,בדיאגרמת עוגה "הולך לאיבוד" מידע – המידע על המספרים המוחלטים. לא נתן לדעת את מספר הדוחות שנרשמו לכל עבירה .בתחתית הדף\ הדיאגרמה\ כאשר ליד כל גזרה כתוב חלקה היחסי באחוזים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 15 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד16 : תחילה מומלץ לספר במילים את הקשר השאלה :ישנם תשלומים שונים שעל כל משפחה לשלם לחברות השונות .נבקש מהתלמידים לבדוק כמה סעיפי הוצאה בשאלה זאת .לוודא שהם מכירים את כל הסעיפים. לומר כי ארנונה הם המיסים המשולמים לעירייה. ללא הבנה של ההקשר ,התלמידים יתקשו לגשת לפתרון שאלה ,קלה או קשה. הקניה :דוגמה .4הפעילות תתבצע במליאת הכיתה כאשר הספרים סגורים. מומלץ להביא לכיתה סרטוט מוגדל של הדיאגרמה או להיעזר במיחשוב להצגת הדיאגרמה. בדיאגרמת העוגה שהוצגה בעמוד הקודם ליד כל גזרה הופיעה העבירה המתאימה. בדרך כלל ,כל אחת מהגזרות צבועה בצבע שונה .ליד הדיאגרמה מופיע מקרא המתאים לכל גזרה את הנתונים שהיא מציגה. רקע היסטורי קצר על המקור של דיאגרמת העוגה. ניתן להפנות את התלמידים לויקיפדיה בה מוצגת גם הדיאגרמה המזכירה את דיאגרמת העוגה. הדיאגרמה של פלורנס נייטינגל הייתה מתוחכמת יותר :נייטינגייל משלבת בה מספר רעיונות .כל גזרה מייצגת קטגוריה של נתונים (בתי חולים במקרה הזה) .אורך הגזרה (המרחק מהמרכז) מייצג שכיחות, וכל גזרה מחולקת בנוסף לכך לשלושה חלקים בשלושה צבעים (הדיאגרמה המקורית הייתה צבעונית) המייצגים סיבות תמותה .שטח הגזרות מבטא את השונות של התצפיות .כל זאת בשתי נקודות זמן. מדיאגרמה זו התפתחה בהמשך דיאגרמת העוגה הפשוטה יותר ,וגם ההיסטוגרמה – בה השטח מבטא שכיחות. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 16 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד17 – 16 : תרגיל דומה לדוגמה ,4לפתרון במליאת הכיתה תרגילים ( .26א) דירוג על פי גודל הגזרה או לפי האחוזים של שטח של כל אחת מהגזרות. (ב) השכיח – הנתון בעל השכיחות הגבוהה ביותר .בדיאגרמה זו הנתון שהשטח המייצג אותו צבוע בסגול. על-פי המקרא המיון .70 (ג) לא ניתן לדעת כמויות. (ד) 30%מהתלמידים קיבלו את הציון .70נחשב כמה הם 30%מ? 40 - התשובה 12 :תלמידים קיבלו א תהציון .70 ( .27א) בשאלה זו יש להשלים את המקרא על פי הנתונים שבשאלה ודיאגרמת העוגה הנתונה. השטח הצבוע בסגול הוא הגדול ביותר .על-פי היגד ( )1הוא מייצג את מספר הנשאלים שהעדיפו טיולי ג'יפים. היגד ( :)2כרבע מהנשאלים העדיפו טיול באוטובוס .השטח הצבוע בירוק מהווה כרבע מהעיגול. היגד ( :)3כרבע מהנשאלים העדיפו טיול ברגל או באופניים – הגזרות הצבועות באדום ובכחול מהוות כרבע משטח העיגול .על-פי היגד ( )4הגזרה הצבועה באדום מייצגת את חלק הנשאלים המעדיפים טיול ברגל .הגזרה הצבועה בכחול מייצגת את חלק הנשאלים המעדיפים טיול באופניים. (ב) טבלה המציגה לכל תוצאה את החלק היחסי מתוך שטח העיגול. (ג) לא ניתן לדעת כמה אנשים העדיפו כל סוג של טיולים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 17 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד18 : .28דומה לשאלות הקודמות. (ג) ( )1לא נכון. ( )2נכון. ( )3נכון. ( .29א) התאמה בין היגדים מילוליים לבין שתי דיאגרמות עיגול. בנתונים המילוליים בשתי הכיתות יש התייחסות לחוג המחשבים. בכיתה ח : 2השכיח הוא חוג המחשבים .בכיתה ח :1כרבע מהתלמידים בחרו במחשבים. השכיח בדיאגרמה ( )1צבוע בסגול .השכיח בדיאגרמה ( )2צבוע באדום/כתום. נבדוק מה גודל הגזרה בצבעים סגול ואדום בדיאגרמה האחרת .בדיאגרמה ( )2הגזרה הצבועה בסגול מהווה רבע מהעיגול. מכאן ,הצבע הסגול מייצג את החלק היחסי של התלמידים שבחרו בחוג מחשבים. השטח הצבוע באדום הוא הגדול ביותר בדיאגרמה ( .)2הוא מייצג את החלק היחסי של אלו שבחרו בספורט. דיאגרמה ( - )1מתאימה להתפלגות העדפות התלמידים של כיתה ח.2 דיאגרמה ( - )2מתאימה להתפלגות העדפות התלמידים של כיתה ח.1 (ב) סגול – מחשבים אדום – ספורט צהוב – אמנות (בכיתה ח 2מספר שווה של תלמידים בחוגים ספורט ואמנות). כחול – חוג אחר. (ג) רבע מתלמידי כיתה ח 1הם 8תלמידים .בכיתה כולה 32תלמידים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 18 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד19 : .30גם כאן היגדים מילוליים באמצעותם נשלים את המקרא. הנתונים הם עבור ארבעה פריטים :עוגות שוקולד ,עוגות גבינה ,עוגיות ,וכריכים. ( )1העוגות מהוות מחצית המכירות :העוגות מוצגות באמצעות השטחים הצבועים באדום וכחול ,או באמצעות השטחים הצבועים בסגול וצהוב. ( )2מספר עוגות השוקולד גדול פי שניים ממספר העוגיות – השטח האדום גדול פי 2מהשטח הסגול. אדום – עוגות שוקולד .סגול – עוגיות. ( )3מספר הכריכים גדול פי 2מספר עוגות השוקולד .השטח הצהוב גדול פי שניים מהשטח האדום. צהוב – כריכים. ( )4למעשה מיותר .כחול – עוגות גבינה. .31התפלגות המשקים החקלאיים בארץ לפי הענפים העיקריים מוצגת בשלושה ייצוגים שונים. מציגים את התרשימים ומסבירים כי כולם מציגים את אותם נתונים. דרך השאלות והתשובות התלמידים לומדים שדיאגרמת העוגה אינה ההצגה המועדפת כאשר רוצים להציג נתונים מוחלטים :דיאגרמת עמודות מציגה זאת טוב יותר .בטבלה דיוק מרבי. היתרון של דיאגרמת העוגה הוא בכך שהיא מציגה בדרך הברורה ביותר את החלק היחסי של כל אחד מהנתונים מתוך הכלל. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 19 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד20 : הצגת נתונים בגרף (חלק )5 מעבר מדיאגרמת עמודות לגרף ודיון בשאלה האם יש משמעות לנקודות הנמצאות על הקו המחבר את הנקודות הנתונות( .נלמד בספר קפיצה לגובה לכיתה ח חלק ב עמודים ).24 – 20 חיבור הנקודות בקו מאפשר לשער ערכים בין שני נתונים ידועים. בחיבור הנקודות קל לראות "מגמה" כמו עליה או ירידה. הצגה של התפלגות בייצוגים שונים ודיון בסוגי המידע שניתן לקבל מכל אחת מההצגות. דוגמה 5 הצגה של דיאגרמת העמודות על הלוח. שואלים :מה הוא הגובה הממוצע של בנים בגיל ? 0מדגישים בדיאגרמה (להלן בנקודה הצבועה באדום). מה הוא הגובה הממוצע בגיל ? 2מדגישים בדיאגרמה ,וכו'. במערכת צירים חדשה מסמנים רק את הנקודות שהתקבלו. מתקבל הגרף שבשמאל העמוד בו הגבהים מסומנים באמצעות נקודות. שואלים :מה מסמנת כל נקודה? האם המידע המתקבל מסימון באמצעות נקודות זהה לזה המתקבל מהמידע שבדיאגרמת העמודות? (ב) שואלים :האם יש משמעות לערכי הביניים המתקבלים על-ידי חיבור הנקודות? סביר להניח שהגובה הממוצע של בנים בגיל ( 4למשל) הוא בין הגובה הממוצע בגיל 3לגובה הממוצע בגיל .6החיבור בקו נותן גובה ממוצע משוער. החיבור בקו מדגיש גם את המגמה :הגובה הממוצע גדל עם הגיל עד לגיל .18אחרי גיל 18הגובה הממוצע נשאר קבוע. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 20 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד21 : תרגיל לפתרון במליאת הכיתה תהליך דומה לזה שבדוגמה 5כאשר התהליך הוא בדיאגרמת עמודות כפולה. נתון גם הייצוג בטבלה .הייצוגים הגרפיים מדגישים ויזואלית את התפלגות הנתונים. מומלץ לשאול :מה מציגה הדיאגרמה? התפלגות של התלמידים על פי הציון בבחינה. האם יש משמעות לנקודות הנמצאות בין שתי נקודות על הגרף המתקבל על-ידי חיבור הנקודות הנתונות? (לא). מדוע לחבר? החיבור מדגיש את המגמה .בכיתה ח ,1רואים כי בציונים 50עד 90הגרף עולה: ככל שהציון גבוה יותר ,מספר התלמידים שקיבלו ציון זה גם הוא גדול יותר. הגרף יורד במעבר מציון 90לציון .100 בכיתה ח ,2בציונים 50עד ,70הגרף עולה ולאחר מכן יורד. תרגילים: עבודה בזוגות. יישום של הנלמד בפרק זה. .32גרף 1מציג את משקלו של תינוק מיום לידתו עד ליום ה 14 -לחייו .משקלו של תינוק יורד מיד לאחר הלידה ולכן בין יום הלידה ליום השני הגרף יורד .חיבור הנקודות בקו נעשה ביד חופשית. לא נתון מידע לגבי משקל התינוק ביום .1ייתכן שביום 1משקל התינוק קטן ממשקלו ביום .2 בתרגיל זה יש משמעות לנקודות הביניים המתקבלות מחיבור הנקודות בקו. המגמה (פרט ליומיים הראשונים) היא של עלייה במשקל. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 21 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד22 : ( .33א) הקו המחבר את הנקודות מציג מגמה :מציג את ההתנהגות לאורך השנה. (ב) אין משמעות לנקודות הביניים המתקבלות על הקו המחבר בין כל שתי נקודות נתונות. (ג) בתיאור התפלגות ימי הגשם נבקש מהתלמידים לתאר את ההשתנות תוך התייחסות לעונות השנה. יש להתאים תחילה בין עונות השנה לחודשים כפי שמקובל בארצנו. קיץ – חודשים יוני ,יולי ,אוגוסט .חורף – דצמבר ,ינואר ,פברואר. לבדוק איזו היא העונה הגשומה ביותר .השחונה ביותר. (ד) הסכום של ימי הגשם בכל עונות השנה. ( .34ג) גם בשאלה זו הקו המחבר את הנקודות מציג מגמה .אין משמעות לנקודות הנמצאות על הקו בין כל שתי נקודות נתונות .הקו מדגיש בין אילו שנים חלה ירידה הכמות המכוניות שנמכרו ובין אילו שנים חלה עלייה במכירות. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 22 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 23 .35התאמה בין ייצוג בטבלה לייצוג בגרף. יש להתייחס לנקודות המסמנות את התוצאות 0עד .5התלמידים יסמנו נקודות אלו בכל אחד מהגרפים כמתואר להלן: למשל בגרף (,)1 יש לשים לב לכך שעל הציר האנכי השכיחויות הן במרווחים של .2 חלק מהשכיחויות בגרף זה (מסומנות בגרף) אינן מספר שלם. רק נקודות הנמצאות במפגש של שני ישרים ,גם ישרים רציפים וגם מקווקווים ,מציגות שכיחויות שהן מספרים שלמים. • • • • יש להניח שהטבלה המתאימה היא טבלה (ב). נבדוק. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 23 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד24 : .36שאלה דומה לשאלה .31הצגה של התפלגות תלמידי הכיתה לפי מספר הילדים במשפחה ,בשלושה ייצוגים שונים. בשאלות התייחסות לייצוג המתאים ביותר למציאת התשובה .והתאמה בין הייצוגים השונים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 24 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד25 : נחזור ונתרגל משוואות ושאלות מילוליות .1פתרון משוואות .טעויות צפויות: ( )6פתיחת סוגריים כאשר המקדם הוא מספר שלילי. ( ) 8( , )7חיסור ביטוי כפלי בו נדרשת פתיחת סוגריים באמצעות חוק הפילוג .מומלץ לפתור משוואה ()7 במליאת הכיתה ואת משוואה ( )8לתת לתלמידים כעבודה עצמית. ( )9כמו משוואות ( )7ו .)8( -אבל ,לא כתוב מקדם מספרי לסוגריים .שואלים :מה הוא המקדם? ()–1 נמליץ לתלמידים להעתיק את התרגיל בתוספת המקדם.5(x – 1) = 8(x – 7) – 1(x – 1) : ( )5מומלץ לפתור במליאת הכיתה .ניתן לתלמידים להתמודד לבד עם הפתרון ונציג פתרונות על הלוח. דרכי פתרון שונים: x ( )1מחסרים 9משני אגפי המשוואה ומקבלים . 3כופלים פי 5ומקבלים .x = 15 5 x 9 12 . מרחיבים את השברים למכנה .5 ( )2כותבים את כל המחוברים שבמשוואה כשברים. 5 1 1 x 45 60 x 45 60 .המכנים שווים משווים מונים. . מחברים: 5 5 5 5 5 x 9 12 . מכנה משותף .5 ( )3כותבים את כל המחוברים שבמשוואה כשברים. 5 1 1 1⧸x 5⧸9 5⧸12 נכפול את כל המחוברים ב .5 -כותבים מעל כל מחובר פי כמה כופלים את המונה. 5 1 1 ( )10כעבודה עצמית .יש לשים לב לסימן השבר. .2משוואות עם מכנים .דרכי הפתרון כמו אלו המוצגים בתרגיל .1מומלץ לבצע תרגילים ()9( , )5( , )1 במליאת הכיתה .האחרים כעבודה עצמית. תרגילים 14 – 3שאלות מילוליות. חשוב לחזור על שלבי הפתרון :את הגודל החסר ,או את אחד מהגדלים החסרים מסמנים ב.x - באמצעות ,xכותבים ביטוי אלגברי עבור גדלים חסרים אחרים. כותבים משוואה מתאימה ופותרים את המשוואה. כותבים פתרון מילולי לשאלה ובודקים (לא באמצעות הצבה במשוואה אלא בדיקה אם הגדלים שחישבנו ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 25 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד26 : מתאימים לנאמר בשאלה). בחלק מהשאלות ,על דף תובנות ,הצעה לבחירה של .x מומלץ לפתור במליאת הכיתה שאלות.13 , 11 , 9 , 6 , 3 : .3יפתרו במליאת הכיתה .דיון בשאלה את מי מהגדלים החסרים נסמן ב.x - בשאלה אומרים כי מספר א גדול ממספר ב .נסמן את מספר ב ב .x -מספר א יהיה .x + 25 כאשר בוחרים לסמן את מספר א ב ,x -מספר ב יהיה ) .x – 25אם א גדול מ -ב אז ב קטן מ -א). משוואה עבור סכום המספרים .פתרון ותשובה מילולית. בשאלה זו שתי האפשרויות מביאות למשוואה פשוטה הקלה לפתרון. .4בדרך כלל תלמידים מעדיפים משוואות פשוטות יותר :משוואות בהן פעולות כפל ולא פעולות חילוק, ללא שברים .כמו בשאלה 3ניתן לסמן ב x -כל אחד משני הגדלים החסרים .בדרך אחת תתקבל משוואה עם שברים .כאן על דף תובנות הצעה לסמן את מספר ב ב.x - מומלץ לשאול אם יש תלמיד שלא התייחס להנחיה שעל דף התובנות ובחר אחרת .אם לא ,נציג גם את הדרך האחרת .יש להניח שהתלמידים יעדיפו להגיע למשוואה ללא שברים. .5כמו בתרגיל 4יש שתי אפשרויות .נשאיר את הבחירה בידי התלמידים .יש להניח שיבחרו בדרך בה יש לכפול את xב 1 -ולא בדרך בה יש לבצע חילוק ב.1 - .6מומלץ לפתור במליאת הכיתה .גודלן של שתי צלעות מקבילות במלבן מיוצג באמצעות ביטויים אלגבריים. יש לחזור על כך שצלעות מקבילות במלבן שוות זו לזו. (א) חישוב xבמשוואה המתקבלת מהשוואת הביטויים המייצגים את אורך שתי הצלעות המקבילות של המלבן. (ב) מה אורך צלעות המלבן? למציאת אורך הצלעות המקבילות שגודלן נתון באמצעות ביטויים אלגבריים, מציבים את הערך שהתקבל עבור xבביטויים הנתונים .חשוב לוודא שבשני הביטויים התקבלה תוצאה שווה .היקף המלבן הנתון משמש לחישוב אורך שתי הצלעות האחרות .חשוב לוודא שהתלמידים יודעים מהו היקף מצולע. .7שאלה זהה לשאלה .6 .8שאלה דומה לשאלות .7 – 6מוצג משולש שווה שוקיים .במשולש שווה שוקיים שתי צלעות שוות. אורך כל שוק מיוצג באמצעות ביטוי אלגברי .תהליך הפתרון כמו בשאלות הקודמות. .9מומלץ לפתור במליאת הכיתה .כתיבת משוואה לחישוב חלק של שלם .חשוב לוודא שהתלמידים יודעים לחשב חלק של שלם .מומלץ לבצע תרגילים פשוטים לפני ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 26 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 26 המעבר לשאלה הנתונה( .כמה הם חצי של ?24כמה הם שליש של ?15כמה הם שני שלישים של ?15וכדומה .מהי פעולת החשבון המתבצעת? שאלות 14 – 10עוסקות בגילים. .10הנושא הוא גילים ,אבל השאלה דומה לשאלות הקודמות .5 – 3 .11מומלץ לפתור במליאת הכיתה .הנחייה על דף תובנות .בשאלות גילים מסוג זה חשוב לוודא שברור לתלמידים שכאשר מדברים על הגיל בעוד xשנים (או לפני xשנים) כל הגילים בהם דנים גדלים (או קטנים) ב .x -כמו בשאלה ,9גם כאן מומלץ לבדוק זאת במספרים .יעל בת 12ומיכל בת .15 מה יהיה גילן בעוד 5שנים? מה היה גילן לפני 3שנים וכדומה. .12שאלה דומה לשאלה .11 .13מומלץ לפתור במליאת הכיתה .על התלמידים לבחור במשוואה הנכונה מבין שתי משוואות נתונות. התהליך כמו בשאלה .11נסמן את מספר השנים ב.x - בעוד xשנים גיל יואב יהיה .7 + x בעוד xשנים גיל האב יהיה .43 + x נתון כי בעוד xשנים יהיה גיל האב גדול פי 4מגיל הבן .את איזה מהביטויים נכפול פי ?4 נטייה של תלמידים רבים היא לכתוב משוואה על-פי הסדר הכתוב בשאלה (גיל האב גדול פי ולכן נכפול אותו ב 4 -הוא גיל הבן). חשוב להרגיל את התלמידים לבדוק תמיד איזה ביטוי גדול יותר? במשוואה משווים בין ביטויים בעלי ערכים שווים .גיל האב גדול מגיל הבן :שוויון יתקיים אם נכפול את גיל הבן ב ,4 -או לחילופין אם נחלק את גיל האב ב .4 -כפי שצוין קודם התלמידים מעדיפים משוואה ללא שברים .הבחירה הנכונה היא ביטוי (.)2 התלמידים יבצעו ללא עזרה את פתרון המשוואה ,יכתבו תשובה לשאלה ,ויבדקו. .14סיפור דומה לזה שבשאלה .13על דף תובנות הנחיה לפתרון .התלמידים יכתבו בעצמם את המשוואה ויפתרו. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 27 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד27 : דמיון משולשים דמיון משולשים בכיתה ח ,דמיון משולשים נלמד בשני סבבים: הסבב הראשון עוסק במצולעים דומים כאשר הדגש הוא על דמיון משולשים. צורות דומות הן צורות שאחת מהן היא הגדלה או הקטנה של האחרת. לדוגמה ,כאשר מסתכלים על עצם דרך זכוכית מגדלת רואים עצם מוגדל הדומה לזה המקורי. כל נושא מחולק לתת-נושאים שונים .למען הנוחיות נכנה כל תת-נושא כחלק. דמיוןדמיוןדמיוןדמ דמיו ןדמיוןדמיון דמיוןדמיוןדמיון דמיון דמיוןדמיון דמיוןדמיוןדמיוןדמ חלקים 5 :3 ,2 ,1שיעורים. פעילות 1 חלק :1דמיון משולשים מטרות: התלמיד יזהה צורות דומות, לפניכם שישה אוספים של צורות. בכל אוסף אחת מהצורות אינה דומה לאחרות ,היא אינה הגדלה או הקטנה של הצורות האחרות. זהו אותה. (א) (ד) יזהה משולשים דומים על פי שוויון זוויות, ייחשב גודל זוויות ואורך צלעות במשולשים דומים, יזהה מצולעים דומים. הקניה :מוצגות ארבע פעילויות שהתלמידים מבצעים ובאמצעותן בונים (א) דימוי לדמיון משולשים (ב) תכונות של משולשים דומים. (ב) (ה) הדימוי לדמיון הוא הגדלה/הקטנה של הצורה כפי שמתבטאת בזכוכית מגדלת. פעילות :1במליאה. מומלץ לסרטט את סעיף (ב) על הלוח ולשאול "מהם שלושת המרובעים הדומים זה לזה?" (הריבועים). גם הכיוון ההפוך הוא נכון :אילו היינו הופכים את זכוכית המגדלת היא הייתה מקטינה את התמונה: היינו חושבים שהריבוע הקטן נראה כמו הריבוע הגדול. )ג) (ו) עבודת כיתה .התלמידים עובדים בזוגות .כעת יש לתת לתלמידים לפתור פעילות (א) .בודקים במליאה. נעזרים בדימוי של זכוכית מגדלת. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 28 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד28 : פעילות 2 פעילות 2 (א) בכל סעיף מצויר משולש ורוד ולידו מצוירים שני משולשים אחד תכלת והשני ירוק. מתמקדת בהצגת משולשים דומים והתכונות: א .הזוויות המתאימות שוות. רק אחד משני המשולשים דומה למשולש הורוד .איזה הוא? הסבירו. ()1 ב .היחס בין צלעות מתאימות הוא יחס שווה. מליאה -דומה לפעילות 1אבל האוספים הם אוספים של משולשים .גם כאן משולש אחד הוא () 3 יוצא דופן והתלמידים צריכים לזהות אותו .בנוסף התלמידים מתבקשים להשוות את הזוויות המתאימות בשניים מהמשולשים הדומים. מומלץ להכין 3משולשים כמו סעיף ( ,)3ולהדביקם על רקע משובץ מאחוריהם ,על הלוח. () 2 לחילופין אפשר לסרטט אותם על הלוח עם רקע משובץ מאחוריהם ,ולהיעזר בנייר פרגמנט, ()4 או שקפים ,ולומר" :רק אחד משני המשולשים דומה למשולש הוורוד .איזה הוא? הסבירו". (המשולש הירוק הוא "הקטנה" של המשולש הוורוד). "האם בשני המשולשים הדומים הזוויות שוות בגודלן?" ניתן לבדוק )1( .על ידי מדידת הזוויות באמצעות מד זווית. ( )2על ידי העתקת הזוויות של משולש אחד על נייר שקוף/שיקופית והנחתן על הזוויות של המשולש הדומה .מוודאים כי ישנן שלוש זוויות במשולש אחד השוות לשלוש הזוויות במשולש הדומה לו ,ולומר" :במשולשים דומים ,לזוויות שוות ,קוראים זוויות מתאימות". (ב) בציור ( ,)3המשולשים הם ישרי זווית .המשולש הוורוד והמשולש הירוק הם משולשים דומים. במשולשים דומים: ( )1האם בשני המשולשים יש זוויות השוות בגודלן? ( )2המשולשים מסורטטים על דף משובץ .כל משבצת מייצגת ריבוע שאורך צלעו 1ס"מ. הוסיפו לכל משולש את אורכי הניצבים ,וחשבו את היחס בין כעת מסרטטים שני משולשים דומים כבציור ,וצובעים א .את שלוש הזוויות המתאימות באותו צבע. ב .את הצלעות מול הזוויות השוות באותו צבע של הזוויות. לזוויות שוות ,קוראים זוויות מתאימות במשולשים דומים. לצלעות הנמצאות מול זוויות שוות, קוראים :צלעות מתאימות במשולשים דומים. האורכים של ניצבים מתאימים במשולש הוורוד ובמשולש הירוק. מה קיבלתם? אומרים" :לצלעות הנמצאות מול זוויות שוות ,קוראים :צלעות מתאימות במשולשים דומים". פעילות 3 ממשיכים למטלה השנייה: לפניכם שני משולשים דומים ΔABC :ו.ΔDEF - "מה היחס בין האורכים של כל זוג ניצבים מתאימות במשולשים דומים?" סופרים את מספר המשבצות. בכתיב מתמטי: (התלמידים לא התבקשו לחשב את היחס שבין אורך היתר של המשולש הוורוד לאורך היתר של המשולש הירוק. (א) בשני המשולשים הזוויות המתאימות שוות. זאת מכיוון שיחידת המידה באמצעות המשבצות קטנה מס"מ אחד. במשולש הוורוד אורכי הניצבים הם 4ו 10 -משבצות המייצגים אורכים של 4ו 10 -ס"מ בהתאמה. אורך היתר (על-פי משפט פיתגורס) הוא 116 10.77 ס"מ .במדידה באמצעות סרגל מקבלים 4.8ס"מ. ΔABC ΔDEF ∢A = ∢D מכיוון שיהיה צורך למדוד את האורך באמצעות סרגל ולכאורה יקבלו שאורך היתר קטן מאורך הניצב. ∢B = ∢E ∢C = ∢F (ב) D A C מה הקשר בין הצלעות המתאימות של שני המשולשים? B E F הצלע EFב ΔDEF -גדולה פי 3מצלע BCב. ΔABC - אורך כל אחת מהצלעות של ΔDEFגדול פי 3מאורך הצלע המתאימה ב .ΔABC -מדדו ובדקו. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 29 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 29 היחס בין האורך של היתר במשולש הוורוד לבין אורך היתר של המשולש הירוק יהיה זהה ליחס שבין הניצבים פעילות 4 המתאימים). מגיעים למסקנה" :במשולשים דומים היחס בין הצלעות המתאימות הוא קבוע" .עובדים בזוגות .התלמידים E לפניכם שני משולשים דומים ΔDEF :ו.ΔABC - D 106 28 לשני המשולשים זוויות שוות: ∢A = ∢D פותרים את יתר הסעיפים באופן עצמאי .בודקים במליאה. ∢B = ∢E ∢C = ∢F פעילות .3מטרת פעילויות 3ו 4 -להראות שבמשולשים דומים קיים יחס קבוע בין כל שתי צלעות מתאימות. להנחות את התלמידים לצבוע את הזוויות ואת הצלעות המתאימות .עובדים בזוגות .התלמידים פותרים ובודקים במליאה. B D 46 בדקו באמצעות סרגל או בדרך אחרת, 28 46 F C כמה פעמים ניתן להקצות את צלע ABעל צלע .DE כמה פעמים ניתן להקצות את צלע BCעל צלע .EF כמה פעמים ניתן להקצות את צלע ACעל צלע .DF התלמידים ישלימו את המשולשים החסרים הנכנסים לתוך המשולש .DEF מה היחס בין אורך צלע במשולש ABCלאורך הצלע המתאימה במשולש .DEF פעילות המדגישה בבירור כי אורך כל אחת מהצלעות של המשולש DEF גדולה פי שלושה מאורך הצלע המתאימה של המשולש .ABC מה קיבלנו? F 106 A E פעילות .4כבפעילות ,3מומלץ להנחות את התלמידים לצבוע את הזוויות ואת הצלעות המתאימות של המשולשים הדומים .עובדים בזוגות .בפעילות זאת לא בודקים כמה משולשים קטנים נכנסים לתוך המשולש הגדול אלא מקצים את אורך הצלע של המשולש הקטן על הצלע המתאימה של המשולש הגדול .את ההקצאה ניתן לבצע באמצעות מחוגה ,העתקת המשולש הקטן על נייר שקוף ,או באמצעות שימוש בסרגל. התלמידים פותרים ובודקים במליאה .מגיעים למסקנה כי היחס בין צלעות מתאימות הוא קבוע :במקרה זה x E 106 y קדקוד והצלע שמולו צבועים באותו צבע. DEגדול פי 4מ.AB - x x EFגדול פי 4מ.BC - y DFגדול פי 4מ.AC - היחס בין האורכים של כל אחת מצלעות המשולש ΔDEF לצלע המתאימה במשולש ΔABCהוא .4 : 1 46 y F z y x 28 z D z x z B 28 106 y z 46 A C אומרים :יחס הדמיון בין שני המשולשים הוא .4 היחס הוא 4:1או ( .4יש להזכיר לתלמידים כי הפעולה של יחס שקולה לפעולת החילוק ולכן 4:1הוא .)4 דוגמה 1 דוגמה 1 נתונים שני משולשים דומים ΔDEF :ו.ΔABC - כל צלע ב ΔDEF -גדולה פי 2מהצלע מטרתה של דוגמה 1היא :בהינתן שני משולשים דומים ,והאורכים של צלעות מתאימות – ניתן לחשב את היחס המתאימה ב.ΔABC - בין הצלעות המתאימות ,שהוא יחס הדמיון .הקניה :במליאת כיתה .ספרים סגורים. היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא .2 : 1 מומלץ לסרטט את שני המשולשים על הלוח ,ולרשום את האורכים על הצלעות. אומרים: יחס הדמיון בין משולש ΔDEFלמשולש ΔABCהוא .2 לומר :המשולשים דומים .איך נחשב את היחס הקבוע בין הצלעות המתאימות? לבקש לרשום את היחס בין צלעות מתאימות כמנה .מהו היחס? ( )2היחס הקבוע מכונה יחס הדמיון. סרטוטים מוקטנים D A 1.8 3.6 2 B 4 2 C E 4 DE 3.6 2 AB 1.8 לכל זוג משולשים דומים יש יחס דמיון הייחודי להם. DF 4 2 AC 2 במקום לומר במילים " ΔABCדומה ל "ΔDEF -כותבים בשפת המתמטיקה.ΔABC ΔDEF : EF 4 2 BC 2 F הזוויות השוות צבועות בצבעים זהים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 30 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: תרגילים תרגילים 4 – 1מאמנים את התלמידים ביישום הידע החדש שרכשו. מומלץ להרגיל את התלמידים בצביעת האותיות ,הקדקודים ,הזוויות ,והצלעות המתאימים על פי הנלמד. 30 במשולשים דומים: • • זוויות המשולש האחד שוות בהתאמה לזוויות המשולש השני. היחס בין כל זוג צלעות מתאימות הוא קבוע. ליחס הקבוע קוראים יחס הדמיון .כותבים . ΔABC ΔDEF :אומרים :משולש ABCדומה למשולש .DEF כל הסרטוטים מוקטנים תרגיל בסרטוט שלפניכם שני משולשים דומים. (המידות בס"מ). D A מה יחס הדמיון? C 5 15 בתרגיל ( 4בעמוד הבא) F B יש חידוש :נתונים אורכי צלעות ללא סרטוטים -לכן מומלץ לפתור תרגיל זה עם המורה. E מומלץ לסרטט שני משולשים ולסמן את האורכים על הצלעות. כדי לפתור את השאלה על התלמידים לבדוק את היחס בין זוגות צלעות. שואלים :כיצד יודעים בין אילו שתי צלעות לחשב את היחס? תרגילים .1 בסרטוט שלפניכם שני משולשים דומים. הדרך ההגיונית לפתרון היא לבדוק יחס בין הצלעות על-פי האורך .היחס בין שתי הצלעות שאורכן הקטן (המידות בס"מ). ביותר ,היחס בין שתי הצלעות שאורכן הגדול ביותר ,והיחס בין האורכים של שתי הצלעות הנותרות. מה יחס הדמיון? לחשב את היחס שבין הצלע הקצרה של המשולש האחד לבין הצלע הקצרה של המשולש השני. היחס.10 : 6 = 5 : 3 : 12 15 4 5 21 7 הזוויות השוות צבועות בצבעים זהים. .2 בסרטוט שלפניכם שני משולשים דומים. לחשב את היחס שבין הצלע הארוכה של המשולש האחד לבין הצלע הארוכה של המשולש השני. (המידות בס"מ). היחס.20 : 10 = 2 : 1 : מה יחס הדמיון? 4 3 5 20 12 היחסים שונים .המשולשים אינם דומים. אין צורך לבדוק את היחס שבין שתי הצלעות הנותרות. הזוויות השוות צבועות בצבעים זהים. 16 A אם תלמיד בדק את היחסים בסדר שונה ,וקיבל שני יחסים שווים יש צורך לחשב גם את היחס בין הזוג הנוסף של הצלעות המתאימות .התנאי שהיחס בין האורכים של כל זוג צלעות מתאימות הוא קבוע אינו מתקיים. .3 ABCו DEF -הם משולשים דומים. משולש ABCהוא משולש שווה שוקיים.AB = AC : משולש DEFהוא משולש שווה שוקיים.DE = DF : מה יחס הדמיון? F 12 2 D E B ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 31 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב 6 C מספר עמוד בספר לתלמיד: 31 זיהוי חלקים מתאימים חלק 2 בחלק זה עוסקים בזיהוי חלקים מתאימים :זוגות של (א) קדקודים מתאימים (ב) זוויות שוות (ג) צלעות מתאימות. כפי שנעשה לאורך הפרק "דמיון משולשים" ,אנו מציעים/מאמנים את התלמידים לצבוע את הזוגות התואמים בצבעים זהים. דוגמה 2 נתונים שלושה זוגות של זוויות שוות. מומלץ לסרטט על הלוח שני משולשים הקלים להעתקה על ידי התלמידים: לבקש מהתלמידים להעתיק את הסרטוטים מהלוח אל המחברת. כמקודם לבקש מהם לצבוע את הזוויות השוות בצבעים זהים :זוויות Aו D -באדום ,זוויות Bו E -בירוק, זוויות Cו F -בכחול. בעקבות זאת לצבוע גם את אותיות הקדקודים המתאימים בצבעים הזהים לזוויות .וגם לצבוע את הצלעות בצבעים הזהים לקדקודים שממול. לבקש מהתלמידים לרשום את הזוגות של הקדקודים ,הזוויות ,והצלעות המתאימים, ולבסוף את המשולשים הדומים :הכל בצבעים מתאימים .כך: ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 32 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 32 תרגיל לפתרון במליאת הכיתה כיוון הפוך :נתון זוג משולשים דומים, יש להסיק אילו הן הזוויות השוות בהתאמה ואילו הן זוגות הצלעות המתאימות. יש להנחות את התלמידים לצבוע את זוגות האותיות על פי הסדר :זוג אותיות ראשונות למשל בצבע ירוק (כבדוגמה) ,זוג אותיות שני באדום ,וכו' .הם מעבירים צבעים אלו לקודקודי המשולשים. כעת עבודה בזוגות .התלמידים פותרים סעיפים (א) ו( -ב) .בדיקה במליאה. משולשים הדומים בהתאמה: . ΔABC DEF נקפיד לכתוב את שמות הקדקודים כך שסדר הרישום של הקדקודים יצביע על הקדקודים המתאימים. תרגילים תרגילים 10 - 5הינם תרגילים המסכמים את הידע שנרכש. זיהוי של קדקודים מתאימים ייעשה על פי סדר הופעתם בשמות המשולשים המשתתפים בדמיון. בתרגיל 10התלמידים מתבקשים לכתוב גם את יחס הדמיון .יחידת האורך של הניצבים היא המרחק בין כל שתי נקודות סמוכות .אין צורך להשוות בין האורכים של היתר .מכיוון שנתון שהמשולשים דומים ,מספיק למצוא את היחס בין האורכים של שני זוגות של צלעות מתאימות בלבד. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 33 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 33 חשוב ביותר לחזור על "מה למדנו?" "למדנו" את התכונות של משולשים דומים. כאשר עוברים על שלוש תכונות אלו ,מומלץ להוסיף אותם לארגז הכלים. על יד כל תכונה שרושמים ,מומלץ לסרטט/לרשום דוגמה הממחישה את התכונה .למשל ניתן לרשום ולסרטט: A D E B F C ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 34 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד34 : ארגז הכלים בשלב הראשון של לימודי הגיאומטריה מתבססים על הנלמד בבית הספר היסודי .הדגש הוא על לימוד מוחשי המשלב מדידות וחישובים ,וההנמקות מקורן בהתנסויות מוחשיות .באופן הדרגתי משתמשים בעובדות שהתקבלו בדרך מוחשית לשם הנמקת טענות חדשות .כאשר המטרה היא לפתח את ההבנה של המבנה הדדוקטיבי של הגיאומטריה. "ארגז הכלים" משמש ככלי לאחסון ושימור העובדות שנלמדו .כל עובדה חדשה מתווספת אליו. מומלץ להקצות מקום מיוחד לארגז הכלים :אצל התלמיד בסוף המחברת ,בכיתת הלימוד ,על הקיר לצד הלוח. כאשר לומדים עובדות חדשות מסתמכים על משפטים מתוך ארגז .חשוב להרגיל את התלמידים לעיין בארגז הכלים בחיפוש עובדות שיסייעו בפתרון תרגילים. מומלץ לצרף לכל עובדה סרטוט מתאים ,שיהווה דימוי מנטאלי לתכונה. תרגילים :עובדים בזוגות. עבודת כיתה :בודקים במליאה. .11תרגול של תכונה ראשונה של משולשים דומים 3 :זוויות שוות מבטיחות את דמיון המשולשים. בסעיף (א) התלמידים נוכחים לדעת כי גם הזווית השלישית שווה בשני המשולשים. חשוב לחזור ולהדגיש את התכונה :אם שתי זוויות במשולש אחד שוות בהתאמה לשתי זוויות במשולש שני, אז גם הזווית השלישית שווה .כלומר שלוש הזוויות שוות בהתאמה. לכן (ב) המשולשים דומים .צובעים את החלקים המתאימים. (ג) מחשבים את יחס הדמיון בין צלעות מתאימות. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 35 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד35 : .13מומלץ להציע לתלמידים לצבוע זוויות בצבע של הצלע ממולן – כדי להדגיש את הזוויות השוות במשולשים שווה שוקיים .מומלץ "לפתור" איתם משולשים 1ו.3 - לחשב את זוויות המשולש .נשאל מהם המשפטים הנדרשים לפתרון ,עובדות שלמדו בעבר והנמצאות בארגז הכלים. .14סעיף (ג) הוא תרגיל מסוג חדש .יש להתאים זוויות על מנת לחשב את .∢x מומלץ להזכיר לתלמידים כי במשולשים דומים ,מול צלעות מתאימות נמצאות זוויות שוות. ניתן גם לשאול :איזו צלע של המשולש XYZמתאימה לצלע EDשל משולש ? DEF .15כדי לקבוע דמיון ,על התלמידים להיעזר בתכונה שהתחזקה בתרגיל :12אם בשני משולשים יש שתי זוויות שוות בהתאמה ,אז בהכרח הזווית השלישית שווה. ביתר הסעיפים תרגיל 15דומה לתרגיל .14ניתן להקצות אותו לשיעורי בית. .16נתונים שני משולשים דומים. שמות המשולשים מצביעים על הקדקודים המתאימים במשולשים הדומים. מומלץ להיעזר בצבעים לסימון הקדקודים המתאימים∆ABC ∼ ∆DEF . (א) חישוב יחס הדמיון :היחס בין שתי צלעות מתאימות. שתי צלעות מתאימות שבגודל שלהן נתון הן BC :ו .EF -היחס.5 : 10 = 1 : 2 : כל צלע של משולש DEFארוכה פי 2מהאורך של הצלע המתאימה במשולש .ABC יחס הדמיון.2 : (ב) אורך צלע DEגדול פי 2מאורך הצלע המתאימה .ABהאורך הוא 6ס"מ. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 36 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 36 .17סעיפים (א) – (ד) דומים לאלו שבשאלות הקודמות .סעיף (ה) הוא מסוג חדש. על דף מנוקד מסורטטים שני משולשים דומים. (א) כיצד יודעים כי אלו משולשים דומים? נחזור ונקרא את השאלה .לפי הנתון זוויות המשולש האחד שוות בהתאמה לזוויות המשולש השני .מכאן ,המשולשים דומים. (ב) המשולשים הם ישרי זווית וניתן לבדוק את היחס בין הניצבים המתאימים .יש קושי לבדוק את היחס בין אורך היתר של המשולש האחד לזה של השני. (ד) יחס הדמיון שבין שני המשולשים הנתונים בשאלה הוא .1 : 2שואלים :מה פירוש יחס זה? (אם אורך צלע אחת במשולש אחד הוא 1ס"מ ,אז אורך הצלע המתאימה במשולש הדומה הוא 2ס"מ. אם אורך צלע אחת במשולש אחד הוא 3ס"מ ,אז אורך הצלע המתאימה במשולש הדומה הוא 6ס"מ .וכו'. לכל שתי צלעות מתאימות ,אורך הצלע במשולש הגדול ,גדולה פי 2מאורך הצלע במשולש הקטן). (ה) אם ידוע כי אורך אחת הצלעות של המשולש הקטן הוא 5ס"מ ,מה הוא האורך של הצלע המתאימה לה במשולש השני? במקרה זה של יחס של 1 : 2מקבלים 10 :ס"מ = .AC מראים כיצד ניתן לפתור זאת כפי שלמדנו בפרק יחס .פתרון באמצעות משוואה מוצג בהמשך בעמוד .38 עבודת ההכנה שנעשתה בתרגיל ,17אמורה להוות בסיס נאות לפתרון התרגילים .19 – 18 .18הצעות לפתרון. נשאל מה יחס הדמיון? יחס הדמיון בין המשולש הכחול למשולש הנתון הוא .1.5 יחס הדמיון בין המשולש האדום למשולש הנתון הוא .2 לסיבוב או שיקוף אין השפעה על דמיון המשולשים. .19הצעות לפתרון. יחס הדמיון בין המשולש הכחול למשולש הנתון הוא . יחס הדמיון בין המשולש האדום למשולש הנתון הוא . ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 37 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 37 .20מטלה מסוג חדש לתלמידים .מומלץ לפתור תרגיל דומה על הלוח. מומלץ לשאול :מה לא ישתנה במשולש שנסרטט? (הזוויות הן זהות) .ומה יכול להשתנות? (אורכי הצלעות). ניתן להגדיל/להקטין כל אחת מהצלעות פי אותה מידה – זה יחס הדמיון הקבוע .מומלץ להציג: (א) המשולש (האדום) הוא הגדלה של המשולש הנתון כאשר כל אחת מהצלעות שלו היא הגדלה פי אותו גודל של הצלע המתאימה במשולש הנתון. נחשב בכמה גדול אורך צלע של המשולש האדום מאורך הצלע המתאימה במשולש הנתון .יחס הדמיון כאשר נחשב אותו על-פי אורכי הצלעות המודגשות 3 שהן צלעות מתאימות במשולשים דומים הוא 9 : 6 = 3 : 2 :או . 1.5יחידת האורך היא המרחק 2 בין כל שתי נקודות סמוכות .במקרה זה יחס הדמיון גדול מ.1 - (ב) המשולש (הכחול) הוא הקטנה של המשולש הנתון .נחזור על אותו חישוב ונקבל שיחס הדמיון הוא . יחס הדמיון קטן מ.1 - .21לאחר שהתלמידים ישלימו את גודל הזוויות החסרות יקבעו אילו הם המשולשים הדומים. .22גודל הזוויות הנתונות עלול להטעות .כדי לבדוק אם המשולשים דומים יש לחשב בכל משולש את הזווית השלישית .נזכור כי סכום הזוויות במשולש הוא .180° מקבלים (אולי מפתיע) ששלוש הזוויות של המשולש האחד שוות לשלוש הזוויות של המשולש השני. המשולשים דומים. שימו לב! כאשר לשני משולשים יש שתי זוויות שוות – המשולשים דומים. כאשר לשני משולשים יש שתי זוויות שרק אחת מהן שווה ,אין להסיק שהמשולשים אינם דומים. יש לחשב גם את גודל הזווית השלישית ורק אז לקבוע אם המשולשים דומים. .23כמו בשאלות הקודמות ,הקביעה אם המשולשים דומים תיעשה לאחר חישוב של כל זוויות המשולש. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 38 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד38 : .24נתונים שני משולשים דומים .מומלץ לצבוע את שמות הקדקודים המתאימים בצבעים זהים כדי להקל על זיהוי החלקים המתאימים. הפתרון כמו בתרגילים .16 – 14 חישוב נתונים חסרים. חלק 3 בחלק זה עוסקים בעיקר בחישוב אורכים של צלעות מתאימות כאשר ידוע או ניתן לחשב את יחס הדמיון הקבוע. הקניה :דוגמה 3מלמדת באופן מפורש איך לחשב אורך צלע אם ידוע או ניתן לחשב את יחס הדמיון ,ונתון אורך הצלע המתאימה לצלע "החסרה" .כך ,בהדרכה מודגמת דרך העבודה/חשיבה של הסקת מסקנות מהנתונים ומהתכונות שנמצאות כבר בארגז הכלים של התלמידים. היו כבר מספר תרגילים עם סעיף שעסק בנושא (תרגילים (16ב) ותרגיל ( 24ב)). הלימוד בדוגמה 3מהווה למידה מרווחת של נושא זה. ספרים סגורים .לימוד במליאה .מומלץ לסרטט את הציורים על הלוח ולרשום את הנתון .להיעזר בצבעים כמומלץ בתרגילים הקודמים. שואלים :מה ניתן להסיק מהנתון? (על פי סדר הכתיבה של שמות המשולשים :אלו קדקודים הם מתאימים ואלו צלעות הן מתאימות? אלו זוויות שוות זו לזו? יש יחס קבוע בין צלעות מתאימות). אומרים :נסמן תכונות אלו על ידי צביעה מתאימה כפי שלמדנו. עלינו לחשב את .x האם שוויון הזוויות יעזור לנו לחשב את אורך הצלע? (לא) אלו נתונים לא ניצלנו? (אורכי הצלעות) איך נוכל לנצל את אורכי הצלעות כדי לחשב את ?x נתונים האורכים של שתי צלעות ב ,GHK -ב ABC -נתונים אורכים של שתי הצלעות המתאימות ,כאשר אורך אחת מהצלעות הוא .x באמצעות זוג הצלעות המתאימות שאורכן נתון מחשבים את יחס הדמיון.3 : 4 : x 3 גם היחס בין xל 6 -הוא .3 : 4כותבים משוואה מתאימה (כפי שלמדו בפרק "יחס"): 6 4 תרגיל לפתרון במליאת הכיתה. .פותרים. התלמידים יפתרו .בדיקה במליאת הכיתה. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 39 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 39 תרגילים ( .25עובדים בזוגות .עבודת כיתה ).מאמן את התלמידים בחישוב הצלע החסרה. לאחר שפתרו את (ב) ( ,)x = 8מומלץ להנחות את התלמידים ) )1לרשום 8על הצלע בה רשום .x ( )2בסעיף (ג) לרשום yבמקום ,DFולפתור עבור yבאותה דרך שפתרו עבור .x .29 – 26פותרים אותם באותה דרך כמו תרגיל .25ניתן לתת כעבודת כיתה או שיעורי בית. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 40 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד40 : .30ביום שמש ניתן לצאת לחצר ולראות את הצל שמטיל העץ ,או ניתן להעמיד מספר תלמידים בשורה ולהתבונן בצל שהם מטילים. קרני השמש הן קרניים מקבילות. אם נעביר קו ישר על הקרקע מהעץ אל קצה צילו ,יתקבלו קווים מקבילים( .הקווים הצבועים באדום). כל עץ יחד עם צילו יוצר משולש ששניים מקדקודיו הם קצות הקו האדום והקדקוד השלישי הוא הגובה של צמרת העץ. המשולש הוא משולש ישר זווית .הסבירו. הזווית הישרה המסומנת בסרטוט נלא ראית ישרה בגלל מגבלות הסרטוט התלת-ממדי. חוזרים אל השאלה שבספר .רואים כי נוצרים שני משולשים ישרי זווית .במשולש אחד הניצבים הם אורך העץ ואורך הצל שלו .במשולש השני הניצבים הם אורך המוט ואורך הצל שלו. זוויות המשולש האחד שוות לזוויות המשולש השני. המשולשים דומים. אורך הצל שיוצר העץ גדול פי 3מאורך הצל שיוצר המוט .לכן גם גובה העץ גדול פי שלושה מגובה המוט שאורכו 2מטרים .גובה העץ הוא 6מטרים. אפשר לפתור גם באמצעות משוואה .נסמן את גובה העץ ב ,x -ונפתור את המשוואה x 12 2 4 . 2 בהקשר של מדידת גובה באמצעות הצל ניתן לשלב סיפור מההיסטוריה של המתמטיקה. תאלס ממילטוס היה פילוסוף יווני ומתמטיקאי חשוב ( 624לפנה"ס עד 546לפנה"ס בקירוב). 3 12 הוא התבקש למדוד את גובה הפירמידה שבגיזה ,מצרים .המסורת מספרת שהוא סימן את אורכו של הצל שהטילה הפירמידה על החול .הוא עצמו נעמד ליד הפירמידה וכמובן שגם הצל שלו הוטל על החול .הוא אמר למלווים :כאשר צילי יגיע לגובהי מדדו את צל הפירמידה וזה גובהה .מדובר בשני משולשים ישרי זווית ושווי שוקיים דומים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 41 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד40 : .31דומה לתרגיל ,30רואים במפורש את המשולש (המשולש האדום) המתקבל מהטלת הצל של העץ. לא מסורטט המשולש המתקבל מצלו של הבניין .מומלץ לסרטט גם משולש זה ולהקפיד על כך שיהיה ישר זווית. נוסיף את המידות הידועות :אורך הצל שמטיל העץ, אורך הצל שמטיל הבית ,גובה העץ (כפי שהתקבל בתרגיל .)22 x את גובה הבניין אותו יש לחשב מסמנים ב.x - (המידות במטרים). 8 משווים את היחסים ופותרים. 18 .32משימה דומה לקודמת. הקושי :לשני המשולשים זווית משותפת ,דבר העלול להקשות על ראיית המשולש הגדול. לתלמידים אלו נמליץ להפריד בין המשולשים: נוסיף את אורכי הצלעות ואת גובה הבניין נסמן ב.x - x 1 1.5 המידות במטרים 6 ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 42 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 41 .33החידוש הוא בצורך ביישום התכונה של זוויות קודקודיות שוות זו לזו ,המופיעה על דף תובנות. .34תרגיל דומה ל .33 -כאן הישרים הנחתכים יוצרים שני משולשים שווי שוקיים .בכל אחד מהם נתון הגודל של זווית הראש .התלמידים יחשבו את גודל זוויות הבסיס ויקבעו אם המשולשים דומים. .35כמו בתרגילים הקודמים נתונים שני ישרים נחתכים .נוצרים שני משולשים ישרי זווית. האם המשולשים חופפים? ניתן לענות על שאלה זו באמצעות חישוב האורכים של הצלעות: חלק מהאורך של צלעות המשולשים נתון בסרטוט. במשולש EBCנתון האורך של הניצבים .נחשב את אורך היתר באמצעות משפט פיתגורס. נקבל :אורך היתר 5ס"מ .בדרך דומה נחשב באמצעות משפט פיתגורס רת אורך הניצב DEשל המשולש .AED היחס בין כל שתי צלעות הוא .2המשולשים דומים. כמו בשאלות קודמות מומלץ לצבוע קדקודים מתאימים באותו צבע. השימוש בצבעים מקל על זיהוי החלקים המתאימים. לחלופין ,ניתן לקבוע אם המשולשים דומים באמצעות השוואה של הזוויות .הזווית שקדקודה Eב∆EBC - שהיא זווית קדקודית לזווית בקדקוד Eשל .∆EDA אחת מהזוויות של כל משולש היא זווית ישרה .שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של משולש שני .המשולשים דומים. .36שני המשולשים ABCו ADE -הם משולשים שווי צלעות .משולשים שווי צלעות הם משולשים דומים. מדוע? (שימוש בצלעות :היחס בין כל שתי צלעות הוא קבוע .שימוש בזוויות :הזוויות של המשולש האחד שוות לזוויות של המשולש השני :כל אחת מהזוויות היא בת ).60° (ג) מה יחס הדמיון? הנקודות Eו D -הן אמצעי צלעות .כל צלע של משולש AEDשווה באורכה למחצית הצלע של משולש .ABCיחס הדמיון הוא .2 האורך של כל אחת מהצלעות של משולש ABCהיא 4ס"מ. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 43 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: .37שאלה דומה לשאלות .32 – 30 42 .37אורך הצל שמטיל עמוד חשמל הוא 9מטרים. באותה שעה בדיוק מטיל העץ שלידו צל באורך 3מטרים. (א) מה היחס בין גובה העץ לגובה העמוד. .38בפתרון התרגיל התייחסות רק למשולשים השווי-שוקיים המהווים את פתח האוהל. (ב) גובה העץ 4מטרים .מה גובה העמוד? 4 3 .39הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית. חישוב גודל הזוויות של כל שלושת המשולשים מוביל למסקנה שאלו משולשים דומים. יש תלמידים שאחרי החלוקה לשני משולשים מאבדים את המשולש המקורי .קשה להם לראות גם את 9 .38לפניכם סרטוט מוקטן של שני אוהלים המיוצרים במפעל. במבט מהחזית צורתם משולש שווה שוקיים. זוויות הראש של שני המשולשים שוות. אורך הבסיס של האוהל הירוק הוא 2מטרים השלם וגם את חלקיו. אורך הבסיס של האוהל החום הוא 4מטרים. גובה האוהל הירוק הוא 80ס"מ. (א) הצגת המשולש השלם .מומלץ להנחות את התלמידים להוסיף לסרטוט את גודל ∢Cשחישבו. מה גובה האוהל החום? (ב) הצגה של שני המשולשים המתקבלים מהעברת הגובה ליתר. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות יש גם קושי לזהות את הזוויות שקדקודן Dכזוויות ישרות מכיוון שאינן מונחות בצורה הסטריאוטיפית. 4 2 אחרי חישוב של כל הזוויות במשולשים המתקבלים מהעברת הגובה רואים כי בכל המשולשים שלוש הזוויות שוות בגודלן .שלושת המשולשים הם משולשים דומים. מסקנה :הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי. A .39 ΔABCהוא משולש ישר זווית.∢A = 37 . 37 (א) מה גודל זווית ? ∢C נעביר את ,BDהגובה ליתר במשולש ישר זווית .ΔABC BDמחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית. ( .40א) משולשים דומים. (ב) משולשים שאינם דומים. (ג) משולשים דומים. (ב) בסרטוט שלושה משולשים ישרי זווית. זהו אותם ורשמו את שמותיהם. C B A (ג) חשבו את זוויות המשולשים ,ΔADB ,ΔABCו.ΔBDC - (ד) האם ΔABDדומה ל ? ΔACB -הסבירו. 37 (ה) האם יש זוג נוסף של משולשים דומים? D C B .40לפניכם שלושה זוגות של משולשים שווי שוקיים. באילו מהזוגות המשולשים דומים? הסבירו. (א) (ג) (ב) 50° 70° 86° 86° 70° 65° ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 44 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד43 : .41מטרת שאלה זו היא להגיע למסקנה שכל המשולשים שווי הצלעות הם משולשים דומים. כל אחת מהזוויות במשולש שווה צלעות היא בת .60ראו שאלה .36 תרגילים 44 – 42מיועדים למתקדמים. .42כמו בתרגיל ,32יש תלמידים שיתקשו לראות את שני המשולשים .במקרה כזה מומלץ להפריד ביניהם. (א) התלמידים יבדקו אם זוויות המשולש האחד שוות בהתאמה לזוויות המשולש השני. הבדיקה תיעשה או באמצעות מד זווית או על ידי העתקת משולש אחד על נייר שקוף והנחתו על המשולש השני .או תוך התבוננות בנקודות הנמצאות על שוקי הזוויות. (ב) בתרגיל זה לא נתונים אורכים של צלעות .כדי למצוא את יחס הדמיון ,נכתוב את אורכי הצלעות כאשר יחידת אורך אחת היא המרחק בין כל שתי נקודות סמוכות. .43שני ישרים מקבילים חותכים את שוקי הזווית .Aמתקבלים שני משולשים (בדומה לתרגיל .)42 לשאלה האם המשולשים דומים יש לבדוק אם זוויות המשולש האחד שוות בהתאמה לזוויות המשולש השני. קשיים צפויים :כמו בתרגיל 42קושי לראות את שני המשולשים .ביצוע הפרדה בין שני המשולשים אינה מומלצת מכיוון שתמנע מהתלמידים לזהות את הזוויות המתאימות המתקבלות בין שני ישרים מקבילים. לתלמידים שאינם מסוגלים לראות בו זמנית את שני המשולשים נמליץ לדלג על תרגיל זה. קושי נוסף :בשווין הזוויות ההוכחה היא כללית ,אין התייחסות לגודל מסוים של הזווית במעלות. לשני המשולשים זווית משותפת .Aשתי הזוויות האחרות של המשולש האחד הן זוויות מתאימות בין מקבילים לזוויות של המשולש השני .זוויות מתאימות בין מקבילים הן שוות ,ולכן זוויות המשולש האחד שוות לזוויות המשולש השני .כלומר ,המשולשים דומים. .44תחילה מסמנים על הסרטוט את כל מה שניתן להסיק מהנתונים. מחשבים זוויות .לאחר מכן התלמידים פותרים לבד. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 45 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 44 דמיון מצולעים הדגש הוא על כך שבשונה ממשולשים דומים ,כדי לקבוע ששני מצולעים הם דומים לא מספיק לבדוק שוויון של כל הזוויות המתאימות .יש להוכיח גם כי קיים יחס קבוע בין כל שתי צלעות מתאימות. התרגילים עוסקים בשאלה האם שני מצולעים משוכללים בעלי מספר שווה של צלעות הם מצולעים דומים? האם כל שני מצולעים לא משוכללים בעלי מספר שווה של צלעות הם מצולעים שאינם דומים? דוגמה 4 המטרה :לפתח תובנה שבמצולעים דומים (שאינם משולשים) ,הזוויות שוות בהתאמה ומתקיים יחס קבוע בין הצלעות המתאימות .מאידך גיסא ייתכן כי הזוויות שוות בהתאמה אך המצולעים אינם דומים. מומלץ לכתוב את הנושא "דמיון מצולעים" על הלוח ולומר: היום נבדוק מהם השוויונות שיש לבדוק כדי להיות בטוחים שמצולעים (שאינם משולשים) הם דומים. עובדים בזוגות .נתונים שני זוגות של מלבנים .בזוג אחד המלבנים דומים .בזוג השני המלבנים אינם דומים. שואלים האם אחד מהמלבנים הוא הגדלה או הקטנה של המלבן השני? אבל כפי שלמדנו ,אין להסתמך על מראה עיניים. נבדוק אם מתקיימים התנאים המובילים למסקנה כי המצולעים דומים. .1כל הזוויות במלבן הן זוויות ישרות .זוויות המרובע האחד שוות בהתאמה לזוויות המרובע השני. .2התלמידים יבדקו אם קיים יחס קבוע בין אורכי צלעות מתאימות. צלע של כל משבצת מייצגת אורך של 1ס"מ. מגיעים למסקנה :הזוויות של שני המרובעים שוות בהתאמה. בזוג (א) מתקיים יחס קבוע בין הצלעות המתאימות. בזוג (ב) אין יחס קבוע בין הצלעות המתאימות. נסכם :למדנו כי כדי לבדוק אם שני משולשים דומים ,נבדוק אם שלוש הזוויות של המשולש האחד שוות בהתאמה לשלוש הזוויות של המשולש השני .למדנו כי אם הזוויות שוות בהתאמה ,מתקיים גם יחס קבוע בין הצלעות המתאימות. במלבן בנוסף לשוויון הזוויות יש לבדוק גם את היחס בין כל שתי צלעות מתאימות. האם זה נכון גם לגבי מצולעים אחרים? ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 46 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 45 תרגיל לפתרון במליאת הכיתה. נתונות שתי מקביליות .הזוויות של המקבילית האחת שוות בהתאמה לזוויות של המקבילית השנייה. האם המקביליות דומות? הבדיקה כמו בדוגמה :חישוב היחס בין כל שתי צלעות מתאימות .צלע של כל משבצת מייצגות אורך של 1ס"מ. תרגילים .45נתונים שני טרפזים שווי שוקיים .הזוויות של הטרפז האחד שוות בהתאמה לזוויות של הטרפז השני. האם הטרפזים דומים? נבדוק את היחס בין הבסיס הקטן של הטרפז האחד לבסיס הקטן של הטרפז השני .היחס.4 : 8 = 1 : 2 : נבדוק את היחס בין הבסיס הגדול של הטרפז האחד לבסיס הגדול של הטרפז השני .היחס.6 : 10 = 3 : 5 : היחסים שונים .הטרפזים אינם דומים .אין צורך לבדוק את היחס בין הצלעות האחרות. לו היינו מקבלים יחסים שווים ,היה צורך להמשך ולבדוק גם את היחסים בין צלעות מתאימות אחרות. .46נתונים שני טרפזים ישרי זווית .התלמידים ישלימו את הגודל של הזויות החסרות. האם הטרפזים דומים? 3 בסרטוט נוספו האורכים של הבסיסים ושל השוק המאונכת לבסיסים. בין צלעות אלו ,היחס בין כל שתי צלעות סמוכות הוא .1 : 3 6 1 נשווה את האורכים של השוק האחרת. 2 9 בטרפז הצבוע בכחול ,אורך השוק שווה לאורך של 2אלכסונים של המשבצת. 3 בטרפז הצבוע בוורוד ,אורך השוק שווה לאורך של 6אלכסונים של המשבצת. גם כאן היחס הוא .1 : 3 הטרפזים דומים. (הערה :אורך האלכסון לא נוסף לסרטוט מכיוון שאורך האלכסון של המשבצת אינו שווה לאורך הצלע. ניתן לחשב את היחס בין אורך הצלע לאורך האלכסון באמצעות משפט פיתגורס .לא נחוץ כדי להוכיח דמיון). .47המחומש הצבוע בכחול "נראה" כהגדלה של המחומש הצבוע בוורוד. נתון כי הזוויות של המחומש האחד שוות בהתאמה לזוויות של המחומש השני. 6 את היחס שבין הצלעות נבדוק כמו בתרגיל ,46או 3 נחלק את המחומש לריבוע ומשולש. 6 3 הריבועים הם ריבועים דומים .יחס הדמיון .2 3 6 הזוויות של המשולש האחד שוות בהתאמה לזוויות של המשולש השני. היחס בין האורכים של כל שתי צלעות מתאימות הוא כמו היחס בין צלעות הריבוע .המחומשים דומים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 47 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: .48לפתרון במליאת הכיתה. הזוויות שוות נבדוק את היחס בין הצלעות המתאימות. ראשית ,נוסיף את האורכים של הצלעות שניתן למדוד 3 2 46 6 4 2 4 את אורכן באמצעות האורך של צלע המשבצת. אין יחס קבוע בין האורכים של כל שתי צלעות מתאימות. המצולעים אינם דומים .אין צורך לבדוק יחסים בין אורכים של צלעות אחרות. סיכום: שני מצולעים (שאינם משולשים) דומים אם מתקיימים התנאים הבאים: (א) כל הזוויות של המצולע האחד שוות בהתאמה לכל הזוויות של המצולע האחר. (ב) היחס בין אורכי הצלעות המתאימות של המצולעים הוא קבוע. .49בתרגיל זה נתונים שני מלבנים (שאינם ריבועים) .מידות של שתי צלעות סמוכות בכל מלבן נתונות בסרטוט .כמו בתרגיל הקודם ,על התלמידים לבדוק את שתי התכונות החייבות להתקיים על מנת להבטיח דמיון בין המצולעים .הזוויות במלבנים שוות (כל אחת מהן היא זווית ישרה) אבל לא מתקיים יחס קבוע בין כל שתי צלעות מתאימות .המלבנים אינם דומים. .50לפתרון במליאת הכיתה. בריבוע כל הזוויות הן זוויות ישרות .כל הצלעות שוות בארכן :היחס בין שתי צלעות של שני ריבועים דומים הוא קבוע ,בריבועים הנתונים היחס הוא .2הריבועים דומים. .51נתונים שני מרובעים שבכל אחד מהם כל הצלעות שוות באורכן .נשאל :אילו מרובעים הם? (מעוינים). אפשר שלאול אם המעוין האחד נראה כהגדלה או הקטנה של המעוין השני? מדוע? כי הזוויות שונות. המעוינים הנתונים אינם דומים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 48 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 47 בתרגילים הבאים נתונים מצולעים דומים .סדר רישום האותיות בשמות המצולעים מעיד על קדקודים מתאימים, (כפי שנלמד בכתיבה אלגברית של משולשים דומים). .52נתונים מרובעים דומים .על התלמידים להשלים גדלים של חלקים מתאימים. הקדקודים המתאימים הם לפי סדר הופעתם בשמות המרובעים בביטוי המבטא את הדמיון. מומלץ לבקש מהתלמידים לכתוב את השוויונות שבין הזוויות המתאימות ואת זוגות הצלעות המתאימות. ניתן להיעזר בצבעים :לצבוע קדקודים מתאימים באותו צבע.(ABCD EFGH) . לחישוב גודל זווית Eיש להסתמך על כך שסכום הזוויות במרובע הוא ( .360תזכורת על דף תובנות). להשלמת גודל הזוויות האחרות מסתמכים על כך שזוויות מתאימות במשולשים דומים הן שוות. כדי להשלים את אורך הצלעות הנדרשות ,יש לחשב ראשית את יחס הדמיון. יש לזהות שתי צלעות מתאימות שאורכן נתון .בתרגיל זה הצלעות EHו.AD - יחס הדמיון הוא .2ולכן .EF = 2BC .53מומלץ להיעזר בצבעים כמו בתרגיל .52 לחישוב יחס הדמיון יש לזהות שתי צלעות מתאימות שאורכן נתון .בדוגמה זו הצלעות CDו HG -הן צלעות מתאימות .היחס בין האורכים שלהן הוא.2 : 6 = 1 : 3 : המשמעות :האורך של כל צלע של המרובע ABCDגדול פי 3מהאורך של הצלע המתאימה של המרובע .EFGH .54מומלץ להיעזר בצבעים כמו בתרגיל .52 לחישוב יחס הדמיון יש לזהות שתי צלעות מתאימות שאורכן נתון .בדוגמה זו הצלעות CDו FG -הן צלעות מתאימות .היחס בין האורכים שלהן הוא.3 : 9 = 1 : 3 : המשמעות :האורך של כל צלע של המרובע ABCDגדול פי 3מהאורך של הצלע המתאימה של המרובע .HEFG ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 49 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 48 .55מומלץ להיעזר בצבעים כמו בתרגיל .52 לחישוב יחס הדמיון יש לזהות שתי צלעות מתאימות שאורכן נתון .בדוגמה זו הצלעות BCו GH -הן צלעות מתאימות .היחס בין האורכים שלהן הוא.2 : 4 = 1 : 2 : המשמעות :האורך של כל צלע של המחומש ABCDEגדול פי 2מהאורך של הצלע המתאימה של המחומש .FGHKL .56נותן לתלמידים אפשרות לחוש את "ההגדלה" של המלבן – וקבלת מלבן דומה -הלכה למעשה. התלמיד בונה מלבן חדש אשר כל צלע מתאימה ארוכה פי 3מאורך הצלע המקורית. השאלות ותשובותיהן מובילות לדמיון בין המלבנים. ( .57א) האורכים של צלעות המלבנים הקטנים הם בדיוק מחצית מהאורכים של צלעות המלבן .ABCD בכל אחד מהמלבנים כל הזוויות ישרות .המלבנים דומים. (ב) עלול להטעות .נראה דומה לסעיף (א). הצלע הארוכה של כל אחד מהלבנים הקטנים שווה ל -של הצלע .EFהיחס .1 : 3 הצלע הקצרה של כל אחד מהמלבנים הקטנים שווה ל -של הצלע .FGהיחס .1 : 2 המלבנים הקטנים אינם דומים למלבן .EFGH ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 50 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד49 : בעמוד זה התלמידים לומדים שמצולעים משוכללים (כל הזוויות במצולע שוות זו לזו וכל הצלעות שוות זו לזו) הם מצולעים דומים. (כפי שראינו קודם ,מצולעים שאינם משוכללים ,יכולים להיות דומים )כמו בתרגילים ,(56 – 52 , 47 – 46 ויכולים להיות לא דומים גם אם הם שווים בכל זוויותיהם( ,כמו בתרגילים .)51 , 48 , 45 דוגמה 5 נתונים שני מחומשים משוכללים. האם הם דומים? במצולעים משוכללים כל הזוויות שוות (אין צורך לחשב את הגודל של כל זווית). ניתן לנצל שאלה זו לחזרה על דרך החישוב של סכום הזוויות במחומש ,ושל חישוב הגודל של כל אחת מהזוויות. 540 . סכום זוויות המחומש הוא .540במחומש משוכלל כל הזוויות שוות בגודלן .כל זווית היא בת 108 5 (קפיצה לגובה לכיתה ז חלק ג עמודים .)40 – 38 היחס בין כל שתי צלעות הוא קבוע .התלמידים יגיעו למסקנה שהמחומשים דומים. תרגילים .58כאן ההתייחסות היא לריבועים .היחס בין שתי צלעות של שני ריבועים דומים הוא קבוע .בריבוע כל הזוויות הן זוויות ישרות .ריבועים הם מרובעים דומים( .ראו גם תרגיל ).50 חישוב יחס הדמיון באמצעות המידות הנתונות בסרטוט. .59נתונים שני משושים משוכללים .כמו תרגיל .58 .60נתונים שני מתומנים משוכללים .כמו תרגיל .58 ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 51 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד50 : נחזור ונתרגל – הפונקציה הקווית בראש העמוד דף תובנות הכולל את הייצוג האלגברי של הפונקציה הקווית ותזכורת לגבי המשמעות של mו.b - מומלץ לפתור את שלוש השאלות הראשונות ואחד מהישרים שבתרגיל ,5במליאת הכיתה. התלמידים יתמודדו עם השאלות בעצמם ולאחר מכן יציגו את פתרונם במליאת הכיתה. את השאלות הנוספות ניתן לתת כשיעורי בית. .1התאמה בין גרף לבין ייצוג אלגברי של פונקציה קווית. הישרים מקבילים – לשתי הפונקציות שיפוע שווה ) .(mלא ניתן לבצע את ההתאמה על פי .m נבדוק את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה :y -בייצוג האלגברי 3פונקציות .נקודות החיתוך שלהן עם ציר ה y -הן.(0 , –2) ; (0 , 2) ; (0 , 4) : ההתאמה :הישר בירוק מתאים לפונקציה (א) .הישר באדום מתאים לפונקציה (ג). .2שימוש במשמעות של mו .b -הייצוג האלגברי.y = 5x – 1 : .3על דף תובנות שאלות מנחות .יש למצוא את הערכים של mו.b - השיפוע על-ידי הצבה בנוסחה .חשוב להזכיר שוב כי יש לשמור על הסדר. מומלץ לסמן נקודה אחת ב (x1 , y1) -ואת השנייה ב:(x2 , y2) - )(x1 , y1) (x2 , y2 )(0 , 5 )(1 , 8 .4תרגול עצמי כמו בתרגיל .3 .5מציאת ייצוג אלגברי של ישר (ג) ייעשה במליאת הכיתה. שואלים :כדי לכתוב ייצוג אלגברי של פונקציה קווית ,מה צריך לדעת? שיפוע ונקודת חיתוך עם ציר ה.y - האם ניתן לדעת את נקודת החיתוך עם ציר ה ?y -לא. נחשב את השיפוע .נבחר שתי נקודות על הישר ונחשב את השיפוע .נוח לבחור בנקודות ששיעוריהן מספרים שלמים .למשל .(1 , 8) (2 , 3) ,נחשב את השיפוע .מקבלים )( .)–5בדוגמה זו ניתן לבחור גם בנקודה ) (2.5 , 0שהיא נקודת החיתוך עם ציר ה ,x -ששיעוריה אינם מספרים שלמים) נבחר את אחת מהנקודות ויחד עם השיפוע נחשב את .bלא לשכוח לכתוב את הייצוג האלגברי שהתקבל. (את השיפוע ניתן למצוא גם מתוך הגרף כאשר מתייחסים להגדרה של השיפוע :השיפוע מודד בכמה גדל y כאשר xגדל ביחידה אחת .בישר (ג) כאשר ס משתנה מ 1 -ל ,2 -ערך הפונקציה קטן מ 8 -ל)5 - .6מה ידוע ומה יש למצוא? (א) ( ,ב) :ידוע .xנציב ונחשב את )( .f(xג) ( ,ד) :ידוע ערך הפונקציה )f(x (או .)yנציב ונקבל משוואה .נחשב את .x ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 52 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 51 טכניקה אלגברית פירוק לגורמים אנחנו משתמשים בחוק הפילוג כאשר נתון ביטוי ובו מכפלה של מספר (או ביטוי) בסכום (או הפרש) של שני מחוברים או יותר. לדוגמה ) .5(x+7שימוש בחוק הפילוג הוא מעבר מביטוי כפלי (הפעולה האחרונה שמבצעים בביטוי על פי סדר פעולות החשבון היא כפל) לביטוי חיבורי (הפעולה האחרונה שמבצעים בביטוי על פי סדר פעולות החשבון היא חיבור) .למשל 5(x+7) = 5x+3∙5 ,עוברים מביטוי כפלי (מכפלה של מספר בסכום) לביטוי חיבורי (סכום של מכפלות). בפירוק לגורמים המעבר הוא בכיוון ההפוך ,מביטוי חיבורי לביטוי כפלי .מעבר זה יכול לסייע בצמצום שברים אלגבריים ,בפתרון משוואות ריבועיות ,במציאת מכנה משותף במשוואות. במהלך הוראת הפרק חשוב שהלמידה תהיה מפורשת ,להתייחס במפורש למבנה של הביטוי ,להמליל את המעבר ולהתייחס למרכיבים השונים של הביטוי .יש לשים לב: גם ביטוי כגון a – bייקרא ביטוי חיבורי .ניתן להתייחס אליו כאל (.a + (–b חוק הפילוג נלמד בעבר ,הפרק מכיל גם חזרה על חוק הפילוג ותרגול. מטרות :התלמיד ילמד לפרק ביטויים אלגבריים לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים. התלמיד ילמד לפשט שברים אלגבריים באמצעות פירוק לגורמים. כל נושא מחולק לתת-נושאים שונים .למען הנוחיות נכנה כל תת-נושא כחלק. חלקים 6 :4 - 1שיעורים. חלק :1פירוק לגורמים הקניה :ספרים סגורים .במליאה. מומלץ לרשום (א) את הנושא "פירוק לגורמים" על הלוח – למיקוד החשיבה. (ב) השורה הראשונה של הטבלה .כך יש כאן הוראה מפורשת של המושג ביטוי כפלי לעומת ביטוי חיבורי .בכל שורה השתמשנו באותם ביטויים: פעם כשהם כתובים בביטוי חיבורי ופעם כשהם כתובים בביטוי כפלי .למשל ,בטור הימני ,מופיע הביטוי .3a+4b שואלים :האם הביטוי הוא חיבורי או כפלי? (כפלי) מדוע (כי הפעולה האחרונה לביצוע על פי הסכמי סדר פעולות החשבון היא חיבור). אילו הם המחוברים? ( .)4b ,3aבמקביל בטור השמאלי מופיע ביטוי כפלי: בחישוב ערך הביטוי ,הפעולה האחרונה שיבצעו תהיה כפל ( 3a∙4bאו .)3∙a∙4∙b בשורה הבאה m – c :הוא ביטוי חיבורי .איך ניתן לראות זאת כביטוי חיבורי כאשר יש סימן חיסור בין mל?c - m – cשקול ל .m +(–c) -אילו הם המחוברים? ( .(m, –cמשמאל ,ביטוי כפלי .m∙(–c) :אילו הם הכופלים? ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 53 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד52 – 51 : דוגמה :1ספרים סגורים. רושמים על הלוח ) .4(x + 5שואלים :האם זה ביטוי חיבורי או כפלי? (כפלי) למדנו לפשט אותו עם חוק הפילוג( .מבצעים יחד מקבלים את הביטוי.)4x + 20 : האם הביטוי 4x + 20הוא כפלי או חיבורי? (חיבורי). 2 באופן דומה מראים כי אפשר להפוך את הביטוי הכפלי ) (x + 4)(x + 3לביטוי חיבורי .x + 7x + 12 תרגילים עובדים בזוגות .בודקים במליאה. .1תרגיל זיהוי .על התלמידים להקיף את התשובה הנכונה (ביטוי כפלי או ביטוי חיבורי). מתלמידים שיתקשו בזיהוי הביטוי נבקש למספר את הפעולות על פי סדר ביצוען. למשל 6(a + b) )1( ,בביטוי זה שתי פעולות כפל וחיבור .נמספר את הפעולה שיש לבצע תחילה על פי סדר פעולות החשבון ב .1 -את הפעולה השנייה ב.2 - 1 2 )( .6(a + bמומלץ להוסיף את פעולת הכפל שאינה כתובה במפורש). הפעולה האחרונה המתבצעת היא כפל .הביטוי הוא ביטוי כפלי. ()2 4 2 3 1 4m + 6k – 5נכתוב במפורש את פעולות הכפל4m + 6k – 5 : הפעולה האחרונה שמתבצעת היא חיסור הביטוי הוא ביטוי חיבורי. הערה :את שתי פעולות הכפל ניתן לבצע באותו שלב (אין חשיבות לסדר) כך שניתן לסמן את שתיהן במספר .1מכיוון שבביצוע מבצעים פעולה ,פעולה, יש להניח שהתלמידים יסמנו אותן ב 1 -וב 2 -על פי סדר הביצוע .את פעולות החיבור והחיסור מבצעים לפי הסדר משמאל לימין. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 54 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד52 : .2מעבר מביטוי כפלי לביטוי חיבורי תוך שימוש בחוק הפילוג. ( )4המכפלה היא בין ) (–2לבין הסוגריים .יש לוודא שהתלמידים כופלים את כל המחוברים שבתוך הסוגריים תוך התייחסות לסימן המינוס. ( )5המכפלה היא בין ) (–5לבין הסוגריים .יש לוודא שהתלמידים כופלים את כל המחוברים שבתוך הסוגריים תוך התייחסות לסימן המינוס. ( )7ניתן להשתמש בחוק החילוף ולכתוב את הגורם 3כגורם ראשון במכפלה.3(x – 6) : ( )12( – )8( , )6פתיחת סוגריים על פי חוק הפילוג המורחב .לשים לב לסימני המחוברים. פירוק לגורמים על-ידי הוצאת גורם משותף הקניה במליאה .ספרים סגורים. דוגמה 2 הקניה :מומלץ לרשום על הלוח את הנושא – למיקוד חשיבה. פירוק לגורמים של ביטויים חשבוניים. (א) רושמים את הביטוי החשבוני 2 35 + 2 65על הלוח. שואלים :האם הביטוי הוא כפלי או חיבורי? מדוע? (חיבורי – כי על פי סדר פעולות החשבון פעולת החיבור היא הפעולה האחרונה בחישוב התרגיל). כמה מחוברים בביטוי זה? כל אחד מהמחוברים הוא מכפלה של שני גורמים (כופלים). נלמד להפוך ביטוי חיבורי כזה לביטוי כפלי על ידי הוצאת גורם משותף. האם יש גורם/כופל זהה בשני המחוברים בביטוי? ( 2הוא אחד מהגורמים בכל אחד מהמחוברים: במחובר הראשון 2 35 :ובמחובר השני .2 65נצבע 2באדום(. נרשום את הביטוי כמכפלה ,כאשר הגורם המשותף של שני המחוברים 2כתוב מחוץ לסוגריים. איזה ביטוי יישאר בתוך הסוגריים? בסוגריים יישאר הסכום ).(35 + 65 נקבל: ) . 2 (35 + 65האם זה ביטוי כפלי? האם הוא שווה ערך לביטוי המקורי? נפתח את הסוגריים ונבדוק בעזרת חוק הפילוג .נקבל את הביטוי המקורי: . 2 (35 + 65) = 2 35 + 2 65 ניתן לבדוק גם על-ידי חישוב. (ב) באופן דומה הופכים את הביטוי 5 100 + 5 17 + 5 83לביטוי כפלי על ידי הוצאת הגורם המשותף .5 ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 55 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד53 : תרגיל 3 התרגילים מדורגים .חשוב שהתלמידים יפתרו את כל המקבץ .הגורם המשותף צבוע באדום ומקל על ביצוע התרגיל. ( )8רואים כי הגורם המשותף הוא .35כאשר כותבים ביטוי זה כמכפלה ,כותבים את הגורם המשותף מחוץ לסוגריים .מה נרשום בתוך הסוגריים? בתוך הסוגריים יש לכתוב סכום .אילו הם המחוברים? על דף התובנות כתיבת הביטוי בדרך הנותנת תשובה לשאלה זו. דוגמה 3 ))35 = 1 35 פירוק לגורמים של ביטויים אלגבריים. כמו בביטויים החשבוניים יש למצוא גורם משותף לכל המחוברים שבביטוי ולכתוב מכפלה בה גורם אחד הוא הגורם המשותף והגורם השני הוא סכום של המחוברים לאחר שהוצא מהם הגורם המשותף. הקניה :לכאורה הדוגמאות דומות .למעשה כל אחת שונה מקודמתה ,שוני המשפיע על ביצוע המטלה. חשוב להדגיש שוני זה באופן מפורש לתלמידים .ספרים סגורים .מליאה. עליית מדרגה לביטויים אלגבריים ,בחלקם הגורם אינו בולט כמקודם .גם פה מומלץ לרשום על הלוח את הנושא: “פירוק לגורמים על-ידי הוצאת גורם משותף” למיקוד חשיבה. (א) רושמים את הביטוי האלגברי 3a + 3bעל הלוח. שואלים :האם הביטוי הוא כפלי או חיבורי? מדוע? (חיבורי – כי כאשר מציבים מספרים במקום המשתנים, בחישוב ערך הביטוי על פי סדר פעולות החשבון ,פעולת החיבור היא הפעולה האחרונה בתהליך). נהפוך ביטוי חיבורי כזה לביטוי כפלי על ידי הוצאת גורם משותף. תחילה נכתוב את הביטוי באופן שרואים את הגורם המשותף ( 3a + 3b = 3 a + 3 bמומלץ להיעזר בצבע) האם יש גורם/כופל משותף לשני המחוברים שבביטוי? ( aהוא גורם גם במחובר הראשון וגם במחובר השני. נצבע את aבאדום .נרשום את הביטוי עם הגורם aהמשותף לשני המחוברים מחוץ לסוגריים .כך: ) .3 a + 3 b = 3(a + bהאם ביטוי זה הוא שווה ערך לביטוי המקורי? נפתח את הסוגריים ונבדוק בעזרת חוק הפילוג .נקבל את הביטוי המקורי. מומלץ לבקש מהתלמידים להעתיק את דרך הפתרון. סעיפים (ב) – (ד) :בכל אחד יש לבצע פעולה מקדימה לפני הוצאת הגורם המשותף. כפי שהוזכר לעיל ,חשוב להקנות ידע זה באופן מפורש לתלמידים על ידי השאלות :מה השוני בביטוי זה? מה הגורם המשותף? המשך תהליך ההקניה בכל סעיף דומה להקניה בסעיף (א). ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 56 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: (ב) בביטוי ,8x + 4yהגורם המשותף אינו בולט לעין :יש למצוא מחלק משותף ל 8 -ול 4 -ולרשום את הביטוי כפי שמופיע בדוגמה .גם 2וגם 4הם מחלקים משותפים של מספרים אלו .מקובל להוציא מחוץ לסוגריים את המחלק המשותף הגדול ביותר .המשך הפתרון כמקודם. כאשר מוציאים מחלק משותף שאינו הגדול ביותר ,מתקבל בסוגריים ביטוי שניתן להמשיך ולפרק לגורמים .אפשר להציג פתרון כזה כאן. (ג) השוני בביטוי ,10x – 15ישנם שני מחוברים ,אחד מהם אינו מכיל משתנה .מוציאים מחוץ לסוגריים את הגורם המשותף של 10ו.15 - (ד) בביטוי 4x + 2השוני הוא שעלינו לכתוב את המחובר 2כמכפלה של 2ב ,1 -על מנת לראות את המחוברים שיהיו בתוך הסוגריים לאחר הוצאת הגורם המשותף. מומלץ לאחר ביצוע דוגמאות אלו לדון בשאלה איזו פעולת חשבון מתבצעת כאשר מוציאים גורם משותף מחוץ לסוגריים? בהוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים הביטוי שנשאר בתוך הסוגריים הוא המנה שבין המחובר הנתון לגורם המשותף .נחזור לדוגמאות ונחשב את המחוברים שבתוך הסוגריים באמצעות החילוק. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 57 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד54 : תרגיל לפתרון במליאת הכיתה .יישום של דוגמה .3 תרגיל :4התרגילים הם יישום ישיר של הנלמד בדוגמה .3 ( )12( – )10בכל סכום יש שלושה מחוברים .יש להוציא מחוץ לסוגריים גורם המשותף לכל המחוברים. מספר המחוברים שבסוגריים כמספר המחוברים בביטוי הנתון. דוגמה 4 הקניה :ספרים סגורים .מליאה .אותו עיקרון כמו דוגמאות .3 – 1 (א) השוני פה הוא שהגורם המשותף הוא משתנה ומיקומו הוא מימין לכופל השני. רושמים את הביטוי האלגברי ax + bxעל הלוח .שואלים :האם יש גורם משותף? (כן.)x , נצבע אותו באדום .אנו רואים כי הפעם יש לנו משתנה כגורם משותף. מה עוד שונה בביטוי זה לעומת הקודמים ,כמו למשל( ? 3a + 3b ,בכל מחובר ,הגורם המשותף בביטוי ax + bxכתוב מימין) .האם זה משנה? נמקו. (לא ,כי ניתן להחליף את סדר הגורמים במכפלה – חוק החילוף של הכפל) .נוציא את הגורם המשותף מחוץ לסוגריים .ייתכן שיהיו תלמידים שיכתבו את הגורם המשותף מימין לסוגריים ,בהתאם למיקומו בביטוי: .(a+b)xנוהגים לכתוב את הגורם המשותף משמאל לסוגריים ) .x(a+bשתי צורות הכתיבה נכונות. (ב) השוני בביטוי a+axהוא שבכך שכותבים את המחובר aכמכפלה של aב.1 - בכיתה בה נערך דיון בפעולת החשבון המתבצעת בפירוק לגורמים היא חילוק .תלמידים הפותרים בדרך של a שווה .1 חילוק אינם זקוקים לכתוב את aכמכפלה של aב .1 -הגורם המשותף הוא .aהמנה a ax שווה .x המנה a (ג) השוני בביטוי 8ax+12ay–16azהוא שהגורם המשותף הוא מכפלה של מספר ומשתנה .מורכבות נוספת היא שהגורם המספרי אינו בולט לעין .הוא המחלק המשותף של המספרים .16 ,12 ,8כדי להבליט שוני זה ולהגיע לתובנה החדשה ,מומלץ לשאול :מה השוני בביטוי זה? ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 58 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד55 : לאחר הקניה של הסעיפים (א) – (ג) שבדוגמה ,4מומלץ לפתור את התרגיל שבמסגרת (אחרי דוגמה )5 ולתת לתלמידים לפתור את תרגיל .5 דוגמה 5 (א) השוני בביטוי a2 + abהוא שהגורם המשותף הוא בסיס של חזקה במחובר הראשון .הקושי בזה שלא רואים את המחובר שיופיע בסוגריים :מעריך החזקה מצביע עליו .לאחר מיקוד השוני בעזרת שאלות, מומלץ לשאול :מה הגורם המשותף? ( .)aהאם רואים כופל שני במחובר הראשון ( ? a2נכתוב את הביטוי ללא חזקה)aa + ab : (ב) השוני בביטוי 4b3 + 3bהוא שהחזקה מופיעה בשני המחוברים וכן שהגורם המשותף גם הוא חזקה. הגורם המשותף הגדול ביותר הוא .b2 תהליך ההקניה הוא כמו בסעיף (ד) :כותבים את הביטוי כסכום של מכפלות4bbb + 3bb : b∙bהוא הגורם המשותף הגדול ביותר .רושמים את הביטוי הכפלי ). b∙b (4b+3) = b2(4b+3 (ג) 3x + 4yדוגמה לביטוי חיבורי שאינו ניתן לפירוק לגורמים. תרגילים .5בסעיפים ( )6( - )1הגורם המשותף צבוע באדום .כל התרגילים הם יישום ישיר של הנלמד בדוגמאות .4 – 2 ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 59 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד56 : תרגיל לפתרון במליאת הכיתה. יישום של דוגמה .5 .6יישום ישיר של הנלמד בדוגמה .5 מומלץ לפתור שלושה סעיפים בכיתה .עובדים בזוגות .הבדיקה במליאה. הסעיפים הנותרים כשיעורי בית. .7תרגיל מסוג שונה המחזק את הקשר בין ביטוי כפלי לביטוי חיבורי. ניתן למצוא את הביטויים השקולים על ידי יישום של חוק הפילוג על הביטויים משמאל ,או על ידי הוצאת גורם משותף בביטויים מימין. שאלה כזו מתאימה מאד לשיעורי בית :הצלחה בהתאמה מהווה משוב לתלמיד על נכונות הביצוע. .8תרגול נוסף בפירוק לגורמים. יינתן על-פי שיקול הדעת של המורה. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 60 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד57 : שברים אלגבריים חלק :3הקניה :מומלץ לרשום את הנושא "שברים אלגבריים" על הלוח – למיקוד החשיבה .ספרים סגורים. מומלץ לרשום על הלוח את ששת הביטויים הנתונים בראש העמוד. מומלץ לומר/לשאול :על הלוח רשומים שישה שברים אלגבריים .מדוע לדעתכם מכנים אותם "שברים אלגבריים"? (כי ישנו משתנה אחד לפחות במונה או במכנה) .נלמד איך לפשט שברים אלגבריים על ידי צמצום. ניעזר בהוצאת גורם משותף .ניזכר תחילה בצמצום של שברים רגילים. לפני שנתחיל בביצוע פעולות על שברים אלגבריים נזכור כי אסור לחלק באפס .לכן בכל שבר אלגברי נבדוק תחילה עבור אילו מספרים המכנה יהיה שווה ,0ונכתוב את תחום ההצבה של הביטוי .דוגמאות: בסעיף ( )2הביטוי במכנה הוא .12yנבדוק עבור איזה yהמכנה שווה .0נפתור את המשוואה .12y = 0 מקבלים .y = 0אסור שהמכנה יהיה שווה .0לכן תחום ההצבה של השבר האלגברי הנתון הוא .y 0במילים :תחום ההצבה של yהוא כל המספרים פרט ל.0 - בסעיף ( )4הביטוי במכנה הוא . x – 3נבדוק עבור איזה xהמכנה שווה .0נפתור את המשוואה .x – 3 = 0 מקבלים .x = 3אסור שהמכנה יהיה שווה .0לכן תחום ההצבה של השבר האלגברי הנתון הוא .x 3במילים :תחום ההצבה הוא כל המספרים פרט ל.3 - דוגמה :6תזכורת לגבי צמצום שברים מספריים. המשך ההקניה :רושמים את השברים המופיעים בסעיפים (א) – (ג). 6 הוא שבר אלגברי? (לא ,כי אין בו משתנה) .האם ניתן לצמצמו? (כן). שואלים (למשל ,בסעיף (א)) :האם 15 במה? (ב 3 .3 -הוא המחלק המשותף של 6ושל .)15נרשום את המונה ואת המכנה כמכפלה של 6 32 המחלק המשותף כמו שעשינו בביצוע הוצאת גורם משותף: 15 3 5 כעת נצמצם בגורם המשותף :נחלק את המונה ואת המכנה ב ,3 -כפי שמודגם בספר. הערה למורה :באותו אופן מציגים את השברים בסעיפים (ב) ו( -ג) ,ועוברים את כל התהליך על מנת להעלות למודעות מפורשת את שלבי הצמצום .הבנת שלבים אלה היא חיונית לצמצום שברים אלגבריים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 61 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 57 דוגמה :7אומרים :נצמצם שברים אלגבריים באופן דומה לצמצום שברים .כמו בשברים לא ניתן לצמצם כל שבר אלגברי ,רק כאלה שיש מחלק/גורם משותף למונה ולמכנה .ברשימת השברים שלפני דוגמה ,6 3x יש שני שברים אלגבריים שניתן לצמצמם .רושמים על הלוח את השבר 12 y שואלים :האם הוא שבר אלגברי? (כן). הניתן לצמצום. מה תחום ההצבה שלו? האם יש מחלק משותף למונה ולמכנה? (כן .)3 כותבים את המונה ואת המכנה כמכפלה של המחלק המשותף כמו שעשינו בדוגמה .4 המשך ההקניה כמודגם בספר בתהליך דומה לזה שבדוגמה .5 דוגמה :8רושמים על הלוח את הביטוי xy 2x . שואלים :מה תחום ההצבה של ביטוי זה? האם למונה ולמכנה יש מחלק משותף. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 62 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 58 תרגילים .10 – 9יישום של הנלמד בדוגמאות :8 – 7המונה והמכנה הם ביטויים כפליים .כפי שצוין ,ניתן לכתוב חזקה כמכפלה של הביטוי בעצמו .בצורה זו רואים בצורה מפורשת את הגורם המשותף אותו נצמצם ,ואת הגורמים שנשארים לאחר הצמצום. המחלקים המשותפים הם כולם חד-איברים :משתנה ו/או מספר. תחום ההצבה :בכל הסעיפים תחום ההצבה הוא כל המספרים פרט ל.0 - המורה יחליט מה כמות התרגול הנדרשת לתלמידיו. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 63 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 59 דוגמה 9 השוני :הגורם המשותף הוא ביטוי חיבורי ואותו מצמצמים. הערה :נקפיד להשתמש במושג פירוק לגורמים או נפרק לגורמים ועוד. הקניה במליאה כשהספרים סגורים .רושמים על הלוח את הדוגמה .כותבים את תחום ההצבה. שואלים :איך נבדוק אם ניתן לצמצם את השבר? (אם יש מחלק משותף למונה ולמכנה). איך נבדוק? נפרק לגורמים ,את המונה ו/או המכנה ,כל אחד לחוד ,על ידי הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים. האם יש גורם משותף? מהו? ) .)x – 2נצמצם בגורם המשותף ( .המשך כמודגם בספר). דוגמה 10 השוני :לאחר פירוק לגורמים ,כל המונה מצטמצם .הקושי פה שהתלמיד עלול לחשוב שלא נשאר מאומה במונה וירשום את תוצאת הצמצום כ ,3 -המספר שנשאר במכנה. כדי לעזור לתלמיד לראות שתמיד נותר ביטוי כלשהו לאחר הצמצום ,נציג תמיד גם את המונה וגם את המכנה )1(1 a 1 . ולאחר צמצום כמכפלה .במונה ) 1 (1 aנמשיך כמו בדוגמאות הקודמות .נקבל: )3(1 a 3 תרגיל לפתרון במליאת הכיתה .יישום של דוגמאות .10 – 9 .12יישום של דוגמאות . 10 – 9 בתרגיל זה לא מתבקשים לכתוב את תחום ההצבה .כתוב בשאלה כי בכל הביטויים המכנה שונה מאפס. ניתן לבקש מהתלמידים לתת דוגמאות להצבות אפשריות ודוגמאות להצבות שאינן אפשריות. למשל ,בסעיף ( )12הצבה אפשרית היא .a = 5 , b = 3 :הצבה שאינה אפשרית היא a = 5 , b = 5 ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 64 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 60 .13תרגול נוסף .יינתן על-פי שיקול דעתו של המורה. גם כאן נתון כי בכל הביטויים במכנה שונה מאפס ואין צורך לכתוב את קבוצת ההצבה. .14התאמה בין ביטויים( .כמו בתרגיל )7 יש להוסיף כי המכנים שונים מאפס. ניתן למצוא את הביטויים השווים על ידי פירוק לגורמים של המונים ו/או המכנים של הביטויים משמאל, וצמצום. שאלה כזו מתאימה מאד לשיעורי בית :הצלחה בהתאמה מהווה משוב לתלמיד על נכונות הביצוע. דוגמה 11 דוגמה בה המכנה כולו מצטמצם. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 65 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 61 50 תרגיל לפתרון במליאתה הכיתה. .15יישום של דוגמה . 11גם כאן אין צורך לכתוב את קבוצת ההצבה .כל המכנים שונים מאפס. דוגמה 12 מציגה הקשר בו נעזרים בפירוק לגורמים ובצמצום לפתרון בעיה .ההקשר הוא חישוב האורך של צלעות של מלבן כאשר אורך אחת מהצלעות והשטח מיוצגים באמצעות ביטויים אלגבריים. מומלץ לתת דוגמה מספרית באותו הקשר ,המשתמשת באותה דרך של פתרון – רק במספרים. על סמך תובנה זו התלמידים יוכלו ביתר קלות להבין ולפתור את השאלה כפי שהיא מוצגת. ההקניה במליאה .ספרים סגורים. מסרטטים על הלוח מלבן עם הנתונים הבאים שאורך אחת מצלעותיו 15ס"מ ושטחו 345סמ"ר. מבקשים מהתלמידים לחשב את אורך הצלע הסמוכה( .נחלק את 345ב.)15 - 345 .נקבל .23 נרשום את דרך החישוב גם באמצעות פעולת החילוק 345 : 15וגם כשבר 15 עוברים לדוגמה 12המוצגת בספר. שואלים :מה ההבדל בין שאלה זו לשאלה שפתרנו קודם? (שם המידות היו במספרים .פה הם ביטויים אלגבריים). איך נחשב את אורך הצלע השנייה? (נחלק את השטח באורך הצלע). נכתוב את הביטוי המתאים כשבר אלגברי .נפרק לגורמים ונצמצם כמו שלמדנו. נתייחס לקבוצת ההצבה .כאשר מדובר בשאלה מילולית, לא מספיק להתייחס לתנאי שהמכנה אינו יכול להיות .0בנוסף ,לא ייתכן שאורך צלע יהיה מספר שאינו חיובי. תחום ההצבה :לכן תחום ההצבה הוא x + 2 > 0 :וגם .4x > 0מתלמידים שיתקשו בכתיבה פורמלית נבקש לכתוב במילים שהארוך של צלעות המלבן הוא מספר חיובי ,כלומר ,הביטויים x + 2חיובי וגם 4xחיוביים. נשאל למשל האם ניתן להציב .x = 1נציב בביטויים המבטאים את אורך הצלעות ונבדוק אם מקבלים מספרים חיוביים .נשאל גם :האם ניתן להציב .x = –1 ייתכן שיהיו תלמידים שיגידו ש x -לא יכול להיות מספר שלילי כי .4x > 0 אחרים יציבו בביטויים המייצגים את אורך הצלעות .הצבה בביטוי x + 2תיתן אורך אפשרי. הצבה בביטוי 4xתיתן מספר שלילי שאינו אפשרי. מומלץ לבקש מהתלמידים דוגמאות נוספות למספרים שניתן להציב במקום ,xודוגמאות נוספות למספרים שלא ניתן להציב במקום .x ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 66 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: לאחר חישוב האורכים של הצלעות יש לרשום אותם על הצלעות .זה נותן משמעות והקשר ללימוד. עם סיום החישוב נכתוב תשובה מילולית( .תלמידים נוטים לשכוח זאת ולהסתפק בתוצאת החישוב). ולסיום ,בדיקה .קיבלנו שהביטויים 4xו x + 2 -מייצגים את אורך צלעות המלבן. תרגיל שטח המלבן שבסרטוט הוא .10x2 + 15x אורך אחת מצלעות המלבן הוא שטח המלבן 10x2 + 15x .2x + 3 (א) כתבו ביטוי אלגברי לאורך הצלע הסמוכה. נבדוק אם בחישוב השטח יתקבל הביטוי הנתון .נפשט את הביטוי 4x(x + 2) :באמצעות יישום של חוק הפילוג. (ב ) נתון כי .x = 3חשבו את אורך צלעות המלבן. תרגילים תרגילים .21 – 16שאלות דומות לשאלה שבדוגמה .12 .16לפניכם מלבן ששטחו מיוצג על-ידי ביטוי אלגברי. .16 62 אורך אחת מצלעות המלבן הוא 8ס"מ. (א) אורך אחת מהצלעות הוא 8ס"מ .הביטוי לאורך הצלע הסמוכה הוא .2x – 1 (א) כתבו ביטוי אלגברי לאורך הצלע הסמוכה .צמצמו. 2x +3 שטח המלבן: 16x – 8 8 (ב) נתון כי .x = 4חשבו את אורך הצלע הסמוכה. (ב) הצבה של ערך במקום xוחישוב של אורך הצלע הסמוכה. התשובה תהיה מילולית :צלעות המלבן הן באורך של 8 :ס"מ ו 7 -ס"מ. .17לפניכם מלבן ששטחו מיוצג על-ידי ביטוי אלגברי. .17 אורך אחת מצלעות המלבן הוא xס"מ. (א) אורך אחת מהצלעות הוא xס"מ .הביטוי לאורך הצלע הסמוכה הוא .2x + 3 (א) כתבו ביטוי אלגברי לאורך הצלע הסמוכה .צמצמו. שטח המלבן: 2x2 + 3x (ב) נתון כי .x = 6חשבו את אורך צלעות המלבן. (ב) הצבה של ערך במקום xוחישוב של האורכים של צלעות המלבן. x התשובה תהיה מילולית כמו בתרגיל .16 .18לפניכם מלבן ששטחו ואורך אחת מצלעותיו מיוצגים על-ידי .18 ביטויים אלגבריים. (א) אורך אחת מהצלעות הוא xס"מ .הביטוי לאורך הצלע הסמוכה הוא .x + y כתבו ביטוי אלגברי לאורך הצלע הסמוכה .צמצמו. ניתן לבקש מהתלמידים לתת דוגמאות לערכים אפשריים עבור xו.y - ( .19א) הביטויים לאורך צלעות המלבן הם: (ב -ג) תחום ההצבה: .a , c + 2 שטח המלבן: x2 + xy x .19לפניכם מלבן ששטחו ואורך אחת מצלעותיו מיוצגים על-ידי ביטויים אלגבריים. a > 0וגם .c + 2 > 0 (א) כתבו ביטוי אלגברי לאורך הצלע הסמוכה .צמצמו. (ב) תנו דוגמה למספרים השייכים לתחום ההצבה של aו.c - לא מבקשים מהתלמידים את תחום ההצבה אלא להציע ערכים אפשריים עבור aו c -וערכים (ג) תנו דוגמה למספר שאינו שייך לתחום ההצבה. שטח המלבן: ac + 2a אורך צלע המלבן הוא מספר חיובי. c+2 שאינם אפשריים .מומלץ להציע לתלמידים להציב ) (–1במקום .c בתרגיל זה הצבה זו של מספר שלילי נותנת תוצאה אפשרית. כלומר ) (–1שייך לקבוצת ההצבה של .c .20 שטח המלבן שבסרטוט הוא אורך אחת מצלעות המלבן הוא .6x + 18 .x + 3 שטח המלבן: 6x + 18 (א) כתבו ביטוי אלגברי לאורך הצלע הסמוכה .צמצמו. ( .20א) הביטויים לאורך צלעות המלבן הם 6 :ו.x + 3 - (ב-ג) התלמידים לא מתבקשים לכתוב את תחום ההצבה אלא לתת דוגמה למספר בתחום ודוגמה למספר (ב) תנו דוגמה למספר השייך לתחום ההצבה של .x (ג) תנו דוגמה למספר שאינו שייך לתחום ההצבה של .x x+3 אורך צלע המלבן הוא מספר חיובי. שאינו בתחום. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 67 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד63 : 50 ( .21א) הביטויים לאורך צלעות המלבן הם.x , x + 2y : (ב) נתונים ערכים עבור xו .y -התלמידים יציבו ויחשבו את אורך צלעות המלבן. התשובה מילולית כמו בתרגיל .16 שברים אלגבריים במשוואות – חלק 4 דוגמה 13 הקניה במליאה .ספרים סגורים .רושמים על הלוח את הנושא“ :שברים אלגבריים במשוואות” למיקוד החשיבה. רושמים על הלוח את המשוואה .שואלים מהו תחום ההצבה של ?xמבקשים מהתלמידים לפתור. 3x 6 2x 1 מכנה משותף של 3וקבלת המשוואה.3x + 6 = 3(2x + 1) : דרכי פתרון אפשריות)1( : 3 1 ( )2כפל של שני אגפי המשוואה ב 3 -וקבלת המשוואה כמו באפשרות (.)1 נציג בפני התלמידים דרך פתרון נוספת. שואלים :האם ניתן להשתמש בפירוק לגורמים שלמדנו ולכתוב משוואה זו בדרך אחרת? את המונה ניתן לפרק לגורמים באמצעות הוצאה של המספר 3מחוץ לסוגריים. 3( x 2 ) 2x 1 מצמצמים ונקבל משוואה ללא שברים.x + 2 = 2x – 1 : מתקבלת המשוואה: 3 1 התלמידים ימשיכו ויפתרו. תרגיל לפתרון במליאת הכיתה. פתרון של שלוש משוואות :השתיים הראשונות כמו בדוגמה .13באחד מהאגפים שבר אלגברי עם מכנה מספרי. משוואה ( )3משוואה ללא מכנים שהפתרון שלה נלמד בעבר. תרגילים )6( – )1( .22משוואות בהן באחד מהאגפים יש שבר עם מכנה מספרי הניתן לצמצום. ( )10( – )7משוואות בהן באחד מהאגפים יש שבר עם מכנה מספרי הניתן לצמצום .אחרי הצמצום נשאר שבר מצומצם. ניתן לפתור על-ידי כפל של שני אגפי המשוואה במכנה המספרי. ניתן גם לכתוב את הביטוי שבאגף ימין כשבר שהמכנה שלו הוא .1להרחיב את השבר כך שיתקבל שוויון בין שני שברים בעלי אותו מכנה .לפתרון המשוואה :המכנים שווים ,משווים מונים. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 68 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 64 דוגמה 14 המשוואה היא משוואה ריבועית אותה עדיין לא למדו לפתור .שואלים :מה תחום ההצבה? המכנה שונה מ.0 - נבדוק מתי המכנה שווה :0 2x = 0נחלק ב 2 -ונקבל.x = 0 : תחום ההצבה.x 0 : שואלים :האם ניתן לפשט את המשוואה על ידי פירוק לגורמים? מה הגורם המשותף? ()2x ניתן לפתור אותה באמצעות פירוק לגורמים וצמצום ,בדוגמה 13הגורם המשותף היה מספרי .בדוגמה זו הגורם המשותף הוא ביטוי אלגברי .מפרקים לגורמים ומצמצמים .מתקבלת משוואה ממעלה ראשונה, שהפתרון שלה הוא .8 תרגיל לפתרון במליאת הכיתה. ( )1משוואה בה באחד מהאגפים יש שבר אלגברי בו במונה ובמכנה ביטויים כפליים .מצמצמים. אין צורך בפירוק לגורמים. ( )2משוואה כמו בדוגמה .14 תרגילים .23משוואות ( :)9( – )1הפתרון הוא כמו הפתרון של משוואה ( )1בתרגיל שנפתר במליאת הכיתה. משוואות ( :)14( – )10הפתרון שלהן הוא כמו הפתרון שבדוגמה 14והפתרון של משוואה ( )2בתרגיל שנפתר במליאת הכיתה. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 69 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד65 : עוד על משוואות שקולות. פעילות זו מיועדת לתלמידים מתקדמים .המטרה :התלמיד יזהה משוואות שקולות. בתהליך הפתרון של משוואות שנלמד עד כה ,בהן תחום ההצבה כולל את כל המספרים ,התלמידים עברו ממשוואה אחת למשוואה שקולה באמצעות ביצוע פעולות מותרות ,עד לקבלת המשוואה .x = b bהוא פתרון המשוואה .לכל המשוואות שהתקבלו בתהליך זה היה אותו פתרון. בפרק זה ,מדגישים שפתרון שווה של שתי משוואות אינו מספיק כדי להסיק שהמשוואות שקולות. חשוב להתייחס גם לתחום ההצבה של המשוואות .משוואות שקולות הן משוואות שיש להן אותה קבוצת פתרונות ואותו תחום הצבה. כאן נתונות שתי משוואות שלשתיהן אותו פתרון .למרות שלשתי המשוואות אותם פתרונות ,המשוואות אינן שקולות .אין להן אותה קבוצת הצבה. תרגיל 24 בכל סעיף שתי משוואות ועל התלמידים לקבוע אם הן שקולות. לכל זוג משוואות נתונות יש אותו פתרון. לדוגמה, ( )1לשתי המשוואות יש אותו תחום הצבה :כל המספרים ,ואותו פתרון .8 :המשוואות שקולות. התלמידים יפתרו את שתי המשוואות ויגיעו למסקנה שהמשוואות שקולות. ניתן להראות שהמשוואה השנייה מתקבלת מהמשוואה הראשונה באמצעות פעולה מותרת של חיבור של 1לשני האגפים. ( )2לשתי המשוואות תחומי הצבה שונים .תחום ההצבה של המשוואה הראשונה הוא כל המספרים. תחום ההצבה של המשוואה השנייה הוא כל המספרים פרט ל .0 -למרות שלשתי המשוואות שי אותו פתרון, המשוואות אינן שקולות .אין צורך לפתור את המשוואות. תרגיל 25 נתונות 6משוואות .יש לסדר אותן בזוגות של משוואות שקולות. הפתרון )6( – )1( :בשתיהן תחום ההצבה כולל את כל המספרים .הפתרון.2 : בכל המשוואות האחרות תחום ההצבה כולל את כל המספרים פרט ל.x 0 :0 - השקילות תקבע על-פי הפתרון של כל משוואה. ( )3( – )2הפתרון.2 : ( )5( – )4הפתרון.3 : ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 70 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד66 : נחזור ונתרגל – שטחים והיקפים חישובי שטחים והיקפים במצולעים ובמעגלים. חישוב השטח מתבצע על-ידי סכום השטחים של המצולעים המרכיבים את הצורה. תהליך זה של חישוב השטח אינו נכון לגבי ההיקפים .היקף מצולע שווה לסכום צלעות המצולע. בחישוב היקפים יש להתעלם מהקטעים המחברים בין הצורות. בראש העמוד על דף תובנות תזכורת לנוסחאות לחישוב שטח משולש ושטח מלבן ולחישוב היקף מלבן. .1שטח המצולע שווה לסכום השטחים של הריבוע והמלבן. ניתן לחשב גם את ההיקף באמצעות סכום ההיקפים של הריבוע והמלבן אבל מסכום זה יש לחסר פעמיים את הקטע המשותף שאינו חלק מההיקף( .צבוע באדום). תלמידים רבים השייכים לאוכלוסיית היעד של הספר יעדיפו לחבר את אורכי הצלעות של המצולע .מומלץ לכתוב בסרטוט ,ליד כל צלע, 2 את אורכה כמודגם בסרטוט .הקטע הצבוע באדום אינו חלק מהיקף המצולע. .2צורה דומה לזו שבתרגיל .1השוני :אין חלוקה לשני מרובעים. 2 2 התלמיד יציע הצעות לחלוקה לצורות שאת שטחן הוא יודע לחשב .האפשרויות ההגיוניות: התלמידים יכתבו ליד כל קטע את אורכו ויגלו כי בשתי אפשרויות אלו החלוקה היא למלבן וריבוע. .3חישוב השטח יכול להתבצע באמצעות הנוסחה לחישוב שטח טרפז .לחילופין ,סכום השטחים של שני המשולשים והמלבן .מומלץ להציג את שתי הדרכים. .4בסרטוט צורה המורכבת משמונה ריבועים חופפים. שטחה 72סמ"ר. (א) שטח כל ריבוע הוא 9סמ"ר ) .(72 : 8 = 6לכל הריבועים שטחים שווים (הריבועים חופפים). (ב) אורך צלע ריבוע ששטחו 9סמ"ר הוא 3ס"מ. (ג) לחישוב ההיקף יש לספור את מספר הצלעות מהן מורכב ההיקף. (הקו האדום .להתעלם מקווים מפרידים הנמצאים בתוך הצורה). סך-הכל 18קטעים .ההיקף 54ס"מ ).(18 3 ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 71 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 67 .5מצולע המורכב ממלבן וריבוע .בסרטוט ,חלק מאורכי צלעות המלבן והריבוע חלק בביטויים אלגבריים. נתון היקף המצולע כולו ויש לחשב את אורך צלע הריבוע ,כלומר לחשב את .x ננחה את התלמידים להשלים את אורך הקטע שאורכו אינו נתון (.)4 לכתוב ביטוי להיקף הצורה ולהשוות את ההיקף ל .36 -מתקבלת משוואה .התלמידים יפתרו אותה. ניתן גם לכתוב ביטוי להיקף המלבן וביטוי להיקף הריבוע .היקף הצורה שווה לסכום ההיקפים פחות פעמיים – xאורך הקטע המשותף המחבר ביניהם. .6חישוב שטח מקבילית .מומלץ לחזור על הנוסחה לחישוב זה .אפשר גם לחלק את המקבילית למלבן ושני משולשים ולחשב את שטחיהם .לחישוב שטח של כל משולש יש להיעזר במשפט פיתגורס. שטח המקבילית שווה לסכום השטחים של המלבן והמשולשים .במקרה זה חישוב ישיר באמצעות הנוסחה הוא מהיר יותר. .7חישוב שטח טרפז .מומלץ לחזור על הנוסחה לחישוב שטח זה .אפשר גם לחלק את הטרפז למלבן ומשולש ולחשב את שטחיהם .שטח הטרפז שווה לסכום השטחים של המלבן והמשולש. .8חישוב שטח והיקף של מעגל .הזדמנות לחזרה על המושגים השונים הקשורים למעגל :רדיוס ,קוטר. , .9חישוב שטח הכלוא בין ריבוע ועיגול .שלא כמו בחישובים קודמים בהם הצורות שהרכיבו את הצורה היו מצולעים ,כאן אחת מהצורות היא מעגל .במקרה זה אי אפשר לחשב את גודל השטח המבוקש באמצעות סכום שטחים .הדרך האפשרית היא באמצעות הפרש שטחים :שטח הריבוע פחות שטח העיגול. .10בתרגיל זה ארבע צורות המורכבות מחיבור של שלושה לוחות מלבניים .לכל הצורות שטחים שווים. (השווה שלוש פעמים שטח של לוח אחד ).ההיקפים שלהם שונים .יש לחשב היקף של כל צורה בנפרד. כמומלץ בתרגילים קודמים כדאי להוסיף לסרטוט את מידות הקטעים המרכיבים את ההיקף. בסרטוט ()3 למשל ,בסרטוט ()2 12 2 2 12 8 12 אין חשיבות למיקום של הלוח העליון .בדיוק באמצע או עם נטייה לאחד מהצדדים. 12 2 2 12 הקטע הפנימי הצבוע כחול אורכו 8ס"מ. מכל צד יש להוריד 2ס"מ (באדום). אורך הקטעים משני הצדדים (באדום) שווה לאורך של לוח אחד. ___________________________ ________________________________ ________________________________________________________________________ 72 כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" כיתה ח ,חלק ב
© Copyright 2024