‫סיכום גיאומטריה‬ ‫משולשים‬ ‫(‪)1‬‬ ‫סכום זוויות על ישר כלשהו הינו ‪ 180‬מעלות‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫מפגש ישרים יוצר זוויות קודקודיות‪ ,‬השוות זו לזו‪.‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫ישר העובר בין מקבילים יוצר זוויות קטנות השוות זו לזו וזוויות גדולות‬ ‫השוות גם הן זו לזו‪ .‬סכום כל זווית קטנה עם זווית גדולה שווה ל‪180 -‬‬ ‫מעלות‪.‬‬ ‫(‪)4‬‬ ‫סכום הזוויות במשולש הנו ‪ 180‬מעלות‪.‬‬ ‫(‪)5‬‬ ‫זווית חיצונית במשולש שווה בערכה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן‬ ‫צמודות לה‪.‬‬ ‫(‪)6‬‬ ‫בכל משולש יש התאמה בין גודל הצלע לבין גודל הזווית שמולה‪ :‬מול הצלע‬ ‫הגדולה תשב הזווית הגדולה‪ ,‬מול הצלע הבינונית הזווית הבינונית ומול‬ ‫הצלע הקטנה הזווית הקטנה‪ ,‬ולהפך‪.‬‬ ‫(‪)7‬‬ ‫סכום שתי הצלעות האחרות > צלע במשולש > הפרש שתי הצלעות‬ ‫האחרות‬ ‫(‪)8‬‬ ‫ישר היוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו נקרא גובה‪.‬‬ ‫(‪)9‬‬ ‫ישר החוצה את זווית הקודקוד ממנו הוא יוצא נקרא חוצה זווית‪.‬‬ ‫(‪ )10‬ישר היוצא מקודקוד וחוצה את הצלע מולו נקרא תיכון‪.‬‬ ‫(‪ )11‬שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת‪ ,‬המחלקת כל אחד מהם‬ ‫ביחס של ‪ 2:1‬לטובת הקודקוד‪.‬‬ ‫(‪ )12‬שטח משולש = צלע‬ ‫קבוצת תיכון תל אביב‬ ‫‪X‬‬ ‫גובה לצלע‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪ )13‬תיכון יוצר תמיד שני משולשים בעלי שטחים שווים‪.‬‬ ‫משולש שווה שוקיים‬ ‫(‪ )14‬משולש שווה שוקיים הינו משולש בו שתי צלעות שוות זו לזו‪ .‬מכאן שגם‬ ‫שתי הזוויות שממול שוות זו לזו‪ .‬במשולש זה די בזווית אחת בכדי לחשב‬ ‫את ערכן של שתי הזוויות האחרות‪.‬‬ ‫(‪ )15‬הישר היורד במשולש שווה שוקיים בין שתי השוקיים וניצב לבסיס מולו‬ ‫מהווה גם גובה‪ ,‬גם חוצה זווית וגם תיכון‪.‬‬ ‫משולש שווה צלעות‬ ‫(‪ )16‬במשולש שווה צלעות‪ ,‬כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות ל‪ 60 -‬מעלות‪.‬‬ ‫(‪ )17‬במשולש שווה צלעות‪ ,‬כל גובה הוא גם חוצה זווית וגם תיכון‪.‬‬ ‫(‪ )18‬שטח משולש שווה צלעות שצלעו ‪a2 3 = a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫דמיון משולשים‬ ‫(‪ )19‬שני משולשים בהם שתי זוויות הן זהות‪ ,‬הם משולשים דומים‪.‬‬ ‫(‪ )20‬היחס בין כל שתי צלעות מתאימות במשולשים דומים הינו זהה‪.‬‬ ‫(‪ )21‬בצורות דומות‪ :‬יחס שטחים = ‪(2‬יחס קווי)‬ ‫(‪ )22‬קטע אמצעים במשולש הוא ישר המחבר בין אמצעי שתי צלעות במשולש‪,‬‬ ‫מקביל לצלע השלישית ושווה באורכו למחציתה‪.‬‬ ‫(‪ )23‬קטע אמצעים במשולש יוצר תמיד שני משולשים דומים‪ ,‬שהיחס הקווי‬ ‫ביניהם הוא ‪ ,2:1‬ולכן היחס השטחי ביניהם הוא ‪.4:1‬‬ ‫משולשים ישרי זוית‬ ‫(‪ )24‬בכל משולש ישר זוית מתקיים משפט פיתגורס‪(2 :‬יתר) = ‪(2‬ניצב) ‪(2 +‬ניצב)‬ ‫(‪ )25‬שלשות פיתגוריות‪:‬‬ ‫‪8:15:17 , 5:12:13 , 3:4:5‬‬ ‫קבוצת תיכון תל אביב‬ ‫‪2‬‬ ‫משולש זהב‬ ‫(‪ )26‬משולש זהב הוא משולש ישר‪-‬זוית שזויותיו הן ‪ 30,60,90‬מעלות‪.‬‬ ‫(‪ )27‬במשולש זהב‪ ,‬הניצב שמול הזוית בת ה‪ 30 -‬מעלות‪ ,‬שווה באורכה למחצית‬ ‫היתר‪.‬‬ ‫(‪ )28‬השלשה הפיתגורית של משולש זהב‪:‬‬ ‫‪3 :2‬‬ ‫‪1:‬‬ ‫משולש כסף‬ ‫(‪ )29‬משולש כסף הוא משולש ישר זוית ושווה שוקיים שזוויותיו ‪45,45,90‬‬ ‫מעלות‪.‬‬ ‫(‪ )30‬השלשה הפיתגורית של משולש כסף‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1:1:‬‬ ‫(‪ )31‬תיכון ליתר במשולש ישר‪-‬זוית שווה תמיד למחצית היתר‪.‬‬ ‫מרובעים‬ ‫(‪ )32‬מרובע הינו כל מצולע בעל ‪ 4‬צלעות‪.‬‬ ‫(‪ )33‬סכום הזוויות בכל מרובע הוא ‪ 360‬מעלות‪.‬‬ ‫מקבילית‬ ‫(‪ )34‬מקבילית הינה מרובע בו יש שני זוגות צלעות נגדיות המקבילות ושוות זו‬ ‫לזו‪ .‬סכום כל זוג זוויות סמוכות במקבילית שווה ל‪ 180-‬מעלות‪ .‬כל זוג זוויות‬ ‫נגדיות במקבילית שווה‪ .‬האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה‪.‬‬ ‫שטח מקבילית = צלע ‪ x‬גובה לצלע‬ ‫מעויין‬ ‫(‪ )35‬מעויין הינו מקבילית בה כל הצלעות שוות‪ .‬אלכסוני המעויין מאונכים זה לזה‬ ‫וחוצים את זוויות הקודקודים‪.‬‬ ‫שטח מעויין הינו‪:‬‬ ‫א‪ .‬צלע ‪ x‬גובה לצלע‬ ‫ב‪ .‬אלכסון ‪ x‬אלכסון‬ ‫‪2‬‬ ‫קבוצת תיכון תל אביב‬ ‫‪3‬‬ ‫מלבן‬ ‫(‪ )36‬מלבן הינו מקבילית בה כל הזוויות ישרות‪ .‬האלכסונים במלבן שווים‬ ‫באורכם‪.‬‬ ‫שטח מלבן = אורך ‪ x‬רוחב‬ ‫ריבוע‬ ‫(‪ )37‬ריבוע הינו מעוין בו כל הזוויות ישרות‪ .‬כל הצלעות בריבוע שוות‪ .‬האלכסונים‬ ‫בריבוע שווים זה לזה‪ ,‬חוצים זה את זה‪ ,‬מאונכים זה לזה‪ ,‬וחוצים את זוויות‬ ‫הקודקודים‪.‬‬ ‫שטח ריבוע הינו‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪( .‬צלע)‬ ‫ב‪(2 .‬אלכסון)‬ ‫‪2‬‬ ‫דלתון‬ ‫(‪ )38‬דלתון הינו מרובע המורכב מ‪ 2-‬זוגות של צלעות השוות זו לזו‪ .‬אלכסוני‬ ‫הדלתון מאונכים זה לזה‪ ,‬כשהאלכסון הגדול חוצה את האלכסון הקטן‪.‬‬ ‫האלכסון הקטן חוצה את הדלתון לשני משולשים שווי שוקיים והאלכסון‬ ‫הגדול חוצה אותו לשני משולשים חופפים‪.‬‬ ‫שטח דלתון הינו‪ :‬אלכסון ‪ x‬אלכסון‬ ‫‪2‬‬ ‫טרפז‬ ‫(‪ )39‬טרפז הינו מרובע בו שתי רק שתי צלעות מקבילות‪ .‬הצלעות המקבילות‬ ‫נקראות בסיסים‪ ,‬והאחרות נקראות שוקיים‪.‬‬ ‫בטרפז סכום כל שתי זוויות הנשענות על אותה שוק הוא ‪ 180‬מעלות‪.‬‬ ‫שטח טרפז = גובה ‪ X‬סכום הבסיסים‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ )40‬טרפז ישר זווית הינו טרפז בו אחת הזוויות ישרה‪ .‬בטרפז ישר זווית‪ ,‬השוק‬ ‫המאונכת שווה באורכה לגובה הטרפז‪.‬‬ ‫(‪ )41‬טרפז שווה שוקיים הינו טרפז ששתי שוקיו שוות‪ .‬כל זוג זוויות נגדיות‬ ‫משלימות ל‪ 180 -‬מעלות‪ .‬האלכסונים שווים ויוצרים שני משולשים שווי‬ ‫שוקיים דומים ושני משולשים חופפים‪.‬‬ ‫קבוצת תיכון תל אביב‬ ‫‪4‬‬ ‫(‪ )42‬קטע אמצעים בטרפז הינו ישר המחבר בין אמצעי שתי השוקיים‪ ,‬מקביל‬ ‫לשני הבסיסים ושווה למחצית סכומם‪.‬‬ ‫מעגלים‬ ‫(‪ )43‬מעגל הינו אוסף של אינסוף נקודות שמרחקן מנקודה מסוימת זהה‪.‬‬ ‫(‪ )44‬רדיוס הוא המרחק ממרכז המעגל לכל נקודה על היקפו‪.‬‬ ‫(‪ )45‬קשת הינה עקום המחבר שתי נקודות על היקף המעגל‪ ,‬והיא למעשה חלק‬ ‫מהיקף המעגל‪.‬‬ ‫(‪ )46‬מיתר הינו ישר המחבר שתי נקודות על היקף המעגל‪.‬‬ ‫(‪ )47‬קוטר הוא מיתר העובר דרך מרכז המעגל‪ .‬זהו המיתר הארוך ביותר במעגל‪,‬‬ ‫ואורכו שווה לפעמיים הרדיוס‪.‬‬ ‫(‪ )48‬היקף מעגל‬ ‫= קוטר ‪π ‬‬ ‫(‪ )49‬שטח מעגל‬ ‫= ‪r2  π‬‬ ‫=‬ ‫‪2r  π‬‬ ‫(‪ )50‬זווית הנשענת על קשת וקודקודה נמצא על מרכז המעגל נקראת זווית‬ ‫מרכזית‪.‬‬ ‫(‪ )51‬זווית שקודקודה על היקף המעגל ונשענת על קשת‪ ,‬נקראת זווית היקפית‪.‬‬ ‫(‪ )52‬זווית מרכזית כפולה בגודלה מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת‪.‬‬ ‫(‪ )53‬כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת‪ ,‬שוות‪.‬‬ ‫(‪ )54‬כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותו מיתר מצדו האחד‪ ,‬שוות‪.‬‬ ‫(‪ )55‬ניתן לחסום מרובע במעגל רק אם סכום כל זוג זוויות נגדיות בו שווה ל‪180 -‬‬ ‫מעלות‪.‬‬ ‫(‪ )56‬זווית היקפית הנשענת על הקוטר שווה בגודלה ל‪ 90 -‬מעלות‪.‬‬ ‫(‪ )57‬שטח הגזרה = הזווית המרכזית‬ ‫‪360‬‬ ‫שטח המעגל‬ ‫קבוצת תיכון תל אביב‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪ )58‬קשת הגזרה = הזווית המרכזית‬ ‫‪360‬‬ ‫היקף המעגל‬ ‫(‪ )59‬משיק הוא ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד‪.‬‬ ‫(‪ )60‬רדיוס למשיק בנקודת ההשקה‪ ,‬מאונך לו‪.‬‬ ‫(‪ )61‬שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה מחוץ למעגל‪ ,‬שווים באורכם עד‬ ‫לנקודת ההשקה‪.‬‬ ‫(‪ )62‬הישר המחבר בין נקודת מפגש המשיקים ומרכז המעגל‪ ,‬חוצה הן את‬ ‫הזווית בין המשיקים והן את הזווית בין הרדיוסים‪.‬‬ ‫(‪ )63‬זווית בין משיק למיתר שווה בגודלה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר‬ ‫מצדו השני‪.‬‬ ‫(‪ )64‬כאשר ריבוע חסום במעגל שרדיוסו ‪ ,r‬שטחו יהיה תמיד ‪. 2r 2‬‬ ‫כאשר ריבוע חוסם מעגל שרדיוסו ‪ ,r‬שטחו יהיה תמיד‬ ‫‪4r 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מצולעים משוכללים‬ ‫(‪ )65‬מצולע משוכלל הוא מצולע בו כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות‪.‬‬ ‫(‪ )66‬כל המצולעים המשוכללים ניתנים לחסימה במעגל‪.‬‬ ‫(‪ )67‬סכום כל הזוויות הפנימיות במצולע בעל ‪ n‬צלעות‪/‬זוויות = )‪180(n  2‬‬ ‫(‪)68‬‬ ‫(‪)69‬‬ ‫זווית פנימית אחת במצולע משוכלל = )‪180(n  2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫זווית מרכזית אחת במצולע משוכלל = ‪360‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הצורה‬ ‫מחומש משוכלל‬ ‫משושה משוכלל‬ ‫מתומן משוכלל‬ ‫סכום הזוויות‬ ‫הפנימיות‬ ‫‪545‬‬ ‫‪725‬‬ ‫‪1585‬‬ ‫זווית פנימית אחת‬ ‫‪158‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪135‬‬ ‫זווית מרכזית‬ ‫‪72‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪45‬‬ ‫קבוצת תיכון תל אביב‬ ‫‪6‬‬ ‫(‪)70‬‬ ‫מספר האלכסונים שניתן להעביר במצולע משוכלל = )‪n(n  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נפחים ותלת‪-‬מימד‬ ‫מנסרה‬ ‫(‪ )71‬נפח מנסרה ישרה = שטח הבסיס ‪ X‬גובה‬ ‫(‪ )72‬נפח גוף עם "שפיץ" = שטח הבסיס ‪ X‬גובה‬ ‫‪3‬‬ ‫קוביה‬ ‫שטח פנים קוביה‬ ‫נפח קוביה‬ ‫‪6a 2‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫שטח מעטפת קוביה‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫תיבה‬ ‫נפח תיבה‬ ‫‪abc‬‬ ‫שטח פנים תיבה‬ ‫שטח מעטפת תיבה‬ ‫)‪2(ab  ac  bc‬‬ ‫)‪2(ab  ac‬‬ ‫גליל‬ ‫נפח גליל‬ ‫‪ r 2h‬‬ ‫שטח פנים גליל‬ ‫שטח מעטפת גליל‬ ‫‪2 rh 2 rh  2 r 2‬‬ ‫חרוט‬ ‫נפח חרוט‬ ‫‪ r 2h‬‬ ‫‪3‬‬ ‫קבוצת תיכון תל אביב‬ ‫‪7‬‬