סיכום גיאומטריה משולשים - תיכון תל-אביב

‫סיכום גיאומטריה‬
‫משולשים‬
‫(‪)1‬‬
‫סכום זוויות על ישר כלשהו הינו ‪ 180‬מעלות‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫מפגש ישרים יוצר זוויות קודקודיות‪ ,‬השוות זו לזו‪.‬‬
‫(‪)3‬‬
‫ישר העובר בין מקבילים יוצר זוויות קטנות השוות זו לזו וזוויות גדולות‬
‫השוות גם הן זו לזו‪ .‬סכום כל זווית קטנה עם זווית גדולה שווה ל‪180 -‬‬
‫מעלות‪.‬‬
‫(‪)4‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הנו ‪ 180‬מעלות‪.‬‬
‫(‪)5‬‬
‫זווית חיצונית במשולש שווה בערכה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן‬
‫צמודות לה‪.‬‬
‫(‪)6‬‬
‫בכל משולש יש התאמה בין גודל הצלע לבין גודל הזווית שמולה‪ :‬מול הצלע‬
‫הגדולה תשב הזווית הגדולה‪ ,‬מול הצלע הבינונית הזווית הבינונית ומול‬
‫הצלע הקטנה הזווית הקטנה‪ ,‬ולהפך‪.‬‬
‫(‪)7‬‬
‫סכום שתי הצלעות האחרות > צלע במשולש > הפרש שתי הצלעות‬
‫האחרות‬
‫(‪)8‬‬
‫ישר היוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו נקרא גובה‪.‬‬
‫(‪)9‬‬
‫ישר החוצה את זווית הקודקוד ממנו הוא יוצא נקרא חוצה זווית‪.‬‬
‫(‪ )10‬ישר היוצא מקודקוד וחוצה את הצלע מולו נקרא תיכון‪.‬‬
‫(‪ )11‬שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת‪ ,‬המחלקת כל אחד מהם‬
‫ביחס של ‪ 2:1‬לטובת הקודקוד‪.‬‬
‫(‪ )12‬שטח משולש = צלע‬
‫קבוצת תיכון תל אביב‬
‫‪X‬‬
‫גובה לצלע‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ )13‬תיכון יוצר תמיד שני משולשים בעלי שטחים שווים‪.‬‬
‫משולש שווה שוקיים‬
‫(‪ )14‬משולש שווה שוקיים הינו משולש בו שתי צלעות שוות זו לזו‪ .‬מכאן שגם‬
‫שתי הזוויות שממול שוות זו לזו‪ .‬במשולש זה די בזווית אחת בכדי לחשב‬
‫את ערכן של שתי הזוויות האחרות‪.‬‬
‫(‪ )15‬הישר היורד במשולש שווה שוקיים בין שתי השוקיים וניצב לבסיס מולו‬
‫מהווה גם גובה‪ ,‬גם חוצה זווית וגם תיכון‪.‬‬
‫משולש שווה צלעות‬
‫(‪ )16‬במשולש שווה צלעות‪ ,‬כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות ל‪ 60 -‬מעלות‪.‬‬
‫(‪ )17‬במשולש שווה צלעות‪ ,‬כל גובה הוא גם חוצה זווית וגם תיכון‪.‬‬
‫(‪ )18‬שטח משולש שווה צלעות שצלעו ‪a2 3 = a‬‬
‫‪4‬‬
‫דמיון משולשים‬
‫(‪ )19‬שני משולשים בהם שתי זוויות הן זהות‪ ,‬הם משולשים דומים‪.‬‬
‫(‪ )20‬היחס בין כל שתי צלעות מתאימות במשולשים דומים הינו זהה‪.‬‬
‫(‪ )21‬בצורות דומות‪ :‬יחס שטחים = ‪(2‬יחס קווי)‬
‫(‪ )22‬קטע אמצעים במשולש הוא ישר המחבר בין אמצעי שתי צלעות במשולש‪,‬‬
‫מקביל לצלע השלישית ושווה באורכו למחציתה‪.‬‬
‫(‪ )23‬קטע אמצעים במשולש יוצר תמיד שני משולשים דומים‪ ,‬שהיחס הקווי‬
‫ביניהם הוא ‪ ,2:1‬ולכן היחס השטחי ביניהם הוא ‪.4:1‬‬
‫משולשים ישרי זוית‬
‫(‪ )24‬בכל משולש ישר זוית מתקיים משפט פיתגורס‪(2 :‬יתר) = ‪(2‬ניצב) ‪(2 +‬ניצב)‬
‫(‪ )25‬שלשות פיתגוריות‪:‬‬
‫‪8:15:17 , 5:12:13 , 3:4:5‬‬
‫קבוצת תיכון תל אביב‬
‫‪2‬‬
‫משולש זהב‬
‫(‪ )26‬משולש זהב הוא משולש ישר‪-‬זוית שזויותיו הן ‪ 30,60,90‬מעלות‪.‬‬
‫(‪ )27‬במשולש זהב‪ ,‬הניצב שמול הזוית בת ה‪ 30 -‬מעלות‪ ,‬שווה באורכה למחצית‬
‫היתר‪.‬‬
‫(‪ )28‬השלשה הפיתגורית של משולש זהב‪:‬‬
‫‪3 :2‬‬
‫‪1:‬‬
‫משולש כסף‬
‫(‪ )29‬משולש כסף הוא משולש ישר זוית ושווה שוקיים שזוויותיו ‪45,45,90‬‬
‫מעלות‪.‬‬
‫(‪ )30‬השלשה הפיתגורית של משולש כסף‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1:1:‬‬
‫(‪ )31‬תיכון ליתר במשולש ישר‪-‬זוית שווה תמיד למחצית היתר‪.‬‬
‫מרובעים‬
‫(‪ )32‬מרובע הינו כל מצולע בעל ‪ 4‬צלעות‪.‬‬
‫(‪ )33‬סכום הזוויות בכל מרובע הוא ‪ 360‬מעלות‪.‬‬
‫מקבילית‬
‫(‪ )34‬מקבילית הינה מרובע בו יש שני זוגות צלעות נגדיות המקבילות ושוות זו‬
‫לזו‪ .‬סכום כל זוג זוויות סמוכות במקבילית שווה ל‪ 180-‬מעלות‪ .‬כל זוג זוויות‬
‫נגדיות במקבילית שווה‪ .‬האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה‪.‬‬
‫שטח מקבילית = צלע ‪ x‬גובה לצלע‬
‫מעויין‬
‫(‪ )35‬מעויין הינו מקבילית בה כל הצלעות שוות‪ .‬אלכסוני המעויין מאונכים זה לזה‬
‫וחוצים את זוויות הקודקודים‪.‬‬
‫שטח מעויין הינו‪:‬‬
‫א‪ .‬צלע ‪ x‬גובה לצלע‬
‫ב‪ .‬אלכסון ‪ x‬אלכסון‬
‫‪2‬‬
‫קבוצת תיכון תל אביב‬
‫‪3‬‬
‫מלבן‬
‫(‪ )36‬מלבן הינו מקבילית בה כל הזוויות ישרות‪ .‬האלכסונים במלבן שווים‬
‫באורכם‪.‬‬
‫שטח מלבן = אורך ‪ x‬רוחב‬
‫ריבוע‬
‫(‪ )37‬ריבוע הינו מעוין בו כל הזוויות ישרות‪ .‬כל הצלעות בריבוע שוות‪ .‬האלכסונים‬
‫בריבוע שווים זה לזה‪ ,‬חוצים זה את זה‪ ,‬מאונכים זה לזה‪ ,‬וחוצים את זוויות‬
‫הקודקודים‪.‬‬
‫שטח ריבוע הינו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪( .‬צלע)‬
‫ב‪(2 .‬אלכסון)‬
‫‪2‬‬
‫דלתון‬
‫(‪ )38‬דלתון הינו מרובע המורכב מ‪ 2-‬זוגות של צלעות השוות זו לזו‪ .‬אלכסוני‬
‫הדלתון מאונכים זה לזה‪ ,‬כשהאלכסון הגדול חוצה את האלכסון הקטן‪.‬‬
‫האלכסון הקטן חוצה את הדלתון לשני משולשים שווי שוקיים והאלכסון‬
‫הגדול חוצה אותו לשני משולשים חופפים‪.‬‬
‫שטח דלתון הינו‪ :‬אלכסון ‪ x‬אלכסון‬
‫‪2‬‬
‫טרפז‬
‫(‪ )39‬טרפז הינו מרובע בו שתי רק שתי צלעות מקבילות‪ .‬הצלעות המקבילות‬
‫נקראות בסיסים‪ ,‬והאחרות נקראות שוקיים‪.‬‬
‫בטרפז סכום כל שתי זוויות הנשענות על אותה שוק הוא ‪ 180‬מעלות‪.‬‬
‫שטח טרפז = גובה ‪ X‬סכום הבסיסים‬
‫‪2‬‬
‫(‪ )40‬טרפז ישר זווית הינו טרפז בו אחת הזוויות ישרה‪ .‬בטרפז ישר זווית‪ ,‬השוק‬
‫המאונכת שווה באורכה לגובה הטרפז‪.‬‬
‫(‪ )41‬טרפז שווה שוקיים הינו טרפז ששתי שוקיו שוות‪ .‬כל זוג זוויות נגדיות‬
‫משלימות ל‪ 180 -‬מעלות‪ .‬האלכסונים שווים ויוצרים שני משולשים שווי‬
‫שוקיים דומים ושני משולשים חופפים‪.‬‬
‫קבוצת תיכון תל אביב‬
‫‪4‬‬
‫(‪ )42‬קטע אמצעים בטרפז הינו ישר המחבר בין אמצעי שתי השוקיים‪ ,‬מקביל‬
‫לשני הבסיסים ושווה למחצית סכומם‪.‬‬
‫מעגלים‬
‫(‪ )43‬מעגל הינו אוסף של אינסוף נקודות שמרחקן מנקודה מסוימת זהה‪.‬‬
‫(‪ )44‬רדיוס הוא המרחק ממרכז המעגל לכל נקודה על היקפו‪.‬‬
‫(‪ )45‬קשת הינה עקום המחבר שתי נקודות על היקף המעגל‪ ,‬והיא למעשה חלק‬
‫מהיקף המעגל‪.‬‬
‫(‪ )46‬מיתר הינו ישר המחבר שתי נקודות על היקף המעגל‪.‬‬
‫(‪ )47‬קוטר הוא מיתר העובר דרך מרכז המעגל‪ .‬זהו המיתר הארוך ביותר במעגל‪,‬‬
‫ואורכו שווה לפעמיים הרדיוס‪.‬‬
‫(‪ )48‬היקף מעגל‬
‫= קוטר ‪π ‬‬
‫(‪ )49‬שטח מעגל‬
‫= ‪r2  π‬‬
‫=‬
‫‪2r  π‬‬
‫(‪ )50‬זווית הנשענת על קשת וקודקודה נמצא על מרכז המעגל נקראת זווית‬
‫מרכזית‪.‬‬
‫(‪ )51‬זווית שקודקודה על היקף המעגל ונשענת על קשת‪ ,‬נקראת זווית היקפית‪.‬‬
‫(‪ )52‬זווית מרכזית כפולה בגודלה מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת‪.‬‬
‫(‪ )53‬כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת‪ ,‬שוות‪.‬‬
‫(‪ )54‬כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותו מיתר מצדו האחד‪ ,‬שוות‪.‬‬
‫(‪ )55‬ניתן לחסום מרובע במעגל רק אם סכום כל זוג זוויות נגדיות בו שווה ל‪180 -‬‬
‫מעלות‪.‬‬
‫(‪ )56‬זווית היקפית הנשענת על הקוטר שווה בגודלה ל‪ 90 -‬מעלות‪.‬‬
‫(‪ )57‬שטח הגזרה = הזווית המרכזית‬
‫‪360‬‬
‫שטח המעגל‬
‫קבוצת תיכון תל אביב‬
‫‪5‬‬
‫(‪ )58‬קשת הגזרה = הזווית המרכזית‬
‫‪360‬‬
‫היקף המעגל‬
‫(‪ )59‬משיק הוא ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד‪.‬‬
‫(‪ )60‬רדיוס למשיק בנקודת ההשקה‪ ,‬מאונך לו‪.‬‬
‫(‪ )61‬שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה מחוץ למעגל‪ ,‬שווים באורכם עד‬
‫לנקודת ההשקה‪.‬‬
‫(‪ )62‬הישר המחבר בין נקודת מפגש המשיקים ומרכז המעגל‪ ,‬חוצה הן את‬
‫הזווית בין המשיקים והן את הזווית בין הרדיוסים‪.‬‬
‫(‪ )63‬זווית בין משיק למיתר שווה בגודלה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר‬
‫מצדו השני‪.‬‬
‫(‪ )64‬כאשר ריבוע חסום במעגל שרדיוסו ‪ ,r‬שטחו יהיה תמיד ‪. 2r 2‬‬
‫כאשר ריבוע חוסם מעגל שרדיוסו ‪ ,r‬שטחו יהיה תמיד‬
‫‪4r 2‬‬
‫‪.‬‬
‫מצולעים משוכללים‬
‫(‪ )65‬מצולע משוכלל הוא מצולע בו כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות‪.‬‬
‫(‪ )66‬כל המצולעים המשוכללים ניתנים לחסימה במעגל‪.‬‬
‫(‪ )67‬סכום כל הזוויות הפנימיות במצולע בעל ‪ n‬צלעות‪/‬זוויות = )‪180(n  2‬‬
‫(‪)68‬‬
‫(‪)69‬‬
‫זווית פנימית אחת במצולע משוכלל = )‪180(n  2‬‬
‫‪n‬‬
‫זווית מרכזית אחת במצולע משוכלל = ‪360‬‬
‫‪n‬‬
‫הצורה‬
‫מחומש משוכלל‬
‫משושה משוכלל‬
‫מתומן משוכלל‬
‫סכום הזוויות‬
‫הפנימיות‬
‫‪545‬‬
‫‪725‬‬
‫‪1585‬‬
‫זווית פנימית אחת‬
‫‪158‬‬
‫‪125‬‬
‫‪135‬‬
‫זווית מרכזית‬
‫‪72‬‬
‫‪65‬‬
‫‪45‬‬
‫קבוצת תיכון תל אביב‬
‫‪6‬‬
‫(‪)70‬‬
‫מספר האלכסונים שניתן להעביר במצולע משוכלל = )‪n(n  3‬‬
‫‪2‬‬
‫נפחים ותלת‪-‬מימד‬
‫מנסרה‬
‫(‪ )71‬נפח מנסרה ישרה = שטח הבסיס ‪ X‬גובה‬
‫(‪ )72‬נפח גוף עם "שפיץ" = שטח הבסיס ‪ X‬גובה‬
‫‪3‬‬
‫קוביה‬
‫שטח פנים קוביה‬
‫נפח קוביה‬
‫‪6a 2‬‬
‫‪a3‬‬
‫שטח מעטפת קוביה‬
‫‪4a 2‬‬
‫תיבה‬
‫נפח תיבה‬
‫‪abc‬‬
‫שטח פנים תיבה‬
‫שטח מעטפת תיבה‬
‫)‪2(ab  ac  bc‬‬
‫)‪2(ab  ac‬‬
‫גליל‬
‫נפח גליל‬
‫‪ r 2h‬‬
‫שטח פנים גליל‬
‫שטח מעטפת גליל‬
‫‪2 rh 2 rh  2 r 2‬‬
‫חרוט‬
‫נפח חרוט‬
‫‪ r 2h‬‬
‫‪3‬‬
‫קבוצת תיכון תל אביב‬
‫‪7‬‬