מבחן מתכונת מס` 1

‫בחינת מתכונת במתמטיקה‬
‫מועד קיץ תשע"ה ‪1025‬‬
‫סמל שאלון ‪804‬‬
‫הפתרון נכתב על ידי עדו מרבך‪ ,‬ארז כהן ורן יחיאלי‬
‫מצוות מורי רשת החינוך אנקורי‬
‫מת כונת‬
‫מבחן‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬
‫מבנה השאלון ומפתח הערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬
‫פרק א‪ :‬אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‪:‬‬
‫‪20  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪40‬‬
‫נקודות‬
‫פרק ב‪ :‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור‪:‬‬
‫‪20  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪20‬‬
‫נקודות‬
‫פרק ג‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪:‬‬
‫‪20  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪40‬‬
‫נקודות‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫נקודות‬
‫סה"כ‬
‫פרק א' – אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪.1-3‬‬
‫כל שאלה בחלק זה‬
‫‪.1‬‬
‫‪20‬‬
‫נקודות‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫החתך הצירי של גליל ישר הוא מלבן ששטחו‬
‫‪80‬‬
‫‪D‬‬
‫סמ"ר‪.‬‬
‫ידוע כי גובה הגליל גדול ב‪ 2 5 % -‬מקוטר בסיס הגליל‪.‬‬
‫מצא את רדיוס בסיס הגליל‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את נפח הגליל‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫מצא את שטח הפנים של הגליל‪.‬‬
‫הנקודות‬
‫‪A  5, 8 ‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪C   1, 2 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הן שני קדקודים של ריבוע‬
‫‪ABCD‬‬
‫שצלעותיו מקבילות‬
‫לצירים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את הקדקודים‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את משוואת המעגל שהאלכסון‬
‫ג‪.‬‬
‫האם הנקודה‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪D‬‬
‫של הריבוע‪ ,‬אם ידוע שהקדקוד‬
‫‪AC‬‬
‫‪B‬‬
‫נמצא ברביע השני‪.‬‬
‫הוא קוטר בו‪.‬‬
‫שמצאת בסעיף א' נמצאת על המעגל שמצאת בסעיף ב'? נמק‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫לדני יש בכיס ימין חמישה פיסטוקים ושלושה בוטנים ובכיס שמאל ארבעה פיסטוקים‬
‫וארבעה בוטנים‪.‬‬
‫דני בוחר כיס באקראי‪ ,‬ומוציא ממנו בזה אחר זה שני פיצוחים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים מכיס ימין?‬
‫מהי ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים?‬
‫ידוע שדני הוציא שני בוטנים‪ .‬מהי ההסתברות שהם הוצאו מכיס ימין?‬
‫פרק ב' – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫כל שאלה בחלק זה‬
‫‪.4‬‬
‫מרובע‬
‫‪20‬‬
‫נקודות‪.‬‬
‫‪ABCD‬‬
‫חסום במעגל שמרכזו‬
‫ורדיוסו ‪ . R‬נתון‪:‬‬
‫‪ BC  CD‬‬
‫הרדיוס ממרכז המעגל לנקודה‬
‫את צלע‬
‫‪AD‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪|| B C‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪~ DCE‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪ ED‬‬
‫ד‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. AB‬‬
‫‪C‬‬
‫חותך‬
‫בנקודה ‪. E‬‬
‫‪ k‬‬
‫הבע ע"י‬
‫‪k‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.AD‬‬
‫‪O‬‬
‫‪. OCD‬‬
‫‪.CD‬‬
‫‪. AB‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪R‬‬
‫את ‪. C E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתון משושה משוכלל‬
‫‪ABCDEF‬‬
‫‪B‬‬
‫שאורך צלעו ‪. a‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע באמצעות‬
‫‪a‬‬
‫את שטח המשולש ‪. B D E‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הבע באמצעות‬
‫‪a‬‬
‫את שטח המשושה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נתון כי שטח משולש‬
‫‪BDE‬‬
‫הוא‬
‫‪54‬‬
‫‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫מצא את ‪ a‬ואת שטח המשושה‪.‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל שחוסם את המשושה‪.‬‬
‫מצא את רדיוס במעגל שחסום במשושה‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל שחסום במשולש ‪. B E D‬‬
‫‪D‬‬
‫פרק ג' – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪.6-8‬‬
‫כל שאלה בחלק זה‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪20‬‬
‫נקודות‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.y‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫רשום את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה‪. y -‬‬
‫ו‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫בחצי מעגל שרדיוסו‬
‫‪20‬‬
‫ס"מ חסום מלבן‪ ,‬כך שצלע‬
‫אחת של המלבן מונחת על קוטר המעגל ושני הקדקודים‬
‫האחרים מונחים על המעגל‪.‬‬
‫מצא את שטח המלבן ששטחו מקסימלי‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪20‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪2 a‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  0 , f‬‬
‫‪x‬‬
‫נתון ששיפוע הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה בה‬
‫‪x  a‬‬
‫הוא ‪.  1‬‬
‫מצא את הפרמטר ‪.a‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪(1‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫)‪(2‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הגרף עם הצירים‪.‬‬
‫)‪(3‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫)‪(4‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫) ‪g(x‬‬
‫המקיימת‬
‫) ‪ f (x‬‬
‫) ‪.g(x‬‬
‫מי מבין הגרפים הבאים מתאר את גרף הפונקציה ) ‪. g ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪y‬‬
‫)‬
‫)‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪(3‬‬
‫)‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫נתון‪:‬‬
‫) ‪p(x‬‬
‫‪p ( x   1)  b‬‬
‫המקיימת ‪. p '( x )  f  x ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 1)  c‬‬
‫‪. p(x‬‬
‫הבע בעזרת הפרמטרים ‪ b‬ו‪ c -‬את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪, f  x ‬‬
‫ציר ה‪ , x -‬והישרים‬
‫‪x 1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪.x‬‬
‫מ בחן‬
‫פת רון‬
‫מס'‬
‫מתכונת‬
‫‪1‬‬
‫פתרון שאלה ‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫החתך הצירי הוא המלבן ‪. A B C D‬‬
‫הצלע‬
‫‪AB‬‬
‫היא קוטר בבסיס‪ ,‬לכן‬
‫הצלע‬
‫‪BC‬‬
‫שווה לגובה הגליל‪.‬‬
‫נתון כי הגובה גדול ב‪-‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 2r‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. AB‬‬
‫מהקוטר‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪B C  2 r  2 5 %  2 r  2 r  0 .2 5  2 r  2 .5 r‬‬
‫נתון כי שטח המלבן‬
‫‪ABCD‬‬
‫הוא‬
‫‪80‬‬
‫סמ"ר‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫שטח מלבן הוא מכפלת צלעותיו‪,‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪ AB  BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.80‬‬
‫‪8 0  2 r  2 .5 r‬‬
‫נציב את הידוע לנו ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪/:5‬‬
‫‪/‬‬
‫‪80  5r‬‬
‫‪ 16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r  4‬‬
‫‪r‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוא רדיוס ולכן חייב להיות חיובי‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫נפח גליל נתון ע"י הנוסחה‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫ס"מ‬
‫‪‬‬
‫‪.r‬‬
‫‪V  r‬‬
‫במקרה שלנו‪ ,‬הגובה הוא ‪ . B C‬נחשב אותו לפי תוצאת סעיף א'‪:‬‬
‫‪ 1 0‬ס"מ‬
‫‪B C  2 .5  r  2 .5  4 ‬‬
‫נציב בנוסחה של הנפח‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪160‬‬
‫סמ"ק‬
‫שטח הפנים של גליל נתון ע"י הנוסחה‪:‬‬
‫נציב את הגובה ואת הרדיוס‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪10 ‬‬
‫‪ 2r  h‬‬
‫‪112‬‬
‫סמ"ר‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪ 2r‬‬
‫‪.V‬‬
‫‪.P‬‬
‫‪ 2  4 10 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  4‬‬
‫‪.P‬‬
‫פתרון שאלה ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫מקביל לציר ‪ , x‬ומכאן שלכל הנקודות עליו יש אותו שיעור ‪ . y‬לכן‪:‬‬
‫הישר‬
‫‪AB‬‬
‫הישר‬
‫‪CD‬‬
‫מקביל גם הוא לציר ‪ , x‬ומכאן ש‪-‬‬
‫הישר‬
‫‪AD‬‬
‫מקביל לציר ‪ , y‬ומכאן שלכל הנקודות עליו יש אותו שיעור ‪ . x‬לכן‪:‬‬
‫הישר‬
‫‪BC‬‬
‫מקביל גם הוא לציר‬
‫ב‪.‬‬
‫שלב א' ‪-‬‬
‫‪ x C  1‬‬
‫‪D  5 , 2  , B   1, 8 ‬‬
‫לסיכום‪ ,‬הקדקודים הם‪:‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪y‬‬
‫ולכן‬
‫‪ yC  2‬‬
‫‪ 8‬‬
‫‪.yB‬‬
‫‪.yD‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪.xD‬‬
‫‪.xB‬‬
‫‪.‬‬
‫הוא קוטר במעגל המבוקש‪ ,‬לכן אמצע הקטע‬
‫‪AC‬‬
‫הוא מרכז המעגל‪ .‬נרצה‬
‫למצוא את אמצע ‪. A C‬‬
‫נשתמש בנוסחת אמצע קטע‪:‬‬
‫‪51‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪  (2, 5‬‬
‫‪8 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪xA  xC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪yA  yC‬‬
‫‪2‬‬
‫ומכאן שמשוואת המעגל הכללית תהיה‪:‬‬
‫שלב ב' ‪-‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xM ‬‬
‫‪yM ‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ ( y  5‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x  2‬‬
‫הוא קוטר במעגל המבוקש‪ ,‬לכן נקודות הקצה שלו‬
‫‪A,C‬‬
‫‪.‬‬
‫נמצאות על המעגל‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם נציב במשוואת המעגל ‪   ‬את הנקודה ‪ , A  5, 8 ‬נוכל למצוא את ‪ . y‬נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 8  5 ‬‬
‫‪ 9  9  18‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ 18‬‬
‫לכן‪ ,‬משוואת המעגל היא‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫דרך א'‪ :‬לפי הנתון‪ ,‬זווית‬
‫שווה ל‪ ." 9 0  -‬זווית‬
‫‪B‬‬
‫‪5  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪. x‬‬
‫היא בת ‪ . 9 0 ‬ניזכר במשפט‪" :‬זווית היקפית הנשענת על קוטר‬
‫‪B‬‬
‫נשענת על הקוטר ושווה ל‪ , 9 0  -‬ומכאן שהיא זווית היקפית‬
‫נמצאת על המעגל ‪.‬‬
‫דרך ב'‪ :‬נציב את הנקודה‬
‫‪ 18‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 8  5 ‬‬
‫‪2‬‬
‫במשוואת המעגל‪ ,‬ונבדוק האם אנו מקבלים פסוק אמת‪:‬‬
‫‪ 1  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪9  9  18‬‬
‫‪18  18‬‬
‫קיבלנו פסוק אמת‪ ,‬לכן הנקודה‬
‫‪B‬‬
‫נמצאת על המעגל ‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪3‬‬
‫נראה את הנתונים בדיאגרמת עץ‪:‬‬
‫בחירת כיס‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כיס ימין‬
‫פיצוח ראשון‪:‬‬
‫פיצוח שני‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כיס שמאל‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫בוטן‬
‫פיסטוק‬
‫בוטן‬
‫פיסטוק‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫פיסטוק‬
‫בוטן פיסטוק‬
‫בוטן פיסטוק‬
‫בוטן פיסטוק‬
‫‪3‬‬
‫ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים מכיס ימין היא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪56‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים היא‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ההסתברות שהם הוצאו מכיס ימין‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪56‬‬
‫‪ ‬שני בוטנים‬
‫שני בוטנים מכיס ימין ‪‬‬
‫‪ ‬שני בוטנים ‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪56‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬שני בוטנים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪P ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P ‬‬
‫‪2‬‬
‫שני בוטנים‬
‫מכיס ימין‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪56‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P ‬‬
‫בוטן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון שאלה ‪4‬‬
‫נעביר בניית עזר‪:‬‬
‫אלכסון‬
‫‪AC‬‬
‫‪C‬‬
‫במרובע ‪. A B C D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ACB  ‬‬
‫‪.‬‬
‫טענה‬
‫א‪.‬‬
‫נימוק‬
‫‪CAD  ‬‬
‫‪CAB ‬‬
‫‪ACB ‬‬
‫‪‬‬
‫זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬א'‬
‫‪A D || B C‬‬
‫ב‪.‬‬
‫זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות‬
‫‪C AD  2‬‬
‫‪COD  2‬‬
‫‪C O D  2‬‬
‫‪BOC ‬‬
‫זווית מרכזית גדולה פי ‪ 2‬מזווית היקפית‬
‫הנשענת על אותה הקשת‬
‫‪AO C  4‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪AOC‬‬
‫חיבור זוויות‬
‫‪CDA ‬‬
‫‪EDC ‬‬
‫‪C O D  2‬‬
‫‪OCD‬‬
‫זווית היקפית קטנה פי ‪ 2‬מזווית מרכזית‬
‫הנשענת על אותה הקשת‬
‫‪2‬‬
‫‪CDA‬‬
‫‪AOB ‬‬
‫זוויות מרכזיות הנשענות על קשתות שוות‬
‫זווית משותפת‬
‫‪EDC ‬‬
‫‪ECD ‬‬
‫‪‬‬
‫‪OCD ~ DCE‬‬
‫זווית משותפת‬
‫לפי זווית זווית‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬ב'‬
‫ג‪.‬‬
‫נרשום את יחס הפרופורציה של הצלעות המתאימות‪:‬‬
‫‪OD‬‬
‫‪‬‬
‫‪DE‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪CE‬‬
‫‪ OD  R‬‬
‫ידוע כי‪:‬‬
‫‪ k‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪CD‬‬
‫‪‬‬
‫‪OC‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪ , O C‬ולכן‪:‬‬
‫‪DC  DE‬‬
‫‪ ,‬מש"ל‪.‬‬
‫‪. AB‬‬
‫נציב ביחס הפרופורציה את הנתונים ונזכיר כי‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ CD  DE  k‬‬
‫‪CE ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪: AB‬‬
‫‪‬‬
‫‪CE‬‬
‫‪R‬‬
‫‪k‬‬
‫פתרון שאלה ‪5‬‬
‫כדי לטפל במצולעים משוכללים מומלץ מאד לחסום אותם בתוך מעגל‪ .‬זאת על סמך המשפט‬
‫א‪.‬‬
‫הקובע ‪ ,‬כי כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל‪ .‬כל זווית מרכזית במעגל (למשל‬
‫שווה‪:‬‬
‫‪ 60‬‬
‫‪360‬‬
‫‪DOE‬‬
‫)‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫לפי המשפט‪ :‬זווית היקפית שווה‬
‫למחצית מהזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת‪,‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪D  90‬‬
‫‪ 60  30 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪DOE ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ 2a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪s in 3 0 ‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪C‬‬
‫נתבונן במשולש ‪: B D E‬‬
‫‪DE‬‬
‫‪F‬‬
‫‪BE ‬‬
‫‪‬‬
‫‪DE‬‬
‫‪s in 3 0  ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪SBDE ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  2a ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫נחשב שטח של "פרוסה" אחת (למשל‬
‫‪AFO‬‬
‫‪D E  B E  s in 6 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AFO‬‬
‫‪SBDE ‬‬
‫בציור) ונכפול ב‪. 6 -‬‬
‫הוא שווה צלעות (כי כל זוויותיו ‪:) 6 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  a  s in 6 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S AFO ‬‬
‫‪E‬‬
SABCDEF 
3a
2
2
3
: 6 -‫נכפול ב‬
:'‫לפי סעיף א‬
a
2
3
54

2
SABCDEF 
 a
2
 36  a  6
3
36
2
3
 54
:'‫ לפי סעיף ב‬,‫כעת‬
3
2
. F O A ‫נתבונן במשולש‬
A
.2
AF  a  6
P
EP  PA  3
F
s in 3 0 
r
R
.1
30
PA
R
R
FO A
30
PA
 R 
3

s in 3 0
 6
0 .5
‫אפשר כמובן לקצר בעזרת העובדה שמשולש‬
.‫הוא מש"צ‬
. F O A ‫נתבונן במשולש‬
O
ta n 3 0 
PA

PA
r 
r

ta n 3 0
3
 3
.3
3
3
3
ED  a  6
B
,‫משולש ישר זווית‬
30
‫שווה‬
30
r
60
‫ ולכן‬.‫למחצית מהיתר‬
:‫בעזרת פיתגורס נקבל‬
M
r
r
‫משולש‬
‫ הניצב מול זווית‬. 3 0  , 6 0  , 9 0 
EB  12
E
BED
.62
 BD
2
 12
2
90
 BD 
: BED
D
144  36 
108  6 3
‫נרכיב את השטח של משולש‬
SBED  SM EB  SM ED  SM DB
SBED 
r BE
2

r BD

r  ED
2

2
BD  ED
2
r
2

r
2
BE
 BD  ED

BE
 BD  ED

.4
.‫ג‬
r 
BD  ED
BE  BD  ED

6
12  6
3 6
3 6
 3 3  3  2 .1 9 6
‫פתרון שאלה ‪6‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪.y‬‬
‫תחום ההגדרה‪:‬‬
‫הגדרת השורש‪:‬‬
‫‪ x‬‬
‫הגדרת המכנה‪:‬‬
‫‪x 1  0‬‬
‫‪.0‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪0  x  1‬‬
‫לכן‪ ,‬תחום ההגדרה הוא‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חיתוך עם ציר ‪:x‬‬
‫נציב‬
‫‪y  0‬‬
‫בפונקציה‪:‬‬
‫‪ x  0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫נקודת החיתוך היא ‪  0 , 0 ‬וזו גם נקודת החיתוך עם ציר ‪. y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נקודות קיצון‪:‬‬
‫‪u ' .v  v ' u‬‬
‫‪ u ‬‬
‫‪ '‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ v ‬‬
‫‪v‬‬
‫נגזור את הפונקציה בעזרת כלל המנה‪:‬‬
‫אצלינו‪:‬‬
‫‪u  x  u'1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v ‬‬
‫‪x 1 v'‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫והנגזרת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x‬‬
‫נצמצם ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y'‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y'‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪y'‬‬
‫‪1 0‬‬
‫נשווה את המונה לאפס ונפתור‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  2  x  4‬‬
‫‪1 0 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב בפונקציה המקורית‪:‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪y 4 ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫כעת נציב את הערכים בטבלה‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 .5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫'‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.‬‬
‫הנגזרת שלילית בתחום שבין‬
‫‪0‬‬
‫ל‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫וחיובית בתחום שגדול מ‪ , 4 -‬ולכן זו נקודת מינימום‪.‬‬
‫נוסיף את נקודת קצה התחום ‪  0, 0 ‬מקסימום‪.‬‬
‫לסיכום‪  4, 4  :‬מינימום‪  0, 0  ,‬מקסימום ‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫לפי הטבלה בסעיף ג'‪:‬‬
‫הפונקציה יורדת עבור‬
‫הפונקציה עולה עבור‬
‫ה‪.‬‬
‫‪0  x 1‬‬
‫‪1 x  4‬‬
‫או‬
‫‪4  x‬‬
‫לפי סעיף א'‪ ,‬לפונקציה אסימפטוטה אנכית עבור‪:‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  1‬‬
‫פתרון שאלה ‪7‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫ס"מ‬
‫‪ CO ‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪y  AB  BC‬‬
‫פונקציית המטרה היא השטח של המלבן‪:‬‬
‫נסמן את‬
‫‪OB‬‬
‫ב‪. x -‬‬
‫ממשפט פיתגורס במשולש‬
‫כעת‪ ,‬נשים לב ש‪-‬‬
‫‪OBC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ BC ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ BC ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪ OB ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪400  x‬‬
‫‪ BCO‬‬
‫‪2‬‬
‫‪OC ‬‬
‫‪20‬‬
‫‪BC ‬‬
‫‪ .  A D O‬מכאן‬
‫מכאן שפונקציית המטרה היא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ BO‬‬
‫‪400  x‬‬
‫‪ , A O‬ולכן‪:‬‬
‫‪y  2x ‬‬
‫כעת נגזור ונמצא את השטח המקסימלי‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2x ‬‬
‫‪400  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪400  x‬‬
‫‪y' 2‬‬
‫‪2‬‬
‫נצמצם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪400  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪800  4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪400  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪400  x‬‬
‫‪  2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y' 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 400  x‬‬
‫‪400  x‬‬
‫נשווה לאפס ונפתור‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪800  4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪400  x‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪:4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪800  4x‬‬
‫‪ 800‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪y'‬‬
‫‪AB  2BO  2x‬‬
‫‪ 200‬‬
‫‪x‬‬
‫חייב להיות חיובי ולכן‪:‬‬
‫‪200‬‬
‫‪x  ‬‬
‫‪200‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫נראה שאכן קיבלנו מקסימום‪:‬‬
‫‪ 8x‬‬
‫מקסימום‬
‫סי ‪y‬‬
‫"‬
‫מן‬
‫‪0‬‬
‫‪200‬‬
‫‪  8‬‬
‫‪‬‬
‫‪200‬‬
‫סי ‪y‬‬
‫"‬
‫מן‬
‫כעת נחשב את השטח המקסימלי‪:‬‬
‫‪200  400‬‬
‫השטח המקסימלי הוא‪:‬‬
‫‪400‬‬
‫‪200 ‬‬
‫‪400  200  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪200 ‬‬
‫‪200‬‬
‫סמ"ר ‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪8‬‬
‫) ‪(a  0‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x ) ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f '( x  a )   1‬‬
‫‪2x‬‬
‫)‪ (  1‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f '( x ) ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4a  a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  ‬‬
‫) ‪(a  a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(a  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4a‬‬
‫)‪( a  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪( a  1)  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a  1  2‬‬
‫(מתבטל שכן ‪)a > 0‬‬
‫‪a  1‬‬
‫או‬
‫‪a  1  2‬‬
‫‪a 1  2‬‬
‫‪a  3‬‬
‫‪3  0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪(1‬‬
‫תחום הגדרה‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫חיתוך עם ציר ‪:)y = 0( x‬‬
‫‪x  ‬‬
‫‪3‬‬
‫אין נקודות חיתוך עם ציר ‪.x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪0  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 2‬‬
‫חיתוך עם ציר ‪:)x = 0( y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪03‬‬
‫‪f (0 ) ‬‬
‫) ‪(0,  2‬‬
‫‪12x‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f '( x )  ‬‬
‫‪12x  0‬‬
‫‪x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪m ax (0,  2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫אסימפטוטה אופקית‪:‬‬
‫‪y  0‬‬
‫(החזקה הגבוהה ביותר במכנה גבוהה מזו שבמונה)‪.‬‬
‫‪3  0‬‬
‫אסימפטוטה אנכית‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫) ‪ f (x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x  ‬‬
‫) ‪.g(x‬‬
‫נסרטט את גרף הפונקציה ) ‪: f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫מכיוון שכפלנו כל ‪ y‬בפונקציה )‪ f(x‬ב‪-‬‬
‫)‪(  1‬‬
‫(כדי לקבל את )‪ ,)g(x‬הרי‬
‫שהתחום שבו הגרף של )‪ f(x‬מעל ציר ‪ ,x‬כעת יהיה מתחת לציר ‪,x‬‬
‫והתחום שבו הגרף של )‪ f(x‬מתחת לציר ‪ ,x‬כעת יהיה מעליו‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ע"פ סעיף ג'‪ ,‬הגרף המתאר נכונה את הפונקציה‬
‫)‪ g(x‬הוא גרף )‪. (2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫) ‪P '( x )  f ( x‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪P ( x   1)  b‬‬
‫‪P ( x  1)  c‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (  P '( x ) d x    P ( x ) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0  f (x ) dx‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ P (1)    P (  1)    P (1)  P (  1)   c  b‬‬