‫תעודת זהות‪________________:‬‬
‫מספר מחברת‪_______________:‬‬
‫מבחן מועד א' באלגוריתמים‪ ,‬סמסטר א' תשע"ה (‪)5102‬‬
‫בית הספר למדעי המחשב‪ ,‬אוניברסיטת תל‪-‬אביב‬
‫מרצים‪ :‬פרופ' עמוס פיאט ופרופ' מיכה שריר‬
‫מתרגלים‪ :‬שי ורדי‪ ,‬אילן כהן‬
‫‪0..2.2.01‬‬
‫הוראות‬
‫‪ .1‬מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן‪ ,‬לפני תחילת כתיבת התשובות‪.‬‬
‫‪ .5‬משך הבחינה – שלוש שעות‪.‬‬
‫‪ .3‬חומר עזר מותר‪ :‬דף פוליו מודפס (דו צדדי) בלבד עם שם התלמיד‪/‬ה‪.‬‬
‫‪ .4‬במבחן ‪ 2‬שאלות‪ .‬יש לענות על כולן‪.‬‬
‫‪ .2‬תשובות נכונות ומלאות על ‪ 4‬מהשאלות יזכו אותך ב־‪ 01‬נקודות‪ ,‬ותשובות נכונות ומלאות על כל השאלות ב־‪ 011‬נקודות‪.‬‬
‫‪ .6‬על התשובה לכל שאלה להופיע במסגרת המתאימה‪ .‬יש להשתדל לקצר בהסברים ולא לחרוג מן המסגרות שהוקצו להם‪.‬‬
‫‪ .7‬מחברת הבחינה משמשת כטיוטא בלבד ולא תיבדק‪ ,‬אך יש להגישה עם המבחן‪.‬‬
‫‪ .8‬ודאו היטב את תשובתכם לפני כתיבתה בטופס המבחן‪ .‬בסוף הטופס מצורף זוג מסגרות נוסף ‪,‬לשימוש במקרי "חירום"‪.‬‬
‫‪ .9‬התשובה לכל שאלה העוסקת באלגוריתם צריכה להיות יעילה ככל האפשר‪ ,‬ומלווה בהסבר מתאים‪.‬‬
‫‪ .11‬בכל השאלות המתייחסות לגרפים‪ ,‬אם לא מצוין אחרת‪ ,‬הכוונה לגרף פשוט (בלי לולאות ובלי קשתות מקבילות)‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם לא‬
‫מצוין אחרת‪ ,‬כל גרף מיוצג ע"י רשימת שכנויות‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫שאלה‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫עמוד ‪ 1‬מתוך ‪9‬‬
‫ציון‬
‫תעודת זהות‪________________:‬‬
‫מספר מחברת‪_______________:‬‬
‫שאלה ‪0‬‬
‫נתונה רשת זרימה 𝑡 ‪ . 𝐺 = (𝑉, 𝐸), 𝑠,‬נתון שכל הקיבולים ברשת הם ‪ √2‬למעט קשת אחת‪ ,‬שקיבולה ‪ .2‬תארו אלגוריתם יעיל ככל‬
‫האפשר למציאת זרימה מקסימאלית ברשת‪.‬‬
‫סיבוכיות‪:‬‬
‫עמוד ‪ 2‬מתוך ‪9‬‬
‫תעודת זהות‪________________:‬‬
‫מספר מחברת‪_______________:‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נתון גרף פשוט‪ ,‬קשיר ולא מכוון )𝐸 ‪ 𝐺 = (𝑉,‬עם פונקציית משקל על הקשתות }‪ , 𝑤: 𝐸 → {−1,0,1‬וצומת 𝑠‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל‬
‫ככל האפשר אשר מוצא‪ ,‬מבין כל העצים שמהווים עץ מסלולים קצרים מ‪ 𝑠 -‬ביחס למספר הקשתות‪ ,‬את העץ עם סכום המשקולות‬
‫המינימאלי‪.‬‬
‫סיבוכיות‪:‬‬
‫עמוד ‪ 3‬מתוך ‪9‬‬
‫תעודת זהות‪________________:‬‬
‫מספר מחברת‪_______________:‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫נתון גרף דו‪-‬צדדי )𝐸 ‪ .|U| = |𝑊| = 𝑛 .𝐺 = (𝑈, 𝑊,‬הקודקודים בכל צד ממוספרים מ – ‪ 1‬עד ‪ .n‬זאת אומרת‬
‫} 𝑛𝑢 ‪ 𝑈 = {𝑢1 , 𝑢2 , … ,‬ו ‪ .𝑊 = {𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑛 } -‬דרגת כל קודקוד היא ‪.0‬‬
‫הגדרה‪ :‬זיווג לא נחתך הוא זיווג כך שאם ) 𝑗𝑤 ‪ (𝑢𝑖 ,‬ו‪ (𝑢𝑎 , 𝑤𝑏 ) -‬שניהם בזיווג אז לא יתכן ש 𝑎 > 𝑖 וגם 𝑗 > 𝑏‪ .‬כמו כן לא יתכן‬
‫ש 𝑎 < 𝑖 וגם 𝑗 < 𝑏‪( .‬ראו ציור בעמוד הבא)‪.‬‬
‫תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר המוצא זיווג לא נחתך בגודל מקסימאלי ב‪. 𝐺 -‬‬
‫סיבוכיות‪:‬‬
‫עמוד ‪ 4‬מתוך ‪9‬‬
‫‪𝑤1‬‬
‫‪𝑢1‬‬
‫‪𝑤2‬‬
‫‪𝑢2‬‬
‫‪𝑤𝑤33‬‬
‫‪𝑢3‬‬
‫‪𝑤4‬‬
‫‪𝑢4‬‬
‫‪𝑤5‬‬
‫‪𝑢5‬‬
‫הקשתות הנוגעות ב ‪ 𝑢1 , 𝑢4 , 𝑢5‬מהוות זיווג לא נחתך‪.‬‬
‫הקשתות הנוגעות ב ‪ 𝑢2‬ו‪ 𝑢4 -‬לא מהוות זיווג לא נחתך‪.‬‬
‫עמוד ‪ 5‬מתוך ‪9‬‬
‫תעודת זהות‪________________:‬‬
‫מספר מחברת‪_______________:‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫יהי )𝐸 ‪ 𝐺 = (𝑉,‬גרף פשוט ומכוון עם פונקציית משקל על הקשתות ‪ . 𝑤: 𝐸 → ℝ‬הוכיחו שאין ב‪ 𝐺 -‬מעגלים שליליים אם"ם קיימת‬
‫פונקציה על הקודקודים ‪ 𝑓: 𝑉 → ℝ‬המקיימת )𝑣 ‪ ,𝑓(𝑣) ≤ 𝑓(𝑢) + 𝑤(𝑢,‬לכל 𝐸 ∈ )𝑣 ‪.(𝑢,‬‬
‫עמוד ‪ 6‬מתוך ‪9‬‬
‫תעודת זהות‪________________:‬‬
‫מספר מחברת‪_______________:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נתונים 𝑚 קטעים אופקיים במישור‪ .‬כל קטע ניתן בתור שלשה ) ‪ ,(𝑦, 𝑥1 , 𝑥2‬המייצגת את נקודות הקצה של הקטע שהן‬
‫)𝑦 ‪ .( 𝑥1 , 𝑦), (𝑥2 ,‬קו ישר במישור נקרא חוקי אם הוא חותך את כל הקטעים‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שבודק אם קיים קו‬
‫ישר חוקי‪ ,‬ואם קיים קו כזה‪ ,‬מחזיר את הקו בעל השיפוע המקסימאלי מכל הקווים החוקיים‪.‬‬
‫סיבוכיות‪:‬‬
‫עמוד ‪ 7‬מתוך ‪9‬‬
‫תעודת זהות‪________________:‬‬
‫מספר מחברת‪_______________:‬‬
‫מסגרת חירום לשאלה מספר________‬
‫עמוד ‪ 8‬מתוך ‪9‬‬
‫תעודת זהות‪________________:‬‬
‫מספר מחברת‪_______________:‬‬
‫מסגרת חירום לשאלה מספר________‬
‫עמוד ‪ 9‬מתוך ‪9‬‬