‫אלגוריתמים‬ ‫תרגיל בית ‪4‬‬ ‫להגשה עד ‪ 23‬במאי‬ ‫הנחיה כללית‪ :‬בכל שאלה בה אתם מציגים אלגוריתם‪ ,‬יש להוכיח נכונות ולנתח את זמן הריצה‪ .‬ניתן להסתמך על טענות‬ ‫שהוכחו בכיתה‪.‬‬ ‫∈ )‪ (u, v‬ונסמן ב‪m-‬‬ ‫‪ .1‬נתונים גרף מכוון )‪ G = (V, E‬והסגור הטרנזיטיבי שלו ) ∗ ‪ .G∗ = (V, E‬יהיו ‪ u, v ∈ V‬כך ש‪/ E -‬‬ ‫את מספר הקשתות שנוספו ל‪ G∗ -‬כתוצאה מהוספת הקשת )‪ (u, v‬ל‪.G-‬‬ ‫)א( בנו דוגמא לגרף ‪ G‬עבורו ) ‪.m = Ω(|V |2‬‬ ‫)ב( תארו אלגוריתם יעיל )כתלות ב‪ (|E ∗ | ,|V | ,m-‬לעדכון ∗‪.G‬‬ ‫‪ .2‬נתון גרף מכוון )‪ G = (V, E‬על קבוצת הצמתים }‪ V = {1, 2, . . . , n‬עם פונקציית משקל ‪ w : E → R‬וידוע שאין ב‪G-‬‬ ‫מעגלים שליליים ביחס ל‪ .w-‬תארו אלגוריתם יעיל שמחשב‪ ,‬לכל ‪ ,1 ≤ i < j ≤ n‬את משקל המסלול הקל ביותר ‪j‬‬ ‫‪i‬‬ ‫מבין המסלולים שלא עוברים באף אחד מבין הצמתים }‪.{j + 1, j + 2, . . . , n‬‬ ‫)כמובן שאם לזוג ‪ i, j‬מסוים קבוצת המסלולים הנ"ל ריקה‪ ,‬לא צריך לחשב מסלול זה(‬ ‫‪ .3‬בצעו שינוי באלגוריתם למציאת מק"בים המבוסס על כפל מטריצות‪ ,‬כך שהוא יהפוך לאלגוריתם למציאת אורך המעגל‬ ‫השלילי הקצר ביותר )ביחס למס' הקשתות( בגרף‪ .‬אין צורך למצוא את קשתות המעגל‪ .‬תארו את סיבוכיות האלגוריתם‬ ‫ונתחו את נכונותו )כמו תמיד‪ ,‬אין צורך לחזור על הוכחות שנלמדו בשיעור(‪.‬‬ ‫‪ .4‬נתונים גרף מכוון )‪ ,G = (V, E‬פונקצית משקל אי־שלילית ‪ w : E → R+‬וזוג צמתים ‪ .x, y ∈ V‬תארו אלגוריתם‬ ‫‪u‬‬ ‫יעיל שמחשב לכל זוג צמתים ‪ u, v ∈ V‬את משקל המסלול הקל ביותר מבין המסלולים )הלאו דווקא פשוטים( ‪v‬‬ ‫שעוברים דרך ‪ x‬ו‪/‬או דרך ‪.y‬‬ ‫אדומה ‪1‬‬ ‫‪ .5‬נתון גרף לא מכוון )‪ G = (V, E‬עם פונקצית אורך ‪ .l : E → R+‬גרף זה מייצג את מפת כבישי הארץ‪ .‬חיפושית‬ ‫יוצאת מצומת ‪ s ∈ V‬לכיוון צומת ‪ t ∈ V‬עם מיכל דלק מלא‪ ,‬המספיק לנסיעה למרחק ‪ .L‬בחלק מצמתי הגרף‪,U ⊆ V ,‬‬ ‫ישנן תחנות דלק‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל ביותר לחישוב מסלול קצר ביותר בין ‪ s‬ל‪ t-‬כך שהמכונית לא נתקעת )קרי‪ :‬לא‬ ‫נוסעת יותר ממרחק ‪ L‬ללא תדלוק(‪.‬‬ ‫‪ .6‬נתון מערך של מספרים ממשיים ‪ a1 , a2 , ..., an‬ומספר טבעי ‪-d .d ≤ n‬חלוקה של המערך הינה חלוקה שלו ל‪ d-‬מקטעים‬ ‫רציפים לא ריקים‪ .‬נגדיר את המחיר של מקטע כסכום איבריו והמחיר של חלוקה כמחיר המקסימלי של מקטע שלה‪.‬‬ ‫תארו אלגוריתם יעיל אשר מוצא ‪-d‬חלוקה עם מחיר מינימלי‪.‬‬ ‫‪ .7‬שני שחקנים נבונים‪ A 2 ,‬ו‪ ,B-‬משחקים במשחק הבא‪ :‬נתונה סדרה של ‪ n‬מספרים שלמים מסודרים בשורה משמאל לימין‪.‬‬ ‫השחקנים משחקים לסירוגין כשכל אחד בתורו לוקח את המספר הימני ביותר או את המספר השמאלי ביותר‪ .‬השחקן‬ ‫‪ A‬משחק ראשון‪ .‬לאחר שנלקחו כל המספרים מחושב ערך המשחק להיות סכום המספרים ששחקן ‪ A‬בחר פחות סכום‬ ‫המספרים ש‪ B-‬בחר‪ .‬מטרת שחקן ‪ A‬היא שערך המשחק יהא גדול ככל הניתן ומטרת שחקן ‪ B‬היא שערך המשחק יהיה‬ ‫נמוך ככל הניתן‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל שיחשב‪ ,‬בהינתן סדרה באורך ‪ ,n‬את ערך המשחק‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬אם הסדרה היא ‪ 6, 3, 3, 8, 2, 1‬אזי הערך הוא ‪.7 = 6 − 3 − 3 + 8 − 2 + 1‬‬ ‫‪ .8‬בקפיטריה של אקו יש ‪ n‬מגשי אוכל ריקים‪ .‬נתון כי מגש ‪ i‬הוא באורך ‪ li‬וברוחב ‪ .wi‬ניתן למקם את מגש ‪ i‬מעל מגש ‪j‬‬ ‫אם ‪ li ≤ lj‬וגם ‪ .wi ≤ wj‬על כל מגש ניתן להניח ישירות רק מגש אחד )כלומר אסור למגש להכיל שני מגשים ישירות‬ ‫עליו‪ ,‬זה לצד זה(‪ .‬ניתן לסובב מגש ב־‪ 90‬מעלות על מנת שנוכל למקם אותו על מגש אחר‪ ,‬אך כל המגשים צריכים להיות‬ ‫מקבילים לצירים )כלומר‪ ,‬אסור לשים מגשים באלכסון‪ ,‬ולכן סיבוב שקול להחלפה בין האורך והרוחב(‪ .‬ניתן להניח כי‬ ‫‪1‬הרכב‪ ,‬לא החרק‪.‬‬ ‫‪2‬כלומר‪ ,‬משחקים אופטימלית תוך צפייה מראש של מהלכיו הסבירים של השחקן האחר‪.‬‬ ‫‪ {li , wj }ni=1‬הם מספרים ממשיים חיוביים שונים‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל המחשב ערימה גדולה ככל האפשר של מגשים‬ ‫הניתנים למיקום אחד על השני‪.‬‬ ‫‪ .9‬נתון עץ לא מכוון עם משקלים אי־שליליים על הקשתות‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל למציאת זיווג )כלומר‪ :‬קבוצת קשתות‬ ‫שאין לאף שתיים מהן קצה משותף( בעל משקל מקסימלי בעץ‪ .‬מספר הקשתות בזיווג אינו נדרש להיות מקסימלי‪.‬‬