‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫מבחן באלגוריתמים‪ ,‬מועד ב'‬ ‫סמסטר א' תשע"ד‪ ,‬אוניברסיטת תל־אביב‬ ‫מרצה‪ :‬פרופ' עמוס פיאט‬ ‫מתרגלים‪ :‬שי ורדי‪ ,‬אילן כהן‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪.‬‬ ‫חומר עזר מותר‪ :‬דף ‪ A4‬אחד‪ ,‬כתוב משני הצדדים‪.‬‬ ‫במבחן ‪ 5‬שאלות‪ .‬יש לענות על כולן‪.‬‬ ‫• תשובות נכונות ומלאות על ‪ 4‬מהשאלות יזכו אותך ב־‪ 90‬נקודות‪ ,‬ותשובות נכונות ומלאות על‬ ‫כל השאלות ב־‪ 100‬נקודות‪.‬‬ ‫• על התשובה לכל שאלה להופיע במסגרת המתאימה‪ .‬יש להשתדל לקצר בהסברים ולא לחרוג‬ ‫מן המסגרות שהוקצו להם‪.‬‬ ‫• מחברת הבחינה משמשת כטיוטא בלבד ולא תיבדק‪ ,‬אך יש להגישה עם המבחן‪.‬‬ ‫• ודאו היטב את תשובתכם לפני כתיבתה בטופס המבחן‪ .‬בסוף הטופס מצורף זוג מסגרות נוסף‪,‬‬ ‫לשימוש במקרי "חירום"‪.‬‬ ‫• התשובה לכל שאלה העוסקת באלגוריתם צריכה להיות יעילה ככל האפשר‪ ,‬ומלווה בהסבר‬ ‫מתאים‪.‬‬ ‫• בכל השאלות המתייחסות לגרפים‪ ,‬אם לא מצוין אחרת‪ ,‬הכוונה לגרף פשוט )בלי לולאות ובלי‬ ‫קשתות מקבילות(‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם לא מצוין אחרת‪ ,‬כל גרף מיוצג ע"י רשימת שכנויות‪.‬‬ ‫ניקוד‬ ‫שאלה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫סה"כ‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪1‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫∈ ‪ u, v‬צמתים שונים‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל‬ ‫‪ .1‬יהא )‪ G(V, E‬גרף מכוון‪ ,‬יהיו ‪/ U ,U ⊆ V‬‬ ‫ככל האפשר שייקבע האם יש מסילה בגרף מ‪ u−‬ל‪ v−‬שאינה מכילה שלושה צמתים‬ ‫עוקבים של ‪ ,U‬ואם יש כזו‪ ,‬ימצא כזו שמספר קשתותיה מינימאלי‪.‬‬ ‫יעילות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .2‬יהא )‪ G(V, E‬גרף פשוט‪ ,‬קשיר לא מכוון‪ ,‬עם משקלים שלמים חיובים על הקשתות‬ ‫כאשר כאן ‪ |V | = n‬ו־ ‪ E = {e1 , e2 , . . . , em } .|E| = m‬ומשקל הקשת ‪ ei‬נתון ע"י‬ ‫‪i2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ .w(ei ) = 5 + b 10‬הקשתות נתונות בסדר ממויין‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר‬ ‫שימצא את הקשתות ‪ ei‬שמוכלות באיזה שהוא עץ פורש מינימאלי של ‪ ,G‬זאת אומרת‪,‬‬ ‫ימצא את הקבוצה הבאה‪} :‬קיים עץ פורש מינימאלי של ‪ G‬שמכיל את ‪.{ei |1 ≤ i ≤ m, ei‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪ .3‬נתונה מטריצה ‪ A = (ai,j )nXn‬כשכל ‪ ai,j‬שלם אי שלילי‪ ,‬ונתונים מספרים שלמים‬ ‫‪ r1 , r2 , . . . , rn‬ו ‪ .c1 , c2 , . . . , cn‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שייקבע אם יש‬ ‫מטריצה ‪ B = (bi,j )nXn‬של מספרים שלמים המקיימים ‪ 0 ≤ bij ≤ aij‬לכל ‪ i, j‬וכן‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫לכל ‪.1 ≤ j ≤ n‬‬ ‫לכל ‪ ,1 ≤ i ≤ n‬וכן ‪bij = cj‬‬ ‫‪bij = ri‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫הערך‬ ‫‪ .4‬יהא )‪ G(V, E‬גרף לא מכוון‪ ,‬תארו אלגוריתם מבוסס תכנות לינארי שיחשב את‪X‬‬ ‫יש‬ ‫המירבי ‪ ,T‬כך שלכל משקלים אי שלילים על הקשתות המקיימים ‪w(e) = 1‬‬ ‫‪e∈E‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫צומת ‪ v ∈ V‬המקיים ‪w(e) ≥ T‬‬ ‫‪v∈e‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪ .5‬נתונות ‪ m‬פונקציות ‪ ,f1 , f2 , . . . , fm : {0, 1, . . . , m} → Z +‬תארו אלגוריתם יעיל ככל‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫עבורם הערך‬ ‫האפשר שיימצא ערכים שלמים ‪ xi ≥ 0‬שסכומם מקיים ‪xi ≤ m‬‬ ‫) ‪fi (xi‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הוא מקסימאלי‬ ‫‪i=1‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫מסגרת חירום לשאלה מספר‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫מסגרת חירום לשאלה מספר‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫‪:‬‬ ‫‪8‬‬