‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫מבחן באלגוריתמים‪ ,‬מועד א'‬ ‫סמסטר ב' תשע"ד‪ ,‬אוניברסיטת תל־אביב‬ ‫מרצים‪ :‬פרופ' נוגה אלון‪ ,‬פרופ' רון שמיר‬ ‫מתרגלים‪ :‬שי ורדי‪ ,‬אילן כהן‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪.‬‬ ‫חומר עזר מותר‪ :‬דף ‪ A4‬אחד‪ ,‬כתוב משני הצדדים‪.‬‬ ‫במבחן ‪ 5‬שאלות‪ .‬יש לענות על כולן‪.‬‬ ‫• תשובות נכונות ומלאות על ‪ 4‬מהשאלות יזכו אותך ב־‪ 90‬נקודות‪ ,‬ותשובות נכונות ומלאות על‬ ‫כל השאלות ב־‪ 100‬נקודות‪.‬‬ ‫• על התשובה לכל שאלה להופיע במסגרת המתאימה‪ .‬יש להשתדל לקצר בהסברים ולא לחרוג‬ ‫מן המסגרות שהוקצו להם‪.‬‬ ‫• מחברת הבחינה משמשת כטיוטא בלבד ולא תיבדק‪ ,‬אך יש להגישה עם המבחן‪.‬‬ ‫• ודאו היטב את תשובתכם לפני כתיבתה בטופס המבחן‪ .‬בסוף הטופס מצורף זוג מסגרות נוסף‪,‬‬ ‫לשימוש במקרי "חירום"‪.‬‬ ‫• התשובה לכל שאלה העוסקת באלגוריתם צריכה להיות יעילה ככל האפשר‪ ,‬ומלווה בהסבר‬ ‫מתאים‪.‬‬ ‫• בכל השאלות המתייחסות לגרפים‪ ,‬אם לא מצוין אחרת‪ ,‬הכוונה לגרף פשוט )בלי לולאות ובלי‬ ‫קשתות מקבילות(‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם לא מצוין אחרת‪ ,‬כל גרף מיוצג ע"י רשימת שכנויות‪.‬‬ ‫ניקוד‬ ‫שאלה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫סה"כ‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪1‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪ .1‬יהא )‪ G(V, E‬גרף מכוון‪ ,‬יהיו ‪ C1 , C2‬רכיבי קשירות חזקה בו‪ ,‬ונניח כי יש קשת מכוונת‬ ‫מצומת ‪ u ∈ C1‬לצומת‪ .v ∈ C2S‬הוכיחו כי בכל הרצה של ‪ DFS‬על ‪ G‬הצומת ‪ x‬עם‬ ‫ערך ‪ f‬מירבי מבין ‪ C1 C2‬הוא ב ‪.C1‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .2‬יהא )‪ G(V, E‬גרף מכוון‪ ,‬עם משקל ‪ w(e) ≥ 0‬לכל קשת ‪ ,e ∈ E‬ויהיו ‪ u, v ∈ V‬שני‬ ‫צמתים שונים‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שיקבע אם יש מסילה מכוונת מ־‪u‬‬ ‫ל־‪ v‬שמספר קשתותיה מתחלק ב־‪ 2‬אך לא ב־‪ ,3‬ואם יש כזו מוצא את המסילה )עם‬ ‫מספר קשתות המתחלק ב־‪ 2‬אך לא ב־‪ (3‬שסכום משקלי קשתותיה מינימאלי‪.‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪ .3‬נתונה רשת זרימה )‪ G(V, E‬עם מקור ‪ s‬ובור ‪ t‬וזרימה ‪ f‬בה‪ .‬ערכי הקיבול והזרימה‬ ‫שלמים‪ .‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שימצא מסילה מגדילה ‪ p‬עם ערך מירבי‬ ‫של קיבול שיורי )‪) ,Cf (p‬או שיודיע שאין מסילה מגדילה אם אין כזו(‪.‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪ .4‬נתונים מספרים שלמים ‪ 1 ≤ x1 , x2 . . . xn ≤ n2‬ונתון מספר ‪ .k ≤ n‬תארו אלגוריתם‬ ‫‪X‬קבוצות זרות}‪ I, J ⊂ {1, . . . , n‬כך ש ‪|I|+|J| = k‬‬ ‫שיקבע אם יש זוג‬ ‫יעיל ככל האפשר‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫וכן ‪xi = n‬‬ ‫וכך ש ‪xi = n2‬‬ ‫‪i∈I‬‬ ‫‪i∈J‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪ .5‬יהא ‪ Σ‬א"ב סופי‪ P = P [1]P [2] . . . P [m] ∈ Σ∗ ,‬מחרוזת כלשהיא באורך ‪ ,m‬ויהא‬ ‫∗‪ T = T [1]T [2] . . . T [n] ∈ Σ‬טקסט באורך ‪ .n‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר‬ ‫שימצא לכל ‪ ,i‬את הערך ‪xi‬‬ ‫|}‪xi = |{k|Pk A Ti , k is even, 0 < k ≤ m‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫אלגוריתם והסבר‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫מסגרת חירום לשאלה מספר‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ת‪.‬ז‪.‬‬ ‫מסגרת חירום לשאלה מספר‬ ‫מס‪ .‬מחברת‬ ‫‪:‬‬ ‫‪8‬‬