חוברת פיזיקה 2 - אוניברסיטת תל אביב
פיזיקה 2 0509.1826 בהצלחה, ועד הנדסה מועד א' סמסטר א' תשע"ה תאריך 16.02.2015 אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן מספר סידורי: מספר סטודנט: פתרון מועד א בקורס פיזיקה 2לשנת 2015 משך הבחינה :שלוש שעות. יש לענות על כל השאלות. לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי ,ולכל סעיף אותו משקל בשאלה אלא אם מצוין אחרת. יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא תבדקנה. ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות ( ,)A4כתובים משני הצדדים .בנוסף ,נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים בקואורדינטות שונות מופיעות בסוף הבחינה. אין להיעזר במחשבון או בכל מכשיר אלקטרוני אחר. בהצלחה!!! שאלה ציון 1 2 3 4 ציון כולל : כל הזכויות שמורות © מבלי לפגוע באמור לעיל ,אין להעתיק ,לצלם ,להקליט ,לשדר ,לאחסן מאגר מידע ,בכל דרך שהיא ,בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק שהוא מטופס הבחינה. מועד א' סמסטר א' תשע"ה תאריך 16.02.2015 2 שאלה 1 נתונים שלושה מטענים נקודתיים q1, q2, q3שמסותיהם .m1, m2, m3המטענים מקובעים כך שהמרחק בין כל מטען למשנהו הוא א) ב) ,כבאיור .נתוןq2=q3=Q : מהי האנרגיה האלקטרוסטטית שהושקעה לבניית המערכת? כעת משחררים את מטען q1כך שהוא חופשי לנוע (שני המטענים האחרים נשארים מקובעים במקומם). מה יהיה מרחקו של המטען q1מהמטענים q2ו q3 -כאשר הוא יגיע למהירות ? פתרון: א) האנרגיה שהושקעה לבניית המערכת שווה לסכום האנרגיות הדרושות להבאת כל המטענים מאינסוף למיקומיהם הנוכחיים ,והיא שווה ל: qq q q 2kq1Q kQ2 q1q2 k 1 3 k 2 3 a a a a a k qi q j rij k U all _ pairs ב) כאשר משחררים את q1הוא יחל לנוע בקו ישר מ\אל המטענים q2ו ( q3הודות לכח הקולומבי) .היות ו ,q2=q3מרחקו של q1משני המטענים תמיד יהיה זהה .נסמן את מרחקו של q1מהמטענים כשהוא הגיע למהירות V0באות .dהאנרגיה של המערכת תהיה קטנה יותר ,ותהיה שווה ל: qq qq q1q2 2kq1Q kQ 2 k 1 3 k 2 3 d d a d a . U'k משימור אנרגיה ,הפרש האנרגיה הפך לאנרגיה קינטית של q1לכן: 1 1 1 2 mV 1 0 U U ' 2kq1Q 2 a d 4kq1Qa d נעביר אגפים ונקבל את :d 4kq1Q mV0 2 a 1 או: m V 2a d a 1 1 0 4kq1Q כדאי לבדוק ולהיווכח שהיחידות מסתדרות. מועד א' סמסטר א' תשע"ה תאריך 16.02.2015 3 שאלה 2 העשוי מחומר מבודד וטעון בצפיפות מטען אחידה נתון כדור ברדיוס ,אשר בו אין כל חומר (ראו איור). .במרכז הכדור ישנו חלל ברדיוס א) מהו סך כל המטען בכדור? ב) באמצעות חוק גאוס ,חשבו את וקטור השדה החשמלי בכל מקום במרחב. ג) מחממים את הכדור כך שהחומר המבודד הופך למוליך .מהו כעת וקטור השדה בכל מקום במרחב? פתרון: .1המטען הוא המטען של כדור מלא בעל רדיוס כדור ברדיוס : אשר טעוו בצפיפות מטען אחידה .2נמצא את השדה בכל מקום ע"י בניית משטח גאוס כדורי ברדיוס .aעבור ,המשטח מכיל את כל המטען .bעבור ,פחות המטען של : ,ולכן השדה הוא זה של מטען נקודתי בגודל ,המשטח מכיל מטען ולכן השדה הוא .cעבור ,המשטח אינו מכיל מטען ,ולכן .3אם הכדור הופך למוליך ,כל המטען מתפשט על-פני השפה החיצונית ,ברדיוס .aעבור עבור השדה אינו משתנה ביחס לסעיף הקודם: ,משטח גאוס אינו מכיל מטען ,ולכן .אז השדה הוא: : מועד א' סמסטר א' תשע"ה תאריך 16.02.2015 4 שאלה 3 גליל אינסופי בעל רדיוס Rנושא זרם בצפיפות מרחבית א) מהו וקטור השדה המגנטי בכל המרחב אם נתון ש- בתחום בלתי תלוי בזמן? . משתנה לפי המשוואה ב) כעת נתון כי גודלו של מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב? פתרון: z R א) ניתן לחשוב על מקור הזרם כאוסף של סלילים כשבכל סליל זרם שונה .שדה של סליל מתאפס מחוצה לו ולכן ברור שהשדה המגנטי יתאפס בתחום .r>Rבתוך סליל השדה המגנטי הינו בכיוון zולכן השדה הכולל יהיה שונה מאפס עבור r<R y וכיוונו בכיוון .zכדי למצוא את השדה ב r<Rנבנה לולאת אמפר מלבנית (כך שמישור הלולאה ניצב לכיוון הזרם, ראה ציור) שצלע אחת שלה נמצאת מחוץ למקור והצלע המקבילה לה בתוך מקור הזרם .נשתמש בחוק אמפר. התרומה היחידה תהיה של הצלע השמאלית ונקבל: ובסך הכל: ב) כעת הזרם משתנה בזמן ולכן יווצר שדה מגנטי משתנה בזמן שאליו חייב להתלוות שדה חשמלי. את השדה המגנטי ניתן לחשב בדיוק באותו אופן עם ההחלפה של j0ב ) .j(tמכיוון שהשדה המגנטי לינארי בזמן ,ניתן לראות ממשוואות מקסוול שהשדה החשמלי אינו תלוי בזמן ולכן אין זרם העתקה (והשימוש בחוק אמפר ,ללא זרם ההעתקה ,גם למקרה הזה מוצדק) .את השדה החשמלי נמצא מחוק פראדיי .מסימטריה השדה איננו יכול להיות בכיוון zוכמובן שלא בכיוון ( rכי אז היה לנו מטען חשמלי בבעיה לפי חוק גאוס) ולכן השדה החשמלי בכיוון בלבד ומסימטריה הוא תלוי ב rבלבד .לכן נבנה לולאת אמפר עגולה במישור ( z=0לדוגמא) ונקבל שהשטף של השדה המגנטי הינו: עבור ועבור x x מועד א' סמסטר א' תשע"ה תאריך 16.02.2015 לפי חוק פארדיי: ולכן השדה החשמלי עבור r<Rיהיה: ובצורה דומה: ולכן השדה החשמלי עבור r>Rיהיה: 5 מועד א' סמסטר א' תשע"ה תאריך 16.02.2015 6 שאלה 4 שני חוטים מוליכים ארוכים ודקים מונחים במקביל לציר ה , -כך שהמרחק ביניהם הוא בטור עם נגד בעל התנגדות השמאלי שלהם ,החוטים מחוברים לסוללה בעלת כא"מ מקובעת לקרקע כך שאינה יכולה לזוז ,ונמצאת כולה בשדה מגנטי אחיד (ראו איור) .בקצה .המערכת (נכנס לדף). על החוטים ובניצב להם (במקביל לציר ה , -כפי שנראה באיור) מונח מוט מוליך הסוגר מעגל חשמלי עם הסוללה דרך החוטים. א) בזמן מחזיקים את המוט במקום כך שאינו יכול לזוז .מהו הזרם שזורם במוט? (כלומר לצד שמאל באיור), מניעים את המוט במהירות קבועה ב) נתון כי בזמן תוך שהוא ממשיך לקיים מגע חשמלי עם החוטים .מהו הכא"מ המושרה במעגל? ציינו אם הכא"מ הוא באותו כיוון כמו או בכיוון הפוך מ. - ג) בזמן ,מהו הזרם העובר במוט? פתרון: .1לפי חוק אוהם ,הזרם הוא .2נציין את מרחק המוט מהסוללה ב . -ניקח את כיוון הזרם (עם כיוון השעון בציור) להיות הכיוון החיובי. אז וקטור השטח של המעגל הוא מכאן ,שטף השדה המגנטי דרך המעגל הוא וקצב שינוי השטף הוא לפי חוק פרדיי ,הכא"מ הוא ולפי הסימן (וגם באמצעות חוק לנץ) רואים כי כיוונו הוא הכיוון של . .3הכא"מים מתחברים עם אותם סימנים ,כך שכעת הזרם הוא ,לפי החוק השני של קירכהוף וחוק אוהם, בחינה בקורס פיסיקה 2 סמסטר ב' תשע"ד מועד א' .07..72.40 מרצים :פרופ' לב ויידמן ,פרופ' אלכסנדר פלבסקי מתרגלים :אורן סלון ,עדי אשכנזי משך הבחינה :שלוש שעות. יש לענות על שלוש שאלות בלבד מתוך ארבע שאלות. הניקוד לכל שאלה הוא 63נקודות. יש לכתוב בכתב יד ברור ונקי ולהסביר את כל שלבי החישוב. ניתן להעזר בשני דפי נוסחאות ) (A4כתובים משני צידיהם. אם לא פתרתם סעיף כלשהו ,ניתן להניח שתוצאות הסעיף ידועות ולגשת לסעיף הבא. לא ניתן להעזר במחשבון או במכשיק אלקטרוני אחר. יש לכתוב על דפי התשובות המחולקים עם הבחינה בלבד .המחברת תשמש אך ורק כטיוטה ולא תבדק. יש לסמן במסגרת את התשובות הסופיות בהצלחה! .1כדור מבודד מלא ברדיוס ,Rטעון בצפיפות מטען אחידה ונע ללא סיבוב במהירות על ציר x כמתואר בציור .על מישור הניצב לכיוון התנועה של הכדור נתונה טבעת דמיונית בעלת רדיוס ,כך ש: .מרכז הטבעת נמצא בראשית הצירים .הנקודה Aנמצאת בנקודת החיתוך של הטבעת עם ציר yבזמן , t 0מרכז הכדור נמצא בראשית הצירים .כל סעיפי השאלה מתייחסים לזמן זה. y v A a R x א. ב. ג. ד. מהו השדה החשמלי בכל המרחב ? מהו הזרם דרך הטבעת ? מהו הזרם ההעתקה דרך הטבעת ? מהו השדה המגנטי בנקודה ? A פתרון : א .נמצא את השדה של הכדור המלא ע"י חוק גאוס: כאשר: והמטען: ולכן השדה בכל המרחב הוא: ב .הזרם שעובר דרך שטח החתך של הטבעת: ג .הביטוי שמצאנו ב א' הוא ביחס למרכז הכדור .כיוון שמיקום מרכז הכדור כפונקציה של הזמן הוא ,השדה החשמלי בתוך הכדור כתלות בזמן ובמיקום: לכן ,צפיפות זרם העתקה: זרם העתקה דרך הטבעת: ד .את השדה המגנטי אפשר למצוא ע"י טרנספורמציה של השדה החשמלי: מקבלים: בנקודה Aזה יוצא: הערה :ניתן לראות שכל התוצאות מתאימות לחוק אמפר המתוקן: חוק אמפר המתוקן: אם עושים אינטגרל על הטבעת מקבלים: ולכן: .2מעל מישור מוליך מוארק נמצא מטען דיפול חשמלי pומעליו מטען נקודתי .המישור המוארק הוא מישור .XYהדיפול נמצא בנקודה ) (0, 0, bוהמטען נמצא בנקודה ) . (0, 0, aוקטור הדיפול החשמלי הוא ). p (0,0, p א .מהו הכח הפועל על המטען ? ב .מהו המטען הכולל על מישור ? xy ג .מהי העבודה הנדרשת על מנת להעביר את המטען ל: ? פתרון: . ב- א .נפתור בשיטת מטעני הדמות -מטען דמות לגבי הדיפול נזכור שדיפול מורכב משני מטענים שווים בגודלם והפוכים בסימנם ,לכן כאשר נייצר . מטען דמות לכל אחד ממטעני הדיפול נקבל דיפול דמות (בכיוון הדיפול האמיתי) ב- הכח שיפעל העל המטען יהיה סכום הכוחות מהדיפול ,דיפול הדמות ומטען הדמות. השדה של דיפול על צירו במרחק רב הוא: השדה בנקודה :A ולכן הכח: ב .המטען הכולל על המישור שווה לסה"כ מטעני הדמות ,לכן: אפשר להראות זאת באופן הבא: במערכת קיימים דיפול אמיתי ,דיפול דמות ,מטען אמיתי ומטען הדמות .במרחק מספיק גדול ניתן להתייחס אל שני המטענים האחרונים כאל דיפול ,ולכן סך הכל קיימים שלושה דיפולים. שדה של דיפול: ולכן השדה הכולל יהיה פורפורציוני לגודל זה. אם נקיף את המערכת במשטח גאוס ברדיוס אינסופי: אז בחצי המרחב בו אין שדה נקבל: ובחצי המרחב בו יש שדה נקבל: השטח פורפורציוני ל: והשדה ל: נצפה שתוצאת האינטגרל תהיה פורפורציונית ל: ובמרחק מספיק גדול תשאף לאפס. היות ומטען בדיפול הוא אפס ,סה"כ המטען במערכת שייך למטען הבודד ,ולמטען על המישור .הסכום שלהם שווה לאפס ולכן המטען על המישור שווה ל- ניתן גם לפתור ע"י מציאת צפיפות המטען על המישור מקפיצת השדה החשמלי וביצוע אינטגרל. ג .ישנן שתי תרומות לעבודה ,האחת מהדיפולים הנשארים קבועים במקום והשניה ממטען הדמות שנע יחד עם המטען . הפוטנציאל במרחק zמדיפול בודד: תרומת הדיפולים לעבודה: בעת תנועת המטען ,גם מטען הדמות זז ,ולכן לא ניתן לחשב את תרומת המטענים לעבודה על ידי הפוטנציאל. נחשב אותה על ידי אינטגרציה על הכח החשמלי: סך הכל: R .6נתונים שני נגדים העשויים מחומר אחיד בעלי התנגדות 2 רוחב aנמצאים במרחק dזה מזה כך ש . d a Lבצד אחד מחוברים הפסים למקור מתח , ובצד השני לנגד נוסף בעל התנגדות . כל סעיפי השאלה מתייחסים לזמן רב לאחר חיבור המערכת למקור המתח ,בו הזרם אחיד וקבוע בזמן. ניתן להזניח אפקטי שפה. .הנגדים בצורת פסים מוליכים באורך L א .מה גודלה של צפיפות הזרם המשטחית Kבפסים ? ב .מה ההספק שמתבזבז על הנגד ? L ג .מהו השדה החשמלי בין הפסים במרחק 2 משני הצדדים? L ד .מהו השדה המגנטי בין הפסים במרחק 2 משני הצדדים? L ה .מהו שטף האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי העובר בשטח חתך adבין הפסים במרחק 2 הצדדים? ו .איפה האנרגיה של הסעיף הקודם הופכת לחום? משני פתרון : א .ההתנגדות הכוללת במעגל: הזרם במעגל: צפיפות הזרם המשטחית על הפסים היא: ב .ההספק המתבזבז על הנגד: ג .נסמן בתור פוטנציאל חשמלי על הדק החיובי של הסוללה המחובר לפס העליון ובתור פוטנציאל חשמלי על הדק השלילי של הסוללה המחובר לפס התחתון. הפוטנציאל באמצע של פס העליון : הפוטנציאל באמצע של פס התחתון L השדה החשמלי במרחק 2 : x בין הפסים: ד .השדה המגנטי בין הפסים מזרם משטחי עליון: שדה המגנטי בין הפסים מזרם משטחי תחתון באותו כיוון ,דהיינו: לכן שדה מגנטי בין הפסים: L ה .וקטור פוינטינג במרחק 2 צפיפות זרם משטחי: x בין הפסים: לכן: L שטף האנרגיה במרחק 2 x בין הפסים: ו .גודל זה שווה להספק המתבזבז על הנגד ועל שני החצאים הימניים של הלוחות. נראה זאת: .4נתונות שתי קליפות כדוריות מוליכות עם מרכז משותף .האחת בעלת רדיוס Rוהשנייה בעלת רדיוס .2R א .על הקליפה הפנימית נמצא מטען Qוהקליפה החיצונית מוארקת .מהו המטען על קליפה המוארקת? Q א ב .כעת על הקליפה החיצונית נמצא מטען Qוהקליפה הפנימית מוארקת .מהו המטען על הקליפה המוארקת? Q ב ג .מה האנרגיה האלקטרוסטטיות של המערכת בשני המקרים? ד .במקרה א בלבד מכניסים חומר דיאלקטרי עם קבוע 2בין הקליפות .מה המטען על הקליפה המוארקת ומה האנרגיה האלקטרוסטטית של המערכת כעת? א .השדה מחוץ לקליפה הוא ,0על פי חוק גאוס: עבור מעטפת גאוס כדורית עם רדיוס ומכאן: ב .נניח מטען על הקליפה הפנימית. הפוטנציאל על הקליפה הפנימית: ומכאן: ג .במקרה הראשון: השדה החשמלי הוא: האנרגיה האלקטורסטטית: לאחר האינטגרל: כלומר: במקרה השני: בין הרדיוסים: ברדיוס גדול מ :2R סה"כ השדה החשמלי הוא: האנרגיה: זה יוצא: סה"כ: ,המטען בתוכה: ד .במקרה הראשון לאחר הוספת חומר דיאלקטרי ,השדה מחוץ למערכת עדיין שווה לאפס ולכן כל המטען במערכת שווה לאפס. היות וסך המטען המושרה שווה לאפס נסיק: המטען החופשי לא השתנה והקיבול גדל בגלל המצאות החומר הדיאלקטרי. לכן: ניתן גם לחשב על פי השדה החשמלי: מועד א' סמסטר א' תשע"ד תאריך 011.610.62 אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן מספר סידורי: מספר סטודנט: בחינה בקורס :פיזיקה 2 משך הבחינה :שלוש שעות1 יש לענות על כל השאלות1 לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי ,ולכל סעיף אותו משקל בשאלה1 יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא תבדקנה1 ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות ( ,)A2כתובים משני הצדדים 1בנוסף ,נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים בקואורדינטות שונות מופיעות בסוף הבחינה1 ניתן (אך אין צורך) להיעזר במחשבון 1אין להיעזר בשום מכשיר אלקטרוני שאינו מחשבון1 בהצלחה!!! שאלה ציון 6 0 3 ציון כולל : כל הזכויות שמורות © מבלי לפגוע באמור לעיל ,אין להעתיק ,לצלם ,להקליט ,לשדר ,לאחסן מאגר מידע ,בכל דרך שהיא ,בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק שהוא מטופס הבחינה. 0 מועד א' סמסטר א' תשע"ד תאריך 011.610.62 שאלה 1 נתונה המערכת הבאה ,המתוארת בקואורדינטות כדוריות :בראשית הצירים נמצא מטען נקודתי 1qבתחום הרדיאלי ) ישנה קליפה (כאשר ישנה קליפה כדורית עבה ,מוליכה ובלתי טעונה 1ברדיוס כדורית דקה ,מבודדת וטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה 1 א1 מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב? ב1 מהי פונקציית הפוטנציאל בכל המרחב? (קחו את הפוטנציאל להיות .ב- ג1 רשמו את מיקומיהן וגדליהן של כל צפיפויות המטען המשטחיות במערכת ,פרט לזו שב- ד1 מזיזים את המטען הנקודתי למיקום ) )1 ( 1בכמה משתנה הפוטנציאל בנקודה ). . 1 (? פתרון: א1 מקום: מאחר שלמערכת סימטריה כדורית ,כוון השדה החשמלי הוא ̂ בכל מקום 1כעת נראה מה גודל השדה בכל נשתנמש בכך שבשל חוק גאוס והסימטריה הכדורית ,השדה ברדיוס או שווה ל1 - לכן ,בתחום תלוי רק במטענים שנמצאים ברדיוס קטן השדה הוא השדה של המטען הנקודתי: ⃗ ̂ בתחום נמצא חומר מוליך ,ולכן השדה בתחום זה הוא :. ⃗ עבור ,השדה הוא שוב כשל מטען נקודתי : ⃗ ̂ עבור ,השדה הוא של מטען נקודתי : 3 מועד א' סמסטר א' תשע"ד תאריך 011.610.62 ⃗ ̂ את הפוטנציאל נקבל ע"י אינטגרציה על פני השדה מאינסוף עד הראשית ,כך שהפוטנציאל הוא .באינסוף, ב1 ובגבולות בין התחומים השונים נקפיד על רציפות הפוטנציאל: בתחום : : עבור ) ( (כאשר האיבר הראשון בשורה הראשונה נובע מרציפות הפוטנציאל ב- נמצא חומר מוליך ,ולכן הפוטנציאל הוא זה של בתחום ) עבור )1 : ( : ) ( ) ( ) ( מאחר שכל משטח גאוס ששפתו בתוך הקליפה המוליכה מכיל מטען כולל ,.אז על השפה הפנימית של ג1 ,כלומר ,צפיפות מטען משטחית אחידה (בשל הסימטריה הקליפה המוליכה (ברדיוס ) יהיה מטען כולל הכדורית) בגודל מאחר שהקליפה המוליכה ניטרלית ,על שפתה החיצונית (ברדיוס משטחית אחידה בגודל ניתן לקבל פתרון זה גם מהקפיצה בשדה1 ) יהיה מטען כולל ,כלומר ,צפיפות מטען מועד א' סמסטר א' תשע"ד תאריך 011.610.62 ד1 2 בניקוד שאלה זו הושם דגש חזק על נימוק מלא 1מרכיבי התשובה הנדרשים לניקוד מלא הם: מוליכה ,דהיינו שווה-פוטנציאלית בעלת סימטריה כדורית והמטענים מחוץ מאחר שהקליפה בתחום לקליפה מקיימים סימטריה כדורית ,משטחים שווה-פוטנציאליים חייבים לקיים סימטריה כדורית בתחום ניצבים לשפת הקליפה ומקיימים סימטריה כדורית1 .לכן קווי השדה מחוצה לה ,ב- נמצא שהוא מכיל את אותו מטען כמו בסעיפים הקודמים 1לכן השדה אם נבנה משטח גאוס כדורי בתחום אינו משתנה ,כך שגם הפוטנציאל אינו משתנה בתחום זה. בתחום שאלה 2 נמצא משטח אינסופי דק ,הטעון בצפיפות מטען משטחית אחידה 1המשטח נע במהירות ̂ במישור כאשר קבוע1 בגובה hמעל המשטח ,במישור כפונקציה של הזמן: ,נמצאת לולאה ריבועית נייחת בעלת צלע (ראו איור) 1ענו על כל הסעיפים א1 מהי צפיפות הזרם הקווית הנובעת מתנועת המשטח? ב1 מהו השדה המגנטי בכל המרחב? ג1 מהו שטף השדה המגנטי דרך הלולאה? ד1 נתון שלמסגרת התנגדות 1מהו גודל הזרם במסגרת ומהו כוונו (ציירו את הכוון לפי האיור)? פתרון: (א) נתבונן בקטע על המשטח בעל רוחב (בכוון ) ואורך גזירה לפי הזמן נותנת את הזרם החוצה את חזית הקטע: ליחידם אורך בניצב לתנועת המטענים ,כלומר .בקטע זה ישנו מטען .צפיפות הזרם הקווית היא הזרם . (ב) מכלל היד הימנית של חוק ביו-סבר נובע כי שהשדה המגנטי יהיה בכיוון -yבצד העליון של הלוח ובכיוון yבצד התחתון של הלוח ,ומאינסופיות המשטח נובע שהשדה לא יכול להיות תלוי בקוארדינטות .x,y 5 מועד א' סמסטר א' תשע"ד תאריך 011.610.62 לכן ,נבנה לולאת אמפר בצורת מלבן שצלעותיה מקבילות לצירים zו yוהממוקמת באופן סימטרי סביב הלוח ,גובהה 2zואורכה Lכבאיור למטה. B dl 2LB ממשפט אמפר נקבל (לתקן פקטור :)2 0 I in 0 L 0 vL v v ולכן B 0נוסיף את הכיוונים ונקבלB 0 ( yˆ ) sign( z ) : 2 2 () sign(zהיא פונקציה ששווה ל +1אם zחיובי ו -1אם zשלילי(. 0 va 2 B B dS BS Ba 2 כאשר המעבר הראשון התאפשר משום שהשדה מאונך לפני (ג) 2 הלולאה הריבועית (לא להתבלבל עם לולאת אמפר מהסעיף הקודם!) ואחיד. (ד) נקבל את גודל הכא"מ המושרה בלולאה מתוך משוואת פרדיי: d B d 0v ta 2 0v a 2 dt dt 2 2 0 v a 2 I ולפי חוק אוהם הזרם יהיה: R 2R .לכן הזרם המושרה צריך ליצור שדה מגנטי את הכיוון נקבע לפי חוק לנץ :השטף גדל והשדה בכיוון בכיוון .+yלפי כלל היד הימנית ,זרם כזה הוא עם כיוון השעון (כבאיור). 1 מועד א' סמסטר א' תשע"ד תאריך 011.610.62 שאלה 3 קבל שקיבולו מחובר לשני מוטות חצי-אינסופיים וחסרי התנגדות 1מוט שלישי ,בעל אורך נוגע בקצותיו במוטות החצי אינסופיים ומתרחק מהקבל במהירות קבועה שדה מגנטי קבוע וחסר התנגדות, (ראו איור א') 1באזור המוט הנע פועל הניצב למישור המעגל (השדה נכנס לדף) 1שדה זה אינו קיים באזור הקבל 1הזניחו את התנגדות התילים ואת השדה המגנטי שיוצר הזרם המושרה1 א 1מהו הכא"מ המושרה במעגל? ב 1מהו המטען על הקבל? מחליפים את הקבל בנגד שהתנגדותו (ראו איור ב')1 ג 1מהו הזרם במעגל? (גודל וכיוון – ציינו את הכיוון באופן ברור) מחזירים את הקבל למעגל ,כך שהוא מחובר בטור עם הנגד (ראו איור ג')1 ד 1כתבו את משוואת המתחים של המעגל ומצאו את הזרם כפונקציה 1 של הזמן ,כאשר נתון שהקבל אינו טעון בזמן ×××××××× 𝑣 ×××××××× ×××××××× איור א' ×××××××× ×××××××× ×××××××× איור ב' ×××××××× ×××××××× ×××××××× איור ג' 7 מועד א' סמסטר א' תשע"ד תאריך 011.610.62 פתרון: א 1נגדיר תחילה מערכת צירים :ציר יהיה כיוון התקדמות המוט וציר יוצא מכיוון הדף (ציר בהתאם) 1כדי למצוא את הכא"מ המושרה ,נשתמש בחוק פרדיי: | | הוא כלפי מעלה, ε השדה המגנטי אחיד 1לכן ,בכל זמן נתון ,השטף המגנטי הוא מכפלת השדה המגנטי בשטח המעגל כאשר הוא המרחק שעובר המוט תוך זמן 1נקבל | ,כאשר ב1 ההגדרה של קיבול היא ג1 את גודל הזרם במעגל נמצא מחוק אוהם | ε הוא הפרש המתחים בין לוחות הקבל 1בשאלה שלנו את כיוון הזרם נמצא ע"י חוק לנץ :השטף של השדה המגנטי שעובר בשטח המעגל גדל עם הזמן מכיוון שהשטח של המעגל גדל עם הזמן 1הזרם המושרה יקטין את השינוי השטף המגנטי ע"י יצירת שדה מגנטי מושרה בכיוון ההפוך לשדה המגנטי שנתון בבעיה 1מכלל יד ימין נקבל שהזרם המושרה הוא נגד כיוון השעון( .ניתן לפתור גם לפי חוק לורנץ על המטענים במוט הנע)1 יש בפנינו מעגל RCשמחובר למקור מתח שנתון ע"י הכא"מ המושרה שמצאנו בסעיף א' 1נכתוב את הפרש המתחים ד1 לאורך המעגל ונשווה לאפס1 ε (הסימן הוא חיובי מכיוון שהגדרנו את הכוון החיובי של המטען נרצה לכתוב משוואה לזרם ,נשתמש בכך ש להיות כך שהלוח העליון טעון חיובית ,ואז רואים שהקבל נטען ע"י זרם בכיוון אותו הגדרנו כחיובי)1 ישנן שתי דרכים לפתור את המשוואה1 דרך אחת :המשוואה הופכת להיות את פתרון משוואה זו ראינו בשיעורים 1נכתוב את המשוואה בצורה כלומר הפתרון למשוואה מצורה זו ידוע: כאשר Aקבוע אינטגרציה 1כלומר: או: תנאי ההתחלה מתקבלים מהבחירה ) ,כך שמתקבל הפתרון ( 8 מועד א' סמסטר א' תשע"ד תאריך 011.610.62 נגזור לפי הזמן ונקבל את הזרם: דרך שנייה היא לגזור את משוואת המתחים שכתבנו: ⇒ הפתרון של המשוואה הזו הוא כאשר את הקבוע ,שהוא הזרם בזמן נציב זאת במשוואת המתחים לעיל ונקבל ,נמצא מתנאי ההתחלה 1נתון לנו שבזמן ההתחלתי הקבל לא טעון ,אז ⇒ ε ⇒ מועד ב' סמסטר א' תשע"ד תאריך 28.02.2014 אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן מספר סידורי: מספר סטודנט: בחינה בקורס :פיזיקה 2 משך הבחינה :שלוש שעות. יש לענות על כל השאלות. לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי ,ולכל סעיף אותו משקל בשאלה. יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא תיבדקנה. ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות ) ,(A4כתובים משני הצדדים .בנוסף ,נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים בקואורדינטות שונות מופיעות בסוף הבחינה. ניתן )אך אין צורך( להיעזר במחשבון .אין להיעזר בשום מכשיר אלקטרוני שאינו מחשבון. בהצלחה!!! שאלה ציון 1 2 3 ציון כולל : כל הזכויות שמורות © מבלי לפגוע באמור לעיל ,אין להעתיק ,לצלם ,להקליט ,לשדר ,לאחסן מאגר מידע ,בכל דרך שהיא ,בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק שהוא מטופס הבחינה. מועד ב' סמסטר א' תשע"ד תאריך 28.02.2014 2 שאלה 1 נתונה המערכת הבאה המתוארת בקואורדינטות גליליות :לאורך ציר 𝑧𝑧 נמצאת התפלגות מטען אורכית 𝜆𝜆 .סביב ציר 𝑧𝑧 נמצאת בקליפה גלילית עבה ,מבודדת וטעונה בצפיפות מטען נפחית 𝜌𝜌 ,הנמצאת בין הרדיוסים 𝑟𝑟1ו.𝑟𝑟2 - מהי צפיפות המטען האורכית 𝜆𝜆′של הקליפה המבודדת העבה? רמז :חשבו את כמות המטען בקטע גלילי א. באורך 𝐿𝐿 וחלקו את התוצאה באורך הקטע. ב. מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב? כעת מחממים את הקליפה המבודדת הטעונה כך שהיא הופכת למוליכה .ענו על הסעיפים הבאים עבור מצב זה: ג. מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב? ד. רשמו את מיקומיהן וגדליהן של כל צפיפויות המטען המשטחיות במערכת. פתרון: א. בקטע גלילי באורך 𝐿𝐿 של הקליפה העבה יש מטען 𝑟𝑟2 ) 𝑄𝑄 = � 𝜌𝜌𝜌𝜌2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 𝑟𝑟1 כאשר 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝐿𝐿2הוא הנפח של קליפה גלילית אינפיניטסימלית .אז צפיפות המטען האורכית של הקליפה העבה היא ) 𝜆𝜆′ = 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 ב. מאחר שלמערכת סימטריה גלילית ,כוון השדה החשמלי הוא ̂𝑟𝑟 בכל מקום .כעת נראה מה גודל השדה בכל מקום. נשתמש בכך שבשל חוק גאוס והסימטריה הגלילית ,השדה ברדיוס 𝑟𝑟 תלוי רק במטענים שנמצאים ברדיוס קטן מ.𝑟𝑟 - לכן ,בתחום 0 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟1השדה הוא השדה של המטען הקוי: מועד ב' סמסטר א' תשע"ד תאריך 28.02.2014 3 𝜆𝜆 ̂𝑟𝑟 𝑟𝑟 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 = ) 𝐸𝐸�⃗ (0 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟1 בתחום , 𝑟𝑟1 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟2נבנה משטח גאוס גלילי בעל רדיוס 𝑟𝑟 ואורך 𝐿𝐿 .סך כל המטען בתוך המשטח הוא 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑄𝑄(𝑟𝑟) = 𝜆𝜆𝜆𝜆 + � 𝜌𝜌𝜌𝜌2 𝑟𝑟1 ) = 𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟 2 − 𝑟𝑟12 לפי חוק גאוס ,מטען זה שווה לשטף השדה החשמלי כפול ,𝜖𝜖0כלומר: לכן 𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟 2 − 𝑟𝑟12 ) = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜖𝜖0 ) 𝜆𝜆 + 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟 2 − 𝑟𝑟12 ̂𝑟𝑟 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜖𝜖0 = ) 𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟1 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟2 השדה בתחום 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟2הוא השדה של התפלגות מטעל גלילית בעלת צפיפות מטען אורכית כוללת ,𝜆𝜆 + 𝜆𝜆′כלומר ) 𝜆𝜆 + 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 ̂𝑟𝑟 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜖𝜖0 ג. = ) 𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟 > 𝑟𝑟2 השדה בתחום 𝑟𝑟1 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟2השתנה בעקבות הפיכת הקליפה העבה למוליכה ,והוא כעת .0 ניתן לראות שהשדה בתחום 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟1והשדה בתחום 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟2לא השתנו .זאת משום שכל משטח גאוס גלילי באזורים אלה מכיל בדיוק את אותה כמות מטען שהכיל לפני הפיכת הקליפה למוליכה. אחרי שהקליפה הטעונה הופכת למוליכה ,השדה בתוכה הוא .0לכן כל משטח גאוס שנמצא בה מכיל מטען כולל .0 ד. לכן ,על השפה הפנימית של הקליפה )ברדיוס (𝑟𝑟1ישנה התפלגות מטען אורכית 𝜆𝜆 , −כלומר התפלגות מטען משטחית 𝜎𝜎1 שהמטען שלה ליחידת אורך שווה והפוך למטען של התפלגות המטען האורכית שעל ציר 𝑧𝑧 .כלומר: 𝜆𝜆𝜎𝜎1 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = − 𝜆𝜆 𝜎𝜎1 = − 𝜋𝜋𝜋𝜋2 נשים לב כי בשעה שהתפלגות המטען האורכית שעל השפה הפנימית היא 𝜆𝜆 ,−סך כל התפלגות המטען האורכית של הקליפה העבה נשארה ) 𝜆𝜆′ = 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 אז בשל שימור המטען על הקליפה ,על השפה החיצונית של הקליפה )ברדיוס (𝑟𝑟2נמצאת התפלגות מטען אורכית 𝜆𝜆 𝜆𝜆′′ = 𝜆𝜆′ + 𝜆𝜆 = 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 ) + כדי לקבל את התפלגות המטען המשטחית על שפה זו ,נחלקת את התפלגות המטען האורכית בהיקף השפה: מועד ב' סמסטר א' תשע"ד תאריך 28.02.2014 4 𝜆𝜆 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 ) + = 𝜎𝜎2 𝜋𝜋𝜋𝜋2 שאלה 2 כפי שראיתם בתרגול ,השדה המגנטי בגובה 𝑧𝑧 על ציר הסימטריה של טבעת ברדיוס 𝑅𝑅 שבה עובר זרם 𝐼𝐼 הוא: µ R2 B=I 0 2 z 2 3/2 ) 2 (R + z מהו הזרם Iשל טבעת מטען אחידה ודקה בעלת רדיוס Rשמטענה הכולל הוא ,Qכאשר הטבעת מסתובבת א. בתדירות זוויתית ? ωמהו השדה המגנטי בגובה 𝑧𝑧 על ציר הסימטריה של הטבעת? מהו השדה המגנטי בגובה 𝑧𝑧 על ציר הסימטריה של דיסקה ברדיוס Rהטעונה בצפיפות מטען משטחית ב. אחידה ? σ ג. מהו מומנט הדיפול של הדיסקה? ד. הדיסקה נתונה בשדה מגנטי חיצוני אחיד , B = B0 xמהו מומנט הכוח τהפועל על הדיסקה? פתרון: כפי שראיתם בתרגול ،השדה המגנטי של טבעת ברדיוס Rעל ציר הסימטריה הוא: µ R2 B=I 0 2 z 2 ( R + z 2 )3/2 )א( מהו הזרם Iשל טבעת ברדיוס Rהטעונה במטען Qומסתובבת בתדירות זוויתית ωומהו השדה המגנטי על ציר הסימטריה של הטבעת? מטען Qעובר תוך זמן מחזור :T לאחר הצבה לנוסחה עבור שדה מגנטי: 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄 = 𝜋𝜋𝑇𝑇 2 = 𝐼𝐼 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝜇𝜇0 𝑅𝑅 2 ̂𝑧𝑧 2𝜋𝜋 2 (𝑅𝑅 2 + 𝑧𝑧 2 )3/2 = ⃗� 𝐵𝐵 )ב( מהו השדה המגנטי על ציר הסימטריה של דיסקה ברדיוס Rהטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ? σ נחלק את הדיסקה לטבעות בעלי רדיוס rמשתנה וברוחב drכל אחד .שטח של כול טבעת 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2ומטען 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 .𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 = 2לכן כל טבעת תורמת זרם מועד ב' סמסטר א' תשע"ד תאריך 28.02.2014 5 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑇𝑇 𝜋𝜋2 לאחר הצבה של dQ לכן כל טבעת תורמת שדה מגנטי ⃗� 𝐵𝐵𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜇𝜇0 𝑟𝑟 2 ̂𝑧𝑧𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 2 (𝑟𝑟 2 + 𝑧𝑧 2 )3/2 הסיכום על כל הטבעות נעשה ע"י אינטגרל על :r = ⃗� 𝐵𝐵𝑑𝑑 𝜇𝜇0 𝑟𝑟 2 𝜇𝜇0 𝑅𝑅 2 + 2𝑧𝑧 2 ̂𝑧𝑧𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 = 𝜎𝜎𝜎𝜎 � ̂𝑧𝑧 �𝑧𝑧− 2 2 (𝑟𝑟 2 + 𝑧𝑧 2 )3/2 2 (𝑅𝑅 2 + 𝑧𝑧 2 )1/2 )ג( מהו מומנט הדיפול של הדיסקה? 𝑅𝑅 � = ⃗� B 0 לפי הגדרה של מומנט הדיפול עבור טבעת עם זרם 𝑑𝑑𝑑𝑑: ̂𝑧𝑧 𝑑𝑑𝜇𝜇⃗ = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴⃗ = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 2 פה בוחרים כיוון של וקטור שטח לפי כיוון של הסיבוב של דיסקה )נגד כיוון שעון( בציר ̂𝑧𝑧 .לאחר סיכום של כל המומנטים של כל הטבעות והצבה של 𝑑𝑑𝑑𝑑: 𝑅𝑅 4 ̂𝑧𝑧 𝑅𝑅𝜋𝜋 𝜎𝜎𝜎𝜎 = 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 �⃗ = � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 2 𝑧𝑧̂ = � 𝜋𝜋𝑟𝑟 2 μ 4 0 )ד( הדיסקה נתונה בשדה מגנטי חיצוני אחיד , B = B0 xמהו מומנט הכח τהפועל על הדיסקה. מומנט כוח נתון ע"י הנוסחה : τ⃗ = �µ⃗ × �B⃗0 µולאחר שימוש בy� = z� × x� - לאחר הצבה של ⃗� 𝜋𝜋𝑅𝑅 4 τ⃗ = µ 𝜎𝜎𝜎𝜎 = �⃗ × �B⃗0 �𝑦𝑦 𝐵𝐵 4 0 אם הדיסקה מסתובבת נגד כיוון השעון ,המומנט כוח פועל בכיוון �.y אם הדיסקה מסתובבת בכיוון השעון ,המומנט כוח פועל בכיוון �.− y מועד ב' סמסטר א' תשע"ד תאריך 28.02.2014 6 שאלה 3 משרן בעל השראות עצמית 𝐿𝐿 מחובר לשני מוטות חצי אינסופיים ,חסרי התנגדות .מוט שלישי ,בעל אורך ,Hחסר התנגדות ,נוגע בקצותיו במוטות החצי אינסופיים .בזמן 𝑡𝑡 = 0המוט מתחיל להתרחק מהמשרן במהירות קבועה 𝑣𝑣 )ראו איור א'( .באזור המוט הנע פועל שדה מגנטי אחיד 𝐵𝐵0הניצב למישור המעגל )השדה נכנס לדף( .שדה זה אינו קיים באזור המשרן .הזניחו את התנגדות התיילים ואת השדה המגנטי שיוצר הזרם המושרה. א .מהו הכא"מ המושרה במעגל? ב .מהו הזרם במעגל כפונקציה של הזמן? )גודל וכיוון – ציינו את הכוון באופן ברור( מחליפים את המשרן בנגד שהתנגדותו 𝑅𝑅 )ראו איור ב'(. ג .מהו הזרם במעגל? )גודל וכיוון( מחזירים את המשרן למעגל כך שהוא מחובר בטור עם הנגד )ראו איור ג'(. ד .כתבו את משוואת המתחים של המעגל ומצאו את הזרם כפונקציה של הזמן. 𝑣𝑣 𝑣𝑣 איור ב' 𝑣𝑣 א מועד ב' סמסטר א' תשע"ד תאריך 28.02.2014 7 פתרון: א .נגדיר תחילה מערכת צירים :ציר 𝑥𝑥 יהיה כיוון התקדמות המוט וציר 𝑧𝑧 יוצא מכיוון הדף )ציר ה 𝑦𝑦 נבחר בהתאם( .כדי למצוא את הכא"מ המושרה ,נשתמש בחוק פרדיי 𝜕𝜕ΦB ε = �− � 𝜕𝜕𝜕𝜕 השדה המגנטי קבוע במרחב ,לכן ,בכל זמן נתון 𝑡𝑡 השטף המגנטי הוא מכפלת השדה המגנטי בשטח המעגל )𝑡𝑡(ΦB = B0 H∆x כאשר )𝑡𝑡(𝑥𝑥∆ הוא המרחק שעובר המוט כעבור זמן 𝑡𝑡 .נקבל 𝜕𝜕ΦB ε = �− 𝑣𝑣� = B0 H 𝜕𝜕𝜕𝜕 ב .נמצא תחילה את כיוון הזרם המושרה ע"י חוק לנץ :השטף של השדה המגנטי שעובר בשטח המעגל גדל עם הזמן מכיוון שהשטח של המעגל גדל עם הזמן .הזרם המושרה יקטין את השינוי השטף המגנטי ע"י יצירת שדה מגנטי מושרה בכיוון ההפוך לשדה המגנטי שנתון בבעיה .מכלל יד ימין נקבל שהזרם המושרה הוא נגד כיוון השעון. כדי למצוא את גודלו של הזרם ,נסתכל על משוואת המתחים של המעגל 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿 = 𝜀𝜀 ⇒ 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 מכיוון שאגף שמאל קבוע ,ניתן למצוא את הזרם ע"י אינטגרציה בזמן .נקבל 𝜀𝜀 𝑡𝑡 I(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 + 𝐿𝐿 את הקבוע Aנמצא מתנאי התחלה .נתון לנו שהמוט התחיל ממנוחה ,לכן 𝐼𝐼(𝑡𝑡 = 0) = 0וסה"כ מקבלים 𝜀𝜀 𝑣𝑣B0 H = 𝑡𝑡 = )𝑡𝑡(I 𝑡𝑡 𝐿𝐿 𝐿𝐿 ג. את גודל הזרם במעגל נמצא מחוק אוהם 𝑣𝑣𝜀𝜀 B0 H = = 𝐼𝐼 𝑅𝑅 𝑅𝑅 את כיוון הזרם נמצא כמו בסעיף קודם ע"י חוק לנץ :נגד כיוון השעון. יש בפנינו מעגל RLשמחובר למקור מתח שנתון ע"י הכא"מ המושרה שמצאנו בסעיף א' .נכתוב את הפרש המתחים ד. לאורך המעגל ונשווה לאפס. 𝑑𝑑𝑑𝑑 ε − IR − 𝐿𝐿 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 נמצא פתרון פרטי ופתרון לבעיה ההומוגנית .עבור פתרון פרטי ננחש קבוע ,𝐼𝐼𝑝𝑝 = 𝐼𝐼0נציב במשוואת המעגל ונקבל 𝜀𝜀 = ε − I0 R − 0 = 0 ⇒ 𝐼𝐼0 𝑅𝑅 הפתרון למשוואה ההומוגנית 𝑑𝑑𝐼𝐼ℎ 𝐿𝐿 −Ih R − =0 𝑑𝑑𝑑𝑑 הינו 𝐿𝐿−𝑡𝑡𝑡𝑡/ 𝑒𝑒𝐴𝐴 = Ih לסיכום ,עבור הזרם כפונקציה של הזמן 𝜀𝜀 𝐿𝐿𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼𝑝𝑝 + Ih = + 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑡𝑡𝑡𝑡/ 𝑅𝑅 את הקבוע נמצא מהתנאי שבזמן ההתחלתי אין זרם 𝑣𝑣B0 H 𝜀𝜀 𝜀𝜀 = � 𝐿𝐿𝐴𝐴 = − ⇒ 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = �1 − 𝑒𝑒 −𝑡𝑡𝑡𝑡/ � 𝐿𝐿�1 − 𝑒𝑒 −𝑅𝑅𝑅𝑅/ 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅
© Copyright 2024