חוברת פיזיקה 2 - אוניברסיטת תל אביב

‫פיזיקה ‪2‬‬
‫‪0509.1826‬‬
‫בהצלחה‪,‬‬
‫ועד הנדסה‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ה‬
‫תאריך ‪16.02.2015‬‬
‫אוניברסיטת תל אביב‬
‫הפקולטה להנדסה‬
‫ע"ש איבי ואלדר פליישמן‬
‫מספר סידורי‪:‬‬
‫מספר סטודנט‪:‬‬
‫פתרון מועד א בקורס פיזיקה ‪ 2‬לשנת ‪2015‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪.‬‬
‫יש לענות על כל השאלות‪.‬‬
‫לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי‪ ,‬ולכל סעיף אותו משקל בשאלה אלא אם מצוין אחרת‪.‬‬
‫יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא‬
‫תבדקנה‪.‬‬
‫ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות (‪ ,)A4‬כתובים משני הצדדים‪ .‬בנוסף‪ ,‬נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים‬
‫בקואורדינטות שונות מופיעות בסוף הבחינה‪.‬‬
‫אין להיעזר במחשבון או בכל מכשיר אלקטרוני אחר‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫שאלה‬
‫ציון‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ציון כולל ‪:‬‬
‫כל הזכויות שמורות ©‬
‫מבלי לפגוע באמור לעיל‪ ,‬אין להעתיק‪ ,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לשדר‪ ,‬לאחסן מאגר‬
‫מידע‪ ,‬בכל דרך שהיא‪ ,‬בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק‬
‫שהוא מטופס הבחינה‪.‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ה‬
‫תאריך ‪16.02.2015‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נתונים שלושה מטענים נקודתיים ‪ q1, q2, q3‬שמסותיהם ‪ .m1, m2, m3‬המטענים מקובעים כך שהמרחק בין כל‬
‫מטען למשנהו הוא‬
‫א)‬
‫ב)‬
‫‪ ,‬כבאיור‪ .‬נתון‪q2=q3=Q :‬‬
‫מהי האנרגיה האלקטרוסטטית שהושקעה לבניית המערכת?‬
‫כעת משחררים את מטען ‪ q1‬כך שהוא חופשי לנוע (שני המטענים האחרים נשארים מקובעים במקומם)‪.‬‬
‫מה יהיה מרחקו של המטען ‪ q1‬מהמטענים ‪ q2‬ו‪ q3 -‬כאשר הוא יגיע למהירות ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א) האנרגיה שהושקעה לבניית המערכת שווה לסכום האנרגיות הדרושות להבאת כל המטענים מאינסוף‬
‫למיקומיהם הנוכחיים‪ ,‬והיא שווה ל‪:‬‬
‫‪qq‬‬
‫‪q q 2kq1Q kQ2‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫‪k 1 3 k 2 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪k‬‬
‫‪qi q j‬‬
‫‪rij‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪U‬‬
‫‪all _ pairs‬‬
‫ב) כאשר משחררים את ‪ q1‬הוא יחל לנוע בקו ישר מ\אל המטענים ‪ q2‬ו ‪( q3‬הודות לכח הקולומבי)‪ .‬היות ו‬
‫‪ ,q2=q3‬מרחקו של ‪ q1‬משני המטענים תמיד יהיה זהה‪ .‬נסמן את מרחקו של ‪ q1‬מהמטענים כשהוא‬
‫הגיע למהירות ‪ V0‬באות ‪ .d‬האנרגיה של המערכת תהיה קטנה יותר‪ ,‬ותהיה שווה ל‪:‬‬
‫‪qq‬‬
‫‪qq‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫‪2kq1Q kQ 2‬‬
‫‪k 1 3 k 2 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪. U'k‬‬
‫משימור אנרגיה‪ ,‬הפרש האנרגיה הפך לאנרגיה קינטית של ‪ q1‬לכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mV‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 0  U  U '  2kq1Q ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a d ‬‬
‫‪4kq1Qa‬‬
‫‪d‬‬
‫נעביר אגפים ונקבל את ‪:d‬‬
‫‪4kq1Q  mV0 2 a‬‬
‫‪1‬‬
‫או‪:‬‬
‫‪ m V 2a ‬‬
‫‪d  a 1  1 0 ‬‬
‫‪4kq1Q ‬‬
‫‪‬‬
‫כדאי לבדוק ולהיווכח שהיחידות מסתדרות‪.‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ה‬
‫תאריך ‪16.02.2015‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫העשוי מחומר מבודד וטעון בצפיפות מטען אחידה‬
‫נתון כדור ברדיוס‬
‫‪ ,‬אשר בו אין כל חומר (ראו איור)‪.‬‬
‫‪ .‬במרכז הכדור ישנו חלל ברדיוס‬
‫א) מהו סך כל המטען בכדור?‬
‫ב) באמצעות חוק גאוס‪ ,‬חשבו את וקטור השדה החשמלי בכל מקום במרחב‪.‬‬
‫ג) מחממים את הכדור כך שהחומר המבודד הופך למוליך‪ .‬מהו כעת וקטור השדה בכל מקום‬
‫במרחב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ .1‬המטען הוא המטען של כדור מלא בעל רדיוס‬
‫כדור ברדיוס ‪:‬‬
‫אשר טעוו בצפיפות מטען אחידה‬
‫‪ .2‬נמצא את השדה בכל מקום ע"י בניית משטח גאוס כדורי ברדיוס‬
‫‪ .a‬עבור‬
‫‪ ,‬המשטח מכיל את כל המטען‬
‫‪ .b‬עבור‬
‫‪ ,‬פחות המטען של‬
‫‪:‬‬
‫‪ ,‬ולכן השדה הוא זה של מטען נקודתי בגודל‬
‫‪ ,‬המשטח מכיל מטען‬
‫ולכן השדה הוא‬
‫‪ .c‬עבור‬
‫‪ ,‬המשטח אינו מכיל מטען‪ ,‬ולכן‬
‫‪ .3‬אם הכדור הופך למוליך‪ ,‬כל המטען מתפשט על‪-‬פני השפה החיצונית‪ ,‬ברדיוס‬
‫‪ .a‬עבור‬
‫עבור‬
‫השדה אינו משתנה ביחס לסעיף הקודם‪:‬‬
‫‪ ,‬משטח גאוס אינו מכיל מטען‪ ,‬ולכן‬
‫‪ .‬אז השדה הוא‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ה‬
‫תאריך ‪16.02.2015‬‬
‫‪4‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫גליל אינסופי בעל רדיוס ‪ R‬נושא זרם בצפיפות מרחבית‬
‫א) מהו וקטור השדה המגנטי בכל המרחב אם נתון ש‪-‬‬
‫בתחום‬
‫בלתי תלוי בזמן?‬
‫‪.‬‬
‫משתנה לפי המשוואה‬
‫ב) כעת נתון כי גודלו של‬
‫מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪R‬‬
‫א) ניתן לחשוב על מקור הזרם כאוסף של סלילים כשבכל סליל‬
‫זרם שונה‪ .‬שדה של סליל מתאפס מחוצה לו ולכן ברור שהשדה‬
‫המגנטי יתאפס בתחום ‪ .r>R‬בתוך סליל השדה המגנטי הינו‬
‫בכיוון ‪ z‬ולכן השדה הכולל יהיה שונה מאפס עבור ‪r<R‬‬
‫‪y‬‬
‫וכיוונו בכיוון ‪ .z‬כדי למצוא את השדה ב ‪ r<R‬נבנה‬
‫לולאת אמפר מלבנית (כך שמישור הלולאה ניצב לכיוון הזרם‪,‬‬
‫ראה ציור) שצלע אחת שלה נמצאת מחוץ למקור והצלע‬
‫המקבילה לה בתוך מקור הזרם‪ .‬נשתמש בחוק אמפר‪.‬‬
‫התרומה היחידה תהיה של הצלע השמאלית ונקבל‪:‬‬
‫ובסך הכל‪:‬‬
‫ב) כעת הזרם משתנה בזמן ולכן יווצר שדה מגנטי משתנה בזמן שאליו חייב להתלוות שדה חשמלי‪.‬‬
‫את השדה המגנטי ניתן לחשב בדיוק באותו אופן עם ההחלפה של ‪ j0‬ב )‪ .j(t‬מכיוון שהשדה המגנטי‬
‫לינארי בזמן‪ ,‬ניתן לראות ממשוואות מקסוול שהשדה החשמלי אינו תלוי בזמן ולכן אין זרם העתקה‬
‫(והשימוש בחוק אמפר‪ ,‬ללא זרם ההעתקה‪ ,‬גם למקרה הזה מוצדק)‪ .‬את השדה החשמלי נמצא מחוק‬
‫פראדיי‪ .‬מסימטריה השדה איננו יכול להיות בכיוון ‪ z‬וכמובן שלא בכיוון ‪( r‬כי אז היה לנו מטען חשמלי‬
‫בבעיה לפי חוק גאוס) ולכן השדה החשמלי בכיוון ‪ ‬בלבד ומסימטריה הוא תלוי ב ‪ r‬בלבד‪ .‬לכן נבנה‬
‫לולאת אמפר עגולה במישור ‪( z=0‬לדוגמא) ונקבל שהשטף של השדה המגנטי הינו‪:‬‬
‫עבור‬
‫ועבור‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ה‬
‫תאריך ‪16.02.2015‬‬
‫לפי חוק פארדיי‪:‬‬
‫ולכן השדה החשמלי עבור ‪ r<R‬יהיה‪:‬‬
‫ובצורה דומה‪:‬‬
‫ולכן השדה החשמלי עבור ‪ r>R‬יהיה‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ה‬
‫תאריך ‪16.02.2015‬‬
‫‪6‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫שני חוטים מוליכים ארוכים ודקים מונחים במקביל לציר ה‪ , -‬כך שהמרחק ביניהם הוא‬
‫בטור עם נגד בעל התנגדות‬
‫השמאלי שלהם‪ ,‬החוטים מחוברים לסוללה בעלת כא"מ‬
‫מקובעת לקרקע כך שאינה יכולה לזוז‪ ,‬ונמצאת כולה בשדה מגנטי אחיד‬
‫(ראו איור)‪ .‬בקצה‬
‫‪ .‬המערכת‬
‫(נכנס לדף)‪.‬‬
‫על החוטים ובניצב להם (במקביל לציר ה‪ , -‬כפי שנראה באיור) מונח מוט מוליך הסוגר מעגל חשמלי עם‬
‫הסוללה דרך החוטים‪.‬‬
‫א) בזמן‬
‫מחזיקים את המוט במקום כך שאינו יכול לזוז‪ .‬מהו הזרם‬
‫שזורם במוט?‬
‫(כלומר לצד שמאל באיור)‪,‬‬
‫מניעים את המוט במהירות קבועה‬
‫ב) נתון כי בזמן‬
‫תוך שהוא ממשיך לקיים מגע חשמלי עם החוטים‪ .‬מהו הכא"מ המושרה במעגל? ציינו אם הכא"מ‬
‫הוא באותו כיוון כמו‬
‫או בכיוון הפוך מ‪. -‬‬
‫ג) בזמן‬
‫‪ ,‬מהו הזרם העובר במוט?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ .1‬לפי חוק אוהם‪ ,‬הזרם הוא‬
‫‪ .2‬נציין את מרחק המוט מהסוללה ב‪ . -‬ניקח את כיוון הזרם (עם כיוון השעון בציור) להיות הכיוון החיובי‪.‬‬
‫אז וקטור השטח של המעגל הוא‬
‫מכאן‪ ,‬שטף השדה המגנטי דרך המעגל הוא‬
‫וקצב שינוי השטף הוא‬
‫לפי חוק פרדיי‪ ,‬הכא"מ הוא‬
‫ולפי הסימן (וגם באמצעות חוק לנץ) רואים כי כיוונו הוא הכיוון של ‪.‬‬
‫‪ .3‬הכא"מים מתחברים עם אותם סימנים‪ ,‬כך שכעת הזרם הוא‪ ,‬לפי החוק השני של קירכהוף וחוק אוהם‪,‬‬
‫בחינה בקורס פיסיקה ‪2‬‬
‫סמסטר ב' תשע"ד מועד א' ‪.07..72.40‬‬
‫מרצים‪ :‬פרופ' לב ויידמן ‪ ,‬פרופ' אלכסנדר פלבסקי‬
‫מתרגלים‪ :‬אורן סלון‪ ,‬עדי אשכנזי‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪.‬‬
‫יש לענות על שלוש שאלות בלבד מתוך ארבע שאלות‪.‬‬
‫הניקוד לכל שאלה הוא ‪ 63‬נקודות‪.‬‬
‫יש לכתוב בכתב יד ברור ונקי ולהסביר את כל שלבי החישוב‪.‬‬
‫ניתן להעזר בשני דפי נוסחאות )‪ (A4‬כתובים משני צידיהם‪.‬‬
‫אם לא פתרתם סעיף כלשהו‪ ,‬ניתן להניח שתוצאות הסעיף ידועות ולגשת לסעיף הבא‪.‬‬
‫לא ניתן להעזר במחשבון או במכשיק אלקטרוני אחר‪.‬‬
‫יש לכתוב על דפי התשובות המחולקים עם הבחינה בלבד‪ .‬המחברת תשמש אך ורק כטיוטה‬
‫ולא תבדק‪.‬‬
‫יש לסמן במסגרת את התשובות הסופיות‬
‫בהצלחה!‬
‫‪ .1‬כדור מבודד מלא ברדיוס ‪ ,R‬טעון בצפיפות מטען אחידה ‪ ‬ונע ללא סיבוב במהירות‬
‫על ציר ‪x‬‬
‫כמתואר בציור‪ .‬על מישור הניצב לכיוון התנועה של הכדור נתונה טבעת דמיונית בעלת רדיוס ‪ ,‬כך ש‪:‬‬
‫‪ .‬מרכז הטבעת נמצא בראשית הצירים‪ .‬הנקודה ‪ A‬נמצאת בנקודת החיתוך של הטבעת עם ציר‬
‫‪ y‬בזמן ‪ , t  0‬מרכז הכדור נמצא בראשית הצירים‪ .‬כל סעיפי השאלה מתייחסים לזמן זה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪v‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מהו השדה החשמלי בכל המרחב ?‬
‫מהו הזרם דרך הטבעת ?‬
‫מהו הזרם ההעתקה דרך הטבעת ?‬
‫מהו השדה המגנטי בנקודה ‪? A‬‬
‫פתרון ‪:‬‬
‫א‪ .‬נמצא את השדה של הכדור המלא ע"י חוק גאוס‪:‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫והמטען‪:‬‬
‫ולכן השדה בכל המרחב הוא‪:‬‬
‫ב‪ .‬הזרם שעובר דרך שטח החתך של הטבעת‪:‬‬
‫ג‪ .‬הביטוי שמצאנו ב א' הוא ביחס למרכז הכדור‪ .‬כיוון שמיקום מרכז הכדור כפונקציה של הזמן הוא‬
‫‪ ,‬השדה החשמלי בתוך הכדור כתלות בזמן ובמיקום‪:‬‬
‫לכן‪ ,‬צפיפות זרם העתקה‪:‬‬
‫זרם העתקה דרך הטבעת‪:‬‬
‫ד‪ .‬את השדה המגנטי אפשר למצוא ע"י טרנספורמציה של השדה החשמלי‪:‬‬
‫מקבלים‪:‬‬
‫בנקודה ‪ A‬זה יוצא‪:‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן לראות שכל התוצאות מתאימות לחוק אמפר המתוקן‪:‬‬
‫חוק אמפר המתוקן‪:‬‬
‫אם עושים אינטגרל על הטבעת מקבלים‪:‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪ .2‬מעל מישור מוליך מוארק נמצא מטען דיפול חשמלי ‪ p‬ומעליו מטען נקודתי‬
‫‪ .‬המישור המוארק הוא‬
‫מישור ‪ .XY‬הדיפול נמצא בנקודה )‪ (0, 0, b‬והמטען נמצא בנקודה )‪ . (0, 0, a‬וקטור הדיפול החשמלי הוא‬
‫)‪. p  (0,0, p‬‬
‫א‪ .‬מהו הכח הפועל על המטען ?‬
‫ב‪ .‬מהו המטען הכולל על מישור ‪? xy‬‬
‫ג‪ .‬מהי העבודה הנדרשת על מנת להעביר את המטען‬
‫ל‪:‬‬
‫?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪-‬‬
‫א‪ .‬נפתור בשיטת מטעני הדמות ‪ -‬מטען דמות‬
‫לגבי הדיפול נזכור שדיפול מורכב משני מטענים שווים בגודלם והפוכים בסימנם‪ ,‬לכן כאשר נייצר‬
‫‪.‬‬
‫מטען דמות לכל אחד ממטעני הדיפול נקבל דיפול דמות (בכיוון הדיפול האמיתי) ב‪-‬‬
‫הכח שיפעל העל המטען‬
‫יהיה סכום הכוחות מהדיפול‪ ,‬דיפול הדמות ומטען הדמות‪.‬‬
‫השדה של דיפול על צירו במרחק רב הוא‪:‬‬
‫השדה בנקודה ‪:A‬‬
‫ולכן הכח‪:‬‬
‫ב‪ .‬המטען הכולל על המישור שווה לסה"כ מטעני הדמות‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫אפשר להראות זאת באופן הבא‪:‬‬
‫במערכת קיימים דיפול אמיתי‪ ,‬דיפול דמות‪ ,‬מטען אמיתי ומטען הדמות‪ .‬במרחק מספיק גדול ניתן‬
‫להתייחס אל שני המטענים האחרונים כאל דיפול‪ ,‬ולכן סך הכל קיימים שלושה דיפולים‪.‬‬
‫שדה של דיפול‪:‬‬
‫ולכן השדה הכולל יהיה פורפורציוני לגודל זה‪.‬‬
‫אם נקיף את המערכת במשטח גאוס ברדיוס אינסופי‪:‬‬
‫אז בחצי המרחב בו אין שדה נקבל‪:‬‬
‫ובחצי המרחב בו יש שדה נקבל‪:‬‬
‫השטח פורפורציוני ל‪:‬‬
‫והשדה ל‪:‬‬
‫נצפה שתוצאת האינטגרל תהיה פורפורציונית ל‪:‬‬
‫ובמרחק מספיק גדול תשאף לאפס‪.‬‬
‫היות ומטען בדיפול הוא אפס‪ ,‬סה"כ המטען במערכת שייך למטען הבודד‪ ,‬ולמטען על המישור‪ .‬הסכום‬
‫שלהם שווה לאפס ולכן המטען על המישור שווה ל‪-‬‬
‫ניתן גם לפתור ע"י מציאת צפיפות המטען על המישור מקפיצת השדה החשמלי וביצוע אינטגרל‪.‬‬
‫ג‪ .‬ישנן שתי תרומות לעבודה‪ ,‬האחת מהדיפולים הנשארים קבועים במקום והשניה ממטען הדמות שנע‬
‫יחד עם המטען ‪.‬‬
‫הפוטנציאל במרחק ‪ z‬מדיפול בודד‪:‬‬
‫תרומת הדיפולים לעבודה‪:‬‬
‫בעת תנועת המטען‪ ,‬גם מטען הדמות זז‪ ,‬ולכן לא ניתן לחשב את תרומת המטענים לעבודה על ידי‬
‫הפוטנציאל‪.‬‬
‫נחשב אותה על ידי אינטגרציה על הכח החשמלי‪:‬‬
‫סך הכל‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ .6‬נתונים שני נגדים העשויים מחומר אחיד בעלי התנגדות‬
‫‪2‬‬
‫רוחב ‪ a‬נמצאים במרחק ‪ d‬זה מזה כך ש ‪ . d  a  L‬בצד אחד מחוברים הפסים למקור מתח ‪,‬‬
‫ובצד השני לנגד נוסף בעל התנגדות ‪.‬‬
‫כל סעיפי השאלה מתייחסים לזמן רב לאחר חיבור המערכת למקור המתח‪ ,‬בו הזרם אחיד וקבוע בזמן‪.‬‬
‫ניתן להזניח אפקטי שפה‪.‬‬
‫‪ .‬הנגדים בצורת פסים מוליכים באורך ‪L‬‬
‫א‪ .‬מה גודלה של צפיפות הזרם המשטחית ‪ K‬בפסים ?‬
‫ב‪ .‬מה ההספק שמתבזבז על הנגד‬
‫?‬
‫‪L‬‬
‫ג‪ .‬מהו השדה החשמלי בין הפסים במרחק‬
‫‪2‬‬
‫משני הצדדים?‬
‫‪L‬‬
‫ד‪ .‬מהו השדה המגנטי בין הפסים במרחק‬
‫‪2‬‬
‫משני הצדדים?‬
‫‪L‬‬
‫ה‪ .‬מהו שטף האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי העובר בשטח חתך ‪ ad‬בין הפסים במרחק‬
‫‪2‬‬
‫הצדדים?‬
‫ו‪ .‬איפה האנרגיה של הסעיף הקודם הופכת לחום?‬
‫משני‬
‫פתרון ‪:‬‬
‫א‪ .‬ההתנגדות הכוללת במעגל‪:‬‬
‫הזרם במעגל‪:‬‬
‫צפיפות הזרם המשטחית על הפסים היא‪:‬‬
‫ב‪ .‬ההספק המתבזבז על הנגד‪:‬‬
‫ג‪ .‬נסמן בתור‬
‫פוטנציאל חשמלי על הדק החיובי של הסוללה המחובר לפס העליון ובתור‬
‫פוטנציאל חשמלי על הדק השלילי של הסוללה המחובר לפס התחתון‪.‬‬
‫הפוטנציאל באמצע של פס העליון‬
‫‪:‬‬
‫הפוטנציאל באמצע של פס התחתון‬
‫‪L‬‬
‫השדה החשמלי במרחק‬
‫‪2‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ x ‬בין הפסים‪:‬‬
‫ד‪ .‬השדה המגנטי בין הפסים מזרם משטחי עליון‪:‬‬
‫שדה המגנטי בין הפסים מזרם משטחי תחתון‬
‫באותו כיוון‪ ,‬דהיינו‪:‬‬
‫לכן שדה מגנטי בין הפסים‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫ה‪ .‬וקטור פוינטינג במרחק‬
‫‪2‬‬
‫צפיפות זרם משטחי‪:‬‬
‫‪ x ‬בין הפסים‪:‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫שטף האנרגיה במרחק‬
‫‪2‬‬
‫‪ x ‬בין הפסים‪:‬‬
‫ו‪ .‬גודל זה שווה להספק המתבזבז על הנגד ועל שני החצאים הימניים של הלוחות‪.‬‬
‫נראה זאת‪:‬‬
‫‪ .4‬נתונות שתי קליפות כדוריות מוליכות עם מרכז משותף‪ .‬האחת בעלת רדיוס ‪ R‬והשנייה בעלת רדיוס ‪.2R‬‬
‫א‪ .‬על הקליפה הפנימית נמצא מטען ‪ Q‬והקליפה החיצונית מוארקת‪ .‬מהו המטען על קליפה‬
‫המוארקת?‬
‫‪Q‬‬
‫א‬
‫ב‪ .‬כעת על הקליפה החיצונית נמצא מטען ‪ Q‬והקליפה הפנימית מוארקת‪ .‬מהו המטען על הקליפה‬
‫המוארקת?‬
‫‪Q‬‬
‫ב‬
‫ג‪ .‬מה האנרגיה האלקטרוסטטיות של המערכת בשני המקרים?‬
‫ד‪ .‬במקרה א בלבד מכניסים חומר דיאלקטרי עם קבוע ‪   2‬בין הקליפות‪ .‬מה המטען על הקליפה‬
‫המוארקת ומה האנרגיה האלקטרוסטטית של המערכת כעת?‬
‫א‪ .‬השדה מחוץ לקליפה הוא ‪ ,0‬על פי חוק גאוס‪:‬‬
‫עבור מעטפת גאוס כדורית עם רדיוס‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫ב‪ .‬נניח מטען‬
‫על הקליפה הפנימית‪.‬‬
‫הפוטנציאל על הקליפה הפנימית‪:‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫ג‪ .‬במקרה הראשון‪:‬‬
‫השדה החשמלי הוא‪:‬‬
‫האנרגיה האלקטורסטטית‪:‬‬
‫לאחר האינטגרל‪:‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫במקרה השני‪:‬‬
‫בין הרדיוסים‪:‬‬
‫ברדיוס גדול מ ‪:2R‬‬
‫סה"כ השדה החשמלי הוא‪:‬‬
‫האנרגיה‪:‬‬
‫זה יוצא‪:‬‬
‫סה"כ‪:‬‬
‫‪ ,‬המטען בתוכה‪:‬‬
‫ד‪ .‬במקרה הראשון לאחר הוספת חומר דיאלקטרי‪ ,‬השדה מחוץ למערכת עדיין שווה לאפס ולכן כל‬
‫המטען במערכת שווה לאפס‪.‬‬
‫היות וסך המטען המושרה שווה לאפס נסיק‪:‬‬
‫המטען החופשי לא השתנה והקיבול גדל בגלל המצאות החומר הדיאלקטרי‪.‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫ניתן גם לחשב על פי השדה החשמלי‪:‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫אוניברסיטת תל אביב‬
‫הפקולטה להנדסה‬
‫ע"ש איבי ואלדר פליישמן‬
‫מספר סידורי‪:‬‬
‫מספר סטודנט‪:‬‬
‫בחינה בקורס‪ :‬פיזיקה ‪2‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪1‬‬
‫יש לענות על כל השאלות‪1‬‬
‫לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי‪ ,‬ולכל סעיף אותו משקל בשאלה‪1‬‬
‫יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא‬
‫תבדקנה‪1‬‬
‫ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות (‪ ,)A2‬כתובים משני הצדדים‪ 1‬בנוסף‪ ,‬נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים‬
‫בקואורדינטות שונות מופיעות בסוף הבחינה‪1‬‬
‫ניתן (אך אין צורך) להיעזר במחשבון‪ 1‬אין להיעזר בשום מכשיר אלקטרוני שאינו מחשבון‪1‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫שאלה‬
‫ציון‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫ציון כולל ‪:‬‬
‫כל הזכויות שמורות ©‬
‫מבלי לפגוע באמור לעיל‪ ,‬אין להעתיק‪ ,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לשדר‪ ,‬לאחסן מאגר‬
‫מידע‪ ,‬בכל דרך שהיא‪ ,‬בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק‬
‫שהוא מטופס הבחינה‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪ ,‬המתוארת בקואורדינטות כדוריות‪ :‬בראשית הצירים נמצא מטען נקודתי ‪ 1q‬בתחום הרדיאלי‬
‫) ישנה קליפה‬
‫(כאשר‬
‫ישנה קליפה כדורית עבה‪ ,‬מוליכה ובלתי טעונה‪ 1‬ברדיוס‬
‫כדורית דקה‪ ,‬מבודדת וטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪1‬‬
‫א‪1‬‬
‫מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב?‬
‫ב‪1‬‬
‫מהי פונקציית הפוטנציאל בכל המרחב? (קחו את הפוטנציאל להיות ‪ .‬ב‪-‬‬
‫ג‪1‬‬
‫רשמו את מיקומיהן וגדליהן של כל צפיפויות המטען המשטחיות במערכת‪ ,‬פרט לזו שב‪-‬‬
‫ד‪1‬‬
‫מזיזים את המטען הנקודתי למיקום )‬
‫‪)1‬‬
‫(‪ 1‬בכמה משתנה הפוטנציאל בנקודה )‪. .‬‬
‫‪1‬‬
‫(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪1‬‬
‫מקום‪:‬‬
‫מאחר שלמערכת סימטריה כדורית‪ ,‬כוון השדה החשמלי הוא ̂ בכל מקום‪ 1‬כעת נראה מה גודל השדה בכל‬
‫נשתנמש בכך שבשל חוק גאוס והסימטריה הכדורית‪ ,‬השדה ברדיוס‬
‫או שווה ל‪1 -‬‬
‫לכן‪ ,‬בתחום‬
‫תלוי רק במטענים שנמצאים ברדיוס קטן‬
‫השדה הוא השדה של המטען הנקודתי‪:‬‬
‫⃗‬
‫̂‬
‫בתחום‬
‫נמצא חומר מוליך‪ ,‬ולכן השדה בתחום זה הוא ‪:.‬‬
‫⃗‬
‫עבור‬
‫‪ ,‬השדה הוא שוב כשל מטען נקודתי ‪:‬‬
‫⃗‬
‫̂‬
‫עבור‬
‫‪ ,‬השדה הוא של מטען נקודתי‬
‫‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫⃗‬
‫̂‬
‫את הפוטנציאל נקבל ע"י אינטגרציה על פני השדה מאינסוף עד הראשית‪ ,‬כך שהפוטנציאל הוא ‪ .‬באינסוף‪,‬‬
‫ב‪1‬‬
‫ובגבולות בין התחומים השונים נקפיד על רציפות הפוטנציאל‪:‬‬
‫בתחום‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫עבור‬
‫)‬
‫(‬
‫(כאשר האיבר הראשון בשורה הראשונה נובע מרציפות הפוטנציאל ב‪-‬‬
‫נמצא חומר מוליך‪ ,‬ולכן הפוטנציאל הוא זה של‬
‫בתחום‬
‫)‬
‫עבור‬
‫)‪1‬‬
‫‪:‬‬
‫(‬
‫‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫מאחר שכל משטח גאוס ששפתו בתוך הקליפה המוליכה מכיל מטען כולל ‪ ,.‬אז על השפה הפנימית של‬
‫ג‪1‬‬
‫‪ ,‬כלומר‪ ,‬צפיפות מטען משטחית אחידה (בשל הסימטריה‬
‫הקליפה המוליכה (ברדיוס ) יהיה מטען כולל‬
‫הכדורית) בגודל‬
‫מאחר שהקליפה המוליכה ניטרלית‪ ,‬על שפתה החיצונית (ברדיוס‬
‫משטחית אחידה בגודל‬
‫ניתן לקבל פתרון זה גם מהקפיצה בשדה‪1‬‬
‫) יהיה מטען כולל‬
‫‪ ,‬כלומר‪ ,‬צפיפות מטען‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫ד‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫בניקוד שאלה זו הושם דגש חזק על נימוק מלא‪ 1‬מרכיבי התשובה הנדרשים לניקוד מלא הם‪:‬‬
‫מוליכה‪ ,‬דהיינו שווה‪-‬פוטנציאלית בעלת סימטריה כדורית והמטענים מחוץ‬
‫מאחר שהקליפה בתחום‬
‫לקליפה מקיימים סימטריה כדורית ‪,‬משטחים שווה‪-‬פוטנציאליים חייבים לקיים סימטריה כדורית בתחום‬
‫ניצבים לשפת הקליפה ומקיימים סימטריה כדורית‪1‬‬
‫‪ .‬לכן קווי השדה מחוצה לה‪ ,‬ב‪-‬‬
‫נמצא שהוא מכיל את אותו מטען כמו בסעיפים הקודמים‪ 1‬לכן השדה‬
‫אם נבנה משטח גאוס כדורי בתחום‬
‫אינו משתנה ‪,‬כך שגם הפוטנציאל אינו משתנה בתחום זה‪.‬‬
‫בתחום‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נמצא משטח אינסופי דק‪ ,‬הטעון בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪ 1‬המשטח נע במהירות ̂‬
‫במישור‬
‫כאשר קבוע‪1‬‬
‫בגובה ‪ h‬מעל המשטח‪ ,‬במישור‬
‫כפונקציה של הזמן‪:‬‬
‫‪ ,‬נמצאת לולאה ריבועית נייחת בעלת צלע‬
‫(ראו איור)‪ 1‬ענו על כל הסעיפים‬
‫א‪1‬‬
‫מהי צפיפות הזרם הקווית הנובעת מתנועת המשטח?‬
‫ב‪1‬‬
‫מהו השדה המגנטי בכל המרחב?‬
‫ג‪1‬‬
‫מהו שטף השדה המגנטי דרך הלולאה?‬
‫ד‪1‬‬
‫נתון שלמסגרת התנגדות ‪ 1‬מהו גודל הזרם במסגרת ומהו כוונו (ציירו את הכוון לפי האיור)?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫(א) נתבונן בקטע על המשטח בעל רוחב (בכוון ) ואורך‬
‫גזירה לפי הזמן נותנת את הזרם החוצה את חזית הקטע‪:‬‬
‫ליחידם אורך בניצב לתנועת המטענים‪ ,‬כלומר‬
‫‪ .‬בקטע זה ישנו מטען‬
‫‪ .‬צפיפות הזרם הקווית היא הזרם‬
‫‪.‬‬
‫(ב) מכלל היד הימנית של חוק ביו‪-‬סבר נובע כי שהשדה המגנטי יהיה בכיוון ‪ -y‬בצד העליון של הלוח‬
‫ובכיוון ‪ y‬בצד התחתון של הלוח‪ ,‬ומאינסופיות המשטח נובע שהשדה לא יכול להיות תלוי בקוארדינטות‬
‫‪.x,y‬‬
‫‪5‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫לכן‪ ,‬נבנה לולאת אמפר בצורת מלבן שצלעותיה מקבילות לצירים ‪ z‬ו ‪ y‬והממוקמת באופן סימטרי סביב‬
‫הלוח‪ ,‬גובהה ‪ 2z‬ואורכה ‪ L‬כבאיור למטה‪.‬‬
‫‪ B  dl  2LB‬‬
‫ממשפט אמפר נקבל (לתקן פקטור ‪:)2‬‬
‫‪ 0 I in  0 L  0 vL‬‬
‫‪ v‬‬
‫‪ v‬‬
‫ולכן‬
‫‪ B  0‬נוסיף את הכיוונים ונקבל‪B  0 ( yˆ )  sign( z ) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫()‪ sign(z‬היא פונקציה ששווה ל ‪ +1‬אם ‪ z‬חיובי ו ‪ -1‬אם ‪ z‬שלילי(‪.‬‬
‫‪0 va 2‬‬
‫‪  B   B  dS  BS  Ba 2 ‬כאשר המעבר הראשון התאפשר משום שהשדה מאונך לפני‬
‫(ג)‬
‫‪2‬‬
‫הלולאה הריבועית (לא להתבלבל עם לולאת אמפר מהסעיף הקודם!) ואחיד‪.‬‬
‫(ד) נקבל את גודל הכא"מ המושרה בלולאה מתוך משוואת פרדיי‪:‬‬
‫‪d  B d  0v ta 2  0v a 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 v  a 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪I‬‬
‫ולפי חוק אוהם הזרם יהיה‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪ .‬לכן הזרם המושרה צריך ליצור שדה מגנטי‬
‫את הכיוון נקבע לפי חוק לנץ‪ :‬השטף גדל והשדה בכיוון‬
‫בכיוון ‪ .+y‬לפי כלל היד הימנית‪ ,‬זרם כזה הוא עם כיוון השעון (כבאיור)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫קבל שקיבולו‬
‫מחובר לשני מוטות חצי‪-‬אינסופיים וחסרי התנגדות‪ 1‬מוט שלישי‪ ,‬בעל אורך‬
‫נוגע בקצותיו במוטות החצי אינסופיים ומתרחק מהקבל במהירות קבועה‬
‫שדה מגנטי קבוע‬
‫וחסר התנגדות‪,‬‬
‫(ראו איור א')‪ 1‬באזור המוט הנע פועל‬
‫הניצב למישור המעגל (השדה נכנס לדף)‪ 1‬שדה זה אינו קיים באזור הקבל‪ 1‬הזניחו את‬
‫התנגדות התילים ואת השדה המגנטי שיוצר הזרם המושרה‪1‬‬
‫א‪ 1‬מהו הכא"מ המושרה במעגל?‬
‫ב‪ 1‬מהו המטען על הקבל?‬
‫מחליפים את הקבל בנגד שהתנגדותו‬
‫(ראו איור ב')‪1‬‬
‫ג‪ 1‬מהו הזרם במעגל? (גודל וכיוון – ציינו את הכיוון באופן ברור)‬
‫מחזירים את הקבל למעגל‪ ,‬כך שהוא מחובר בטור עם הנגד (ראו איור ג')‪1‬‬
‫ד‪ 1‬כתבו את משוואת המתחים של המעגל ומצאו את הזרם כפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫של הזמן‪ ,‬כאשר נתון שהקבל אינו טעון בזמן‬
‫××××××××‬
‫𝑣 ××××××××‬
‫××××××××‬
‫איור א'‬
‫××××××××‬
‫××××××××‬
‫××××××××‬
‫איור ב'‬
‫××××××××‬
‫××××××××‬
‫××××××××‬
‫איור ג'‬
‫‪7‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ 1‬נגדיר תחילה מערכת צירים‪ :‬ציר יהיה כיוון התקדמות המוט וציר יוצא מכיוון הדף (ציר‬
‫בהתאם)‪ 1‬כדי למצוא את הכא"מ המושרה‪ ,‬נשתמש בחוק פרדיי‪:‬‬
‫|‬
‫|‬
‫הוא כלפי מעלה‪,‬‬
‫‪ε‬‬
‫השדה המגנטי אחיד‪ 1‬לכן‪ ,‬בכל זמן נתון ‪ ,‬השטף המגנטי הוא מכפלת השדה המגנטי בשטח המעגל‬
‫כאשר‬
‫הוא המרחק שעובר המוט תוך זמן ‪ 1‬נקבל‬
‫|‬
‫‪ ,‬כאשר‬
‫ב‪1‬‬
‫ההגדרה של קיבול היא‬
‫ג‪1‬‬
‫את גודל הזרם במעגל נמצא מחוק אוהם‬
‫|‬
‫‪ε‬‬
‫הוא הפרש המתחים בין לוחות הקבל‪ 1‬בשאלה שלנו‬
‫את כיוון הזרם נמצא ע"י חוק לנץ‪ :‬השטף של השדה המגנטי שעובר בשטח המעגל גדל עם הזמן מכיוון‬
‫שהשטח של המעגל גדל עם הזמן‪ 1‬הזרם המושרה יקטין את השינוי השטף המגנטי ע"י יצירת שדה מגנטי‬
‫מושרה בכיוון ההפוך לשדה המגנטי שנתון בבעיה‪ 1‬מכלל יד ימין נקבל שהזרם המושרה הוא נגד כיוון‬
‫השעון‪( .‬ניתן לפתור גם לפי חוק לורנץ על המטענים במוט הנע‪)1‬‬
‫יש בפנינו מעגל ‪ RC‬שמחובר למקור מתח שנתון ע"י הכא"מ המושרה שמצאנו בסעיף א'‪ 1‬נכתוב את הפרש המתחים‬
‫ד‪1‬‬
‫לאורך המעגל ונשווה לאפס‪1‬‬
‫‪ε‬‬
‫(הסימן הוא חיובי מכיוון שהגדרנו את הכוון החיובי של המטען‬
‫נרצה לכתוב משוואה לזרם‪ ,‬נשתמש בכך ש‬
‫להיות כך שהלוח העליון טעון חיובית‪ ,‬ואז רואים שהקבל נטען ע"י זרם בכיוון אותו הגדרנו כחיובי)‪1‬‬
‫ישנן שתי דרכים לפתור את המשוואה‪1‬‬
‫דרך אחת‪ :‬המשוואה הופכת להיות‬
‫את פתרון משוואה זו ראינו בשיעורים‪ 1‬נכתוב את המשוואה בצורה‬
‫כלומר‬
‫הפתרון למשוואה מצורה זו ידוע‪:‬‬
‫כאשר ‪ A‬קבוע אינטגרציה‪ 1‬כלומר‪:‬‬
‫או‪:‬‬
‫תנאי ההתחלה‬
‫מתקבלים מהבחירה‬
‫)‬
‫‪ ,‬כך שמתקבל הפתרון‬
‫(‬
‫‪8‬‬
‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪011.610.62‬‬
‫נגזור לפי הזמן ונקבל את הזרם‪:‬‬
‫דרך שנייה היא לגזור את משוואת המתחים שכתבנו‪:‬‬
‫⇒‬
‫הפתרון של המשוואה הזו הוא‬
‫כאשר את הקבוע ‪ ,‬שהוא הזרם בזמן‬
‫נציב זאת במשוואת המתחים לעיל ונקבל‬
‫‪ ,‬נמצא מתנאי ההתחלה‪ 1‬נתון לנו שבזמן ההתחלתי הקבל לא טעון‪ ,‬אז‬
‫⇒‬
‫‪ε‬‬
‫⇒‬
‫מועד ב' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪28.02.2014‬‬
‫אוניברסיטת תל אביב‬
‫הפקולטה להנדסה‬
‫ע"ש איבי ואלדר פליישמן‬
‫מספר סידורי‪:‬‬
‫מספר סטודנט‪:‬‬
‫בחינה בקורס‪ :‬פיזיקה ‪2‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪.‬‬
‫יש לענות על כל השאלות‪.‬‬
‫לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי‪ ,‬ולכל סעיף אותו משקל בשאלה‪.‬‬
‫יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא תיבדקנה‪.‬‬
‫ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות )‪ ,(A4‬כתובים משני הצדדים‪ .‬בנוסף‪ ,‬נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים בקואורדינטות‬
‫שונות מופיעות בסוף הבחינה‪.‬‬
‫ניתן )אך אין צורך( להיעזר במחשבון‪ .‬אין להיעזר בשום מכשיר אלקטרוני שאינו מחשבון‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫שאלה‬
‫ציון‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ציון כולל ‪:‬‬
‫כל הזכויות שמורות ©‬
‫מבלי לפגוע באמור לעיל‪ ,‬אין להעתיק‪ ,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לשדר‪ ,‬לאחסן מאגר מידע‪ ,‬בכל‬
‫דרך שהיא‪ ,‬בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק שהוא מטופס הבחינה‪.‬‬
‫מועד ב' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪28.02.2014‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נתונה המערכת הבאה המתוארת בקואורדינטות גליליות‪ :‬לאורך ציר 𝑧𝑧 נמצאת התפלגות מטען אורכית 𝜆𝜆‪ .‬סביב‬
‫ציר 𝑧𝑧 נמצאת בקליפה גלילית עבה‪ ,‬מבודדת וטעונה בצפיפות מטען נפחית 𝜌𝜌 ‪ ,‬הנמצאת בין הרדיוסים ‪ 𝑟𝑟1‬ו‪.𝑟𝑟2 -‬‬
‫מהי צפיפות המטען האורכית ‪ 𝜆𝜆′‬של הקליפה המבודדת העבה? רמז‪ :‬חשבו את כמות המטען בקטע גלילי‬
‫א‪.‬‬
‫באורך 𝐿𝐿 וחלקו את התוצאה באורך הקטע‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב?‬
‫כעת מחממים את הקליפה המבודדת הטעונה כך שהיא הופכת למוליכה‪ .‬ענו על הסעיפים הבאים עבור מצב זה‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב?‬
‫ד‪.‬‬
‫רשמו את מיקומיהן וגדליהן של כל צפיפויות המטען המשטחיות במערכת‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫בקטע גלילי באורך 𝐿𝐿 של הקליפה העבה יש מטען‬
‫‪𝑟𝑟2‬‬
‫) ‪𝑄𝑄 = � 𝜌𝜌𝜌𝜌2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12‬‬
‫‪𝑟𝑟1‬‬
‫כאשר 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋𝜋𝜋‪ 𝐿𝐿2‬הוא הנפח של קליפה גלילית אינפיניטסימלית‪ .‬אז צפיפות המטען האורכית של הקליפה העבה היא‬
‫) ‪𝜆𝜆′ = 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מאחר שלמערכת סימטריה גלילית‪ ,‬כוון השדה החשמלי הוא ̂𝑟𝑟 בכל מקום‪ .‬כעת נראה מה גודל השדה בכל מקום‪.‬‬
‫נשתמש בכך שבשל חוק גאוס והסימטריה הגלילית‪ ,‬השדה ברדיוס 𝑟𝑟 תלוי רק במטענים שנמצאים ברדיוס קטן מ‪.𝑟𝑟 -‬‬
‫לכן‪ ,‬בתחום ‪ 0 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟1‬השדה הוא השדה של המטען הקוי‪:‬‬
‫מועד ב' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪28.02.2014‬‬
‫‪3‬‬
‫𝜆𝜆‬
‫̂𝑟𝑟‬
‫𝑟𝑟 ‪2𝜋𝜋𝜖𝜖0‬‬
‫= ) ‪𝐸𝐸�⃗ (0 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟1‬‬
‫בתחום ‪ , 𝑟𝑟1 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟2‬נבנה משטח גאוס גלילי בעל רדיוס 𝑟𝑟 ואורך 𝐿𝐿‪ .‬סך כל המטען בתוך המשטח הוא‬
‫𝑟𝑟‬
‫𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋𝜋𝜋‪𝑄𝑄(𝑟𝑟) = 𝜆𝜆𝜆𝜆 + � 𝜌𝜌𝜌𝜌2‬‬
‫‪𝑟𝑟1‬‬
‫) ‪= 𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟 2 − 𝑟𝑟12‬‬
‫לפי חוק גאוס‪ ,‬מטען זה שווה לשטף השדה החשמלי כפול ‪ ,𝜖𝜖0‬כלומר‪:‬‬
‫לכן‬
‫‪𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟 2 − 𝑟𝑟12 ) = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜖𝜖0‬‬
‫) ‪𝜆𝜆 + 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟 2 − 𝑟𝑟12‬‬
‫̂𝑟𝑟‬
‫‪2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜖𝜖0‬‬
‫= ) ‪𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟1 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟2‬‬
‫השדה בתחום ‪ 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟2‬הוא השדה של התפלגות מטעל גלילית בעלת צפיפות מטען אורכית כוללת ‪ ,𝜆𝜆 + 𝜆𝜆′‬כלומר‬
‫) ‪𝜆𝜆 + 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12‬‬
‫̂𝑟𝑟‬
‫‪2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜖𝜖0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫= ) ‪𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟 > 𝑟𝑟2‬‬
‫השדה בתחום ‪ 𝑟𝑟1 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟2‬השתנה בעקבות הפיכת הקליפה העבה למוליכה‪ ,‬והוא כעת ‪.0‬‬
‫ניתן לראות שהשדה בתחום ‪ 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟1‬והשדה בתחום ‪ 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟2‬לא השתנו‪ .‬זאת משום שכל משטח גאוס גלילי באזורים אלה‬
‫מכיל בדיוק את אותה כמות מטען שהכיל לפני הפיכת הקליפה למוליכה‪.‬‬
‫אחרי שהקליפה הטעונה הופכת למוליכה‪ ,‬השדה בתוכה הוא ‪ .0‬לכן כל משטח גאוס שנמצא בה מכיל מטען כולל ‪.0‬‬
‫ד‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬על השפה הפנימית של הקליפה )ברדיוס ‪ (𝑟𝑟1‬ישנה התפלגות מטען אורכית 𝜆𝜆‪ , −‬כלומר התפלגות מטען משטחית ‪𝜎𝜎1‬‬
‫שהמטען שלה ליחידת אורך שווה והפוך למטען של התפלגות המטען האורכית שעל ציר 𝑧𝑧‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫𝜆𝜆‪𝜎𝜎1 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = −‬‬
‫𝜆𝜆‬
‫‪𝜎𝜎1 = −‬‬
‫𝜋𝜋𝜋𝜋‪2‬‬
‫נשים לב כי בשעה שהתפלגות המטען האורכית שעל השפה הפנימית היא 𝜆𝜆‪ ,−‬סך כל התפלגות המטען האורכית של הקליפה‬
‫העבה נשארה‬
‫) ‪𝜆𝜆′ = 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12‬‬
‫אז בשל שימור המטען על הקליפה‪ ,‬על השפה החיצונית של הקליפה )ברדיוס ‪ (𝑟𝑟2‬נמצאת התפלגות מטען אורכית‬
‫𝜆𝜆 ‪𝜆𝜆′′ = 𝜆𝜆′ + 𝜆𝜆 = 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 ) +‬‬
‫כדי לקבל את התפלגות המטען המשטחית על שפה זו‪ ,‬נחלקת את התפלגות המטען האורכית בהיקף השפה‪:‬‬
‫מועד ב' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪28.02.2014‬‬
‫‪4‬‬
‫𝜆𝜆 ‪𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑟𝑟22 − 𝑟𝑟12 ) +‬‬
‫= ‪𝜎𝜎2‬‬
‫𝜋𝜋𝜋𝜋‪2‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫כפי שראיתם בתרגול‪ ,‬השדה המגנטי בגובה 𝑧𝑧 על ציר הסימטריה של טבעת ברדיוס 𝑅𝑅 שבה עובר זרם 𝐼𝐼 הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪B=I 0 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2 3/2‬‬
‫) ‪2 (R + z‬‬
‫מהו הזרם ‪ I‬של טבעת מטען אחידה ודקה בעלת רדיוס ‪ R‬שמטענה הכולל הוא ‪ ,Q‬כאשר הטבעת מסתובבת‬
‫א‪.‬‬
‫בתדירות זוויתית ‪ ? ω‬מהו השדה המגנטי בגובה 𝑧𝑧 על ציר הסימטריה של הטבעת?‬
‫מהו השדה המגנטי בגובה 𝑧𝑧 על ציר הסימטריה של דיסקה ברדיוס ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית‬
‫ב‪.‬‬
‫אחידה ‪? σ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו מומנט הדיפול של הדיסקה?‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הדיסקה נתונה בשדה מגנטי חיצוני אחיד ‪ , B = B0 x‬מהו מומנט הכוח ‪ τ‬הפועל על הדיסקה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫כפי שראיתם בתרגול‪ ،‬השדה המגנטי של טבעת ברדיוס ‪ R‬על ציר‬
‫הסימטריה הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪B=I 0 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2 ( R + z 2 )3/2‬‬
‫)א( מהו הזרם ‪ I‬של טבעת ברדיוס ‪ R‬הטעונה במטען ‪ Q‬ומסתובבת בתדירות זוויתית ‪ ω‬ומהו השדה המגנטי‬
‫על ציר הסימטריה של הטבעת?‬
‫מטען ‪ Q‬עובר תוך זמן מחזור ‪:T‬‬
‫לאחר הצבה לנוסחה עבור שדה מגנטי‪:‬‬
‫𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄‬
‫=‬
‫𝜋𝜋‪𝑇𝑇 2‬‬
‫= 𝐼𝐼‬
‫‪𝑄𝑄𝑄𝑄 𝜇𝜇0‬‬
‫‪𝑅𝑅 2‬‬
‫̂𝑧𝑧‬
‫‪2𝜋𝜋 2 (𝑅𝑅 2 + 𝑧𝑧 2 )3/2‬‬
‫= ⃗�‬
‫𝐵𝐵‬
‫)ב( מהו השדה המגנטי על ציר הסימטריה של דיסקה ברדיוס ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪? σ‬‬
‫נחלק את הדיסקה לטבעות בעלי רדיוס ‪ r‬משתנה וברוחב ‪ dr‬כל אחד‪ .‬שטח של כול טבעת 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋‪ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2‬ומטען‬
‫𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋‪ .𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 = 2‬לכן כל טבעת תורמת זרם‬
‫מועד ב' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪28.02.2014‬‬
‫‪5‬‬
‫𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫=‬
‫𝑇𝑇‬
‫𝜋𝜋‪2‬‬
‫לאחר הצבה של ‪dQ‬‬
‫לכן כל טבעת תורמת שדה מגנטי ⃗�‬
‫𝐵𝐵𝑑𝑑‬
‫= 𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫‪𝜇𝜇0‬‬
‫‪𝑟𝑟 2‬‬
‫̂𝑧𝑧𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎‬
‫‪2 (𝑟𝑟 2 + 𝑧𝑧 2 )3/2‬‬
‫הסיכום על כל הטבעות נעשה ע"י אינטגרל על ‪:r‬‬
‫= ⃗�‬
‫𝐵𝐵𝑑𝑑‬
‫‪𝜇𝜇0‬‬
‫‪𝑟𝑟 2‬‬
‫‪𝜇𝜇0‬‬
‫‪𝑅𝑅 2 + 2𝑧𝑧 2‬‬
‫̂𝑧𝑧𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎‬
‫=‬
‫𝜎𝜎𝜎𝜎‬
‫�‬
‫̂𝑧𝑧 �𝑧𝑧‪− 2‬‬
‫‪2 (𝑟𝑟 2 + 𝑧𝑧 2 )3/2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(𝑅𝑅 2 + 𝑧𝑧 2 )1/2‬‬
‫)ג( מהו מומנט הדיפול של הדיסקה?‬
‫𝑅𝑅‬
‫� = ⃗�‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫לפי הגדרה של מומנט הדיפול עבור טבעת עם זרם 𝑑𝑑𝑑𝑑‪:‬‬
‫̂𝑧𝑧 ‪𝑑𝑑𝜇𝜇⃗ = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴⃗ = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 2‬‬
‫פה בוחרים כיוון של וקטור שטח לפי כיוון של הסיבוב של דיסקה )נגד כיוון שעון( בציר ̂𝑧𝑧‪ .‬לאחר סיכום של כל‬
‫המומנטים של כל הטבעות והצבה של 𝑑𝑑𝑑𝑑‪:‬‬
‫𝑅𝑅‬
‫‪4‬‬
‫̂𝑧𝑧 𝑅𝑅𝜋𝜋 𝜎𝜎𝜎𝜎 = 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 ‪�⃗ = � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 2 𝑧𝑧̂ = � 𝜋𝜋𝑟𝑟 2‬‬
‫‪μ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)ד( הדיסקה נתונה בשדה מגנטי חיצוני אחיד ‪ , B = B0 x‬מהו מומנט הכח ‪ τ‬הפועל על הדיסקה‪.‬‬
‫מומנט כוח נתון ע"י הנוסחה ‪: τ⃗ = �µ⃗ × �B⃗0‬‬
‫‪ µ‬ולאחר שימוש ב‪y� = z� × x� -‬‬
‫לאחר הצבה של ⃗�‬
‫‪𝜋𝜋𝑅𝑅 4‬‬
‫‪τ⃗ = µ‬‬
‫𝜎𝜎𝜎𝜎 = ‪�⃗ × �B⃗0‬‬
‫�𝑦𝑦 𝐵𝐵‬
‫‪4 0‬‬
‫אם הדיסקה מסתובבת נגד כיוון השעון‪ ,‬המומנט כוח פועל בכיוון �‪.y‬‬
‫אם הדיסקה מסתובבת בכיוון השעון‪ ,‬המומנט כוח פועל בכיוון �‪.− y‬‬
‫מועד ב' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪28.02.2014‬‬
‫‪6‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫משרן בעל השראות עצמית 𝐿𝐿 מחובר לשני מוטות חצי אינסופיים‪ ,‬חסרי התנגדות‪ .‬מוט שלישי‪ ,‬בעל אורך ‪ ,H‬חסר‬
‫התנגדות‪ ,‬נוגע בקצותיו במוטות החצי אינסופיים‪ .‬בזמן ‪ 𝑡𝑡 = 0‬המוט מתחיל להתרחק מהמשרן במהירות קבועה 𝑣𝑣‬
‫)ראו איור א'(‪ .‬באזור המוט הנע פועל שדה מגנטי אחיד ‪ 𝐵𝐵0‬הניצב למישור המעגל )השדה נכנס לדף(‪ .‬שדה זה אינו‬
‫קיים באזור המשרן‪ .‬הזניחו את התנגדות התיילים ואת השדה המגנטי שיוצר הזרם המושרה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו הכא"מ המושרה במעגל?‬
‫ב‪ .‬מהו הזרם במעגל כפונקציה של הזמן?‬
‫)גודל וכיוון – ציינו את הכוון באופן ברור(‬
‫מחליפים את המשרן בנגד שהתנגדותו 𝑅𝑅 )ראו איור ב'(‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו הזרם במעגל? )גודל וכיוון(‬
‫מחזירים את המשרן למעגל כך שהוא מחובר בטור עם הנגד )ראו איור ג'(‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתבו את משוואת המתחים של המעגל ומצאו את הזרם כפונקציה‬
‫של הזמן‪.‬‬
‫𝑣𝑣‬
‫𝑣𝑣‬
‫איור ב'‬
‫𝑣𝑣‬
‫א‬
‫מועד ב' סמסטר א' תשע"ד‬
‫תאריך ‪28.02.2014‬‬
‫‪7‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נגדיר תחילה מערכת צירים‪ :‬ציר 𝑥𝑥 יהיה כיוון התקדמות המוט וציר 𝑧𝑧 יוצא מכיוון הדף )ציר ה 𝑦𝑦 נבחר בהתאם(‪ .‬כדי‬
‫למצוא את הכא"מ המושרה‪ ,‬נשתמש בחוק פרדיי‬
‫‪𝜕𝜕ΦB‬‬
‫‪ε = �−‬‬
‫�‬
‫𝜕𝜕𝜕𝜕‬
‫השדה המגנטי קבוע במרחב‪ ,‬לכן‪ ,‬בכל זמן נתון 𝑡𝑡 השטף המגנטי הוא מכפלת השדה המגנטי בשטח המעגל‬
‫)𝑡𝑡(‪ΦB = B0 H∆x‬‬
‫כאשר )𝑡𝑡(𝑥𝑥∆ הוא המרחק שעובר המוט כעבור זמן 𝑡𝑡 ‪ .‬נקבל‬
‫‪𝜕𝜕ΦB‬‬
‫‪ε = �−‬‬
‫𝑣𝑣‪� = B0 H‬‬
‫𝜕𝜕𝜕𝜕‬
‫ב‪ .‬נמצא תחילה את כיוון הזרם המושרה ע"י חוק לנץ‪ :‬השטף של השדה המגנטי שעובר בשטח המעגל גדל עם הזמן מכיוון‬
‫שהשטח של המעגל גדל עם הזמן‪ .‬הזרם המושרה יקטין את השינוי השטף המגנטי ע"י יצירת שדה מגנטי מושרה בכיוון‬
‫ההפוך לשדה המגנטי שנתון בבעיה‪ .‬מכלל יד ימין נקבל שהזרם המושרה הוא נגד כיוון השעון‪.‬‬
‫כדי למצוא את גודלו של הזרם‪ ,‬נסתכל על משוואת המתחים של המעגל‬
‫𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫𝐿𝐿 = 𝜀𝜀 ⇒ ‪𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 = 0‬‬
‫𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫מכיוון שאגף שמאל קבוע‪ ,‬ניתן למצוא את הזרם ע"י אינטגרציה בזמן‪ .‬נקבל‬
‫𝜀𝜀‬
‫𝑡𝑡 ‪I(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 +‬‬
‫𝐿𝐿‬
‫את הקבוע ‪ A‬נמצא מתנאי התחלה‪ .‬נתון לנו שהמוט התחיל ממנוחה‪ ,‬לכן ‪ 𝐼𝐼(𝑡𝑡 = 0) = 0‬וסה"כ מקבלים‬
‫𝜀𝜀‬
‫𝑣𝑣‪B0 H‬‬
‫= 𝑡𝑡 = )𝑡𝑡(‪I‬‬
‫𝑡𝑡‬
‫𝐿𝐿‬
‫𝐿𝐿‬
‫ג‪.‬‬
‫את גודל הזרם במעגל נמצא מחוק אוהם‬
‫𝑣𝑣‪𝜀𝜀 B0 H‬‬
‫= = 𝐼𝐼‬
‫𝑅𝑅‬
‫𝑅𝑅‬
‫את כיוון הזרם נמצא כמו בסעיף קודם ע"י חוק לנץ‪ :‬נגד כיוון השעון‪.‬‬
‫יש בפנינו מעגל ‪ RL‬שמחובר למקור מתח שנתון ע"י הכא"מ המושרה שמצאנו בסעיף א'‪ .‬נכתוב את הפרש המתחים‬
‫ד‪.‬‬
‫לאורך המעגל ונשווה לאפס‪.‬‬
‫𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫‪ε − IR − 𝐿𝐿 = 0‬‬
‫𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫נמצא פתרון פרטי ופתרון לבעיה ההומוגנית‪ .‬עבור פתרון פרטי ננחש קבוע ‪ ,𝐼𝐼𝑝𝑝 = 𝐼𝐼0‬נציב במשוואת המעגל ונקבל‬
‫𝜀𝜀‬
‫= ‪ε − I0 R − 0 = 0 ⇒ 𝐼𝐼0‬‬
‫𝑅𝑅‬
‫הפתרון למשוואה ההומוגנית‬
‫‪𝑑𝑑𝐼𝐼ℎ‬‬
‫𝐿𝐿 ‪−Ih R −‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑑𝑑𝑑𝑑‬
‫הינו‬
‫𝐿𝐿‪−𝑡𝑡𝑡𝑡/‬‬
‫𝑒𝑒𝐴𝐴 = ‪Ih‬‬
‫לסיכום‪ ,‬עבור הזרם כפונקציה של הזמן‬
‫𝜀𝜀‬
‫𝐿𝐿‪𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼𝑝𝑝 + Ih = + 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑡𝑡𝑡𝑡/‬‬
‫𝑅𝑅‬
‫את הקבוע נמצא מהתנאי שבזמן ההתחלתי אין זרם‬
‫𝑣𝑣‪B0 H‬‬
‫𝜀𝜀‬
‫𝜀𝜀‬
‫= � 𝐿𝐿‪𝐴𝐴 = − ⇒ 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = �1 − 𝑒𝑒 −𝑡𝑡𝑡𝑡/‬‬
‫� 𝐿𝐿‪�1 − 𝑒𝑒 −𝑅𝑅𝑅𝑅/‬‬
‫𝑅𝑅‬
‫𝑅𝑅‬
‫𝑅𝑅‬