‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬ ‫תאריך ‪011.610.62‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב‬ ‫הפקולטה להנדסה‬ ‫ע"ש איבי ואלדר פליישמן‬ ‫מספר סידורי‪:‬‬ ‫מספר סטודנט‪:‬‬ ‫בחינה בקורס‪ :‬פיזיקה ‪2‬‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‪1‬‬ ‫יש לענות על כל השאלות‪1‬‬ ‫לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי‪ ,‬ולכל סעיף אותו משקל בשאלה‪1‬‬ ‫יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא‬ ‫תבדקנה‪1‬‬ ‫ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות (‪ ,)A2‬כתובים משני הצדדים‪ 1‬בנוסף‪ ,‬נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים‬ ‫בקואורדינטות שונות מופיעות בסוף הבחינה‪1‬‬ ‫ניתן (אך אין צורך) להיעזר במחשבון‪ 1‬אין להיעזר בשום מכשיר אלקטרוני שאינו מחשבון‪1‬‬ ‫בהצלחה!!!‬ ‫שאלה‬ ‫ציון‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ציון כולל ‪:‬‬ ‫כל הזכויות שמורות ©‬ ‫מבלי לפגוע באמור לעיל‪ ,‬אין להעתיק‪ ,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לשדר‪ ,‬לאחסן מאגר‬ ‫מידע‪ ,‬בכל דרך שהיא‪ ,‬בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק‬ ‫שהוא מטופס הבחינה‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬ ‫תאריך ‪011.610.62‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נתונה המערכת הבאה‪ ,‬המתוארת בקואורדינטות כדוריות‪ :‬בראשית הצירים נמצא מטען נקודתי ‪ 1q‬בתחום הרדיאלי‬ ‫) ישנה קליפה‬ ‫(כאשר‬ ‫ישנה קליפה כדורית עבה‪ ,‬מוליכה ובלתי טעונה‪ 1‬ברדיוס‬ ‫כדורית דקה‪ ,‬מבודדת וטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪1‬‬ ‫א‪1‬‬ ‫מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב?‬ ‫ב‪1‬‬ ‫מהי פונקציית הפוטנציאל בכל המרחב? (קחו את הפוטנציאל להיות ‪ .‬ב‪-‬‬ ‫ג‪1‬‬ ‫רשמו את מיקומיהן וגדליהן של כל צפיפויות המטען המשטחיות במערכת‪ ,‬פרט לזו שב‪-‬‬ ‫ד‪1‬‬ ‫מזיזים את המטען הנקודתי למיקום )‬ ‫‪)1‬‬ ‫(‪ 1‬בכמה משתנה הפוטנציאל בנקודה )‪. .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪1‬‬ ‫מקום‪:‬‬ ‫מאחר שלמערכת סימטריה כדורית‪ ,‬כוון השדה החשמלי הוא ̂ בכל מקום‪ 1‬כעת נראה מה גודל השדה בכל‬ ‫נשתנמש בכך שבשל חוק גאוס והסימטריה הכדורית‪ ,‬השדה ברדיוס‬ ‫או שווה ל‪1 -‬‬ ‫לכן‪ ,‬בתחום‬ ‫תלוי רק במטענים שנמצאים ברדיוס קטן‬ ‫השדה הוא השדה של המטען הנקודתי‪:‬‬ ‫⃗‬ ‫̂‬ ‫בתחום‬ ‫נמצא חומר מוליך‪ ,‬ולכן השדה בתחום זה הוא ‪:.‬‬ ‫⃗‬ ‫עבור‬ ‫‪ ,‬השדה הוא שוב כשל מטען נקודתי ‪:‬‬ ‫⃗‬ ‫̂‬ ‫עבור‬ ‫‪ ,‬השדה הוא של מטען נקודתי‬ ‫‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬ ‫תאריך ‪011.610.62‬‬ ‫⃗‬ ‫̂‬ ‫את הפוטנציאל נקבל ע"י אינטגרציה על פני השדה מאינסוף עד הראשית‪ ,‬כך שהפוטנציאל הוא ‪ .‬באינסוף‪,‬‬ ‫ב‪1‬‬ ‫ובגבולות בין התחומים השונים נקפיד על רציפות הפוטנציאל‪:‬‬ ‫בתחום‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫עבור‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(כאשר האיבר הראשון בשורה הראשונה נובע מרציפות הפוטנציאל ב‪-‬‬ ‫נמצא חומר מוליך‪ ,‬ולכן הפוטנציאל הוא זה של‬ ‫בתחום‬ ‫)‬ ‫עבור‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫מאחר שכל משטח גאוס ששפתו בתוך הקליפה המוליכה מכיל מטען כולל ‪ ,.‬אז על השפה הפנימית של‬ ‫ג‪1‬‬ ‫‪ ,‬כלומר‪ ,‬צפיפות מטען משטחית אחידה (בשל הסימטריה‬ ‫הקליפה המוליכה (ברדיוס ) יהיה מטען כולל‬ ‫הכדורית) בגודל‬ ‫מאחר שהקליפה המוליכה ניטרלית‪ ,‬על שפתה החיצונית (ברדיוס‬ ‫משטחית אחידה בגודל‬ ‫ניתן לקבל פתרון זה גם מהקפיצה בשדה‪1‬‬ ‫) יהיה מטען כולל‬ ‫‪ ,‬כלומר‪ ,‬צפיפות מטען‬ ‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬ ‫תאריך ‪011.610.62‬‬ ‫ד‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בניקוד שאלה זו הושם דגש חזק על נימוק מלא‪ 1‬מרכיבי התשובה הנדרשים לניקוד מלא הם‪:‬‬ ‫מוליכה‪ ,‬דהיינו שווה‪-‬פוטנציאלית בעלת סימטריה כדורית והמטענים מחוץ‬ ‫מאחר שהקליפה בתחום‬ ‫לקליפה מקיימים סימטריה כדורית ‪,‬משטחים שווה‪-‬פוטנציאליים חייבים לקיים סימטריה כדורית בתחום‬ ‫ניצבים לשפת הקליפה ומקיימים סימטריה כדורית‪1‬‬ ‫‪ .‬לכן קווי השדה מחוצה לה‪ ,‬ב‪-‬‬ ‫נמצא שהוא מכיל את אותו מטען כמו בסעיפים הקודמים‪ 1‬לכן השדה‬ ‫אם נבנה משטח גאוס כדורי בתחום‬ ‫אינו משתנה ‪,‬כך שגם הפוטנציאל אינו משתנה בתחום זה‪.‬‬ ‫בתחום‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נמצא משטח אינסופי דק‪ ,‬הטעון בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪ 1‬המשטח נע במהירות ̂‬ ‫במישור‬ ‫כאשר קבוע‪1‬‬ ‫בגובה ‪ h‬מעל המשטח‪ ,‬במישור‬ ‫כפונקציה של הזמן‪:‬‬ ‫‪ ,‬נמצאת לולאה ריבועית נייחת בעלת צלע‬ ‫(ראו איור)‪ 1‬ענו על כל הסעיפים‬ ‫א‪1‬‬ ‫מהי צפיפות הזרם הקווית הנובעת מתנועת המשטח?‬ ‫ב‪1‬‬ ‫מהו השדה המגנטי בכל המרחב?‬ ‫ג‪1‬‬ ‫מהו שטף השדה המגנטי דרך הלולאה?‬ ‫ד‪1‬‬ ‫נתון שלמסגרת התנגדות ‪ 1‬מהו גודל הזרם במסגרת ומהו כוונו (ציירו את הכוון לפי האיור)?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫(א) נתבונן בקטע על המשטח בעל רוחב (בכוון ) ואורך‬ ‫גזירה לפי הזמן נותנת את הזרם החוצה את חזית הקטע‪:‬‬ ‫ליחידם אורך בניצב לתנועת המטענים‪ ,‬כלומר‬ ‫‪ .‬בקטע זה ישנו מטען‬ ‫‪ .‬צפיפות הזרם הקווית היא הזרם‬ ‫‪.‬‬ ‫(ב) מכלל היד הימנית של חוק ביו‪-‬סבר נובע כי שהשדה המגנטי יהיה בכיוון ‪ -y‬בצד העליון של הלוח‬ ‫ובכיוון ‪ y‬בצד התחתון של הלוח‪ ,‬ומאינסופיות המשטח נובע שהשדה לא יכול להיות תלוי בקוארדינטות‬ ‫‪.x,y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬ ‫תאריך ‪011.610.62‬‬ ‫לכן‪ ,‬נבנה לולאת אמפר בצורת מלבן שצלעותיה מקבילות לצירים ‪ z‬ו ‪ y‬והממוקמת באופן סימטרי סביב‬ ‫הלוח‪ ,‬גובהה ‪ 2z‬ואורכה ‪ L‬כבאיור למטה‪.‬‬ ‫‪ B  dl  2LB‬‬ ‫ממשפט אמפר נקבל (לתקן פקטור ‪:)2‬‬ ‫‪ 0 I in  0 L  0 vL‬‬ ‫‪ v‬‬ ‫‪ v‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪ B  0‬נוסיף את הכיוונים ונקבל‪B  0 ( yˆ )  sign( z ) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫()‪ sign(z‬היא פונקציה ששווה ל ‪ +1‬אם ‪ z‬חיובי ו ‪ -1‬אם ‪ z‬שלילי(‪.‬‬ ‫‪0 va 2‬‬ ‫‪  B   B  dS  BS  Ba 2 ‬כאשר המעבר הראשון התאפשר משום שהשדה מאונך לפני‬ ‫(ג)‬ ‫‪2‬‬ ‫הלולאה הריבועית (לא להתבלבל עם לולאת אמפר מהסעיף הקודם!) ואחיד‪.‬‬ ‫(ד) נקבל את גודל הכא"מ המושרה בלולאה מתוך משוואת פרדיי‪:‬‬ ‫‪d  B d  0v ta 2  0v a 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 v  a 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I‬‬ ‫ולפי חוק אוהם הזרם יהיה‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2R‬‬ ‫‪ .‬לכן הזרם המושרה צריך ליצור שדה מגנטי‬ ‫את הכיוון נקבע לפי חוק לנץ‪ :‬השטף גדל והשדה בכיוון‬ ‫בכיוון ‪ .+y‬לפי כלל היד הימנית‪ ,‬זרם כזה הוא עם כיוון השעון (כבאיור)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬ ‫תאריך ‪011.610.62‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫קבל שקיבולו‬ ‫מחובר לשני מוטות חצי‪-‬אינסופיים וחסרי התנגדות‪ 1‬מוט שלישי‪ ,‬בעל אורך‬ ‫נוגע בקצותיו במוטות החצי אינסופיים ומתרחק מהקבל במהירות קבועה‬ ‫שדה מגנטי קבוע‬ ‫וחסר התנגדות‪,‬‬ ‫(ראו איור א')‪ 1‬באזור המוט הנע פועל‬ ‫הניצב למישור המעגל (השדה נכנס לדף)‪ 1‬שדה זה אינו קיים באזור הקבל‪ 1‬הזניחו את‬ ‫התנגדות התילים ואת השדה המגנטי שיוצר הזרם המושרה‪1‬‬ ‫א‪ 1‬מהו הכא"מ המושרה במעגל?‬ ‫ב‪ 1‬מהו המטען על הקבל?‬ ‫מחליפים את הקבל בנגד שהתנגדותו‬ ‫(ראו איור ב')‪1‬‬ ‫ג‪ 1‬מהו הזרם במעגל? (גודל וכיוון – ציינו את הכיוון באופן ברור)‬ ‫מחזירים את הקבל למעגל‪ ,‬כך שהוא מחובר בטור עם הנגד (ראו איור ג')‪1‬‬ ‫ד‪ 1‬כתבו את משוואת המתחים של המעגל ומצאו את הזרם כפונקציה‬ ‫‪1‬‬ ‫של הזמן‪ ,‬כאשר נתון שהקבל אינו טעון בזמן‬ ‫××××××××‬ ‫𝑣 ××××××××‬ ‫××××××××‬ ‫איור א'‬ ‫××××××××‬ ‫××××××××‬ ‫××××××××‬ ‫איור ב'‬ ‫××××××××‬ ‫××××××××‬ ‫××××××××‬ ‫איור ג'‬ ‫‪7‬‬ ‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬ ‫תאריך ‪011.610.62‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ 1‬נגדיר תחילה מערכת צירים‪ :‬ציר יהיה כיוון התקדמות המוט וציר יוצא מכיוון הדף (ציר‬ ‫בהתאם)‪ 1‬כדי למצוא את הכא"מ המושרה‪ ,‬נשתמש בחוק פרדיי‪:‬‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫הוא כלפי מעלה‪,‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫השדה המגנטי אחיד‪ 1‬לכן‪ ,‬בכל זמן נתון ‪ ,‬השטף המגנטי הוא מכפלת השדה המגנטי בשטח המעגל‬ ‫כאשר‬ ‫הוא המרחק שעובר המוט תוך זמן ‪ 1‬נקבל‬ ‫|‬ ‫‪ ,‬כאשר‬ ‫ב‪1‬‬ ‫ההגדרה של קיבול היא‬ ‫ג‪1‬‬ ‫את גודל הזרם במעגל נמצא מחוק אוהם‬ ‫|‬ ‫‪ε‬‬ ‫הוא הפרש המתחים בין לוחות הקבל‪ 1‬בשאלה שלנו‬ ‫את כיוון הזרם נמצא ע"י חוק לנץ‪ :‬השטף של השדה המגנטי שעובר בשטח המעגל גדל עם הזמן מכיוון‬ ‫שהשטח של המעגל גדל עם הזמן‪ 1‬הזרם המושרה יקטין את השינוי השטף המגנטי ע"י יצירת שדה מגנטי‬ ‫מושרה בכיוון ההפוך לשדה המגנטי שנתון בבעיה‪ 1‬מכלל יד ימין נקבל שהזרם המושרה הוא נגד כיוון‬ ‫השעון‪( .‬ניתן לפתור גם לפי חוק לורנץ על המטענים במוט הנע‪)1‬‬ ‫יש בפנינו מעגל ‪ RC‬שמחובר למקור מתח שנתון ע"י הכא"מ המושרה שמצאנו בסעיף א'‪ 1‬נכתוב את הפרש המתחים‬ ‫ד‪1‬‬ ‫לאורך המעגל ונשווה לאפס‪1‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫(הסימן הוא חיובי מכיוון שהגדרנו את הכוון החיובי של המטען‬ ‫נרצה לכתוב משוואה לזרם‪ ,‬נשתמש בכך ש‬ ‫להיות כך שהלוח העליון טעון חיובית‪ ,‬ואז רואים שהקבל נטען ע"י זרם בכיוון אותו הגדרנו כחיובי)‪1‬‬ ‫ישנן שתי דרכים לפתור את המשוואה‪1‬‬ ‫דרך אחת‪ :‬המשוואה הופכת להיות‬ ‫את פתרון משוואה זו ראינו בשיעורים‪ 1‬נכתוב את המשוואה בצורה‬ ‫כלומר‬ ‫הפתרון למשוואה מצורה זו ידוע‪:‬‬ ‫כאשר ‪ A‬קבוע אינטגרציה‪ 1‬כלומר‪:‬‬ ‫או‪:‬‬ ‫תנאי ההתחלה‬ ‫מתקבלים מהבחירה‬ ‫)‬ ‫‪ ,‬כך שמתקבל הפתרון‬ ‫(‬ ‫‪8‬‬ ‫מועד א' סמסטר א' תשע"ד‬ ‫תאריך ‪011.610.62‬‬ ‫נגזור לפי הזמן ונקבל את הזרם‪:‬‬ ‫דרך שנייה היא לגזור את משוואת המתחים שכתבנו‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫הפתרון של המשוואה הזו הוא‬ ‫כאשר את הקבוע ‪ ,‬שהוא הזרם בזמן‬ ‫נציב זאת במשוואת המתחים לעיל ונקבל‬ ‫‪ ,‬נמצא מתנאי ההתחלה‪ 1‬נתון לנו שבזמן ההתחלתי הקבל לא טעון‪ ,‬אז‬ ‫⇒‬ ‫‪ε‬‬ ‫⇒‬