1. No category

‫סמסטר אביב תשע"ד‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫מרצים‪:‬‬
‫מתרגלים‪:‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
‫הפקולטה למדעי המחשב‬
‫פרדי ברוקשטיין‪ ,‬רן אל‪-‬יניב‬
‫שרית בוזגלו‪ ,‬עמית גרוס‪ ,‬סער‬
‫זהבי‪ ,‬אוהד טלמון‪ ,‬גל ללוש‬
‫( אחראי)‪ ,‬עמי פז‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב (‪)143232‬‬
‫סמסטר אביב תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫מס' סטודנט‪:‬‬
‫מתוך‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫‪30‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫משך המבחן‪ 211 :‬דקות‪.‬‬
‫בדקו כי ברשותכם ‪ 9‬דפים (שני דפי שער ו‪ 7-‬דפים לגוף המבחן)‪ ,‬ו‪ 5-‬עמודי נוסחאות‪ .‬הפרדת דפים אסורה!‬
‫במבחן ‪ 6‬שאלות‪ .‬יש לענות על כל שאלה‪/‬סעיף במקום המיועד‪ .‬אם המקום אינו מספיק ‪ -‬ניתן לכתוב את המשך‬
‫הפתרון בגב הדף‪.‬‬
‫עליכם לנמק את תשובותיכם‪ .‬תשובות לא מנומקות לא יקבלו ניקוד‪.‬‬
‫מותר להסתמך ללא הוכחה רק על תוצאות שהוכחו בהרצאות או בתרגולים‪.‬‬
‫כל חומר עזר אחר‪ ,‬כולל מכשירים אלקטרוניים‪ ,‬אסור‪.‬‬
‫אין להחזיק טלפונים סלולריים בזמן ה בחינה‪ .‬סטודנט שיחזיק טלפון סלולרי‪ ,‬בחינתו תיפסל ויועמד לדין‬
‫משמעתי‪.‬‬
‫בכל שאלה‪/‬סעיף מנוקדים תוכלו לציין "לא יודע‪/‬ת"‪ .‬במקרה זה תזוכו אוטומטית ב‪ 11%-‬מהניקוד לשאלה‪/‬סעיף‪,‬‬
‫ו שאר הטקסט שכתבתם לשאלה‪/‬סעיף לא יקרא‪.‬‬
‫אלא אם מצוין אחרת‪ ,‬תשובה פשוטה יותר (ללא סכימה‪ ,‬רקורסיה וכו') עדיפה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 41( 1‬נקודות)‪:‬‬
‫בשנת ‪ 1127‬פתח הטכניון סניף ראשון בסין‪ .‬במחזור הראשון של מדמ"ח השתתפו בקורס "קומבי" 𝑘‪20‬‬
‫סטודנטים סינים וכמו כן‪ 𝑘 ,‬עתודאים שנשלחו מישראל לתגבורת‪ ,‬באשר ‪ 𝑘 > 0‬שלם זוגי כלשהו‪ .‬ידוע‬
‫כי בדיוק מחצית (𝑘‪ )10‬מהסטודנטים הסינים הן בנות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ 7‬נקודות) בכמה אופנים ניתן לחלק את כיתת קומבי‪-‬סין ל‪ 𝑘-‬קבוצות תרגול ממוספרות כך שבכל‬
‫קבוצה יש בדיוק ‪ 21‬בנים סיניים‪ 21 ,‬בנות סיניות ועתודאי אחד ויש חשיבות לסדר בתוך כל קבוצת‬
‫תרגול‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ 7‬נקודות) מורה הקורס קומבי‪-‬סין‪ ,‬מר צ'אן צ'ן‪-‬צ'ניב‪ ,‬דרש ש כל התלמידים יכנסו לאולם ההרצאה‬
‫(צ'אוב ‪ )2‬בתור מסודר‪ ,‬כך שבכל רישא של התור‪ ,‬מספר הבנות הסיניות לא יעלה על מספר הבנים‬
‫הסיניים (לא היו לו שום דרישות מיוחדות לגבי העתודאים ח וץ מזה שכולם יהיו נוכחים בתור)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫ג‪.‬‬
‫(‪ 8‬נקודות) לצורך הגשת שעורי הבית‪ ,‬נדרשו תלמידי כיתת קומבי‪-‬סין להתחלק לזוגות‪ .‬בכמה‬
‫אופנים ניתן לחלק את תלמידי הכיתה לזוגות כך שבכל זוג יש או בן ובת סיניים או שני עתודאים?‬
‫שימו לב כי אין חשיבות לסדר הפנימי בתו ך זוגות ולסדר בין הזוגות השונים‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫(‪ 8‬נקודות) עקב בעיות העתקה בשעורי הבית בקרב הסטודנטים הסיניים‪ ,‬החליט המתרגל האחראי‪,‬‬
‫מר יאן צ'לוש‪ ,‬לחלק מחדש את הסינים לזוגות‪ .‬בין הזוגות החדשים אין אף זוג ישן ואין שום‬
‫מגבלות נוספות (ובפ רט מותרים שני בנים או שתי בנות בזוג)‪ .‬השתמשו בעקרון ההכלה‪/‬הפרדה‬
‫לחשב את מספר החלוקות מחדש של 𝑘‪ 𝑚 = 20‬הסינים לזוגות כנדרש‪.‬‬
‫פיתרון בהכלה בהפרדה‬
‫‪3‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 2‬נקודות)‪:‬‬
‫עבור ‪ 𝑟, 𝑚 > 0‬שלמים‪ ,‬יהי )𝑚 ‪ F(𝑟,‬מספר האפשרויות לחלק 𝑟 כדורים שונים ל‪ 𝑚 -‬תאים שונים‪ ,‬כך‬
‫שבכל תא מספר הכדורים הוא לפחות ‪ 4‬ולכל היותר ‪ .5‬אין חשיבות לסדר הפנימי של ה כדורים בתאים‪.‬‬
‫פתחו עבור )𝑚 ‪ F(𝑟,‬נוסחת נסיגה‪ ,‬כולל תנאי עצירה מספיקים ולא מיותרים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 3‬נקודות)‪:‬‬
‫כזכור‪ 𝐷𝑛 ,‬הוא מספר התמורות של }𝑛 ‪ {1,2, … ,‬שאין להן אף נקודת שבת (הפרות סדר)‪ ,‬ו‪.𝐷0 = 1 -‬‬
‫הו כיחו קומבינטורית כי‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫( ‪𝑛! = ( ) 𝐷𝑛 + ( ) 𝐷𝑛−1 + ( ) 𝐷𝑛−2 + ⋯ +‬‬
‫‪) 𝐷1 + ( ) 𝐷0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑛−1‬‬
‫𝑛‬
‫‪5‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 4‬נקודות)‪:‬‬
‫טורניר הוא גרף מכוון אשר גרף התשתית שלו הוא קליקה‪ .‬הוכיחו כי לכל טורניר סופי יש שורש‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 5‬נקודות)‪:‬‬
‫יהי ‪ 𝑘 > 1‬טבעי‪ .‬נתון מלאי ובו 𝑘‪ 3‬כדורים אדומים‪ 3𝑘 ,‬כדורים כחולים‪ ,‬ו‪ 3𝑘-‬כדורים ירוקים‪ .‬כל‬
‫הכדורים מאותו הצבע זהים‪ .‬יהי )𝑘(‪ G‬מספר הבחירות השונות של 𝑘‪ 4‬כדורים מתוך המלאי הנ"ל‪.‬‬
‫א‪ 6( .‬נקודות) השלימו את המשפט הבא ואח"כ הסבירו את תשובתכם‪:‬‬
‫)𝑘(‪ G‬הוא המקדם של‬
‫בפונקציה היוצרת‬
‫הסבר‪:‬‬
‫ב‪ 6( .‬נקודות) חשבו את המקדם הנדרש בסעיף א' של הפונקציה )𝑥(𝑔‪ .‬נמקו את צעדיכם‪.‬‬
‫אין להסתמך על הבעיה הקומבינטורית ממנה נגזרה הפונקציה ) 𝑥(𝑔 (ובפרט‪ ,‬אין להסתמך על‬
‫עקרון ההכלה‪/‬הפרדה)‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 6‬נקודות)‪:‬‬
‫יהי ) 𝐸 ‪ 𝐺 = (𝑉,‬גרף לא‪-‬מכוון (ולא בהכרח פשוט)‪ ,‬כך ש‪ ,𝑉 = {1,2, … ,2𝑘} -‬ו‪ 𝑘 > 0 -‬טבעי‪ .‬הגרף 𝐺‬
‫מקיים את התכונות הבאות‪:‬‬
‫(א) מחציתם של הצמתים )𝑘 ‪ (1, … ,‬כחולים ומחציתם )𝑘‪ (𝑘 + 1, … ,2‬אדומים‪.‬‬
‫( ב) קימות ב‪ 𝐺 -‬בדיוק שתי קשתות כך שהסרת שתיהן תפצל את 𝐺 לבדיוק שני עצים מונוכרומטיים‬
‫( דהיינו‪ ,‬כל הצמתים בכל עץ הם באותו צבע)‪.‬‬
‫מהו מספר הגרפים המקיימים תכונות אלו? הסבירו בבהירות את תשובתכם‪.‬‬
‫‪8‬‬