1. No category

‫קומבינטוריקה‪ ,‬תרגיל ‪4‬ב‬
‫בס"ד‬
‫תרגיל ‪4‬ב‪ :‬מספרי קטלאן ומספרי סטירלינג‬
‫‪.1‬‬
‫(תשס"א מ"א)‬
‫א) מהו מספר הדרכים להגיע מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬על‪-‬ידי הילוך שריג בריבוע‬
‫המצוייר‪ ,‬כאשר בכל שלב מותר לצעוד צעד אחד (צלע של משבצת) ימינה‪ ,‬או‬
‫צעד אחד למעלה?‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A Chapter 1‬‬
‫ב) מהו מספר ההילוכים הנ"ל שאינם נוגעים באלכסון המקווקו? נמק!‬
‫‪( .2‬תשע"א מ"א) מה מספר הדרכים להגיע מהנקודה )‪ (0, 0‬לנקודה )‪ (20, 20‬בהילוך‬
‫שריג‪ ,‬עם צעדים למעלה וימינה בלבד‪ ,‬כך שההילוך לא ייגע בישר ‪? y  x  10‬‬
‫‪ .3‬נתונות ‪ 2n‬נקודות על היקף מעגל‪ .‬הוכח שמספר הדרכים לחבר אותן על‪-‬ידי ‪n‬‬
‫מיתרים לא נחתכים הוא מספר קטלאן ‪. Cn‬‬
‫‪ .4‬הראה שמספר הטבלאות (מטריצות) בגודל ‪ 2  n‬שבהן רשומים המספרים‬
‫‪( 1, , 2n‬כל אחד פעם אחת) כך שכל השורות והעמודות עולות (משמאל לימין‬
‫ומלמעלה למטה‪ ,‬בהתאמה) – הוא מספר קטלאן ‪ . Cn‬למשל‪ ,‬עבור ‪: n  3‬‬
‫‪1 3 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 4 6‬‬
‫‪1 3 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 5 6‬‬
‫‪1 2 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 4 6‬‬
‫‪1 2 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 5 6‬‬
‫‪ 1 2 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 5 6‬‬
‫רמז‪ :‬התאם לכל טבלה כזאת הילוך שריג המתחיל ב‪ , (0, 0) -‬שבו צעד מס' ‪i‬‬
‫)‪ (1  i  2n‬הוא ימינה (למעלה) אם המספר ‪ i‬מופיע בשורה הראשונה (השניה‪,‬‬
‫בהתאמה) בטבלה‪ .‬אילו הילוכים מתקבלים כך?‬
‫‪ .5‬הוכח שמספר התמורות של המספרים ‪ 1, , n‬הניתנות לסידור בסדר עולה‬
‫בעזרת מחסנית אחת הוא מספר קטלאן ‪ . Cn‬למשל‪ ,‬עבור ‪ n  3‬התמורות הן‪:‬‬
‫‪( 123 132 213 312 321‬אך לא ‪ .) 231‬דוגמא לסידור התמורה ‪: 213‬‬
‫עמוד ‪ 1‬מתוך ‪3‬‬
‫‪150415‬‬
‫קומבינטוריקה‪ ,‬תרגיל ‪4‬ב‬
‫בס"ד‬
‫‪ 213‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪ 13‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪12 ‬‬
‫רמז‪ :‬הראה שמספר התמורות הנ"ל מקיים את הרקורסיה ואת תנאי ההתחלה‬
‫של מספרי קטלאן‪.‬‬
‫‪ .6‬הוכח את נוסחת הרקורסיה למספרי סטירלינג מסוג שני‪:‬‬
‫)‪S (n, k )  S (n 1, k 1)  k  S (n 1, k ) (1  k  n‬‬
‫עם תנאי ההתחלה‬
‫)‪S (0,0)  1, S (n,0)  S (n 1, n)  0 (n  1‬‬
‫‪.7‬‬
‫א) הוכח שמספר הפונקציות ] ‪ f : [n]  [k‬שהן על הוא‪. k!S (n, k ) :‬‬
‫‪n‬‬
‫ב) הסק שלכל ‪ n , m‬טבעיים‪:‬‬
‫‪m n   S (n, k )(m) k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫כאשר )‪( x  k  1‬‬
‫)‪. ( x)k : x( x  1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x n   S (n, k )( x) k‬‬
‫ג) הסק‪ ,‬לכל ‪ n‬טבעי‪ ,‬את שוויון הפולינומים‬
‫‪k 1‬‬
‫‪ .8‬הוכח את נוסחת הרקורסיה למספרי סטירלינג מסוג ראשון‪:‬‬
‫)‪s(n, k )  s(n 1, k 1)  (n 1)  s(n 1, k ) (1  k  n‬‬
‫עם תנאי ההתחלה‬
‫)‪s(0,0)  1, s(n,0)  s(n 1, n)  0 (n  1‬‬
‫תוכל להיעזר בהגדרה הקומבינטורית של מספרי סטירלינג ללא סימן‪. c(n, k ) ,‬‬
‫‪ .9‬הוכח בכל דרך שתרצה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪( x) n   s(n, k ) x k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪ .11‬הוכח בכל דרך שתרצה‪:‬‬
‫‪n,k‬‬
‫‪ S (n, m)s(m, k )  ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n,k‬‬
‫‪ s(n, m)S (m, k )  ‬‬
‫‪m‬‬
‫כאשר‬
‫; ‪1, if n  k‬‬
‫‪0, otherwise.‬‬
‫‪ n,k : ‬‬
‫עמוד ‪ 2‬מתוך ‪3‬‬
‫‪150415‬‬
‫קומבינטוריקה‪ ,‬תרגיל ‪4‬ב‬
‫בס"ד‬
‫‪ .11‬מספר בל )‪ B(n) (Bell‬הוא מספר החלוקות של קבוצה בגודל ‪ n‬לבלוקים זרים‬
‫ולא ריקים‪ ,‬שמספרם לא נקבע מראש‪ .‬מגדירים‪. B(0) : 1 :‬‬
‫א) הוכח‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪B(n) :  S (n, k‬‬
‫)‪(n  0‬‬
‫‪k 0‬‬
‫ב) הוכח‪:‬‬
‫)‪(n  0‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪B(n  1)     B(k‬‬
‫‪k 0  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫ג) הוכח‪:‬‬
‫)‪(n  0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪B ( n)   ‬‬
‫! ‪e k 0 k‬‬
‫כאשר ‪. 00 : 1‬‬
‫עמוד ‪ 3‬מתוך ‪3‬‬
‫‪150415‬‬