1. No category

Numerisk løsning af differentilligninger og linjeelementer.mw
Newtons afkølingslov løst ved hjælp af
linjeelementer og integralkurver
Vi så tidligere på et eksempel, hvor en kop kakao med temperaturen tstart afkøles i
et lokale med temperaturen tslut. Vi fik, at temperaturfaldet var proportionalt med
temperaturforskellen. Altså en differentialligning af formen
y' t =Kk$ y t K tslut
hvor y er temperaturen af kakaoen (målt i °C) til tiden t (målt i minutter) og k en
positiv konstant.
Vi antager, at tstart = 100 °C, dvs. y 0 = 100, at omgivelsernes temperatur,
tslut = 20°C, og at parameteren k = 0.1.
Vi ser således på ligningen
y' t =K0.1$ y t K 20
Vi vil nu vise, hvordan vi kan løse problemet i Maple på en meget visuel måde. Vi får
brug for pakken DETools, og dernæst en ordre, der tegner linjeelementer, en slags
små tangentstumper forsynet med retning, nemlig DEplot.
(Teorien for linjeelementer er forklaret i Mat A3 side 79-81 og i Mat B til A
s 135-137).
MJ Nærum Gymnasium
17-05-2013
s 1 af 8
Numerisk løsning af differentilligninger og linjeelementer.mw
with DETools :
DEplot y' t =K0.1 * y t K 20 , y t , t = 0 ..40, y = 0 ..100
figur 1
100
80
y t
60
40
20
0
10
20
t
30
40
Hvis vi vil have en bedre fornemmelse af, hvordan vores løsning ser ud, kan vi
indsætte startværdien (0,100) og se, hvad der sker.
DEplot y' t =K0.1 * y t K 20 , y t , t = 0 ..40, y = 0 ..100,
0, 100
figur 2
100
80
y t
60
40
20
0
10
20
t
30
40
Farven på kurven kan skiftes ved at klikke på den, så den er aktiv, og dernæst
højreklikke og skifte farve.
Vi kan sætte flere startværdier ind, så hvis vi f.eks. vil sammenligne to forskellige
udgangstemperaturer 100°C og 80°C, skriver vi
MJ Nærum Gymnasium
17-05-2013
s 2 af 8
Numerisk løsning af differentilligninger og linjeelementer.mw
DEplot y' t =K0.1 * y t K 20 , y t , t = 0 ..40, y = 0 ..100,
0, 100 , 0, 75
figur 3
100
80
60
y t
40
20
0
10
20
t
30
40
Her er farverne blevet skiftet som ovenfor beskrevet.
Øvelse 1
a. Åbn Maple og tegn selv figur 1
b. Prøv at ændre på parameteren k og notér, hvad der sker, når du plotter.
c. Prøv selv at indsætte startværdier - gerne en kold sodavand fra køleskabet.
MJ Nærum Gymnasium
17-05-2013
s 3 af 8
Numerisk løsning af differentilligninger og linjeelementer.mw
Vi vil nu udnytte det indbyggede differentialløsningsværktøj, så vi ved hjælp af
Eulers metode kan finde og undersøge en integralkurve.
1.Vælg Tools/Assistants/ODE Analyzer
Udfyld felterne fra venstre mod højre
2. Tryk Edit under Differential Equations
3. Tryk Assist for at få den rigtige syntaks til venstre side af
differentialligningerne
4. Skriv navnet på funktionen (her y) og den uafhængige variabel (her t) og vælg
order til 1, svarende til en førsteordens differentialligning
5. Tryk Insert og dernæst Done
6. Tilføj resten af ligningen ved at klikke og skrive ved siden af den indsatte tekst
og tryk Add, når du er færdig.
7. Gå videre med Conditions dvs. startbetingelserne, som her skal være
y(0)=100, svarende til at kakaoen er 100 °C til at begynde med.
8. Udfyld til sidst Parameters, med værdien 0.1 for k
Nu ser det således ud.
MJ Nærum Gymnasium
17-05-2013
s 4 af 8
Numerisk løsning af differentilligninger og linjeelementer.mw
12. Tryk Solve Numerically og sæt i næste skærmbillede mærke ved Fixed
step methods, så du løser ligningen med Eulers metode (forward Euler)
13. Tryk Plot Options og sæt indstillingerne som vist nedenfor.
14. Tryk Done
15. Tryk Plot, så du kan se, om alt er, som det skal være
16. Tryk Quit
MJ Nærum Gymnasium
17-05-2013
s 5 af 8
Numerisk løsning af differentilligninger og linjeelementer.mw
figur 4
100
80
60
y
40
20
0
0
10
20
t
30
40
Så skulle du have en figur som ovenfor.
Hvis farven ikke behager, kan den ændres ved at dobbeltklikke på kurven og vælge
en ny farve, og man skal som sædvanligt selv tilføje enheder på akserne og navn på
kurven.
figur 5
100
80
60
temperatur °C
kakaoens temperatur
40
20
0
0
10
20
30
40
tid i min
MJ Nærum Gymnasium
17-05-2013
s 6 af 8
Numerisk løsning af differentilligninger og linjeelementer.mw
Øvelse 2
Gentag punkt 1-13 i anvisningerne ovenfor
Skift Style fra Solid line til point i det nederste felt, hvor alle oplysninger om
differentialligningen står.
Tryk Done
Nu afsætter Maple de ved Eulers metode beregnede punkter, og du er tilbage i skærmen, hvor du
kan ændre skridtlængde og integrationsmetode.
Variér skridtlængden ved at ændre tallet ud for forward Euler. Start med 10 og bevæg dig
nedad, og plot kurven for hver skridtlængde.
Notér dine iagttagelser.
Sæt skridtlængden til 10 igen, udskift forward Euler med 4rth order Runge-Kutta og plot
punkterne.
Notér dine iagttagelser.
Gå på nettet og undersøg, hvad Runge-Kutta er og husk at notere stedet, du fandt oplysningerne.
Øvelse 3
Prøv at ændre på parameter (k) og startbetingelser (y(0) og tslut) under Plot Options, og notér,
hvad der sker, ved at plotte efter hver ændring.
De kvikke kan med fordel indskrive to differentialligninger, nemlig den vi har brugt i det
foregående og en mage til hvor funktionen hedder x(t) og parameteren k1 eller lignende. På den
måde kan man få plottet både udgangssituationen og integralkurven med de ændrede betingelser i
samme vindue, så det er nemmere at sammenligne.
Vi kan i dette tilfælde løse differentialligningen analytisk i Maple ved nedenstående
ordre.
dsolve
y' t =K0.1$ y t K 20 , y 0 = 100
1
K
t
10
y t = 20 C 80 e
(1)
Bemærk, at Maple opfatter betingelser og differentialligning som et ligningssystem,
MJ Nærum Gymnasium
17-05-2013
s 7 af 8
Numerisk løsning af differentilligninger og linjeelementer.mw
så derfor indsættes ligning og betingelse i en liste (de firkantede klammer).
1
K
t
10
plot 20 C 80 e
, t = 0 ..40, y = 0 ..100
figur 6
100
80
60
y
40
20
0
0
10
20
t
30
40
Det er imidlertid langt fra alle differentialligninger, der kan løses analytisk, og derfor
er numeriske metoder til løsning af differentialligninger meget vigtige.
MJ Nærum Gymnasium
17-05-2013
s 8 af 8