Vand, saltvand og negativt tryk
Jens Skak-Nielsen, Marselisborg Gymnasium
I bogen Viden om Vand, redigeret af Inge Kaufmann og
Søren Rud Keiding, vil jeg kommentere 2 bemærkninger i henholdsvis kapitel 2 og 3. Først vil jeg forsøge
mig med nogle primitive beregninger over vandmolekylet og vand. Afslutningsvis skitseres et forsøg,
som kunne bruges i den indledende undervisning i naturvidenskab, og som sandsynliggør, at køkkensalt
må være opbygget af små kugler og ikke f. eks. af
små klodser.
Kemi
Matematik
I kapitel 2, skrevet af lektor Birgit Schiøtt og professor Søren Rud Keiding, gennemgås en lang
række fakta om vand. Om vandmolekylet får vi
oplyst, at bindingsafstanden i O-H bindingen er
95,718 pm og bindingsvinklen 104,474°. Det interessante er naturligvis, at de 2 størrelser kendes
med så stor nøjagtighed. Derudover vil jeg citere,
at hydrogenbindingerne mellem et O-atom og et
H-atom i et nabovandmolekyle kun lever i ca. 1
ps, og at det brydes og gendannes ca. 1012/s. Hvor
stor en del af tiden en given ikke-bindende orbital i et O-atom ikke indgår i en hydrogenbinding
til et nabomolekyle, er ikke angivet. Muligvis er
det et dårligt defineret spørgsmål, muligvis kendes
svaret bare ikke, men det antydes i hvert fald, at
svaret nok er under 50%, i hvert fald under 90%.
Endelig vil jeg citere, at faldet i vands densitet,
når temperaturen sænkes fra 4 °C ned mod frysepunktet, er en af de egenskaber, som vi ikke rigtigt kan give en god forklaring på. Det antyder i
hvert fald, at man ikke kender den helt korrekte
version af nedenstående overvejelser.
1 Overvejelser over vandmolekylet størrelse
og geometri, sammenholdt med vands densitet
I databogen side 149 angives vands densitet til
0,99823 g/cm3 ved 20 °C. Hvis man tilordner
hvert vandmolekyle til en terning, kan man ud
fra vands molare masse og Avogadros konstant
beregne sidelængden på denne terning til
___________________________
√
3
d=
Jeg vil nu forsøge at lave en model af vandmolekylet til sammenligning. Det er kendt, at hydrogenatomerne i et methanmolekyle eller en ammoniumion kan opfattes som placeret i 4 hjørner
af en terning, således at atomerne altid sidder i
diagonal over for hinanden i terningens 6 kvadrater. Koordinaterne for vektorene fra centrum
ud til hjørnerne kan f. eks. angives som
( )( )( )( )
-1 -1
1
1
-1 , 1 , -1 , 1 .
-1
1
1
-1
Dette system giver tetraedervinklen på 109,5°.
I første tilnærmelse danner de 4 sp3-hybridiserede
orbitaler i O-atomet dette mønster, men de 2 orbitaler, der bindes til H, fylder mindre på grund
af den positive kernes tiltrækning. Dette forklarer, at vinklen når ned på 104,5° mellem de bindende orbitaler.
Hydrogens kovalente radius er angivet i databogen side 20 til 37 pm. Her er der tale om en
polær binding med forskydning af elektronerne
over mod O. På den anden side er orbitalen ikke
helt spids, så afstanden ud til ‘kassens hjørne’ må
være lidt større end afstanden ud til det punkt, der
afgrænser orbitalen. Jeg har valgt en afstand på
135 pm, lidt mere end 37 pm + 96 pm. Jeg kender ikke vinklen, som de 2 ikke-bindende orbitaler danner med hinanden, og dermed vinklen
mellem en bindende og en ikke-bindende orbital.
Disse kendes muligvis, som vinklen i is H-O-H,
hvor de 2 H hører til 2 andre vandmolekyler, eller
hvor det ene H hører til et andet vandmolekyle.
Jeg har gættet på en vinkel på 115° mellem de 2
‘store’ orbitaler, hvilket gav en vinkel på 109,2°
mellem en bindende og en ikke bindende orbital. Endelig har jeg gættet på en afstand på 160
pm ud til hjørnet med den ikke-bindende orbital. Oxidionens radius angives samme sted til
146 pm, så den kan næppe være meget større.
Disse overvejelser fører til følgende koordinater til afgrænsning af vandmolekylets ‘kasse’.
Alle størrelser er angivet i pm. Hydrogenatomerne
ligger i nærheden af de 2 førstnævnte hjørner.
g
10-6 m3 · 18,0153 ___
mol
__________________________
0,99823 g · 6,02214 ·1023 mol-1
= 310,61 pm
60 LMFK-bladet, nr. 4, september 2010
( )( )( )( )
-75,5
75,5
-95,4
95,4
-82,6 , -82,6 , 85,9 , 85,9 .
-75,5
75,5
95,4
-95,4
Kontrol:____________
d1 = √____________
2·75,52 +82,62 = 135,1
d2 = √2·95,42 +85,92 = 159,9
(
(
)
82,62 − 2·75,52
v1 = cos-1 _____________
= 104,5°
135,12
-82,6·85,9
v2 = cos-1 __________ = 109,2°
135,1·159,9
)
v3 = 115,0°.
Modellen fører derfor til, at vandmolekylet kan
være i en kasse med dimensioner: 170,9 pm, 168,5
pm, 170,9 pm. Men som bekendt medfører hydrogenbindingerne og vandmolekylets polaritet, at
disse kasser ikke kan stables ved siden af hinanden med et vandmolekyle i hver. En mere realistisk model svarer til, at kasserne med vandmolekyler lægges i forlængelse af hinandens diagonaler – i hvert fald en del af tiden, så den virkelige kassedimension bliver diagonalens længde,
som er 294,6 pm. Dette resultat, der kun afviger
5% fra den faktiske kassedimension på 310,61
pm, må anses som tilfredsstillende.
ρ=
g
58,443 ___
mol
_______________________________
2 ∙ 6,02214∙1023 mol-1∙(279∙10-10 cm)3
g
= 2,23 ___
cm3
Densiteten 2,17 g/cm3 svarer til, at ionradierne
øges til 99,0 pm og 182,7 pm.
Ud fra 98 pm og 181 pm fås et molart ionvolumen på
4π
Vion = 6,02214∙1023 mol-1 ∙ ___
3 ∙
mL
((98 pm)3+(181 pm)3) =17,33 ___
mol
mL
mens de lidt større ionradier giver 17,85 ___
mol .
Et mol fast NaCl har til sammenligning et
rumfang på
g
___
58,443 mol
mL
__________
VNaCl=
= 26,93 ___
g
mol .
2,17 ___
mL
På grundlag af henholdsvis de 17,33 mL og de
17,85 mL beregnes saltvands teoretiske densitet.
Disse sammenlignes med tabellen side 42, der
er lavet ud fra stigende masseprocent af NaCl,
den størrelse, der kaldes wNaCl.
Med 2 g NaCl pr. 100 g saltvand, bliver rumfanget af ionerne:
LMFK-bladet, nr. 4, september 2010
61
Kemi
Matematik
2. Saltvands densitet
På side 40 i Viden om Vand forklares saltvands
højere densitet således: ‘der kommer simpelthen
mere orden i vandet rundt om ionerne pga. dannelsen af disse ordnede solvatiseringsskaller, og
dermed kan de enkelte vandmolekyler ligge tættere sammen.’
Det har undret mig en del, at chloridionens og
natriumionens masse slet ikke indgår i forklaringen.
For at undersøge dette har jeg valgt at gå ud
fra den modsatte antagelse: Ionerne i vandet optager en del af pladsen, og molekylerne mellem
ionerne opfører sig i det væsentlige som rent vand
i resten af pladsen.
Først skulle jeg tage stilling til, hvor meget
plads ionerne optager. I databogen side 20 står
ionradierne angivet til henholdsvis 98 pm og 181
pm. Desværre stemmer dette ikke helt med natriumchlorids densitet, som angives side 81 til 2,17
g/cm3. En enhedscelle med kantlængden 279 pm
består af ½ ion af hver slags:
2
_____
58,443 ·17,33 mL= 0,593 mL.
af ioner gør det sværere for vandmolekylerne at
lægge sig tæt.
Effekten er dog begrænset til en afvigelse på
2% af densiteten i den mest koncentrerede opløsning, hvor densiteten er vokset med 20% i forhold til rent vand. Det svarer til, at den effektive
terningedimension til hvert vandmolekyle vokser fra 310,61 pm til 312,95 pm.
Man kan beregne forholdet mellem den karakteristiske afstand mellem 2 ioner og den karakteristiske afstand mellem 2 vandmolekyler. Ved
3% massekoncentration er der plads til 3,8 molekyler på linje mellem 2 ioner, ved 10% bliver
der plads til 2,5 og ved 26% er der kun plads til
1,7 vandmolekyler. Disse ret lave tal stemmer
faktisk fint med, at vandmolekylerne kommer
til at ligge lidt mere spredt, og ikke tættere, ved
høje koncentrationer.
De 98 g vand får rumfanget
98 g
__________
g = 98,174 mL.
0,99823 ___
mL
Hvis rumfangene blot kan adderes, bliver saltvandets densitet
g
g
100
___________
___
___
98,174 + 0,593 mL =1,01249 mL
g
Den angivne densitet er 1,0125 ___
mL , så detg stemmer perfekt. Med 17,85 mL fås 1,0123 ___
mL .
Disse resultater, som gælder i intervallet 0-3%
tyder på, at modellen er fornuftig, og at databogens ionradier beskriver situationen bedst. I det
faste NaCl er afstanden mellem ionerne så lidt
større end summen af disse radier. Måske skyldes det termiske vibrationer?
Jeg tror ikke på forklaringen med solvatiseringsskaller. Jeg er ikke i tvivl om, at vandmolekylerne er orienteret med O-atomer ind mod
Na-ionerne, men jeg tror ikke på, at det påvirker
densiteten nævneværdigt. Måske kan man sige,
at molekylernes orientering gør, at det bliver tilladt blot at addere ionernes rumfang med vandets rumfang.
For samtlige 18 målepunkter op til 2,8% i databogen, passer beregningerne ud fra 17,33 mL
perfekt med databogens tal, med en afvigelse på
g
højst 10 -4 ___
mL . Derefter giver beregningerne for
høje værdier for densiteten, hvilket bedst tolkes som et udslag af, at den høje koncentration
Kemi
Matematik
g
g
3. Vand til høje træer – negativt tryk
I kapitel 3 gennemgår lektor Tom Vindbæk Madsen
‘Vand i planter’. Han forklarer bl. a., hvordan træerne kan få vand meget mere end 10 meter op,
selv om atmosfærens tryk kun kan presse vand
10 m op i en vakuumbeholder. Side 52 står der:
‘Det kan principielt ske på to måder. Enten kan
planten skabe et overtryk i roden, så vandet presses op – på samme måde som springvandspumpen i havebassinet presser vandet op – eller der
kan skabes et undertryk i toppen af planten, så
g
g
wNaCl / _____
100 g
ρDatabog / ____
mL
ρ17,33 / ____
mL
ρ17,85 / ____
mL
0,4
1,0
2,0
3,0
4,0
7,0
10,0
14,0
20,0
26,0
1,0011
1,0053
1,0125
1,0196
1,0268
1,0486
1,0707
1,1008
1,1478
1,1972
1,00105
1,00531
1,01249
1,01977
1,0272
1,0500
1,0738
1,1074
1,1618
1,2219
1,00101
1,00522
1,01230
1,01949
1,0268
1,0493
1,0728
1,1058
1,1594
1,2184
62 LMFK-bladet, nr. 4, september 2010
(
)
ρ
ρDatabog −1 ·1000
17,33
_______
~0
~0
~0
0,2
0,4
1,3
2,9
6,0
12,2
20,6
4. Forslag til elevøvelse
Formålet er at undersøge, hvordan salt i virkeligheden er opbygget. Helt konkret vil vi undersøge,
om det er opbygget af små kasser eller små kugler.
Først skal salts densitet bestemmes. Densitet eller massefylde beregnes som massen delt med
volumen. Det er nemt at måle massen af salt ved
at veje det, men det er straks vanskeligere at måle volumen, med mindre man er i besiddelse af
en stor kasseformet enkeltkrystal. Det kan dog
gøres således:
Fremgangsmåde
Hæld ca. 40 mL propanol (-2-ol eller -1-ol) op i
et højt 100 mL måleglas. Vej glasset med indhold
med 0,01 g nøjagtighed Aflæs volumen præcis
på måleglasset med 0,1 mL nøjagtighed. Hæld
derefter fint salt, natriumchlorid, ned i propanolen. Alt salt skal være dækket af væske. Lidt før
væsken når op til 100 mL mærket, stoppes tilsætningen. Glasset vejes igen, volumen aflæses.
Et 250 mL bægerglas vejes med en spatel.
Derefter tilsættes 95,00 g demineraliseret vand –
de sidste dråber tilsættes med dråbepipette. Ved
siden af afvejes 5,000 g salt i et lille tørt bægerglas – det må højst afvige 2 mg. Alt saltet tilsættes – evt. skrabes og bankes med en tør spatel –
og opløses ved omrøring med spatlen. Husk, at
spatlen ikke må fjernes fra bægerglasset, for så
mistes der dråber!
Til sidst kontrolleres, at det hele stadig vejer
det samme som bægerglas med spatel + 100 g.
Evt. tilsættes igen en eller to dråber, der svarer
til det fordampede vand.
Nu bestemmes massen af et tørt, rent pyknometer, så massen med demineraliseret vand i
pyknometret og derefter massen af det fremstillede saltvand i det samme pyknometer. Skyl
først pyknometeret med lidt saltvand, som hældes i vasken. Det kan være en god ide, at fylde
pyknometeret med vand og med saltvand 2 gange for at have 2 vejeresultater til hver, så man er
sikker på, at man har fået det helt fyldt og helt
tørt udvendigt.
Salt, vand og propanol kan skylles i vasken.
Databehandling
Først regner vi på forsøget med måleglasset. Saltets
masse, m, og volumen, V, beregnes. Herudfra bem
stemmes densiteten ρNaCl = __
V.
Det demineraliserede vands masse bestemmes. Vi antager, at vandets densitet kan sættes
LMFK-bladet, nr. 4, september 2010
63
Kemi
Matematik
vandet suges op – på samme måde som væske
suges op gennem et sugerør. Begge løsninger er
taget i brug af planterne, men det er dog kun den
sidstnævnte løsning, der er kvantitativt vigtig.’
Forklaringen er i og for sig korrekt, men meget uheldig efter min opfattelse. For det første
giver ordet undertryk helt forkerte associationer; i fysik betyder undertryk blot et tryk, der
er lavere end atmosfæretrykket. I den forstand
kan man ikke suge vand op på månen med undertryk. Desuden giver sammenligningen med
sugerøret ligeledes forkerte associationer. Til at
begynde med, er der jo ikke en ubrudt vandsøjle op til munden, og sugerøret virker kun, fordi
atmosfærens tryk presser væsken op.
Ved høje træer skabes der et egentlig negativt
tryk i toppen af træet. Normalt forklarer man tryk
som et udslag af molekylernes bombardement af
væggene. I tilfældet med en indespærret idealgas, hvor man netop kan se bort fra molekylernes vekselvirkning, giver det derfor ingen mening at tale om negativt tryk. Men med en indespærret væske, kan trykket godt blive negativt,
fordi der virker en ret stærk tiltrækningskraft fra
det ene vandmolekyle til det næste. Når derfor
vandmolekyler fordamper ud af bladenes læbespalter, drevet af væksten i entropi, vil vandmolekylerne kunne trækkes helt op i over 100 meter høje træer, når blot væskestrengen er ubrudt.
Hvis vandet var helt rent og søjlen perfekt, kunne det faktisk trækkes op til 3 km op, som det
står nævnt side 53.
Jeg har aldrig set en omtale af negativt tryk i
forbindelse med indførelse af begrebet tryk i fysikundervisningen. Faktisk har jeg indtil for nylig troet, at begrebet kun optrådte i forbindelse
med eksotiske fænomener som ormehuller, se
Den Store Danske Encyklopædi, Bd. 14, s. 549.
Specielt af hensyn til det tværfaglige samarbejde
burde høje træer omtales i forbindelse med undervisning i tryk i fysik, og biologer burde undgå uheldige analogier, der er meget forvirrende
for eleverne.
Kemi
Matematik
g
til 1 ___
mL . Ud fra målingen af massen af vand i
pyknometeret i g kendes derfor pyknometerets
rumfang: det er samme tal, bare i mL.
Massen af salt i saltvandet er massen af saltvand · 0,05, så saltets masse i pyknometeret kan
beregnes og herudfra det tilsvarende volumen af
det opløste salt. Hvis nu det opløste salt består af
meget små kasser, må deres volumen være det
samme som volumen af det salt, der blev opløst.
Beregn massen af vand i saltvandet som saltvandets masse ganget med 0,95. Er der plads til dette vand i det rumfang, der var til overs fra saltet?
Hvis der ikke var plads, kunne det være fordi,
saltet er opbygget af små kugler, så der faktisk
er tomrum inde i saltet, som vandet kan udnytte
når saltet opløses.
Hvis alle kuglerne har samme radius, kan du
tænke på saltet som opbygget af terninger, hvor
der sidder en kugle med radius r med centrum i
hvert hjørne, se nedenstående figur. Hvad er terningens sidelængde, og hvad er dens rumfang?
Den del af terningen, der består af kugledele,
er 8 stk. ottendedele af kugler. Vis, at forholdet
mellem kugledelenes rumfang og hele terningens
π
rumfang er __6 . Hvordan går det nu med pladsen
til vandet?
Kuglerne kunne også placeres på andre måder,
men så bliver beregningen mere kompliceret.
Til sidst skal du regne på en antagelse om, at
saltet består af to slags kugler, hvor de små har
radius r, og de store har radius 2r. Hver anden
kugle er lille, hver anden stor. Denne gang har
terningen sidelængden 3r, og kugledelene består
Mine resultater:
(292,553−179,940) g
g
ρNaCl = __________________ = 2,166 ___
mL
(92,0−40,0) mL
VP = 26,425 mL
1,368 g
msalt =1,368 g VNaCl = ________
g = 0,632 mL
2,166 ___
mL
Massen af vand i saltvandet i pyknometret:
mvand i saltvand = 25,996 g.
Saltets rumfang i opløsningen i de 3 tilfælde:
0,632 mL, 0,331 mL og 0,441 mL.
Rumfang til overs til vandet 25,793 mL, 26,094
mL og 25,984 mL.
◦ Hvis salt er opbygget af små terninger, mangler der 0,2 mL til vandet.
◦ Hvis salt er opbygget af ens kugler er der
0,1 mL for meget plads.
◦ Hvis saltet er opbygget af de store og små
kugler, er afvigelsen nede på 0,012 mL.
Der er god grund til at tro, at dette er en ganske realistisk model.
af 4 stk. ottendedele af store kugler og 4 stk. ottendedele af små kugler. Beregn igen forholdet
mellem kuglernes og hele saltets rumfang, og
sammenlign med pyknometermålingerne.
Det skal bemærkes, at det ikke i almindelighed er tilladt at addere rumfang, som der lægges
op til i denne øvelse. Derimod kan masser altid
adderes i kemi – men ikke i kernefysik!
Salt er opbygget af ioner med radier på 98 pm
og 181 pm, så chloridionerne har næsten dobbelt
så stor radius som natriumionerne.
◊
De to terninger set oppefra. På den første tegning kan de bagerste kugler ikke ses, på den anden kan de
to store anes i midten.
64 LMFK-bladet, nr. 4, september 2010